Sifat-Sifat Subkelas Fungsi Univalen Memuat Integral Operator

  

SIFAT-SIFAT SUBKELAS FUNGSI UNIVALEN

MEMUAT INTEGRAL OPERATOR

Fitri Aryani

  Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi, UIN SUSKA Riau

  Email:

  

ABSTRAK

  Kajian utama yang akan dilakukan pada artikel ini adalah tentang sifat-sifat yang termuat

   

  pada subkelas   yaitu fungsi starlike ,   yaitu fungsi convex serta

  S   ; C   ;   

  

 ,  ;  ,  yaitu fungsi close-to-convex yang kesemuanya menggunakan operator integral.

  Q   

  

Katakunci: fungsi close-to-convex, fungsi convex, fungsi starlike, fungsi univalen, operator

integral.

  

ABSTRACT

The purpose of the present article is to inclusion properties for subclasses of univalent

   

functions such as starlike functions S  ;  , convex functions C  ;  and close-to-convex

         functions     which involve integral operator.

  Q  , ; ,  

  

Keywords: close-to-convex functions, convex functions, integral operator, starlike functions,

univalent functions.

  

PENDAHULUAN bilangan kompleks. Materi yang membahas

  Matematika merupakan suatu ilmu mengenai bilangan riril dikenal dalam pengetahuan yang snagat unik sekali. Karena Analisis Rill dan materi yang membahas matematika dapat digunakan hampir oleh mengenai bilangan kompleks Analisis semua bidang ilmu pengetahuan yanga lain. Kompleks. Sehingga matematika dapat dikatakan

  Analisis kompleks dalam matematika sebagai alat (tools) yang akan digunakan adalah suatu objek yang sangat menarik untuk hal yang lainnya. Banyak hal dibahas sekali disebabkan dalam bidang kompleks pada matematika diantaranya kalkulus yang yang dikaji tidak hanya satu bilangan saja, membahas mengenai konsep dan tetapi ada dua bilangan. Bilangan yang penghitungan pada fungsi, limit , turunan dan dimaksud adalah bilangan riil dan bilangan integral. Aljabar yang membahas mengenai khayal (imajiner), sebab kita ketahui konsep matriks dan ruang vektor, adalagi bahwasannya bilangan kompleks dapat statistic yang berhubungan dengan ditulis dalam bentuk a + bi. Seterusnya pengolahan data dan sebagainya. bentuk a + bi ini akan dilambangkan dengan

  Semua materi pada kalkulus suatu simbol z. Akhirnya simbol z inilah yang berdoamain pada bilangan yang besar yaitu akan mewakili bentuk kompleks pada fungsi- bilangan riil dan bagian - bagian dari riil atau fungsi yang berkaitan dengan analisis kompleksnya antara lain fungsi analitik,

METODE DAN BAHAN

  fungsi univalen dan yang berkaitan dengan Adapun metodologi penelitian yang kompleks lainnya. penulis gunakan adalah metode studi literatur dengan langkah-langkah sebagai berikut:

  Fungsi univalen mempunyai subkelas yaitu; fungsi seperti bintang (starlike), fungsi Mulai cembung (convex) dan fungsi hampir cembung (close-to-convex). Banyak penulis yang mengkaji mengenai fungsi univalen dengan subkelasnya tersebut. Salah satu penulis yang mengkaji hal ini dan merupakan daftar pustaka pada penelitian ini adalah

  Melakukan pengamatan Studi Literatur Maslina Darus dan Rabha W. Ibrahim (2009) pada permasalahan dengan judulnya “On Inclusion Properties

  Generalized Integral Operator Involving Noor Integral ”.

  Jurnal yang ditulis oleh Maslina Darus Identifikasi permasalahan Identifikasi definisi, lemma dan Rabha. W. Ibrahim (2009) dengan dan tujuan penelitian dan teorema judulnya di atas, mereka mengkaji sifat rangkuman subkelas yang mereka punyai dengan menggunakan operator integral yang ada dan melibatkan integral Noor.

  Liu, J.L (2002) melakukan penelitian Mengkaji mengenai operator dengan judulnya “Certain Integral Operator integral yang akan digunakan

  and Strongly Starlike Functions”. Dalam

  jurnal tersebut dibahas mengenai sifat-sifat rangkuman subkelas fungsi univalen dan analitik dengan melibatkan operator integral yang telah diperkenalkan oleh I.B. Jung, Y.C.

  Mendapatkan sifat-sifat Kim dan H.M. Srivastava pada tahun 1993. Subkelas yang digunakan juga subkelas pada rangkuman subkelas fungsi fungsi seperti bintang strongly. univalen dengan operator integral

  Selvaraj. C, Karthikeyan.K.R (2007) melakukan penelitian dengan judulnya „Some

  Classes of Analytic Functions Involving Generalized Integral Operator”. Dalam

  Analisa dan kesimpulan jurnal tersebut dibahas mengenai sifat-sifat rangkuman subkelas pada fungsi univalen dan analitik dengan melibatkan operator integral secara umum. Integral operator yang digunakan adalah operator yang didefinisikan

  Selesai sendiri oleh penulis dengan menggunakan kaedah Hadamard Product (Convolution) serta melibatkan integral Noor. Subkelas

  Gambar 1 Tahapan Penelitian

  yang digunakan subkelas pada fungsi seperti bintang (starlike) yang umumnya.

  Misalkan

  ) 1 ( ) ( ( ^{1 1} J z f z f J z f J z

      G F 

   , jika G adalah univalen ,

  subordinate ke G, ditulis dengan G F

  Diberikan F dan G adalah fungsi analitik di unit disk D. Fungsi F adalah

        (4) Persamaan (3) dan (4) adalah sebuah operator integral yang akan dipakai untuk mendapatkan sifat-sifat subkelas univalen.

  ) , ( 1 , A f

  





   

     

       

   

  selanjutnya didapat: ) ( ) ( ) ( )

      U G U F  . Secara umum, diberikan

     x adalah fungsi gamma, dan

  ) , ( 1 , A f       (3) dengan

    





  ) ) 1 ( ( ) (   

              _{2 )} ) 1 ( (

    

  z a n n J z z f

        (2) dan _{n n n}

  ) , ( 1 , A f

     

  dan

  dua fungsi F dan G, yang keduanya adalah analitik di D, maka fungsi F dikatakan

  2 ( 1 )  

           z h z p z z p

          , , z p z z p z h  

  adalah univalen di D dan memenuhi turunan superordinate

   , 

        z p z z p

  dan

   q p . Jika p

  solusi dominan pada turunan subordinate jika

  subordinate . Fungsi univalen q dikatakan

  dikatakan suatu solusi pada turunan

   ,  , maka p

  dan h univalent di D. Jika p adalah analitik di D dan memenuhi turunan subordinate

  subordinate ke G(z) di D jika terdapat sebuah

  C C  ² : 

  Misalkan

  U z  .

  untuk semua

    ) ( ( ) z h G z F 

  semua D z  . Sehingga

   1 ) z h untuk

  h dan  

  

  fungsi h, analytik di D dengan ) (

  





  

J z f

^{1 1} ) (

  H adalah kelas pada fungsi

  jika ianya memenuhi ketaksamaan berikut:

  ketaksamaan berikut:

  convex pada order  jika ianya memenuhi

   dikatakan

  A f

  Suatu fungsi

     S .

  untuk sebarang  1   . Kita notasikan kelas ini dengan

       , Re 

     

        U z z f z f z

  

     

   dikatakan starlike pada order

  A f

  Suatu

  U z z a z z f (1)

     ₂ . , _n ⁿ _n

   

    

  Misalkan A dinotasikan sebagai subkelas pada H yang memuat fungsi-fungsi dengan bentuk:

    : 1 :    z C z D .

  analitik di

        U z z f z f z

        ,

      ^z dt t f t t Z

       

        

     

    

  Selanjutnya, Jung dkk. [5] telah memperkenalkan operator intergal berikutr:

  univalen pada jika untuk semua dengan .

  Definisi 2. Suatu fungsi dikatakan

  anlitik pada jika terdiferensialkan pada setiap titik dibeberapa sekitaran (neighbourhood) pada .

       , Re Definisi 1. Suatu fungsi adalah

     

  U z z g z f z

   sedemikian hingga

  1 Re 

  A g

  jika terdapat fungsi starlike

  to-convex

   dikatakan close-

  A f

  Suatu fungsi

     C .

  . Kita notasikan kelas ini dengan

  

  1  

  untuk sebarang

   maka p dikatakan suatu solusi pada turunan superordinate.

  

  Suatu fungsi analitik q dikatakan solusi

      dengan menggunakan Q ( , ; , )

   subordinant pada turunan superordinate jika

   operator integral J f (z ).  q  p .

  Lemma 1. Misalkan  univalen convex di D

  Misalkan N adalah himpunan kelas pada semua fungsi  yang analitik dan dengan U 

  1 dan R   z  v        

  untuk  , v  C . Jika p adalah analitik di D univalen di D dengan U 

  1 dan   

  dengan p 

  1 , maka

  untuk . Menggunakan  

  R   z  U  

  prinsip subordinate antara fungsi analitik,

    z p   z

  diperkenalkan beberapa subkelas

  S   ;  p z    z , z  U

       p   z  v

  dan pada kelas A untuk  and

  C ;    

    yang didefinisikan sebagai berikut: N

  mengakibatkan   1 ' ( )   zf z  p z  z , z  U .

     

• z z U

  (  ;  ) :    ( ),

  S  f  A  

   

    1  f ( z ) 

     

  Lemma 2. Misalkan univalen convex di D 

  dan analitik di D dengan . Jika

   R    

      1 zf '' ( z ) C (  ;  )  f  A :     ( z ), z  U

      p analitik di D dengan p   , maka

•  1  f ( z )    

     

  p z  z z p  z  z          

  dan mengakibatkan

      

   f  A  ; g *  S ( ; )  :

• Q ( , ; , )  p z  z , z  U .

      1  zf ' ( z )         1   ( z ), z  U   

      1  g ( z )   

   

HASIL DAN PEMBAHASAN

  Selanjutnya dengan menggunakan Bahagian ini akan dibuktikan sifat-

    

  operator integral J f (z ), diperkenalkan sifat subkelas dari S (  ;  ), C (  ;  ).

    

  beberapa kelas pada fungsi analitik dibawah Menggunakan Lemma 1, akan didapatkan ini: hasil berikut:

           * S ( ; ) f A , J f ( z ) S ( ; )

       

  C f A J f z C (  ;  )   , ( )  (  * ;  )

      Teorema 1.

  dan Misalkan       . Maka

  ( , 1 , f A )

    Q (  ;  )  f  A , J f ( z )  Q (  ,  ;  ,  )

•   untuk   dan   N didapat

   

   ¹   sifat  S .

  S (  ;  ) (  ;  )  

  dengan catatan

  Bukti. Akan ditunjukan

    

  f ( z ) C (  ;  ) zf ' ( z ) S (  ;  ) * *    ¹ S (  ;  )  S (  ;  ) . Misalkan  

  (5)

  

     dan himpunan

  f S ( ; ) 

  Selanjutnya akan di selidiki sifat- 

   ¹

    

   

  1 z J f ( z ) sifat pada kelas   ,   dan

  

S ( ; ) C ( ; )   

 

   

   p ( z )   . (6) ₁

   

  1    J f ( z ) 

  

   

  2  

  dengan adalah       

  

p   z   c z  c z  ... f C *

  1 _{1 2  } ( ; ) J f ( z ) C   ; analitik di D dengan p 

  1 . Menggunakan  

    

  persamaan (4), diperoleh

   z J f   z  S   ;     

   J f   z

      

  1  p z 1         

             ¹

   J z f z  S  ;       

   J f   z

  

  (7)

  

      

  z f   z S   ; 

  selanjutnya dengan menggunakan aturan logaritma turunan pada kedua sisi persamaan

  (7) maka diperoleh  ¹ 

    

    ¹   z ( J f ( z ) )  S  ; 

• 

   

    

  1     p z J f   z J f   z

       

   

     ¹    

  

  1     p z      J f   z J f ( z )

     ¹    J f ( z )  C (  ;  )

   

  (8)

   ¹ 

  

   f C (  ;  ) 

  kalikan z pada kedua sisi persamaan (8),

     ¹

  maka diperoleh terbukti bahwa    C  

  C ( ; ) ( ; )   .

  Selanjutnya dengan menggunakan

  Lemma 2 kita peroleh sifat pada kelas  ¹

     

    C (  ;  )  C (  ;  )

    1 z J f z z p  z

             

   p   z 

  1    J f z  p z 1                

   

  (9) Teorema 3. Berdasarkan Lemma 1 pada persamaan (9),

  Misalkan (   ,    1 , f  A ) . Maka sehingga p   , mengakibatkan

   ¹ 

    untuk  ,  dan  ,  N diperoleh  S

  f (  ;  ) artinya terbukti bahwa 

     ¹   ¹  sifat      Q     .

  Q ( , ; , ) ( , ; , )  

  S (  ;  )  S (  ;  )  

  Bukti. Akan ditunjukan  ¹

    Q (  ,  ;  ,  )  Q (  ,  ;  ,  ) .   Theorem 2.

  

  Misalkan  . Maka

  f Q (  ,  ;  ,  ) 

  Misalkan       . Maka ( , 1 , f A )

  

  terdapat    sedemikian hingga

  g S ( ; ) 

  untuk   dan   , diperoleh sifat

  N  ¹

   

   C C (  ;  ) (  ;  ) .

   

  

  

    1 z J f ( z )

    

    

       z , z  D

   Bukti. Menggunakan persaman (5) dan

  1    J g ( z ) 

  

  teorema.1, kita selidiki sifat pada teorema 2   .

  Himpunan 

   ¹

     1 z J f ( z )

    

   

   p ( z )   , (10)

    ¹

  1    

  J g ( z ) 

    dengan   ...

  1 ² _{2 1}     z c z c z p adalah analitik di D dengan

    1  p .

  Menggunakan persamaan (4) , diperoleh

  

1

  1

  1

  J z g J z f z

    z q z p z z p

     

     

        

        

  



 

                 

     

1 J z g

    J z g J z g

  J z f z f J z p  

  

       

  ) , ; , ( ¹

  , berdasarkan Lemma 2 diperoleh   p sehingga

        ( 1 )          z q R

  disebabkan   q dan

        ) ( ) ( ) (

  1 ) (

  1

  1

          

  f

       

  . (11) selanjutnya dengan menggunakan aturan logaritma turunan pada kedua sisi persamaan

  (11), diperoleh        

       

         

  (15) dari persamaan(13) and (14), diperoleh

  1 ₁ z q J z g J z g

  1 ) ( ) (

         

     

              

  Q

  , terbukti bahwa ) , ; , ( ) , ; , ( ¹

    1  q .

  adalah ) ; ( ) ; ( ¹

  Pembahasan kali ini merupakan pengembangan daripada kelas-kelas yang telah diperkenalkan oleh peneliti sebelumnya. Operator integral yang digunakan juga operator integral yang diperkenalkan oleh peneliti sebelumnya. Penelitian selanjutnya dapat dilakukan dengan menggunakan kelas yang lain tetapi operator integral yana sama, atau dengan kelas yang sama tetapi dengan operator integral yang lain.

  Saran

   Q Q .

    

           

  berlaku adalah ) , ; , ( ) , ; , ( ¹

  3. Pada close-to-convex sifat yang

  C .

   C

    

       

  2. Pada convex sifat yang berlaku

           

   S S

    

       

  adalah ) ; ( ) ; ( ¹

  1. Pada starlike sifat yang berlaku

  dan dengan menggunakan operator integral, maka dapat disimpulkan bahwasannya:

  A dengan subkelas-subkelas yang diberikan

  Fungsi analitik dan univalen pada persamaan (1) yang merupakan suatu kelas

  Q KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan

   Q

    

  Menggunakan persamaan (4), diperoleh

  1 ² _{2 1}     z c z c z q adalah analitik di D dengan

  J z f z J z f z f J z p z p ₁ ¹ ₁ ¹

   

   

    

    

    

     

        

     

     

             

   (12) kalikan z pada kedua sisi persamaan (12), maka diperoleh

       

     

  1

     

     

    

    

   

   

     

  1

  1

  1

  ) (

   J z f z J z f z z p z p z ₁

  1

  dengan   ...

  Misalkan

  J z g z z q , (14)

  1 ) ( ₁ ¹ J z g

  1

  ) ( ) (

     

     

     

   

     

     

   

  g

  1

   S

  

     

   dan berdasarkan teorema 1, ). ; ( ¹

  S g

     

  . (13) disebabkan , ) ; (

     

     

    J z g J z g z ₁ ¹

     

   

  P.L. Duren, Coefficients of univalent

  DAFTAR PUSTAKA functions, Bull. Amer. Math. Soc.

  C. Pommerenke, Univalent functions: with a

  83(5) (1977), 891-910

  chapter on quadratic differentials P.L. Duren, Univalent fuctions, Springer- by gerd jensen, Vandenhoeck &

  Verlag, New York Berlin Ruprecht In Gottingen, 1973. Heidelberg Tokyo, 1983.

  C. Selvaraj, and K.R. Karthikeyan, Some R.J. Libera, Some classes of regular univalent classes of analytic functions functions, Proc.Amer. Math. Soc. involving generalized integral 16(1965), 755-758. operator, Int. Math. Forum. 2(63) (2007), 3143-3153.

  S.D. Bernardi, Convex and starlike univalent functions, Trans. Amer. Math. Soc. H.M. Srivastava and S. Owa, Univalent 135 (1969), 429-446. functions, Fractional calculus, and their Applications, Halsted

  S. Miller, and P. Mocanu, Differential Press/John Wiley and Sons, subordination and univalent Chichester. New York, 1989. functions, Michigan. Math. J. 28 (1981), 157-177.

  H.M. Srivastava and S. Owa, Current topics in analytic function theory, World S. Owa, and H.M. Srivastava, Some

  Scientific. Singapore-New Jersey- applications of the generalized London-Hongkong, 1992.

  Libera integral operator, Proc.

  I.B. Jung, Y.C. Kim and H.M. Srivastava, Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 62 The Hardy space of analytic (1986), 125-128. functions associated with certain

  S. Owa, Properties of certain integral one-parameter families of integral operators, J. Math. Anal. Appl. operators. Georgian. Math. J. 2(5) (1995), 535-545.

  176(1) (1993), 138 –147.

  J.L. Li, Some properties of two integral operators, Soochow J. Math. 25(1)

  (1999), 91 –96.

  J.L. Li, Certain integral operator and strongly starlike functions, IJMMS. 30(9)

  (2002), 569-574.

  M. Darus and R. Ibrahim, On Inclusion Properties of Generalized Integral Operator involving Noor Integral, Far East J. Math. Sci. 33(3) (2009), 309-321.

  P. Eenigenburg, S. Miller, P. Mocanu and M.

  Reade, On a Briot

• – Bouqet differential subordination, General Inequalities, 3 (Oberwolfach 1981), 339-348, Internat. Schriftenreihe Numer. Math. 64, Birkhauser, Basel, 1983.