Solusi OSK Matematika SMA Tahun 2018

  

Solusi OSK Matematika SMA Tahun 2018

Oleh : Tutur Widodo

  1. Misalkan a, b, dan c adalah tiga bilangan berbeda. Jika ketiga bilangan tersebut merupakan bilangan asli satu digit maka jumlah terbesar akar-akar persamaan (x

  − a)(x − b) + (x − b)(x − c) = 0 yang mungkin adalah ...

  Jawaban :

  Persamaan (x − a)(x − b) + (x − b)(x − c) = 0 setara dengan (x − b)(2x − a − c) = 0. Jadi, akar-akar

  a+c

  dari persamaan kuadrat tersebut adalah x = b atau x = . Oleh karena itu

  1

  2

  2 a + c 8 + 7 x + x = b + = 16.5

  1 2 ≤ 9 +

  2

  2

  2. Setiap sel dari suatu tabel berukuran 2 × 2 dapat diisi dengan bilangan 1, 2, atau 3. Misalkan N adalah banyaknya tabel yang memenuhi kedua sifat berikut sekaligus:

• untuk setiap baris, hasil penjumlahannya genap
• untuk setiap kolom, hasil penjumlahannya genap Nilai N adalah ...

  Jawaban :

  Perhatikan bahwa dua bilangan memiliki jumlahan genap jika dan hanya jika keduanya memiliki paritas sama. Akibatnya, keempat bilangan yang diisikan pada tabel 2 × 2 tersebut harus genap semua atau harus ganjil semua.

  4 (i) Jika tabel tersebut diisi oleh bilangan 1 atau 3 maka banyaknya cara adalah 2 = 16.

  (ii) Jika tabel tersebut diisi oleh bilangan 2 maka banyaknya cara adalah 1. Jadi, diperoleh nilai N = 16 + 1 = 17.

  3. Diberikan persegi berukuran 3 × 3 satuan seperti pada gambar. Luas segilima yang diarsir adalah ...

  Jawaban :

  C A B Z

  2

  1

  2

−4

−3

−2

−1

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8 A B D C

  Jelas bahwa y

  1

  = a x

  − 4 memotong sumbu-Y di titik C(0, −4) dan y

  Perhatikan gambar di bawah ini

  2

  = 8 − bx

  2

  memotong sumbu-Y di titik A(0, 8). Akibatnya agar kedua kurva tersebut memotong sumbu koordinat pada tepat empat titik maka kurva y

  1

  dan y

  2

  berpotongan tepat di sumbu-X , katakanlah di titik B dan D. Mengingat diketahui luas ABC D adalah 24 dan panjang AB = 12 maka panjang BD = 4. Jadi diperoleh B(2, 0) dan D( −2, 0). Dengan mensubstitusikan titik B(2, 0) ke kurva y

  

1

  dan y

  2 berturut-turut diperoleh a = 1 dan b = 2.

  Jadi, a + b = 3.

  5. Untuk setiap bilangan asli n didefinisikan s(n) sebagai hasil penjumlahan dari semua digit-digit dari n.

  −3 −2 −1

  Jawaban :

  X Y

  6 ‹

  Jelas bahwa Y Z =

  1

  2

  =

  BC

  6

  . Karena △X Y Z sebangun dengan △ABC, akibatnya

  [X Y Z] = 

  1

  6 ‹

  2

  · [ABC] = 

  1

  2

  memotong sumbu koordinat pada tepat empat titik. Keempat titik tersebut merupakan titik-titik sudut layang-layang dengan luas 24. Nilai a + b adalah ...

  ·

  1

  2 · 2 · 3 =

  1

  12 Jadi, luas segilima yang diarsir adalah 1 −

  1

  12

  =

  

11

  

12

.

  4. Parabola y = a x

  2

  − 4 dan y = 8 − bx

  2

  Banyaknya bilangan asli d sehingga d habis membagi n − s(n) untuk setiap bilangan asli n adalah ...

  Jawaban :

  Untuk n = 10 diperoleh n −s(n) = 9, akibatnya d membagi 9. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa untuk

  n n −1

• = a + a setiap bilangan asli n, n a a a

  − s(n) habis dibagi 9. Misalkan n = a n n · · · a

  2 1 n · 10 n · 10 −1 −1

  2

  2 · 10 1 · 10 + a

• a , akibatnya diperoleh · · · + a

  2 n n

  −1

• n · 10 n · 10 · · · + a

  2 · 10 1 · 10 + a − (a n n · · · + a

  2

• n + a + a + a + a + a ) mod 9 − s(n) ≡ a

  1 −1 −1

• n n · · · + a
• a + a + a + a + + a + a ) mod 9 ≡ a

  2 1 − (a n n · · · + a

  2

  1 −1 −1

  ≡ 0 mod 9 Jadi, terbukti n

  − s(n) habis dibagi 9 untuk setiap bilangan asli n. Oleh karena itu, semua kemungkinan nilai d adalah d = 1, 3 atau 9.

6. Diketahui x dan y bilangan prima dengan x < y, dan

  3

  3

  2

• y + 2018 = 30 y

  x − 300 y + 3018.

  Nilai x yang memenuhi adalah ...

  Jawaban :

  Persamaan pada soal setara dengan € Š

  3

  3

  2

  2

• ( y = (x + y 0 = x x

  − 10) − 10) − x( y − 10) + ( y − 10) Karena

  € Š

  1

  2

  2

  2

  2

  2 x = (x + x + ( y

  − x( y − 10) + ( y − 10) − y + 10) − 10)

  &gt; 0

  2 maka diperoleh x + y − 10 = 0. Karena x dan y prima dan x &lt; y maka satu-satunya pasangan (x, y) yang memenuhi adalah (3, 7).

  7. Diberikan dua bilangan asli dua angka yang selisihnya 10. Diketahui bahwa bilangan yang kecil me- rupakan kelipatan 3, sedangkan yang lainnya merupakan kelipatan 7. Diketahui pula bahwa jumlah semua faktor prima kedua bilangan tersebut adalah 17. Jumlah dua bilangan tersebut adalah ...

  Jawaban :

  Misalkan dua bilangan tersebut adalah a dan b = a + 10. Diketahui a ≡ 0 mod 3 dan b = a + 10 ≡ 0 mod 7

  ⇒ a ≡ 4 mod 7. Akibatnya a ≡ 18 mod 21. Oleh karena itu, terdapat empat nilai a yang memenuhi yaitu a = 18, 39, 60, 81.

• Jika a = 18 maka b = 28. Jumlah semua faktor prima a dan b adalah 12.
• Jika a = 39 maka b = 49. Jumlah semua faktor prima a dan b adalah 23.
• Jika a = 60 maka b = 70. Jumlah semua faktor prima a dan b adalah 17.
• Jika a = 81 maka b = 91. Jumlah semua faktor prima a dan b adalah 23. Jadi, dua bilangan yang memenuhi adalah a = 60 dan b = 70 sehingga a + b = 130.

  8. Diberikan satu koin yang tidak seimbang. Bila koin tersebut ditos satu kali, peluang muncul angka adalah

  1 . Jika ditos n kali, peluang muncul tepat dua angka sama dengan peluang muncul tepat tiga angka.

  4 Nilai n adalah ...

  Jawaban :

  1

  3 Diketahui peluang muncul angka adalah dan peluang muncul gambar adalah . Jika dadu ditos n kali

  4

  4

  maka

  2 n

   ‹  ‹  ‹

  −2 n

  1

  3

• peluang muncul tepat dua angka yaitu · ·

  2

  4

  4

  3 n

   ‹  ‹  ‹

  −3 n

  1

  3

• peluang muncul tepat tiga angka yaitu · ·

  3

  4

  4  ‹  ‹

  2  ‹ n  ‹  ‹ 3  ‹ n

−2 −3

n

  1 3 n

  1

  3 Diketahui bahwa = , akibatnya · · · ·

  2

  4

  4

  3

  4

  4

  n n −2 −3 n(n

  3 n(n

  3 − 1) − 1)(n − 2)

  = · ·

  n n

  2

  4

  6

  4

  

n

  − 2 3 =

  3

  n = 11 Jadi, nilai n yang memenuhi adalah n = 11.

  9. Panjang sisi-sisi dari segitiga merupakan bilangan asli yang berurutan. Diketahui bahwa garis berat dari segitiga tegak lurus dengan salah satu garis baginya. Keliling segitiga itu adalah ...

  Jawaban :

  Misalkan segitiga tersebut adalah segitiga ABC dimana garis bagi BE tegak lurus dengan garis berat C D, seperti tampak pada gambar di bawah ini

  C E A D B

  Karena ∠C BE = ∠DBE dan BE ⊥C D, akibatnya CBD adalah segitiga samakaki dengan BC = BD. Jadi, AB = 2BC.

  Misalkan pula panjang sisi-sisi segitiga tersebut adalah a, a + 1 dan a + 2 untuk suatu bilangan asli a. Terdapat tiga kasus yang mungkin, yaitu

  (i) BC = a dan AB = a + 1. Akibatnya a + 1 = 2a ⇒ a = 1. Jadi, diperoleh AB = 2, BC = 1 dan CA = 3.

  Namun segitiga yang demikian tidak ada. (ii) BC = a dan AB = a + 2. Akibatnya a + 2 = 2a

  ⇒ a = 2. Jadi, diperoleh AB = 4, BC = 2 dan CA = 3. (iii) BC = a + 1 dan AB = a + 2. Akibatnya a + 2 = 2(a + 1) ⇒ a = 0, absurd. Jadi, keliling segitiga yang memenuhi syarat pada soal adalah 2 + 3 + 4 = 9.

  2

  

2

  2

  10. Diberikan suku banyak p(x) dengan p(x) + p(x ) = 2x untuk setiap bilangan real x. Jika p(1) 6= 1 maka jumlah semua nilai p(10) yang mungkin adalah ...

  Jawaban : Klaim. De g(p) ≤ 2. n Bukti.

  Andaikan d e g(p) = n ≥ 3. Misalkan p(x) = ax + q(x) dengan d e g(q) = k &lt; n dan a 6= 0. Akibatnya diperoleh

  2 2n n 2 2n

  2

  2

• 2a x + a x + q(x ) = 2x

  a x q(x) + q(x) 2 2n n

  2

  2

  2

• a)x + 2a x q(x) + q(x) + q(x ) = 2x (1) ⇔ (a

  2

• a = 0 Mengingat 2n &gt; n + k ≥ 3 maka haruslah a ⇒ a = −1. Persamaan setara dengan

  n

  2

  2

  2

• q(x ) = 2x

  q(x) + q(x)

  −2x

  n

  2

  2 Perhatikan d e g( + q(x )). Oleh karena itu, jika q(x) q(x)) = n + k &gt; 2k

  −2x ≥ deg(q(x) 6= 0 maka derajat ruas kiri adalah n+k &gt; 2 yang jelas tidak mungkin. Akibatnya, q(x) = 0. Namun hal ini berakibat

  2

  2x = 0 untuk setiap bilangan real x, suatu hal yang absurd. Jadi, terbukti d e g(p) ≤ 2. (Bukti untuk

  „

  klaim ini berdasarkan ide dari Bapak Miftahus Saidin)

2 Untuk x = 0 diperoleh persamaan p(0) + p(0) = 0. Oleh karena itu, p(0) = 0 atau p(0) =

  −1. Untuk

  2 x = 1 diperoleh persamaan p(1) + p(1) = 2. Oleh karena itu, p(1) = 1 atau p(1) =

  −2. Namun karena diketahui p(1) 6= 1, diperoleh p(1) = −2. Sedangkan untuk x = −1 diperoleh persamaan

  2

  2 p( + p(1) = 2. Jadi, p( = 4, maka p(

  −1) −1) −1) = 2 atau p(−1) = −2 (i) Jika p(0) = 0 dan p(1) = −2 diperoleh P(x) = Ax(x − 1) − 2x untuk suatu konstanta A.

  A = 0, diperoleh P(x) =

• Jika P(−1) = 2 maka diperoleh 2A + 2 = 2 ⇔ −2x. Setelah dicek ke persamaan yang ada pada soal, memang polinom p(x) = −2x memenuhi.

  2

  . Setelah

  A =

• Jika P(−1) = −2 maka diperoleh 2A + 2 = −2 ⇔ −2, diperoleh P(x) = −2x

  2 dicek ke persamaan yang ada pada soal, polinom p(x) = tidak memenuhi.

  −2x (ii) Jika p(0) = −1 dan p(1) = −2 diperoleh P(x) = Ax(x − 1) − x − 1 untuk suatu konstanta A.

  2 A = 1, diperoleh P(x) = x

• Jika P(−1) = 2 maka diperoleh 2A = 2 ⇔ −2x −1. Setelah dicek

  2

  ke persamaan yang ada pada soal, polinom P(x) = x − 2x − 1 tidak memenuhi.

  2 A =

• Jika P(−1) = −2 maka diperoleh 2A = −2 ⇔ −1, diperoleh P(x) = −x − 1. Setelah

  2

  dicek ke persamaan yang ada pada soal, memang polinom P(x) = −x − 1 memenuhi.

  2 Jadi, terdapat dua polinom p(x) yang memenuhi yaitu p(x) =

  −2x dan p(x) = −x − 1. Jadi, jumlah semua nilai p(10) yang mungkin adalah p(10) = −20 + (−101) = −121.

  11. Misalkan = x = = 0, x = 2, dan

  {x n } adalah barisan bilangan bulat yang memenuhi x

  1 2 · · · = x

  12

  13

  untuk setiap bilangan asli n berlaku

  x = x + 2x n+13 n+4 n Nilai x adalah ...

  143

  Jawaban :

  Perhatikan bahwa relasi rekursif pada soal dapat ditulis ulang sebagai berikut

  

x = x + 2x

n n n

  −9 −13

  Oleh karena itu, untuk mencari nilai suku ke-n kita dapat mereduksi nilai n sebanyak −9 atau −13. Jika proses ini dilakukan terus menerus maka kita dapat menyatakan x dalam x , x , .

  n

  1 2 · · · , atau x

  13 Sebagai contoh akan dicari nilai x . Untuk memudahkan proses reduksi, kita pergunakan segitiga pascal

  57

  sebagai berikut

  57

  48

  44

  39

  35

  31

  30

  22

  18

  26

  21

  17

  13

  9

  5

  12

  8

  4 Dari diagram di atas diperoleh

  

x = a x + b x + c x + d x + e x + f x

  57

  12

  8

  4

  13

  9

  5 Namun karena x = x = = 0 dan hanya x yang memiliki nilai, akibatnya x = d x .

  1 2 · · · = x

  12

  13

  57

  13 Perhatikan bahwa ketika bergerak ke kiri bawah maka bobotnya 1 sementara ketika bergerak ke kanan

  2

  2

  4

  bawah bobotnya 2. Akibatnya, nilai d setara dengan koeffisien x y dari penjabaran (x + 2 y) (Anda

  dapat memandang hal ini sebagaimana ketika mengisi nilai-nilai pada segitiga Pascal, hanya kali ini bobot

  4

  2 antara arah ke kiri dan ke kanan berbeda). Oleh karena itu, diperoleh nilai d = = 24. Jadi,

  · 2

  2 x = 24x = 48.

  57

13 Jika diperhatikan, setiap diagonal (arah ke kanan bawah) akan berakhir dengan 13 jika dan hanya jika

  diagonal tersebut dimulai dengan bilangan kelipatan 13. Oleh karena itu, untuk diagonal yang tidak dimulai dengan bilangan kelipatan 13 dapat kita abaikan.

  143 134 130 125 121 117 116 112 108 104

  

107 103

  99

  95

  91

  98

  

94

  90

  86

  82

  78

  89

  65

  80

  52

  71

  39

  62

  26

  53

  13

  44

  35

  26

  17

  13

  8

4 Berdasarkan diagram di atas, bilangan 143 dapat direduksi menjadi 13 melalui dua jalan, yaitu 13

  dengan lingkaran merah dan 13 dengan lingkaran biru. Misalkan x = a x + b x dengan a setara

  143

  13

  13

  13

  

14

  10

  dengan koeffisien x dan b setara dengan koeffisien y dari penjabaran

  y dari penjabaran (x + 2 y)

  14

  10

  10

  

10

(x + 2 y) . Jadi, a = = 1024. 1 · 2 = 28 dan b = 10 · 2 = 28x + 1024x = 1052x = 2104.

  Oleh karena itu, x

  143

  13

  13

  13

  12. Untuk setiap bilangan real z, ⌊z⌋ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan z. Jika diketahui

  ⌊x⌋ + ⌊ y⌋ + y = 43.8 dan x + y − ⌊x⌋ = 18.4. Nilai 10(x + y) adalah ...

  Jawaban :

  Misalkan {x} = x − ⌊x⌋. Dari persamaan ⌊x⌋ + ⌊ y⌋ + y = 43.8 diperoleh ⌊x⌋ + 2 ⌊ y⌋ + { y} = 43.8. Akibatnya,

  { y} = 0.8. Jadi, (2)

  ⌊x⌋ + 2 ⌊ y⌋ = 43 Sedangkan persamaan x + y

  − ⌊x⌋ = 18.4 setara dengan {x} + ⌊ y⌋ + { y} = 18.4 ⇔ {x} + ⌊ y⌋ = 17.6

  Oleh karena itu, ⌊ y⌋ = 17 dan {x} = 0.6. Jika nilai ⌊ y⌋ = 17 disubstitusikan ke persamaan diperoleh ⌊x⌋ = 9. Jadi, x = ⌊x⌋ + {x} = 9.6 dan y = ⌊ y⌋ + { y} = 17.8. Oleh karena itu, 10(x + y) = 274.

  13. Misalkan ABC D adalah trapesium siku-siku dengan AB sejajar DC dan AB tegak lurus AD. Misalkan juga

  P adalah titik potong diagonal AC dan BD. Jika perbandingan luas segitiga AP D dan luas trapesium AB ABC D adalah 4 : 25 maka nilai adalah ... DC

  Jawaban :

  2

2 Misalkan [ABP] = X dan [C DP] = Y .

  A B _{X 2} P

_Y

₂

D C

  Karena △ABP sebangun dengan △C DP, diperoleh v

  

AB BP AP t [ABP]

  X

  = = = =

  C D DP C P [C DP] Y

  Selanjutnya diperoleh

  DP Y

  2

  [AP D] = = X Y dan · [ABP] = · X

  BP

  X BP

  X

  2

  [BC P] = = X Y · [C DP] = · Y

  DP Y

  2

  2 Jadi, [ABC D] = [ABP] + [BC P] + [C DP] + [AP D] = X + 2X Y + Y .

  X Misalkan = t. Dari keterangan perbandingan luas segitiga AP D dan luas trapesium ABC D adalah Y

  4 : 25 diperoleh

  2

  2

  25 [ABC D] + 2X Y + Y

  1 X

  X Y

  = = = + 2 + = t + 2 + [AP D]

  4 X Y Y

  X t

  2

  sehingga diperoleh persamaan kuadrat 4t −17t +4 = 0 yang dapat difaktorkan menjadi (4t −1)(t −4) =

  1 0. Jadi, terdapat dua nilai t yang memenuhi yaitu atau 4.

  4 AB

  1 Oleh karena itu, nilai adalah atau 4.

  DC

  4 Komentar : Kondisi bahwa AB tegak lurus DC sebenarnya tidak perlu. Justru syarat yang perlu ditam- bahkan agar soal ini memiliki solusi tunggal adalah memberi syarat AB &gt; DC atau AB &lt; DC.

  14. Himpunan S merupakan himpunan bilangan-bilangan 7 digit sehingga masing-masing angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, atau 7 tepat muncul satu kali. Bilangan-bilangan di S diurutkan mulai dari yang paling kecil sampai yang paling besar. Bilangan yang berada pada urutan ke-2018 adalah ...

  Jawaban : Misalkan bilangan anggota S berbentuk a bcd e f g.

  (a) Banyaknya anggota S dengan a = 1 yaitu 6! = 720. (b) Banyaknya anggota S dengan a = 2 yaitu 6! = 720.

  (c) Banyaknya anggota S dengan a = 3 dan • b = 1 yaitu 5! = 120.

• b = 2 yaitu 5! = 120.
• b = 4 yaitu 5! = 120.
• b = 5 yaitu 5! = 120.
• b = 6 dan – c = 1 yaitu 4! = 24.

• – c = 2 yaitu 4! = 24.
• – c = 4 yaitu 4! = 24.
• – c = 5 yaitu 4! = 24.

  Banyaknya bilangan anggota S yang telah disebutkan di atas adalah 2016. Oleh karena itu, bilangan urutan ke-2017 adalah 3671245 dan bilangan urutan ke-2018 adalah 3671254.

  15. Misalkan S = {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 1}. Banyaknya pasangan bilangan asli (a, b) sehingga tepat ada 2018

  x y + anggota S yang dapat dinyatakan dalam bentuk untuk suatu bilangan bulat x dan y adalah ... a b

  Jawaban : Lema. Jika a dan b adalah bilangan-bilangan asli yang saling relatif prima, maka terdapat bilangan bulat x dan y sehingga a x + b y = 1.

  Bukti.

  Akibat langsung dari identitas Bezout. Bagi yang belum pernah membaca mengenai identitas „ Bezout, silakan Googling saja. Banyak tersedia di internet. Selamat membaca.

  Misalkan F P B(a, b) = d. Akibatnya a = d m dan b = d n untuk suatu bilangan asli m dan n yang saling relatif prima. Selanjutnya diperoleh

  x y x y nx + m y

  = + = +

  

a b d m d n d mn

  Berdasarkan lema, terdapat bilangan bulat x dan y sehingga berlaku nx + m y = 1. Oleh karena itu,

  1

  1

  1

  1

  untuk sebarang bilangan bulat t dengan 0 dan y = t y sehingga ≤ t ≤ dmn kita dapat memilih x = t x

  1

  1

  berlaku

• m y )

  

x y nx + m y t(nx t

  1

  1

  = = + =

  a b d mn d mn d mn t

  Jadi, dapat disimpulkan bahwa semua anggota S yang berbentuk dengan 0 ≤ t ≤ dmn dapat

  d mn y x

• dinyatakan dalam bentuk .

  a b

  Perhatikan bahwa nilai d mn = K P K(a, b). Oleh karena itu kita memperoleh hasil sebagai berikut, untuk

  x y

• setiap pasangan bilangan asli (a, b) banyaknya anggota S yang dapat dinyatakan dalam bentuk

  a b adalah K P K(a, b) + 1.

  Mengingat yang diminta adalah pasangan (a, b) sehingga tepat ada 2018 anggota S yang dapat dinya-

  y x

• takan dalam bentuk maka kita perlu mencari pasangan (a, b) sehingga K P K(a, b) = 2017. Tentu

  a b

  mudah diperoleh bahwa hanya terdapat tiga pasangan (a, b) yang memenuhi yaitu (1, 2017), (2017, 1) dan (2017, 2017).

16. Diberikan segitiga ABC dan lingkaran Γ yang berdiameter AB . Lingkaran Γ memotong sisi AC dan BC

  1

  1

  berturut-turut di titik D dan E. Jika AD = , BE = dan AB = 30, maka luas segitiga ABC adalah

AC BC

  3

  4 ...

  Jawaban :

  Misalkan, AD = x dan BE = y, maka AC = 3x, C D = 2x, BC = 4 y dan C E = 3 y. Berdasarkan power of

  the points (POP) diperoleh C D 2x

  · CA = C E · CB ⇔ · 3x = 3 y · 4 y

  2

  2 x = 2 y

  ⇔

A

D B C E

  Berdasarkan dalil phytagoras pada segitiga ADB dan segitiga C DB diperoleh

  2

  2

  2

  

2

  2

  2

  2

  = BC = 16 y

  AB 900

  − AD − C D ⇔ − x − 4x

  2

  2

  2

  900 = 8x

  ⇔ − x − 4x

  2

  = 180

  x ⇔

  p p p

  2

  2

2 Akibatnya, BD = AB = 900 = 720. Jadi, diperoleh

  − AD − x

  1 1 p p [ABC] = 180 720 = 540

  × AC × BD = × 3 ×

  2

  2 Komentar : Soal ini adalah salah satu soal OSK yang paling sering muncul. Tercatat sudah empat kali

  soal ini muncul di OSK yaitu tahun 2011, 2012, 2013 dan 2018. Hmmmmm, menarik juga. Ada apa ya dengan soal ini? 1 x

  17. Diberikan bilangan real x dan y yang memenuhi

  2 &lt; &lt; 2. Nilai minimum y x 2 y

• 2 y 2x

  − x − y adalah ...

  Jawaban : 1 x

  Karena

  &lt; &lt; 2, jelas bahwa 2x − y dan 2 y − x keduanya bernilai positif. Selanjutnya, kita memiliki 2 y

   ‹

  1 2 2x

  x

  − y

• = 2 y

  3 3 2 y − x − x

   ‹ 2 y 2 y

  2

  4 − x

• = 2x

  3 3 2x − y − y

  Akibatnya diperoleh,  ‹  ‹

  x 2 y

  2 2x 4 2 y − y − x

• = 1 + + 2 y 2x

  3 2 y 3 2x − x − y − x − y dengan pertidaksamaan AM-GM didapatkan  ‹  ‹

  x 2 y

  2 2x 4 2 y − y − x

• = 1 + + 2 y 2x

  3 2 y 3 2x − x − y − x − y v

   ‹  ‹ t2 2x 4 2 y

  − y − x ≥ 1 + 2 · 3 2 y

  3 2x − x − y p

  4

  2 = 1 +

  3 € Š € Š

  

2x 2 y p

  2 4 x

  3 − y −x

  Kesamaan terjadi ketika = yaitu saat = 2.

  −1 +

  3 2 y 3 2x y

  2 −x − y p x 2 y

  

4

  2 + Jadi, nilai minimum dari adalah 1 + . (Ide penyelesaian oleh Ferdinand Halim S.). 2 y 2x

  3 −x − y Komentar : selain dengan menggunakan cara di atas (yang menurut saya sangat tricky), soal ini juga dapat diselesaikan secara standar/rutin dengan memanfaatkan turunan fungsi untuk membantu mencari nilai minimumnya.

  18. Diberikan sembilan titik pada bidang yang membentuk segitiga sama sisi seperti pada gambar. Pada tiap sisi, dua titik yang bukan titik sudut segitiga membagi sisi menjadi tiga bagian sama panjang. Kesembilan titik ini akan diwarnai masing-masing dengan warna merah atau biru. Peluang bahwa dari kesembilan titik tersebut, terdapat tiga titik yang warnanya sama dan membentuk segitiga siku-siku adalah ...

  Jawaban : Klaim. Untuk sebarang pewarnaan yang diberikan, akan selalu terdapat segitiga siku-siku yang ketiga titik sudutnya berwarna sama.

  Bukti.

  Perhatikan segienam ABC DE F di bawah ini

  Z E D F C

  X A B Y Andaikan setidaknya salah satu dari diagonal AD, BE atau C F berwarna sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan A dan D berwarna merah. Jika salah satu dari B, C, E, atau F berwarna merah maka bukti selesai, sebab pasti terdapat segitiga siku-siku yang ketiga titiknya berwarna merah. Sebaliknya, jika semua titik B, C, E, dan F berwarna biru, maka terbukti pula terdapat segitiga siku-siku yang ketiga titiknya berwarna biru. Oleh karena itu untuk selanjutnya, andaikan setiap dua titik pada diagonal ABC DE F berwarna berbeda.

  Tanpa mengurangi keumuman, misalkan A berwarna merah dan D berwarna biru. Secara umum terdapat dua kasus yang memenuhi. Kasus yang lain dapat diperoleh dengan rotasi atau refleksi sehingga akan membentuk salah satu dari dua kasus di bawah ini

  Z Z E D E D F C F C

  X A B Y

  X A B Y

  Gambar 1: Kasus 1 Gambar 2: Kasus 2 Pada kasus 1, apapun warna titik Z, salah satu dari segitiga siku-siku F DZ atau C E Z pasti ketiga titiknya berwarna sama.

  Pada kasus 2, apapun warna titik Z, salah satu dari segitiga siku-siku F DZ atau AC Z pasti ketiga titiknya berwarna sama. Jadi, terbukti bagaimanapun cara pewarnaannya, akan selalu terdapat setidaknya satu segitiga siku-siku

  „ yang ketiga titik sudutnya berwarna sama. Berdasarkan klaim di atas, peluang bahwa dari kesembilan titik tersebut, terdapat tiga titik yang warna- nya sama dan membentuk segitiga siku-siku adalah 1.

  4

  4

• b +13 untuk suatu bilangan-bilangan

  19. Bilangan prima terbesar yang dapat dinyatakan dalam bentuk a prima a dan b adalah ...

  Jawaban :

  4 Klaim 1. Jika n bilangan asli bukan kelipatan 3 maka n ≡ 1 mod 3.

  4 Klaim 2. Jika n bilangan asli bukan kelipatan 5 maka n ≡ 1 mod 5.

  Kedua klaim di atas silakan pembaca buktikan sebagai latihan rutin materi modular aritmetik. Perhatikan bahwa jika a dan b keduanya bukan bilangan kelipatan 3, berdasarkan klaim 1 diperoleh

  4

  4

  4

  4

• b + 13
• b + 13 adalah bilangan

  a

  ≡ 0 mod 3, yang jelas kontradiksi dengan fakta bahwa a prima. Oleh karena itu, haruslah setidaknya salah satu dari a atau b sama dengan 3. Tanpa mengurangi

  4

  4

  2 + b + 13 = b + 94.

  keumuman, misalkan a = 3, diperoleh a

  2 Perhatikan kembali, jika b bukan kelipatan 5, maka berdasarkan klaim 2 diperoleh b + 94

  ≡ 0 mod 5, kontradiksi. Jadi, haruslah b = 5.

  4

  4

  4

4 Mudah dicek bahwa a + b + 13 = 3 + 5 + 13 = 719 adalah bilangan prima. Jadi, bilangan prima

  4

  4

• b + 13 untuk suatu bilangan-bilangan prima a dan terbesar yang dapat dinyatakan dalam bentuk a b adalah 719.

  20. Pada segitiga ABC, panjang sisi BC adalah 1 satuan. Ada tepat satu titik D pada sisi BC yang memenuhi

  2

  = |DA| |DB| · |DC|. Jika k menyatakan keliling ABC, jumlah semua nilai k yang mungkin adalah ...

  Jawaban : Klaim.

  AD adalah garis bagi ∠BAC.

  Bukti.

  Andaikan AD bukan garis bagi ∠BAC. Akibatnya, terdapat titik lain, katakanlah titik E, pada

  ′

  ruas garis BC sedemikian sehingga AE adalah garis bagi ∠BAC. Misalkan pula D adalah titik pada BC

  ′

  sehingga garis AD adalah hasil pencerminan garis AD terhadap garis AE. Selanjutnya, berturut-turut

  ′

  misalkan AD, AE dan AD memotong kembali lingkaran luar △ABC di titik Y , X dan Z. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini

  A

′

  D E

D

B C Y Z

  X

2 Dari keterangan pada soal diperoleh AD = BD

  · DC. Akan tetapi, berdasarkan power of point diperoleh pula AD · DY = BD · DC. Oleh karena itu, diperoleh AD = DY .

  ′ ′

  Perhatikan bahwa ∠DAE = ∠EAD . Namun karena, ∠BAE = ∠EAC akibatnya ∠BAD = ∠D AC. Oleh karena itu diperoleh panjang busur Ó BY sama dengan panjang busur Ó C Z. Akibatnya, Y Z sejajar BC.

  

′

  Karena D titik tengah AY maka diperoleh pula D adalah titik tengah AZ. Berdasarkan power of point diperoleh

  2 ′ ′ ′ ′ ′ BD C = AD Z = (AD )

  · D · D

  2

  = BD kontradiksi dengan asumsi bahwa D adalah satu-satunya titik pada BC yang memenuhi AD · DC.

  „ Jadi, terbukti bahwa AD adalah garis bagi ∠BAC.

AB AC

  Alternatif 1 :

  Misalkan AB + AC = p. Berdasarkan teorema garis bagi diperoleh = . Akibatnya,

  BD DC

AB AC AB + AC p

  = = = = p

  

BD DC BD + DC BC

  A B C D

  Selain itu, berdasarkan dalil Stewart diperoleh

  2

  2

  2

• DC = BC + BD

  BD

  · AC · AB · AD · DC · BC

  2

  2

  2 BD + DC = AD + BD

  · AC · AB · DC

  2

  2

  2 AC AB AD

  = + 1 +

DC BD BD

  · DC

  AB AB AC + AB = 1 + 1

  · ·

  BD BD AB

  (AB + AC) = 2

  BD

  2 p = 2

  p p

  Jadi, p =

  2. Oleh karena itu, satu-satunya kemungkinan keliling 2.

  △ABC adalah BC +AB +AC = 1+

  Alternatif 2 :

  Misalkan H adalah proyeksi titik A pada BC. Titik O adalah pusat lingkaran luar △ABC. Perpanjang AD sehingga memotong kembali lingkaran luar

  △ABC di titik F. Karena AD garis bagi, akibatnya F adalah titik tengah busur Ó BC. Oleh karena itu, diperoleh OF tegak lurus BC. Misalkan

  OF memotong BC di E. Selanjutnya G adalah titik pada sinar F O sedemikian sehingga F E = EG.

  ◦

  Perhatikan bahwa AH = F E = EG. Akibatnya, AG sejajar BC. Jadi, ∠AGO = 90 . Namun karena kita

  ◦

  juga mempunyai ∠ODA = 90 maka diperoleh AGOD adalah segiempat talibusur. Selanjutnya, misalkan lingkaran ⊙AGOD memotong AB dan AC berturut-turut di titik P dan Q. Perhatikan gambar di bawah ini agar lebih jelas

  A G P Q O B H D E C F ◦ ◦

  Perhatikan bahwa ∠APO = 90 dan ∠AQO = 90 . Akibatnya, P dan Q berturut-turut adalah titik tengah AB dan AC. Dengan kata lain, kita punyai AB = 2AP dan AC = 2AQ.

  Perhatikan pula ∠OAD = ∠OF D = ∠ODE. Oleh karena itu, BC adalah garis singgung lingkaran ⊙AGOD. Berdasarkan power of the point (POP) diperoleh

  1 1 p

  2

  2

  = BP

  2BD

  BD BA =

  · BA = · BA · BA = · BA ⇒

  2

  2

  1 1 p

  2

  2 DC = CQ CA =

  2DC · CA = · CA · CA = · CA ⇒

  2

  2 p p Jadi, diperoleh BA + CA = 2(BD + DC) = 2. Seperti hasil yang telah kita dapatkan sebelumnya.

  

Bagi pembaca yang membutuhkan solusi OSK, OSP dan OSN SMA tahun 2011–2017 dalam bentuk

cetak, silakan membeli buku BPOM OSN SMA. Untuk keterangan lebih lanjut silakan menghubungi

0823-2339-3535