BAB II KEGIATAN PEMBELAJARAN - Modul Limit fungsi

  a ∞ , , , ∞ , − ∞

  diantaranya adalah

  ∞

  Berikut beberapa teorema penyelesaian limit fungsi aljabar

Teorema 1 Limit Fungsi Konstan

  Jika f(x) adalah fungsi konstan dan a ∈ R , maka berlaku : f x = f x lim ( ) ( ) x → a

  Contoh Soal :

  1. lim _{x → 2} 5 =

  5 2. lim b = b _{x → 5}

  3. lim 3 x − 2 = 3 x −

  2 _{y → 2} ( )

Subtitusi Langsung

  75 ) 5 (

  lim Teorema 2

  →

  =

  ( ) ( ) a f x f a x

  

Jika f(x) adalah fungsi aljabar dan bukan fungsi konstan, R a ∈ dan

R a f ∈ ) ( maka :

  x _x

  3 lim ² ₃ =

  9

  3

  x x _x 3. . ..........

  − = − = − _→

  4 3 lim ^{2 2} ₅ =

  3

  4 ) 5 (

  20

  Contoh Soal : 1. ( ) ..........

  55

  x x _x Penyelesaian ( )

  4 3 lim ² _{→ 5} = −

  x x _x 2. ( ) .......

  − + = − + _→

  1 2 lim ^{2 2} ₁ =

  1

  2

  1

  1

  2

  ( )

  x x _x Penyelesaian ( )

  1 2 lim ² _{→ 1} = − +

• _→

  Penyelesaian _{2 2}

  3 ( 3 ) 9 + 3 x 9 + lim = _{x → 3}

  3

  3

• 27

  9 =

  3

  36 =

  3 ₃ =

  2 _{2 − 1 2} 4. lim − 5 p − 6 p = .......... . _{p → − 2} ( )

  Penyelesaian ₋

  1 _{3 2 2}

  1 _{p → −} lim ( − _{2 p → −} 5 p − 6 p ) = lim _{2 3 2} − 5 p − 6 p

  1 = _{3 2}

  − 5 ( − 2 ) − 6 ( − 2 )

  1 = 40 −

  24

  1 =

  16

  1 =

  4 Jika pada hasil subtitusi langsung menghasilkan nilai-nilai tak tentu

  ∞ a f ( x )

  , , , , ∞ − ∞

  terutama pada bentuk .

  lim _{x→ a} ∞ g ( x )

Teorema 3 Faktorisasi

  Jika ( x − a ) ( ) p x adalah faktor dari f(x) dan ( x − a ) ( ) q x adalah faktor dari g(x), a ∈ R dan p ( a ). q a ≠ maka

  ( ) : − f ( ) x ( x a ) ( ) p x p ( ) a

  = = lim lim x → a x → a

  − g ( ) x ( x a ) ( ) q x q ( ) a

  Contoh Soal : ₂ x − x +

  3

  2 1. lim = .......... . _{x → 2 2}

  x − x −

  2 Penyelesaian _{2 2} x − + 3 x

  2 2 + − 3 ( 2 )

  2 lim = . Ternyata jika kita subtitusikan _{x → 2 2 2}

  x − x −

  2 2 − 2 −

  2 langsung menghasilan nilai tak tentu maka kita gunakan teorema 3. maka : ₂

  x −

  3 x 2 ( x − 2 )( x − + 1 ) lim = lim ₂ ^{x → 2 x → 2}

  x −

  2 x

• x − x −

  1

  2 ( )( )

  x −

  1

  ( )

  = lim ^{x → 2}

  x

  1

  ( )

• (

  2 − 1 ) =

  ( +

  2 1 )

  1 =

  3

• − =
• =
• − _→
• − _{→ → →}
• −
• − + +

  2

  2 lim

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  1

  ( )

  2

  ( ) ( )( )

( )

( )( )

  x x x _x Penyelesaian

  − _→

  − −

  6 lim _{2 2} = −

  4

  1

  2

  4

  4 lim

  x x x x x x x x x x x x x x _{x x x} 4.

  − =

  −

  − −

  = −

  − −

  =

  − −

  − − =

  = − +

  2 ^{2 2 2 2 2 2}

  2

  6 lim

  4

  1

  2

  6 lim

  4

  1

  2

  2

  . ..........

  −

  → ^{→ → →} x x x x x x x x x x x x x x ^{x x x}

  4

  4 lim ₂ ⁴ ₁ = −

  3

  1

  x x x x x x _{x x x} 3. . ..........

  − − _{→ → →}

  −

  16 lim _{4 4} ² ₄ =

  4 lim

  − + + − =

  4

  4

  8 4 lim

  x x _x Penyelesaian ( )( ) ( )

  − − _→

  16 lim ² ₄ =

  4

  2 . ..........

  x x x _x Penyelesaian ( ) ( ) ( )( )

  ( ) ( )

  ( ) ( )

  2

  =

  =

  =

  2 ^{3 2 3 1}

²

^{3 1 2 4 1}

  4 lim

  3

  1

  1 lim

  3

  1

  1

  3 lim

  1

  1

  1

  1

  3

• − + +

  1

• −
• −

• −

  Contoh Soal : 1. . ..........

  → → . lim lim

  − −

  → ^{→ → → →} x x x x x x x x x x x x x x ^{x x x x}

  Perkalian Bentuk Sekawan

  Jika f(x) atau g(x) salah satunya atau keduanya merupakan fungsi dalam bentuk akar dan R a ∈ maka: a. Jika

  ( ) c x a x f − − =

  maka

  ( ) ( ) ( ) c x a c x a x g c x a x g x f a x a x

  − +

− + − −

=

  ( ) ( ) ( ) c x a c x a c x a x f x g x f a x a x

  − + − +

  − + − + − − =

  → → . lim lim c.

  Jika

  ( ) − c x a x f − = dan

  ( ) − d x b x g − = maka :

  ( ) ( ) d x b d x b c x a c x a d x b c x a x g x f a x a x

  − + − + − + − +

  − − − − =

  → → . . lim lim

  − − =

  − + =

  4

  4

  2 lim = − − ^→

  x x _x Penyelesaian ( )

  ( ) ( ) ( )

  4

  4 2 lim

  4

  2 lim

  4

  4

  2 lim

  = − −

  4

  2

  4

  2 .

  4

  2 lim

  4

  2 lim =

  − + = − +

  Teorema 4

• − − =
• −
• − − −

• − + − =

• − − − =
• &mi
• − + _→
• − +
• − + =
>
• &mi>−
• −
• − − −
• −

  −

  1 lim

  5

  2

  1

  4 ) 4 ( lim

  5

  2

  1

  5

  1

  2

  1

  1

  6

  ( ) ( )

( )

  x x x _x Penyelesaian ( ) ( ) ( ) ( )

  5 lim ₄ = −

  4

  2

  =

  5 lim

  =

  − =

  4 ^{4 4 4 4}

  5 lim

  2

  1

  4

  2

  5 lim

  1

  4

  5 .

  2

  1

  5

  2

  2

  1

  4

  1

  12

  1

  8

  3

  8 1 lim ) 1 (

  3

  2

  6

  

( )

( )( )

  9

  ( ) ( )

  ( ) ( )( )

  x x _x Penyelesaian ( )

  − − − _{− →}

  1 lim ² ₁ =

  8

  3

  2. . ..........

  1 lim

  8

  − → ^{− → − → − → − →} x x x x x x x x x x x x x x x x ^{x x x x} 3. . ..........

  3

  − − −

  − =

  − −

  = − − =

  1 ^{1 2 1 2 1 2 1}

  1 lim

  8

  1 lim

  3

  8

  3

  8 .

  3

  8

  3

  1 lim

  8

  → ^{→ → → →} x x

x x x

x

x x x

x x

x x x x x

x x

x x x x ^{x x x x}

  → ^{→ → → → →}

  2

  = − −

  − −

  = −

  −

  → ^{→ → → →} x x x x x x x x x x x x x x x x ^{x x x x}

  5. .......... lim = −

  − _→

  p x p p x x _{p x} Penyelesaian ( ) ( )

  ( ) p p p p p p x p p x x p xp x p x p p x x p x p xp x p x p x p p x x p x p x p x p p x x p x p p x x p x p p x x p x p x p p x x p p x x p x p p x x p x p p x x p x ^{p x p x p x p x p x}

  3

  6 lim lim lim lim lim lim

  − + − =

  2 ^{2 2 2 2 3 3}

  = =

  −

  − −

  =

  − −

  =

  − −

  = −

  −

  − − −

  − + = −

  4. . ..........

  4

  4

  16 lim ² ₄ =

  − − _→

  x x _x Penyelesaian ( ) ( ) ( )( )

  ( ) ( )

  ( ) .

  8

  4 4 lim

  4

  4

  4 lim

  = =

  4

  4

  16 lim

  4

  4

  4

  16 lim

  4

  16 lim

  4 ^{4 2 4 2 4 2 4}

• − =
• =

  3

  ∞ → ^{∞ → ∞ →} Membagi dengan variabel tertinggi

  5

  2 . lim

  2

  3

  5

  2 lim

  x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ^{x x}

  Jika f(x) dan g(x) adalah merupakan fungsi aljabar maka nilai dari

  2

  ( ) ( ) x g x f _{x ∞ →}

  lim adalah dengan cara membagi semua unsur/suku dengan variabel dari f(x) atau pun g(x) yang merupakan pangkat tertinggi.

  = −

  − =

  − − _{∞ → ∞ →}

  , lim lim

  

d

a

x r x dx x bx x ax r dx bx ax _{n n n} ^{n m n n} _{x n} ^{m n} _x

• −
• − _{∞ →}
• −
• −
>−
• − =

  2 lim

  Teorema 5 Jika n merupakan pangkat tertinggi

  2

  A.1. Teorema Limit Fungsi Aljabat Tak Hingga

  Pada prinsip penyelesaian limit tak hingga sama seperti pada penyelesaian limit pada titik tertentu, yaitu harus menghidari nilai-nilai tak tentu ∞ − ∞

  ∞ ∞

  , , , , ,

  a .

  .

  Contoh Soal : 1. ..........

  3

  1

  5

  2 lim ₂ ² =

  x x x x _x Penyelesaian

  2 ^{2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2}

  2

  3

  1

  5

• −
• − =
• ∞
• ∞
• −
• − =
• −

  4

  27 144 27 108

  64

  ( ) ( ) ( ) ( )

  x x _x Penyelesaian ( ) ( )

  3 lim ₃ ³ =

  2

  3

  8

  ..........

  ( ) ( )

  ∞ → ^{∞ → ∞ → ∞ →} x x x x x x x x x x x x x x

x

x

x x x x x x x ^{x x x} 3.

  −

  − =

  − −

  −

  64

  36

  2 ^{2 2 2 2 2 2 2}

  9

  =

  3 lim _{2 3 2 3 2} ² ₃ ³ =

  2

  4

  3

  3 lim

  2

  12

  54

  4

  4

  3

  16

  24

  9

  27 lim

  = −

  3 lim

  x x x x x x x x x x x x x x _{x x x}

  1

  2

  1

  − = 2. ..........

  − ∞

  ∞

  2 _{2 2} =

  5

  1

  1

  3

  2

  2

  1

  2

  1

  3 lim =

  − ^{∞ →}

  x x x x _x Penyelesaian

  2

  1

  3 lim

  1

  1

  1

  2

• −
• =
• −

  1

  1

  1

  5 lim

  1

  5 lim

• =
• − _{∞ →}
• − − =
• − _{∞ → ∞ → ∞ →}

  1

  1

• − + −
• − _{∞ →}
• − =
• − _{∞ → ∞ →}
• − =

  3

  3

  5 lim ₃ ² = −

  x x x _x Penyelesaian

  3

  8

  3

  6

  5 lim

  3

  8

  3

  6

  3

  5 lim _{3 3 3} ^{3 3 2 3} ₃ ² =

  −

  −

  −

  6

  8

  4. ..........

  1

  1

  2 lim ₂ = − − ^{∞ →}

  x x x _x Penyelesaian

  1

  1

  1 lim

  1

  2 lim

  2 lim

  5. ..........

  1

  2 lim

  2 ^{2 2 2}

  = − −

  = − −

  = − −

  = − −

  ∞ → ^{∞ → ∞ → ∞ → x x x x} x x x x x x x x x x x x x

  x x x x x x x x x x x _{x x}

  Contoh Soal : 1. ..........

  1 1 lim 1 1 lim

  − + − − + − × − − − = − − − _{∞ → ∞ →} lim lim

  ( ) ( ) ( ) d cx b ax d cx b ax d cx b ax d cx b ax _{n n} ^{n n}

^{n n}

_x ^{n n} _x

  lim adalah dengan cara mengalikan dengan bentuk sekawan dari f(x).

  ( ) x f _{x ∞ →}

  Jika f(x) dalam bentuk akar maka nilai dari

  Limit tak hingga dengan perkalian sekawan

  ∞ → ^{∞ → ∞ → ∞ →} x x

x

x x x x x x x x x x x x x ^{x x x}

  × − + − = − + −

  = − − − − − −

  − − − − − −

  − =

  = − − −

  2 ^{2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2}

  1

  1 1 lim ² _{∞ →} ² = − + −

  1

  1

  1

  1 lim

  1

  1

  1

  2 lim

  2

  1

  1

  2

  ( ) ( )

  x x _x Penyelesaian ( )

  Teorema 6

• =

  6

  ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) ( ) ( )

  7

  2

  14

  4

  6

  16

  14 lim

  4

  6

  16

  14 lim

  4

  16

  4 6 lim _{∞ →} ² = − − +

  = =

  − − + = − − +

  − + + − + +

  − + +

  − =

  = − + +

  − + + −

  2 ^{2 2 2}

²

^{2 2 2 2 2 2}

  8

  4 6 lim 4 6 lim

  6

  4

  6

  4

  6 lim

  x x x _x Penyelesaian ( ) ( )

  ( ) ..........

  ∞ → ^{∞ → ∞ → ∞ → ∞ →} x x x

x

x x x x x

x

x x x

x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ^{x x x x}

  4

  2. ..........

  4 2 lim ² _{∞ →} ² = − − +

  x x x x _x Penyelesaian ( )

  ( ) ( )

  3

  1

  1

  6 lim

  4

  2

  6 lim

  4

  2

  6 lim

  2

  ∞ → ^{∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x} x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3.

  =

  − − + = − − +

  − + + − + +

  − − + =

  = − + +

  = − + +

  −

  2 ^{2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2}

  4

  4 2 lim 4 2 lim

  2 .

  4

  2

  4

  2 lim

• − − + =

Teorema 7 Limit tak hingga dengan cara quantum

  Jika f (x) adalah fungsi dalam bentuk _{2 2}

  f x = ax + + + + bx c − px qx r dengan: ( )

• a = p
• Pangkat tertinggi dari variabel kedua suku adalah 2

  Operasi pengurangan • maka berlaku :

  b − q

  2

  2

• ax bx c − px qx + + + r = lim _{→ ∞}

  x a

  2 Contoh Soal : _{2 2}

  1. lim _{x → ∞} 2 x 2 x 2 − 2 x − 4 x + + 5 = .......... +

  Penyelesaian _{2 2} b − q _{x → ∞} 2 x 2 x 2 − 2 x − 4 x + + + lim 5 = 2 a

  2 − ( − 4 ) =

  2

  2

  6 =

  2

  2

  6

  2 = ×

  2

  2

  2

  3 =

  2

  2

  10

  10

  25 − − 25 = ..........

• 2. lim x _{x → ∞}

  x x Penyelesaian

  a q b x x x x x x x x x x _{x x x}

  1

  = − −

  = −

  =

  ∞ → ^{∞ → ∞ → ∞ →} a q b x x x x x x x x x x x

x

x x x x ^{x x x} 3.

  ( ) ..........

  2 5 lim _{∞ →} ² = − − −

  x x x _x Penyelesaian ( ) ( )

  2

  1

  2 ^{2 2 2}

  2 ) 4 (

  5

  2

  4

  4 5 lim 2 5 lim

  2 5 lim _{2 2} ^{2 2 2} −

  = − − −

  = −

  =

  − = −

  10 25 lim

  25

  10

  10 25 lim

  25

  10

• − − = + − −

  10 25 lim

  25

  10

  10 25 lim

  25

• − − =
• − − =

  2

  10

  10

  2

  25

  20

  10

  2

  ( )

  10

• − − − = − − − = − − − _{∞ → ∞ → ∞ →}

  Teorema 8

• 1 sin lim
• 1 sin lim
• 1 tan lim
• 1 tan lim

  ax ax ax ax _{x x}

  1 tan lim = = _{→ →}

  x x x x _{x x}

  1 tan lim = = _{→ →}

  ax ax ax ax _{x x}

  1 sin lim = = _{→ →}

  x x x x _{x x}

  1 sin lim = = _{→ →}

  x x x _x Penyelesaian Teorema dasar limit fungsi trigonometri

  2 tan lim ₂ =

  x x x x x x x x x x x x x x _{x x x} 2. ..........

  3 sin lim = = =

  = _{→ → →}

  3 . tan 3 sin lim tan

  3

  3 3 sin lim .

  3 . tan .

  1

  1 .

  3 3 .

  x x _x Penyelesaian

  tan 3 sin lim = _→

  Contoh Soal 1. ..........

  Pada prinsipnya penyelesaian limit fungsi trigonometri sama dengan penyelesaian fungsi aljabar, yakni menghindari nilai-nilai tak tentu.

• ^→
• → ^{→ → →}
• =
• =
• =

  6 sin lim . 2 tan 3 sin

  3 lim

  2

  2 .

  6

  6 .

  3

  3 . . 2 tan 3 sin

  6 sin lim . 2 tan 3 sin

  6 sin lim . 2 tan 3 sin

  1 6 sin 1 lim

  6 6 sin .

  . 2 tan 3 sin 1 6 cos lim

  3 ^{3 2 2 2 2}

²

^{2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2}

²

^{2 2 2}

  − = −

  = −

  = −

  = −

  = −

  = − −

  = −

  3 sin

  2 .

  ( ) ( ) ( )

  ( ) ........

  2

  1

  2

  1 lim 2 . tan lim

  .

  2 tan lim

  2 tan lim _{2 2}

  =

  x x x x x x x x x x x x x x x ^{x x x} 3.

  . 2 tan 3 sin 1 6 cos lim ₂ ²

  6 . 2 tan

  = − _→

  x x x x _x Penyelesaian ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) ( ) ( )

  3

  12

  36 1 . 1 . 1 lim

  2

  3

  → ^{→ → → → → →} x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x

x x x x x x x ^{x x x x x x}
• − _→
• − _{→ →}
• − _→
• −
• − =
• −

  2

  3

  2

  1

  1 lim

  9

  3

  2 lim

  9

  3

  3 ^{2 2 1 3 2 3}

  2 lim

  = = =

  = −

  −

  → ^{→ →} x x x x x x x x x ^{x x}

  Dalil L’ Hopital

Jika f’(x) adalah merupakan turunan dari f(x) dan g’(x) adalah

turunan dari g(x) maka berlaku :

  ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) ( )

( )

( ) x g x f x g x f x g x f x g x f _{a x}

  '' ' '' '

  '' ''

  ' ' lim = = = _→

  2

  3

  6

  5 lim ₂ ² ₂ − =

  Contoh Soal : 1. .....

  2

  6

  5 lim ² ₂ = −

  x x x _x Penyelesaian

  1

  5 2 lim

  2

  6

  − = −

  2

  x x x x _{x x} 2. .........

  9

  3

  2 lim _{2 3} = −

  x x x _x Penyelesian ( )

  9

  1

  6

  1 .

  3

  Teorema 9