Modul 9 Dist peluang Kontinu
Modul 9 : Distribusi Peluang : Kontinu STATISTIKA
UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA
JURUSAN MANAJEMEN INFORMATIKA
Distribusi Normal
Apa yang dibahas dalam materi sebelumnya adalah suatu situasi yang melibatkan klasifikasi (dalam hal ini bersifat dikotomi). Pengamatannya diperoleh dari hasil pencacahan atau perhitungan banyaknya peritiwa yang terjadi. Namun dalam kenyataannya seringkali kita dihadapkan oleh variabel yang nilainya merupakan hasil pengukuran atau pengamatan yang berisikan nilai- nilai yang dihasilkan oleh alat ukurnya. Hasil pengukuran ini bisa mengambil sebuah nilai di antara dua nilai katakanlah antara 1 dan 2. Jadi hasilnya bisa berbentuk pecahan. Tidak seperti distribusi dengan variabel diskrit yang peluangnya dihitung hanya untuk nilai-nilai variabel yang bukan pecahan. Misalnya peluang terjadinya sukses sebanyak 3 kali dari 50 percobaan, peluangnya seorang ibu melahirkan 1 anak laki-laki atau peluang 3 orang karyawan yang tidak setuju terhadap kebijakan perusahaan.
Untuk variabel acak yang mengambil nilai pecahan atau desimal seperti berat, tinggi, panjang, jarak atau pengukuran kontinu lainnya, biasanya akan mengikuti distribusi yang dikenal sebagai distribusi normal. Dalam distribusi peluang kontinu ini, nilai-nilai peluang dihitung berdasarkan luas dari suatu
area. Jadi dalam hal ini kita dapat menghitung peluang variabel acak lebih kecil
atau sama dengan () suatu nilai, lebih besar atau sama dengan () suatu nilai atau sama dengan (=) suatu nilai, bahkan di antara dua nilai yang dinyatakan dalam luas area.
Distribusi normal merupakan salah satu distribusi peluang yang populer dan banyak digunakan dalam berbagai keperluan baik dalam ilmu sosial, ilmu alam atau teknik. Pada dasarnya distribusi ini dapat dijelaskan dari distribusi frekuensi relatif (lihat bab 3). Penjelasannya adalah sebagai berikut. Apabila dalam sebuah distribusi frekuensi kita memperbanyak jumlah kelas intervalnya atau panjang kelasnya dipersempit, maka kita akan memperoleh titik tengah yang lebih banyak dan akhirnya akan diperoleh sebuah kurva frekuensi yang lebih halus yang dapat dianggap sebagai gambaran atau model populasi yang sedang di amati. Dengan memanfaatkan distribusi normal maka kita dapat menghitung berapa peluang variabel acak diantara nilai-nilai yang kita tetapkan. Misalnya saja ingin diketahui berapa peluang seorang karyawan yang dipilih secara acak memiliki berat badan antara 56 dan 60 kilogram atau tingginya lebih kecil dari 170 cm.
PARAMETER DISTRIBUSI NORMAL
Parameter dari distribusi normal adalah rata-ratanya dan simpangan baku . Secara matematis distribusi normal mempunyai bentuk : ( x ) 2 2
1 2 ; x … (4)
f ( x ) e
2 di mana e = 2,71828, = 3,1416 Hubungan antara peluang area pengukuran dalam distribusi normal dengan kedua parameternya dapat dilihat dalam Gambar 1. Distribusi normal bersifat simetris di sekitar nilai rata-ratanya. Luas area di bawah kurva adalah 1 yaitu sama dengan jumlah peluang dalam distribusi peluang. Dengan demikian peluang bahwa variabel acak lebih besar atau sama dengan rata-ratanya () adalah 0,5000. Simpangan baku pertama () baik sebelah kiri atau kanan berisikan 34,13% dari unsur-unsur dalam distribusi. Oleh karenanya, peluang variabel acak terletak di antara satu simpangan baku adalah sebesar 2 0,3414 = 0,6826. Demikian pula peluang variabel acak terletak di antara dua simpangan baku adalah 2 (0,3414 + 0,1359) = 0,9544 dan di antara tiga simpangan baku adalah 2 (0,3414 + 0,1359 + 0,0215) = 0,9974.
0,0215 0,0215 0,1359 0,3413 0,3413 0,1359 0,0013
0,0013
- - -
Gambar 1 Area di bawah kurva distribusi normal
DISTRIBUSI NORMAL BAKU
Suatu distribusi dikatakan normal apabila sesuai dengan karakteristik distribusi yang secara teoritis diturunkan dari apa yang disebut sebagai distribusi
normal baku. Distribusi ini mempunyai nilai rata-rata 0 dan varians 1. Luas area
untuk distribusi normal baku telah disusun dalam sebuah tabel yang dikenal sebagai tabel normal baku (lihat lampiran). Dengan adanya tabel ini maka kita dapat menghitung peluang variabel acak dari data yang berdistribusi normal hanya dengan menggunakan transformasi Z yang rumusnya adalah :
X i Z i
… (5) Jika data berasal dari sampel maka digunakan :
X i
X Z i s
… (6) Jadi, Z di atas merupakan variabel acak yang berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan varians 1 dan merupakan nilai-nilai baku dari kurva normal.
- -
0.0160
0.0557
0.0948
0.1331
0.1700
0.2054
0.2389
0.2704
0.2995
0.3264
0.3508
.. .
0.0000 0.0398 0.0793 0.1179 0.1554 0.1915 0.2257 0.2580 0.2881 0.3159 0.3413 .
. .
0.0040 0.0438 0.0832 0.1217 0.1591 0.1950 0.2291 0.2611 0.2910 0.3186 0.3438 .
. .
0.0080 0.0478 0.0871 0.1255 0.1628 0.1985 0.2324 0.2642 0.2939 0.3212 0.3461 .
. .
0.0120 0.0517 0.0910 0.1293 0.1664 0.2019 0.2357 0.2673 0.2967 0.3238 0.3485 .
. .
. .
0.9
0.0199 0.0596 0.0987 0.1368 0.1736 0.2088 0.2422 0.2734 0.3023 0.3289 0.3531 .
. .
0.0239 0.0636 0.1026 0.1406 0.1772 0.2123 0.2454 0.2764 0.3051 0.3315 0.3554 .
. .
0.0279 0.0675 0.1064 0.1443 0.1808 0.2157 0.2486 0.2794 0.3078 0.3340 0.3577 .
. .
0.0319 0.0714 0.1103 0.1480 0.1844 0.2190 0.2517 0.2823 0.3106 0.3365 0.3599 .
. .
0.0359 0.0763 0.1141 0.1517 0.1879 0.2224 0.2549 0.2852 0.3133 0.3389 0.3621 .
. .
1.0 .
0.8
Distribisi normal baku dapat pula digambarkan seperti halnya distribusi normal. Perbedaannya adalah rata-rata digantikan oleh 0. Sedangkan luas di bawah kurva normal baku ini sama saja dengan kurva normal yaitu 1 atau 100% yang merupakan jumlah peluang semua peristiwa yang bisa terjadi. Untuk jelasnya lihat Gambar 2. berikut.
0.05
Gambar 7.2. Distribusi normal baku Cara melihat tabel Normal Baku.Berikut adalah contoh tabel normal baku yang diambil sebahagian dari tabel yang sesungguhnya (lihat lampiran untuk tabel yang sesungguhnya). Nilai-nilai z dimulai dari 0,00 sampai 3,09.
z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.06
0.7
0.07
0.08
0.09
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Angka-angka yang dicetak tebal adalah nilai-nilai z, sedangkan angka di dalam tubuh tabel menunjukkan luas area di bawah kurva normal baku atau nilai peluang mulai dari titik nol hingga z. Perlu diketahui bahwa nilai z yang tercetak dalam tabel, semuanya untuk nilai z yang positif atau luas area disebelah kanan kurva, sedangkan yang negatif tidak dicetak karena nilainya adalah sama. Contohnya, luas area untuk z = 0,65 sama dengan z = -0,65 yaitu 0,2422.
Untuk mempermudah pemahaman tentang distribusi normal serta penggunannya kita lihat contoh berikut ini.
Contoh 7.5. Sebuah perusahaan ayam potong mendapatkan bahwa berat rata-
rata ayam yang sudah bersih adalah 2,5 kg dengan simpangan baku 0,8 kg. Jika seekor ayam potong diambil secara acak, tentukanlah : a. Peluang berat ayam kurang dari 3,0 kg
b. Peluang berat ayam lebih dari 3,5 kg
c. Peluang berat ayam antara 2,0 hingga 2,7 kg
d. Peluang berat ayam antara 2,7 hingga 3,0
P (
X 3 , )
a. Peluang berat ayam kurang dari 3,0 kg atau
Gunakan transformasi Z :
X 3 , 2 ,
5 z , 625
, 8
Yang akan kita cari dari persoalan di atas adalah peluang ayam potong yang beratnya kurang dari 3,0 kg (daerah yang di arsir dalam gambar berikut). Berarti yang kita cari adalah luas area mulai dari bagian sebelah kiri kurva (0,5) hingga z = 0,63 (dibulatkan hingga dua desimal untuk mengakomodasikan tabel z).
z = 0,63
0,5 0,2357
3,0Gambar di atas menunjukkan bagaimana kurva normal ditumpangtindihkan dengan kurva normal baku di mana nilai X = 3,0 adalah sama dengan nilai z = 0,63. Luas area mulai dari titik 0 hingga nilai z = 0,63 adalah 0,2357. Dengan demikian, peluang berat ayam yang kurang dari 3,0 kg adalah 0,5 + 0,2357 = 0.7357 atau secara notasi :
P (
X 3 , 00 ) , 5 , 2357 , 7357
Artinya peluang terambilnya ayam potong dengan berat kurang dari 3,0 kg adalah 73,57%
P (
X 3 , 5 )
b. Peluang berat ayam lebih dari 3,5 kg atau
3 ,
5 2 ,
5 z
1 ,
25 ,
8 Luas area yang akan dicari adalah daerah yang diarsir hitam dalam gambar berikut. Dari tabel kita dapatkan bahwa luas area untuk z = 1,25 adalah 0,3944.
Jadi luas area yang di arsir hitam adalah 0,5 – 0,3944 = 0,1056 atau secara notasi :
P (
X 3 , 50 ) , 5 , 3944 , 1056 atau 10,56% z = 1,25
0,5 0,3944
3,5 P ( 2 , 2 , 7 )
X
c. Peluang berat ayam antara 2,0 hingga 2,7 kg atau
Dalam persoalan ini pemecahan dilakukan dalam dua langkah. Pertama, menghitung area antara rata-rata dengan X = 2,0 dan kemudian area antara rata- rata dengan X = 2,7. Dengan demikian kita akan memperoleh dua nilai z yaitu :
2 , 2 ,
5 z ,
63 1 ; Luas area = 0,2357 (sama dengan luas z = 0,63) , 8 2 ,
7 2 ,
5 z ,
25 2 ; Luas area = 0,0987 ,
8 z 2 =0,25 z 1 =0,63
0,2357 0,0987
P ( 2 , 2 , 7 ) 1 2 Jadi X = luas z + luas z = 0,2357 + 0,0987 = 0,3344 atau 33,44%
P ( 2 ,
7 3 , ) X
d. Peluang berat ayam antara 2,7 hingga 3,0 atau Peluang yang dicari adalah luas yang di arsir dari gambar di bawah ini.
Perhitungan sama dengan soal c) yaitu mencari dua nilai z.
2 ,
7 2 ,
5 z ,
25 1 ; luas area dari 0 sampai z 1 = 0,0987 , 8 3 ,
2 ,
5 z ,
63 2 ; luas area dari 0 sampai z 2 = 0,2357 ,
8 P ( 2 ,
7 3 , ) X = 0,2357 – 0,0987 = 0,137 z =0,25 1 z 2 = 0,63
2,7 3,0 APLIKASI DISTRIBUSI NORMAL
Dengan sedikit imajinasi, berat ayam potong seperti yang dicontohkan di atas bisa dianalogikan dengan pengukuran lainnya yang berkaitan dengan keputusan manajerial seperti hasil penjualan bulanan, pengukurann daya rentang suatu material, volume minuman dalam kemasan dan lain sebagainya. Jika data ini berdistribusi normal, maka dapat diketahui peluang setiap unsur data apakah termasuk ke dalam suatu nilai-nilai tertentu.
Distribusi normal dapat dikatakan sebagai distribusi yang paling banyak digunakan dalam analisis statistika lanjutan. Banyak analisis statistika lanjutan untuk keperluan penaksiran parameter maupun pengujian hipotesis yang mensyaratlkan bahwa data yang dikumpulkan harus berdistribusi normal. Olehkarena itu, pemahaman yang mendalam tentang distribusi ini perlu dimiliki oleh seorang manajer agar informasi yang dihasilkan dari analisis data statistika dapat digunakan secara benar dalam proses pengambilan keputusan.
PENDEKATAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL
Telah dijelaskan sebelumnya bahwa apabila n sangat besar (di luar tabel binomial) dan p sangat kecil (seperti np 5), maka distribusi binomial dapat didekati oleh distribusi Poisson. Akan tetapi apabila n di luar nilai tabel dan p bernilai sangat kecil atau sangat besar, maka distribusi binomial dapat didekati oleh distribusi normal. Sebagai petunjuk dalam melakukan pendekatan normal dari binomial adalah :
n 30 np dan n(1 – p) 5 Contoh 7.6 :
Anggota suatu dewan juri berisikan 55% wanita. Berapa peluang terpilihnya 50 anggota juri yang dipilih secara acak akan berisikan anggota wanita sebanyak 30 orang atau lebih. Pemilihan ini jelas merupakan proses binomial dengan n = 50,
p = 0,55 dan x 30. Tabel binomial tidak mempunyai nilai untuk n = 50.
Pendekatan Poisson juga tidak dapat dilakukan karena np = 27,5.Demikian pula tehnik menggunakan 1 – p untuk p tidak dapat dilakukan juga karena n(1 – p) = 23,5. Akan tetapi kriteria untuk pendekatan normal sudah dipenuhi dimana parameter binomial untuk mendekati distribusi normal adalah :27 ,
5 B np np ( 1 p ) 3 ,
52
BSebelum menghitung peluang distribusi normal, terlebih dahulu perlu dihitung suatu koreksi yang memperkenankan kita melakukan pendekatan dari distribusi diskrit ke distribusi kontinu. Dalam distribusi kontinu, nilai 29 didefinisikan mengambil nilai antara “28,5 sampai 29,5”, nilai 30 di antara nilai 29,5 sampai 30,5 dan seterusnya. Dengan demikian, nilai-nilai diskrit yang sama atau lebih besar dari 30 dapat diperlihatkan dalam Gambar 7.3. Akhirnya persoalan di atas dapat diselesaikan sebagaimana persoalan distribusi normal biasa yaitu :
29 ,
5 27 ,
5 z ,
57
3 ,52 Luas area dari 0 sampai 0,57 adalah 0,2157. Jadi :
P (
X 29 , 5 ) , 5 , 2157 , 2843
Artinya peluang (pendekatan) terpilihnya anggota juri wanita lebih dari 30 orang adalah 0,2843.(Jika dihitung dengan distribusi binomial diperoleh 0,2862).
z = 0,57 0,2157 0,2843
29,5 30,5
Gambar 3 Pendekatan normal terhadap binomial
PENDEKATAN NORMAL TERHADAP POISSON
Apabila rata-rata distribusi Poisson lebih dari 10, maka mustahil untuk menggunakan tabel peluang Poisson (meskipun sebenarnya dapat dilakukan dengan komputer). Olehkarenanya pendekatan normal kepada binomial dapat diperluas kepada distribusi Poisson (dalam hal ini > 10).
Contoh 7.6 :
Rata-rata jumlah kendaraan yang mengunjungi bengkel pada jam 16.00 – 17.00 di akhir pekan adalah 16. Berapa peluang bahwa kurang dari 20 kendaraan akan mengunjungi bengkel pada jam yang sama di hari Selasa mendatang.
Rata-rata distribusi Poisson lebih dari 10, sehingga pendekatan normal dapat dilakukan. Parameter Poisson yang ekivalen dengan distribusi normal adalah :
16 P
4 P
Koreksi dari distribusi diskrit ke kontinu perlu dilakukan seperti yang dicontohkan sebelumnya. Jadi dalam hal ini peluang “kurang dari 20” dapat kita didefinsikan sebagai “kurang atau sama dengan 19,5”. Luas area di bawah kurva normal lihat Gambar 7.4) dapat dihitung dengan :
19 ,
5
16 z ,
88
4 Dengan menggunakan tabel diperoleh luas areanya adalah 0,3106. Karena nilai z
positif, maka luas area yang dicari adalah mulai dari z = 0,88 ke arah kiri atau :
P (
X 19 , 5 ) , 5 , 3106 , 8106
Jadi peluang (pendekatan) kendaraan yang mengunjungi bengkel di hari Selasa kurang dari 20 buah adalah 0,8106 (perhitungan secara eksak dengan menggunakan distribusi Poisson adalah 0,8122).
20,5 19,5 z = 0,880,5000 0,3106
Gambar 7.4. Pendekatan normal terhadap Poisson
LATIHAN
1. Pengukuran tinggi yang dilakukan oleh lembaga pendidikan tentara terhadap sejumlah besar calon prajurit ternyata berdistribusi normal. Anggaplah rata- rata tinggi yang diperoleh adalah 168 cm dengan simpangan baku 4 cm. Berapakah peluang seseorang yang diambil secara acak tingginya :
a. Kurang dari 165 cm
57
2
55
5
68
8
79
2
92
1
7
2
69
6
80
1
93
1
59
9
70
5
90
78
1
1
50
2
52
3
65
16
76
3
88
53
8
5
66
10
77
2
89
2
54
3
67
81
94
b. Lebih dari 170 cm
75
12
74
3
85
1
98
2
64
14
2
3
87
1
99
Mhs
Mhs Nilai Jml.
Mhs Nilai Jml.
Jml.
Mhs Nila i
3. Berikut ini adalah nilai statistika dari 200 bagi mahasiswa non-eksakta : Nilai Jml.
2. Jika rata-rata daya tahan lampu pijar adalah 3 tahun dengan simpangan baku satu tahun. Gunakanlah metode kurva normal untuk menghitung peluang satu bola lampu yang dipilih secara acak memiliki daya tahan 4 tahun atau lebih.
63
97
2
10
60
6
71
6
82
1
95
2
61
72
1
5
83
2
96
4
62
11
73
4
84
3 Jika seorang profesor menganggap bahwa nilai ujiannya berdistribusi normal dan menetapkan bahwa pembagian skor mutu adalah A = 5%, B = 20%, C = 50%, D = 20% dan E = 5% (biasanya disebut penetapan nilai dengan basis 5-20- 50-20-5). Tentukanlah berapa mahasiswa yang mendapat nilai A, B, C, D dan E.