PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

S TR U KTU R M ED AN GALOIS

Skr ipsi

  Diajukan un tuk Mem enuh i Salah Satu Syarat Mem p eroleh Gelar Sarjana Sain s

  Program Studi Matem atika

  

Oleh

LAM H OT

  98 31140 15 J URUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

  20 0 7

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  u n tu k Kelua rga ku dan Ta n ti

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

  Yogyakarta, Mei 2007 Penulis

  LAMHOT

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

ABSTRAK

Untuk setiap bilangan prima p, terdapat medan berhingga berorder p, yaitu Z . p

  Galois menyatakan bahwa medan berhingga berorder pangkat bilangan prima dapat dikonstruksi jika dapat ditemukan polinomial taktereduksi berderajat positif atas Z p . Pada kenyataannya, dapat ditemukan polinomial taktereduksi berderajat positif atas Z .

  p

  Maka untuk setiap bilangan prima p dan setiap bilangan bulat positif n, selalu dapat

  n n

  dikonstruksi medan Galois berorder p , dinotasikan dengan GF(p ). Lebih khusus, untuk suatu bilangan prima p dan suatu bilangan bulat positif n, terdapat satu dan hanya satu

  n n

  medan Galois berorder p . Dan banyaknya submedan dari medan Galois GF(p ) adalah banyaknya bilangan bulat positif yang membagi n.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

ABSTRACT

  There exists a finite field of order p, namely Z , for any prime p. According to

  p

  Galois, a finite field of order a power of a prime could be constructed if an irreducible polynomial of positive degree over Z p could be found. In fact, an irreducible polynomial of positive degree over Z can be found. Thus for any prime p and any positive integer

  p n n

n , a Galois field of order p , denoted by GF(p ), can be constructed. In particular, for

  some prime p and some positive integer n, there is one and only one Galois field of

  n n

  order p . And the number of subfields of Galois field GF(p ) is the number of positive integers that divide n.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

PRAKATA

  Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas kemampuan yang telah diberikan-Nya kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi ini sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana. Banyak pihak yang telah membantu penulis dalam menyusun skripsi ini mulai dari mempersiapkan bahan, mendapatkan ide, mengolah kreativitas, hingga terbentuknya skripsi ini menjadi sebuah karya ilmiah. Maka dengan ini penulis menyampaikan terima kasih kepada:

  1. Romo Frans Susilo sebagai Pembimbing skripsi dan akademik. Terima kasih atas koreksi-koreksinya yang indah, juga ketelitiannya yang memberikan banyak masukan kepada penulis.

  2. Bapak Aris Dwiatmoko sebagai Dekan FMIPA yang selalu menjadi bapak bagi mahasiswa-mahasiswanya.

  3. Bapak Y.G. Hartono sebagai Kaprodi Matematika yang siap setiap saat menjadi mediator bagi mahasiswa, juga banyak memberikan diskusi yang baik.

  4. Ibu Any Herawati yang memberikan banyak koreksi dan masukan kepada penulis.

  5. Bapak Andy Rudhito yang memberikan banyak koreksi dan masukan kepada penulis.

  6. Perpustakaan USD dan Sekretariat FMIPA yang banyak membantu mengolah data dan kepentingan penulis.

  7. Keluargaku tercinta yang dengan sabar mendampingi penulis selama mengikuti pendidikan hingga selesai. Curahan kasih sayang, doa, dan bekal moral yang diberikan sungguh menjadi pegangan hidup bagi penulis.

  8. Bapak Y. Suroto dan Ibu Harum Juwita yang selalu memberikan semangat kepada penulis.

  9. Dik Tanti yang selalu mendampingi penulis dengan doa dan kebersamaan. Suka duka yang telah kami alami bersama memberikan banyak pelajaran berharga kepada penulis.

  10. Adik-adikku Reni, Adi Nugroho, dan Vanda yang memberikan banyak senyum dan kelucuan sebagai penghibur kepada penulis.

  11. Sahabat-sahabatku yang memberikan banyak kenangan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Tak ada gading yang tak retak, demikian pula skripsi ini tidak akan pernah menjadi sempurna. Namun demikian penulis bersyukur karena telah ikut berpartisipasi dalam mencerdaskan bangsa. Kesempatan yang penulis dapatkan sungguh sangat berharga dan penulis berharap kelak dapat ambil bagian dalam mengembangkan pendidikan. Akhir kata, semoga skripsi ini bermanfaat.

  Yogyakarta, Mei 2007

  DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERSEMBAHAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ABSTRAK ABSTRACT PRAKATA DAFTAR ISI

BAB I PENDAHULUAN

  1.1. Latar Belakang Masalah

  2.2. Grup dan Teorema Lagrange

  47 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  2.6. Polinomial

  32

  2.5. Ideal dan Teorema Isomorfisma

  28

  2.4. Bilangan Bulat Modulo n

  20

  2.3. Gelanggang dan Medan

  4

  3

  1

  1

  3

  2 BAB II GRUP DAN GELANGGANG

  1.5. Sistematika Pembahasan

  2

  1.4. Metode Penulisan

  1

  1.3. Tujuan Penulisan

  1

  1.2. Perumusan Masalah

  2.1. Operasi Biner

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB III STRUKTUR MEDAN GALOIS

  72

  3.1. Perluasan Medan

  72

  3.2. Ruang Vektor

  87

  3.3. Medan Galois

  93 BAB IV PENUTUP 109

DAFTAR PUSTAKA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB I PENDAHULUAN

  1.1. Latar Belakang Masalah merupakan salah satu teori besar dan elegan dalam aljabar abstrak.

  Teori Galois

  Teori ini diberi nama demikian sebagai penghargaan atas ide dan hasil kerja dari seorang matematikawan muda berkebangsaan Perancis, Evariste Galois (1811 1832).

  −

Teorema Fundamental Galois masih menjadi topik menarik dalam banyak diskusi saat

  ini. Karena merupakan teori besar, ruang lingkup teori Galois cukup luas. Salah satunya adalah teori Galois pada medan berhingga (kemudian disebut sebagai medan Galois) yang menjadi pembicaraan dalam tulisan ini.

  Diawali dengan dibuktikannya Z p {[0], [1], [2], …, [p 1]} medan, kemudian

  = −

  dapat dikonstruksi medan dengan 4 elemen, sampai pada akhirnya dapat dikonstruksi

  n

  medan dengan p elemen untuk setiap bilangan prima p dan setiap bilangan bulat n 1.

  > n

  Pertanyaan menarik untuk ditanyakan adalah berapa banyak medan dengan p elemen?

  n

  Apakah ada medan berhingga lainnya selain medan dengan p elemen? Dan hal utama untuk diselidiki pada struktur suatu sistem aljabar adalah berapa banyak submedan dari

  n

  medan dengan p elemen?

  1.2. Perumusan Masalah

  Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

  1. Sifat-sifat dasar apa saja yang terdapat dalam medan Galois?

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  1.3. Tujuan Penulisan

  Tujuan tulisan ini adalah untuk mengenal lebih jauh teori medan yang sudah dipelajari dalam perkuliahan dan memperkenalkan medan Galois. Selain itu tulisan ini juga mendeskripsikan beberapa konsep berkaitan dengan teori Galois.

  1.4. Metode Penulisan Penyusunan skripsi ini murni menggunakan metode studi pustaka.

  1.5. Sistematika Pembahasan Umumnya sebuah karya ilmiah, setiap pokok bahasan disusun secara sistematis.

  BAB II membahas operasi biner, teori grup, teori gelanggang dan medan, bilangan bulat modulo n, polinomial, dan homomorfisma gelanggang. Pembuktian beberapa teorema dalam bab ini menggunakan teori himpunan dan teori bilangan yang cukup mendasar, sehingga diasumsikan sudah dikenal dengan baik. Kemudian BAB III yang merupakan bab inti, mencakup perluasan medan, ruang vektor, dan medan Galois. Pembahasan tentang perluasan medan diuraikan cukup cermat sehingga diharapkan pemahaman tentang medan dapat menjadi maksimal. Untuk menjaga materi tulisan yang padat tetapi juga tidak terlalu banyak pembahasan, diasumsikan juga topik ruang vektor sudah dikenal dengan baik. Tetapi penulis tetap membuktikan beberapa teorema yang dianggap perlu. Dan pembahasan medan Galois berikut sifat-sifatnya dibuat dalam suatu kesatuan pokok bahasan. Agar tidak terkesan kaku, bentuk-bentuk pernyataan dalam BAB II dan BAB III disajikan bervariasi. Akhirnya BAB IV sebagai penutup, berisi poin-poin penting secara keseluruhan serta mengulas secara singkat hasil kerja dari Galois. Penulis juga berusaha memberikan contoh-contoh penjelasan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II GRUP DAN GELANGGANG

2.1. Operasi Biner

  Operasi biner pada himpunan takkosong B adalah aturan yang mengaitkan setiap dua anggota dalam B dengan tepat satu anggota dalam B. Lebih tepatnya, operasi biner pada B adalah sebuah pemetaan : B B

  B. Berarti memetakan (mengawankan)

  µ × → µ

  setiap anggota pasangan terurut (x, y) dari anggota-anggota dalam B dengan suatu anggota (x, y) dalam B.

  µ

  Elemen (anggota) (x, y) dinyatakan dalam bentuk x y. Karena x y B untuk

  µ ∗ ∗ ∈ x , y

  B, maka himpunan B dikatakan bersifat tertutup terhadap operasi . Selanjutnya

  ∈ ∗ himpunan B yang dilengkapi dengan operasi biner ditulis (B, ).

  ∗ ∗ Contoh 2.1.1.

  Pada himpunan semua bilangan real R, operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian adalah operasi-operasi biner sebab jika a R dioperasikan dengan b R,

  ∈ ∈

  b, a b, ab dalam R. Sedangkan operasi pembagian bukanlah operasi biner pada R, karena hasil bagi a b tidak terdefinisi untuk

  • +

    masing-masing menghasilkan tepat satu a

  b 0.

  = Contoh 2.1.2. n

  Jika didefinisikan dengan m n m untuk setiap bilangan bulat positif m dan n,

  ∗ ∗ = maka adalah operasi biner pada himpunan semua bilangan bulat positif.

  ∗

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

2.2. Grup dan Teorema Lagrange Dalam membicarakan sistem aljabar, tidak ada aturan untuk mulai dari mana dulu.

  Namun idealnya dimulai dari grup. Kemudian sistem aljabar lainnya seperti gelanggang, daerah integral, dan medan hanyalah memperluas definisi sebelumnya.

  Definisi 2.2.1.

  Himpunan (G, ) disebut grup jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat

  ∗

  (i) operasi biner (disingkat operasi) bersifat asosiatif, yaitu

  ∗

  (a

  b) c a (b

  c), , b, c G

  a ∗ ∗ = ∗ ∗ ∀ ∈

  (ii) terdapat elemen identitas e G dengan sifat

  G

x e e x x, x G

  

G = G ∗ = ∀ ∈

  1

  (iii) setiap elemen x G mempunyai invers x G dengan sifat

  ∈ ∈

  1

  1 − − x x x x e .

  ∗ = ∗ = G Definisi 2.2.2.

  Operasi dikatakan bersifat komutatif jika dan hanya jika a b b

  a, a , b G.

  ∗ ∗ = ∗ ∀ ∈ Grup (G, ) disebut grup komutatif jika dan hanya jika operasi bersifat komutatif.

  ∗ ∗ Contoh 2.2.1.

  • Himpunan semua bilangan bulat (Z, ) adalah grup sebab semua sifat dalam Definisi 2.2.1 dipenuhi. Dan karena a b b a untuk setiap a, b Z, maka grup Z adalah

  = ∈ + +

  • grup komutatif. Himpunan semua bilangan bulat positif (N, ) bukan grup sebab tidak mempunyai elemen identitas.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  =

  (v) Sifat-sifat Invers Jika G grup, maka untuk setiap a, b

  (iv) Ketunggalan Invers Setiap elemen dalam grup G mempunyai tepat satu invers.

  (iii) Ketunggalan Identitas Grup G hanya mempunyai satu elemen identitas.

  1 ∗ b.

  −

  a

  =

  b, maka x

  x

  G berlaku 1. (a

  ∗

  untuk setiap a, b dalam grup G. Juga jika a

  1

  −

  a

  ∗

  b

  =

  b, maka x

  ∈

  ∗

  a

  1 =

  1 = a.

  −

  )

  1

  −

  (a

  3.

  G .

  e

  G

  b)

  2. e

  1 .

  −

  a

  1 ∗

  −

  b

  1 =

  −

  =

  Definisi 2.2.3 (Pangkat Suatu Elemen).

  Misalkan G grup dan x

  n =

  0, maka x

  >

  = − m dengan m

  0, yaitu n

  <

  (iii) Jika n

  1 ∗ x.

  n

  x

  0, maka x

  (x

  >

  (ii) Jika n

  G .

  e

  =

  Z didefinisikan (i) x

  

  G, maka untuk n

  ∈

  n =

  −

  (ii) Penyelesaian Tunggal dalam Persamaan Linear Jika x

  c, maka b

  = c.

  a, maka b

  ∗

  c

  =

  a

  ∗

  c untuk setiap a, b, c dalam grup G. Demikian juga jika b

  =

  ∗

  1

  a

  =

  b

  ∗

  Jika a

  (i) Hukum Kanselasi

  Teorema 2.2.1.

  m .

  )

  ∗

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  (vi) Hukum Eksponen Jika G grup dan a

  G, maka untuk m, n Z berlaku

  ∈ ∈

  • m n m n 1. a a .

  ∗ =

  a

  m n mn 2. ) a .

  =

  (a BUKTI.

  (i) G sedemikian sehingga a b a

  c. Maka menurut

  ∈ ∗ = ∗

  Ambil sembarang a, b, c

  1

  1

  1 − − −

  Definisi 2.2.1(iii), ada a G sedemikian sehingga a (a

  b) a (a c).

  ∈ ∗ ∗ = ∗ ∗

  Dengan Definisi 2.2.1, didapat b

  c. Dengan cara yang sama, jika b a c a

  = ∗ = ∗

  maka b c.

  =

  1

  1 − −

  (ii) Jika x a

  b, maka dengan Definisi 2.2.1(i) dan (iii), x (x a) a b a .

  ∗ = = ∗ ∗ = ∗

  1 −

  Dengan cara yang sama, jika a x b maka x a b.

  ∗ = = ∗

  (iii) Misalkan e dan f elemen-elemen identitas dalam G. Maka x e e x x

  G G G G

  ∗ = ∗ =

  dan x f f x x, untuk setiap x G. Jadi e e f f .

  ∗ G = G ∗ = ∈ G = GG = G

  1

  1 − −

  (iv) Ambil sembarang a

  G. Misalkan a

  1 dan a 2 invers-invers dari a dalam G.

  ∈ − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 −

  1 Maka a a a a e dan a a a a e . Jadi a a e 1 ∗ = ∗ 1 = G 2 ∗ = ∗ 2 = G 1 = 1 ∗ G =

  1

  1

  1

  1

  1

  1 − − − − − − a (a a ) (a a) a e a a .

  1 ∗ ∗ 2 = 1 ∗ ∗ 2 = G ∗ 2 =

  2 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 −

  1

  (v) 1. (a

  b) (b a ) a (b b ) a e . Jadi b a invers dari a b

  G ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ (ketunggalan invers).

  −

  1

  2. Menurut Definisi 2.2.1(ii) dan (iii), e e e e e . Dengan hukum

  GG = G = GG

  1 kanselasi, maka e e .

  G = G − 1 − 1 −

  1

  3. Karena a a e untuk setiap a G, maka a (a ) .

  G ∗ = ∈ =

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  (vi) Ambil sembarang m Z.

  ∈ 1.

  Dibuktikan dengan Induksi Matematis.

  m n m m m m m n

  • Pangkal Untuk n 0, maka a a a a a e a a a .

  = ∗ = ∗ = ∗ G = = =

  • m k m k Langkah Untuk n 0, diasumsikan benar untuk n k, yaitu a a a .

  > = ∗ =

  = m k

1 m k m k m k

  • Dibuktikan benar untuk n k 1.

  1

  • a a a a a a a a .

  ∗ = ∗ ∗ = ∗ = m n m p

  −

  Untuk n 0, misalkan n p dengan p

  0. Sehingga a a a a

  < = − > ∗ = ∗ = − − 1 − m − 1 p − 1 − m p − ( − m p ) mp m n + + + ( m ) − pa a (a ) (a ) (a ) a a a .

  ∗ = ∗ = = = =

  • m n m n Jadi a a a .

  ∗ = 2.

  Dibuktikan dengan Induksi Matematis.

  m n m m mn Pangkal Untuk n 0, maka (a ) (a ) e a a a .

  = = = G = = = m k mk Langkah Untuk n 0, diasumsikan benar untuk n k, yaitu (a ) a .

  > = =

  = m k 1 m k m mk m mk m m (k 1)

  • Dibuktikan benar untuk n k 1.
  • (a ) (a ) a a a a a .

  

= ∗ = ∗ = =

m n m p m 1 p

  − −

  Untuk n 0, misalkan n p dengan p

  0. Maka (a ) (a ) ((a ) )

  < = − > = = = m p mp m ( p ) mn

  − − − (a ) a a a .

  = = = m n mn Jadi (a ) a .

  =

  ■

  • Grup Z mempunyai takhingga banyak anggota. Himpunan ({0}, ) juga grup, tetapi hanya mempunyai satu anggota. Jadi banyaknya anggota dalam suatu grup dapat berhingga atau takhingga. Banyaknya anggota dalam grup G atau bilangan kardinal G disebut order G.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Definisi 2.2.4.

  Misalkan G grup dan H

  G. Himpunan H disebut subgrup dari G (ditulis H

  G) jika

  ⊆ ≤ dan hanya jika (H, ) grup di mana adalah operasi pada G.

  ∗ ∗

  Definisi 2.2.4 di atas mengatakan bahwa jika H

  G, maka (H, ) bersifat tertutup,

  ≤ ∗

  hukum asosiatif berlaku, mempunyai elemen identitas e e (ketunggalan elemen

  H G =

  identitas), dan setiap elemen dalam H mempunyai invers. Jelas {e } dan G merupakan

  G subgrup-subgrup dari G.

  Teorema 2.2.2 (Uji Subgrup).

  Jika G grup dan H

  G, maka H G jika dan hanya jika

  ⊆ ≤

  (i) H ,

  ≠ ∅

  (ii) ( h , h

  H) h h

  H,

  ∀

  1 2 ∈ 1 ∗ 2 ∈

  1 −

  (iii) (

  H) h H.

  h ∀ ∈ ∈ BUKTI.

  ( ) Jika H G, maka menurut Definisi 2.2.4, (i), (ii), dan (iii) terpenuhi.

  ⇒ ≤ ( ) Karena H G dan berlaku (ii), maka H bersifat tertutup dan berlaku asosiatif. ⇐ ⊆

  1

  1 − −

  Kemudian jika h

  H, maka dari (ii) dan (iii), h h e H dan h H.

  H ∈ ∗ = ∈ ∈

  Menurut Definisi 2.2.4, H G.

  ≤

  ■ Teorema 2.2.3.

  n

  Jika G grup dan a G, maka a {a : n Z} adalah subgrup dari G.

  ∈ ⟨ ⟩ = ∈

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  BUKTI.

  m n

  Karena a e , maka e a sehingga a . Ambil sembarang a , a a untuk

  = G G ∈ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ≠ ∅ ∈ ⟨ ⟩

  1 m − −

  • m n m n m

  suatu m, n Z. Maka a a a a dan (a ) a a . Dari Teorema 2.2.2,

  ∈ ∗ = ∈ ⟨ ⟩ = ∈ ⟨ ⟩ a subgrup dari G. ⟨ ⟩

  ■ Subgrup a di atas dinamakan subgrup siklik dari grup G yang dihasilkan atau

  ⟨ ⟩ dibangun oleh a

  G. Teorema berikut menjelaskan apa yang terjadi jika dua elemen

  ∈ pangkat dari a G sama. ∈ Teorema 2.2.4. r s

  Jika G grup dan a G sedemikian sehingga a a untuk suatu r, s Z dengan r s,

  ∈ = ∈ ≠

  maka

  n

  (i) terdapat bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga a e ,

  = G t

  (ii) jika t Z, maka a e jika dan hanya jika n adalah faktor dari t,

  G ∈ =

  2 n

  1 2 n

  1

− −

  (iii) a {e , a, a , …, a } di mana e , a, a , …, a adalah elemen-elemen yang

  ⟨ ⟩ = G G saling berbeda.

  BUKTI.

  r s r s r s − −

  (i) Jika a a dan r s, maka a a e a e . Misalkan n r s 0, maka

  G G = > ∗ = ⇔ = = − > n a e . Menurut prinsip bilangan bulat, terdapat bilangan bulat positif terkecil n

  = G n sedemikian sehingga a e . Analog untuk s r.

  = G > t

  (ii) ( ) Diasumsikan a e . Menurut algoritma pembagian pada bilangan bulat,

  ⇒ = G

  =

  • terdapat dengan tunggal bilangan bulat q, r sedemikian sehingga t nq r

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • t nq r nq r n q r q r

  dengan 0 r n. Maka e a a a a (a ) a (e ) a

  ≤ < G = = = ∗ = ∗ = G ∗ = r a . Padahal dari (i) diketahui bahwa n adalah bilangan bulat positif terkecil n

  sedemikian sehingga a e , maka haruslah r

  0. Ini menunjukkan bahwa

  = G = t nq. = t nw n w w ( ) Jika n adalah faktor dari t, maka t nw. Jadi a a (a ) (e ) e .

  G G

⇐ = = = = =

m

  (iii) Ambil sembarang a a untuk suatu m Z. Menurut algoritma pembagian

  ∈ ⟨ ⟩ ∈

  pada bilangan bulat, terdapat dengan tunggal bilangan bulat u dan v sedemikian

  m nu v nu v n u v

  sehingga m nu v dengan 0 v n. Maka a a a a (a ) a

  = ≤ < = = ∗ = ∗ = u v v m

  1 2 n

  1 (e ) a a . Jadi a sama dengan tepat salah satu dari a , a , a , …, a .

  G ∗ =

  1 2 n

  1 −

  Untuk menunjukkan bahwa elemen-elemen a , a , a , …, a saling berbeda,

  v w v w

  −

  misalkan a a di mana 0 v n dan 0 w n. Jika v w, maka a e

  = ≤ < ≤ < ≥ = G

  dengan v w

  0. Dan menurut (ii), n adalah faktor dari v w. Tetapi perhatikan

  − ≥ −

  bahwa 0 v w n, maka haruslah v w 0, yaitu v w. Demikian juga analog

  ≤ − < − = = untuk w v. ≥

  2 n

  1 − Jadi a {e , a, a , …, a }.

  ⟨ ⟩ = G

  ■ Definisi 2.2.5 (Order Elemen).

  n

  Jika terdapat bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga a e , maka n

  = G

  disebut order a dalam grup G, dinotasikan (a). Tetapi jika tidak terdapat bilangan bulat

  

ο

positif terkecil yang dimaksud di atas, maka a dikatakan berorder takhingga.

  Akibat 2.2.5.

  Jika G grup dan a G, maka (a) a .

  ∈ ο = ⟨ ⟩

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  BUKTI.

  2 n

  1 −

  Jika (a) n, maka menurut Teorema 2.2.4(iii), a {e , a, a , …, a }, sehingga

  ο = ⟨ ⟩ = G

a n (a). Jika a berorder takhingga, maka tidak terdapat bilangan bulat positif

  ⟨ ⟩ = = ο n r s

  terkecil n sedemikian sehingga a e . Jadi a a untuk setiap bilangan bulat r dan s,

  = G ≠ sehingga takhingga. a

  ⟨ ⟩

  ■ Definisi 2.2.6.

  Jika a G dan G a , maka grup G disebut grup siklik yang dibangun atau dihasilkan

  ∈ = ⟨ ⟩ oleh a.

  Contoh 2.2.2. n

  Grup Z adalah grup siklik yang dihasilkan oleh 1 atau

  1. Perhatikan bahwa di sini 1

  −

  adalah 1 1 … 1 n1.

  • =

  Jika G grup siklik yang dihasilkan oleh a

  G, maka setiap elemen dalam G

  ∈ k

  2 n

  1 berbentuk a untuk suatu k Z. Jika G berorder n, maka G {e , a, a , …, a }.

  G ∈ = Selanjutnya faktor persekutuan terbesar dari k dan n ditulis (k, n).

  Teorema 2.2.6 (Sifat-sifat Grup Siklik).

  Jika G grup siklik berorder n yang dihasilkan oleh a G dan 1 k n, maka

  ∈ ≤ < (i) G grup komutatif.

  (ii) Setiap subgrup dari G adalah siklik.

  k (iii) a membangun subgrup berorder n ( k , n ) .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  k (iv) Jika (k, n) 1, maka a membangun G.

  = (v) Jika n k , maka G mempunyai tepat satu subgrup berorder k.

  BUKTI.

  m n m n m n n m n m

  (i) Ambil sembarang elemen-elemen a , a

  G. Maka a a a a a a

  ∈ ∗ = = = ∗ untuk suatu m, n Z. Menurut Definisi 2.2.2, G grup komutatif. ∈

  (ii) Ambil sembarang H

  G. Jelas H {e } adalah subgrup siklik. Jika H {e },

  ≤ = GG k

  maka terdapat a H untuk suatu bilangan bulat positif k. Misalkan m adalah

  ∈ m

  bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga a

  H. Selanjutnya akan

  ∈ m m ditunjukkan H a , yaitu setiap elemen dalam H adalah pangkat dari a .

  = ⟨ ⟩

t

  Ambil sembarang b

  H, maka b a untuk suatu t {0, 1, …, n 1}. Menurut

  ∈ = ∈ −

  algoritma pembagian pada bilangan bulat, terdapat dengan tunggal bilangan bulat

  t mq r m q r q , r sedemikian sehingga t mq r dengan 0 r m. Maka a a (a ) a

  = ≤ < = = ∗ m q

1 t r m t r

  −

  ((a ) ) a a . Perhatikan bahwa a , a

  H, sehingga a

  H. Kemudian,

  ⇔ ∗ = ∈ ∈

  karena 0 r m dan m adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga

  ≤ < m t mq m q a

  H, maka haruslah r 0. Jadi b a a (a ) .

  ∈ = = = = n

  (iii) Jika G adalah grup siklik berorder n yang dihasilkan oleh a G, maka a e . k ∈ = G Perhatikan bahwa a merupakan bilangan bulat positif terkecil s sedemikian

  ⟨ ⟩ k s ks ks

  sehingga (a ) a e . Menurut Teorema 2.2.4(ii), a e jika dan hanya jika

  

= = G = G

n ks . Misalkan g (k, n). Maka menurut sifat bilangan bulat, g adalah kombinasi

  =

  linear dari k dan n, yaitu g uk vn 1 untuk suatu u, v Z.

  u ( k g ) v ( n g ) = ⇔ = ∈ + +

  Jadi ( k g , n g )

  1. Jika ks n , maka ( n g ) ( k g ) s . Akibatnya ( n g ) s . Ini berarti

  =

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  =

  = ⟩ ⟨ s a , maka r n

  ⟩ ⟨ r a

  = s n . Jadi jika

  ) , ( n s n

  =

  ⟩ ⟨ s a

  = r n dan

  ) , ( n r n

  ⟩ ⟨ r a

  ⇔

  s. Maka menurut (iii),

  =

  r dan (s, n)

  =

  , sehingga n r dan n s . Jadi (r, n)

  s

  dan a

  r

  adalah pangkat dari a

  = s n

  r

  . Ini berarti a

  G. Jika relasi

  H,

  1 ∈

  −

  a

  ∗

  b jika dan hanya jika b

  a

  pada G didefinisikan dengan

  ∼

  ≤

  =

  Misalkan G grup dan H

  Teorema 2.2.7.

  ■ Jadi dari teorema di atas, berarti banyaknya subgrup dari grup siklik berhingga G adalah banyaknya bilangan bulat positif yang membagi order G. Selanjutnya Lagrange membuktikan bahwa order subgrup dari grup berhingga harus membagi order grupnya. Dibahas dahulu tentang suatu subhimpunan dari grup yang dinamakan koset.

  = M.

  atau L

  

  ⟩ = ⟨ a

s

  ⟨ a r

  s, sehingga

  n

  bilangan bulat positif terkecil s adalah g n . Jadi a

  k

  ⟨ a k

  

=

k. Jadi G mempunyai subgrup berorder k.

  membangun subgrup berorder u n

  a u

  u. Dari (iii),

  =

  ku untuk suatu bilangan bulat positif u dan (u, n)

  =

  (v) Jika n k , maka n

  ⟩ = G.

  G , sehingga

  =

  =

  n

  =

  1 n

  =

  ⟩ ⟨ k a

  1, maka dari (iii),

  =

  membangun subgrup berorder ) , ( n k n . (iv) Jika (k, n)

  Akan ditunjukkan subgrup berorder k tunggal. Misalkan L dan M subgrup-subgrup berorder k. Maka L

  M . Jelas L

  ⟨ a s

  Karena e

  dan

  ⟩

  ⟨ a r

  dalam

  n

  , maka a

  n

  a

  G =

  ⟩ untuk suatu bilangan bulat positif r dan s.

  

=

  = ⟨

a

s

  dan M

  ⟩

  = ⟨ a r

  1. Dari (ii), L dan M adalah siklik, yaitu L

  =

  M

  =

  M untuk L

  ⟩

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  BUKTI. Akan dibuktikan bersifat refleksif, simetris, dan transitif.

  ∼

  1

  1 −

  −

  Karena a a e

  H, maka a

  a, yaitu refleksif. Jika a

  b, maka b a

  H,

  ∗ = G ∈ ∼ ∼ ∼ ∗ ∈

  1

  1

  1 − − −

  sehingga (b a ) a b

  H, yaitu b

  a. Berarti simetris. Jika a b dan b

  c,

  ∗ = ∗ ∈ ∼ ∼ ∼ ∼ − 1 − 1 − 1 − 1 −

  1

  maka b a H dan c b

  H. Maka (c b ) (b a ) c a

  H. Jadi a

  c,

  ∗ ∈ ∗ ∈ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∈ ∼ sehingga transitif.

  ∼

  ■

  1 −

  Kelas-kelas ekivalensi dari dinamakan koset kanan dari H dalam G. Jika b a

  ∼ ∗

  −

  1

  diganti dengan a

  b, maka kelas-kelas ekivalensi dari dinamakan koset kiri dari H

  ∗ ∼ dalam G.

  Akibat 2.2.8 (Bentuk Koset).

  Misalkan G grup dan H

  G. Setiap koset kanan dari H berbentuk Ha {h a : h H}

  ≤ = ∗ ∈

  dan koset kiri dari H berbentuk aH {a h : h H}, untuk suatu a G.

  = ∗ ∈ ∈ BUKTI.

  Misalkan K adalah koset kanan dari H dalam G, maka K adalah kelas ekivalensi dari

  ∼

  1 −

  yang memuat suatu elemen a G, yaitu K {b G : a b} {b G : b a H}.

  ∈ = ∈ ∼ = ∈ ∗ ∈

  1 −

  Selanjutnya akan dibuktikan K Ha. Ambil sembarang x K, maka x a h

  H,

  = ∈ ∗ = ∈

  sehingga x h a Ha. Kemudian jika x Ha, maka x h a untuk suatu h

  H,

  = ∗ ∈ ∈ = ∗ ∈

  1 −

  berarti x a h

  H, sehingga x K. Jadi x K jika dan hanya jika x Ha untuk ,

  x ∗ = ∈ ∈ ∈ ∈ ∀

  sehingga K Ha. Dengan cara yang sama, maka setiap koset kiri dari H dalam G pasti

  = berbentuk aH.

  ■

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Lema 2.2.9.

  1 −

  Misalkan G grup, H G dan a, b

  G. Maka Ha Hb jika dan hanya jika b a H.

  ≤ ∈ = ∗ ∈ BUKTI.

  ( ) Karena b Hb, yaitu b e b dan Ha Hb, maka b Ha. Ini berarti untuk

  ⇒ ∈ = H ∗ = ∈

  1

  1 − −

  suatu h

  H, b h a b a

  h. Jadi b a H.

  ∈ = ∗ ⇔ ∗ = ∗ ∈ −

  1

  ( ) Diasumsikan b a

  H. Akan dibuktikan Ha Hb. Ambil sembarang elemen

  ⇐ ∗ ∈ =

  1

  1

  1 − − −

  dalam Ha katakanlah h a dengan h

  H. Karena b a

  H, maka (b a )

  ∗ ∈ ∗ ∈ ∗ − 1 −

  1

  a b

  H, sehingga h a (h a b ) b Hb. Jadi Ha Hb. Untuk

  = ∗ ∈ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∈ ⊆ −

  1

  sembarang h b Hb, maka h b (h b a ) a Ha. Jadi Hb Ha,

  ∗ ∈ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∈ ⊆ sehingga Ha Hb. =

  ■ Misalkan H subgrup dari grup G dan adalah relasi ekivalensi pada G yang

  ∼

  didefinisikan dalam Teorema 2.2.7. Maka kelas-kelas ekivalensi dari membentuk

  ∼

  suatu partisi dari G, yaitu subhimpunan-subhimpunan takkosong dari G yang saling asing (atau saling lepas, tidak saling tumpang tindih) dan G harus merupakan gabungan dari subhimpunan-subhimpunan tersebut. Jadi partisi dari G yang ditimbulkan oleh kelas-kelas ekivalensi dari terdiri dari koset-koset kanan dari H dalam G. Di bawah

  ∼