KARAKTERISASI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR SUPERTROPICAL - ITS Repository

  TESIS – SM 142501

KARAKTERISASI PENYELESAIAN SISTEM

PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR SUPERTROPICAL

  Dian Yuliati NRP. 1214 201 002 DOSEN PEMBIMBING Dr. Subiono, M.S.

  PROGRAM MAGISTER JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

  INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2016

  THESIS – SM 142501

CHARACTERIZATION OF THE SOLUTIONS OF

SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS OVER SUPERTROPICAL ALGEBRA

  Dian Yuliati NRP. 1214 201 002 SUPERVISOR Dr. Subiono, M.S.

  MASTER’S DEGREE DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES SEPULUH NOPEMBER INSTITUTE OF TECHNOLOGY SURABAYA 2016

  

DAFTAR ISI

LEMBAR PENGESAHAN ................................................................................. i

ABSTRAK ......................................................................................................... iii

ABSTRACT ....................................................................................................... v

KATA PENGANTAR ...................................................................................... vii

DAFTAR NOTASI............................................................................................ xi

BAB 1 PENDAHULUAN .............................................................................. 1

  2.3.4 Perpangkatan Matriks ............................................................. 12

  2.7.1 Penjumlahan Matriks .............................................................. 18

  2.7 Matriks atas semiring Supertropical........................................ 18

  2.6.3 Relasi Ghost Surpass .............................................................. 17

  2.6.2 Semiring Supertropical ........................................................... 16

  2.6.1 Semiring dengan Ghost ........................................................... 16

  2.6 Aljabar Supertropical ............................................................. 16

  2.5 Perluasan Aljabar Tropical ..................................................... 14

  2.4 Aljabar Tropical ..................................................................... 13

  2.3.6 Matriks Identitas ..................................................................... 13

  2.3.5 Transpose Matriks .................................................................. 13

  2.3.3 Perkalian Matriks.................................................................... 11

  1.1 Latar Belakang ......................................................................... 1

  2.3.2 Penjumlahan Matriks .............................................................. 10

  2.3.1 Matriks atas Aljabar Max-Plus ................................................ 10

  2.3 Aljabar Max-Plus...................................................................... 8

  2.2 Semiring ................................................................................... 6

  2.1 Penelitian Terdahulu ................................................................. 5

  

BAB 2 KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI ..................................... 5

  1.5 Manfaat Penelitian .................................................................... 4

  1.4 Tujuan Penelitian ...................................................................... 4

  1.3 Batasan Masalah ....................................................................... 3

  1.2 Rumusan Masalah .................................................................... 3

  2.7.2 Perkalian Matriks.................................................................... 19

  2.7.3 Perpangkatan Matriks ............................................................. 20

  2.7.4 Transpose Matriks .................................................................. 21

  2.7.5 Determinan ............................................................................. 22

  2.7.6 Minor dan Adjoint .................................................................. 22

  2.7.7 Matriks Non Singular dan Singular ......................................... 23

  2.7.8 Matriks Pseudo-Zero .............................................................. 24

  2.7.9 Matriks Identitas ..................................................................... 25

  2.7.10 Pseudo-Invers Matriks ............................................................ 25

  2.7.11 Matriks Invertibel ................................................................... 28

  2.8 Sistem Persamaan Linear atas Aljabar Max-Plus..................... 29

  2.8.1 Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus............................ 29

  2.8.2 Karakterisasi Penyelesaian Sistem Persamaan Linear atas Aljabar Max-Plus.................................................................... 34

  2.9 Sistem Persamaan Linear atas Aljabar Supertropical .............. 43

  

BAB 3 METODE PENELITIAN ................................................................ 45

BAB 4 PEMBAHASAN ............................................................................... 47

  4.1 Karakterisasi Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tak Homogen atas Aljabar Supertropical ...................................... 47

  4.2 Karakterisasi Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Homogen atas Aljabar Supertropical ...................................................... 71

  

BAB 5 SIMPULAN DAN SARAN .............................................................. 81

  5.1 Simpulan ................................................................................ 81

  5.2 Saran ...................................................................................... 81

  

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 83

DAFTAR NOTASI

  : Aljabar Max-plus ◊

  : Akhir Contoh □

  : Akhir Definisi ■

  : Akhir Teorema dan Lemma ∈

  : Anggota

  : Elemen identitas pada semiring

1 R

  : Gabungan ℝ

  : Himpunan bilangan real ( )

  : Himpunan matriks ukuran × dengan entri matriks anggota

  ℝ : Himpunan dengan anggotanya elemen ghost pada extended semiring tropical

  : Elemen nol pada semiring ∪

  supertropical

  : Himpunan dengan anggotanya elemen ghost pada aljabar

  supertropical

  : Ideal ghost : Nilai a pada pemetaan ghost : Pemetaan ghost

  ⊨ : Relasi ghost surpass pada

  : Semiring supertropical ⨁

  : Operasi max ⊗

  : Operasi plus ∀

  : Untuk setiap

  R

  : Himpunan dengan anggotanya elemen tangible pada aljabar

KATA PENGANTAR

  Puji syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan Rahmat, Taufiq, dan Hidayah-Nya, serta junjungan Beliau Rasulullah SAW atas suri teladan yang dibawanya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tesis yang berjudul

  “Karakterisasi Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Atas Aljabar Supertropical ” ini tepat pada waktunya. Tesis

  ini merupakan sebagian persyaratan kelulusan dalam memperoleh gelar Magister di Program Studi Magister Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

  Penyusunan Tesis ini tidak lepas dari bimbingan, bantuan, dan dukungan moral maupun spiritual dari banyak pihak. Oleh sebab itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1.

  Ibu, Bapak, beserta keluarga tercinta yang selalu memberikan dukungan, doa, dan motivasi agar penulis dapat menyelesaikan Tesis ini.

  2. Prof. Ir. Joni Hermana, M.Sc.ES., Ph.D. selaku Rektor Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.

  3. Prof. Ir. Djauhar Manfaat, M.Sc., Ph.D. selaku Direktur Program Pascasarjana Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.

  4. Dr. Imam Mukhlash, M.T., selaku Ketua Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.

  5. Dr. Subiono, M.S., selaku Koordinator Program Studi Pascasarjana Matematika dan juga dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu untuk membimbing, memberikan masukan dan mendorong penulis dalam menyelesaikan Tesis ini.

  6. Dr. Haryanto, M.Si., selaku dosen wali yang telah memberikan motivasi, arahan, dan bimbingan selama penulis menempuh kuliah.

  7. Bapak / Ibu Dosen penguji yang telah memberikan masukan dan juga motivasi bagi penulis sehingga Tesis ini dapat selesai tepat waktu.

  8. Seluruh dosen Matematika yang telah memberikan bekal dan ilmu pengetahuan serta staf administrasi Program Studi Magister Matematika atas segala bantuannya.

9. Sahabat penulis lainnya atas semua bantuan, semangat, dan dukungannya selama proses penulisan Tesis ini.

  10. Keluarga besar Pascasarjana Matematika ITS 2014, dan semua pihak yang telah membantu proses penulisan Tesis ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Terima kasih. Semoga Allah SWT memberikan anugerah dan karunia-Nya kepada semua pihak yang telah membantu menyelesaikan Tesis ini.

  Penulis menyadari bahwa dalam penulisan Tesis ini masih banyak kekurangan, sehingga kritik dan saran dari pembaca sangat penulis harapkan untuk perbaikan kedepannya. Kritik dan saran bisa dikirim melalui email penulis

  

Akhirnya semoga Tesis ini dapat bermanfaat bagi

pembaca, khususnya mahasiswa Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

  Surabaya, Januari 2016 Penulis

  

KARAKTERISASI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN

LINEAR ATAS ALJABAR SUPERTROPICAL

  Nama Mahasiswa : Dian Yuliati NRP : 1214 201 002 Dosen Pembimbing : Dr. Subiono, M.S.

  

ABSTRAK

  Aljabar tropical adalah semiring idempotent sekaligus semifield. Salah satu contoh dari aljabar tropical yang memiliki struktur semiring idempoten sekaligus semifield yaitu aljabar max-plus. Aljabar max-plus didefinisikan sebagai ℝ = (ℝ ,⊕,⊗), dimana ℝ = ℝ ∪ {−∞} dengan ℝ adalah semua bilangan

  max

  real, .

  ≝ −∞ , ⨁ ≝ max{ , } dan ⊗ ≝ + untuk setiap , ∈ ℝ Berbeda dengan aljabar linear biasa, aljabar max-plus tidak mempunyai elemen invers terhadap operasi

  ⊕. Hal ini yang menyulitkan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear . Oleh karena itu dikonstruksikan struktur ⊗ = di ℝ

  max

  baru yang merupakan perluasan dari yang disebut extended semiring tropical ℝ

  max

  yang dinotasikan sebagai = ℝ ∪ {−∞} ∪ ℝ dimana ℝ = ℝ ∪ {−∞} disebut

  −∞

  ideal dari , ∶ → ℝ −∞ disebut pemetaan ghost yang memenuhi ( ) = , ∀ ∈ dan ,

  ℝ ( ) = ∀ ∈ ℝ . Secara lebih umum perluasan dari aljabar tropical

  −∞

  dinamakan aljabar supertropical. Oleh karena itu dapat digeneralisasikan penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan relasi ghost surpass ⊨. Dengan relasi ghost surpass penyelesaian sistem persamaan

  ⊗ = akan diperlemah menjadi ⊗ ⊨ . Dari hasil penelitian didapatkan bahwa sistem persamaan linear tak homogen

  ⊗ ⊨ atas aljabar supertropical mempunyai solusi

  

tangible yang tunggal jika dan hanya jika , serta

  | | ∈ dan (adj(A) ⊗ ) ∈ mempunyai penyelesaian tidak tunggal jika dan hanya jika | | ∈ ≠ atau

  . Sedangkan sistem persamaan linear homogen (adj(A) ⊗ ) ∉

  ⊗ ⊨ atas aljabar supertropical mempunyai penyelesaian trivial jika dan hanya jika | | ∈ dan mempunyai penyelesaian tak trivial jika dan hanya jika | | ∈ ≠ .

  Kata kunci : aljabar tropical, aljabar supertropical, sistem persamaan linear.

  

CHARACTERIZATION OF THE SOLUTION OF SYSTEM OF

LINEAR EQUATIONS OVER SUPERTROPICAL ALGEBRA

  Name : Dian Yuliati Student Identity Number : 1214 201 002 Supervisor : Dr. Subiono, M.S.

  

ABSTRACT

  Tropical algebra is idempotent semirings and semifields. Max-plus algebra is one of many idempotent semirings and semifields. Max-plus algebra is defined as

  ℝ = (ℝ ,⊕,⊗), where ℝ = ℝ ∪ {−∞} with ℝ is the set of real numbers,

  max

  . In contrast ≝ −∞ , ⨁ ≝ max{ , } and ⊗ ≝ + for every , ∈ ℝ to conventional linear algebra, there are no inverse elements with respect to

  ⊕ in . It also causes difficulty when solving linear systems of equations

  ℝ ⊗ =

  max

  . Therefore a new structure that generalizes max-plus algebra is constructed and it is called extended tropical semiring, denoted as = ℝ ∪ {−∞} ∪ ℝ where

  ℝ −∞ = ℝ ∪ {−∞} is called ideal of , ∶ → ℝ −∞ is called the ghost map

  2

  satisfying and ( ) = , ∀ ∈ ℝ ( ) = ( ),∀ ∈ . Generally, the extension of tropical algebra is called supertropical algebra. Therefore we can generalize the method to solve system of linear equations using ghost surpass relation, then system of linear equations

  ⊗ = will be weakened ⊗ ⊨ . Based on the results of the study showed that characterization of the solution of × non-homogeneous system of linear equations

  ⊗ ⊨ over supertropical algebra has a unique solution if only if . Moreover, it has an infinite | | ∈ and (adj(A) ⊗ ) ∈ numbers of solutions if only if . While for

  | | ∈ ≠ or (adj(A) ⊗ ) ∉ characterization of the solution of × system homogeneous of linear equations

  ⊗ ⊨ over supertropical algebra has a trivial solution if and only if | | ∈ and a non-trivial solution if and only if | | ∈ ≠ .

  Keywords : tropical algebra, supertropical algebra, system of linear equations.

BAB I PENDAHULUAN END

1.1 Latar Belakang

  Aljabar tropical merupakan salah satu bidang dalam matematika yang telah berkembang selama satu dekade terakhir. Aljabar tropical dipelopori oleh ahli matematika dan komputer Imre Simon, seorang peneliti dari Brazil pada tahun 1980an

  [1]. Aljabar tropical adalah semiring idempotent sekaligus semifield. Salah satu contoh dari aljabar tropical yang memiliki struktur semiring idempoten sekaligus semifield yaitu aljabar max-plus [2].

  Dalam papernya, Izhakian (2009) memperkenalkan struktur baru yang merupakan perluasan dari aljabar max-plus yang disebut extended semiring tropical [3]. Perluasan tersebut muncul untuk mengatasi kesulitan dalam mempelajari polinomial atas aljabar max-plus sehingga dibutuhkan struktur baru yang lebih luas yang mencakup aljabar max-plus. Secara lebih umum perluasan dari aljabar tropical dinamakan aljabar supertropical. Karena aljabar supertropical merupakan kajian yang relatif baru, maka berbagai penelitian mengenai aljabar supertropical terus dilakukan.

  Pada tahun 2010, Izhakian dan Rowen dalam penelitian yang berjudul “Supertropical Algebra” membahas tentang faktorisasi polinomial atas aljabar

  

supertropical , penelitian ini menjelaskan bahwa setiap polinomial dapat difaktorkan

  dalam bentuk linier maupun kuadrat [4]. Pada tahun yang sama, Izhakian dkk dalam penelitian berjudul “Supertropical Linear Algebra” membahas tentang dasar teori atas aljabar supertropical yang sifat-sifatnya didapatkan dari aljabar linier dengan memanfaatkan relasi ghost surpasses

  [5]. Masih pada tahun yang sama, Izhakian dan Rowen dalam penelitian “Supertropical Polynomial and Resultant” membahas mengenai polinomial relatif prima atas aljabar supertropical

  [6]. Pada tahun 2011, Izhakian dan Rowen melakukan penelitian yang berjudul

  “Supertropical Matrix Algebra”, penelitian tersebut membahas tentang teori matriks atas semiring supertropical yaitu jika | | dan | | keduanya tangible maka

  | ⊗ | = | | ⊗ | | [7]. Kemudian penelitian berlanjut pada “Supertropical

  Matrix Algebra II ” yang membahas eksistensi adj dari matriks non singular

  sehingga didapatkan pseudo-invers kanan dan pseudo-invers kiri yang tunggal sehubungan dengan matriks pseudo-identitas yang bersesuaian dengan , selain itu juga dibahas sifat adjoint dan penerapannya untuk menghitung vektor eigen atas aljabar supertropical

  [8]. Pada tahun yang sama, penelitian berlanjut pada “Supertropical Matrix Algebra III: Powers of Matrices and Their Supertropical

  Eigenvalues ” yang membahas mengenai teori matriks atas aljabar supertropical,

  polinomial karakteristik serta dekomposisi Jordan dan nilai eigen dari matriks atas aljabar supertropical [9]. Masih pada tahun yang sama, Izhakian dkk mengembangkan penelitian pada teori valuasi atas aljabar supertropical diantaranya berjudul “Supertropical Semirings and Supervaluations”, “Dominance and

  Transmissions in Supertropical Valuation Theory ”, Monoid Valuations and Value Ordered Supervaluations ” dan “A Glimpse on Supertropical Valuation Theory”.

  Pada tahun 2012, Izhakian dkk dalam penelitian yang berjudul “Dual

  Spaces and Bilinear Forms in Supertropical Linear Algebra ” membahas tentang

  ruang dual dan bentuk bilinear atas aljabar supertropical [10]. Pada tahun yang sama, Adi Niv melakukan penelitian berjudul “Factorization of Supertropical

  Matrices ” yang membahas mengenai faktorisasi matriks atas aljabar supertropical,

  didapatkan bahwa tidak semua matriks non singular atas aljabar supertropical bisa difaktorkan menjadi matriks-matriks elementer [11]. Pada tahun 2013, Izhakian dkk melakukan penelitian yang berjudul “Supertropical Monoids : Basics and

  Canonical Factorization ” membahas mengenai monoid supertropical dan valuasi

  yang digunakan dalam teori matriks dan geometri tropical [12]. Selanjutnya, pada tahun 2014 Adi Niv dalam penelitian berjudul “Characteristic Polynomial of

  Supertropical Matrices ” membahas mengenai polinomial karakteristik serta nilai

  eigen atas aljabar supertropical [13].

  Pada tahun 2015, Izhakian dkk melakukan penelitian “Supertropical

  

Quadratic Forms I” yang menjelaskan mengenai bentuk kuadratik pada modul atas

  semiring supertropical [14], kemudian penelitian tersebut berlanjut pada

  “Supertropical Quadratic Forms II” [15]. Pada tahun yang sama, Adi Niv dalam salah satu bagian disertasinya yang berjudul “On Pseudo-Inverses of Matrices and

  Their Characteristic Polynomials in Supertropica l Algebra” membahas mengenai

  matriks pseudo-invers atas aljabar supertropical, polinomial karakteristik dan nilai eigen dari matriks pseudo-invers atas aljabar supertropical [16], akan tetapi dalam penelitian tersebut belum dibahas pengembangannya pada sistem persamaan linear.

  Sistem persamaan linear merupakan salah satu permasalahan penting dalam matematika karena sebagian besar masalah matematika yang dijumpai dalam aplikasi ilmiah maupun industri melibatkan penyelesaian sistem persamaan linear.

  Dalam aljabar linear telah diketahui bahwa sistem persamaan linear terbagi menjadi sistem persamaan linear homogen dan tak homogen. Suatu sistem persamaan linear dalam keterkaitannya dengan solusi, mempunyai tiga kemungkinan diantaranya mempunyai solusi tunggal, solusi banyak dan tidak mempunyai solusi. Keberadaan solusi ini sangat tergantung dari sistem persamaan linear itu sendiri. Sebagai pengembangan dari teori matriks aljabar supertropical maka pada penelitian ini akan dilakukan pembahasan mengenai karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear tak homogen dan sistem persamaan linear homogen atas aljabar supertropical.

  1.2 Rumusan Masalah

  Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, pokok permasalahan yang dikaji dalam penelitian ini sebagai berikut.

  1. Bagaimana karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear tak homogen atas aljabar supertropical ?

  2. Bagaimana karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear homogen atas aljabar supertropical ?

  1.3 Batasan Masalah

  Agar permasalahan dalam penelitian ini dapat terfokus dan sesuai dengan waktu yang direncanakan, maka perlu dilakukan pembatasan masalah. Batasan yang diberikan dalam penelitian ini adalah matriks yang dibahas adalah matriks persegi.

1.4 Tujuan Penelitian

  Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut.

  1. Menentukan karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear tak homogen atas aljabar supertropical.

  2. Menentukan karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear homogen atas aljabar supertropical.

1.5 Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut.

  1. Sebagai salah satu referensi bagi peneliti yang berminat mengembangkan penelitian khususnya mengenai sistem persamaan linear atas aljabar

  supertropical .

2. Sebagai pengembangan ilmu aljabar khususnya aljabar supertropical.

BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI Pada bab ini dijelaskan mengenai kajian pustaka dan landasan teori yang

  berkaitan dengan penelitian. Kajian pustaka dan landasan teori tersebut meliputi definisi yang menjadi dasar dalam pembahasan pada bab selanjutnya. Pada definisi- definisi tersebut akan diberikan contoh untuk mempertegas maksud dari definisi tersebut. Bagian pertama pada bab ini akan dibahas mengenai penelitian terdahulu, selanjutnya akan dibahas mengenai semiring, aljabar max-plus, aljabar tropical, aljabar supertropical, matriks atas semiring supertropical dan sistem persamaan linear atas aljabar supertropical.

1.1 Penelitian Terdahulu

  Aljabar max-plus merupakan suatu struktur aljabar (ℝ ⊕, ⊗ ) yang tidak maka mempunyai elemen invers terhadap operasi ⊕. Dengan kata lain jika ∈ ℝ tidak ada ∈ ℝ sehingga ⊕ = ⊕ = , kecuali jika = dengan adalah elemen nol. Selanjutnya, Izhakian (2009) dalam jurnal Communications in Algebra melakukan penelitian yang berjudul “Tropical Arithmetic and Matrix Algebra”, penelitian tersebut secara khusus memperkenalkan struktur baru yang merupakan perluasan dari aljabar max-plus yang disebut extended semiring tropical

  [3]. Selanjutnya, perluasan dari aljabar tropical secara umum dinamakan aljabar

  

supertropical. Aljabar supertropical merupakan teori yang relatif baru. Sampai saat

ini penelitian mengenai aljabar supertropical telah mengalami perkembangan.

  Berikut beberapa penelitian mengenai aljabar supertropical diantaranya Izhakian dan Rowen (2010) dalam Advances in Mathematics meneliti tentang “Supertropical

  

Algebra”. Jurnal tersebut menjelaskan dasar-dasar teori atas aljabar supertropical

  serta faktorisasi polinomial atas aljabar supertropical yaitu setiap polinomial atas aljabar supertropical dapat difaktorkan baik dalam bentuk linier maupun kuadrat [4].

  Selanjutnya Izhakian dan Rowen (2011) dalam Israel Journal Mathematics melakukan penelitian yang berjudul “Supertropical Matrix Algebra. Jurnal tersebut membahas mengenai teori matriks atas aljabar supertropical yaitu jika

  | | dan | | keduanya tangible maka | ⊗ | = | | ⊗ | |, selain itu | | adalah elemen ghost jika baris atau kolom dari bergantung linier [7]. Masih pada tahun 2011, Izhakian dan Rowen dalam “Supertropical Matrix Algebra II”, Israel

  Journal Mathematics secara khusus membahas mengenai eksistensi adj dari

  matriks non singular sehingga didapatkan pseudo-invers kanan dan pseudo-invers kiri yang tunggal sehubungan dengan matriks pseudo-identitas yang bersesuaian dengan . Selain itu juga dibahas sifat adjoint dan penerapannya untuk menghitung vektor eigen atas aljabar supertropical

  [8]. Selanjutnya peneliti lain yaitu Adi Niv (2015) dalam Journal Linear Algebra and Its Applications melakukan penelitian yang berjudul “On Pseudo-Inverses of Matrices and Their Characteristic

  Polynomials in Supertropical Algebra. Jurnal tersebut membahas mengenai

  matriks pseudo-invers atas aljabar supertropical, selain itu juga membahas polinomial karakteristik dan nilai eigen dari matriks pseudo-invers atas aljabar

  supertropical [16].

1.2 Semiring Definisi 2.1.

  [17]. Semiring ( , +, ×) adalah suatu himpunan tak kosong disertai dengan dua operasi biner + yang mempunyai makna penjumlahan dan × yang mempunyai makna perkalian yang memenuhi aksioma berikut : 1. ( , +) adalah semigrup komutatif dengan elemen netral 0, yaitu ∀ , , ∈ memenuhi :

• = + ( + ) + = + ( + )
• 0 = 0 + = 2. ( , ×) adalah semigrup dengan elemen satuan 1, yaitu ∀ , , ∈ memenuhi:

  ( × ) × = × ( × ) × 1 = 1 × =

3. Sifat penyerapan elemen netral 0 terhadap operasi ×, yaitu ∀ ∈ memenuhi :

  × 0 = 0 × = 0

4. Operasi distributif × terhadap +, yaitu ∀ , , ∈ berlaku :

  ( + ) × = ( × ) + ( × ) × ( + ) = ( × ) + ( × )

  □ Definisi 2.2. [17]. Suatu semiring ( , +, ×) disebut semiring komutatif jika terhadap operasi × bersifat komutatif, yaitu ∀ , ∈ maka × = × .

  □ Definisi 2.3. [17]. Semiring idempoten adalah suatu semiring ( , +, ×) dimana pada operasi penjumlahannya berlaku + = , ∀ ∈ .

  □ Definisi 2.4. [17]. Suatu semiring ( , +, ×) dikatakan semifield jika setiap elemen di − {0} mempunyai invers terhadap operasi ×, yaitu untuk setiap

  −1 −1 −1 = × = 1.

  di − {0} terdapat sedemikian hingga × □ Contoh 2.1. = ℝ ∪ { } dengan ℝ adalah himpunan semua

  Diberikan himpunan ℝ bilangan real dan ≝ −∞ beserta operasi biner ⊕ dan ⊗ yang didefinisikan sebagai berikut : .

  ⊕ = max { , } dan ⊗ = + , ∀ , ∈ ℝ Dapat ditunjukkan bahwa (ℝ , ⊕, ⊗) merupakan semiring idempoten sekaligus semifield dengan elemen netral = −∞ dan elemen satuan e = 0. Maka untuk ∀ , , ∈ ℝ berlaku :

  , ⊕) adalah semigrup komutatif i. (ℝ

  ⨁ = ⨁ ( ⨁ ) ⨁ = ⨁ ( ⨁ )

  ⨁ = ⨁ = ii. (ℝ , ⊗) adalah semigrup komutatif ⊗ = ⊗

  ( ⊗ ) ⊗ = ⊗ ( ⊗ ) ⊗ = ⊗ =

iii. Elemen netral merupakan elemen penyerap terhadap operasi perkalian

  ⊗ = ⊗ = iv. Distributif operasi perkalian terhadap penjumlahan ( ⨁ ) ⊗ = ( ⊗ ) ⨁ ( ⊗ )

  ⊗ ( ⨁ ) = ( ⊗ ) ⨁ ( ⊗ ) Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa (ℝ , ⊕, ⊗) merupakan semiring komutatif dan idempoten. Untuk setiap , ∈ ℝ maka berlaku ⊗ = ⊗ dan ⨁ = max { , } = . Selain itu aljabar (ℝ , ⊕, ⊗) juga merupakan semifield, sebab untuk setiap ∈ ℝ terdapat – sehingga ⊗ (− ) = + (− ) = 0.

  ◊ Selanjutnya, untuk lebih ringkasnya maka penulisan semiring ( , +, ×) dituliskan sebagai .

  Definisi 2.5.

  Diberikan semiring dan . Pemetaan ∶ → dikatakan homomorfisma jika ∀ , ∈ berlaku : ( + ) = ( ) + ( ) ( × ) = ( ) × ( )

  Perlu diperhatikan bahwa operasi biner + pada + pada umumnya tidak sama pada ( ) + ( ) begitu juga operasi biner × pada × pada umumnya tidak

  2 sama pada ( ) × ( ). Homomorfisma dinamakan idempoten bila = .

  □

1.3 Aljabar Max-Plus Pada bagian ini akan dibahas beberapa definisi dasar dari aljabar max-plus. Definisi 2.6.

  = [18]. Aljabar max-plus adalah suatu himpunan tidak kosong ℝ

  ℝ ∪ { } dengan ℝ adalah himpunan semua bilangan real dan ≝ −∞ disertai dua operasi biner yang didefinisikan sebagai berikut : ⊕ ≝ max { , } dan ⊗ ≝ + , ∀ , ∈ ℝ

  □ Selanjutnya, aljabar max-plus (ℝ , ⨁, ⊗) cukup dituliskan dengan ℝ .

  max

  Berikut ini adalah sifat-sifat yang berlaku dalam aljabar max-plus. Untuk ∀ , , ∈ berlaku : ℝ

  max

  1. Assosiatif ( ⨁ ) ⨁ = ⨁ ( ⨁ )

  ( ⊗ ) ⊗ = ⊗ ( ⊗ )

  2. Komutatif ⨁ = ⨁ dan ⊗ = ⊗

  3. Distributif ⊗ terhadap ⨁ ⊗ ( ⨁ ) = ( ⊗ ) ⨁ ( ⊗ )

  4. Eksistensi elemen nol, yaitu ⨁ = ⨁ =

  5. Eksistensi elemen satuan, yaitu ⊗ = ⊗ =

  6. Idempoten terhadap ⨁ ⨁ =

  7. Sifat penyerapan elemen nol terhadap operasi ⊗ ⊗ = ⊗ = . merupakan semiring komutatif dan idempotent, sebab

  Aljabar max-plus ℝ

  max

  untuk setiap , ∈ ℝ maka berlaku ⊗ = ⊗ dan ⨁ = max { , } = . Selain itu aljabar max-plus ℝ juga merupakan semifield, sebab untuk setiap

  max ∈ ℝ terdapat – sehingga ⊗ (− ) = + (− ) = 0.

  dalam aljabar max-plus Untuk bilangan bulat tak negatif , pangkat dari ∈ ℝ max dinyatakan sebagai berikut :

  , untuk = 0

  ⊗

  = { ⏟ ⊗ ⊗ … ⊗ , untuk > 0 sehingga dapat dituliskan

  ⊗

  = ⊗ ⊗ … ⊗ = × ⏟

  Contoh 2.2.

  Berikut ini diberikan contoh operasi ⨁ dan ⊗ dalam aljabar max-plus.

  1

  , maka Misal diambil = 9, = 8, = dengan , , ∈ ℝ

  max

  3 1. ⊕ = 9 ⊕ 8 = max {9,8} = 9.

  2. ⊗ = 9 ⊗ 8 = 9 + 8 = 17.

  ⊗ ⊗8 = 9 = 8 × 9 = 72.

  3.

  1

  1 ⊗ ⊗

  3

  ◊ 4. = 9 = × 9 = 3.

  3

  1.3.1 Matriks atas Aljabar Max-Plus

  Himpunan semua matriks berukuran × atas aljabar max-plus

  ×

  dinotasikan sebagai ℝ max yaitu suatu matriks berukuran × dengan entri-entri matriks merupakan anggota ℝ max . Untuk , ∈ ℕ dengan ≠ 0 dan ≠ 0.

  ×

  merupakan perluasan Operasi penjumlahan dan perkalian pada matriks ℝ max . operasi biner ⊕ dan ⊗ pada ℝ max

  1.3.2 Penjumlahan Matriks ×

  Penjumlahan matriks , ∈ ℝ dinotasikan sebagai ⊕ didefinisikan oleh :

  max

  [ ⊕ ] = [ ⊕ ]

  , , ,

  , } = max { , , untuk ∈ dan ∈ , dengan = {1, 2, … , } dan = {1, 2, … , }.

  Contoh 2.3.

  1 2 5 5 2 7

  ×

  Diberikan matriks = [ ] dan = [ ] dimana , ∈ ℝ 8 3 8 6 1 3 max 4 7 2 2 4 1 maka

  [ ⊕ ] = 1 ⊕ 5 = 5

  1,1

  [ ⊕ ] = 2 ⊕ 2 = 2

  1,2

  [ ⊕ ] = 5 ⊕ 7 = 7

  1,3

  [ ⊕ ] = 8 ⊕ 6 = 8

  2,1

  [ ⊕ ] = 3 ⊕ 1 = 3

  2,2

  = 8 ⊕ 3 = 8 [ ⊕ ] 2,3 [ ⊕ ] = 4 ⊕ 2 = 4

  3,1

  [ ⊕ ] = 7 ⊕ 4 = 7

  3,2

  = 2 ⊕ 1 = 2 [ ⊕ ] 3,3 dengan menggunakan notasi matriks didapat

  5 2 7 ⊕ = [ ] 8 3 8

  4 7 2 ◊

1.3.3 Perkalian Matriks

  ×

  Untuk sebarang matriks ∈ ℝ dan skalar ∈ ℝ maka perkalian ⊗

  max max

  didefinisikan sebagai [ ⊗ ] = ⊗

  , , untuk ∈ dan ∈ , dengan = {1, 2, … , } dan = {1, 2, … , }.

  × × ℝ dan ∈ ℝ perkalian matriks ⊗

  Untuk sebarang matriks ∈

  max max

  didefinisikan sebagai : [ ⊗ ] , = ⨁ , ⊗ ,

  

=1

untuk ∈ dan ∈ , dengan = {1, 2, … , } dan = {1, 2, … , }.

  Contoh 2.4.

  5 3 7

  ×

  ] dan skalar = 5 dimana ∈ Diberikan matriks = [ 8 4 3 ℝ , ∈ ℝ

  max max

  5 8 9 maka ⊗ = 5 ⊗ 5 = 10

  1,1

  ⊗ 1,2 = 5 ⊗ 3 = 8 ⊗ 1,3 = 5 ⊗ 7 = 12 ⊗ = 5 ⊗ 8 = 13

  2,1

  ⊗ 2,2 = 5 ⊗ 4 = 9

  ⊗ = 5 ⊗ 3 = 8

  2,3

  ⊗ = 5 ⊗ 5 = 10

  3,1

  ⊗ = 5 ⊗ 8 = 13

  3,2

  ⊗ = 5 ⊗ 9 = 14

  3,3

  dengan menggunakan notasi matriks didapat 10 8 12 ⊗ = [ 13 9 8 ] 10 13 14

  ◊

1.3.4 Perpangkatan Matriks

  ×

  Untuk sebarang matriks persegi ∈ ℝ dan bilangan bulat positif, pangkat ke-

  max

  dari dinotasikan sebagai :

  ⊗

  = ⊗ ⊗ ⊗ … ⊗ ⏟

  ⊗0 .

  untuk ∈ ℕ dengan ≠ 0 dan = Contoh 2.5.

  1 9 5

  ×

  ] dimana ∈ Diberikan matriks = [ 7 4 2 ℝ

  max

  5 8 9 maka 1 9 5 1 9 5

  ⊗2

  = ⊗ = [ ] ⊗ [ ] 7 4 2 7 4 2 5 8 9 5 8 9

  [ ⊗ ] = (1 ⊗ 1) ⊕ (9 ⊗ 7) ⊕ (5 ⊗ 5) = 2 ⊕ 16 ⊕ 10 = 16

  1,1

  [ ⊗ ] = (1 ⊗ 9) ⊕ (9 ⊗ 4) ⊕ (5 ⊗ 8) = 10 ⊕ 13 ⊕ 13 = 13

  1,2

  [ ⊗ ] = (1 ⊗ 5) ⊕ (9 ⊗ 2) ⊕ (5 ⊗ 9) = 6 ⊕ 11 ⊕ 14 = 14

  1,3

  [ ⊗ ] = (7 ⊗ 1) ⊕ (4 ⊗ 7) ⊕ (2 ⊗ 5) = 8 ⊕ 11 ⊕ 7 = 11

  2,1

  [ ⊗ ] = (7 ⊗ 9) ⊕ (4 ⊗ 4) ⊕ (2 ⊗ 8) = 16 ⊕ 8 ⊕ 10 = 16

  2,2

  = (7 ⊗ 5) ⊕ (4 ⊗ 2) ⊕ (2 ⊗ 9) = 12 ⊕ 6 ⊕ 11 = 12 [ ⊗ ] 2,3

  = (5 ⊗ 1) ⊕ (8 ⊗ 7) ⊕ (9 ⊗ 5) = 6 ⊕ 15 ⊕ 14 = 15 [ ⊗ ] 3,1 [ ⊗ ] = (5 ⊗ 9) ⊕ (8 ⊗ 4) ⊕ (9 ⊗ 8) = 14 ⊕ 12 ⊕ 17 = 17

  3,2

  = (5 ⊗ 5) ⊕ (8 ⊗ 2) ⊕ (9 ⊗ 9) = 10 ⊕ 10 ⊕ 18 = 18 [ ⊗ ] 3,3 dengan menggunakan notasi matriks didapat

  16 13 14

  ⊗2

  = [ ] 11 16 12 15 17 18

  ◊

  1.3.5 Transpose Matriks ×

  , didefinisikan sebagai Transpose dari matriks ∈ ℝ dinotasikan dengan

  max

  ] = [ ] [ , , untuk ∈ dan ∈ , dengan = {1, 2, … , } dan = {1, 2, … , }.

  Contoh 2.6.

  1 2 8

  ×

  ] dimana ∈ Diberikan matriks = [ 2 4 2 ℝ

  max

  5 6 1 maka transpose dari matriks : 1 2 5 = [ ]. 2 4 6 8 2 1

  ◊

  1.3.6 Matriks Identitas

  Matriks identitas merupakan matriks persegi × yang didefinisikan sebagai berikut : [ ] = { , untuk =

  ,

  , lainnya untuk ∈ dan ∈ , dengan = {1, 2, … , }.

1.4 Aljabar Tropical Definisi 2.7.

  [2]. Aljabar tropical adalah suatu semiring idempotent sekaligus semifield.

  □ Contoh 2.3. Diberikan aljabar max-plus

  ℝ = (ℝ , ⊕, ⊗) dimana ℝ = ℝ ∪ max

  { } dengan ℝ adalah himpunan semua bilangan real dan ≝ −∞ beserta operasi biner ⊕ dan ⊗ yang didefinisikan sebagai berikut : ⊕ = max { , } . ⊗ = + , ∀ , ∈ ℝ merupakan semiring idempoten Berdasarkan Definisi 2.6 aljabar max-plus ℝ

  max

  sekaligus semifield. Dengan demikian aljabar max-plus ℝ adalah aljabar

  max tropical.

1.5 Perluasan Aljabar Tropical

  Berikut ini akan dijelaskan perluasan dari aljabar tropical dengan mengambil kasus khusus dari aljabar tropical yaitu aljabar maxplus. Aljabar max-plus ℝ merupakan struktur aljabar yang tidak mempunyai elemen

  max

  invers terhadap operasi ⊕. Dengan kata lain jika ∈ ℝ maka tidak ada ∈ ℝ sehingga ⊕ = ⊕ = , kecuali jika = dengan adalah elemen nol.

  Teorema 2.1.

  [17]. Diberikan semiring ℝ = (ℝ , ⊕, ⊗). Idempoten dari ⊕

  max berakibat bahwa elemen invers terhadap operasi ⊕ tidak ada.

  Bukti :

  Misalkan bahwa ≠ mempunyai suatu invers terhadap ⊕ yaitu , didapat ⊕ = tambahkan pada kedua ruas persamaan, didapat

  ⊕ ( ⊕ ) = ⊕ ( ⊕ ) ⊕ = ⊕ dengan sifat idempoten, persamaan menjadi

  ⊕ = hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa ⊕ = dan ≠ . ∎ Selanjutnya, aljabar max-plus dikembangkan menjadi struktur semiring yang lebih luas yang disebut extended semiring tropical dengan memunculkan elemen baru yaitu elemen ghost.

  Definisi 2.8.

  [4]. Extended semiring tropical dinotasikan sebagai ( , ⊕,

  ⊗) dengan = ℝ ∪ {−∞} ∪ ℝ , dimana ℝ adalah himpunan semua bilangan real dan ℝ = { : ∈ ℝ}. Elemen netral pada adalah ≝ −∞ dan elemen satuan □ ≝ 0.

  Dalam hal ini ℝ

2. Untuk setiap bilangan real ≺ maka ≺ , ≺ , ≺ , dan ≺ .

  2. ⊕ = max

  ◊

  {2,5} = 5 3. 2 ⊕ 2 = 2 ⊕ 2 = 2 ⊕ 2 = 2 ⊕ 2 = 2 4. −∞ ⊗ 5 = 5 ⊗ −∞ = −∞ 5. 8 ⊗ 6 = 8 + 6 = 14 6. 5 ⊗ 4 = 5 ⊗ 4 = 5 ⊗ 4 = (5 + 4) = 9

  ≺

  Berikut ini diberikan contoh operasi biner ⨁ dan ⊗ yang berlaku dalam extended semiring tropical . 1. −∞ ⊕ 5 = 5 ⊕ −∞ = 5 2. 2 ⊕ 5 = max

  ⊗ = ⊗ = ⊗ = ( + ) . □ Contoh 2.7.

  6.

  3. ⊕ = ⊕ = ⊕ = ⊕ = . 4. −∞ ⊗ = ⊗ −∞ = −∞ untuk setiap ∈ . 5. ⊗ = + untuk semua , ∈ ℝ.

  ≺ { , } kecuali = .

  maksimum pada urutan ≺. Operasi biner ⊕ dan ⊗ pada memenuhi aksioma sebagai berikut. Untuk ∀ , ∈ ℝ , ∀ , ∈ ℝ dan ∀ , ∈ maka 1. −∞ ⊕ = ⊕ −∞ = untuk setiap ∈ .

  −∞ = ℝ ∪ {−∞} merupakan ideal dari disebut ideal ghost.

  ≺ adalah

  □ Aksioma 2.1. [3]. Diberikan Extended semiring tropical . Notasi

  3. ≺ untuk setiap ∈ ℝ.

  [3]. Diberikan Extended semiring tropical . Didefinisikan relasi urutan parsial ≺ pada sebagai berikut : Untuk ∀ , ∈ ℝ , ∀ , ∈ ℝ dan ∀ , ∈ berlaku : 1. −∞ ≺ , ∀ ∈ \ {−∞}.

  Definisi 2.9.

  maka ( ) = merupakan pemetaan identitas dan untuk setiap ∈ ℝ maka ( ) = .

  −∞

  disebut pemetaan ghost. Untuk setiap ∈ ℝ

  −∞

  Sedangkan pemetaan ∶ → ℝ

1.6 Aljabar Supertropical

  Perluasan dari aljabar tropical secara umum dinamakan aljabar

supertropical. Struktur dari semiring supertropical merupakan perumuman dari .

Diberikan semiring ≝ ∪ {−∞} ∪ dan suatu ideal ≝ ∪ {−∞} disebut disebut ideal ghost yang merupakan ideal dari semiring . Pemetaan ∶ → pemetaan ghost, pemetaan merupakan pemetaan homomorfisma idempoten yang

  

2

memenuhi ( ) = ⊕ , ∀ ∈ dan ( ) = ( ).

  adalah himpunan yang anggotanya elemen tangible. Dalam hal ini = ∖ Sedangkan adalah himpunan yang anggotanya merupakan elemen ghost.

  1.6.1 Semiring dengan Ghost Definisi 2.10.

  [19]. Semiring dengan ghost ( , , ) adalah semiring (dengan disebut ideal ghost, elemen netral 0 dan elemen satuan 1 ), = ∪ 0 disebut pemetaan ghost yang memenuhi : sedangkan ∶ →

  □ ( ) = ⊕ , ∀ ∈