ANALISIS PERBANDINGAN KECEPATAN KONVERGENSI METODE ITERATIVE DALAM PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
ABSTRAK
ANALISIS PERBANDINGAN KECEPATAN KONVERGENSI
METODE ITERATIVE DALAM PENYELESAIAN
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Oleh
Atma Tunggal Dewi
Metode iterative merupakan suatu metode penyelesaian suatu persamaan
matematika dimana pada metode ini digunakan iterasi dengan nilai awal x (0)
sebagai tebakan awal untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear yang
memiliki matriks koefisien jarang (spare). Terdapat tiga metode iterative yaitu
metode Jacobi, metode Gauss-Seidel dan metode SOR (Succesive Over
Relaxation). Penelitian ini bertujuan untuk mencari solusi dari suatu sistem
persamaan linear, menganalisis kecepatan konvergensinya serta menganalisis nilai
faktor skalar yang digunakan. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa suatu
sistem persamaan linear akan menghasilkan iterasi yang konvergen jika sistem
persamaan linear tersebut memiliki matriks koefisien yang dominan diagonal
karena matriks dominan diagonal akan menghasilkan nilai radius spectral kurang
dari satu T j 1 .
Untuk mencari faktor skalar pada SPL dengan matriks koefisien jarang sebarang
yaitu menggunakan metode coba-coba dimana 0 2 , sedangkan pada SPL
dengan matriks koefisien tridiagonal nilai faktor skalar diperoleh dengan
2
2
1 1 (T j )
Soluai yang dihasilkan pada iterasi menggunakan metode SOR lebih baik dari
pada menggunakan metode Jacobi dan Gauss-Seidel. Namun pada sistem
persamaan yang sangat besar, metode Gauss-Seidel lebih efisien dari pada
metode SOR, hal ini disebabkan karena pada SPL dengan matriks koefisien jarang
dan berukuran besar akan sangat rentan menghasilkan nilai radius spectral sama
dengan nol T j 0 , dimana pada SPL dengan matriks koefisien tridiagonal
akan menghasilkan faktor skalar sama dengan satu 1 yang berarti iterasi
metode SOR akan sama dengan iterasi Gauss-Seidel.
V.
SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
Berdasarkan uraian pada bab sebelumnya, maka dapat diambil kesimpulan
bahwa metode iterative menghasilkan iterasi yang konvergen jika sistem
persamaan linearnya memiliki matriks koefisien yang dominant diagonal
dimana dihasilkan nilai radius spectral kurang dari satu T j 1
sedangkan pada SPL dengan matriks koefisien yang tak dominant diagonal
menghasilkan radius spectral yang lebih dari satu T j 1 yang
menghasilkan iterasi yang divergen . Iterasi menggunakan metode SOR
menghasilkan solusi yang lebih baik dari pada menggunakan metode GaussSeidel maupun metode Jacobi. Karena pada metode SOR digunakan nilai
faktor skalar yang berfungsi sebagai pereduksi error (galat), sedangkan
metode Jacobi menghasilkan iterasi yang lebih panjang dari pada
menggunakan Gauss-Seidel hal ini disebabkan karena pada metode Jacobi
menggunakan nilai yang berulang (menggunakan nilai x (jk 1) pada iterasi xi(k )
dengan nilai i j ) pada setiap iterasinya hal ini yang menyebabkan
iterasinya menjadi lebih panjang. Untuk matriks yang berukuran besar ( n 5
pada SPL dengan matriks koefisien tridiagonal sangat rentan menghasilkan
128
nilai radius spectral nol yang berarti akan menghasilkan nilai 1 pada
SPL dengan matriks koefisien tridiagonal, hal ini menunjukkan bahwa iterasi
pada metode SOR sama dengan iterasi pada metode Gauss-Seidel namun hal
ini dapat disiasati dengan mengguakan nilai yang diperoleh dengan
metode coba-coba untuk menghasilkan iterasi yang lebih cepat. Namun
solusi yang diperoleh tidak jauh dengan solusi yang diperoleh menggunakan
metode Gauss-Seidel. Untuk itu, SPL dengan ukuran variable yang sangat
besar lebih efisien diselesaikan menggunakan metode Gauss-Seidel.
Untuk sistem persamaan linear yang memiliki solusi banyak, misalnya
terdapat salah satu baris atau kolom yang sama pada matriks koefisiennya,
maka pada penyelesaian menggunakan metode iterative ini, hanya dapat
ditemukan salah satu solusinya. Solusi yang diperoleh sesuai dengan nilai
awal x ( 0) yang dimasukkan.
5.2 Saran
Pada penelitian ini masih sebatas pada pencarian solusi SPL dan
membandingkan kecepatannya. Untuk itu diharapkan pada penelitian
selajutnya, dapat diharapkan penelitian ini berlanjut pada pemeriksaan
kebenaran solusi yang diperoleh atau pencarian solusi SPL menggunakan
metode yang lebih mudah dan efisien. Selain itu, penelitian lebih lanjut
diharapkan dapat mencari metode untuk menghasilkan nilai skalar yang
efisien untuk SPL dengan matriks koefisien jarang sebarang.
129
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Metode numerik merupakan teknik dalam menyelesaikan permasalahanpermasalahan yang diinformasikan secara matematis dengan cara operasi
hitungan (aritmatic). Berbagai permasalan dalam bidang ilmu pengetahuan
dan teknologi dapat digambarkan dalam bentuk persamaan matematik .
Suatu permasalahan linier dapat disajikan dengan menggunakan matriks
yang dinyatakan dengan
Ax b
Untuk dapat menyelesaikan suatu sistem persamaan linear dengan tepat satu
penyelesaian, beberapa teorema menyebutkan bahwa matriks A harus dapat
diinversikan yang didasarkan pada konsep determinan. Namun pada
kenyataannya, untuk sistem persamaan linear yang berukuran besar mencari
determinan matriks sama sulitnya dengan mencari solusi sistem persamaan
tersebut.
Untuk itu dalam penelitian ini, digunakan suatu metode numerik untuk
mencari solusi sistem persamaan linear tanpa harus mencari determinan.
2
Metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dapat dibagi
dalam dua jenis yaitu metode langsung (direct) dan metode iterative. Metode
langsung adalah metode yang dengan tidak adanya pembulatan atau lainlainya, akan memberikan solusi yang tepat dalam jumlah operasi yang
aritmatik elementer yang terbatas jumlahnya. Namun dalam prakteknya
karena komputer bekerja dengan bahasa yang panjang maka metode
langsung tidak menghasilkan penyelesaian yang tepat. Metode dasar yang
digunakan dalam metode langsung adalah eliminasi Gauss.
Metode iterative yaitu metode yang dimulai dengan pendekatan permulaan
dengan menggunakan algoritma yang sesuai dan dapat membawa ke
pendekatan-pendekatan yang lebih baik. Bahkan jika proses itu konvergen
hanya dapat diberharapkan mencapai suatu penyelesaian yang mendekati
saja. Metode iterasi bervariasi dalam kecepatan konvergensi dan algoritma
yang dipilih. Dalam metode iterative, iterasi yang digunakan ada yang
bersifat sederhana yaitu nilai-nilai yang diperoleh pada nilai sebelumnya
tidak langsung digunakan pada iterasi selanjutnya. Pada proses iterasi seperti
ini, dituntut untuk mencari nilai x1 , x2 , xn baru kemudian digunakan
untuk iterasi selanjutnya. Ada pula metode iterative yang langsung
menggunakan nilai x i yang diperoleh untuk iterasi selanjutnya. Contoh
metode iterative yaitu metode Jacobi, metode Gauss-Seidel, dan metode
Relaksasi.
3
Matriks yang berkaitan dengan sistem persamaan linier juga bervariasi dan
digolongkan kedalam matriks padat (dense) dan matriks jarang (sparse).
Matriks padat memiliki sedikit sekali unsur nol dan ordo matriks itu
cenderung lebih kecil mungkn berordo 100 atau lebih kecil. Biasanya lebih
efisien untuk menanganinya dengan metode langsung. Matriks jarang
memiliki ordo yang lebih besar dari pada matriks padat dan sangat ideal
menyelesaikan matriks jenis ini dengan metode iterative. Matriks jarang
biasanya muncul dari usaha-usaha untuk menyelesaikan persamaan
diferensial dengan metode selisih terhingga.
Dalam penelitian ini akan digunakan metode iterative yaitu metode Jacobi,
metode Gauss-Seide, serta metode SOR (Successive Over-Relaxation) yang
kemudian masing-masing dibandingan percepatan konvergensinya.
1.2
Batasan Masalah
Pada penelitian ini dalam menyelesaikan masalah solusi persamaan linaer
n-variabel dengan matriks koefisien jarang hanya dengan menggunakan
metode iterative yaitu Metode Jacobi, Metode Gauss-Seidel dan Metode
SOR (Successive Over-Relaxation) serta mengguanakan galat 10-7.
4
1.3
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah :
a. Menentukan solusi persamaan linier sistem persamaan linear yang
memiliki matriks koefisien jarang dengan menggunakan metode Jacobi,
metode Gauss-Siedel dan metode SOR (Susseccive Over-Relaxation).
b. Membandingkan percepatan konvergensi ketiga metode yang digunakan.
c. Menentukan faktor skala pada metode SOR yang ideal untuk sistem
persamaan yang sangat besar.
1.4
Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah :
a. Menambah pengetahuan tentang aplikasi persamaan linear dalam
kehidupan dan berbagai cabang ilmu.
b. Mengetahui lebih dalam tentang metode iterative sebagai salah satu
metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan
matriks koefisien jarang.
ANALISIS PERBANDINGAN KECEPATAN KONVERGENSI
METODE ITERATIVE DALAM PENYELESAIAN
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Oleh
Atma Tunggal Dewi
Metode iterative merupakan suatu metode penyelesaian suatu persamaan
matematika dimana pada metode ini digunakan iterasi dengan nilai awal x (0)
sebagai tebakan awal untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear yang
memiliki matriks koefisien jarang (spare). Terdapat tiga metode iterative yaitu
metode Jacobi, metode Gauss-Seidel dan metode SOR (Succesive Over
Relaxation). Penelitian ini bertujuan untuk mencari solusi dari suatu sistem
persamaan linear, menganalisis kecepatan konvergensinya serta menganalisis nilai
faktor skalar yang digunakan. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa suatu
sistem persamaan linear akan menghasilkan iterasi yang konvergen jika sistem
persamaan linear tersebut memiliki matriks koefisien yang dominan diagonal
karena matriks dominan diagonal akan menghasilkan nilai radius spectral kurang
dari satu T j 1 .
Untuk mencari faktor skalar pada SPL dengan matriks koefisien jarang sebarang
yaitu menggunakan metode coba-coba dimana 0 2 , sedangkan pada SPL
dengan matriks koefisien tridiagonal nilai faktor skalar diperoleh dengan
2
2
1 1 (T j )
Soluai yang dihasilkan pada iterasi menggunakan metode SOR lebih baik dari
pada menggunakan metode Jacobi dan Gauss-Seidel. Namun pada sistem
persamaan yang sangat besar, metode Gauss-Seidel lebih efisien dari pada
metode SOR, hal ini disebabkan karena pada SPL dengan matriks koefisien jarang
dan berukuran besar akan sangat rentan menghasilkan nilai radius spectral sama
dengan nol T j 0 , dimana pada SPL dengan matriks koefisien tridiagonal
akan menghasilkan faktor skalar sama dengan satu 1 yang berarti iterasi
metode SOR akan sama dengan iterasi Gauss-Seidel.
V.
SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
Berdasarkan uraian pada bab sebelumnya, maka dapat diambil kesimpulan
bahwa metode iterative menghasilkan iterasi yang konvergen jika sistem
persamaan linearnya memiliki matriks koefisien yang dominant diagonal
dimana dihasilkan nilai radius spectral kurang dari satu T j 1
sedangkan pada SPL dengan matriks koefisien yang tak dominant diagonal
menghasilkan radius spectral yang lebih dari satu T j 1 yang
menghasilkan iterasi yang divergen . Iterasi menggunakan metode SOR
menghasilkan solusi yang lebih baik dari pada menggunakan metode GaussSeidel maupun metode Jacobi. Karena pada metode SOR digunakan nilai
faktor skalar yang berfungsi sebagai pereduksi error (galat), sedangkan
metode Jacobi menghasilkan iterasi yang lebih panjang dari pada
menggunakan Gauss-Seidel hal ini disebabkan karena pada metode Jacobi
menggunakan nilai yang berulang (menggunakan nilai x (jk 1) pada iterasi xi(k )
dengan nilai i j ) pada setiap iterasinya hal ini yang menyebabkan
iterasinya menjadi lebih panjang. Untuk matriks yang berukuran besar ( n 5
pada SPL dengan matriks koefisien tridiagonal sangat rentan menghasilkan
128
nilai radius spectral nol yang berarti akan menghasilkan nilai 1 pada
SPL dengan matriks koefisien tridiagonal, hal ini menunjukkan bahwa iterasi
pada metode SOR sama dengan iterasi pada metode Gauss-Seidel namun hal
ini dapat disiasati dengan mengguakan nilai yang diperoleh dengan
metode coba-coba untuk menghasilkan iterasi yang lebih cepat. Namun
solusi yang diperoleh tidak jauh dengan solusi yang diperoleh menggunakan
metode Gauss-Seidel. Untuk itu, SPL dengan ukuran variable yang sangat
besar lebih efisien diselesaikan menggunakan metode Gauss-Seidel.
Untuk sistem persamaan linear yang memiliki solusi banyak, misalnya
terdapat salah satu baris atau kolom yang sama pada matriks koefisiennya,
maka pada penyelesaian menggunakan metode iterative ini, hanya dapat
ditemukan salah satu solusinya. Solusi yang diperoleh sesuai dengan nilai
awal x ( 0) yang dimasukkan.
5.2 Saran
Pada penelitian ini masih sebatas pada pencarian solusi SPL dan
membandingkan kecepatannya. Untuk itu diharapkan pada penelitian
selajutnya, dapat diharapkan penelitian ini berlanjut pada pemeriksaan
kebenaran solusi yang diperoleh atau pencarian solusi SPL menggunakan
metode yang lebih mudah dan efisien. Selain itu, penelitian lebih lanjut
diharapkan dapat mencari metode untuk menghasilkan nilai skalar yang
efisien untuk SPL dengan matriks koefisien jarang sebarang.
129
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Metode numerik merupakan teknik dalam menyelesaikan permasalahanpermasalahan yang diinformasikan secara matematis dengan cara operasi
hitungan (aritmatic). Berbagai permasalan dalam bidang ilmu pengetahuan
dan teknologi dapat digambarkan dalam bentuk persamaan matematik .
Suatu permasalahan linier dapat disajikan dengan menggunakan matriks
yang dinyatakan dengan
Ax b
Untuk dapat menyelesaikan suatu sistem persamaan linear dengan tepat satu
penyelesaian, beberapa teorema menyebutkan bahwa matriks A harus dapat
diinversikan yang didasarkan pada konsep determinan. Namun pada
kenyataannya, untuk sistem persamaan linear yang berukuran besar mencari
determinan matriks sama sulitnya dengan mencari solusi sistem persamaan
tersebut.
Untuk itu dalam penelitian ini, digunakan suatu metode numerik untuk
mencari solusi sistem persamaan linear tanpa harus mencari determinan.
2
Metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dapat dibagi
dalam dua jenis yaitu metode langsung (direct) dan metode iterative. Metode
langsung adalah metode yang dengan tidak adanya pembulatan atau lainlainya, akan memberikan solusi yang tepat dalam jumlah operasi yang
aritmatik elementer yang terbatas jumlahnya. Namun dalam prakteknya
karena komputer bekerja dengan bahasa yang panjang maka metode
langsung tidak menghasilkan penyelesaian yang tepat. Metode dasar yang
digunakan dalam metode langsung adalah eliminasi Gauss.
Metode iterative yaitu metode yang dimulai dengan pendekatan permulaan
dengan menggunakan algoritma yang sesuai dan dapat membawa ke
pendekatan-pendekatan yang lebih baik. Bahkan jika proses itu konvergen
hanya dapat diberharapkan mencapai suatu penyelesaian yang mendekati
saja. Metode iterasi bervariasi dalam kecepatan konvergensi dan algoritma
yang dipilih. Dalam metode iterative, iterasi yang digunakan ada yang
bersifat sederhana yaitu nilai-nilai yang diperoleh pada nilai sebelumnya
tidak langsung digunakan pada iterasi selanjutnya. Pada proses iterasi seperti
ini, dituntut untuk mencari nilai x1 , x2 , xn baru kemudian digunakan
untuk iterasi selanjutnya. Ada pula metode iterative yang langsung
menggunakan nilai x i yang diperoleh untuk iterasi selanjutnya. Contoh
metode iterative yaitu metode Jacobi, metode Gauss-Seidel, dan metode
Relaksasi.
3
Matriks yang berkaitan dengan sistem persamaan linier juga bervariasi dan
digolongkan kedalam matriks padat (dense) dan matriks jarang (sparse).
Matriks padat memiliki sedikit sekali unsur nol dan ordo matriks itu
cenderung lebih kecil mungkn berordo 100 atau lebih kecil. Biasanya lebih
efisien untuk menanganinya dengan metode langsung. Matriks jarang
memiliki ordo yang lebih besar dari pada matriks padat dan sangat ideal
menyelesaikan matriks jenis ini dengan metode iterative. Matriks jarang
biasanya muncul dari usaha-usaha untuk menyelesaikan persamaan
diferensial dengan metode selisih terhingga.
Dalam penelitian ini akan digunakan metode iterative yaitu metode Jacobi,
metode Gauss-Seide, serta metode SOR (Successive Over-Relaxation) yang
kemudian masing-masing dibandingan percepatan konvergensinya.
1.2
Batasan Masalah
Pada penelitian ini dalam menyelesaikan masalah solusi persamaan linaer
n-variabel dengan matriks koefisien jarang hanya dengan menggunakan
metode iterative yaitu Metode Jacobi, Metode Gauss-Seidel dan Metode
SOR (Successive Over-Relaxation) serta mengguanakan galat 10-7.
4
1.3
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah :
a. Menentukan solusi persamaan linier sistem persamaan linear yang
memiliki matriks koefisien jarang dengan menggunakan metode Jacobi,
metode Gauss-Siedel dan metode SOR (Susseccive Over-Relaxation).
b. Membandingkan percepatan konvergensi ketiga metode yang digunakan.
c. Menentukan faktor skala pada metode SOR yang ideal untuk sistem
persamaan yang sangat besar.
1.4
Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah :
a. Menambah pengetahuan tentang aplikasi persamaan linear dalam
kehidupan dan berbagai cabang ilmu.
b. Mengetahui lebih dalam tentang metode iterative sebagai salah satu
metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan
matriks koefisien jarang.