Welcome to ePrints Sriwijaya University - UNSRI Online Institutional Repository
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◆ ➻P➞❳➳➏➤❽➺➑➠●➡➏➢➑➤❽➥â➤❵×❱➡➏➻P➢➇➳✘➯P➩✷➤❽➧➒➺❸➞❬➭✬➛■➢➑➺❸➺❞➯➒➺➑➜③➫✩➜❽➥å➢➑➭➌➯⑧➤❜➩❶➡✼➜❵➥➁➡✘➩➏➤❜➺❸➞➌➢➑➥ä➳❶➞✧➵②➡➏➢➑➤❽➥ä➷ ▲✂❆ ➞✂➥P➤❫➛ ➺❸➤❯➤❽Ü❅×➓➤❽➩✦➜
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(t)
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×➓➤❜➩ X(x)
:
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−X ′′ (x) = λX(x),
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X(0) = 0,
æ❥➮ ▲ ß❜é
X ′ (1) = (mλ − γ)X(1),
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æ⑨➮ ▲ ã❜é
−T ′′ (t) = λT (t).
ê ➢❸➩✼➳❶➡✝➛❱➞✹➳❶➻➒➤❫➛✸➡✷➻➒➜❫➡✳➡➏➻P➞✛➞✮➢➑➲❽➞✮➥❯➝❫➜❵➺➑➠P➞✧➳ ➤❵×➃➡➏➻P➞✛➞✮➢➑➲❽➞❬➥➁➝❫➜❽➺❸➠P➞✮➸❥➯➒➩➏➤❜➧P➺❸➞❬➭ æ❥➮ ▲ ë❜é✌➸✂æ⑨➮ ▲ ß➁é✘➜❵➩✷➞❳➩✷➞❬➜❵➺❱➜❵➥➒➨
➯✒➤❜➳➏➢í➡✷➢❸➝❜➞ ▲◗❀ ➳➏➢❸➭➌➢➑➺➑➜❽➩r➯P➩✷➤❯➤❵×✻×➓➤❽➩❱➯P➩➏➤❜➧P➺➑➞✮➭✂λ➳❞➛■➢❸➡➏➻✎➵✮➺➑➜❜➳➏➳➏➢➇➵✮➜❵➺➒➧⑧➤❜➠P➥➒➨P➜❽➩➏➫➌➵✢➤❜➥➒➨●➢❸➡➏➢➑➤❽➥➒➳❑æ⑥➳➏➠➒➵✼➻✎➜❽➳ ✿ ➢➑➩✷➢➑➵✼➻P➺➑➞✢➡✧➦
❏ ➞❬➠P➭✂➜❵➥P➥✭➦➁➤❜➩ ❂ ➤❜➧P➢❸➥✛➵✢➤❽➥⑧➨●➢í➡✷➢❸➤❜➥➒➳✼é❞➵✮➜❽➥✂➧⑧➞❃×➓➤❽➠P➥⑧➨❳➢➑➥ [7] ▲ ❒✵➞✮➡ λ ➧⑧➞✌➜❵➥✂➞❬➢❸➲❜➞✮➥❯➝❫➜❵➺➑➠P➞❃➜❵➥⑧➨ X(x) ➜✦➵✮➤❽➩➏➸
➩✷➞❬➳➏➯⑧➤❜➥➒➨●➢➑➥P➲✘➞✮➢➑➲❽➞❬➥●×➓➠P➥➒➵✢➡➏➢➑➤❽➥✂➳➏➜❵➡➏➢➇➳❊×➓➫❯➢➑➥P➲ −X ′′(x) = λX(x).
◆ ➜❵Ü❯➢➑➥P➲✌➡➏➻P➞❃➵✮➤❽➭➌➯P➺➑➞✢Ø➌➵✢➤❽➥❵Ú❊➠P➲❜➜❵➡➏➞■➤❵×✻➡✷➻P➢➑➳
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➡➏➤✤➡✷➻P➞✘➞✮➢➑➲❽➞❬➥➁➝❫➜❽➺❸➠P➞✧➳ λ ➜❵➥⑧➨ λ̄ ➩✷➞❬➳➏➯✒➞❬➵②➡✷➢❸➝❜➞✮➺➑➫ ▲❤❏ ➤❫➛➋➵✢➤❜➥➒➳❶➢➇➨●➞❬➩
☞✍✌✏✎✒✑✔✓✖✕✗✓✙✘✡✚✔✛☎✜✣✢✍✘✡✤✦✥✧✓✙✢✩★✫✪✭✬✯✮✡✘✰✎✯✪✭☞✡✌✔✱✲☞✍✳✴✘✩✱✵✎✒✮✫✪✶✌✸✷
◗
æ⑨➮ ▲ ❮ ➱❜é
Z
1
1
(−X (x)X̄(x) + X(x)X̄ (x))dx = [−X (x)X̄(x) + X(x)X̄ (x)]
′′
➜❵➥⑧➨
0
′′
′
′
x=0
= −m(λ − λ̄)X(1)X̄(1),
æ⑨➮ ▲ ❮❜❮ é
Z
1
′′
′′
(−X (x)X̄(x) + X(x)X̄ (x))dx =
Z
1
(λX(x)X̄(x) − λ̄X(x)X̄(x))dx = (λ − λ̄)
❙ P➠ ➧P➡➏➩✼➜❽➵②➡✷➢❸➥➒➲õæ❥➮ ▲ ❮ ➱➁é❞×➓➩✷➤❽➭✡æ⑨➮ ▲ ❮❽❮ é❱➫➁➢➑➞✮➺➇➨P➳
Z 1
æ⑨➮ ▲ ❮ ➮❜é
1 + mδ(x − 1) X(x)X̄(x)dx = 0,
(λ − λ̄)
0
0
Z
1
X(x)X̄(x)dx.
0
➛■➻P➞❬➩➏➞ δ(x − 1) = 0 ×➓➤❽➩ x 6= 1 ➜❵➥⑧➨ R 1 δ(x − 1)dx = 1 ▲❱❙ ➢➑➥➒➵✢➞✥➡✷➻P➞✦➢➑➥➁➡➏➞✮➲❜➩✷➜❽➺✻➢❸➥äæ⑨➮ ▲ ❮ ➮❽é✱➢➇➳■➯✒➤❜➳➏➢í➡✷➢❸➝❜➞
➢❸➡■×➓➤❽➺➑➺❸➤❫➛❁➳❱➡➏➻⑧➜❫➡ λ − λ̄ = 0. ❀ ➥➒➨õ➳❶➤⑧➦ λ0 ➢➑➳➃➩✷➞❬➜❽➺ ▲❤◆ ➤➌➯P➩➏➤❫➝❜➞❃➡✷➻➒➜❫➡ λ ➢➑➳■➯✒➤❜➳➏➢❸➡➏➢➑➝❽➞✥➛❱➞✘➵✮➤❽➥➒➳➏➢➑➨P➞✮➩
0
Z
0
1
′′
−X (x)X(x)dx
=
1
−X(x)X (x)
′
x=0
+
Z
1
(X ′ )2 (x)dx
0
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⑨æ ➮ ▲ ❮ ➴❜é
= −(mλ − γ)X 2 (1) +
(X ′ )2 (x)dx,
0
➜❵➥⑧➨
Z 1
Z 1
æ⑨➮ ▲ ❮ ✃➁é
−X ′′ (x)X(x)dx = λ
X 2 (x)dx.
0
❙ ➠P➧P➡➏➩✼➜❽➵②➡✷➢❸➥➒➲õæ❥➮ ▲ ❮ ➴➁é❞×➓➩✷➤❽➭✡æ⑨➮ ▲ ❮ 0✃❯é❱➫➁➢➑➞✮➺➇➨P➳
Z 1
Z 1
æ⑨➮ ▲ ❮ ➷❽é
2
2
(X ′ )2 (x)dx.
1 + mδ(x − 1) X (x)dx = γX (1) +
λ
0
0
➢➇➳r➜❽➥❳➞✮➢➑➲❽➞❬➥●×➓➠P➥➒➵✢➡➏➢➑➤❽➥❳➢❸➡❱×➓➤❜➺❸➺➑➤❫➛❁➳❤➡✷➻➒➜❫➡❱➡➏➻P➞❑➢❸➥➁➡✷➞✮➲❽➩✼➜❵➺⑧➢❸➥❳➡➏➻P➞✌➺❸➞✮×❢➡❶➸➆➻➒➜❵➥⑧➨❳➳❶➢➇➨●➞❑➤❵×ræ⑨➮ ▲ ❮ ➷❽é❤➜❽➥➒➨
❙ ➢➑➥➒➵✢➞
➡➏➻⑧➜❫➡✌➡➏X(x)
➻P➞✤➩➏➢➑➲❽➻➁➡➏➸❥➻➒➜❽➥➒➨❅➳➏➢➑➨P➞✝➤❵×✌æ⑨➮ ▲ ❮ ➷❜é❁➜❽➩➏➞✳➧⑧➤❽➡➏➻✩➯✒➤❜➳➏➢❸➡➏➢➑➝❽➞❽➦✵➜❽➥➒➨❅➳➏➤ λ > 0. ❇ ➥â➜✎➵✢➤❜➭➌➯P➺❸➞✮➡➏➞❬➺❸➫❅➳➏➢❸➭➌➢➑➺➑➜❽➩
➛➃➜③➫✤➛✱➞✥➵✮➜❵➥✹➨●➞❬➨P➠➒➵✢➞❑➡➏➻➒➜❵➡■➢í× λ ➜❵➥➒➨ λ ➜❽➩➏➞❃➡❊➛❱➤✳➞✮➢➑➲❽➞❬➥➁➝❫➜❽➺❸➠P➞✧➳r➛■➢❸➡➏➻õ➵✢➤❜➩➏➩✷➞❬➳➏➯✒➤❽➥➒➨●➢➑➥P➲✦➞❬➢❸➲❜➞✮➥●×➓➠➒➥➒➵②➡✷➢❸➤❜➥➒➳
➜❽➥➒➨ X (x) ➩➏➞❬➳➏➯✒➞❬➵②➡✷➢❸➝❜➞✮➺➑1➫➌➡➏➻P➞❬➥ 2
X1 (x)
2
Z 1
æ⑨➮ ▲ ❮ ë➁é
(λ1 − λ2 )
[1 + mδ(x − 1)]X1 (x)X2 (x)dx = 0.
0
❙ ➤⑧➦⑧➡❊➛✱➤✛➨P➢íÛ✻➞✮➩✷➞✮➥➁➡✥➞✮➢➑➲❽➞✮➥P×➓➠P➥➒➵②➡✷➢❸➤❜➥➒➳❑➧⑧➞❬➺❸➤❜➥P➲❽➢➑➥P➲❳➡✷➤✎➡❊➛✱➤✛➨P➢íÛ✻➞✮➩✷➞✮➥➁➡✥➞✮➢➑➲❽➞✮➥❯➝❫➜❵➺➑➠P➞✧➳❃➜❵➩✷➞✝➤❜➩❶➡✷➻P➤❽➲❜➤❽➥➒➜❽➺✭➛■➢❸➡➏➻
➩✷➞❬➳➏➯⑧➞✧➵②➡➃➡➏➤✂➢➑➥P➥P➞❬➩■➯P➩➏➤●➨●➠⑧➵②➡❁➜❽➳■➨●➞✮î➒➥P➞✧➨✛➧❯➫
Z 1
æ⑨➮ ▲ ❮ ✾❵é
1 + mδ(x − 1) W1 (x)W2 (x)dx.
< W1 (x), W2 (x) >=
◆ ➻P➞✥➧✒➤❽➠P➥➒➨➒➜❵➩✷➫❳➝❫➜❵➺➑➠P➞✘➯P➩✷➤❽➧P➺➑➞✮➭✬æ❥➮ ▲ ë❜ér➸❃æ⑨➮ ▲ 0ß➁é❱×➓➤❽➩ X(x) ➵✮➜❽➥✛➥➒➤❫➛ ➩✷➞❬➜❽➨P➢❸➺➑➫✂➧⑧➞✦➳➏➤❽➺➑➝❽➞✧➨✾➦●➫❯➢❸➞❬➺➑➨P➢❸➥P➲
√
æ⑨➮ ▲ ❮ ß❜é
X(x) = A sin( λx),
➛■➻P➞❬➩➏➞ A ➢➇➳■➜✤➵✮➤❽➥➒➳❶➡✷➜❽➥➁➡■➜❽➥➒➨✹➛■➻P➞✮➩✷➞ √λ ➻➒➜❽➳✱➡✷➤✂➳➏➜❵➡➏➢➇➳❊×➓➫
√
æ⑨➮ ▲ ❮ ã❜é
mλ − γ
cot( λ) = √
.
λ
❇ ➡✝➵✮➜❽➥Þ➧⑧➞✎➳➏➻P➤❫➛■➥å➡➏➻➒➜❵➡✛æ⑨➮ ▲ ❮ ã❜é❑➻➒➜❜➳✘➢❸➥Pî➒➥P➢❸➡➏➞✮➺➑➫â➭➌➜❽➥❯➫❽➦✭➢➇➳➏➤❽➺➇➜❫➡➏➞✧➨â➯⑧➤➁➳❶➢❸➡➏➢➑➝❽➞➌➩✷➤➁➤❽➡✷➳ ▲❳❆ ➞✎➨●➞✮➥➒➤❵➡➏➞➌➡✷➻P➞❬➳➏➞
➩✷➤➁➤❽➡✷➳✝➧➁➫ λ , ➜❽➥➒➨Þ➢❸➡✳➢➇➳✳➵✮➺❸➞✧➜❵➩✦➡✷➻➒➜❫➡ (n − 1)π < √λ < nπ ➦ n = 1, 2, 3, · · ·▲â◆ ➻P➞✎➨●➢❸Û✻➞✮➩✷➞✮➥➁➡➏➢➇➜❵➺
n
n
☞✍✌✏✎✒✑✔✓✖✕✗✓✙✘✡✚✔✛☎✜✣✢✍✘✡✤✦✥✧✓✙✢✩★✫✪✭✬✯✮✡✘✰✎✯✪✭☞✡✌✔✱✲☞✍✳✴✘✩✱✵✎✒✮✫✪✶✌✸✷
❘
➞❬➟➁➠➒➜❵➡➏➢➑➤❽➥çæ❥➮ ▲ ã❜é➃×➓➤❜➩
➵✮➜❽➥❅➥P➤❫➛▼➜❵➺➇➳❶➤✎➧⑧➞✤➳❶➤❜➺❸➝❜➞❬➨ ▲❃ê ➢➑➥➒➜❵➺➑➺➑➫✛➛✱➞✦î➒➥⑧➨❅➜❽➳❑➜❳➥P➤❜➥❜➡✷➩➏➢➑➝❯➢➑➜❽➺✭➳➏➤❽➺➑➠●➡➏➢➑➤❽➥✟×➓➤❜➩
➡➏➻➒➞❁P ✿❃❚ æ❥➮ ▲ ❮ é✱➜❵➥⑧➨✎T➡✷(t)
➻P➞✘➬❁❐✱➳✦æ⑨➮ ▲ ➮❜é❞➸❃æ❥➮ ▲ ➴❜é✱➛■➢❸➡➏➻ ǫ = 0
p
p
p
An cos( λn t) + Bn sin( λn t) sin( λn x),
un (x, t) =
➛■➻P➞❬➩➏➞ ➳✷➜❫➡✷➢➑➳❶î➒➞✧➳✳æ❥➮ ▲ ❮ ã❜é✢➦✾➜❵➥➒➨✩➛■➻P➞✮➩✷➞ ➜❵➥➒➨
➜❵➩✷➞✝➜❵➩✷➧P➢❸➡➏➩✼➜❵➩✷➫✹➵✮➤❽➥➒➳❶➡✷➜❽➥❜➡✼➳ ▲❚❙ ➳➏➢➑➥P➲✎➡✷➻P➞➌➳❶➠P➯✒➞✮➩➏➸
➯✒➤❜➳➏➢í➡✷➢❸➤❜λ➥✛n➯P➩✷➢➑➥➒➵✢➢➑➯P➺➑➞✘➛❱➞✌î➒➥➒➨õ➜❜➳➃➲❽➞✮➥➒➞✮➩✼➜❵➺✾➳❶A➤❜➺❸n➠P➡➏➢➑➤❽➥✹➤❵B×✭n➡✷➻P➞❁P ✿❑❚ ➜❵➥➒➨õ➬❁❐✱➳
æ⑨➮ ▲ ➮❽➱❜é
∞
X
p
p
p
An cos( λn t) + Bn sin( λn t) sin( λn x).
u(x, t) =
➏➳ ➢➑➥P➲â➡➏➻P➞✟➢➑➥P➢❸➡➏➢➇➜❵➺■➝❫➜❵➺➑➠P➞❬➳✟æ❥➮ ▲ ✃➁é✝➸✎æ⑨➮ ▲ ➷❜é➌➜❵➥➒➨➽➡➏➻➒➞✹➢➑➥P➥P➞❬➩❳➯P➩✷➤●➨●➠➒➵②➡❅æ❥➮ ▲ ❮ ✾❵é✝➛✱➞õ➵❬➜❵➥➔➨●➞✢➡✷➞✮➩✷➭➌➢❸➥P➞õ➡✷➻P➞
➵✢➤❯➞✮ö✂➵✮➢❸➞❬➥➁➡✷➳ A ➜❵➥⑧➨ B ➢➑➥✹➡➏➻P➞✘➲❜➞✮➥P➞❬➩✷➜❽➺✾➳❶➤❜➺❸➠●➡✷➢❸➤❜➥✵➦●➫❯➢❸➞❬➺➑➨P➢❸➥P➲
n=1
❙
n
n
æ⑨➮ ▲ ➮ ❮ é
An =
➜❵➥⑧➨
æ⑨➮ ▲ ➮❜➮❽é
√
[1 + mδ(x − 1)]φ(x) sin( λn x)dx
,
R1
√
[1 + mδ(x − 1)] sin2 ( λn x)dx
0
R1
0
1
Bn = √
λn
√
[1 + mδ(x − 1)]ψ(x) sin( λn x)dx
.
R1
√
2
0 [1 + mδ(x − 1)] sin ( λn x)dx
R1
0
➴ ▲❚❀❁❂✭òåòPÏ✭òPÑ✒ñ✧è
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❇ ➥ ➡➏➻P➢➇➳✎➳➏➞❬➵✢➡➏➢➑➤❽➥➔➛✱➞✟➛■➢❸➺➑➺❑➨●➞✮➡➏➞❬➩➏➭➌➢➑➥P➞✟➡➏➻➒➞✟➞✮➥P➞❬➩➏➲❜➫➽➤❵×✌➡➏➻➒➞✩➳❊➡✷➩➏➢➑➥P➲ç➜❽➥➒➨ ➛❱➞❅➛■➢➑➺➑➺❃➳❶➻➒➤❫➛á➡✷➻➒➜❫➡❳➡✷➻P➞
➳➏➤❽➺➑➠●➡➏➢➑➤❽➥ u(x, t) ➤❽×✌➯P➩✷➤❽➧➒➺❸➞❬➭ æ ❮ ▲ ❮ é✦➸✎æ ❮ ▲ ➷❽é✳➢➇➳➌➧⑧➤❜➠P➥➒➨●➞✧➨ ➢❸×❃➡✷➻P➞✟➢➑➥P➢í➡✷➢➑➜❽➺❁➞✮➥➒➞✮➩✷➲❽➫ä➢➇➳➌➧⑧➤❜➠P➥➒➨●➞✧➨ ▲ ➬❱➫
➭✝➠➒➺í➡✷➢❸➯P➺➑➫❯➢❸➥➒➲õ➡➏➻P➞▲P ✿❑❚ æ ❮ ▲ ❮ é❑➛■➢í➡✷➻ u (x, t) ➜❵➥⑧➨✩➧❯➫✩➢➑➥➁➡➏➞❬➲❽➩✼➜❫➡➏➢➑➥P➲✛➡➏➻P➞❳➳➏➤❵➸➆➤❽➧P➡✷➜❵➢➑➥P➞✧➨✩➞✧➟❜➠⑧➜❫➡➏➢➑➤❽➥â➛■➢❸➡➏➻
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∂
∂t
Z 1
0
1
1 2
ut (x, t) + u2x (x, t) dx
2
2
=
1
ut (x, t)ux (x, t)
x=0
=
=
−mut (1, t)utt (1, t) − γut (1, t)u(1, t) − ǫu2t (1, t)
1
∂ 1
mu2t (1, t) + γu2 (1, t) − ǫu2t (1, t).
−
∂t 2
2
➬✱➫✎➢➑➥➁➡➏➞✮➲❜➩✷➜❵➡➏➢➑➥P➲✳➡➏➻P➢➇➳❁➞✧➟❜➠⑧➜❫➡➏➢➑➤❽➥✹➛■➢❸➡➏➻✟➩✷➞❬➳➏➯⑧➞✧➵②➡■➡➏➤ t ×➓➩✷➤❽➭
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E(t)
0
➡✷➤ t ➛✱➞✘➤❽➧●➡✼➜❵➢➑➥✎➡✷➻P➞✦➞❬➥P➞✮➩✷➲❽➫
E(t)
➤❵×✺➡➏➻➒➞
Z 1
1 2
1 2
1
1
=
ut (x, t) + ux (x, t) dx + mu2t (1, t) + γu2 (1, t)
2
2
2
2
0
Z t
= E(0) − ǫ
u2s (1, s)ds ≤ E(0).
æ⑨➴ ▲ ❮ é
❇ ➡✦➳❶➻➒➤❽➠P➺➇➨❅➧✒➞➌➤❽➧➒➳➏➞✮➩✷➝❽➞✧➨✟➡➏➻⑧➜❫➡✌➡➏➻P➞✂➞❬0➥P➞✮➩✷➲❽➫✟➵✢➤❜➥➒➳➏➢➑➳❶➡✷➳✌➤❵×❱➡➏➻P➞➌Ü❯➢➑➥P➞✢➡✷➢➑➵➌➜❵➥⑧➨✟➡➏➻➒➞✤➯✒➤❵➡✷➞✮➥➁➡➏➢➇➜❵➺❤➞❬➥P➞✮➩✷➲❽➢➑➞❬➳❑➤❵×
➡➏➻➒➞✦➳❊➡✷➩➏➢➑➥P➲✂➜❵➥➒➨✎➡➏➻➒➞✘➭➌➜❜➳➏➳ ▲ ➬✱➫❳➠➒➳➏➢❸➥P➲➌➡✷➻P➞✳❐✱➜❵➠⑧➵✼➻➁➫➁➸ ❙ ➵✼➻❯➛✱➜❽➩❶❨➡ ✼❁➢➑➥P➞❬➟➁➠➒➜❽➺❸➢❸➡❊➫❳➢❸➡❁➥P➤❫➛è×➓➤❜➺❸➺➑➤❫➛❁➳❱➡➏➻➒➜❵➡
æ⑥➴ ▲ ➮❽é
❀ ➥⑧➨✹➳➏➤➒➦
|u(x, t)|
=
Z
x
sZ
us (s, t)ds ≤
1
u2s (s, t)ds ≤
➢➇➳■➧⑧➤❜➠P➥➒➨●➞✧➨✎➢❸×◗➡➏➻P➞✘➢➑➥P➢❸➡➏➢➇➜❵➺✾➞❬➥P➞✮➩✷➲❽➫❳➢➇➳➃➧✒➤❽➠P➥➒➨P➞❬➨ ▲
u(x, t)
0
0
p
p
2E(t) ≤ 2E(0).
✃ ▲❁❩ ò❋❉❏❉✦❑❁❅➒Ò❬❲✮ò➒Ó✭Ï✵ò❭❲☎❲✂Ò✯❱õÐ✙❂✭ò✗P❅ Ñ✻Ò✯❈◆❉➁ò❋❄❪❖✂Ö➇Ð✰❂❇❈✒Ò➈Ô✵Ï✵Ó✙❃➈Ñ✵❯ Ó✙❃✯❄❫❅PÖ❢Ï✭ñ
❇ ➥✟➡✷➻P➢➑➳✌➳➏➞❬➵②➡✷➢❸➤❜➥✟➛❱➞✳➛■➢❸➺➑➺◗➳❶➻P➤❫➛➋➡✷➻➒➜❫➡❑➡➏➻P➞✤➢❸➥➒➢í➡✷➢➑➜❽➺✭➸✱➧⑧➤❜➠P➥➒➨P➜❽➩➏➫✹➝❫➜❵➺➑➠P➞✝➯P➩✷➤❽➧➒➺❸➞❬➭ æ ❮ ▲ ❮ é✱➸✘æ ❮ ▲ ➷❜é■➛■➢❸➡➏➻
➢➇➳■➛❱➞❬➺❸➺❸➸➆➯⑧➤➁➳❶➞✧➨✎×➓➤❜➩❃➜❵➺➑➺ t > 0. ◆ ➤❳➳➏➻P➤❫➛ ➡✷➻P➞✦➛✱➞✮➺➑➺✾➸r➯✒➤❜➳➏➞❬➨●➥➒➞❬➳✷➳■➛❱➞✘➛■➢➑➺➑➺✭➠➒➳➏➞✦➜✂➳❶➞❬➭➌➢❸➲❜➩➏➤❜➠P➯
0➜❵➯➒ 0,
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æ➓✃ ▲ ➮❜é
y(0) = y .
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◆ ➻❯➠➒➳❬➦❜×➓➩✷➤❽➭➼➡✷➻P➞❑➯✒➤❽➢➑➥➁➡✱➤❽×✭➝❯➢❸➞❬➛❈➤❵×➈➳➏➤❽➺➑➝❯➢❸➥➒➲✦➢❸➥➒➢í➡✷➢➑➜❽➺✒➝❫➜❽➺❸➠P➞✌➯P➩✷➤❽➧P➺➑➞✮➭✂➳❱➤❽➩➃➜❵➧➒➳❶➡➏➩✼➜❽➵✢➡➃❐✱➜❵➠⑧➵✼➻➁➫➌➯P➩✷➤❽➧➒➺❸➞❬➭➌➳❬➦
➢❸➡❁➢➑➳➃➥➒➜❵➡➏➠P➩✼➜❵➺✻➡✷➤❳➜❽➳➏Ü✻➦➁➛■➻➒➢➑➵✼➻õ➤❽➯✒➞✮➩✼➜❫➡✷➤❽➩ A ➲❽➞❬➥P➞✮➩✼➜❫➡✷➞❬➳➃➜ C ➳❶➞❬➭✤➢➑➲❽➩✷➤❽➠➒➯ T (t) ▲
◆ ➤❅➯P➩✷➤❫➝❽➞✂➡✷➻P➞✛➛✱➞✮➺➑➺❱➸✌➯✒➤❜➳➏➞❬➨●➥➒➞❬➳✷➳✦➤❵×■➡✷➻P➞✹➢❸➥P➢❸➡➏➢➇➜❵➺❱➸✥➧⑧➤❜o➠P➥➒➨P➜❽➩➏➫Þ➝❫➜❵➺➑➠P➞✎➯➒➩➏➤❜➧P➺❸➞❬➭✽æ ❮ ▲ ❮ é✥➸➌æ ❮ ▲ ➷❽é✘➛✱➞
➢➑➥❜➡✷➩➏➤●➨●➠⑧➵✢➞✌➡➏➻P➞✥×➓➤❜➺❸➺➑➤❫➛■➢➑➥P➲✤➜❽➠●Ø●➢❸➺➑➢➇➜❵➩✷➫➌×➓➠P➥➒➵②➡✷➢❸➤❜➥➒➳❁➨●➞✮î➒➥P➞✧➨✹➜❜➳✱×➓➤❽➺➑➺❸➤❫➛❁❛➳ ❵
æ⑥✃ ▲ ➴❜é
a(t) = u(•, t),
æ➓✃ ▲ ✃❯é
b(t) = ut (•, t),
æ➓✃ ▲ ➷❜é
η(t) = mu (1, t).
ê ➤❜➩✂➳❶➢➑➭➌➯P➺❸➢➇➵✢➢❸➡❊➫❽➦✱➛✱➞✹➨●➞❬➥P➤❵➡✷➞ a, b, η ×➓➤❽➩ a(t), b(t),t η(t) ➦✱➩➏➞✧➳❶➯✒➞❬➵✢➡➏➢➑➝❽➞❬➺❸➫ ▲ ✿ ➢íÛ✻➞✮➩✷➞✮➥➁➡✷➢➑➜❵➡➏➢➑➥P➲â➡➏➻P➞✧➳❶➞
×➓➠P➥➒➵✢➡➏➢➑➤❽➥➒➳❁➛■➢í➡✷➻✹➩✷➞❬➳➏➯✒➞❬➵②➡➃➡✷➤ t ➛✱➞✌➤❜➧●➡✷➜❽➢❸➥
æ➓✃ ▲ ë➁é
b
at
axx
bt =
ηt
− γa(1) + ax (1) +
❏ ➞✮Ø❯➡❬➦P➛✱➞✘➜❵➺➇➳❶➤➌➨●➞✢î⑧➥P➞✦➳❶➤❜➭➌➞❑×➓➠➒➥➒➵②➡✷➢❸➤❜➥õ➳➏➯➒➜❜➵✢➞❬➳❬➦●➢ ▲ ➞❜❵
æ⑥✃ ▲ ✾❵é
ǫ
mη
.
V := {a ∈ H 1 [0, 1], a(0) = 0},
æ➓✃ ▲ ß❜é
❏ ➤❫➛ ➛❱➞✥➞✧➟❜➠➒➢❸➯✹➡➏➻➒➞✦➳❶➯➒➜❜➵✢➞
æ➓✃ ▲ ã❜é
➨●➞✮î➒➥P➞❬➨✹➧❯➫
H := {y(t) = (a, b, η) ∈ V × L2 [0, 1] × ℜ}.
H
➛■➢í➡✷➻✛➡✷➻P➞✘➢➑➥P➥P➞✮➩■➯➒➩➏➤●➨●➠➒➵✢➡
h· , ·i : H × H → ℜ
Z 1
➓æ ✃ ▲ ❮ ➱❜é
1
hy , ỹi :=
(ax ãx + bb̃)dx + γa(1)ã(1) + η η̃,
m
0
➛■➻P➞❬➩➏➞ y = (a, b, η) ➜❽➥➒➨ ỹ = (ã, b̃, η̃)
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Φ := ψ .
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η γa(1) + ax (1) + η
m
m
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m
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(ax bx + axx b)dx + γa(1)η −
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a − b = ao ,
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b − axx = bo ,
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η + γa(1) + ax (1) + η = ηo .
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a − axx = ao + bo ∈ L2 (0, 1),
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(m + ǫ + γ)a(1) + ax (1) = ηo + (ǫ + m)ao (1).
❚ ➟➁➠➒➜❵➡➏➢➑➤❽➥➒➳✥æ➓✃ ▲ ➮❽➱❜é❤➸■æ⑥✃ ▲ ➮❽➮❜é❤➻➒➜③➝❜➞❑➜✦➠➒➥P➢➑➟➁➠P➞✘➳➏➤❽➺➑➠●➡➏➢➑➤❽➥ a ∈ H 2(0, 1) ∩ V ▲❤ê ➩➏➤❜➭ æ➓✃ ▲ ❮ ã➁é◗➡✷➻P➞✌×➓➠P➥➒➵②➡✷➢❸➤❜➥
➵✮➜❽➥❅➧✒➞✝×➓➤❜➠P➥➒➨ ▲ ➬✱➫✹➡➏➻P➢➇➳✥➵✢➤❜➥➒➳❊➡✷➩➏➠⑧➵②➡➏➢➑➤❽➥✩➛❱➞✝×➓➤❽➠P➥➒➨❅➡➏➻➒➜❵➡ = (a, b, η) ∈ D(A). ❙ ➤➒➦✒➡➏➻➒➞✳➯P➩✷➤❯➤❵×❞➤❽×
η➡➏➻➒➞✥➡➏➻P➞❬➤❽➩✷➞✮➭ ➥P➤❫➛ ×➓➤❽➺➑➺❸➤❫➛❁➳➃➨●➢➑➩✷➞❬➵②➡✷➺❸➫✎×➓➩➏➤❜➭✪➡➏➻➒➞✦❒✵➠P➭➌➞✮➩➏➸✈P❞➻P➢➑y➺❸➺➑➢❸➯⑧
➳ ◆ ➻P➞✮➤❜➩➏➞❬➭ ▲
❇ × A ➢➇➳■➜✤➺❸➢➑➥P➞❬➜❽➩➃➤❽➯✒➞✮➩✼➜❫➡➏➤❜➩❱➤❜➥ H ➲❽➞❬➥P➞✮➩✼➜❫➡✷➢❸➥P➲✝➡➏➻P➞ Co ➳➏➞✮➭➌➢❸➲❜➩➏➤❜➠P➯ T (t) ➜❽➥➒➨✛➢í×➈➡➏➻P➞✌×➓➠P➥➒➵✢➡➏➢➑➤❽➥ yo ➢➇➳➃➢❸➥
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D(A) ➐
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T (t)f ∈ D(A)
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T (t)f = AT (t)f = T (t)Af.
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(a, b, η) = y(t) := T (t)yo .
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☞ ❲◗❨❬❩✮❭❫❪P❴❵❩❜❛❞❝❢❡❤❣❥✐✧❦♠❧❯♥❫♦✼♥❵♣❊qP♦✼❡r❦♠❡✧❦ ❣❥❦s♦✼t ✉❢✈❵✇②①③❡✧④❫1,♦✼2q⑥⑤✺⑦②♦✼t♠①③♣⑧♥③q⑨✇②✈✧t♠♣❶⑩✟❷❸✇②q●♦✾✐③✇②⑩■✇②❹②♣❊❡③♣❊✇②①③❧●2❧⑨❣⑨q⑥❦♠❡③❹r❺❸✇②q❯❻✵♦❊⑦✢♣✷❼❽♣❶❾✮①❫♦✷❣⑨❦♠✇②❡
❳
❦♠❧◗❿❊✇②❡③❧⑨❦♠④③♣❊q⑨♣❊④➁➀➃➂✺❡③♣✱♣❊❡③④✝✇✼❷✒❣⑨✐③♣➃❧⑥❣❥q⑥❦♠❡③❹❃❦♠❧❤♦✼❧❥❧⑨①③⑩■♣❊④✥❣❥✇❑✈❵♣❱➄③➅❬♣❊④✤♦✼❡③④✘❣⑨✐③♣➃✇✼❣⑨✐③♣❊q❤♣❊❡③④✦✇✼❷✻❣❥✐✧♣✱❧⑨❣⑨q⑥❦♠❡③❹✌❦♠❧❤♦✷❣⑥❣❥♦✼❿➆✐③♣❊④✳❣⑨✇
♦➃❧❥♥✧q⑨❦♠❡③❹✼✉➇⑩❁♦✼❧❥❧⑨✉➇④❫♦✼❧❥✐③♥❵✇✼❣➈❧⑨⑤❬❧⑨❣⑨♣❊⑩✥➉❫❻➈✐✧♣❶q⑥♣❱❣⑨✐③♣r④❫♦✼⑩■♥③❦♠❡③❹■❹②♣❊❡③♣❊q⑨♦✷❣❥♣❊④✝✈✮⑤❃❣⑨✐③♣✱④❫♦✼❧⑨✐③♥❵✇✼❣◗❦♠❧✺♦✼❧❥❧❥①✧⑩■♣❶④❑❣❥✇❁✈❵♣❞❧❥⑩❁♦✼t♠t➇➀✾➊✵✐③❦♠❧
♥③q⑥✇②✈③t♠♣❊⑩➋❿❶♦✼❡➌✈❵♣■q⑥♣❶❹✢♦✼q⑥④③♣❊④❳♦✼❧❱♦✌❧❥❦♠⑩■♥③t♠♣❱⑩■✇❬④✧♣❶t⑧④③♣❊❧❥❿❊q⑥❦♠✈③❦♠❡③❹✘✇②❧❥❿❊❦♠t♠ts♦✷❣⑨❦♠✇②❡③❧❞✇✼❷✵➍❫♣➎➅✧❦♠✈③t♠♣■❧⑥❣❥q⑥①③❿➎❣⑨①③q⑨♣❊❧➃❧⑨①③❿➆✐✂♦✼❧r✇➏⑦✢♣❊q⑥✐③♣❶♦✼④
♥❵✇➏❻✾♣❊q✵❣❥q⑨♦✼❡③❧⑨⑩■❦♠❧❥❧❥❦♠✇②❡❃t♠❦♠❡③♣❊❧➏➀⑧➐✩❧❥♣❊⑩■❦♠❹②q⑨✇②①✧♥✌♦✼♥③♥✧q⑨✇✢♦✼❿➆✐✘❻✭❦♠t♠t❽✈❽♣❞①③❧⑨♣❊④❑❣⑨✇■❧❥✐③✇❶❻✟❣❥✐③♣❤❻✾♣❊t♠t ✉❢♥❵✇②❧⑨♣❶④✧❡③♣❊❧❥❧✭✇✼❷●❣❥✐③♣❞♥③q⑥✇②✈③t♠♣❊⑩❈♦✼❧
❻✾♣❊t♠t③♦✼❧●❣⑨✐③♣✭♦✼❧⑨⑤❬⑩■♥✧❣⑨✇✼❣❥❦♠❿✻⑦✼♦✼t♠❦♠④③❦ ❣❢⑤❞✇✼❷❵❷➑✇②q⑥⑩❁♦✼t✧♦✼♥✧♥③q⑨✇❶➅✧❦♠⑩❁♦✷❣⑨❦♠✇②❡③❧➒✇✼❷❵❣❥✐③♣✾❧⑨✇②t♠①✧❣⑨❦♠✇②❡✱✇②❡✱t♠✇②❡✧❹✺❣❥❦♠⑩■♣➎✉❢❧⑨❿❶♦✼t♠♣❶❧❶➀❯➐❳⑩✱①✧t ❣❥❦♠♥③t♠♣➒❣❥❦♠⑩■♣➎✉
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❿❊✇②⑩■♥③t♠❦♠❿❶♦✷❣❥♣❊④➁➉✧❡③✇②❡✧✉❢❿❊ts♦✼❧⑨❧❥❦♠❿❶♦✼t❯✈❵✇②①③❡③④❫♦✼q➓⑤❑❿❶✇②❡✧④③❦ ❣❥❦♠✇②❡❜➀
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mutt (1, t) + γu(1, t) + ux (1, t) = 0, t ≥ 0,
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u(x, 0) = φ(x), 0 < x < 1,
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▲ ➬❱➫
(t)
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(−X (x)X̄(x) + X(x)X̄ (x))dx = [−X (x)X̄(x) + X(x)X̄ (x)]
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′
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0
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➢❸➡■×➓➤❽➺➑➺❸➤❫➛❁➳❱➡➏➻⑧➜❫➡ λ − λ̄ = 0. ❀ ➥➒➨õ➳❶➤⑧➦ λ0 ➢➑➳➃➩✷➞❬➜❽➺ ▲❤◆ ➤➌➯P➩➏➤❫➝❜➞❃➡✷➻➒➜❫➡ λ ➢➑➳■➯✒➤❜➳➏➢❸➡➏➢➑➝❽➞✥➛❱➞✘➵✮➤❽➥➒➳➏➢➑➨P➞✮➩
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0
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Z
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−X ′′ (x)X(x)dx = λ
X 2 (x)dx.
0
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Z 1
Z 1
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2
2
(X ′ )2 (x)dx.
1 + mδ(x − 1) X (x)dx = γX (1) +
λ
0
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❙ ➢➑➥➒➵✢➞
➡➏➻⑧➜❫➡✌➡➏X(x)
➻P➞✤➩➏➢➑➲❽➻➁➡➏➸❥➻➒➜❽➥➒➨❅➳➏➢➑➨P➞✝➤❵×✌æ⑨➮ ▲ ❮ ➷❜é❁➜❽➩➏➞✳➧⑧➤❽➡➏➻✩➯✒➤❜➳➏➢❸➡➏➢➑➝❽➞❽➦✵➜❽➥➒➨❅➳➏➤ λ > 0. ❇ ➥â➜✎➵✢➤❜➭➌➯P➺❸➞✮➡➏➞❬➺❸➫❅➳➏➢❸➭➌➢➑➺➑➜❽➩
➛➃➜③➫✤➛✱➞✥➵✮➜❵➥✹➨●➞❬➨P➠➒➵✢➞❑➡➏➻➒➜❵➡■➢í× λ ➜❵➥➒➨ λ ➜❽➩➏➞❃➡❊➛❱➤✳➞✮➢➑➲❽➞❬➥➁➝❫➜❽➺❸➠P➞✧➳r➛■➢❸➡➏➻õ➵✢➤❜➩➏➩✷➞❬➳➏➯✒➤❽➥➒➨●➢➑➥P➲✦➞❬➢❸➲❜➞✮➥●×➓➠➒➥➒➵②➡✷➢❸➤❜➥➒➳
➜❽➥➒➨ X (x) ➩➏➞❬➳➏➯✒➞❬➵②➡✷➢❸➝❜➞✮➺➑1➫➌➡➏➻P➞❬➥ 2
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2
Z 1
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[1 + mδ(x − 1)]X1 (x)X2 (x)dx = 0.
0
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➩✷➞❬➳➏➯⑧➞✧➵②➡➃➡➏➤✂➢➑➥P➥P➞❬➩■➯P➩➏➤●➨●➠⑧➵②➡❁➜❽➳■➨●➞✮î➒➥P➞✧➨✛➧❯➫
Z 1
æ⑨➮ ▲ ❮ ✾❵é
1 + mδ(x − 1) W1 (x)W2 (x)dx.
< W1 (x), W2 (x) >=
◆ ➻P➞✥➧✒➤❽➠P➥➒➨➒➜❵➩✷➫❳➝❫➜❵➺➑➠P➞✘➯P➩✷➤❽➧P➺➑➞✮➭✬æ❥➮ ▲ ë❜ér➸❃æ⑨➮ ▲ 0ß➁é❱×➓➤❽➩ X(x) ➵✮➜❽➥✛➥➒➤❫➛ ➩✷➞❬➜❽➨P➢❸➺➑➫✂➧⑧➞✦➳➏➤❽➺➑➝❽➞✧➨✾➦●➫❯➢❸➞❬➺➑➨P➢❸➥P➲
√
æ⑨➮ ▲ ❮ ß❜é
X(x) = A sin( λx),
➛■➻P➞❬➩➏➞ A ➢➇➳■➜✤➵✮➤❽➥➒➳❶➡✷➜❽➥➁➡■➜❽➥➒➨✹➛■➻P➞✮➩✷➞ √λ ➻➒➜❽➳✱➡✷➤✂➳➏➜❵➡➏➢➇➳❊×➓➫
√
æ⑨➮ ▲ ❮ ã❜é
mλ − γ
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.
λ
❇ ➡✝➵✮➜❽➥Þ➧⑧➞✎➳➏➻P➤❫➛■➥å➡➏➻➒➜❵➡✛æ⑨➮ ▲ ❮ ã❜é❑➻➒➜❜➳✘➢❸➥Pî➒➥P➢❸➡➏➞✮➺➑➫â➭➌➜❽➥❯➫❽➦✭➢➇➳➏➤❽➺➇➜❫➡➏➞✧➨â➯⑧➤➁➳❶➢❸➡➏➢➑➝❽➞➌➩✷➤➁➤❽➡✷➳ ▲❳❆ ➞✎➨●➞✮➥➒➤❵➡➏➞➌➡✷➻P➞❬➳➏➞
➩✷➤➁➤❽➡✷➳✝➧➁➫ λ , ➜❽➥➒➨Þ➢❸➡✳➢➇➳✳➵✮➺❸➞✧➜❵➩✦➡✷➻➒➜❫➡ (n − 1)π < √λ < nπ ➦ n = 1, 2, 3, · · ·▲â◆ ➻P➞✎➨●➢❸Û✻➞✮➩✷➞✮➥➁➡➏➢➇➜❵➺
n
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☞✍✌✏✎✒✑✔✓✖✕✗✓✙✘✡✚✔✛☎✜✣✢✍✘✡✤✦✥✧✓✙✢✩★✫✪✭✬✯✮✡✘✰✎✯✪✭☞✡✌✔✱✲☞✍✳✴✘✩✱✵✎✒✮✫✪✶✌✸✷
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➞❬➟➁➠➒➜❵➡➏➢➑➤❽➥çæ❥➮ ▲ ã❜é➃×➓➤❜➩
➵✮➜❽➥❅➥P➤❫➛▼➜❵➺➇➳❶➤✎➧⑧➞✤➳❶➤❜➺❸➝❜➞❬➨ ▲❃ê ➢➑➥➒➜❵➺➑➺➑➫✛➛✱➞✦î➒➥⑧➨❅➜❽➳❑➜❳➥P➤❜➥❜➡✷➩➏➢➑➝❯➢➑➜❽➺✭➳➏➤❽➺➑➠●➡➏➢➑➤❽➥✟×➓➤❜➩
➡➏➻➒➞❁P ✿❃❚ æ❥➮ ▲ ❮ é✱➜❵➥⑧➨✎T➡✷(t)
➻P➞✘➬❁❐✱➳✦æ⑨➮ ▲ ➮❜é❞➸❃æ❥➮ ▲ ➴❜é✱➛■➢❸➡➏➻ ǫ = 0
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An cos( λn t) + Bn sin( λn t) sin( λn x),
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➛■➻P➞❬➩➏➞ ➳✷➜❫➡✷➢➑➳❶î➒➞✧➳✳æ❥➮ ▲ ❮ ã❜é✢➦✾➜❵➥➒➨✩➛■➻P➞✮➩✷➞ ➜❵➥➒➨
➜❵➩✷➞✝➜❵➩✷➧P➢❸➡➏➩✼➜❵➩✷➫✹➵✮➤❽➥➒➳❶➡✷➜❽➥❜➡✼➳ ▲❚❙ ➳➏➢➑➥P➲✎➡✷➻P➞➌➳❶➠P➯✒➞✮➩➏➸
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∞
X
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p
p
An cos( λn t) + Bn sin( λn t) sin( λn x).
u(x, t) =
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n=1
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n
n
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√
[1 + mδ(x − 1)]φ(x) sin( λn x)dx
,
R1
√
[1 + mδ(x − 1)] sin2 ( λn x)dx
0
R1
0
1
Bn = √
λn
√
[1 + mδ(x − 1)]ψ(x) sin( λn x)dx
.
R1
√
2
0 [1 + mδ(x − 1)] sin ( λn x)dx
R1
0
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➳➏➤❽➺➑➠●➡➏➢➑➤❽➥ u(x, t) ➤❽×✌➯P➩✷➤❽➧➒➺❸➞❬➭ æ ❮ ▲ ❮ é✦➸✎æ ❮ ▲ ➷❽é✳➢➇➳➌➧⑧➤❜➠P➥➒➨●➞✧➨ ➢❸×❃➡✷➻P➞✟➢➑➥P➢í➡✷➢➑➜❽➺❁➞✮➥➒➞✮➩✷➲❽➫ä➢➇➳➌➧⑧➤❜➠P➥➒➨●➞✧➨ ▲ ➬❱➫
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∂
∂t
Z 1
0
1
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ut (x, t) + u2x (x, t) dx
2
2
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1
ut (x, t)ux (x, t)
x=0
=
=
−mut (1, t)utt (1, t) − γut (1, t)u(1, t) − ǫu2t (1, t)
1
∂ 1
mu2t (1, t) + γu2 (1, t) − ǫu2t (1, t).
−
∂t 2
2
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E(t)
0
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E(t)
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Z 1
1 2
1 2
1
1
=
ut (x, t) + ux (x, t) dx + mu2t (1, t) + γu2 (1, t)
2
2
2
2
0
Z t
= E(0) − ǫ
u2s (1, s)ds ≤ E(0).
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➡➏➻➒➞✦➳❊➡✷➩➏➢➑➥P➲✂➜❵➥➒➨✎➡➏➻➒➞✘➭➌➜❜➳➏➳ ▲ ➬✱➫❳➠➒➳➏➢❸➥P➲➌➡✷➻P➞✳❐✱➜❵➠⑧➵✼➻➁➫➁➸ ❙ ➵✼➻❯➛✱➜❽➩❶❨➡ ✼❁➢➑➥P➞❬➟➁➠➒➜❽➺❸➢❸➡❊➫❳➢❸➡❁➥P➤❫➛è×➓➤❜➺❸➺➑➤❫➛❁➳❱➡➏➻➒➜❵➡
æ⑥➴ ▲ ➮❽é
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|u(x, t)|
=
Z
x
sZ
us (s, t)ds ≤
1
u2s (s, t)ds ≤
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u(x, t)
0
0
p
p
2E(t) ≤ 2E(0).
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❇ ➥✟➡✷➻P➢➑➳✌➳➏➞❬➵②➡✷➢❸➤❜➥✟➛❱➞✳➛■➢❸➺➑➺◗➳❶➻P➤❫➛➋➡✷➻➒➜❫➡❑➡➏➻P➞✤➢❸➥➒➢í➡✷➢➑➜❽➺✭➸✱➧⑧➤❜➠P➥➒➨P➜❽➩➏➫✹➝❫➜❵➺➑➠P➞✝➯P➩✷➤❽➧➒➺❸➞❬➭ æ ❮ ▲ ❮ é✱➸✘æ ❮ ▲ ➷❜é■➛■➢❸➡➏➻
➢➇➳■➛❱➞❬➺❸➺❸➸➆➯⑧➤➁➳❶➞✧➨✎×➓➤❜➩❃➜❵➺➑➺ t > 0. ◆ ➤❳➳➏➻P➤❫➛ ➡✷➻P➞✦➛✱➞✮➺➑➺✾➸r➯✒➤❜➳➏➞❬➨●➥➒➞❬➳✷➳■➛❱➞✘➛■➢➑➺➑➺✭➠➒➳➏➞✦➜✂➳❶➞❬➭➌➢❸➲❜➩➏➤❜➠P➯
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dt
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y(0) = y .
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◆ ➻❯➠➒➳❬➦❜×➓➩✷➤❽➭➼➡✷➻P➞❑➯✒➤❽➢➑➥➁➡✱➤❽×✭➝❯➢❸➞❬➛❈➤❵×➈➳➏➤❽➺➑➝❯➢❸➥➒➲✦➢❸➥➒➢í➡✷➢➑➜❽➺✒➝❫➜❽➺❸➠P➞✌➯P➩✷➤❽➧P➺➑➞✮➭✂➳❱➤❽➩➃➜❵➧➒➳❶➡➏➩✼➜❽➵✢➡➃❐✱➜❵➠⑧➵✼➻➁➫➌➯P➩✷➤❽➧➒➺❸➞❬➭➌➳❬➦
➢❸➡❁➢➑➳➃➥➒➜❵➡➏➠P➩✼➜❵➺✻➡✷➤❳➜❽➳➏Ü✻➦➁➛■➻➒➢➑➵✼➻õ➤❽➯✒➞✮➩✼➜❫➡✷➤❽➩ A ➲❽➞❬➥P➞✮➩✼➜❫➡✷➞❬➳➃➜ C ➳❶➞❬➭✤➢➑➲❽➩✷➤❽➠➒➯ T (t) ▲
◆ ➤❅➯P➩✷➤❫➝❽➞✂➡✷➻P➞✛➛✱➞✮➺➑➺❱➸✌➯✒➤❜➳➏➞❬➨●➥➒➞❬➳✷➳✦➤❵×■➡✷➻P➞✹➢❸➥P➢❸➡➏➢➇➜❵➺❱➸✥➧⑧➤❜o➠P➥➒➨P➜❽➩➏➫Þ➝❫➜❵➺➑➠P➞✎➯➒➩➏➤❜➧P➺❸➞❬➭✽æ ❮ ▲ ❮ é✥➸➌æ ❮ ▲ ➷❽é✘➛✱➞
➢➑➥❜➡✷➩➏➤●➨●➠⑧➵✢➞✌➡➏➻P➞✥×➓➤❜➺❸➺➑➤❫➛■➢➑➥P➲✤➜❽➠●Ø●➢❸➺➑➢➇➜❵➩✷➫➌×➓➠P➥➒➵②➡✷➢❸➤❜➥➒➳❁➨●➞✮î➒➥P➞✧➨✹➜❜➳✱×➓➤❽➺➑➺❸➤❫➛❁❛➳ ❵
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a(t) = u(•, t),
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b(t) = ut (•, t),
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η(t) = mu (1, t).
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b
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axx
bt =
ηt
− γa(1) + ax (1) +
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ǫ
mη
.
V := {a ∈ H 1 [0, 1], a(0) = 0},
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æ➓✃ ▲ ã❜é
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H := {y(t) = (a, b, η) ∈ V × L2 [0, 1] × ℜ}.
H
➛■➢í➡✷➻✛➡✷➻P➞✘➢➑➥P➥P➞✮➩■➯➒➩➏➤●➨●➠➒➵✢➡
h· , ·i : H × H → ℜ
Z 1
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1
hy , ỹi :=
(ax ãx + bb̃)dx + γa(1)ã(1) + η η̃,
m
0
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➡➏➻➒➞✘➞✮➥P➞❬➩➏➲❜➫✂➤❵×✺➡➏➻P➞✦➳❶➡➏➩✷➢❸➥➒➲õæ⑨➳❶➞❬➞✘➜❵➺➇➳❶➤✟æ⑥➴ ▲ ❮ é❶é ▲❞ê H➤❽➩✱➡✷➻➒➜❫➡❁➩✷➞❬➜❜➳❶➤❜➥✎➛✱➞✥➵❬➜❵➺➑➺✾➡➏➻➒➞✦➳❶➯➒➜❜➵✢➞❑➡➏➻P➞✘➞❬➥P➞✮➩✷➲❽➫✛➳❶➯➒➜❜➵✢➞
▲❞◆ ➻P➞✥➞❬➥P➞✮➩✷➲❽➫✎➳➏➯➒➜❜➵✢➞ H ➡✷➤❽➲❜➞✢➡➏➻➒➞✮➩■➛■➢❸➡➏➻✹➡➏➻P➞✘➢➑➥P➥P➞❬➩■➯P➩✷➤❯➨P➠➒➵②➡ h· , ·i ➢➑➳■➜ ❘ ➢➑➺➑➧⑧➞❬➩❶➡❃➳➏➯➒➜❽➵✮➞ ▲
H ❏ ➞✮Ø❯➡❬➦●➛✱➞✦➨●➞✢î➒➥➒➞❑➡✷➻P➞✘
➠P➥❯➧✒➤❽➠P➥➒➨P➞❬➨✹➤❽➯✒➞✮➩✼➜❫➡✷➤❽➩ A : D(A) ⊂ H → H ➧❯➫
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Ay(t) :=
b
axx
− γa(1) + ax (1) +
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, y ∈ D(A),
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D(A) := y(t) = (a, b, η) ∈ (H 2 [0, 1] ∩ V) × V × ℜ; η = mb(1) .
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æ➓✃ ▲ ❮ ➴➁é
ẏ = Ay,
æ➓✃ ▲ ❮ ✃❯é
y(0) = Φ,
➛■➻P➞❬➩➏➞
➜❽➥➒➨
ẏ = dy(t) ,
dt
φ
Φ := ψ .
η(0)
☞✍✌✏✎✒✑✔✓✖✕✗✓✙✘✡✚✔✛☎✜✣✢✍✘✡✤✦✥✧✓✙✢✩★✫✪✭✬✯✮✡✘✰✎✯✪✭☞✡✌✔✱✲☞✍✳✴✘✩✱✵✎✒✮✫✪✶✌✸✷
✄❡❞✺→❯↕➒❭❫❣→ ❢✐❤➈❦❛ ❥✒♠
❛ ❧✯♥❋♦q♣sr✵t✈✉✵♣
✉➄➃❡➅❷✉✵②❭t✭♣sr➆➅qt✶➀❦✉✵②❋❼
T (t)
A : D(A) ⊂ H → H ✇
❼✭♥❭r➆➅❷♦
H⑨
❸✵④
✉❺②✿t➈➇❋♦➁♦q②❊♦q♣
♦✶①✡②✙♦
✇✴③q④⑥⑤⑧⑦◆⑨⑧⑩❜⑩❷❶❹❸
♦q②❊♦q♣sr❺t❻♦✁❼❽r
❝
Co
❼❾♦q❿➁➀ s♣ ✉✵➂☎♥
❸
❀ ➵✮➵✮➤❽➩✼➨●➢➑➥P➲✌➡➏➤✥➡➏➻➒➞❁❒✵➠P➭➌➞✮➩➏✈➸ P❞➻P➢➑➺❸➺➑➢❸➯⑧➳ ◆ ➻P➞✮➤❜➩➏➞❬➭ìæ⑨➳❶➞❬➞✘Ý ➮❫à❥➦❜➯ ▲ ➮❽ë❜é✢➦❽➢❸➡❞➢➑➳❞➳➏➠●ö❳➵✢➢➑➞✮➥➁➡❞➡✷➤✦➳❶➻➒➤❫➛ç➡➏➻⑧➜❫➡
⑨
➇
➢
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A
➵✢➤❜➭➌➯P➠●➡✷➜❵➡➏➢➑➤❽➥✹➲❽➢➑➝❽➞✧➳
➉ ♣s✉☎✉➄➃
1
1 h
ǫ i
η γa(1) + ax (1) + η
m
m
0
ǫ
= ax b|10 + γa(1)η − γa(1)η − ax (1)η − 2 η 2
m
ǫ 2
= − 2 η ≤ 0.
m
hAy, yi =
æ➓✃ ▲ ❮ ➷❽é
Z
(ax bx + axx b)dx + γa(1)η −
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➳➏➫❯➳❶➡➏➞❬➭
æ➓✃ ▲ ❮ ë❜é
(I − A)y = yo
➢➇➳➃➠P➥P➢➇➟❜➠➒➞✮➺➑➫✛➳➏➤❽➺➑➝③➜❽➧P➺➑➞❑×➓➤❜➩❁➜❵➥❯➫❳➲❜➢❸➝❜➞✮➥ y = (a , b , η ) ∈ H ▲❤❚ ➟❜➠⑧➜❫➡➏➢➑➤❽➥Þæ➓✃ ▲ ❮ ë❜é❱➢➇➳■➞❬➟➁➠P➢➑➝❫➜❵➺➑➞✮➥➁➡■➛■➢í➡✷➻
o
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æ➓✃ ▲ ❮ ✾❵é
a − b = ao ,
æ➓✃ ▲ ❮ ß❜é
b − axx = bo ,
æ➓✃ ▲ ❮ ã❜é
ǫ
η + γa(1) + ax (1) + η = ηo .
m
❚ ➺➑➢❸➭➌➢➑➥➒➜❫➡✷➢❸➥➒➲ b ×➓➩✷➤❽➭✬æ⑥✃ ▲ ❮ ✾❽é❱➜❽➥➒➨Þæ➓✃ ▲ ❮ ß❜é❱➜❵➥➒➨✹➠➒➳➏➢❸➥➒➲õæ⑥✃ ▲ ➷❽é❱➛✱➞✌➤❜➧●➡✷➜❽➢❸➥✹➡✷➻P➞✘➞❬➟➁➠➒➜❵➡➏➢➑➤❽➥
æ➓✃ ▲ ➮❽➱❜é
a − axx = ao + bo ∈ L2 (0, 1),
æ➓✃ ▲ ➮ ❮ é
a(0) = 0,
æ➓✃ ▲ ➮❜➮❽é
(m + ǫ + γ)a(1) + ax (1) = ηo + (ǫ + m)ao (1).
❚ ➟➁➠➒➜❵➡➏➢➑➤❽➥➒➳✥æ➓✃ ▲ ➮❽➱❜é❤➸■æ⑥✃ ▲ ➮❽➮❜é❤➻➒➜③➝❜➞❑➜✦➠➒➥P➢➑➟➁➠P➞✘➳➏➤❽➺➑➠●➡➏➢➑➤❽➥ a ∈ H 2(0, 1) ∩ V ▲❤ê ➩➏➤❜➭ æ➓✃ ▲ ❮ ã➁é◗➡✷➻P➞✌×➓➠P➥➒➵②➡✷➢❸➤❜➥
➵✮➜❽➥❅➧✒➞✝×➓➤❜➠P➥➒➨ ▲ ➬✱➫✹➡➏➻P➢➇➳✥➵✢➤❜➥➒➳❊➡✷➩➏➠⑧➵②➡➏➢➑➤❽➥✩➛❱➞✝×➓➤❽➠P➥➒➨❅➡➏➻➒➜❵➡ = (a, b, η) ∈ D(A). ❙ ➤➒➦✒➡➏➻➒➞✳➯P➩✷➤❯➤❵×❞➤❽×
η➡➏➻➒➞✥➡➏➻P➞❬➤❽➩✷➞✮➭ ➥P➤❫➛ ×➓➤❽➺➑➺❸➤❫➛❁➳➃➨●➢➑➩✷➞❬➵②➡✷➺❸➫✎×➓➩➏➤❜➭✪➡➏➻➒➞✦❒✵➠P➭➌➞✮➩➏➸✈P❞➻P➢➑y➺❸➺➑➢❸➯⑧
➳ ◆ ➻P➞✮➤❜➩➏➞❬➭ ▲
❇ × A ➢➇➳■➜✤➺❸➢➑➥P➞❬➜❽➩➃➤❽➯✒➞✮➩✼➜❫➡➏➤❜➩❱➤❜➥ H ➲❽➞❬➥P➞✮➩✼➜❫➡✷➢❸➥P➲✝➡➏➻P➞ Co ➳➏➞✮➭➌➢❸➲❜➩➏➤❜➠P➯ T (t) ➜❽➥➒➨✛➢í×➈➡➏➻P➞✌×➓➠P➥➒➵✢➡➏➢➑➤❽➥ yo ➢➇➳➃➢❸➥
➡➏➻P➞❬➥õ➛❱➞✦➵❬➜❵➥õ➳❶➻P➤❫➛ ➡➏➻➒➜❵➡ ◆ (t)y ➢➑➳❁➢❸➥ D(A) ▲r❄ ➤❜➩➏➞❬➤❫➝❽➞❬➩❬➦➁➛❱➞✥➻➒➜③➝❜➞✌➡➏➻P➞✥×➓➤❜➺❸➺➑➤❫➛■➢❸➥➒➲✳➺➑➞✮➭➌➭✂➜ ▲
D(A)
o
✏r→❣❢➊❢➽❪✾➌❛ ➋✯♦❾t A ③ ♦✲t⑧➇❭♦✲➀⑧②❛①✡②◆➀⑧t✈♦❾❼✁➀⑧❿❹r✵➍ ❸ ♦❾②✙♦❾♣❨r❺t❻✉❺♣✲✉➎➃❁t⑧➇❭♦ C ❼q♦❾❿➁➀ ❸ ♣s✉❺➂☎♥ T (t). ➏ ➇❋♦q②❹➃❾✉❺♣➁r✵② ④ f ∈
D(A) ➐
♦❚➇❋r✵➑➒♦
T (t)f ∈ D(A)
æ⑥✃ ▲ ➮❵➴➁é
➀➔❼
✇
➀ →❫♦q♣s♦q②❭t✭➀❦r
③
➍➣♦
⑨↕↔
②✲➃❾r❜➅❾t✶➙
æ➓✃ ▲ ➮❵✃➁é
➉ ♣s✉☎✉➄➃
⑨
❙ ➞❬➞
➯➒➜❵➲❜➞✌➴❜ã❽ß ▲
➛✱➞✦➨●➞✮î➒➥P➞
∈ D(A)
[3]
r✵②
✇
t⑧➇❭♦✫➃❷➂➓②✙➅❾t✭➀❦✉❺②
o
[0, ∞) ∋ t 7→ T (t)f ∈ H
d
T (t)f = AT (t)f = T (t)Af.
dt
ê ❜➤ ➩ yo
æ➓✃ ▲ ➮❜➷❽é
(a, b, η) = y(t) := T (t)yo .
❀ ➯➒➯P➺❸➫❯➢➑➥P➲➌➡➏➻➒➞✘➺❸➞❬➭✤➭✂➜✤➛✱➞❑î⑧➥➒➨✛➡➏➻➒➜❵➡
æ➓✃ ▲ ➮❽