13. Persamaan Aliran Fluida ... (Supahar)
Supahar…Persamaan Aliran Fluida…
PERSAMAAN ALIRAN FLUIDA FASA TUNGGAL PADA MEDIA POROUS
Oleh : Supahar
Jurusan Pendidikan Fisika FMIPA UNY
ABSTRAK
Telah diturunkan secara matematis persamaan aliran fluida fasa tunggal pada
medium porous yang dinyatakan dalam parameter besaran termodinamika terukur. Hukumhukum kekekalan diterapkan pada perasamaan transport Boltzmann untuk menghasilkan
persamaan kontinuitas (konservasi massa). Dengan merumuskan kembali persamaan
kontinuitas yakni dengan menambahkan bobot porositas sehingga diperoleh persamaan
aliran fluida dalam media porous. Persamaan aliran fluida dalam media porous selanjutnya
dinyatakan dalam parameter besaran termodinamika terukur tekanan (P), sehingga
menjadikan persamaan tersebut bersifat applicable, khususnya dalam bidang eksplorasi
minyak dan gas alam lainnya.
1. PENDAHULUAN
Sistem aliran total bagi reservoir terdiri atas empat tahap, yakni: fasilitas pipa alir
permukaan, aliran tegak dalam wellbore, aliran gas yang melalui media porous menuju
wellbore, dan gerakan air pada tepi dari gelembung gas. Aliran yang terjadi dapat berupa
aliran fasa tunggal (seperti: air, gas, atau kondensat), aliran dua fasa (seperti: gas/air atau
gas/kondensat), dan aliran tiga fasa (gas/kondensat/air).
Pembahasan pada makalah ini dibatasi pada perumusan persamaan aliran fluida
fasa tunggal untuk mendapatkan solusi persamaan aliran fluida melalui media porous pada
wellbore, dan gerakan air pada tepi gelembung gas yang digambarkan melalui persamaan
cairan murni (air) dan solusinya pada tepi dari gelembung gas.
Konsekuensi dari hukum-hukum kekekalan yang diterapkan pada persamaan
transport Boltzmann akan menghasilkan persamaan persamaan kontinuitas.
Dengan
merumuskan kembali persamaan kontinuitas (konservasi massa) dalam parameter besaran
termodinamika terukur: Tekanan (P), menjadikan persamaan kontinuitas bersifat
applicable, khususnya dalam bidang eksplorasi minyak dan gas alam lainnya.
2. KONSEKUENSI PERSAMAAN TRANSPORT BOLTZMANN TERHADAP
HUKUM-HUKUM KEKEKALAN
Untuk menyelidiki fenomena non equilibrium, kita harus menyelesaikan persamaan
transport Boltzmann, dengan memberikan kondisi awal, untuk menemukan fungsi
F-142
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan & Penerapan MIPA, Hotel Sahid Raya Yogyakarta, 8 Februari 2005
distribusi sebagai sebuah fungsi waktu. Sejumlah sifat dari solusi persamaan Boltzmann
kemungkinan dapat diperoleh dari fakta bahwa dalam tumbukan molekul di sini terdapat
kuantitas dinamik yang kekal.
Misal χ (r, v ) adalah kuantitas dari kecepatan sebuah molekul (v) yang berada di r,
sedemikian rupa sehingga saat tumbukan di r, berlaku:
{
{ v1,v2} → v1' ,v2'
}
χ (r, v )
dan χ1 + χ 2 = χ1' + χ 2' dimana
disebut kuantitas
kekal.
Dalil:
∂f (r , v, t )
=0
∂t
coll
∫ d vχ (r , v )
3
(I.1)
∂f
diperoleh dari ruas kanan persamaan PTB berikut:
dimana
∂t coll
F
∂
3
' '
+ v1.∇ r + .∇ v1 f1 = ∫ dΩ ∫ d v2τ (Ω ) v1 − v2 f 2 f1 − f 2 f1
m
∂t
(
)
(I.2)
dimana:
( )
≡ f (r , v , t )
f1 ≡ f ( r, v1,t )
dan
f1' ≡ f r , v1' , t
f2 ≡ f ( r, v2,t )
dan
f 2'
'
2
{
τ (Ω ) adalah deferensial penampang lintang tumbukan { v1,v2} → v1' ,v2'
}
Subtitusi ruas kanan dari persamaan (I.2) ke dalam persamaan (I.1) diperoleh:
∂f
∫ d vχ (r , v ) ∂t
3
(
coll
= ∫ d 3v1 ∫ d 3v2 ∫ dΩτ (Ω ) v2 − v1 χ1 f1' f 2' − f1 f 2
)
(I.3)
integral ini invarian terhadap:
v1 ⇔ v2
v1 ⇔ v1'
dan
v2 ⇔ v2'
v1 ⇔ v2'
dan
v2 ⇔ v1'
Konsekuensi dari sifat invarian di atas, maka masing-masing keadaan invarian
diperoleh bentuk deferensial untuk integral yang sama. Dengan demikian persamaan (I.3)
menjadi:
∂f
∫ d vχ (r , v ) ∂t
3
=
coll
(
)(
)
1 3
d v1 ∫ d 3v2 ∫ dΩτ (Ω ) v2 − v1 f1' f 2' − f1 f 2 χ1 + χ 2 − χ1' − χ 2' = 0
∫
4
(I.4)
F-143
Supahar…Persamaan Aliran Fluida…
Relevansi dari hukum kekekalan ini dengan persamaan transport Boltzmann adalah
dengan mengalikan persamaan transport Boltzmann pada kedua sisi dengan χ dan
mengintegrasikan untuk seluruh v , suku yang mengandung tumbukan dihilangkan dengan
sifat dari persamaan (I.1), kita dapatkan:
∂
∂
∫ d vχ (r, v ) ∂t + v ∂x
3
i
+
i
atau:
∂
1
f (r , v, t ) = 0
Fi
m ∂vi
(I.5)
1
∂
∂
∂
∂
d 3vχf +
d 3vχvi f − ∫ d 3v
vi f + ∫ d 3v (χFi f )
∫
∫
∂vi
∂t
∂xi
∂xi
m
−
1
1
∂χ
∂F
d 3v
Fi f − ∫ d 3vχ i f = 0
∫
m
m
∂vi
∂vi
(I.6)
keempat suku dapat dihilangkan jika f (r,v,t ) diasumsikan ketika v → ∞ .
Dengan mendifinisikan nilai rata-rata 〈 A〉
∫ d vAf
〈 A〉 ≡
∫ d vf
3
3
=
1 3
d vAf
n∫
dimana:
n(r , t ) ≡ ∫ d 3vf (r , v, t )
(I.7)
Teorima kekekalan makroskopik:
∂
n ∂Fi
∂
∂χ
χ =0
nχ +
nvi χ − n vi
−
∂t
m ∂vi
∂xi
∂xi
(I.8)
dimana χ adalah sejumlah sifat kekal. Dengan catatan bahwa nA = n A sebab n tak
bergantung pada v. Dari sekarang kita membatasi perhatian untuk kecepatan yang tak
bergantung pada gaya eksternal , maka suku terakhir dari persamaan (I.8) dapat
dihilangkan. Untuk molekul sederhana sifat kekal tak bergantung massa, momentum, dan
energi.
Untuk χ = m (massa)
∂
(nm) + ∂ nmvi = 0
∂t
∂xi
(I.9)
atau dengan memasukkan kerapatan massa
ρ (r , t ) ≡ nm(r , t )
(I.10)
kita peroleh:
∂ρ
+ ∇ ( ρu ) = 0
∂t
(I.11)
F-144
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan & Penerapan MIPA, Hotel Sahid Raya Yogyakarta, 8 Februari 2005
dengan
u = kecepatan aliran fluida.
Persamaan (I.11) disebut persamaan kontinuitas massa untuk aliran fluida. Bila persamaan
tersebut diterapkan pada persamaan aliran pada medium porous, maka persamaan (I.11)
harus dikoreksi yakni dengan menambahkan bobot porositas pada term
∂ρ
, sehingga
∂t
menjadi:
φ
∂ρ
+ ∇ ( ρu ) = 0
∂t
(I.12)
3. PERSAMAAN ALIRAN FLUIDA PADA MEDIA POROUS
Persamaan kontinuitas adalah generalisasi dari konservasi massa : kecepatan
aliranan massa dalam negatif kecepatan aliran keluar massa = kecepatan akumulasi massa ,
divergensi dari: ρ u
−
∂
(φρ ) = ∇.(ρu )
∂t
=
∂( ρu x ) ∂ (ρu y ) ∂ ( ρu z )
,
+
+
∂x
∂y
∂z
=
1 ∂
1 ∂
r ( ρur ) +
(ρuθ ) + ∂(ρu z ) ( untuk koordinat silinder)
r ∂r
r ∂θ
∂z
( untuk koordinat kartesian)
Dimana (φ ) adalah porositas ,( ρ) densitas, dan
(I.13)
( u ) adalah vektor kecepatan
superfisial. Tinjauan geometri sumur gas dan sekelilingnya menggunakan model silindris
untuk menggambarkan aliranan dalam reservoir. Sehingga , dalam kasus 1-dimensi ,
persamaan (I.13) menjadi:
−
∂
(φρ ) = 1 ∂ rρu
∂t
r ∂r
(I.14)
Biasanya gaya gravitasi ρz ( g / g c ) dalam arah z dapat diabaikan bagi gas. Persamaan
kecepatan diturunkan melalui truncating term orde lebih tinggi (u3, u4, … ) adalah:
-
dP µ
= u + βρu 2
dr k
atau
u=−
k dP
δ
µ dr
(I.15)
Dimana ( µ ) adalah viscositas,( ß ) koefisien kecepatan tinggi dan ( δ ) adalah faktor
koreksi aliran :
βρku
δ = 1 +
µ
−1
(I.16)
F-145
Supahar…Persamaan Aliran Fluida…
Untuk gas nyata,
ρ=
PM
ZRT
(I.17)
Dimana M adalah berat molekul gas, z faktor kompresibilitas, dan R tetapan gas, dan T
temperatur reservoir. Penggabungan persamaan ( I.14), ( I.15), dan (I.17 ) menghasilkan:
φ ∂ P 1 ∂ P ∂P
r
δ
=
k ∂t Z r ∂r µZ ∂r
(I.18)
Yang menganggap reservoir isotermal (tanpa perubahan temperatur). Asumsi tambahan
yang diperlukan untuk persamaan (I.18) adalah sbb:
1.
suatu model silindrik radial (aliranan dimensi satu)
2.
aliranan fasa tunggal (hanya aliranan gas)
3.
reservoir adalah homogen: k adalah sama meskipun posisi (k ≠ f (r ) dan
efek
Klinkenberg dapat diabaikan ( k ≠ f (P ) ) , juga porositas (φ
)
adalah konstan
4.
efek grafity dapat diabaikan (
∂P
+ ρg ≈ 0 )
∂Z
Validitas asumsi-asumsi ini adalah esensi bagi persamaan (I.18).
Non linearitas tinggi yang disebabkan oleh faktor koreksi aliran ( δ ) menyebabkan
persamaan itu tak dapat dipecahkan. Suatu asumsi tambahan diperlukan:
Asumsi (5) aliranan adalah viscous ( β = 0 dan δ = 1 ).
Dengan asumsi ini persamaan (1.18) menjadi :
φ ∂ P 1 ∂ P ∂P
r
=
k ∂t Z r ∂r µZ ∂r
(1.19)
Untuk aliranan gas yang mencakup term sink atau source, q (massa persatuan
volume persatuan waktu), persamaan kontinuitas dapat ditulis,
∇( ρ u ) = −
∂φ ρ
−q
∂t
(1.20)
Subtitusikan persamaan (1.15 )
δ =1, persamaan Darcy ) , dan persamaan (1.17)
(persamaan keadaan) kedalam persamaan (1.20), sehingga didapat:
F-146
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan & Penerapan MIPA, Hotel Sahid Raya Yogyakarta, 8 Februari 2005
=φ
P
RT
∂ P
∇P
+ ∇.k
q
∂t Z
µZ
M
(1.21)
Suku pertama ruas kiri dapat diperluas menjadi persamaan:
φ
1 ∂P
∂ 1
∂ P
= φ
+ P
∂t Z
∂t Z
Z ∂t
P ∂P 1 1 dZ
= φ
−
Z ∂t P Z dP
=
c≡
φcP ∂P
Z ∂t
(1.22)
1 1 dZ
1 dρ
−
r =
ρ dP
P Z dP
(1.23)
4. DALAM SUKU TEKANAN TERUKUR , P
Ruas kiri dari (1.21) dapat ditulis:
P
P
P
∇.(k∇P ) + (k∇P ).∇
∇.k
∇P =
µZ
µZ
µZ
=
P
µZ
d ln (P / µZ )
2
k (∇P )
∇.(k∇P ) +
dP
(1.24)
Gabungkan persamaan (1.21) dan (1.22), dan (1.24) diperoleh :
∇.(k∇P ) +
d ln (P / µZ )
∂P RTµZ
2
k (∇P ) = φcµ
+
q
dP
∂t
MP
∂P
→ 0 atau
∂r
2
Asumsi 6: Gradien tekanan kecil:
(1.25)
P
konstan., maka persamaan
µZ
(1.25) dapat disederhanakan menjadi:
∇.(k∇P ) = φcµ
∂P RTµZ
+
q
∂t
MP
(1.26)
5. KESIMPULAN
Konsekuensi hukum kekekalan dari persamaan transport Boltzmann akan
menghasilkan persamaan kontinuitas (konservasi massa).
Bila parameter-parameter
persamaan kontinuitas tersebut dinyatakan dalam besaran termodinamika tekanan (P),
dapat digunakan untuk menjelaskan persamaan aliran fluida melalui media porous pada
F-147
Supahar…Persamaan Aliran Fluida…
wellbore dan gerakan air pada tepi gelembung gas. Persamaan ini sangat bermanfaat,
khususnya dalam bidang engineering pemboran miyak dan gas alam lainnya.
REFERENSI
Katz, D.L and Lee, R.L. Nateral Gas Engineering: McGraw-Hill Publishing Co(1990).
Huang, K. Statistical Mechanics, John Willey and Son (1963)
Roberts, RC. “Unsteady Flow of a Gas Through a Porous Media” : Proceedings Applied
Mechanics (1952)
F-148
PERSAMAAN ALIRAN FLUIDA FASA TUNGGAL PADA MEDIA POROUS
Oleh : Supahar
Jurusan Pendidikan Fisika FMIPA UNY
ABSTRAK
Telah diturunkan secara matematis persamaan aliran fluida fasa tunggal pada
medium porous yang dinyatakan dalam parameter besaran termodinamika terukur. Hukumhukum kekekalan diterapkan pada perasamaan transport Boltzmann untuk menghasilkan
persamaan kontinuitas (konservasi massa). Dengan merumuskan kembali persamaan
kontinuitas yakni dengan menambahkan bobot porositas sehingga diperoleh persamaan
aliran fluida dalam media porous. Persamaan aliran fluida dalam media porous selanjutnya
dinyatakan dalam parameter besaran termodinamika terukur tekanan (P), sehingga
menjadikan persamaan tersebut bersifat applicable, khususnya dalam bidang eksplorasi
minyak dan gas alam lainnya.
1. PENDAHULUAN
Sistem aliran total bagi reservoir terdiri atas empat tahap, yakni: fasilitas pipa alir
permukaan, aliran tegak dalam wellbore, aliran gas yang melalui media porous menuju
wellbore, dan gerakan air pada tepi dari gelembung gas. Aliran yang terjadi dapat berupa
aliran fasa tunggal (seperti: air, gas, atau kondensat), aliran dua fasa (seperti: gas/air atau
gas/kondensat), dan aliran tiga fasa (gas/kondensat/air).
Pembahasan pada makalah ini dibatasi pada perumusan persamaan aliran fluida
fasa tunggal untuk mendapatkan solusi persamaan aliran fluida melalui media porous pada
wellbore, dan gerakan air pada tepi gelembung gas yang digambarkan melalui persamaan
cairan murni (air) dan solusinya pada tepi dari gelembung gas.
Konsekuensi dari hukum-hukum kekekalan yang diterapkan pada persamaan
transport Boltzmann akan menghasilkan persamaan persamaan kontinuitas.
Dengan
merumuskan kembali persamaan kontinuitas (konservasi massa) dalam parameter besaran
termodinamika terukur: Tekanan (P), menjadikan persamaan kontinuitas bersifat
applicable, khususnya dalam bidang eksplorasi minyak dan gas alam lainnya.
2. KONSEKUENSI PERSAMAAN TRANSPORT BOLTZMANN TERHADAP
HUKUM-HUKUM KEKEKALAN
Untuk menyelidiki fenomena non equilibrium, kita harus menyelesaikan persamaan
transport Boltzmann, dengan memberikan kondisi awal, untuk menemukan fungsi
F-142
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan & Penerapan MIPA, Hotel Sahid Raya Yogyakarta, 8 Februari 2005
distribusi sebagai sebuah fungsi waktu. Sejumlah sifat dari solusi persamaan Boltzmann
kemungkinan dapat diperoleh dari fakta bahwa dalam tumbukan molekul di sini terdapat
kuantitas dinamik yang kekal.
Misal χ (r, v ) adalah kuantitas dari kecepatan sebuah molekul (v) yang berada di r,
sedemikian rupa sehingga saat tumbukan di r, berlaku:
{
{ v1,v2} → v1' ,v2'
}
χ (r, v )
dan χ1 + χ 2 = χ1' + χ 2' dimana
disebut kuantitas
kekal.
Dalil:
∂f (r , v, t )
=0
∂t
coll
∫ d vχ (r , v )
3
(I.1)
∂f
diperoleh dari ruas kanan persamaan PTB berikut:
dimana
∂t coll
F
∂
3
' '
+ v1.∇ r + .∇ v1 f1 = ∫ dΩ ∫ d v2τ (Ω ) v1 − v2 f 2 f1 − f 2 f1
m
∂t
(
)
(I.2)
dimana:
( )
≡ f (r , v , t )
f1 ≡ f ( r, v1,t )
dan
f1' ≡ f r , v1' , t
f2 ≡ f ( r, v2,t )
dan
f 2'
'
2
{
τ (Ω ) adalah deferensial penampang lintang tumbukan { v1,v2} → v1' ,v2'
}
Subtitusi ruas kanan dari persamaan (I.2) ke dalam persamaan (I.1) diperoleh:
∂f
∫ d vχ (r , v ) ∂t
3
(
coll
= ∫ d 3v1 ∫ d 3v2 ∫ dΩτ (Ω ) v2 − v1 χ1 f1' f 2' − f1 f 2
)
(I.3)
integral ini invarian terhadap:
v1 ⇔ v2
v1 ⇔ v1'
dan
v2 ⇔ v2'
v1 ⇔ v2'
dan
v2 ⇔ v1'
Konsekuensi dari sifat invarian di atas, maka masing-masing keadaan invarian
diperoleh bentuk deferensial untuk integral yang sama. Dengan demikian persamaan (I.3)
menjadi:
∂f
∫ d vχ (r , v ) ∂t
3
=
coll
(
)(
)
1 3
d v1 ∫ d 3v2 ∫ dΩτ (Ω ) v2 − v1 f1' f 2' − f1 f 2 χ1 + χ 2 − χ1' − χ 2' = 0
∫
4
(I.4)
F-143
Supahar…Persamaan Aliran Fluida…
Relevansi dari hukum kekekalan ini dengan persamaan transport Boltzmann adalah
dengan mengalikan persamaan transport Boltzmann pada kedua sisi dengan χ dan
mengintegrasikan untuk seluruh v , suku yang mengandung tumbukan dihilangkan dengan
sifat dari persamaan (I.1), kita dapatkan:
∂
∂
∫ d vχ (r, v ) ∂t + v ∂x
3
i
+
i
atau:
∂
1
f (r , v, t ) = 0
Fi
m ∂vi
(I.5)
1
∂
∂
∂
∂
d 3vχf +
d 3vχvi f − ∫ d 3v
vi f + ∫ d 3v (χFi f )
∫
∫
∂vi
∂t
∂xi
∂xi
m
−
1
1
∂χ
∂F
d 3v
Fi f − ∫ d 3vχ i f = 0
∫
m
m
∂vi
∂vi
(I.6)
keempat suku dapat dihilangkan jika f (r,v,t ) diasumsikan ketika v → ∞ .
Dengan mendifinisikan nilai rata-rata 〈 A〉
∫ d vAf
〈 A〉 ≡
∫ d vf
3
3
=
1 3
d vAf
n∫
dimana:
n(r , t ) ≡ ∫ d 3vf (r , v, t )
(I.7)
Teorima kekekalan makroskopik:
∂
n ∂Fi
∂
∂χ
χ =0
nχ +
nvi χ − n vi
−
∂t
m ∂vi
∂xi
∂xi
(I.8)
dimana χ adalah sejumlah sifat kekal. Dengan catatan bahwa nA = n A sebab n tak
bergantung pada v. Dari sekarang kita membatasi perhatian untuk kecepatan yang tak
bergantung pada gaya eksternal , maka suku terakhir dari persamaan (I.8) dapat
dihilangkan. Untuk molekul sederhana sifat kekal tak bergantung massa, momentum, dan
energi.
Untuk χ = m (massa)
∂
(nm) + ∂ nmvi = 0
∂t
∂xi
(I.9)
atau dengan memasukkan kerapatan massa
ρ (r , t ) ≡ nm(r , t )
(I.10)
kita peroleh:
∂ρ
+ ∇ ( ρu ) = 0
∂t
(I.11)
F-144
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan & Penerapan MIPA, Hotel Sahid Raya Yogyakarta, 8 Februari 2005
dengan
u = kecepatan aliran fluida.
Persamaan (I.11) disebut persamaan kontinuitas massa untuk aliran fluida. Bila persamaan
tersebut diterapkan pada persamaan aliran pada medium porous, maka persamaan (I.11)
harus dikoreksi yakni dengan menambahkan bobot porositas pada term
∂ρ
, sehingga
∂t
menjadi:
φ
∂ρ
+ ∇ ( ρu ) = 0
∂t
(I.12)
3. PERSAMAAN ALIRAN FLUIDA PADA MEDIA POROUS
Persamaan kontinuitas adalah generalisasi dari konservasi massa : kecepatan
aliranan massa dalam negatif kecepatan aliran keluar massa = kecepatan akumulasi massa ,
divergensi dari: ρ u
−
∂
(φρ ) = ∇.(ρu )
∂t
=
∂( ρu x ) ∂ (ρu y ) ∂ ( ρu z )
,
+
+
∂x
∂y
∂z
=
1 ∂
1 ∂
r ( ρur ) +
(ρuθ ) + ∂(ρu z ) ( untuk koordinat silinder)
r ∂r
r ∂θ
∂z
( untuk koordinat kartesian)
Dimana (φ ) adalah porositas ,( ρ) densitas, dan
(I.13)
( u ) adalah vektor kecepatan
superfisial. Tinjauan geometri sumur gas dan sekelilingnya menggunakan model silindris
untuk menggambarkan aliranan dalam reservoir. Sehingga , dalam kasus 1-dimensi ,
persamaan (I.13) menjadi:
−
∂
(φρ ) = 1 ∂ rρu
∂t
r ∂r
(I.14)
Biasanya gaya gravitasi ρz ( g / g c ) dalam arah z dapat diabaikan bagi gas. Persamaan
kecepatan diturunkan melalui truncating term orde lebih tinggi (u3, u4, … ) adalah:
-
dP µ
= u + βρu 2
dr k
atau
u=−
k dP
δ
µ dr
(I.15)
Dimana ( µ ) adalah viscositas,( ß ) koefisien kecepatan tinggi dan ( δ ) adalah faktor
koreksi aliran :
βρku
δ = 1 +
µ
−1
(I.16)
F-145
Supahar…Persamaan Aliran Fluida…
Untuk gas nyata,
ρ=
PM
ZRT
(I.17)
Dimana M adalah berat molekul gas, z faktor kompresibilitas, dan R tetapan gas, dan T
temperatur reservoir. Penggabungan persamaan ( I.14), ( I.15), dan (I.17 ) menghasilkan:
φ ∂ P 1 ∂ P ∂P
r
δ
=
k ∂t Z r ∂r µZ ∂r
(I.18)
Yang menganggap reservoir isotermal (tanpa perubahan temperatur). Asumsi tambahan
yang diperlukan untuk persamaan (I.18) adalah sbb:
1.
suatu model silindrik radial (aliranan dimensi satu)
2.
aliranan fasa tunggal (hanya aliranan gas)
3.
reservoir adalah homogen: k adalah sama meskipun posisi (k ≠ f (r ) dan
efek
Klinkenberg dapat diabaikan ( k ≠ f (P ) ) , juga porositas (φ
)
adalah konstan
4.
efek grafity dapat diabaikan (
∂P
+ ρg ≈ 0 )
∂Z
Validitas asumsi-asumsi ini adalah esensi bagi persamaan (I.18).
Non linearitas tinggi yang disebabkan oleh faktor koreksi aliran ( δ ) menyebabkan
persamaan itu tak dapat dipecahkan. Suatu asumsi tambahan diperlukan:
Asumsi (5) aliranan adalah viscous ( β = 0 dan δ = 1 ).
Dengan asumsi ini persamaan (1.18) menjadi :
φ ∂ P 1 ∂ P ∂P
r
=
k ∂t Z r ∂r µZ ∂r
(1.19)
Untuk aliranan gas yang mencakup term sink atau source, q (massa persatuan
volume persatuan waktu), persamaan kontinuitas dapat ditulis,
∇( ρ u ) = −
∂φ ρ
−q
∂t
(1.20)
Subtitusikan persamaan (1.15 )
δ =1, persamaan Darcy ) , dan persamaan (1.17)
(persamaan keadaan) kedalam persamaan (1.20), sehingga didapat:
F-146
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan & Penerapan MIPA, Hotel Sahid Raya Yogyakarta, 8 Februari 2005
=φ
P
RT
∂ P
∇P
+ ∇.k
q
∂t Z
µZ
M
(1.21)
Suku pertama ruas kiri dapat diperluas menjadi persamaan:
φ
1 ∂P
∂ 1
∂ P
= φ
+ P
∂t Z
∂t Z
Z ∂t
P ∂P 1 1 dZ
= φ
−
Z ∂t P Z dP
=
c≡
φcP ∂P
Z ∂t
(1.22)
1 1 dZ
1 dρ
−
r =
ρ dP
P Z dP
(1.23)
4. DALAM SUKU TEKANAN TERUKUR , P
Ruas kiri dari (1.21) dapat ditulis:
P
P
P
∇.(k∇P ) + (k∇P ).∇
∇.k
∇P =
µZ
µZ
µZ
=
P
µZ
d ln (P / µZ )
2
k (∇P )
∇.(k∇P ) +
dP
(1.24)
Gabungkan persamaan (1.21) dan (1.22), dan (1.24) diperoleh :
∇.(k∇P ) +
d ln (P / µZ )
∂P RTµZ
2
k (∇P ) = φcµ
+
q
dP
∂t
MP
∂P
→ 0 atau
∂r
2
Asumsi 6: Gradien tekanan kecil:
(1.25)
P
konstan., maka persamaan
µZ
(1.25) dapat disederhanakan menjadi:
∇.(k∇P ) = φcµ
∂P RTµZ
+
q
∂t
MP
(1.26)
5. KESIMPULAN
Konsekuensi hukum kekekalan dari persamaan transport Boltzmann akan
menghasilkan persamaan kontinuitas (konservasi massa).
Bila parameter-parameter
persamaan kontinuitas tersebut dinyatakan dalam besaran termodinamika tekanan (P),
dapat digunakan untuk menjelaskan persamaan aliran fluida melalui media porous pada
F-147
Supahar…Persamaan Aliran Fluida…
wellbore dan gerakan air pada tepi gelembung gas. Persamaan ini sangat bermanfaat,
khususnya dalam bidang engineering pemboran miyak dan gas alam lainnya.
REFERENSI
Katz, D.L and Lee, R.L. Nateral Gas Engineering: McGraw-Hill Publishing Co(1990).
Huang, K. Statistical Mechanics, John Willey and Son (1963)
Roberts, RC. “Unsteady Flow of a Gas Through a Porous Media” : Proceedings Applied
Mechanics (1952)
F-148