Teori Hemiring - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR) Full PAPER TRI

TEORI HEMIRING
Mahasiswa S1 Program Studi Matematika, Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Diponegoro
Jl. Prof. H. Soedarto, S.H., Semarang Indonesia 50275
email :tri_matematika@yahoo.com

ABSTRAK
Diberikan Semring (A,+, . ). Sebuah Semiring (A,+, . ) disebut hemiring, jika operasi
‘+’ A merupakan semigrup komutatif dan mempunyai elemen identitas penjumlahan.
Teorema utama homomorfisma Ring dapat digeneralisasikan pada hemiring. Di dalam
paper ini akan dijelaskan kelas N-homomorfisma dari hemiring, hemiring tipe (K),
hemiring semisubtraktif, dan hemiring hereditarily semi subtraktif.
Kata Kunci : hemiring, homomorfisma hemiring, teorema homomorfisma, Nhomomorfisma, hemiring tipe (K), hereditarily semi subtraktif.
PENDAHULUAN
Pada teori Ring didefinisikan bahwa himpunan A disebut Ring, jika A grup
komutatif, pergandaan asosiatif, dan distributif kanan kiri. Karena sifat ini dipandang
terlalu kuat, didefinisikan teori hemiring yaitu setiap semiring A yang memenuhi
aksioma komutatif dan mempunyai identitas penjumlahan. Seperti halnya teori Ring
yang mempunyai hipunan bagian yang disebut ideal, dalam konsep hemiring juga
mempunyai ideal yang memiliki sifat yang lebih spesifik disebut h-ideal.

N-HOMOMORFISMA
Definisi 1. Homomorfisma hemiring φ dari S ke T disebut homomorfisma maksimal
jika setiap t ∈ T terdapat Ct ∈ φ −1 (t ) sedemikian hingga untuk setiap x ∈ φ −1 (t ) terdapat
x + ker φ ⊆ Ct + ker φ .

Definisi 2. Homomorfisma hemiring φ dari S ke T disebut N-homomorfisma jika untuk
setiap t ∈ T terdapat kumpulan

{ x + ker φ : x ∈ φ

−1

(t )} dimana memuat dua himpunan

yang tidak saling asing.
Lemma 1. Homomorfisma φ : S 
→ T disebut N-homomorfisma jika dan hanya jika
(∃ x, y ∈ S ) φ ( x ) = φ ( y ) sedemikian hingga x + k1 = y + k2 ; k1 , k2 ∈ ker φ

Bukti

N-homomorfisma
Berdasarkan definisi N-homomorfisma untuk setiap

t ∈T

terdapat himpunan

x + ker φ ; x ∈ φ −1 (t ) dan terdapat dua himpunan yang tidak saling asing.
x + k1 = y + k2 ; k1 , k2 ∈ ker φ

φ ( x + k1 ) = φ ( y + k2 )
φ ( x ) + φ ( k1 ) = φ ( y ) + φ ( k2 )

φ ( x ) + 0' = φ ( y ) + 0'
φ ( x) = φ ( y )
φ ( x) = φ ( y )
φ ( x) = φ ( y )
φ ( x) −φ ( y ) = φ ( y ) −φ ( y )
φ ( x + y) = φ ( y − y)
φ ( x − y ) = φ ( 0)

φ ( x − y ) = 0'

x − y ∈ ker φ

x + ker φ = y + ker φ

Lemma 2..Homomorfisma φ : S 
→ T merupakan homomorfisma maksimal jika dan
hanya jika himpunan prapeta dari setiap t ∈ T adalah koset ker φ .
Bukti.

φ : S 
→ T Homomorfisma maksimal
Berdasarkan definisi homomorfisma maksimal,untuk setiap t ∈ T terdapat Ct ∈ φ −1 (t )
sedemikian hingga x ∈ φ −1 (t ) punya x + ker φ ⊆ Ct + ker φ . Maka Untuk setiap

x ∈ φ −1 (t ) dapat di tulis x = c + ker φ sedemikian hingga φ −1 (t ) koset ker φ .
⇐ φ −1 (t ) koset ker φ
Berdasarkan apa yang diketahui bahwa untuk setiap

x ∈ φ −1 (t ) dapat di bentuk x = c + ker φ .
x1 = c1 + ker φ
x2 = c2 + ker φ
x3 = c3 + ker φ
.
.
.
xn = cn + ker φ

Jadi untuk setiap x ∈ φ −1 (t ) punya x + ker φ ⊆ Ct + ker φ .
Teorema.1

→ T adalah homomorfisma maksimal maka φ adalah N-homomorfisma.
Jika φ : S 
Bukti.
Misalkan ambil sembarang t ∈ T sedemikian hingga berdasarkan definisi
homomorfisma maksimal bahwa.

Ambil sembarang x, y ∈ φ −1 (t )

x = c + k1
y = c + k2

k1 , k2 ∈ ker φ

x + k2 = c + k1 + k2
y + k1 = c + k2 + k1
x + k2 = y + k1 ;k1 , k2 ∈ ker φ
x + ker φ ∩ y + ker φ ≠ ∅
Jadi φ N-homomorfisma
Sejak setiap homomorfisma Ring adalah maksimal dan ada juga yang Nhomomorfisma,hal ini akan membuktikan bahwa setiap homomorfisma natural
hemiring S 
→ S / I adalah N-homomorfisma.
Contoh.1
Misalkan diberikan hemiring S={0,1,2,3,4} yang operasi penjumlahannya didefinisikan
seperti tabel di bawah ini
0

1

2

3

4

0

0

1

2

3

4

1

1

1

4

4

4

2

2

4

4

4

4

3

3

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

Misalkan T subhemiring {0,1} dari S,jika di definisikan pemetaan

φ : S 
→T
dengan φ:0,1 →0 dan 2,3,4 →1 maka φ homomorfisma dengan kerφ = {0,1} .
adapun φ−1(1) = {2,3,4} dan terdapat dua himpunan yang tidak saling asing 2 + kerφ,3 + kerφ,4 + kerφ.
Jadi φ N-homomorfisma,akan tetapi bukan homomorfisma maksimal karna φ−1(1) bukan koset kerφ.
TEOREMA UTAMA HOMOMORFISMA

Untuk kelas N-homomorfisma kita akan mengalami hal yang sama seperti yang di
akibatkan dalam teori Ring.
Lemma 3.
Jika φ adalah N-homomorfisma dari S ke T dengan kerφ ={0},maka φ adalah N-homomorfisma.
Bukti.

Andaikan

φ ( x ) = φ ( y ) sedemikian hingga
x + k1 = y + k2
x+0= y+0
x= y
Jadi φ adalah isomorfisma.

Teorema2. Jika φ adalah N-homomorfisma dari S ke T maka S / ker φ ≅ T .
Bukti.
Akan di tunjukan bahwa:
a. ω Well defined
b. ω homomorfisma
c. ω injektif
d. ω surjektif

Akan di buktikan a) ω well defined
Ambil sembarang [ s1 ] , [ s2 ] ∈ S / ker φ dengan [ s1 ] = [ s2 ]
dfns

akan di tunjukan ω ([ s1 ]) = ω ([ s2 ]) = φ ( s1 ) = φ ( s2 )
artinya
→ s1 + ker φ = s2 + ker φ
[ s1 ] = [ s2 ] ←
φ ( s1 ) = φ ( s2 )

b) ω homomorfisma
Akan di buktikan bahwa untuk setiap t ∈ T terdapat himpunan s + ker φ ; s ∈ φ −1 (t )

(∀t ∈ T ) (∃[ s ] ∈ s / ker φ )

Ambil sembarang t ∈ T , (∃s ∈ S ) φ ( s ) = t

untuk s ∈ S di atas dapat di bentuk [ s ] ∈ S / ker φ
∃t = φ ( s ) = ω ([ s ])
jadi bila di ambil sembarang t ∈ T maka terdapat [ s ] ∈ S / ker φ = s + ker φ
c) ω injektif

( ∀ [ s ] , [ s ] ∈ S / ker φ ) dengan ω ([ s ]) = ω ([ s ])
1

2

1

2

akan di buktikan [ s1 ] = [ s2 ]

ω ([ s1 ]) = ω ([ s2 ])
φ ( s1 ) = φ ( s2 )
s1 + ker φ = s2 + ker φ

[ s1 ] = [ s2 ]
d) ω Surjektif
akan di buktikan bahwa ( ∀t ∈ T ) ( ∃[ s ] ∈ S / ker φ ) ω ([ s ]) = t
ambil sembarang t ∈ T , ( ∃x ∈ S ) φ ( x ) = t
untuk x ∈ S di atas dapat di bentuk [ s ] ∈ S / ker φ
jadi bila di ambil sembarang t ∈ T maka terdapat [ s ] ∈ S / ker φ
akan di tunjukkan [ s ] tunggal
andaikan terdapat [ s1 ] , [ s2 ] ∈ S / ker φ sedemikian hingga ω ([ s1 ]) = ω ([ s2 ]) = t

ω ([ s1 ]) = ω ([ s2 ])
φ ( s1 ) = φ ( s2 )
Berdasarkan definisi N-homomorfisma bahwa untuk ssetiap t ∈ T terdapat himpunan
s + ker φ ; s ∈ φ −1 (t ) maka dari yang di dapat di atas dapat kita tuliskan

s1 + ker φ = s2 + ker φ
karna injektif maka ker φ = {0}
s1 + 0 = s2 + 0
s1 = s2
HEMIRING TIPE(K)
Definisi 1. sebuah hemiring S disebut tipe(K) jika terdapat I sebagai K-ideal dari S

sedemikian hingga terjadi homomorfisma natural η : S 
→ S / I maka η
mengawetkan K-ideal.
Definisi 2. hemiring S disebut semisubtraktif,jika untuk sepasang a,b elemen di S dapat

di pecahkan a+x=b atau b+x=a
Definisi 3. hemiing S disebut hereditarily semisubrakif jika untuk setiap ideal di S

semisubtraktif.
Lemma 4. jika S hemiring semisubtraktif dan K adalah K-ideal dari S maka k

semisubtraktif.
Bukti.
Misalkan a , b ∈ k maka a, b ∈ S ,akan tetap ada s ∈ S yang mana salah satu dari dua
argumen ini di penuhi a + s = b atau b+s=a ,misalkan yang terpenui a + s = b karna

a ∈ k dan k adalah k − ideal sedemikian hingga
a + s ∈ k maka b ∈ k, jadi k semisubtraktif karna terdapat elemen dari k yang dapat dipecahkan.

TEOREMA 3. Jika S adalah hereditarily semisubtraktif dan φ adalah N-

homomorfisma dari S 
→ T maka φ mengawetkan k − ideal .
Bukti.
Misalkan K adalah k − ideal dari S dan K = φ (k )
*

Akan ditunjukan bahwa K ⊆ K dan K adalah k − ideal .

Misalkan
x∈K

*

x + k 1 = k 2 ;k 1 , k 2 ∈ K

φ ( x + k1 ) = φ ( k2 )
x + k1 + z1 = k2 + z2
t ∈ k + ker φ sedemikian hingga salah satu ini di penuhi

x + k1 + z1 + t = k2 + z2 + t

k1 + t = z2 atau k1 = z2 + t
x + z1 + z2 = k2 + z2 + t

φ ( x + z1 + z2 ) = φ ( k2 + z2 + t ) ∈ φ (k ) = k .
Jika yang satu yang dipenuhi k1 = z2 + t
x + k1 + z1 + t = k2 + z2 + t
x + k1 + z1 + t = k2 + k1 =

;t ∈ K + ker φ t = k3 + z3

x + k1 + z1 + k3 + z3 = k2 + k1
maka φ ( x + z1 + z3 ) ∈ φ (k ) = k
*

Jadi k ⊆ k dan jadi φ ( k ) = k adalah k − ideal dari T.

Proposisi 1. Jika S adalah hemiring hereditarily semisubtraktif maka S adalah

hemiring dari tipe(K).
Bukti.
Jika I adalah k − ideal dari hemiring S dan terjadi homomorfisma natural

η : S 
→ S / I adalah N-hommorfisma
Karna berdasarkan Teorema diatas bahwa η mengawetkan
k − ideal yang mana S hemiring.