Pertemuan 9 & 10 - Repository UNIKOM
RUANG HASIL KALI DALAM Pertemuan : 9,10,&11 1. Menghitung hasil kali dalam baku dan hasil kali silang.
2. Menggunakan aksioma hasil kali dalam untuk memeriksa ruang hasil kali dalam
3. Mengetahui sifat-sifat ruang hasil kali dalam
4. Menggunakan sifat-sifat basis ortogonal dan basis ortonormal
5. Menggunakan metode Gram-Schimdt untuk menentukan basis ortogonal.
Materi :
4.1 Hasil Kali Titik/ Hasil Kali Skalar Definisi 4.1
2 R
Jika u dan v maka dinotasikan u v
sebagai hasil kali titik/hasil kali
u v u v . u v
1 1 2 2
skalar dengan
3 R
Jika u dan v maka hasil kali titik dari u dan v didefinisikan dengan
u v u v u v u v
1 1 2 2 3 3 Definisi 4.2
2
3 R R
Jika u dan v atau , adalah sudut antara u dan v , maka hasil kali titik atau hasil kali dalam Euclidean
u v cos , jika u dan v
u v
jika u atau v
Definisi 4.3
Jika u dan v adalah vektor-vektor tak-nol, maka sudut dari dua buah vektor dapat ditentukan dengan cara
u v
cos u v .
Apa yang terjadi jika ?
Latihan 4.1
1
1
a
2 b
2
T
3
2
a b
a b
1. Jika tentukan dan
2
1
u
1 v
1
1
2 2. Diketahui dan Tentukan sudut antara u dan v .
2 u u u
3. Hitunglah dan
4.2 Hasil Kali Silang
Apabila ada 2 vektor di dalam ruang berdimensi 3, kita dapat mencari
3 sebuah vektor lain di R yang tegak lurus terhadap kedua vektor tersebut.
Untuk itu diperkenalkan sebuah perkalian vektor lain yang disebut dengan hasil kali silang.
Definisi 4.4 u v
1
1
u u , v v
2
2
u v
3
3
Jika adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3 maka hasil kali silang u v adalah vektor yang didefinisikan sebagai
u u u u u u
2
3
1
3
1
2 u v , ,
v v v v v v
2
3
1
3
1
2
Contoh 4.1: u (1, 2, 2), v (3, 0,1)
Carilah u v dimana .
Penyelesaian :
Susun dalam bentuk matriks 1 2
2 3 0
1 2 2 1 2 1 2
u v , , (2, 7, 6)
1 3 1 3 0
Maka
Latihan 4.2
2
1
u
1 v
1
1
2
a. Hitunglah u v dimana dan
u v u v ,
b. Kemudian tentukan dan
u v u u v v
c. Hitunglah dan . Apa yang dapat Anda simpulkan dari hasil perhitungan tersebut?
2
2
2
2 u v u . v ( u v )
d. Hitunglah nilai dan
4.3 Ruang Hasil Kali Dalam Definisi 4.5
Hasil kali dalam (dinotasikan <. ,.>) adalah fungsi yang mengaitkan dua vektor sembarang di ruang vektor V dengan suatu bilangan riil dan
u v w V , ,
memenuhi aksioma berikut. Misalkan V adalah ruang vektor, suatu skalar, maka berlaku:
1. Simetris : , , u v v u
3
2
2
1
1
1
, , u v w W sembarang maka
b. Aditivitas Ambil
2 3 , u v u v u v u v v u v u v u v u
2
3
,
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
, u v W sembarang maka
a. Simetris Ambil
. Tunjukkan W adalah ruang hasil kali dalam.
, u v W
2 3 u v u v u v u v dimana
,
1 1 2 2 3 3
2
3
3 R
2
(2 3 ) (2 3 ) u w u w u w v w v w v w , , u w v w
2 2 3 3
2 2 3 3 1 1
1 1
3 3 u w v w u w v w u w v w
2
2
2 2 3 3 3 3
2
3
1 1 1 1
2( ) ( ) 3( ) u w v w u w v w u w v w
3
3
2
2 3 32
2
1 1 1 1
, 2( ) ( ) 3( ) u v w u v w u v w u v w
yang dilengkapi dengan operasi hasil kali
4. Misalkan W
n
R )
,
3
2
Hasil kali titik untuk
.
1 1 2 2
, ... n nu v u v u v u v
maka
n u v R
Misalkan ,
1. Ruang hasil kali dalam Euclides (
sering disebut dengan hasil kali dalam baku yang dituliskan dengan notasi , . u v u v
Contoh 4.2
Ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam.
dan , u u u
u u
4. Positifitas : ,
3. Homogenitas : , . , u v u v
2. Aditivitas : , , , u v w u w v w
R R juga merupakan suatu hasil kali dalam yang
1/2
n n d u v u v u v u v u v u v u v
( , ) , ( ) ( ) ... ( )
2
2
1
1
2
2
2
( , ) d u v juga dapat dinyatakan sebagai bentuk hasil kali dalam.
2. Panjang vektor di
dinyatakan dengan
n
u v R3. Jarak antara dua vektor ,
Dapat ditunjukkan bahwa sifat simetris, aditivitas, homogenitas dan positifitas dipenuhi.
n n u u u u u u u u u
, ...
1/2 1 1 2 2
yaitu
n R dapat dinyatakan sebagai bentuk hasil kali dalam
c. Homogenitas
u v W , ,
Ambil skalar maka
u v ,
2 u v u v 3 u v
(2 u v u v 3 u v ) u v ,
1 1 2 2 3 3
d. Positifitas
Ambil u W maka
2
2
2 u u ,
2 u u u u 3 u u 2 u u 3 u
1 1 2 2 3 3
1
2
3
2
2
2
2
2
2 u u , ,
2 u u 3 u
1 2 u
3 1 2 3
Karena maka
2
2
2
2 u u 3 u u
1
2
3
an d
u v , u v
2 u v 3 u v
1 1 2 2 3 3
5. Tunjukkan bahwa bukan merupakan hasil kali dalam
2
2
2
2
2
2 u u , u
2 u 3 u , u u
1
2
3
3 u u 2 u
3 1
2 Perhatikan untuk saat maka Sehingga tidak memenuhi sifat positivitas.
Latihan 4.3
u v ,
4 u v 5 u v
2
1 1 2 2 R
a. Periksa apakah adalah suatu hasil kali dalam pada
u v , u v u v
3
1 1 3 3 R
b. Periksa apakah adalah suatu hasil kali dalam pada
Teorema 4.1
Berikut ini beberapa sifat dari vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam
u v w , ,
Jika adalah vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam real, dan adalah skalar sembarang maka :
0, v v , 0 a.
u v w , u v , u w ,
b.
u v , . , u v
c.
u v w , u w , v w ,
d.
u v w , u v , u w ,
e.
Latihan 4.4
2
2 a x+a b x +b
2
1. Jika Jika ´p=a dan ´q=b adalah sembarang vektor pada P + +
1
2
1
2 ⟨ p , ´q ´ ⟩ = a b a b a a
1
1
2
2 ⟨ p , ´q ´ ⟩
- maka didefinisikan sebagai suatu hasil kali dalam
maka tentukan jika diketahui
2
2
a. ´ p=−2+ x+3 x dan q=4−7 x ´
2
2
b. ´p=−5+2 x+x dan ´q=3+2 x−4 x
u u v v
11
12
11
12 U
V
u u v v M
21
22
21
22
22
didefinisikan hasil kali dalam untuk maka
1/2
2
2
2
2 U V , u v u v u v u v U U U , u u u u
11 11 12 12 21 21 22 22
11
12
21
22
dan
1 2 4 6
U
V
U V ,
3 5 0 8
Tentukan jika
Definisi 4.6
,
n u v u dan v dalam R disebut ortogonal jika
Dua buah vektor
Latihan 4.5
1 0 0 2
U
V
1 1 0 0
Tunjukkan bahwa matriks saling ortogonal
4.4 Basis Ortonormal Definisi 4.7
H v v , , , v
v v , , , v
V
1 2 n
1 2 n Diketahui V adalah ruang hasil kali dalam dan .
disebut himpunan ortogonal jika untuk setiap vektor dalam V saling tegak
v v , i j dan i j , 1, 2,..., n
i j lurus berlaku .
Definisi 4.8 G v v , , , v
v v , , , v
V
1 2 n
1 2 n Diketahui V adalah ruang hasil kali dalam dan .
disebut himpunan ortonormal jika
- G adalah himpunan ortogonal
v 1, i 1, 2,..., n atau v v ,
1
i i i
- Norma dari Latihan 4.6
1
1
3
u 1 , u 0 , u R
1
2
3
3
1
1
Diketahui dan R adalah ruang hasil kali dalam.
u u u , ,
1
2
3
a. Tunjukkan bahwa ortogonal
u , u , u
1
2
3
b. Hitunglah c.
1
1
1
v . , u v . , u v . u
1
1
2
2
3
3 u u u
1
2
3 v v v , ,
1
2
3 Tentukan
v , v , v
1
2
3
d. Hitunglah
v v v , ,
1
2
3 NB: Vektor disebut vektor satuan karena vektor ini mempunyai panjang 1.
4.5 Metode Gram-Schimdt
Basis yang berisi vektor-vektor ortonormal disebut basis ortonormal dan basis yang berisi vektor-vektor ortogonal disebut basis ortogonal. Perhatikan gambar berikut
proy u
W u u proy u proy u
W W W W proy u proy u
W
W
adalah proyeksi ortogonal u pada W dan adalah proyeksi
u proy u proy u proy u u proy u
W W
W W
ortogonal u pada W┴. Jika maka sehingga
u proy u proy u u proy u ( u proy u )
W
W W W
dapat dituliskan menjadi
Teorema 4.2
Misalkan W adalah subruang berdimensi tehingga dari suatu ruang hasil kali dalam V.
v v , ,..., v
1 2 r
a. Jika adalah suatu basis ortonormal untuk W, dan u adalah sebarang vektor dalam V maka
proy u u v v , u v v , ... u v v ,
W
1
1
2 2 r r v v , ,..., v
1 2 r
b. Jika adalah suatu basis ortogonal untuk W dan u adalah sebarang vektor dalam V maka
u v , u v , u v ,
1 2 r proy u v v ... v
W
2
1
2
2 2 r v v v
1 2 r
Latihan 4.7 v v ,
1
2
W adalah subruang yang dibangun oleh vektor-vektor ortonormal T
4
3
v ,0,
T
2
(0,1,0)
v
5
5
1
, .
T
a. Tentukan proyeksi ortogonal dari u =(1,1,1) pada W
T
b. Tentukan proyeksi ortogonal dari u =(1,1,1) pada W┴
Definsi 4.9
Metode Gram-Schimdt adalah metode yang digunakan untuk mengubah himpunan vektor yang bebas linear menjadi himpunan vektor ortogonal.
b b , ,..., b
1 2 n
Misalkan diketahui B = adalah himpunan vektor yang bebas
s s , ,..., s
1 2 n
linear, maka B dapat diubah menjadi himpunan S = yang ortogonal dengan cara:
s u
1
1 1. u s ,
2
1 s u proy u u s
2
2 W
2
2
1
2
1 s
1 2. u s , u s ,
3
1
3
2 s u proy u u s s
3
3 W
3
3
1
2
2
2
2 s s
1
2 3. u s , u s , u s ,
4
1
4
2
4
3 s u proy u u s s s
4
4 W
4
4
2
1
2
2
2
3
2 s s s
1
2
3 4.
5. ...
u s , u s , u s , n 1 n 2 n n s u proy u u s s ... s
n n W n n
2
1
2
2 2 n
2 s s s
1 2 n 6.
Contoh 4.3: u u u , ,
1
2
3
3
Diketahui adalah basis untuk ruang vektor R dengan hasil kali
T T T
(1,1,1) (0,1,1) (0, 0,1)
u u u
1
2
3
dalam. , , . Maka :
u u u , , s s s , ,
1
2
3
1
2
3
a. Ubahlah basis menjadi basis ortogonal
s s s , , v v v , ,
1
2
3
1
2
3
b. Ubahlah basis menjadi basis ortonormal
Penyelesaian T s u (1,1,1)
1
1 1.
T u s ,
2
1 T
2 2 1 1
T
s u proy u u s 0,1,1 (1,1,1) , ,
2
2 W
2
2
2 1
1
3 3 3 3
s
1 2. u s , u s ,
3
1
3
2 s u proy u u s s
3
3 W
3
3
2
1
2
2
2 s s
1
2 3.
T T T
1 1/ 3 2 1 1 1 1
T
0,0,1 (1,1,1) , , 0, ,
3 2 / 3 3 3 3 2 2
T T
2 1 1 1 1
T s (1,1,1) s , , s 0, ,
1
2
3
3 3 3 2 2
Jadi Setelah dihitung diperoleh norma dari masing-masing vektor
6
1
s
3 s s
1
2
3
3
2 Sehingga diperoleh basis ortonormal
1
adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam V, dan u V
n n u u v v u v v u v v
, , ... ,
2
2
1
1
maka berlaku:
n S v v v
Diberikan suatu basis-basis ortonormal yang relatif terhadap suatu ruang hasil kali dalam. Tentukan vektor koordinat w terhadap basis yang bersangkutan.
, ,...,
2
1
Jika
Teorema 4.2
Salah satu kegunaan dalam menggunakan basis ortonormal adalah sebagai berikut:
{ , , } H v v v menjadi basis-basis ortonormal.
3
Latihan 4.7
1.
1
T T T T w u u u
3 3 3 3
2 2 1 2 1 2 1 2 2 ( 1, 0, 2) , , , , , , 3 3 3 3 3
3
2
1
2.
T w u u
1
2 T T
2
2
2
1 (3,7) , ,
1
1
1
2
2
b. Ubahlah
2
3
3
3
s s v v s s
6 T T
6
6
3
1
3
1 , , , ,
1
2
1
1
1
2
1
3
1 0, ,
{ , , } H v v v menjadi basis-basis ortogonal.
2
3
2
1
a. Ubahlah
adalah basis
T T T v v v
(1,1,1) (1, 2,1) ( 1,1, 0)
3
1
2
{ , , } H v v v dengan
3
2
1
Latihan 4.7 Diketahui
s v s
2 T