Penyederhanaan dan Strategi Pembalikan
Penyederhanaan dan
Strategi Pembalikan
Pertemuan ke-6
Operasi penyederhanaan akan
menggunakan daftar ekuivalen logis dan
hukum-hukum logika proporsional, baik
yang memiliki nama maupun tidak.
Penyederhanaan ekspresi logika dibuat
sesederhana mungkin sehingga tidak
dimungkinkan dimanipulasi lagi.
Penyederhanaan akan berhenti pada
bentuk ekspresi logika yang paling
sederhana.
Prasyarat : hukum – hukum logika
Contoh
1. (A0)(AA)
A(AA)
identitas
A1
tautologi
A
identitas
2. (AB)(ABC)
(AB)(A(BC))
tambah
kurung
A( B(BC))
distributif
A(( BB)( BC))
distributif
A(1( BC))
tautologi
A( BC)
identitas
3. A→ (A→ B)
A(A→ B)
A→B AB
A( AB)
A→B
AB
A( AB)
de Morgan
A(AB)
negasi ganda
A
penyerapan
Konsistensi
Defnisi: koleksi dari pernyatan-pernyataan
disebut konsisten jika pernyataan-pernyataan
tersebut secara simultan semuanya benar.
Konsistensi dapat dibuktikan dengan
membuat pernyataan menjadi ekspresi logika
dan dibuktikan melalui tabel kebenaran.
Contoh
1) Jika Peterpan mengadakan konser, maka penonton
akan hadir jika harga tiket tidak terlalu tinggi.
2) Jika Peterpan mengadakan konser, maka harga
tiket tidak terlalu tinggi.
3) Dengan demikian, jika Peterpan mengadakan
konser, maka penonton akan hadir.
Validitas argumen di atas harus dibuktikan dengan
tabel kebenaran, yang akan membuktikan premispremis bernilai T dengan kesimpulan bernilai T
sehingga akan menghasilkan nilai T juga.
Langkah 1
Mengubah ke variabel proposisional.
A = Peterpan mengadakan konser.
B = Penonton akan hadir.
C = Harga tiket terlalu tinggi.
Langkah 2
Mengubah pernyataan menjadi ekspresi
logika.
1) A→( C→B)
2) A→ C
3) A→B
Langkah 3
Menyusun ekspresi logika menjadi satu kesatuan.
Untuk argumen, cara menulis ekspresi logikanya ada
beberapa pilihan, yakni:
1) ((A→( C→B)) (A→ C))→(A→B)
2) {A→( C→B), A→ C} = (A→B)
Untuk membuat tabel kebenaran sebaiknya pakailah
penulisan ke-1 agar lebih mudah menyusunnya ke
dalam tabel kebenaran. Akan tetapi, jika dengan
strategi pembalikan, kesimpulan diberi negasi dan
diberi operator . Untuk itu pilihlah penulisan ke-2.
Untuk saat ini, digunakan strategi pembalikan berikut
untuk menyusun tabel kebenaran
Strategi Pembalikan
Strategi pembalikan dilakukan dengan cara
menyalahkan kesimpulan dari argumen yakni:
1) Menegasi kesimpulan, atau
2) Memberi nilai F
Dengan strategi pembalikan akan ada perlawanan
(opposite) dari kesimpulan yang tidak cocok
dengan premis-premis, atau tidak konsisten.
Selanjutnya, contoh di atas kesimpulannya akan
dinegasikan dan akan ditulis seperti berikut:
((A→( C→B)) (A→ C))(A→B)
• Skema:
M = C→B;
N = A→M;
O = A→ C;
P = A→B;
Q = (A→( C→B)) (A→ C)
R = (A→( C→B)) (A→ C)(A→B)
Tabel kebenaran
A
B
C
C
M
N
O
P
P
Q
R
F
F
F
T
F
T
T
T
F
T
F
F
F
T
F
T
T
T
T
F
T
F
F
T
F
T
T
T
T
T
F
T
F
F
T
T
F
T
T
T
T
F
T
F
T
F
F
T
F
F
T
F
T
F
F
T
F
T
F
T
T
F
F
T
F
F
T
T
F
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
F
T
F
F
F
Ternyata hasil negasi dari kesimpulan dengan
premis-premis tidak konsisten, hasilnya F. Karena
adanya strategi pembalikan, hasil yang semula
bernilai F justru menjadi bernilai T sehingga
argumen di atas valid.
Pada dasarnya, untuk mencari premis-premis yang
bernilai T dengan kesimpulan bernilai T sehingga
mendapatkan hasil bernilai T, tidak memerlukan
tabel kebenaran secara keseluruhan, cukup dengan
menemukan pasangan dari variabel proposisional
yang akan menghasilkan nilai T pada premis-premis
dan kesimpulan.
jika ada premis-premis dan kesimpulan yang
bernilai T, bisa dipastikan argumen tersebut valid.
Teknik ini disebut model.
Model dan Countermodel
Teknik model berusaha mencari premis-premis
dan kesimpulan berupa ekspresi-ekspresi
logika yang bernilai T sehingga hasilnya pasti
T juga dan berarti arguman valid.
Akan tetapi, karena nilai T diperoleh dari
berbagai kemungkinan, dipergunakan strategi
pembalikan dengan memberi nilai F pada
kesimpulan, sedangkan premis-premis harus
tetap bernilai T sehingga hasilnya juga pasti F.
Contoh
{A→( C→B), A→ C} = (A→B)
Dan ditulis sebagai berikut:
(A→( C→B)) (A→ C) (A→B)
Maka sekarang akan diberi nilai sebagai berikut:
1) (A→( C→B)) T (premis 1)
2) (A→ C) T (premis 2)
3) (A→B) F (kesimpulan)
Setiap premis dan kesimpulan serta variabel
proposisional pasti mempunyai nilai, dan ditulis
sebagai berikut: v(A→ C) T, v(B) T dan
seterusnya. v berarti “nilai dari” (value of).
Teknik model akan dilakukan sesuai langkah-
langkah berikut ini:
Langkah 1: (Cek dengan kesimpulan)
1) Jika v(A→B) F, maka hanya ada satu
kemungkinan yaitu: v(A) T dan v(B)
F.
2) Jadi v(A) T
3) Jadi v(B) F
Langkah 2: (Cek dengan premis 1)
1) Jika (A→( C→B)) T, sedangkan sudah
diketahui v(A) T, maka v( C→B) T.
2) Jika v( C→B) T, sedangkan v(B) F,
maka di sini hanya ada pilihan yaitu
v( C) F.
3) Jadi v( C) F, maka v(C) T.
Langkah 3: (Cek dengan premis 2)
1) Jika v(A→ C) T, sedangkan v(A) T,
dan v( C) F.
2) Ini tidak mungkin terjadi. Jika v(A) T,
dan v( C) F, maka seharusnya
v(A→ C) F
Langkah 4: (kesimpulan)
1) Jadi tidak mungkin pada saat yang sama
v(A→( C→B)) T, v(A→ C) T dan
v(A→B) F.
2) Jika tidak mungkin, maka karena ada
strategi pembalikan, argumen di atas
valid.
• Lihat hasilnya dalam bentuk tabel kebenaran
yang diperoleh:
M = C→B; N = A→M;
O = A→ C;
P = A→B; Q = (A→( C→B)) (A→ C)
R = (A→( C→B)) (A→ C) (A→B)
A
B
C
C
M
N
O
P
Q
R
T
F
T
F
T
T
F
F
F
F
Dengan kata lain, kesimpulan (A→B) adalah
konsekuensi yang logis dari premis-premis
(A→( C→B)) dan (A→ C), atau (A→B)
adalah model dari (A→( C→B)) (A→ C).
Model sebenarnya hanyalah berusaha
mencari premis-premis yang bernilai T
dengan kesimpulan bernilai T juga di dalam
tabel kebenaran dari sekian pasangan
variabel-variabel proposisional.
Perhatikan lagi pada tabel kebenarannya,
jika tidak dilakukan strategi pembalikan.
Penulisan ekspresi logika dari argumen
tersebut adalah:
((A→( C→B)) (A→ C))→(A→B)
Skemanya:
M = C→B; N = A→M;
O = A→ C;
P = A→B; Q = (A→( C→B)) (A→ C)
R = ((A→( C→B)) (A→ C))→ (A→B)
Tabel kebenaran
A
B
C
C
M
N
O
P
Q
R
1
F
F
F
T
F
T
T
T
T
T
2
F
F
T
F
T
T
T
T
T
T
3
F
T
F
T
T
T
T
T
T
T
4
F
T
T
F
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
T
F
T
F
T
5
• Ternyata hasilnya adalah tautologi, dan membuktikan bahwa
argumen tersebut valid. Premis-premis dan kesimpulan yang
bernilai T ada pada baris yang bernomor di depannya.
Strategi Pembalikan
Pertemuan ke-6
Operasi penyederhanaan akan
menggunakan daftar ekuivalen logis dan
hukum-hukum logika proporsional, baik
yang memiliki nama maupun tidak.
Penyederhanaan ekspresi logika dibuat
sesederhana mungkin sehingga tidak
dimungkinkan dimanipulasi lagi.
Penyederhanaan akan berhenti pada
bentuk ekspresi logika yang paling
sederhana.
Prasyarat : hukum – hukum logika
Contoh
1. (A0)(AA)
A(AA)
identitas
A1
tautologi
A
identitas
2. (AB)(ABC)
(AB)(A(BC))
tambah
kurung
A( B(BC))
distributif
A(( BB)( BC))
distributif
A(1( BC))
tautologi
A( BC)
identitas
3. A→ (A→ B)
A(A→ B)
A→B AB
A( AB)
A→B
AB
A( AB)
de Morgan
A(AB)
negasi ganda
A
penyerapan
Konsistensi
Defnisi: koleksi dari pernyatan-pernyataan
disebut konsisten jika pernyataan-pernyataan
tersebut secara simultan semuanya benar.
Konsistensi dapat dibuktikan dengan
membuat pernyataan menjadi ekspresi logika
dan dibuktikan melalui tabel kebenaran.
Contoh
1) Jika Peterpan mengadakan konser, maka penonton
akan hadir jika harga tiket tidak terlalu tinggi.
2) Jika Peterpan mengadakan konser, maka harga
tiket tidak terlalu tinggi.
3) Dengan demikian, jika Peterpan mengadakan
konser, maka penonton akan hadir.
Validitas argumen di atas harus dibuktikan dengan
tabel kebenaran, yang akan membuktikan premispremis bernilai T dengan kesimpulan bernilai T
sehingga akan menghasilkan nilai T juga.
Langkah 1
Mengubah ke variabel proposisional.
A = Peterpan mengadakan konser.
B = Penonton akan hadir.
C = Harga tiket terlalu tinggi.
Langkah 2
Mengubah pernyataan menjadi ekspresi
logika.
1) A→( C→B)
2) A→ C
3) A→B
Langkah 3
Menyusun ekspresi logika menjadi satu kesatuan.
Untuk argumen, cara menulis ekspresi logikanya ada
beberapa pilihan, yakni:
1) ((A→( C→B)) (A→ C))→(A→B)
2) {A→( C→B), A→ C} = (A→B)
Untuk membuat tabel kebenaran sebaiknya pakailah
penulisan ke-1 agar lebih mudah menyusunnya ke
dalam tabel kebenaran. Akan tetapi, jika dengan
strategi pembalikan, kesimpulan diberi negasi dan
diberi operator . Untuk itu pilihlah penulisan ke-2.
Untuk saat ini, digunakan strategi pembalikan berikut
untuk menyusun tabel kebenaran
Strategi Pembalikan
Strategi pembalikan dilakukan dengan cara
menyalahkan kesimpulan dari argumen yakni:
1) Menegasi kesimpulan, atau
2) Memberi nilai F
Dengan strategi pembalikan akan ada perlawanan
(opposite) dari kesimpulan yang tidak cocok
dengan premis-premis, atau tidak konsisten.
Selanjutnya, contoh di atas kesimpulannya akan
dinegasikan dan akan ditulis seperti berikut:
((A→( C→B)) (A→ C))(A→B)
• Skema:
M = C→B;
N = A→M;
O = A→ C;
P = A→B;
Q = (A→( C→B)) (A→ C)
R = (A→( C→B)) (A→ C)(A→B)
Tabel kebenaran
A
B
C
C
M
N
O
P
P
Q
R
F
F
F
T
F
T
T
T
F
T
F
F
F
T
F
T
T
T
T
F
T
F
F
T
F
T
T
T
T
T
F
T
F
F
T
T
F
T
T
T
T
F
T
F
T
F
F
T
F
F
T
F
T
F
F
T
F
T
F
T
T
F
F
T
F
F
T
T
F
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
F
T
F
F
F
Ternyata hasil negasi dari kesimpulan dengan
premis-premis tidak konsisten, hasilnya F. Karena
adanya strategi pembalikan, hasil yang semula
bernilai F justru menjadi bernilai T sehingga
argumen di atas valid.
Pada dasarnya, untuk mencari premis-premis yang
bernilai T dengan kesimpulan bernilai T sehingga
mendapatkan hasil bernilai T, tidak memerlukan
tabel kebenaran secara keseluruhan, cukup dengan
menemukan pasangan dari variabel proposisional
yang akan menghasilkan nilai T pada premis-premis
dan kesimpulan.
jika ada premis-premis dan kesimpulan yang
bernilai T, bisa dipastikan argumen tersebut valid.
Teknik ini disebut model.
Model dan Countermodel
Teknik model berusaha mencari premis-premis
dan kesimpulan berupa ekspresi-ekspresi
logika yang bernilai T sehingga hasilnya pasti
T juga dan berarti arguman valid.
Akan tetapi, karena nilai T diperoleh dari
berbagai kemungkinan, dipergunakan strategi
pembalikan dengan memberi nilai F pada
kesimpulan, sedangkan premis-premis harus
tetap bernilai T sehingga hasilnya juga pasti F.
Contoh
{A→( C→B), A→ C} = (A→B)
Dan ditulis sebagai berikut:
(A→( C→B)) (A→ C) (A→B)
Maka sekarang akan diberi nilai sebagai berikut:
1) (A→( C→B)) T (premis 1)
2) (A→ C) T (premis 2)
3) (A→B) F (kesimpulan)
Setiap premis dan kesimpulan serta variabel
proposisional pasti mempunyai nilai, dan ditulis
sebagai berikut: v(A→ C) T, v(B) T dan
seterusnya. v berarti “nilai dari” (value of).
Teknik model akan dilakukan sesuai langkah-
langkah berikut ini:
Langkah 1: (Cek dengan kesimpulan)
1) Jika v(A→B) F, maka hanya ada satu
kemungkinan yaitu: v(A) T dan v(B)
F.
2) Jadi v(A) T
3) Jadi v(B) F
Langkah 2: (Cek dengan premis 1)
1) Jika (A→( C→B)) T, sedangkan sudah
diketahui v(A) T, maka v( C→B) T.
2) Jika v( C→B) T, sedangkan v(B) F,
maka di sini hanya ada pilihan yaitu
v( C) F.
3) Jadi v( C) F, maka v(C) T.
Langkah 3: (Cek dengan premis 2)
1) Jika v(A→ C) T, sedangkan v(A) T,
dan v( C) F.
2) Ini tidak mungkin terjadi. Jika v(A) T,
dan v( C) F, maka seharusnya
v(A→ C) F
Langkah 4: (kesimpulan)
1) Jadi tidak mungkin pada saat yang sama
v(A→( C→B)) T, v(A→ C) T dan
v(A→B) F.
2) Jika tidak mungkin, maka karena ada
strategi pembalikan, argumen di atas
valid.
• Lihat hasilnya dalam bentuk tabel kebenaran
yang diperoleh:
M = C→B; N = A→M;
O = A→ C;
P = A→B; Q = (A→( C→B)) (A→ C)
R = (A→( C→B)) (A→ C) (A→B)
A
B
C
C
M
N
O
P
Q
R
T
F
T
F
T
T
F
F
F
F
Dengan kata lain, kesimpulan (A→B) adalah
konsekuensi yang logis dari premis-premis
(A→( C→B)) dan (A→ C), atau (A→B)
adalah model dari (A→( C→B)) (A→ C).
Model sebenarnya hanyalah berusaha
mencari premis-premis yang bernilai T
dengan kesimpulan bernilai T juga di dalam
tabel kebenaran dari sekian pasangan
variabel-variabel proposisional.
Perhatikan lagi pada tabel kebenarannya,
jika tidak dilakukan strategi pembalikan.
Penulisan ekspresi logika dari argumen
tersebut adalah:
((A→( C→B)) (A→ C))→(A→B)
Skemanya:
M = C→B; N = A→M;
O = A→ C;
P = A→B; Q = (A→( C→B)) (A→ C)
R = ((A→( C→B)) (A→ C))→ (A→B)
Tabel kebenaran
A
B
C
C
M
N
O
P
Q
R
1
F
F
F
T
F
T
T
T
T
T
2
F
F
T
F
T
T
T
T
T
T
3
F
T
F
T
T
T
T
T
T
T
4
F
T
T
F
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
T
F
T
F
T
5
• Ternyata hasilnya adalah tautologi, dan membuktikan bahwa
argumen tersebut valid. Premis-premis dan kesimpulan yang
bernilai T ada pada baris yang bernomor di depannya.