BAB 3. DIFFERENSIAL - Turunan

  bagaimana menentukan gradien garis singgung suatu kurva di suatu titik pada kurva bagaimana menentukan kecepatan sesaat suatu benda yang bergerak sepanjang garis lurus

  Definisi: misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada selang buka yang memuat a. Turunan fungsi f di x = a yang dinotasikan sebagai f’(a) adalah

• f a h − f a ( ) ( ) ′

  f a = ( ) lim h → h

f x − f a

  

( ) ( )

= lim ,

  → x a x − a jika limit tersebut ada. Contoh :

  lim ) ( ) (

  2 )

  2

  2

  2

  

x x x

x x x x x

  ???

  2

  4 lim

  2

  4 lim

  ) 2 ( ( ) lim 2 (

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  = −

  − =

  − − −

  = − −

  = ′

  2

  4

  ) lim ( , konstanta ) ( .

  ′ =

  1 =

  − =

  − + =

  ′ =

  → → h k k h a f h a f a f k k x f h h

  1 1 lim lim lim ) ( ) (

  ) lim ( ) ( .

  2 = = =

  − + =

  − + =

  → → → → h h h h h h h a h a h a f h a f a f x x f

  4

  ( 4 ) .

  3

  2

  − = x

  x f

  , tentukan f’(2)

  

< < < − −

− ≤ ≥ ≥ − − = −

  2 2 - jika yaitu , 4 jika

  4 2 atau 2 jika yaitu

  , 4 jika

  → → → x x x x x f x f f x x x

• − =
• − − =

  4 lim maka

  2

  2

  2

  2

  ′ = = + =

  −

  − −

  = −

  − _{+ +}

  f x

x

x x

x x x x x x x x .

  2 di alkan rdiferensi tidak te

  4 Berarti ada. tidak ) Jadi 2 ( ada. tidak

  2

  2

  2

  4 lim

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  = − ′

  − −

  − −

  ≠ −

  −

  2

  4 lim

  → → → ^{+ −} x x f x x x x x x x x x

  2

  ) 2 ( 4 2 lim

  2 ) 2 )(

  2 ( lim

  2 ) 2 )(

  2 ( lim

  2

  4 lim

  2

  4 lim

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 − → →

  → → →

  ′ = − = + − =

  −

  −

  − −

  = −

  − _{− −}

  f x x x x x x x x x x x x x x x x

• − =
• → → → →

  ) 2 ( 4 2 lim

  2 ) 2 )(

  2 ( lim

  2

  4 lim

  4

  2 − = x y

  4

  2 − = x y

  2 x y = Definisi : Turunan kiri ( kanan ) fungsi f di x = a adalah

• f a h − f a

  f a h − f a ( ) ( ) + ( ) ( ) ′

  ′ = f a = f ( a ) lim

  ( ) lim

• −
• _{+ −} →

  → h h h h f x − f a f x − f a

  ( ) ( ) ( ) ( )

  = = ₊ lim , lim . ₋

  → − → x − a x a x a x a

  − + f ( a h ) f ( a )

  Kembali lagi ke definisi turunan di suatu titik a : ′ = f ( a ) lim

  → h h

  Bila a diambil sebarang bilangan di himpunan bilangan riil maka diperoleh suatu fungsi yang mengaitkan setiap bilangan riil a ke f’(a) , yaitu

  ′ ℜ → ℜ f :

  

′

→ a f ( a )

  

′ → ( ) x f x Sifat-sifat fungsi turunan: ′ ′ ′ ± = ± f g x f x g x

  1 . ( ) ( ) ( ) ( ) ′ ′ = kf x k f x

  2 . ( ) ( ) ( ) ′ ′ ′ = + fg x f x g x f x g x

  3 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ′ ′

  ′ − f f x g x f x g x

  ( ) ( ) ( ) ( ) x =

  4 . ( )

  2 g g x

  ( ( )) ′ fgh x =

  5 . ( ) ( ) ? n

  ′ f x =

  6 . ( ) ( ) ?

• ′ = ′
• ′
• ′ = ′

• +

  ′
• ′

  n n n n nx nx x x f n x x f

  − − − −

  1

  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( .

  3

  2

  1 ) ( .

  6

  =

  ( ) f nf f fff f f ff f f f f f x f n n n n n

  = ′

  = = ′

  , asli bilangan ) ( : Akibat − −

  1 ) 1 . (

  1

  ( )

  ′

  5 x h x g x f x h x g x f x h x g x f x fgh

  ′ = ′

Untuk n = 0 jelas berlaku Untuk n bilangan bulat negatif, maka n = -m, m bilangan asli, sehingga

  −

  = − = − = − = ′

  = = n m m m m m m m m nx mx x mx x mx x x f x x x f

  − − − − −

  1 ) (

  1 . ) (

  1 .

  1

  2 Teorema: Jika f’(a) ada maka f kontinu di a Hati2! Sifat kebalikannya tidak benar!!!!

  1

  1

  2

  Jika f kontinu di a maka tidak selalu mengakibatkan f’(a) ada !!!!

  Demikian pula

  Jika f’(a) tidak ada maka tidak selalu mengakibatkan f tak kontinu di a !!!!

  Yang benar : Jika f tidak kontinu di a maka pasti f tidak terdiferensialkan di a

  2 f x −

  ( ) = x

  

2

− = = lim x

  Jelas bahwa f(x) kontinu di x = 2, sebab

  4 f ( 2 ). Tetapi f ′ ( 2 ) tidak ada.

  x →

  ′ → → f ( a ) ada f kontinu di a lim f ( x ) ada x→ a

  (a ) ada f ′ f kontinu di a lim f ( x ) ada x→ a Contoh : < + mx b , x

  2 = Jika f ( x )

  2

  ≥ x , x 2 ,

  ℜ tentukan dan agar ( ) terdifere nsialkan di . a b f x

  Jawab: Periksa terlebih dahulu kekontinuan f(x). Karena f(x) berupa polinom untuk x < 2 dan x > 2, maka f(x) kontinu untuk x < 2 dan x > 2. Jadi cukup diperiksa kekontinuan f(x) di x = 2, yaitu

  = = lim f ( x ) lim f ( x ) f ( _{− +} 2 ), yaitu x → x →

  2m + b = 4

  2

  2 = = +

  2

  4

  4 m. b

  Lalu periksa turunan kiri dan turunan kanan di x = 2 :

• − + +

  − f ( 2 h ) f ( 2 ) m ( 2 h ) b

  4 ′ = = f ( 2 ) lim lim

  − _{− −} → → h h h h

• − − + +

  mh 2 m b 4 mh

  4 4 mh

  2

• f h − f h − (

  2 ) ( 2 ) ( 2 )

  4 ′ f = =

  ( 2 ) lim lim _{− +}

• → h → h

  h h

  2

• h h − h h

  4

  4 4 ( 4 ) = = = lim lim _{− −} 4 ,

  → → h h h h

  Agar f(x) terdiferensialkan di x = 2 maka haruslah

  ′ ′ = = = − = − f ( 2 ) f ( 2 ), yaitu m 4 , dan b

  4 2 m

  4 − + y = f (x)

  2 y = x

  = 4x - 4 y Turunan fungsi trigonometri Turunan fungsi trigonometri Turunan fungsi trigonometri Turunan fungsi trigonometri

  ? ) ( maka , sin ) ( Jika 1. =

′

  = x f x x f x x x h h s x h h x h h s x h h h x h x s

h

h s

x h h x h x h x h x h x h x h x f h x f x f h h h h h h h h
• − =

  . 1 . cos sin cos in lim cos

  1 cos sin lim in lim cos

  1 cos sin lim in in cos cos sin lim sin sin cos cos sin lim

  ) sin sin( lim ) ( ) ( ) lim (

  = + = + − =

  − + = − + =

  − + = − + =

  ′ → →

  → → → → → →

  x x x h h s

x

h h x h h s x h h h x h x h x h x h x h x h x f h x f x f h h h h h h h

  . 1 . sin cos sin in

lim sin

  1 cos cos lim in lim sin

  1 cos cos lim cos sin sin cos cos lim

  ) sin cos( lim ) ( ) ( ) lim (

  − = − = − − = − − =

  − − = − + =

  − + = ′

  → → → → →

  → → ? ) ( maka , cos ) ( Jika 2.

  = ′ = x f x x f

  3. Turunan fungsi trigonometri yang lain dapat ditentukan dari turunan fungsi sin x dan cos x menggunakan aturan turunan hasil bagi dua fungsi.

  ATURAN RANTAI ATURAN RANTAI ATURAN RANTAI ATURAN RANTAI = = = y f g ( x ) f g ( x ) h ( x )

  ( ) ( ) y′

  (x ) ! = → = g ( x ) u y f ( u ) dy dy du dy dg

  ′ ′ ′ ′ ′ = = = = = y f ( u ) g ( x ) f ( g ( x )) g ( x ) dx du dx du dx

  Contoh

  2

  ′ 1. cos( + =

  2 3 − 1 ), tentuka n !

  y x x y

  2

• = = − Misalkan u g ( x )

  2 x 3 x

  1 = = = = maka y cos( u ) f ( u ) f g ( x ) f g ( x )

  ( ) ( ) dy du

  2

  ′ sehingga 4 3 ) = − (

  4 + + + = = − sin( )( 3 ) sin(

  2 3 − 1 )

  y u x x x x

  2

  ′

• = − 2. y cos

  5 sin 2 x 4 x 5 , tentuka n y !

  ( )

  2

• = − Misalkan t

  2 x 4 x

  5 =

  u

  5 sin t _{1 2} = =

  v u u

  = cos( )

  w v _{1 2}

  = = maka y w w _{1 1}

  dy dw dv du dt − −

  1

²

  1 ²

  ′ = = − − sehingga y w ( sin( v ) ) u

  5 cos( t )( 4 x 4 )

  2

  2 dw dv du dt dx

  2

  2

• − − − + 5 (

  4 x 4 ) cos( 2 x 4 x 5 ) sin 5 sin 2 x 4 x

  5

  ( )

  = −

  2

  2

• − −

  4 5 sin 2 x 4 x 5 cos 5 sin 2 x 4 x

  5

  ( ) ( ) TURUNAN FUNGSI IMPLISIT TURUNAN FUNGSI IMPLISIT TURUNAN FUNGSI IMPLISIT TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

  Bentuk y =f(x) disebut fungsi eksplisit sebab y dapat dinyatakan secara eksplisit sebagai fungsi dari x. Ciri-ciri fungsi eksplisit: biasanya y dan x terpisah di ruas yang berbeda.

  

y sebagai fungsi dari x juga dinyatakan secara implisit, yaitu dengan mengumpulkan x dan y

  di ruas yang sama menjadi bentuk F(x,y)=0. Fungsi eksplisit dengan mudah dapat diubah menjadi fungsi implisit, namun fungsi implisit tidak selalu dapat (dengan mudah) diubah menjadi fungsi eksplisit.

  Contoh

  2

  2 x x

  cos cos

  y =

  → y − = 1. (eksplisit )

  (implisit)

  3

  3 x − x −

  tan( 1 ) tan( 1 )

  F ( x , y )

  2

  4

• 2. x

  3 y = 12 (implisit)

  3

  2

• x x y − y = 3.

  8

  4 6 (implisit)

  3

  2

  3

• x x y − y = 4 .

  8

  4 6 (implisit)

  2

• (xy) xy = 5. cos (implisit)

  y x xy x dx dy y

dx

dy

y x xy x

dx

dy

y x xy x dx dy dx dy y x xy x x y y x x

  3

  2

  2

  3

  2

  2

  2

  3

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  3

  2

  3

  2

  3

  −

  ′ − = +

  = − + + = − + +

  = + − +

  2

  8 1.

  TRIK MENENTUKAN TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

  3

  1. Bila memungkinkan, nyatakan sebagai fungsi eksplisit

  2. Bila tidak memungkinkan, turunkan setiap suku dari F(x,y)=0. Dengan mengingat bahwa y = f(x), gunakan aturan rantai, lalu selesaikan persamaan untuk .

  dx dy

  Contoh:

  ( ) ( )

  Tentukan grafik dari singgung garis persamaan .

  2

  3

  4

  2

  24

  4

  4

  2

  24

  4

  3

  2

  24

  4

  3

  2

  24 : dap suku terha setiap Turunkan

  6

• = =