MAKALAH SEMINAR MATEMATIKA KAJIAN LANJUT

MAKALAH SEMINAR MATEMATIKA

KAJIAN LANJUT TENTANG
SEGIEMPAT HARMONIK

Oleh:
NI LUH SUDIARTINI
NIM. 1113011072

Dosen Pembimbing:
I Putu Pasek Suryawan, S.Pd, M.Pd
NIP. 19880617 201404 1 001

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA
2016

KAJIAN LANJUT TENTANG SEGIEMPAT HARMONIK

Ni Luh Sudiartini

1113011072
ABSTRAK

Segiempat harmonik adalah segiempat siklik yang memiliki perbandingan sisi
yang unik. Segiempat ini merupakan segiempat konveks yang keempat titik
sudutnya berada pada sebuah lingkaran dan perbandingan dua sisinya yang
berurutan bersesuaian. Segiempat harmonik memiliki beberapa sifat antara lain,
sifat pertama simedian segitiga, sifat kedua diagonal dari segiempat harmonik
merupakan simedian dari segitiga yang dibentuk oleh dua sisi yang berurutan dan
panjang diagonal lainnya, dan sifat ketiga jika suatu segiempat konveks dengan
keempat titik sudutnya berada pada sebuah lingkaran dan diagonalnya terbentuk
dari simedian dua buah segitiga yang berhadapan maka segiempat tersebut adalah
segiempat harmonik. Panjang diagonal segiempat harmonik adalah sebagai
berikut
2acad  bc 
( 2 ac ) ab  cd 
p
dan q 
ab  cd
ad  bc

dan luas daerah dari segiempat harmonik adalah sebagai berikut
L = b.d atau L = a.c
Yang didapatkan dari penurunan rumus panjang diagonal dan luas daerah
segiempat siklik yang memiliki perbandingan dua sisi yang berurutan bersesuaian.

Kata Kunci: Segiempat Siklik, Simedian Segitiga, Segiempat Harmonik.

iv

BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matematika merupakan salah satu ilmu yang sangat penting untuk
dikuasai, terutama tentang geometri. Studi tentang geometri dapat membantu
peserta didik merepresentasikan kemampuannya dan mencapai pandangan
tertentu tentang dunianya. Penguasaan tentang model-model geometri serta
sifat-sifatnya dapat memberikan suatu perspektif bagi peserta didik, sehingga
peserta didik dapat menganalisa dan mengkomunikasikan hal yang terkait
dengan bangun-bangun geometri (Muabuai, 2010).
Geometri merupakan bagian yang tak terpisahkan dalam pembelajaran

matematika. Geometri menempati posisi khusus dalam kurikulum matematika
tingkat sekolah menengah, karena banyaknya konsep-konsep yang termuat di
dalamnya. Menurut sudut pandang psikologi, geometri merupakan penyajian
abstraksi dari pengalaman visual dan spasial misalnya bidang, pola,
pengukuran dan pemetaan. Namun, berdasarkan sudut pandang matematika,
geometri menyediakan pendekatan-pendekatan untuk pemecahan masalah,
misalnya gambar-gambar, diagram, sistem koordinat, vektor, dan transformasi
(Muabuai, 2010).
Perkembangan ilmu matematika terutama bidang geometri sangat penting
dan menarik untuk diikuti, salah satunya mengenai segiempat, karena secara
tidak langsung segiempat yang sering ditemui dikehidupan sehari-hari. Sesuai
dengan definisinya, “segiempat adalah bangun datar yang memiliki empat
buah sisi (Wisna, 2008)”. Beberapa bentuk segiempat yang biasa dikenal yaitu
persegi, persegi panjang, trapesium, layang-layang, jajar genjang dan belah
ketupat. Namun, ditelusuri lebih lanjut lagi, terdapat banyak segiempat yang
memiliki sifat khusus tetapi belum banyak dikenal. Salah satu segiempat yang
memiliki sifat khusus adalah segiempat harmonik.
Segiempat harmonik adalah segiempat siklik yang memiliki perbandingan
sisi yang unik. Segiempat ini merupakan segiempat konveks yang keempat
titik sudutnya berada pada sebuah lingkaran dan perbandingan dua sisinya

Kajian Lanjut tentang Segiempat Harmonik

Halaman.1

yang berurutan bersesuaian (Smarandache dan Patrascu, 2014). Segiempat
harmonik ini merupakan segiempat yang belum banyak dikenal baik dari segi
sifat-sifat, panjang diagonal dan luas daerahnya. Sehubungan dengan hal
tersebut, penulis merasa perlu dan tertarik untuk mengkaji lebih lanjut tentang
segiempat harmonik yang berjudul “Kajian Lanjut tentang Segiempat
Harmonik”. Nantinya diharapkan kajian makalah ini mampu memberikan
pengetahuan lebih dan manfaat bagi perkembangan ilmu matematika terutama
pada cabang geometri.

1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan dari latar belakang di atas dapat dirumuskan permasalahan
sebagai berikut.
1. Bagaimanakah sifat-sifat dari segiempat harmonik?
2. Bagaimanakah cara menentukan panjang diagonal segiempat harmonik?
3. Bagaimanakah rumus luas daerah segiempat harmonik?

1.3 Tujuan
Tujuan dari penulisan makalah ini berdasarkan rumusan masalah di atas
sebagai berikut.
1. Untuk mengetahui beberapa sifat dari segiempat harmonik
2. Untuk mengetahui cara menentukan panjang diagonal segiempat harmonik
3. Untuk menentukan rumus luas daerah segiempat harmonik

1.4 Manfaat
a. Bagi Pembaca
Pembaca dapat memperoleh informasi mengenai geometri bidang terutama
tentang keunikan dari segiempat harmonik.
b. Bagi Penulis
Penulis sebagai mahasiswa dapat menambah wawasan di bidang geometri
serta dapat memahami penerapannya dalam perkuliahan dan dalam
memahami berbagai materi pengembangan di bidang geometri.

Kajian Lanjut tentang Segiempat Harmonik

Halaman.2

1.5 Batasan Masalah
Segiempat harmonik memiliki cakupan materi yang sangat luas, oleh karena
itu penulis membatasi pembahasan pada makalah ini. Pembahasan makalah ini
terbatas pada beberapa sifat-sifat segiempat harmonik diantaranya sifat
simedian segitiga, sifat diagonal segiempat harmonik, dan sifat diagonal yang
dibentuk dari simedian dua buah segitiga serta menentukan rumus panjang
diagonal dan luas daerah segiempat harmonik yang penurunannya ditinjau dari
segiempat siklik.

Kajian Lanjut tentang Segiempat Harmonik

Halaman.3

BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Segiempat
“Segiempat sederhana adalah

bangun datar yang

bersisi empat dan

mempunyai perpotongan sisi hanya pada titik sudutnya.

Suatu bangun

segiempat sederhana pada dasarnya adalah bangun yang memisahkan suatu
bidang kedalam tiga bagian yaitu: bagian pertama bagian dalam segiempat,
bagian kedua bagian luar segiempat, dan bagian ketiga bangun segiempat itu
sendiri” (Prayoga, Skripsi, 2011, Hal. 37). Contoh bangun segiempat
sederhana adalah sebagai berikut.
Segiempat PQRS sederhana yang membagi bidang menjadi tiga bagian

Gambar. 1 Segiempat Sederhana

Definisi 2.1.1 :
Segiempat merupakan bangun datar

yang memiliki empat buah sisi

(Wisna, 2008). Misalnya segiempat ABCD sederhana yang membagi bidang
menjadi tiga bagian, segiempat sederhana tersebut disebut konveks (convex)
jika dan hanya jika diambil sebarang dua titik pada daerah dalam segiempat
kemudian kedua titiknya dihubungkan dengan ruas garis maka ruas garis itu
ada dalam daerah segiempat. Ilustrasi segiempat konveks (convex) adalah
seperti gambar berikut ini

Kajian Lanjut tentang Segiempat Harmonik

Halaman.4

Gambar. 2 Segiempat Konveks

2.2 Segiempat Siklik
Perhatikan gambar berikut ini :

Gambar. 3 Segiempat Siklik

Pada gambar di atas titik O adalah titik pusat lingkaran dan titik A, B, C, serta

D terletak pada keliling lingkaran tersebut. Ruas garis AB, BC, CD, dan AD
adalah tali-tali busur lingkaran. Tali-tali busur tersebut membentuk Segiempat
ABCD, dan selanjutnya disebut Segiempat siklik. Sehingga dapat disimpulkan
bahwa Segiempat siklik adalah Segiempat yang titik-titik sudutnya terletak
pada lingkaran (Jossefson, 2015, Vol. 99).
Kemudian sesuai dengan Theorema 14 pada

Martin Josefsson,

Characterizations of Trapesoids, Forum Geometricorum, Volume 13 (2013).
Yang menyatakan,

Kajian Lanjut tentang Segiempat Harmonik

Halaman.5

Teorema 2.2.1
‘Sebuah segiempat konveks ABCD dengan sisi a, b, c, d adalah trapesium
dengan sisi a // c serta a  c jika dan hanya jika panjang diagonal AC dan
BD adalah:

p

aca  c   ad 2  cb 2
aca  c   ab 2  cd 2
dan q 
’.
ac
ac

Bukti:

Gambar. 4 Segiempat Siklik

Dengan menggunakan rumus aturan cosinus pada DAB diperoleh:
d 2  a 2  q 2  2aq cosDBA
2aq cosDBA  a 2  q 2  d 2

cosDBA 

a2  q2  d 2
2aq

…(1)

Dengan menggunakan cara yang analog pada DCB diperoleh:
b 2  c 2  q 2  2cq cosBDC 
2cq cosBDC   c 2  q 2  b 2

c2  q2  b2
cosBDC  
2cq

…(2)

Sebuah segiempat merupakan trapesium jika dan hanya jika a // c maka
haruslah mDBA  mBDC yang menyebabkan cosDBA  cosBDC  ,
sehingga diperoleh:

cosDBA  cosBDC 

Kajian Lanjut tentang Segiempat Harmonik

Halaman.6

a2  q2  d 2 c2  q2  b2

2aq
2cq







2cq a 2  q 2  d 2  2aq c 2  q 2  b 2



2a 2 cq  2cq 3  2cd 2 q  2ac 2 q  2aq 3  2ab 2 q
a 2 cq  cq 3  cd 2 q  ac 2 q  aq 3  ab 2 q
a 2 cq  cq 3  cd 2 q ac 2 q  aq 3  ab 2 q

q
q
a 2 c  cq 2  cd 2  ac 2  aq 2  ab 2
aq 2  cq 2  a 2 c  ac 2  cd 2  ab 2

a  c q 2  aca  c   ab 2  cd 2
aca  c   ab 2  cd 2
2
q 
a  c 
aca  c   ab 2  cd 2
q
a  c 
Dengan cara yang analog diperoleh p 

aca  c   cb 2  ad 2
a  c 

2.3 Simedian Segitiga
Simedian segitiga merupakan hasil refleksi dari garis berat terhadap
garis bagi yang melalui satu titik sudut yang sama pada sebuah segitiga.
Perhatikan Gambar berikut.

Gambar 5 Simedian Segitiga

2.4 Cevian
Ruas garis yang ditarik dari sebuah titik sudut segitiga yang memotong
sisi dihadapannya.

Kajian Lanjut tentang Segiempat Harmonik

Halaman.7

Gambar 6 Cevian

2.4 Segiempat Harmonik
“Segiempat Harmonik merupakan segiempat konveks yang keempat titik
sudutnya berada pada sebuah lingkaran dan perbandingan dua sisinya yang
berurutan bersesuaian” (Smarandache dan Patrascu, 2014). Misalnya
segiempat Siklik ABCD merupakan segiempat harmonik jika memenuhi
perbandingan sisi AB . CD = BC . AD.

Gambar 7 Segiempat Harmonik

Kajian Lanjut tentang Segiempat Harmonik

Halaman.8

BAB III
PEMBAHASAN

3.1 Beberapa Sifat Segiempat Harmonik
Sifat 1. Pada ∆ ABC cevian AF dengan F berada pada ruas garis BC
merupakan simedian jika dan hanya jika

BF  AB 


CF  AC 

2

(=>) Jika cevian AF dengan F berada pada ruas garis BC merupakan simedian
maka memenuhi

BF  AB 


CF  AC 

2

Bukti:
Diketahui pada ∆ ABC, dengan AD merupakan garis bagi, AE merupakan
garis berat dan AF hasil refleksi AE terhadap AD (simedian). Akan
ditunjukkan bahwa jika AF adalah simedian maka

BF  AB 


CF  AC 

2

Gambar 8 Simedian ∆ABC

a. Perhatikan BAE
Dengan aturan sinus didapatkan
BE
AB
sehingga

sin BAE sin AEB

Kajian Lanjut tentang Segiempat Harmonik

Halaman.9

BE sin BAE
AB sin BAE

 BE 
sin AEB
AB sin AEB

…. (1)

b. Perhatikan EAC
Dengan aturan sinus didapatkan
EC
AC
sehingga

sin EAC sin AEC
EC sin EAC
AC sin EAC
…. (2)

 EC 
sin AEC
AC sin AEC

c. Perhatikan FAC
Dengan aturan sinus didapatkan
CF
AC
sehingga

sin FAC sin AFC
CF sin FAC
AC sin FAC
…. (3)

 CF 
sin AFC
AC sin AFC

d. Perhatikan BAF
Dengan aturan sinus didapatkan
BF
AB
sehingga

sin BAF sin AFB
BF sin BAF
AB sin BAF
…. (4)

 BF 
sin AFB
AB sin AFB

Dari persamaan (1) dan (2) didapatkan:

AB sin BAE
sin AEB
BE
AB sin BAE
AB sin BAE
 sin AEB 

x
….. (5)
sin AEB
CE AC sin EAC
AC sin EAC AC sin EAC
sin AEB
Dari persamaan (3) dan (4) didapatkan

AB sin BAF
BF
AB sin BAF
sin AFC
 sin AFC 
x
CF AC sin FAC
AC sin FAC
sin AFC
…. (6)
sin AFC
AB sin BAF

AC sin FAC
Dari persamaan (5) dan (6) maka didapatkan:

Kajian Lanjut tentang Segiempat Harmonik

Halaman.10

BE BF AB sin BAE AB sin BAF

x
x
CE CF AC sin EAC AC sin FAC
AB 2 (sin BAE  sin BAF )

AC 2 (sin EAC  sin FAC )
BE BF AB 2

x
CE CF AC 2
Karena AF adalah simedian dan AE merupakan garis berat maka BE = EC
sehingga
BF AB 2
BF  AB 




2
CF AC
CF  AC 

2

2

BF  AB 

() diketahui

BE BF
AB sin BAE AB sin BAF

x
x
CE CF AC sin EAC AC sin FAC
2

BF  AB 

dan sesuai dengan yang diketahui
 maka
CF  AC 

Kajian Lanjut tentang Segiempat Harmonik

Halaman.11

AB sin BAE AB sin BAF
AB 2
x

AC sin EAC AC sin FAC AC 2
AB AB sin BAE sin BAF AB 2
x
x
x

AC AC sin EAC sin FAC AC 2
AB 2 sin BAE sin BAF AB 2
x
x

AC 2 sin EAC sin FAC AC 2
sin BAE sin BAF
x
1
sin EAC sin FAC
sin BAE sin FAC
.............(2)

sin EAC sin BAF

Dari persamaan (2) didapat

mBAF  mEAC
Dari persamaan (1) dan (2) diketahui bahwa mBAF  mEAC sehingga
dapat disimpulkan bahwa AF merupakan simedian ∆ABC.

Sifat 2. Pada Segiempat Harmonik diagonal dari segiempat tersebut
merupakan simedian dari segitiga yang dibentuk oleh dua sisi yang
berurutan dan panjang diagonal lainnya.

K

Gambar 9 Segiempat Harmonik ABCD

Bukti:
Misalkan segiempat ABCD merupakan segiempat Harmonik dan K
merupakan titik perpotongan dari AC dan BD. Akan ditunjukkan bahwa BK
merupakan simedian dari ∆ABC. Perhatikan ∆ABK dan ∆DCK, dari
kesamaan kedua segitiga tersebut didapatkan bahwa,
Kajian Lanjut tentang Segiempat Harmonik

Halaman.12

AB AK BK


.......... ........(1 )
DC DK CK

Kemudian perhatikan ∆BCK dan ∆ADK, dari kesamaan kedua segitiga
tersebut didapatkan pula,
BC CK
AK


.............................(2)
AD DK BK

Dari persamaan (1) dan (2) didapatkan,

AB
DC
BC
AD
AB
x
DC
AB
x
DC



AK
DK
CK
DK



BK
CK
BK
AK

AD AK DK BK AK

x

x
BC DK CK CK BK
AD AK

..................................(3)
BC CK

Karena segiempat ABCD merupakan segiempat Harmonik maka diketahui,
AB AD

...........................(4)
BC DC

Dari persamaan (3) dan (4) didapatkan bahwa,
2

AB AB AK
AK
 AB 
x


 
BC BC CK
CK
 BC 

Dari persamaan diatas dan merujuk dari Dalil 1, dapat disimpulkan bahwa BK
merupakan simedian dari ∆ABC, dengan menggunakan teknik pembuktian
yang sama dapat pula diketahui bahwa AK simedian dari ∆ABD, CK simedian
∆BCD dan DK merupakan simedian ∆ADC.

Sifat 3. Jika suatu segiempat konveks dengan keempat titik sudutnya berada
pada sebuah lingkaran dan diagonalnya terbentuk dari simedian dua
buah segitiga yang berhadapan maka segiempat tersebut adalah
segiempat harmonik.

Kajian Lanjut tentang Segiempat Harmonik

Halaman.13

Gambar 10 Simedian dari

ABC dan ADC

Misalkan segiempat ABCD bukan merupakan segiempat harmonik. DK dan
BK merupakan simedian segitiga ADC dan ABC maka berlaku untuk:
Kasus I
a. Pada ADC dengan DK simedian ADC maka berlaku :
AD 2 AK

…. (1)
CD 2 CK
b. Pada ABC dengan BK simedian ABC maka berlaku :
AB 2 AK

…. (2)
BC 2 CK
Dari persamaan (1) dan (2) maka :
AB 2 AD 2
AB AD



sehingga AB x CD  BC x AD
2
2
BC CD
BC
CD
Karena AB x CD  BC x AD maka segiempat ABCD merupakan segiempat
harmonik.
Kasus II
a. Pada BAD dengan AK simedian BAD maka berlaku :
AB 2
BK

........(1)
2
DK
AD
b. Pada BCD dengan CK simedian ΔBCD maka berlaku :
BC 2 BK

........(2)
CD 2 DK

Kajian Lanjut tentang Segiempat Harmonik

Halaman.14

Dari persamaan (1) dan (2) maka
AB 2 BC 2
AB BC



sehingga AB x CD  AD x BC
2
2
AD CD
AD
CD
Karena berlaku AB x CD  AD x BC maka segiempat ABCD merupakan
segiempat harmonik
Sehingga dari kasus I dan II dapat disimpulkan segiempat ABCD merupakan
segiempat harmonik.

3.2 Panjang Diagonal Segiempat Harmonik
Untuk mengkaji panjang diagonal segiempat harmonik, perhatikan gambar
berikut.

Gambar 11 Diagonal Segiempat Harmonik

Dengan melihat ACD dan menerapkan dalil Cosinus, maka diperoleh
persamaan p 2  c 2  d 2  2cd cosADC 

...(1)

Kemudian dengan melihat ABC dan menerapkan dalil Cosinus lagi, maka
didapatkan persamaan p 2  a 2  b 2  2ab cosABC  . Namun kita ketahui
bahwa mABC  mADC  180 0

( sifat quadilateral ) , maka persamaannya

dapat ditulis ulang sebagai berikut:
p 2  a 2  b 2  2ab cos 180 0  ADC





p 2  a 2  b 2  2ab cosADC 

...2 

Kalikan persamaan (1) dengan ab sehingga menjadi:

ab  p 2

 abc 2  abd 2  2abcd cosADC 

Kajian Lanjut tentang Segiempat Harmonik

...3

Halaman.15

Kalikan persamaan (2) dengan cd sehingga menjadi,

cd  p 2  a 2cd  b 2cd  2abcd cosADC 

...(4)

Kemudian jumlahkan persamaan (3) dan (4), sehingga diperoleh:

ab  cd  p 2  a 2 cd  b 2 cd  abc 2  abd 2
ab  cd  p 2  a 2 cd  abc 2  abd 2  b 2 cd
ab  cd  p 2  acad  bc   bd ad  bc 
ab  cd  p 2  ad  bc ac  bd 
Karena diketahui pada segiempat harmonik ac = bd maka :

ab  cd  p 2  (2ac)ad  bc 
p

2acad  bc 
ab  cd

Salah satu panjang diagonal p dapat diperoleh dari keempat sisi quadirateral.
Maka dengan cara yang sama kita dapatkan formula untuk menentukan
panjang diagonal q yaitu:
q

( 2 ac ) ad  bc 
ad  bc

Maka dari pemaparan di atas diperoleh formula,

p

2acad  bc 
dan q 
ab  cd

( 2 ac ) ab  cd 
ad  bc

3.3 Luas Daerah Segiempat Harmonik
Untuk kajian luas daerah segiempat harmonik, perhatikan gambar berikut.

Gambar 12 Sisi-sisi Segiempat Harmonik

Kajian Lanjut tentang Segiempat Harmonik

Halaman.16

Berdasarkan aturan cosinus pada segitiga maka :
Pada  ABC berlaku : AC 2  a 2  b 2  2ab cos B.............(1)
Pada  ADC berlaku : AC 2  c 2  d 2  2cd cos B.............(2)
Dari persamaaan (1) dan (2) maka diperoleh :
a 2  b 2  2ab cos B  c 2  d 2  2cd cos B.........(3)
Dari persamaan Teorema Pitot maka :

acbd
abd c
( a  b) 2  ( d  c ) 2
a 2  2 ab  b 2  d 2  2 cd  c 2
a 2  b 2  2 ab  d 2  c 2  2cd ………………(4)

Dari persamaan (3) dan (4) sehingga :
a 2  b 2  2ab cos B  c 2  d 2  2cd cos B.
a 2  b 2  2 ab  d 2  c 2  2cd
ab (1  cos B )  cd (1  cos B )......... .......... ....( 5)
ab (1  cos B )  cd (1  cos B )
ab (1  cos B )  cd (1  cos B )

ab  ab cos B  cd  cd cos B
ab  cd  cd cos B  ab cos B
ab  cd  ( ab  cd ) cos B

(ab  cd )
 cos B..........................(6)
(ab  cd )
Luas daerah segiempat pada gambar di atas (gambar 12) terbentuk dari dua
buah segitiga yakni  ABC dan  ADC yang menyebabkan :
L  luas daerah Δ ABC  luas daerah Δ ADC

Kajian Lanjut tentang Segiempat Harmonik

Halaman.17

1
1
L  ab sin B  cd sin D
2
2
2 L  sin B ( ab  cd )......... .........( 7 )

Berdasarkan identitas trigonometri yang menyatakan bahwa :
sin 2 B  cos 2 B  1
sin 2 B  1  cos 2 B

Maka :
(2 L) 2  sin 2 B(ab  cd ) 2
(2 L) 2  (1  cos 2 B)(ab  cd ) 2
(2 L) 2  (ab  cd ) 2  cos 2 B(ab  cd ) 2

(2L) 2  (ab  cd ) 2 

(ab  cd ) 2
(ab  cd ) 2
2
(ab  cd )

(2 L) 2  (ab  cd ) 2  (ab  cd ) 2
(2 L) 2  (ab) 2  2abcd  (cd ) 2  ((ab) 2  2abcd  (cd ) 2 )
(2 L) 2  (ab) 2  2abcd  (cd ) 2  (ab) 2  2abcd  (cd ) 2
(2L) 2  4abcd
4 L2  4 abcd
L2  abcd

L  abcd

Kajian Lanjut tentang Segiempat Harmonik

Halaman.18

Karena segiempat harmonik memiliki perbandingan a . c = b . d maka:
Untuk b . d = a . c

Untuk a . c = b . d

L  a.b.c.d

L  a.b.c.d

L  a.c.a.c

L  b.d .b.d

L  a.a.c.c

L  b.b.d .d

L  (a.c) 2

L  (b.d ) 2

L  a.c

L  b.d

Sehingga dapat diketahui bahwa luas daerah dari segiempat harmonik dengan
masing-masing panjang sisinya adalah a, b, c dan d, menggunakan pendekatan
luas daerah segitiga sembarang adalah L = a . c atau L = b . d

Kajian Lanjut tentang Segiempat Harmonik

Halaman.19

BAB IV
PENUTUP
4.1 Simpulan
Berdasarkan hasil pembahasan dapat disimpulkan sebagai berikut.
1. Beberapa sifat segiempat harmonik
Sifat 1. Pada ∆ABC (Gambar 8) cevian AF dengan F berada pada ruas
garis BC merupakan simedian jika dan hanya jika

BF  AB 


CF  AC 

2

Sifat 2. Pada segiempat Harmonik diagonal dari segiempat tersebut
merupakan simedian dari segitiga yang dibentuk oleh dua sisi yang
berurutan dan panjang diagonal lainnya.
Sifat 3. Jika suatu segiempat konveks dengan keempat titik sudutnya
berada pada sebuah lingkaran dan diagonalnya terbentuk dari simedian dua
buah segitiga yang berhadapan maka segiempat tersebut adalah segiempat
harmonik.
2. Panjang diagonal segiempat harmonik (Gambar 11)

2acad  bc 
(2ac)ab  cd 
dan q 
ad  bc
ab  cd
3. Rumus luas daerah dari segiempat harmonik (Gambar 12)
p

L = a . c atau L = b . d
Untuk segiempat harmonik dengan masing-masing panjang sisinya a, b, c
dan d.

4.2 Saran
Pada pembahasan kali ini, penulis hanya membahas mengenai beberapa sifat,
panjang diagonal dan luas daerah dari segiempat harmonik. Karena
keterbatasan, penulis mengharapkan untuk kajian selanjutnya bagi pembaca
yang tertarik dapat melanjutkan mengkaji mengenai keliling dan beberapa
sifat yang lain dari segiempat harmonik.

Kajian Lanjut tentang Segiempat Harmonik

Halaman.20

DAFTAR PUSTAKA

Johnson R.A. 2007. Advanced Euclidean Geometry, New York: Dover
Publications Inc. Mineola
Josefsson M. 2013. “Characterizations of Trapesoids” Forum Geometricorum,
Volume 13
-------, 2015. “Minimal Area of A Bicentric Quadrilateral” The Mathematical
Gazette, Volume 99 (hlm.237)
Muabuai, Y. (2010). Pembelajaran Geometri melalui Model Kooperatif Tipe
STAD Berbasis Program Cabri Geometry II Plus dalam Upaya
Peningkatan Kemampuan Komunikasi Matematis Siswa SMP. Tesis
(Tidak Diterbitkan) pada SPS UPI.
Prayoga, Tambah. 2008. Perbandingan Segiempat Saccheri Pada Geometri
Euclid Dan Geometri Non Euclid. Skripsi (Tidak diterbitkan). Pendidikan
Matematika, FMIPA UNY.
Smarandache, F dan I. Patrascu (Eds). 2012. The Geometry of Homological
Triangles, Ohio: The Education Publisher Inc. Columbus
-------, 2013. Variance on Topics of plane Geometry, Ohio: The Education
Publisher Inc. Columbus
-------, 2014. “Some Properties of the Harmonic Quadrilateral” International
Frontier Science Letters (IFSL), Volume 1, Nomor 1 (hlm. 12-17)
Wisna Ariawan, I Putu.2008. Goemetri Datar. Bahan Ajar (tidak diterbitkan).
Jurusan Pendidikan Matematika, Universitas Pendidikan Ganesha.
Singaraja

Lampiran 2
Print Out Media Geogebra untuk Sifat II, III, Panjang Diagonal dan Luas Daerah untuk Segiempat Harmonik

Lampiran 3
Print Out Media Geogebra untuk Sifat II, III, Panjang Diagonal dan Luas Daerah yang Bukan Merupakan Segiempat Harmonik

Lampiran 1
Print Out Media Geogebra Sifat I Simedian Segitiga