Számtani és mértani sorozatok
Differenciálszámítás
1. Differenciáljuk!
f (x) = 3x4 −
√
4
+23x
x
g(x) = 3x + x3 + e3
h(x) = xx
2x2 + 1
m(x) = log3 2x5 − 1
3x2 − 1
2. Bizonyítsuk be, hogy a 2x4 − 2x3 + 2x = 0 egyenletnek nincs valós megoldása!
k(x) = x3 sin x
l(x) =
3. Az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabola átmegy az A(4, −7) ponton és érinti az
y = 1 egyenletű egyenest. Az A pontban a parabolához húzott érintő normálvektora:
~n(8; 1). Írja fel a parabola egyenletét!
4. Legyen az ABC háromszög kerülete, 2s = 24 egység. Húzzuk meg a beírt körének az
oldalakkal párhuzamos érintőit. Ezen érintőknek a háromszögön belül eső szakaszai közül
válasszuk ki a legnagyobbat. Mely ABC háromszög esetén lesz ez az érintőszakasz a
lehető legnagyobb?
5. Tekintse az
x 7→ (p − 2)x2 + 2(p + 1)x + p − 3
függvényt, ahol x bármely valós szám és p valós paraméter. Határozzuk meg a p értékét
úgy, hogy a függvény legkisebb helyettesítési értéke −9 legyen! Mely x-nél veszi fel a
függvény ezt a legkisebb értékét?
6. Egy adott téglatest alakú dobozt akarunk készíteni, amelynek alaplapja 1 területegység,
12 élének összhossza pedig 20 egység. Hogyan kell a téglatest méreteit megválasztani
ahhoz, hogy a felszíne maximális legyen? Mekkora ez a maximális felszín?
7. Mekkora oldalhosszúság mellett maximális annak az ABCD téglalapnak a területe, amelynek AB oldala az x, AD oldala az y tengelyre illeszkedik és C csúcsa rajta van a 2y +
+ 3x = 16 egyenesen?
8. Messen el egy szabályos tetraédert olyan síkkal, amely két kitérő éllel párhuzamos. Mekkora a maximális területű síkmetszet, ha a tetraéder éleinek hossza 2 egység?
Függvények vizsgálata, szélsőérték
9. Ábrázolja és vizsgálja a következő függvényt! (Df ; Rf ; zérushely; monotonitás; szélsőérték)
f (x) = 6log6 (2
|x−1| −2)
10. Ábrázolja és vizsgálja a következő függvényt! (Df ; Rf ; zérushely; monotonitás; szélsőérték)
f (x) = 5log5 (log2 |x−1|)
11. Ábrázolja a derékszögű koordináta-rendszerben az f (x) = (x − 4)2 + 16x (ahol x
valós szám) függvény grafikonját! Mely x értékre veszi fel a függvény a minimumát?
Mekkora ez a minimum?
12. Mennyi az
x 7→ |x2 + x| + |x2 − 3x + 2|
függvény legkisebb és legnagyobb értéke a − 21 ; 23 intervallumban?
2
13. Ábrázolja közös koordináta-rendszerben az x 7→ (x + 1)2 és az x 7→ |x − 1| függvények grafikonját! A grafikonról olvassa le az (x + 1)2 = |x − 1| egyenlet, valamint az
(x + 1)2 > |x − 1| és az (x + 1)2 < |x − 1| egyenlőtlenségek megoldásait!
14. Legyen f az a függvény, amelyre x 6= 1 esetén
3
x − x2 − x + 1
,
x 7→
x−1
ha −2 ≤ x ≤ 2, és f (x) = f (x + 4); x 6= 1 + 4k (k ∈ Z). Készítse el a függvénye grafikonját! Vizsgálja meg a függvény menetét (folytonosság; monotonitás; lokális szélsőérték;
paritás)!
15. Ábrázolja az f (x) = x2 −4x+3 függvény grafikonját a derékszögű koordináta-rendszerben!
Határozza meg, milyen valós x értékek esetén lesz f (x) pozitív!
16. Tekintse az f (x) = (x − 3)2 − 1 és g(x) = −x + 4 függvényeket, ahol x valós szám!
a) Ábrázolja a függvények grafikonját ugyanabban a derékszögű koordináta-rendszerben!
b) Melyek azok az x helyek, amelyekben g(x) nagyobb, mint f (x)?
17. Készítse el az f (x) = |x − 1| − 1 , ha −1 ≤ x ≤ 3 és f (x) = f (x + 4), x ∈ R függvény grafikonját! Vizsgálja meg f menetét folytonosság, monotonitás, lokális szélsőérték,
paritás szempontjából!
18. Milyen határok között mozog a p + q összeg értéke, ha p és q olyan valós számok, hogy
az x2 + px + q = 0 egyenletnek valós gyökei vannak, és az egyenlet gyökeire fennáll az
x21 + x22 = 1 összefüggés?
Számtani és mértani sorozatok
19. Egy számtani sorozat első 7 elemének összege 105. A sorozat első, harmadik és hetedik eleme egy mértani sorozatnak három egymás után következő eleme. Számítsa ki a
számtani sorozat első elemét, különbségét és a mértani sorozat hányadosát!
20. Egy számtani sorozat első tíz elemének összege 155, az első és a hetedik elemének szorzata egyenlő a második és harmadik elemének szorzatával. Számítsa ki a sorozat első tíz
elemét!
√
2
1
19π
1
√
√
√ ;
21. Bizonyítsa be, hogy az
− (2 2)− 3 ;
sin
3
3+ 2
2+1
számok egy számtani sorozat egymást követő elemei!
22. Egy számtani sorozat első eleme 4. A sorozat első öt elemének összege 2570. A számtani
sorozat első és ötödik eleme megegyezik egy mértani sorozat első és ötödik elemével.
Mivel egyenlő a mértani sorozat negyedik eleme?
23. Egy számtani sorozat első eleme 1. A sorozat első hét elemének összege 2555. A számtani
sorozat első és hetedik eleme megegyezik egy mértani sorozat első és hetedik elemével.
Mivel egyenlő a mértani sorozat negyedik eleme?
24. Egy 2,5 méteres lécből egy ötfokú létra fokait akarjuk kiszabni úgy, hogy a legalsó fok
80cm-es legyen, és felfelé haladva mindig ugyanannyival rövidüljenek a fokok. Mekkorák
lesznek a létra fokai?
25. Egy számtani sorozat első öt és első hat elemének összege egyaránt 60. Számítsa ki a
sorozat első hat elemét!
26. Egy számtani sorozat különbsége 12 . Az első n elem összege 38, az első n + 4 elem összege
69. Mekkora az n értéke és a sorozat első eleme?
3
27. Egy számtani sorozat tizedik eleme 22, a századik eleme 202. Hagyja el a sorozat minden
olyan elemét, amelynek utolsó számjegye 2. Számítsa ki a megmaradt sorozat első 200
elemének az összegét!
28. Négy testvért életkorukról kérdeznek. A legidősebb ezt mondja: „Születési éveink egy
számtani sorozat első négy elemét adják.” A korban utána következő pedig: „15 évvel
ezelőtt testvéreim életkora egy mértani sorozat első három elemével volt egyenlő, most
-szerese az enyémnek.” Számítsa ki a testvérek jelenlegi éltekopedig életkoruk összege 11
4
rát!
29. Egy termék árát először 10%-kal felemelték, majd 10%-kal csökkentették. Végül ismét
felemelték 10%-kal. Számítsa ki, hogy a végső ár az eredetinek hány százaléka?
30. Egy mértani sorozat első három elemének összege 26, az ötödik, hatodik és hetedik elem
összege pedig 2106. Írja fel a sorozat első hét elmét!
31. Százezer forintot helyezünk el a bankban évi 16%-os kamatra. Négy év múlva kiveszünk
120 ezer forintot. Ezt követően mennyi ideig kell várnunk, hogy betétünk összege ismét
meghaladja a százezer forintot?
32. 8 és 20 közé iktassunk be számokat úgy, hogy ezek a megadott két számmal együtt olyan
számtani sorozatot alkossanak, amelynek összege 182 lesz. Hány elemet kell közbeiktatni,
és melyek ezek?
33. Egy mértani sorozat első és harmadik elmének szorzata 36, a második és harmadik elemének szorzata 72. Írja fel a sorozat első három elemét!
34. Egy számtani sorozat harmadik eleme az első elem négyzete, az első három elem összege
30. Írja fel a sorozat első három elemét!
35. Legyen a1 ; a2 ; a3 ; . . . ; an ; . . . számtani sorozat. Igazolja, hogy bn = a2n+1 − a2n képlettel
értelmezett b1 ; b2 ; b3 ; . . . ; bn ; . . . sorozat számtani sorozat!
36. Határozza meg a 100-nál nemnagyobb, 4-gyel osztható pozitív egész számok összegét!
37. Egy hét elemből álló mértani sorozat első három elemének összege 21, az utolsó három
elemének az összege 336. Írja fel a hét elemet!
38. Mekkorák annak a derékszögű háromszögnek a szögei, amelyben az oldalak hosszúságai
egy számtani sorozat egymást követő tagjai?
39. Egy pozitív számokból álló mértani sorozat első, harmadik és ötödik elemének összege
52, ugyanezen három elem reciprokának összege 13
. Számítsa ki a sorozat első három
36
elemét!
40. Egy mértani sorozat első eleme 0,1. Az első négy elem összege eggyel nagyobb, mint a
sorozat hányadosa. Írja fel a sorozat első négy elemét!
41. Mekkora a következő összeg?
19921992 − 1993 · 19921991 + 1993 · 19921990 − 1993 · 19921989 + · · · − 1993 · 1992 + 1993.
4
Koordináta-geometria
42. Az ABCD rombusz oldala 5 egység. Az A és C csúcs az y = x2 + 7x + 10 egyenletű
parabolán van, a B csúcs a parabola fókuszpontja. Mekkora a rombusz területe?
43. A k kör érinti az x tengelyt és a 3x + 4y = 69 egyenletű e egyenest; a kör és az egyenes
közös pontjának abszcisszája 11. Írja fel a kör egyenletét!
44. Írja meg annak a körnek az egyenletét, amelynek átmérője a következő egyenletű körök
középpontját összekötő szakasz:
k1 : x2 + y 2 − 8x − 4y + 11 = 0;
k1 : x2 + y 2 + 4x + 12y + 4 = 0.
45. Írja fel azoknak a köröknek az egyenletét, amelyek átmennek az A(1; 2) ponton, érintik
az y tengelyt, középpontjuk pedig illeszkedik az y − 2x = 1 egyenesű egyenesre!
46. Az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabola átmegy az A(4; −7) ponton és érinti az
y = 1 egyenletű egyenest. Az A pontban a parabolához húzott érintő egy normálvektora
~n(8; 1). Írja fel a parabola egyenletét!
47. Adott egy ABCD trapéz három csúcsapontja: A(−2; −3); B(4; 1); C(1; 2), továbbá
BC = AD és AB 6= CD, ahol AB a trapéz egyik alapja. Számítsa ki a trapéz negyedik
csúcspontjának koordinátáit!
48. Egy háromszög AB oldala 10, a hozzá tartozó súlyvonal 6, egy másik súlyvonal pedig 9
egység. Mekkora a háromszög AC és BC oldala?
49. Adott az x2 + y 2 − 2x − 25 = 0 egyenletű kör két pontja, A(−4; −1) és B(6; 1); a kör AC
és BC húrjai hosszának aránya 3 : 2. Határozza meg a C pont koordinátáit!
50. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a (6; 4) ponton, továbbá az
x + y = 4 és az x + y = 5 egyenletű egyeneseket olyan pontokban metszik, amelyek
abszcisszájának különbsége 2!
51. A C(13; 0) középpontú kör az E pontban érinti az 5x−12y = 234 egyenletű e egyenest. Az
y tengely és az e egyenes metszéspontjából a körhöz húzott másik érintőt jelölje f , E-nek
az f -re vonatkozó tükörképét pedig F . Számítsa ki a kör sugarát és F koordinátáit!
52. Az ABCD téglalap AB oldalegyenesének egyenlete x + y = 6; AD oldalegyenesének
egyenlete pedig x − y = 0; a C csúcs C(−3; 1). Számítsa ki az A, B és D csúcsok
koordinátáit!
53. Az ABCD deltoid szimmetriatengelye az AC átló, ahol A(0; 0) és C(8; 10). A deltoid
területe 41 területegység. Az egyik átló az origótól számítva 3 : 2 arányban osztja a
másikat. Határozza meg a hiányzó csúcspontok koordinátáit!
54. Az e1 egyenes egyenlete x + 2y = 12; az e2 egyenesé 5x − 3y = −5. Ábrázolja ugyanabban
a derékszögű koordináta-rendszerben a két egyenest! Írja fel annak a körvonalnak az
egyenletét, amelyiknek a középpontja a két egyenes metszéspontjában van és a kör érinti
az y tengelyt!
55. Tükrözze az x + 2y = 6 egyenletű egyenest az origóra! Írja fel a tükörkép egyenletét!
56. Az ABCD paralelogramma AB oldalegyenesének az egyenlete y = 1, az AD oldalegyenesének az egyenlete 4x − 3y = 1, a BD átlóegyenesének az egyenlete 2x + y = 13. Számítsa
ki a C csúcs koordinátáit!
57. Egy háromszög csúcspontjai: A(0; 0); B(10; 2) és C(2; 2). Írja fel annak az egyenesnek az
egyenletét, amely felezi az ABC háromszög területét és párhuzamos az y tengellyel!
5
58. Határozza meg r értékét úgy, hogy a C(−12; 0) középpontú, r sugarú körnek és az
x2 + y 2 = 8 egyenletű körnek legyen az y = x egyenletű egyenessel párhuzamos közös
érintője!
59. Egy háromszög egyik csúcsa az origó, magasságpontja (4; −2), súlypontja (6; 0). Határozza meg a másik két csúcs koordinátáit!
60. Határozza meg azon pontok halmazát a síkon, amelyekből az x2 + y 2 − 2x − 2y + 1 = 0
és az x2 + y 2 − 4x − 10y + 25 = 0 egyenletű körökhöz húzott érintőszakaszok hossza
megegyezik!
61. Az x2 +y 2 = 4 egyenletű körnek az x tengelyre illeszkedő átmérőjének A és B végpontjait
kössük össze a C(1; 3) ponttal. Ez a két egyenes a kört még a D és az E pontban metszi.
Írja fel a C ; D ; E pontokra illeszkedő kör egyenletét!
Vektorszámítás
62. Síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az ABC háromszög csúcspontjai: A(0; 10);
B(8; 0); C(x; 14), ahol x > 0. Mekkora az x értéke, ha az ABC háromszög területe 36
területegység?
63. Egy paralelogramma rövidebb átlója 8 egység, átlóinak szöge 45◦ , területe 40 területegység. Számítsa ki a paralelogramma kerületét!
64. Legyen AB és CD egy O középpontú kör két, egymásra merőleges átmérője. Az OD
sugarat felező E ponton átmegy az AF húr. Az AB átmérő és a CF húr metszéspontja
legyen G. Bizonyítsa be, hogy
a) AF = 2BF
b) OB = 3OG
c) CF = 3DF .
~
65. Bontsa fel az ~u(3; −2) vektort a ~c(1; 2) és a d(−2;
3) vektorokkal párhuzamos komponensekre! Határozza meg az ~u irányába mutató egységvektor koordinátáit!
66. Tekintse az A(1; −1); B(7; 1) és C(6; 4) csúcspontú háromszöget a derékszögű koordinátarendszerben!
a) Igazolja, hogy a háromszög derékszögű!
b) Számítsa ki a háromszög köré írható kör sugarát!
67. Az ABCD téglalap két szomszédos csúcsa A 23 ; 1 és B 29 ; 0 . Az AB és BC oldlak
hosszúságainak aránya 1 : 3. Határozza meg a C és D pontok koordinátáit!
68. Egy rombusz csúcsa az A(5; 8) pont, a BD átló egyenesének egyenlete x − 2y + 6 = 0.
A rombusz oldala 5 egység. Határozza meg a többi csúcspont koordinátáit és a rombusz
területét!
69. Az ABCD téglalap két csúcsa A(1; −4); D(−3; −2), és tudjuk, hogy 4AD = AB. Mekkora szakaszokat metsz ki az x, illetve az y tengelyből a téglalap köré írt kör?
70. Egy k kör középpontjának abszcisszája −1. Az A(7; 4) pontból induló AB átmérő B
végpontja az x tengelyen van. Írja fel a kör egyenletét! Számítsa ki az AB átmérőre
merőleges átmérő pontjainak koordinátáit!
71. Legyen P és Q az ABC háromszög AB, illetve AC oldalán levő két belső pont úgy, hogy
BP = CQ. Jelölje a BColdal felezőpontját F . Igazolja, hogy az EF egyenes párhuzamos
az ABC háromszög A csúcsából induló belső szögfelezővel!
72. Az e egyenes párhuzamos a ~v (1; −7) vektorral és átmegy az E(13; 2) ponton. A k kör
áthalad az A(3; 12) és a B(8; 7) pontokon; a kört a B pontban érintő egyenes párhuzamos
6
az x tengellyel. Számítsa ki az e és k metszéspontjainak koordinátáit; igazolja továbbá,
hogy a két metszéspont és a kör középpontja egy derékszögű háromszög csúcsai!
73. Adott az ABC és a DEF háromszög. Az ABC háromszög súlypontját jelölje S, a DEF
−−→ −−→ −→
−→
háromszög súlypontját pedig T . Bizonyítsa be, hogy AD + BE + CF = 3ST !
Exponenciális egyenletek, egyenletrendszerek
74. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
6 · 4x − 13 · 6x + 6 · 9x = 0
75. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
729 · 3x − 22x+12 = 0
76. Oldja meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert:
3lg x + 5lg y = 14;
32 lg x − 52 lg y = 56.
77. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:
62x+4 = 2x+8 33x .
78. Oldja meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert:
3
xy + y x = ;
2
−y
−x
x + y = 3.
79. Oldja meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert:
21+log2 (x+y) = 20;
lg(x − y) + lg(x + y) = lg 2 + lg 40.
80. Mely valós számpárok esetén áll fenn a következő egyenlőség?
2 +4x sin(2xy)+4
5x
=1
81. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
4|2x+6|−|x−9| = 8
82. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
xlg tan x + xlg cot x = 2
Logaritmusos egyenletek, egyenletrendszerek
83. Mely valós számokra értelmezhető az
logx2 −9x+20 (x2 + 5x − 14)
kifejezés?
84. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
p √
xlg x = 10
7
85. Mely valós számpárok elégítik ki a következő egyenletrendszert?
log12 x + log12 y = 1 + log12 5;
lg(2y − x) = 1 − lg 5.
86. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
√
p
12
2 − logx 9 = −
log3 x
87. Oldja meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert:
x−1 + y −1 = x + y;
(2 + lg y) lg x = 1.
88. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
log5 (x − 4) + log√5 (x3 − 2) + log0,2 (x − 4) = 4
89. Oldja meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert:
5
x y
+ = ;
y x
2
log3 (x − y) + log3 (x + y) = 1.
90. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
log2016 (x − 3) + log2017 (x − 3) = 3 − lg(x5 − 24)
91. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
logcot x logtan x sin x ≤ 0
92. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
lg(3 − x) + log√10 (5 − x)2 + log0,1 (3 − x) = 8
93. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
94. Határozza meg a
lg(x + 1) + lg(3 − x) = lg 3 + 0,5 lg(x − 1)2
log2 x logy 2 = −1;
sin x cos y = 1 − cos x sin y.
egyenletrendszernek azokat a megoldásait, amelyek kielégítik az x + y < 10 feltételt!
95. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
√
√
lg x + lg x + 3 = 1
96. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
1
logsin x cos x + logcos x sin x = logtan x
cot2 x
97. Bizonyítsa be, hogy
1
log2ab a + log2ab b ≥ ,
2
ha a és b 1-nél nagyobb valós számok!
8
Trigonometrikus egyenletek, egyenletrendszerek
98. A c milyen valós értékére van megoldása a következő egyenletnek a valós számok halmazán? Oldja meg az egyenletet, ha c = 85 .
sin4 x + cos4 x = c
99. Számítsa ki az egyenlet legkisebb pozitív gyökét!
cos(πx2 ) = cos π(x2 + 2x + 1)
100. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! 6 sin2 x − 13 sin x + 6 = 0
101. Igazolja, hogy a következő egyenletnek nincs gyöke a valós számok halmazán:
√
sin x + 3 cos x sin(4x) = 2.
102. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
3 cos(2x) − 8 cos2 x + 5 sin x − 2 = 0
103. Oldja meg a következő egyenletrendszert a valós számpárok halmazán:
sin x = 2 sin y;
2π
.
x+y =
3
104. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
cot x − sin(2x) = cot x cos(2x).
105. Határozza meg mindazokat a valós (a; b) számpárokat, amelyekre a
cos(ax + b2 ) − (a cos x + b2 ) = 1 − a
egyenlőség minden valós x értékre teljesül!
106. Oldja meg a valós számok halmazán:
cos x + cos(2x) = 0.
107. Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán:
1 + sin(2x) (cos x − sin x) = cos x + sin x.
108. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
3 cos(2x) − 8 cos2 x + 5 sin x − 2 = 0.
109. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 8 sin2
110. Oldja meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletet:
1
1
2
= 2
.
log2 sin (xy) +
2
y − 2y + 2
sin (xy)
x
2
− 2 cos x = 7.
111. A p valós paraméter mely értékei esetén lesz a
(p − 1)2 sin2 x + (p − 1)(p2 − 3) sin x = 2(p2 − 1)
egyenletnek gyöke a valós számok között?
112. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: sin x + sin(2x) = 0.
113. Mely valós számpárok esetén áll fenn a következő egyenlőség? 5x
114. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
1
sin2 x sin(2x) + cos2 x cos(2x) = .
2
2 +4x sin(2xy)+4
=1
9
Trigonometriát felhasználó geometriai feladatok
115. Egy háromszög egyik oldala 2 egységgel nagyobb, másik oldala 2 egységgel kisebb, mint
a harmadik oldal. A háromszög területe 24 területegység. Mekkorák a háromszög oldalai
és mekkora a legnagyobb szöge?
116. Az ABC háromszögben a BC oldallal szemközti szög az AB oldallal szemközti szög
kétszerese; AB = 10 cm; BC = 12 cm. Számítsa ki a háromszög szögeit!
117. Egy szabályos háromszög oldala 30 cm. Az egyik szöget három egyenlő részre osztó egyenesek mekkora részekre osztják a szemközti oldalt?
√
√
118. Az ABC háromszögben AB = 3; AC = 2 egység; BAC∠ = 75◦ . A háromszög köré
írt körnek az A-t nem tartalmazó BC ívén vegyük fel a D pontot úgy, hogy a BAD∠ =
= 30◦ legyen. Számítsa ki az AD szakasz hosszát!
119. Mekkora a területe annak az ABC háromszögnek, amelyben AB = 3; BC = 7 és a B
csúcsból induló súlyvonal hossza 4 egység?
120. Mekkora annak a téglalapnak a kerülete és területe, amelynek átlói 10 cm hosszúak, és
az átlók 40◦ -os szöget zárnak be egymással?
121. Egy paralelogramma átlóinak hossza 10 cm, illetve 20 cm. Az átlók szöge 60◦ . Számítsa
ki a paralelogramma területét és kerületét.
122. Egy C középpontú, 3 egységnyi sugarú körnek CA és CB sugarai 120◦ -os szöget zárnak
be egymással. Egy kúpot úgy helyezünk a kör síkjára, hogy alapköre érinti az AB körívet,
valamint a CA és CB szakaszt. A kúp magassága AB hosszúságú. Határozza meg a kúp
térfogatát!
123. Egy egyenes hasáb alaplapja olyan rombusz, amelynek magassága 8 cm, a hegyesszöge
30◦ . Mekkora a hasáb térfogata, ha a test magassága 24 cm?
124. Egy téglalap 26 cm hosszú átlója az egyik derékszöget 4 : 5 arányban osztja. Számítsa ki
a téglalap oldalainak hosszát!
125. Az ABCD konvex négyszög alakú telek következő adatait mértük meg: AB = 20 m;
ABC∠105◦ ; ABD∠ = 60◦ ; DAB∠ = 90◦ ; CAB∠ = 45◦ . Számítsa ki a telek területét!
126. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 16 cm, szárai 17 cm hosszúak. Mekkora a háromszög
súlypontjának az oldalaktól mért távolsága?
127. Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB és CD, mégpedig AB hosszabb CD-nél és
CD = 3 egység. A trapéz szárai egyenlő hosszúságúak, és az AC átló merőleges a BC
szárra. Az AB oldalhoz tartozó magasság 2 egység. Számítsa ki az AB oldal hosszát és
a trapéz szögeit!
√
128. Számítsa ki az ABC háromszög AC és BC oldalának a hosszát, ha AB = 3 egység, az
AB oldallal szemközti szög 60◦ és BC = 2AC !
129. Egy háromszög AB oldala 10, BC, illetve AB oldalához tartozó súlyvonal 9, illetve 6
egység hosszúságú. Mekkora a háromszög másik két oldala?
130. Az egyenlő szárú derékszögű ABC háromszög ABátfogója 14 cm. Vegye föl a háromszög
köré írt körnek a c pontot nem tartalmazó ívén a D pontot úgy, hogy a DCA∠ = 30◦
legyen. Mekkora a DCA háromszög területe?
10
Sorozatok II.
131. Fogalmazza meg, hogy mit jelent: az {an } sorozat felülről nem korlátos.
2n + 3
sorozat korlátos.
132. Mutassa meg, hogy a
n+1
133. Monotonitás szempontjából vizsgálja meg a következő sorozatokat.
nπ
n−1
n+2
3n − 1
d)
b
=
cos
n
c) an =
a)
b)
4
5n + 1
n
6n + 5
2n − 1
sorozat a = 1-hez
2n + 1
konvergál. Hányadik elemtől kezdve esnek a sorozat elemei az a = 1 szám r = 10−2
környezetébe?
134. A konvergencia definíciója alapján bizonyítsuk be, hogy an =
135. Tegyük fel, hogy {an } és {bn } két valós számsorozat úgy hogy an → ∞ és bn → 0.
a) Lehetséges-e hogy an bb → 0. Ha igen, akkor adjon rá példát.
b) Lehetséges-e hogy an bb → −2. Ha igen, akkor adjon rá példát.
c) Lehetséges-e hogy an bb → ∞. Ha igen, akkor adjon rá példát.
136. Ha
1
1
1
+ 2
+ ··· + 2
,
+1 n +2
n +n
akkor mi a {bn } sorozat határértéke? (Használja a rendőr-elvet.)
bn =
n2
137. Find the limit. Számítsa ki a következő határértékeket.
3e−n + 4
g) lim −n
n→∞ 2e
+5
3n5 − 4n2 + 10
a) lim
n→∞
7n5 + 2n
3e2n + 4
n→∞ 2e2n + 5
2n4 + n3 − 6
n→∞
7n5 − 3
h) lim
c) lim
3n4 − n2 + 2n
n→∞ 8n2 + 2n + 1
i) lim
n
n→∞
n2 + 1
√
n
8−1
e) lim √
n
n→∞
2−1
√
2
f ) lim
n +n−n
e−n
n→∞ 2
√
n
e
k) lim
n→∞ 3
√
l) lim n 4n + 3
b) lim
m) lim
1
1+
2n
n
n) lim
1
1− 2
n
n 2
n→∞
n→∞
n
e
n→∞ n!
d) lim √
j) lim
2n
n+1
o) lim
n→∞
n−2
√
p) lim n 3n + 2n
n→∞
12 + 2 2 + 3 2 + · · · + n2
q) lim
n→∞
n3
n→∞
n→∞
138. Mutassa meg, hogy kis x értékekre sin x < x < tan x, és ebből 1 >
1
határértéket.
Számítsa ki a lim n sin
n→∞
n
1
sin x
>
.
x
cos x
139. Döntse el, hogy a sor konvergens vagy divergens. Ha konvergens akkor mi az összege?
∞
X
3n
a)
22n
n=0
b)
∞
X
(−1)n
n=2
4n
∞
X
3
c)
n
n=1
d)
∞
X
n=1
1−
1 n
n
11
Kombinatorika
1. Egy baráti társaság 8 tagjának tömege: Albert 82 kg, Bori 74 kg, Csaba 90 kg, Dénes 88
kg, Elek és Frigyes 85 kg, Gabi 63 kg és Helga 71 kg.
a) Adja meg a 8 adat mediánját, átlagát és szórását!
b) Ez a 8 ember lifttel szeretne feljutni egy épület legfelső emeletére, ahol a baráti társaság rendezvényét tartják. A kisméretű lift ajtaján ez a felirat áll: „Max. 3 személy
vagy 300 kg” (vagyis a liftben nem utazhat 3-nál több személy, továbbá a liftben
utazók tömegének összege nem lehet több 300 kg-nál). Az előírás figyelembevételével
hányféleképpen mehetne fel a baráti társaság 8 tagja a lifttel, ha minden fordulóban
legalább két személy utaznaegyütt? (Két „feljutást” különbözőnek tekintünk, ha legalább egy csoport összetétele nem azonos a két feljutásban, vagy a csoportok más
sorrendben jutottak fel a legfelső emeletre.)
2. Döntse el, hogy az alábbi négy állítás közül melyik igaz és melyik hamis!
A: Egy 6 pontot tartalmazó teljes gráfnak 15 éle van.
B: Ha egy teljes gráfnak páros számú él e van, akkor a pontok száma is páros.
C: Ha egy 51 pontú gráfban nincs kör, akkor legfeljebb 50 éle lehet.
D: Nincs olyan 6 pontú gráf, amelyben a fokszámok összege 11.
Ha valaki sohasem hallott a gráfokról, akkor mekkora valószínűséggel lesz helyes mind a
négy válasza?
3. Aladár, Béla, Csaba, Dani és Ernő szombat délutánonként együtt teniszeznek. Mikor
megérkeznek a teniszpályára, mindegyik fiú kezet fog a többiekkel.
a) Hány kézfogás történik egy-egy ilyen közös teniszezés előtt?
b) Legutóbb Dani és Ernő együtt érkezett a pályára, a többiek különböző időpontokban
érkeztek. Hány különböző sorrendben érkezhettek ezen alkalommal?
c) A fiúk mindig páros mérkőzéseket játszanak, ketten kettő ellen. (Egy páron belül a játékosok sorrendjét nem vesszük figyelembe, és a pálya két térfelét nem különböztetjük
meg.) Hány különböző mérkőzés lehetséges?
4. a) Egy osztály tanulói a tanév során három kiránduláson vehettek részt. Az elsőn az
osztály tanulóinak 60 százaléka vett részt, a másodikon 70 százalék, a harmadikon 80
százalék. Így három tanuló háromszor, a többi kétszer kirándult. Hány tanulója van
az osztálynak?
b) A három közül az első kiránduláson tíz tanuló körmérkőzéses asztalitenisz-bajnokságot
játszott. (Ez azt jelenti, hogy a tíz tanuló közül mindenki mindenkivel pontosan egy
mérkőzést vívott.) Mutassa meg, hogy 11 mérkőzés után volt olyan tanuló, aki legalább háromszor játszott!
c) A második kirándulásra csak az osztály kosárlabdázó tanulói ne m tudtak elmenni,
mivel éppen mérkőzésük volt. A kosarasok átlagmagassága 182 cm, az osztály átlagmagassága 174,3 cm. Számítsa ki a kiránduláson részt vevő tanulók átlagmagasságát!
5. Az 52 941 számjegyeit leírjuk az összes lehetséges sorrendben.
a) Az 52 941 számmal együtt hány ötjegyű számot kapunk?
b) Ezen számok közül hány osztható 12-vel?
c) Bizonyítsa be, hogy e számok egyike sem négyzetszám!
6. A dominókészleten a dominókövek mindegyikén az egy-egy „térfélen” elhelyezett pöttyök
száma 0-tól egy megengedett maximális értékig bármilyen természetes szám lehet. A dominókövek két felén e számok minden lehetséges párosítása szerepel. Nincs két egyforma
kő a készletben.
a) Igazolja, hogy ha a pöttyök maximális száma 7, akkor a dominókészlet 36 kőből áll.
12
b) A 36 kőből álló dominókészletből véletlenszerűen kiválasztottunk egy követ. Mennyi
a valószínűsége, hogy a kiválasztott kő két „térfelén” lévő pöttyök számának összege
8?
c) A 36 kőből álló dominókészletből ezúttal két követ választottunk ki véletlenszerűen.
Mennyi a valószínűsége annak, hogy a két dominókő a játék szabályai szerint egymáshoz illeszthető? (Két dominókő összeilleszthető, ha van olyan „térfelük”, amelyen
a pöttyök száma ugyanannyi.)
7. Egy közvélemény-kutató intézet felméréséből kiderült, hogy a felnőttek 4%-a színtévesztő. Véletlenszerűen kiválasztunk 8 felnőttet abból a népességből, melyre ez a felmérés
vonatkozott. Mekkora a valószínűsége, hogy közöttük
a) pontosan két személy színtévesztő?
b) legalább két személy színtévesztő? A két valószínűség értékét ezred pontossággal adja
meg!
c) Ebben az intézetben 8 férfi és 9 nő dolgozik fő állásban. Egy megbeszélés előtt, amikor
csak ez a 17 főállású kutató jelent meg, a különböző nemű kutatók között 45 kézfogás
történt. Tudjuk, hogy minden nő pontosan 5 férfival fogott kezet, és nincs két nő, aki
pontosan ugyanazzal az öttel. Lehetséges-e, hogy volt két olyan férfi is, aki senkivel
sem fogott kezet?
8. Egy szabályos játékkocka két oldalára 0-át, két oldalára 2-est, két oldalára 4-est írunk. A
dobókockát ötször egymás után feldobjuk, és a dobások eredményét rendre feljegyezzük.
a) Hányféle számötöst jegyezhetünk fel?
b) Hányféle számötös esetében lehet a dobott pontok összege 10?
9. Adott az A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} halmaz.
a) Adja meg az A halmaz háromelemű részhalmazainak a számát!
b) Az A halmaz elemeiből hány olyan öttel osztható hatjegyű szám írható fel, amelyben
a számjegyek nem ismétlődhetnek?
c) Az A halmaz elemeiből hány olyan hatjegyű szám írható fel, amely legalább egy
egyest tartalmaz?
10. Hat úszó: A, B, C, D, E és F indul a 100 méteres pillangóúszás döntőjében. Egy fogadóirodában ennek a döntőnek az első, a második és a harmadik helyezettjére lehet tippelni
egy szelvényen. Az a fogadószelvény érvényes, amelyen megnevezték az első, a második
és a harmadik helyezettet. Ha a fogadó valamelyik helyezésre nem ír tippet, vagy a hat
induló nevén kívül más nevet is beír, vagy egy nevet többször ír be, akkor szelvénye
érvénytelen. Holtverseny nincs, és nem is lehet rá fogadni.
a) Hány szelvényt kell kitöltenie annak, aki minden lehetséges esetre egy-egy érvényes
fogadást akar kötni?
b) A döntő végeredménye a következő lett: első az A, második a B, harmadik a C
versenyző. Ha egy fogadó az összes lehetséges esetre egy-egy érvényes szelvénnyel
fogadott, akkor hány darab legalább egytalálatos szelvénye lett? (Egy szelvényen
annyi találat van, ahány versenyző helyezése megegyezik a szelvényre írt tippel.)
11. Annának 40 ismerőse van. (Ebben a feladatban minden ismeretséget kölcsönösnek tekintünk.) Anna ismerőseinek mindegyike Anna többi ismerőse közül pontosan egyet nem
ismer.
a) A szóba került 41 ember között összesen hány ismeretség áll fenn?
b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy Anna 40 ismerőse közül véletlenszerűen választva kettőt, ők ismerik egymást?
c) Válasszunk most a 41 személy közül véletlenszerűen kettőt! Mennyi a valószínűsége,
hogy nem ismerik egymást?
13
12. Kilenc számkártya fekszik az asztalon: 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
a) Rakja négy csoportba a kilenc számkártyát úgy, hogy egyikben se legyen együtt egy
szám és egy nála kisebb osztója! Adjon meg két lehetséges csoportosítást!
b) Berci körbe rakta a kilenc számkártyát egy nagy papírra, és ha két szám között legalább kettő volt a különbség, akkor a két kártyát összekötötte egy vonallal. Összesen
hány vonalat rajzolt meg ily módon Berci?
c) Csaba az első hat kártya felhasználásával (1, 2, 3, 4, 5, 6) két háromjegyű számot
készített. Hívjunk egy ilyen számpárt duónak. (Például egy lehetséges duó: „415;
362”.) A hat számból több ilyen duót lehet készíteni. Két duót egyenlőnek tekintünk,
ha ugyanaz a két különböző háromjegyű szám alkotja. Például a „415; 362” és a „362;
415” duó egyenlők, de a „362; 145” már egy másik duó. Hány különböző duót lehet a
hat szám kártyából elkészíteni?
13. Egy szellemi vetélkedő döntőjébe 20 versenyzőt hívnak be. A zsűri az első három helyezettet és két további különdíjast fog rangsorolni. A rangsorolt versenyzők oklevelet és
jutalmat kapnak. Az öt rangsorolt versenyző mindegyike ugyanarra a színházi előadásra
kap egy-egy jutalomjegyet.
a) Hányféle kimenetele lehet ekkor a versenyen a jutalmazásnak?
b) A dobogósok három különböző értékű könyvutalványt, a különdíjasok egyike egy
színházjegyet, a másik egy hangversenyjegyet kap. Hányféle módon alakulhat ekkor
a jutalmazás?
c) Ha már eldőlt, kik a rangsorolt versenyzők, hányféle módon oszthatnak ki nekik
jutalmul öt különböző verseskötetet?
d) Kis Anna a döntő egyik résztvevője. Ha feltesszük, hogy a résztvevők egyenlő eséllyel
versenyeznek, mekkora a valószínűsége, hogy Kis Anna eléri a három dobogós hely
egyikét, illetve hogy az öt rangsorolt személy egyike lesz?
14. Szabó nagymamának öt unokája van, közülük egy lány és négy fiú. Nem szeret levelet
írni, de minden héten ír egy-egy unokájának, így öt hét alatt mindegyik unoka kap levelet.
a) Hányféle sorrendben kaphatják meg az unokák a levelüket az öt hét alatt?
b) Ha a nagymama véletlenszerűen döntötte el, hogy melyik héten melyik unokájának
írt levél következik, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy lányunokája levelét az
ötödik héten írta meg?
c) Szabó nagymama sálat kötött egyetlen lányunokájának. Az első napon 8 cm készült
el a sálból, és a nagymama elhatározta, hogy a további napokon minden nap 20
százalékkal többet köt meg, mint az előző napon. Ezt az elhatározását tartani tudta.
Hány nap alatt készült-el a 2 méter hosszúra tervezett sál?
15. A 12. évfolyam tanulói magyarból próbaérettségit írtak. Minden tanuló egy kódszámot
kapott, amely az 1, 2, 3, 4 és 5 számjegyekből mindegyiket pontosan egyszer tartalmazta
valamilyen sorrendben.
a) Hány tanuló írta meg a dolgozatot, ha az összes képezhető kódszámot mind kiosztották?
b) Az alábbi kördiagram a dolgozatok eredményét szemlélteti: Adja meg, hogy hány
tanuló érte el a szereplő érdemjegyeket! Válaszát foglalja táblázatba, majd a táblázat
adatait szemléltesse oszlopdiagramon is!
ő
ő
14
105°
60°
elégséges
jeles
közepes
0°
210°
jó
c) Az összes megírt dolgozatból ővéletlenszerűen kiválasztunk egyet. Mennyi a valószínűű dolgozatot veszünk a kezünkbe?
sége annak, hogy jeles vagy jó
ű
16. Fogalmazzon
meg egy olyan szöveges feladatot, amelynek a megoldása így számítható ki:
17
.
2
17. A H halmaz a tízpontú egyszerű gráfok halmaza.
a) A következő állítás a H elemeire vonatkozik: Ha egy (tízpontú egyszerű) gráfnak
legfeljebb 8 éle van, akkor nem tartalmaz kört. Döntse el, hogy az állítás igaz vagy
hamis! Válaszát indokolja!
b) Fogalmazza meg az állítás megfordítását a H elemeire vonatkozóan, és döntse el a
megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja!
18. Egy tízpontú teljes gráf élei közül véletlenszerűen kiválasztunk három különbözőt. (Teljes
gráf: olyan egyszerű gráf, melynek bármely két pontja között van él.) Határozza meg
annak a valószínűségét, hogy a három kiválasztott él a gráfnak egy körét alkotja!
19. Egy focicsapat 11 játékosa megérkezik az edzésre, néhányan kezet fognak egymással. (Két
játékos között legfeljebb egy kézfogás történik.) Az edző felírta, hogy ki hányszor fogott
kezet, és a következő számokat kapta: 0; 1; 2; 2; 2; 5; 0; 0; 4; 4; 2.
a) Ábrázolja a kézfogásoknak egy lehetséges gráfját, ahol a pontok a játékosokat jelölik,
és két pont között akkor van él, ha az illetők kezet fogtak az edzés előtt!
b) Hány kézfogás történt összesen?
c) Egy másik alkalommal az edző által feljegyzett 11 nemnegatív egész számról a következőket állapítottuk meg: a számok egyetlen módusza 2, mediánja 3, átlaga 4,
ő
terjedelme
pedig 5 volt. Adjon meg a fenti feltételeknek megfelelő 11 nemnegatív
egész számot!
d) Az edzésen a játékosok a tizenegyesrúgást gyakorolják. Az egyik játékos 0,9 valószínűséggel lövi be a tizenegyest. Mennyi a valószínűsége annak, hogy három rúgásból
legalább egyszer betalál? A valószínűség pontos értékét adja meg!
20. Egy iskola asztalitenisz bajnokságán hat tanuló vesz részt. Mindenki mindenkivel egy
mérkőzést játszik. Eddig Andi egy mérkőzést játszott, Barnabás és Csaba kettőt-kettőt,
Dani hármat, Enikő és Feri négyet-négyet.
a) Rajzolja le az eddig lejátszott mérkőzések egy lehetséges gráfját!
b) Lehetséges-e, hogy Andi az eddig lejátszott egyetlen mérkőzését Barnabással játszotta? (Igen válasz esetén rajzoljon egy megfelelő gráfot; nem válasz esetén válaszát
részletesen indokolja!)
c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a hat játékos közül kettőt véletlenszerűen
kiválasztva, ők eddig még nem játszották le az egymás elleni mérkőzésüket!
15
Vegyes feladatok (2017. május)
1. Járványos időszakban egy nagyváros lakóinak 0,2%-a fertőzött a járványt okozó vírussal.
a) Ebben az időszakban a város lakói közül 80-an ugyanazon az autó buszon utaznak.
Mekkora annak a valószínűsége, hogy az autóbusz 80 utasa között van legalább egy
fertőzött? Válaszát két tizedesjegyre kerekítve adja meg!
b) A járvány terjedésére vonatkozó előrejelzések szerint a nagyvárosban a fertőzöttek
száma minden nap az előző napi érték 105%-ára növekszik. Ha a növekedés üteme az
előrejelzés szerint alakulna, akkor hány nap alatt emelkedne a város összlakosságának
0,2%-áról az összlakosság 1%-ára az összes fertőzött száma?
c) Egy kereskedelmi forgalomban is kapható gyorsteszt azt ígéri a felhasználóknak, hogy
a teszt kimutatja a vírusfertőzést. A termék leírásában ez áll: „A teszt a vírussal
fertőzött embereknél 99% valószínűséggel mutatja ki a fertőzöttséget. A vírussal nem
fertőzött emberek esetében olykor szintén fertőzöttséget jelez a teszt, ám ennek a
téves jelzésnek a valószínűsége mindössze 4%.” Tudjuk, hogy a város lakosságának
0,2%-a fertőzött a járványt okozó vírussal. Mutassa meg, hogy ha egy véletlenszerűen
választott városlakó gyorstesztje fertőzöttséget mutat, akkor 0,05-nál kisebb annak
a valószínűsége, hogy a tesztalany valóban vírusfertőzött (tehát a gyorsteszt nem a
fertőzöttség meg bízható kimutatására alkalmas)!
2. Több részletben összesen 350 tonna árut szeretnénk vasúton elszállíttatni. Az egyik szállítócég árajánlatában a szállítási díj két összetevőből áll. Egyrészt a szállított áru tömegének négyzetével arányos díjat kell fizetnünk, másrészt az áru tömegétől független
állandó alapdíjat is felszámítanak: ha egyszerre t tonna áru elszállítását rendeljük meg,
t2
akkor ezért 10
+ 205 eurót kell fizetnünk.
a) Igazolja, hogy ha két részletben (két alkalommal) szállíttatnánk el a 350 tonna árut,
akkor a vasúti költség abban az esetben lenne a legkisebb, ha az árut két egyenlő
tömegű részre osztanánk!
b) A vasúti szállítás költségének csökkentése érdekében a 350 tonna tömegű árut n
egyenlő részre osztjuk, és azt tervezzük, hogy minden egyes alkalommal egy-egy részt
szállíttatunk el a vasúttal (n ∈ N+ ). Igazolja, hogy a szállítócég ajánlata szerint az
n alkalommal történő vasúti szállítás költsége összesen 12250
+ 205n euró lenne!
n
c) A vasúti szállítás költségén kívül figyelembe kell vennünk azt is, hogy ha a 350 tonna
árut n egyenlő tömegű részre akarjuk szétosztatni, akkor a munka elvégzéséért nekünk
(n − 1) · 400 eurót kell fizetnünk (n ∈ N+ ). Hány egyenlő tömegű részletre bontva
lenne a legolcsóbb a 350 tonna áru elfuvaroztatása?
3. a) Hány olyan különböző hegyesszögű háromszög van, melynek szögei fokban mérve
különböző egész számok, és a szögek egy növekvő számtani sorozat egymást követő
tagjai? (Két háromszöget különbözőnek tekintünk, ha nem hasonlók egymáshoz.)
b) Igazolja, hogy nincs olyan szabályos n-szög, amelynek a belső szögei n fokosak!
c) Egy szabályos n-szögről tudjuk, hogy a belső szögei fokban mérve egész számok.
Hányféle lehet az n értéke?
4. Az y = −x2 + x + 6 egyenletű parabola az x tengelyt az A és a B pontban metszi.
Számítsa ki a parabola B pontbeli érintőjének meredekségét, ha tudjuk, hogy a B pont
első koordinátája pozitív!
5. Oldja meg a valós számok halmazán az egyenlőtlenségeket!
a) lg x < 2
b) 4x < 5 − x2
c) 0,5|x−3| < 0,25
1. Differenciáljuk!
f (x) = 3x4 −
√
4
+23x
x
g(x) = 3x + x3 + e3
h(x) = xx
2x2 + 1
m(x) = log3 2x5 − 1
3x2 − 1
2. Bizonyítsuk be, hogy a 2x4 − 2x3 + 2x = 0 egyenletnek nincs valós megoldása!
k(x) = x3 sin x
l(x) =
3. Az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabola átmegy az A(4, −7) ponton és érinti az
y = 1 egyenletű egyenest. Az A pontban a parabolához húzott érintő normálvektora:
~n(8; 1). Írja fel a parabola egyenletét!
4. Legyen az ABC háromszög kerülete, 2s = 24 egység. Húzzuk meg a beírt körének az
oldalakkal párhuzamos érintőit. Ezen érintőknek a háromszögön belül eső szakaszai közül
válasszuk ki a legnagyobbat. Mely ABC háromszög esetén lesz ez az érintőszakasz a
lehető legnagyobb?
5. Tekintse az
x 7→ (p − 2)x2 + 2(p + 1)x + p − 3
függvényt, ahol x bármely valós szám és p valós paraméter. Határozzuk meg a p értékét
úgy, hogy a függvény legkisebb helyettesítési értéke −9 legyen! Mely x-nél veszi fel a
függvény ezt a legkisebb értékét?
6. Egy adott téglatest alakú dobozt akarunk készíteni, amelynek alaplapja 1 területegység,
12 élének összhossza pedig 20 egység. Hogyan kell a téglatest méreteit megválasztani
ahhoz, hogy a felszíne maximális legyen? Mekkora ez a maximális felszín?
7. Mekkora oldalhosszúság mellett maximális annak az ABCD téglalapnak a területe, amelynek AB oldala az x, AD oldala az y tengelyre illeszkedik és C csúcsa rajta van a 2y +
+ 3x = 16 egyenesen?
8. Messen el egy szabályos tetraédert olyan síkkal, amely két kitérő éllel párhuzamos. Mekkora a maximális területű síkmetszet, ha a tetraéder éleinek hossza 2 egység?
Függvények vizsgálata, szélsőérték
9. Ábrázolja és vizsgálja a következő függvényt! (Df ; Rf ; zérushely; monotonitás; szélsőérték)
f (x) = 6log6 (2
|x−1| −2)
10. Ábrázolja és vizsgálja a következő függvényt! (Df ; Rf ; zérushely; monotonitás; szélsőérték)
f (x) = 5log5 (log2 |x−1|)
11. Ábrázolja a derékszögű koordináta-rendszerben az f (x) = (x − 4)2 + 16x (ahol x
valós szám) függvény grafikonját! Mely x értékre veszi fel a függvény a minimumát?
Mekkora ez a minimum?
12. Mennyi az
x 7→ |x2 + x| + |x2 − 3x + 2|
függvény legkisebb és legnagyobb értéke a − 21 ; 23 intervallumban?
2
13. Ábrázolja közös koordináta-rendszerben az x 7→ (x + 1)2 és az x 7→ |x − 1| függvények grafikonját! A grafikonról olvassa le az (x + 1)2 = |x − 1| egyenlet, valamint az
(x + 1)2 > |x − 1| és az (x + 1)2 < |x − 1| egyenlőtlenségek megoldásait!
14. Legyen f az a függvény, amelyre x 6= 1 esetén
3
x − x2 − x + 1
,
x 7→
x−1
ha −2 ≤ x ≤ 2, és f (x) = f (x + 4); x 6= 1 + 4k (k ∈ Z). Készítse el a függvénye grafikonját! Vizsgálja meg a függvény menetét (folytonosság; monotonitás; lokális szélsőérték;
paritás)!
15. Ábrázolja az f (x) = x2 −4x+3 függvény grafikonját a derékszögű koordináta-rendszerben!
Határozza meg, milyen valós x értékek esetén lesz f (x) pozitív!
16. Tekintse az f (x) = (x − 3)2 − 1 és g(x) = −x + 4 függvényeket, ahol x valós szám!
a) Ábrázolja a függvények grafikonját ugyanabban a derékszögű koordináta-rendszerben!
b) Melyek azok az x helyek, amelyekben g(x) nagyobb, mint f (x)?
17. Készítse el az f (x) = |x − 1| − 1 , ha −1 ≤ x ≤ 3 és f (x) = f (x + 4), x ∈ R függvény grafikonját! Vizsgálja meg f menetét folytonosság, monotonitás, lokális szélsőérték,
paritás szempontjából!
18. Milyen határok között mozog a p + q összeg értéke, ha p és q olyan valós számok, hogy
az x2 + px + q = 0 egyenletnek valós gyökei vannak, és az egyenlet gyökeire fennáll az
x21 + x22 = 1 összefüggés?
Számtani és mértani sorozatok
19. Egy számtani sorozat első 7 elemének összege 105. A sorozat első, harmadik és hetedik eleme egy mértani sorozatnak három egymás után következő eleme. Számítsa ki a
számtani sorozat első elemét, különbségét és a mértani sorozat hányadosát!
20. Egy számtani sorozat első tíz elemének összege 155, az első és a hetedik elemének szorzata egyenlő a második és harmadik elemének szorzatával. Számítsa ki a sorozat első tíz
elemét!
√
2
1
19π
1
√
√
√ ;
21. Bizonyítsa be, hogy az
− (2 2)− 3 ;
sin
3
3+ 2
2+1
számok egy számtani sorozat egymást követő elemei!
22. Egy számtani sorozat első eleme 4. A sorozat első öt elemének összege 2570. A számtani
sorozat első és ötödik eleme megegyezik egy mértani sorozat első és ötödik elemével.
Mivel egyenlő a mértani sorozat negyedik eleme?
23. Egy számtani sorozat első eleme 1. A sorozat első hét elemének összege 2555. A számtani
sorozat első és hetedik eleme megegyezik egy mértani sorozat első és hetedik elemével.
Mivel egyenlő a mértani sorozat negyedik eleme?
24. Egy 2,5 méteres lécből egy ötfokú létra fokait akarjuk kiszabni úgy, hogy a legalsó fok
80cm-es legyen, és felfelé haladva mindig ugyanannyival rövidüljenek a fokok. Mekkorák
lesznek a létra fokai?
25. Egy számtani sorozat első öt és első hat elemének összege egyaránt 60. Számítsa ki a
sorozat első hat elemét!
26. Egy számtani sorozat különbsége 12 . Az első n elem összege 38, az első n + 4 elem összege
69. Mekkora az n értéke és a sorozat első eleme?
3
27. Egy számtani sorozat tizedik eleme 22, a századik eleme 202. Hagyja el a sorozat minden
olyan elemét, amelynek utolsó számjegye 2. Számítsa ki a megmaradt sorozat első 200
elemének az összegét!
28. Négy testvért életkorukról kérdeznek. A legidősebb ezt mondja: „Születési éveink egy
számtani sorozat első négy elemét adják.” A korban utána következő pedig: „15 évvel
ezelőtt testvéreim életkora egy mértani sorozat első három elemével volt egyenlő, most
-szerese az enyémnek.” Számítsa ki a testvérek jelenlegi éltekopedig életkoruk összege 11
4
rát!
29. Egy termék árát először 10%-kal felemelték, majd 10%-kal csökkentették. Végül ismét
felemelték 10%-kal. Számítsa ki, hogy a végső ár az eredetinek hány százaléka?
30. Egy mértani sorozat első három elemének összege 26, az ötödik, hatodik és hetedik elem
összege pedig 2106. Írja fel a sorozat első hét elmét!
31. Százezer forintot helyezünk el a bankban évi 16%-os kamatra. Négy év múlva kiveszünk
120 ezer forintot. Ezt követően mennyi ideig kell várnunk, hogy betétünk összege ismét
meghaladja a százezer forintot?
32. 8 és 20 közé iktassunk be számokat úgy, hogy ezek a megadott két számmal együtt olyan
számtani sorozatot alkossanak, amelynek összege 182 lesz. Hány elemet kell közbeiktatni,
és melyek ezek?
33. Egy mértani sorozat első és harmadik elmének szorzata 36, a második és harmadik elemének szorzata 72. Írja fel a sorozat első három elemét!
34. Egy számtani sorozat harmadik eleme az első elem négyzete, az első három elem összege
30. Írja fel a sorozat első három elemét!
35. Legyen a1 ; a2 ; a3 ; . . . ; an ; . . . számtani sorozat. Igazolja, hogy bn = a2n+1 − a2n képlettel
értelmezett b1 ; b2 ; b3 ; . . . ; bn ; . . . sorozat számtani sorozat!
36. Határozza meg a 100-nál nemnagyobb, 4-gyel osztható pozitív egész számok összegét!
37. Egy hét elemből álló mértani sorozat első három elemének összege 21, az utolsó három
elemének az összege 336. Írja fel a hét elemet!
38. Mekkorák annak a derékszögű háromszögnek a szögei, amelyben az oldalak hosszúságai
egy számtani sorozat egymást követő tagjai?
39. Egy pozitív számokból álló mértani sorozat első, harmadik és ötödik elemének összege
52, ugyanezen három elem reciprokának összege 13
. Számítsa ki a sorozat első három
36
elemét!
40. Egy mértani sorozat első eleme 0,1. Az első négy elem összege eggyel nagyobb, mint a
sorozat hányadosa. Írja fel a sorozat első négy elemét!
41. Mekkora a következő összeg?
19921992 − 1993 · 19921991 + 1993 · 19921990 − 1993 · 19921989 + · · · − 1993 · 1992 + 1993.
4
Koordináta-geometria
42. Az ABCD rombusz oldala 5 egység. Az A és C csúcs az y = x2 + 7x + 10 egyenletű
parabolán van, a B csúcs a parabola fókuszpontja. Mekkora a rombusz területe?
43. A k kör érinti az x tengelyt és a 3x + 4y = 69 egyenletű e egyenest; a kör és az egyenes
közös pontjának abszcisszája 11. Írja fel a kör egyenletét!
44. Írja meg annak a körnek az egyenletét, amelynek átmérője a következő egyenletű körök
középpontját összekötő szakasz:
k1 : x2 + y 2 − 8x − 4y + 11 = 0;
k1 : x2 + y 2 + 4x + 12y + 4 = 0.
45. Írja fel azoknak a köröknek az egyenletét, amelyek átmennek az A(1; 2) ponton, érintik
az y tengelyt, középpontjuk pedig illeszkedik az y − 2x = 1 egyenesű egyenesre!
46. Az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabola átmegy az A(4; −7) ponton és érinti az
y = 1 egyenletű egyenest. Az A pontban a parabolához húzott érintő egy normálvektora
~n(8; 1). Írja fel a parabola egyenletét!
47. Adott egy ABCD trapéz három csúcsapontja: A(−2; −3); B(4; 1); C(1; 2), továbbá
BC = AD és AB 6= CD, ahol AB a trapéz egyik alapja. Számítsa ki a trapéz negyedik
csúcspontjának koordinátáit!
48. Egy háromszög AB oldala 10, a hozzá tartozó súlyvonal 6, egy másik súlyvonal pedig 9
egység. Mekkora a háromszög AC és BC oldala?
49. Adott az x2 + y 2 − 2x − 25 = 0 egyenletű kör két pontja, A(−4; −1) és B(6; 1); a kör AC
és BC húrjai hosszának aránya 3 : 2. Határozza meg a C pont koordinátáit!
50. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a (6; 4) ponton, továbbá az
x + y = 4 és az x + y = 5 egyenletű egyeneseket olyan pontokban metszik, amelyek
abszcisszájának különbsége 2!
51. A C(13; 0) középpontú kör az E pontban érinti az 5x−12y = 234 egyenletű e egyenest. Az
y tengely és az e egyenes metszéspontjából a körhöz húzott másik érintőt jelölje f , E-nek
az f -re vonatkozó tükörképét pedig F . Számítsa ki a kör sugarát és F koordinátáit!
52. Az ABCD téglalap AB oldalegyenesének egyenlete x + y = 6; AD oldalegyenesének
egyenlete pedig x − y = 0; a C csúcs C(−3; 1). Számítsa ki az A, B és D csúcsok
koordinátáit!
53. Az ABCD deltoid szimmetriatengelye az AC átló, ahol A(0; 0) és C(8; 10). A deltoid
területe 41 területegység. Az egyik átló az origótól számítva 3 : 2 arányban osztja a
másikat. Határozza meg a hiányzó csúcspontok koordinátáit!
54. Az e1 egyenes egyenlete x + 2y = 12; az e2 egyenesé 5x − 3y = −5. Ábrázolja ugyanabban
a derékszögű koordináta-rendszerben a két egyenest! Írja fel annak a körvonalnak az
egyenletét, amelyiknek a középpontja a két egyenes metszéspontjában van és a kör érinti
az y tengelyt!
55. Tükrözze az x + 2y = 6 egyenletű egyenest az origóra! Írja fel a tükörkép egyenletét!
56. Az ABCD paralelogramma AB oldalegyenesének az egyenlete y = 1, az AD oldalegyenesének az egyenlete 4x − 3y = 1, a BD átlóegyenesének az egyenlete 2x + y = 13. Számítsa
ki a C csúcs koordinátáit!
57. Egy háromszög csúcspontjai: A(0; 0); B(10; 2) és C(2; 2). Írja fel annak az egyenesnek az
egyenletét, amely felezi az ABC háromszög területét és párhuzamos az y tengellyel!
5
58. Határozza meg r értékét úgy, hogy a C(−12; 0) középpontú, r sugarú körnek és az
x2 + y 2 = 8 egyenletű körnek legyen az y = x egyenletű egyenessel párhuzamos közös
érintője!
59. Egy háromszög egyik csúcsa az origó, magasságpontja (4; −2), súlypontja (6; 0). Határozza meg a másik két csúcs koordinátáit!
60. Határozza meg azon pontok halmazát a síkon, amelyekből az x2 + y 2 − 2x − 2y + 1 = 0
és az x2 + y 2 − 4x − 10y + 25 = 0 egyenletű körökhöz húzott érintőszakaszok hossza
megegyezik!
61. Az x2 +y 2 = 4 egyenletű körnek az x tengelyre illeszkedő átmérőjének A és B végpontjait
kössük össze a C(1; 3) ponttal. Ez a két egyenes a kört még a D és az E pontban metszi.
Írja fel a C ; D ; E pontokra illeszkedő kör egyenletét!
Vektorszámítás
62. Síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az ABC háromszög csúcspontjai: A(0; 10);
B(8; 0); C(x; 14), ahol x > 0. Mekkora az x értéke, ha az ABC háromszög területe 36
területegység?
63. Egy paralelogramma rövidebb átlója 8 egység, átlóinak szöge 45◦ , területe 40 területegység. Számítsa ki a paralelogramma kerületét!
64. Legyen AB és CD egy O középpontú kör két, egymásra merőleges átmérője. Az OD
sugarat felező E ponton átmegy az AF húr. Az AB átmérő és a CF húr metszéspontja
legyen G. Bizonyítsa be, hogy
a) AF = 2BF
b) OB = 3OG
c) CF = 3DF .
~
65. Bontsa fel az ~u(3; −2) vektort a ~c(1; 2) és a d(−2;
3) vektorokkal párhuzamos komponensekre! Határozza meg az ~u irányába mutató egységvektor koordinátáit!
66. Tekintse az A(1; −1); B(7; 1) és C(6; 4) csúcspontú háromszöget a derékszögű koordinátarendszerben!
a) Igazolja, hogy a háromszög derékszögű!
b) Számítsa ki a háromszög köré írható kör sugarát!
67. Az ABCD téglalap két szomszédos csúcsa A 23 ; 1 és B 29 ; 0 . Az AB és BC oldlak
hosszúságainak aránya 1 : 3. Határozza meg a C és D pontok koordinátáit!
68. Egy rombusz csúcsa az A(5; 8) pont, a BD átló egyenesének egyenlete x − 2y + 6 = 0.
A rombusz oldala 5 egység. Határozza meg a többi csúcspont koordinátáit és a rombusz
területét!
69. Az ABCD téglalap két csúcsa A(1; −4); D(−3; −2), és tudjuk, hogy 4AD = AB. Mekkora szakaszokat metsz ki az x, illetve az y tengelyből a téglalap köré írt kör?
70. Egy k kör középpontjának abszcisszája −1. Az A(7; 4) pontból induló AB átmérő B
végpontja az x tengelyen van. Írja fel a kör egyenletét! Számítsa ki az AB átmérőre
merőleges átmérő pontjainak koordinátáit!
71. Legyen P és Q az ABC háromszög AB, illetve AC oldalán levő két belső pont úgy, hogy
BP = CQ. Jelölje a BColdal felezőpontját F . Igazolja, hogy az EF egyenes párhuzamos
az ABC háromszög A csúcsából induló belső szögfelezővel!
72. Az e egyenes párhuzamos a ~v (1; −7) vektorral és átmegy az E(13; 2) ponton. A k kör
áthalad az A(3; 12) és a B(8; 7) pontokon; a kört a B pontban érintő egyenes párhuzamos
6
az x tengellyel. Számítsa ki az e és k metszéspontjainak koordinátáit; igazolja továbbá,
hogy a két metszéspont és a kör középpontja egy derékszögű háromszög csúcsai!
73. Adott az ABC és a DEF háromszög. Az ABC háromszög súlypontját jelölje S, a DEF
−−→ −−→ −→
−→
háromszög súlypontját pedig T . Bizonyítsa be, hogy AD + BE + CF = 3ST !
Exponenciális egyenletek, egyenletrendszerek
74. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
6 · 4x − 13 · 6x + 6 · 9x = 0
75. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
729 · 3x − 22x+12 = 0
76. Oldja meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert:
3lg x + 5lg y = 14;
32 lg x − 52 lg y = 56.
77. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:
62x+4 = 2x+8 33x .
78. Oldja meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert:
3
xy + y x = ;
2
−y
−x
x + y = 3.
79. Oldja meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert:
21+log2 (x+y) = 20;
lg(x − y) + lg(x + y) = lg 2 + lg 40.
80. Mely valós számpárok esetén áll fenn a következő egyenlőség?
2 +4x sin(2xy)+4
5x
=1
81. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
4|2x+6|−|x−9| = 8
82. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
xlg tan x + xlg cot x = 2
Logaritmusos egyenletek, egyenletrendszerek
83. Mely valós számokra értelmezhető az
logx2 −9x+20 (x2 + 5x − 14)
kifejezés?
84. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
p √
xlg x = 10
7
85. Mely valós számpárok elégítik ki a következő egyenletrendszert?
log12 x + log12 y = 1 + log12 5;
lg(2y − x) = 1 − lg 5.
86. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
√
p
12
2 − logx 9 = −
log3 x
87. Oldja meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert:
x−1 + y −1 = x + y;
(2 + lg y) lg x = 1.
88. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
log5 (x − 4) + log√5 (x3 − 2) + log0,2 (x − 4) = 4
89. Oldja meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert:
5
x y
+ = ;
y x
2
log3 (x − y) + log3 (x + y) = 1.
90. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
log2016 (x − 3) + log2017 (x − 3) = 3 − lg(x5 − 24)
91. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
logcot x logtan x sin x ≤ 0
92. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
lg(3 − x) + log√10 (5 − x)2 + log0,1 (3 − x) = 8
93. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
94. Határozza meg a
lg(x + 1) + lg(3 − x) = lg 3 + 0,5 lg(x − 1)2
log2 x logy 2 = −1;
sin x cos y = 1 − cos x sin y.
egyenletrendszernek azokat a megoldásait, amelyek kielégítik az x + y < 10 feltételt!
95. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
√
√
lg x + lg x + 3 = 1
96. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
1
logsin x cos x + logcos x sin x = logtan x
cot2 x
97. Bizonyítsa be, hogy
1
log2ab a + log2ab b ≥ ,
2
ha a és b 1-nél nagyobb valós számok!
8
Trigonometrikus egyenletek, egyenletrendszerek
98. A c milyen valós értékére van megoldása a következő egyenletnek a valós számok halmazán? Oldja meg az egyenletet, ha c = 85 .
sin4 x + cos4 x = c
99. Számítsa ki az egyenlet legkisebb pozitív gyökét!
cos(πx2 ) = cos π(x2 + 2x + 1)
100. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! 6 sin2 x − 13 sin x + 6 = 0
101. Igazolja, hogy a következő egyenletnek nincs gyöke a valós számok halmazán:
√
sin x + 3 cos x sin(4x) = 2.
102. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
3 cos(2x) − 8 cos2 x + 5 sin x − 2 = 0
103. Oldja meg a következő egyenletrendszert a valós számpárok halmazán:
sin x = 2 sin y;
2π
.
x+y =
3
104. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
cot x − sin(2x) = cot x cos(2x).
105. Határozza meg mindazokat a valós (a; b) számpárokat, amelyekre a
cos(ax + b2 ) − (a cos x + b2 ) = 1 − a
egyenlőség minden valós x értékre teljesül!
106. Oldja meg a valós számok halmazán:
cos x + cos(2x) = 0.
107. Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán:
1 + sin(2x) (cos x − sin x) = cos x + sin x.
108. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
3 cos(2x) − 8 cos2 x + 5 sin x − 2 = 0.
109. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 8 sin2
110. Oldja meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletet:
1
1
2
= 2
.
log2 sin (xy) +
2
y − 2y + 2
sin (xy)
x
2
− 2 cos x = 7.
111. A p valós paraméter mely értékei esetén lesz a
(p − 1)2 sin2 x + (p − 1)(p2 − 3) sin x = 2(p2 − 1)
egyenletnek gyöke a valós számok között?
112. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: sin x + sin(2x) = 0.
113. Mely valós számpárok esetén áll fenn a következő egyenlőség? 5x
114. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
1
sin2 x sin(2x) + cos2 x cos(2x) = .
2
2 +4x sin(2xy)+4
=1
9
Trigonometriát felhasználó geometriai feladatok
115. Egy háromszög egyik oldala 2 egységgel nagyobb, másik oldala 2 egységgel kisebb, mint
a harmadik oldal. A háromszög területe 24 területegység. Mekkorák a háromszög oldalai
és mekkora a legnagyobb szöge?
116. Az ABC háromszögben a BC oldallal szemközti szög az AB oldallal szemközti szög
kétszerese; AB = 10 cm; BC = 12 cm. Számítsa ki a háromszög szögeit!
117. Egy szabályos háromszög oldala 30 cm. Az egyik szöget három egyenlő részre osztó egyenesek mekkora részekre osztják a szemközti oldalt?
√
√
118. Az ABC háromszögben AB = 3; AC = 2 egység; BAC∠ = 75◦ . A háromszög köré
írt körnek az A-t nem tartalmazó BC ívén vegyük fel a D pontot úgy, hogy a BAD∠ =
= 30◦ legyen. Számítsa ki az AD szakasz hosszát!
119. Mekkora a területe annak az ABC háromszögnek, amelyben AB = 3; BC = 7 és a B
csúcsból induló súlyvonal hossza 4 egység?
120. Mekkora annak a téglalapnak a kerülete és területe, amelynek átlói 10 cm hosszúak, és
az átlók 40◦ -os szöget zárnak be egymással?
121. Egy paralelogramma átlóinak hossza 10 cm, illetve 20 cm. Az átlók szöge 60◦ . Számítsa
ki a paralelogramma területét és kerületét.
122. Egy C középpontú, 3 egységnyi sugarú körnek CA és CB sugarai 120◦ -os szöget zárnak
be egymással. Egy kúpot úgy helyezünk a kör síkjára, hogy alapköre érinti az AB körívet,
valamint a CA és CB szakaszt. A kúp magassága AB hosszúságú. Határozza meg a kúp
térfogatát!
123. Egy egyenes hasáb alaplapja olyan rombusz, amelynek magassága 8 cm, a hegyesszöge
30◦ . Mekkora a hasáb térfogata, ha a test magassága 24 cm?
124. Egy téglalap 26 cm hosszú átlója az egyik derékszöget 4 : 5 arányban osztja. Számítsa ki
a téglalap oldalainak hosszát!
125. Az ABCD konvex négyszög alakú telek következő adatait mértük meg: AB = 20 m;
ABC∠105◦ ; ABD∠ = 60◦ ; DAB∠ = 90◦ ; CAB∠ = 45◦ . Számítsa ki a telek területét!
126. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 16 cm, szárai 17 cm hosszúak. Mekkora a háromszög
súlypontjának az oldalaktól mért távolsága?
127. Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB és CD, mégpedig AB hosszabb CD-nél és
CD = 3 egység. A trapéz szárai egyenlő hosszúságúak, és az AC átló merőleges a BC
szárra. Az AB oldalhoz tartozó magasság 2 egység. Számítsa ki az AB oldal hosszát és
a trapéz szögeit!
√
128. Számítsa ki az ABC háromszög AC és BC oldalának a hosszát, ha AB = 3 egység, az
AB oldallal szemközti szög 60◦ és BC = 2AC !
129. Egy háromszög AB oldala 10, BC, illetve AB oldalához tartozó súlyvonal 9, illetve 6
egység hosszúságú. Mekkora a háromszög másik két oldala?
130. Az egyenlő szárú derékszögű ABC háromszög ABátfogója 14 cm. Vegye föl a háromszög
köré írt körnek a c pontot nem tartalmazó ívén a D pontot úgy, hogy a DCA∠ = 30◦
legyen. Mekkora a DCA háromszög területe?
10
Sorozatok II.
131. Fogalmazza meg, hogy mit jelent: az {an } sorozat felülről nem korlátos.
2n + 3
sorozat korlátos.
132. Mutassa meg, hogy a
n+1
133. Monotonitás szempontjából vizsgálja meg a következő sorozatokat.
nπ
n−1
n+2
3n − 1
d)
b
=
cos
n
c) an =
a)
b)
4
5n + 1
n
6n + 5
2n − 1
sorozat a = 1-hez
2n + 1
konvergál. Hányadik elemtől kezdve esnek a sorozat elemei az a = 1 szám r = 10−2
környezetébe?
134. A konvergencia definíciója alapján bizonyítsuk be, hogy an =
135. Tegyük fel, hogy {an } és {bn } két valós számsorozat úgy hogy an → ∞ és bn → 0.
a) Lehetséges-e hogy an bb → 0. Ha igen, akkor adjon rá példát.
b) Lehetséges-e hogy an bb → −2. Ha igen, akkor adjon rá példát.
c) Lehetséges-e hogy an bb → ∞. Ha igen, akkor adjon rá példát.
136. Ha
1
1
1
+ 2
+ ··· + 2
,
+1 n +2
n +n
akkor mi a {bn } sorozat határértéke? (Használja a rendőr-elvet.)
bn =
n2
137. Find the limit. Számítsa ki a következő határértékeket.
3e−n + 4
g) lim −n
n→∞ 2e
+5
3n5 − 4n2 + 10
a) lim
n→∞
7n5 + 2n
3e2n + 4
n→∞ 2e2n + 5
2n4 + n3 − 6
n→∞
7n5 − 3
h) lim
c) lim
3n4 − n2 + 2n
n→∞ 8n2 + 2n + 1
i) lim
n
n→∞
n2 + 1
√
n
8−1
e) lim √
n
n→∞
2−1
√
2
f ) lim
n +n−n
e−n
n→∞ 2
√
n
e
k) lim
n→∞ 3
√
l) lim n 4n + 3
b) lim
m) lim
1
1+
2n
n
n) lim
1
1− 2
n
n 2
n→∞
n→∞
n
e
n→∞ n!
d) lim √
j) lim
2n
n+1
o) lim
n→∞
n−2
√
p) lim n 3n + 2n
n→∞
12 + 2 2 + 3 2 + · · · + n2
q) lim
n→∞
n3
n→∞
n→∞
138. Mutassa meg, hogy kis x értékekre sin x < x < tan x, és ebből 1 >
1
határértéket.
Számítsa ki a lim n sin
n→∞
n
1
sin x
>
.
x
cos x
139. Döntse el, hogy a sor konvergens vagy divergens. Ha konvergens akkor mi az összege?
∞
X
3n
a)
22n
n=0
b)
∞
X
(−1)n
n=2
4n
∞
X
3
c)
n
n=1
d)
∞
X
n=1
1−
1 n
n
11
Kombinatorika
1. Egy baráti társaság 8 tagjának tömege: Albert 82 kg, Bori 74 kg, Csaba 90 kg, Dénes 88
kg, Elek és Frigyes 85 kg, Gabi 63 kg és Helga 71 kg.
a) Adja meg a 8 adat mediánját, átlagát és szórását!
b) Ez a 8 ember lifttel szeretne feljutni egy épület legfelső emeletére, ahol a baráti társaság rendezvényét tartják. A kisméretű lift ajtaján ez a felirat áll: „Max. 3 személy
vagy 300 kg” (vagyis a liftben nem utazhat 3-nál több személy, továbbá a liftben
utazók tömegének összege nem lehet több 300 kg-nál). Az előírás figyelembevételével
hányféleképpen mehetne fel a baráti társaság 8 tagja a lifttel, ha minden fordulóban
legalább két személy utaznaegyütt? (Két „feljutást” különbözőnek tekintünk, ha legalább egy csoport összetétele nem azonos a két feljutásban, vagy a csoportok más
sorrendben jutottak fel a legfelső emeletre.)
2. Döntse el, hogy az alábbi négy állítás közül melyik igaz és melyik hamis!
A: Egy 6 pontot tartalmazó teljes gráfnak 15 éle van.
B: Ha egy teljes gráfnak páros számú él e van, akkor a pontok száma is páros.
C: Ha egy 51 pontú gráfban nincs kör, akkor legfeljebb 50 éle lehet.
D: Nincs olyan 6 pontú gráf, amelyben a fokszámok összege 11.
Ha valaki sohasem hallott a gráfokról, akkor mekkora valószínűséggel lesz helyes mind a
négy válasza?
3. Aladár, Béla, Csaba, Dani és Ernő szombat délutánonként együtt teniszeznek. Mikor
megérkeznek a teniszpályára, mindegyik fiú kezet fog a többiekkel.
a) Hány kézfogás történik egy-egy ilyen közös teniszezés előtt?
b) Legutóbb Dani és Ernő együtt érkezett a pályára, a többiek különböző időpontokban
érkeztek. Hány különböző sorrendben érkezhettek ezen alkalommal?
c) A fiúk mindig páros mérkőzéseket játszanak, ketten kettő ellen. (Egy páron belül a játékosok sorrendjét nem vesszük figyelembe, és a pálya két térfelét nem különböztetjük
meg.) Hány különböző mérkőzés lehetséges?
4. a) Egy osztály tanulói a tanév során három kiránduláson vehettek részt. Az elsőn az
osztály tanulóinak 60 százaléka vett részt, a másodikon 70 százalék, a harmadikon 80
százalék. Így három tanuló háromszor, a többi kétszer kirándult. Hány tanulója van
az osztálynak?
b) A három közül az első kiránduláson tíz tanuló körmérkőzéses asztalitenisz-bajnokságot
játszott. (Ez azt jelenti, hogy a tíz tanuló közül mindenki mindenkivel pontosan egy
mérkőzést vívott.) Mutassa meg, hogy 11 mérkőzés után volt olyan tanuló, aki legalább háromszor játszott!
c) A második kirándulásra csak az osztály kosárlabdázó tanulói ne m tudtak elmenni,
mivel éppen mérkőzésük volt. A kosarasok átlagmagassága 182 cm, az osztály átlagmagassága 174,3 cm. Számítsa ki a kiránduláson részt vevő tanulók átlagmagasságát!
5. Az 52 941 számjegyeit leírjuk az összes lehetséges sorrendben.
a) Az 52 941 számmal együtt hány ötjegyű számot kapunk?
b) Ezen számok közül hány osztható 12-vel?
c) Bizonyítsa be, hogy e számok egyike sem négyzetszám!
6. A dominókészleten a dominókövek mindegyikén az egy-egy „térfélen” elhelyezett pöttyök
száma 0-tól egy megengedett maximális értékig bármilyen természetes szám lehet. A dominókövek két felén e számok minden lehetséges párosítása szerepel. Nincs két egyforma
kő a készletben.
a) Igazolja, hogy ha a pöttyök maximális száma 7, akkor a dominókészlet 36 kőből áll.
12
b) A 36 kőből álló dominókészletből véletlenszerűen kiválasztottunk egy követ. Mennyi
a valószínűsége, hogy a kiválasztott kő két „térfelén” lévő pöttyök számának összege
8?
c) A 36 kőből álló dominókészletből ezúttal két követ választottunk ki véletlenszerűen.
Mennyi a valószínűsége annak, hogy a két dominókő a játék szabályai szerint egymáshoz illeszthető? (Két dominókő összeilleszthető, ha van olyan „térfelük”, amelyen
a pöttyök száma ugyanannyi.)
7. Egy közvélemény-kutató intézet felméréséből kiderült, hogy a felnőttek 4%-a színtévesztő. Véletlenszerűen kiválasztunk 8 felnőttet abból a népességből, melyre ez a felmérés
vonatkozott. Mekkora a valószínűsége, hogy közöttük
a) pontosan két személy színtévesztő?
b) legalább két személy színtévesztő? A két valószínűség értékét ezred pontossággal adja
meg!
c) Ebben az intézetben 8 férfi és 9 nő dolgozik fő állásban. Egy megbeszélés előtt, amikor
csak ez a 17 főállású kutató jelent meg, a különböző nemű kutatók között 45 kézfogás
történt. Tudjuk, hogy minden nő pontosan 5 férfival fogott kezet, és nincs két nő, aki
pontosan ugyanazzal az öttel. Lehetséges-e, hogy volt két olyan férfi is, aki senkivel
sem fogott kezet?
8. Egy szabályos játékkocka két oldalára 0-át, két oldalára 2-est, két oldalára 4-est írunk. A
dobókockát ötször egymás után feldobjuk, és a dobások eredményét rendre feljegyezzük.
a) Hányféle számötöst jegyezhetünk fel?
b) Hányféle számötös esetében lehet a dobott pontok összege 10?
9. Adott az A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} halmaz.
a) Adja meg az A halmaz háromelemű részhalmazainak a számát!
b) Az A halmaz elemeiből hány olyan öttel osztható hatjegyű szám írható fel, amelyben
a számjegyek nem ismétlődhetnek?
c) Az A halmaz elemeiből hány olyan hatjegyű szám írható fel, amely legalább egy
egyest tartalmaz?
10. Hat úszó: A, B, C, D, E és F indul a 100 méteres pillangóúszás döntőjében. Egy fogadóirodában ennek a döntőnek az első, a második és a harmadik helyezettjére lehet tippelni
egy szelvényen. Az a fogadószelvény érvényes, amelyen megnevezték az első, a második
és a harmadik helyezettet. Ha a fogadó valamelyik helyezésre nem ír tippet, vagy a hat
induló nevén kívül más nevet is beír, vagy egy nevet többször ír be, akkor szelvénye
érvénytelen. Holtverseny nincs, és nem is lehet rá fogadni.
a) Hány szelvényt kell kitöltenie annak, aki minden lehetséges esetre egy-egy érvényes
fogadást akar kötni?
b) A döntő végeredménye a következő lett: első az A, második a B, harmadik a C
versenyző. Ha egy fogadó az összes lehetséges esetre egy-egy érvényes szelvénnyel
fogadott, akkor hány darab legalább egytalálatos szelvénye lett? (Egy szelvényen
annyi találat van, ahány versenyző helyezése megegyezik a szelvényre írt tippel.)
11. Annának 40 ismerőse van. (Ebben a feladatban minden ismeretséget kölcsönösnek tekintünk.) Anna ismerőseinek mindegyike Anna többi ismerőse közül pontosan egyet nem
ismer.
a) A szóba került 41 ember között összesen hány ismeretség áll fenn?
b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy Anna 40 ismerőse közül véletlenszerűen választva kettőt, ők ismerik egymást?
c) Válasszunk most a 41 személy közül véletlenszerűen kettőt! Mennyi a valószínűsége,
hogy nem ismerik egymást?
13
12. Kilenc számkártya fekszik az asztalon: 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
a) Rakja négy csoportba a kilenc számkártyát úgy, hogy egyikben se legyen együtt egy
szám és egy nála kisebb osztója! Adjon meg két lehetséges csoportosítást!
b) Berci körbe rakta a kilenc számkártyát egy nagy papírra, és ha két szám között legalább kettő volt a különbség, akkor a két kártyát összekötötte egy vonallal. Összesen
hány vonalat rajzolt meg ily módon Berci?
c) Csaba az első hat kártya felhasználásával (1, 2, 3, 4, 5, 6) két háromjegyű számot
készített. Hívjunk egy ilyen számpárt duónak. (Például egy lehetséges duó: „415;
362”.) A hat számból több ilyen duót lehet készíteni. Két duót egyenlőnek tekintünk,
ha ugyanaz a két különböző háromjegyű szám alkotja. Például a „415; 362” és a „362;
415” duó egyenlők, de a „362; 145” már egy másik duó. Hány különböző duót lehet a
hat szám kártyából elkészíteni?
13. Egy szellemi vetélkedő döntőjébe 20 versenyzőt hívnak be. A zsűri az első három helyezettet és két további különdíjast fog rangsorolni. A rangsorolt versenyzők oklevelet és
jutalmat kapnak. Az öt rangsorolt versenyző mindegyike ugyanarra a színházi előadásra
kap egy-egy jutalomjegyet.
a) Hányféle kimenetele lehet ekkor a versenyen a jutalmazásnak?
b) A dobogósok három különböző értékű könyvutalványt, a különdíjasok egyike egy
színházjegyet, a másik egy hangversenyjegyet kap. Hányféle módon alakulhat ekkor
a jutalmazás?
c) Ha már eldőlt, kik a rangsorolt versenyzők, hányféle módon oszthatnak ki nekik
jutalmul öt különböző verseskötetet?
d) Kis Anna a döntő egyik résztvevője. Ha feltesszük, hogy a résztvevők egyenlő eséllyel
versenyeznek, mekkora a valószínűsége, hogy Kis Anna eléri a három dobogós hely
egyikét, illetve hogy az öt rangsorolt személy egyike lesz?
14. Szabó nagymamának öt unokája van, közülük egy lány és négy fiú. Nem szeret levelet
írni, de minden héten ír egy-egy unokájának, így öt hét alatt mindegyik unoka kap levelet.
a) Hányféle sorrendben kaphatják meg az unokák a levelüket az öt hét alatt?
b) Ha a nagymama véletlenszerűen döntötte el, hogy melyik héten melyik unokájának
írt levél következik, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy lányunokája levelét az
ötödik héten írta meg?
c) Szabó nagymama sálat kötött egyetlen lányunokájának. Az első napon 8 cm készült
el a sálból, és a nagymama elhatározta, hogy a további napokon minden nap 20
százalékkal többet köt meg, mint az előző napon. Ezt az elhatározását tartani tudta.
Hány nap alatt készült-el a 2 méter hosszúra tervezett sál?
15. A 12. évfolyam tanulói magyarból próbaérettségit írtak. Minden tanuló egy kódszámot
kapott, amely az 1, 2, 3, 4 és 5 számjegyekből mindegyiket pontosan egyszer tartalmazta
valamilyen sorrendben.
a) Hány tanuló írta meg a dolgozatot, ha az összes képezhető kódszámot mind kiosztották?
b) Az alábbi kördiagram a dolgozatok eredményét szemlélteti: Adja meg, hogy hány
tanuló érte el a szereplő érdemjegyeket! Válaszát foglalja táblázatba, majd a táblázat
adatait szemléltesse oszlopdiagramon is!
ő
ő
14
105°
60°
elégséges
jeles
közepes
0°
210°
jó
c) Az összes megírt dolgozatból ővéletlenszerűen kiválasztunk egyet. Mennyi a valószínűű dolgozatot veszünk a kezünkbe?
sége annak, hogy jeles vagy jó
ű
16. Fogalmazzon
meg egy olyan szöveges feladatot, amelynek a megoldása így számítható ki:
17
.
2
17. A H halmaz a tízpontú egyszerű gráfok halmaza.
a) A következő állítás a H elemeire vonatkozik: Ha egy (tízpontú egyszerű) gráfnak
legfeljebb 8 éle van, akkor nem tartalmaz kört. Döntse el, hogy az állítás igaz vagy
hamis! Válaszát indokolja!
b) Fogalmazza meg az állítás megfordítását a H elemeire vonatkozóan, és döntse el a
megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja!
18. Egy tízpontú teljes gráf élei közül véletlenszerűen kiválasztunk három különbözőt. (Teljes
gráf: olyan egyszerű gráf, melynek bármely két pontja között van él.) Határozza meg
annak a valószínűségét, hogy a három kiválasztott él a gráfnak egy körét alkotja!
19. Egy focicsapat 11 játékosa megérkezik az edzésre, néhányan kezet fognak egymással. (Két
játékos között legfeljebb egy kézfogás történik.) Az edző felírta, hogy ki hányszor fogott
kezet, és a következő számokat kapta: 0; 1; 2; 2; 2; 5; 0; 0; 4; 4; 2.
a) Ábrázolja a kézfogásoknak egy lehetséges gráfját, ahol a pontok a játékosokat jelölik,
és két pont között akkor van él, ha az illetők kezet fogtak az edzés előtt!
b) Hány kézfogás történt összesen?
c) Egy másik alkalommal az edző által feljegyzett 11 nemnegatív egész számról a következőket állapítottuk meg: a számok egyetlen módusza 2, mediánja 3, átlaga 4,
ő
terjedelme
pedig 5 volt. Adjon meg a fenti feltételeknek megfelelő 11 nemnegatív
egész számot!
d) Az edzésen a játékosok a tizenegyesrúgást gyakorolják. Az egyik játékos 0,9 valószínűséggel lövi be a tizenegyest. Mennyi a valószínűsége annak, hogy három rúgásból
legalább egyszer betalál? A valószínűség pontos értékét adja meg!
20. Egy iskola asztalitenisz bajnokságán hat tanuló vesz részt. Mindenki mindenkivel egy
mérkőzést játszik. Eddig Andi egy mérkőzést játszott, Barnabás és Csaba kettőt-kettőt,
Dani hármat, Enikő és Feri négyet-négyet.
a) Rajzolja le az eddig lejátszott mérkőzések egy lehetséges gráfját!
b) Lehetséges-e, hogy Andi az eddig lejátszott egyetlen mérkőzését Barnabással játszotta? (Igen válasz esetén rajzoljon egy megfelelő gráfot; nem válasz esetén válaszát
részletesen indokolja!)
c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a hat játékos közül kettőt véletlenszerűen
kiválasztva, ők eddig még nem játszották le az egymás elleni mérkőzésüket!
15
Vegyes feladatok (2017. május)
1. Járványos időszakban egy nagyváros lakóinak 0,2%-a fertőzött a járványt okozó vírussal.
a) Ebben az időszakban a város lakói közül 80-an ugyanazon az autó buszon utaznak.
Mekkora annak a valószínűsége, hogy az autóbusz 80 utasa között van legalább egy
fertőzött? Válaszát két tizedesjegyre kerekítve adja meg!
b) A járvány terjedésére vonatkozó előrejelzések szerint a nagyvárosban a fertőzöttek
száma minden nap az előző napi érték 105%-ára növekszik. Ha a növekedés üteme az
előrejelzés szerint alakulna, akkor hány nap alatt emelkedne a város összlakosságának
0,2%-áról az összlakosság 1%-ára az összes fertőzött száma?
c) Egy kereskedelmi forgalomban is kapható gyorsteszt azt ígéri a felhasználóknak, hogy
a teszt kimutatja a vírusfertőzést. A termék leírásában ez áll: „A teszt a vírussal
fertőzött embereknél 99% valószínűséggel mutatja ki a fertőzöttséget. A vírussal nem
fertőzött emberek esetében olykor szintén fertőzöttséget jelez a teszt, ám ennek a
téves jelzésnek a valószínűsége mindössze 4%.” Tudjuk, hogy a város lakosságának
0,2%-a fertőzött a járványt okozó vírussal. Mutassa meg, hogy ha egy véletlenszerűen
választott városlakó gyorstesztje fertőzöttséget mutat, akkor 0,05-nál kisebb annak
a valószínűsége, hogy a tesztalany valóban vírusfertőzött (tehát a gyorsteszt nem a
fertőzöttség meg bízható kimutatására alkalmas)!
2. Több részletben összesen 350 tonna árut szeretnénk vasúton elszállíttatni. Az egyik szállítócég árajánlatában a szállítási díj két összetevőből áll. Egyrészt a szállított áru tömegének négyzetével arányos díjat kell fizetnünk, másrészt az áru tömegétől független
állandó alapdíjat is felszámítanak: ha egyszerre t tonna áru elszállítását rendeljük meg,
t2
akkor ezért 10
+ 205 eurót kell fizetnünk.
a) Igazolja, hogy ha két részletben (két alkalommal) szállíttatnánk el a 350 tonna árut,
akkor a vasúti költség abban az esetben lenne a legkisebb, ha az árut két egyenlő
tömegű részre osztanánk!
b) A vasúti szállítás költségének csökkentése érdekében a 350 tonna tömegű árut n
egyenlő részre osztjuk, és azt tervezzük, hogy minden egyes alkalommal egy-egy részt
szállíttatunk el a vasúttal (n ∈ N+ ). Igazolja, hogy a szállítócég ajánlata szerint az
n alkalommal történő vasúti szállítás költsége összesen 12250
+ 205n euró lenne!
n
c) A vasúti szállítás költségén kívül figyelembe kell vennünk azt is, hogy ha a 350 tonna
árut n egyenlő tömegű részre akarjuk szétosztatni, akkor a munka elvégzéséért nekünk
(n − 1) · 400 eurót kell fizetnünk (n ∈ N+ ). Hány egyenlő tömegű részletre bontva
lenne a legolcsóbb a 350 tonna áru elfuvaroztatása?
3. a) Hány olyan különböző hegyesszögű háromszög van, melynek szögei fokban mérve
különböző egész számok, és a szögek egy növekvő számtani sorozat egymást követő
tagjai? (Két háromszöget különbözőnek tekintünk, ha nem hasonlók egymáshoz.)
b) Igazolja, hogy nincs olyan szabályos n-szög, amelynek a belső szögei n fokosak!
c) Egy szabályos n-szögről tudjuk, hogy a belső szögei fokban mérve egész számok.
Hányféle lehet az n értéke?
4. Az y = −x2 + x + 6 egyenletű parabola az x tengelyt az A és a B pontban metszi.
Számítsa ki a parabola B pontbeli érintőjének meredekségét, ha tudjuk, hogy a B pont
első koordinátája pozitív!
5. Oldja meg a valós számok halmazán az egyenlőtlenségeket!
a) lg x < 2
b) 4x < 5 − x2
c) 0,5|x−3| < 0,25