ASAS KETAKPASTIAN HEISENBERG : KEPANGGAHANNYA DENGAN PENGGETAR SELARAS RATAH

  ASAS KETAKPASTIAN HEISENBERG : KEPANGGAHANNYA DENGAN

PENGGETAR SELARAS RATAH

  Liek Wilardjo

ASAS KETAKPASTIAN HEISENBERG :

KEPANGGAHANNYA DENGAN PENGGETAR

SELARAS RATAH

  

Liek Wilardjo

  Program Studi Teknik Elektro, Fakultas Teknik – UKSW Jalan Diponegoro 52-60, Salatiga 50711

INT ISARI

  Ditunjukkan bahwa eigennilai Hamiltonan Penggetar Selaras Linear (Linear Harmonic Oscillator ) ialah

  h

  

E ( n ) , dengan tenaga keadaan dasarnya,

= ω n

• 1

  2

  1

  h

  

E , yang dapat juga diperoleh dengan menerapkan

= ω o

  2 asas ketakpastian Heisenberg.

1. PENGANTAR

  Dalam Mikroelektronika dipakai untai terangkun yang disebut IC (integrated

  

circuit ). Untai terangkun itu berupa cebis renik (microchip) yang disusun dari

  gerbang-gerbang logika dengan arsitektur tertentu, sehingga sistem itu dapat melakukan fungsi yang sesuai dengan rancangannya. Dalam rangkunan berskala sangat besar (VLSI), cebis berukuran satu inci persegi dapat memuat ratusan ribu gerbang. Komponen utama dari gerbang itu berupa peranti (device) yang disebut transistor efek medan semipenghantar-oksida logam (TEMSOL) atau MOSFET (Metal-Oxide Semiconductor Field Effect Transistor). Berfungsinya TEMSOL ditentukan oleh sifat-sifat bahan-bahan penyusunnya dan perlakuan yang dikenakan pada bahan-bahan itu. Ini semua ditelaah dalam Fisika yang didasarkan pada Mekanika Kuantum.

  99 Techné Jurnal Ilmiah Elektroteknika Vol. 10 No. 2 Oktober 2011 Hal 99 – 108

2. ASAS KETAKPASTIAN

  Salah satu asas yang paling penting dalam Mekanika Kuantum ialah Asas Ketakpastian. Asas ini menyatakan bahwa pasangan amatan sekawan (conjugate

  

observables ) tidak dapat kedua-duanya ditentukan dengan pasti. Pasangan amatan,

  misalnya P dan Q, disebut sekawan kalau komutatornya memenuhi persamaan h [ P . Q ] i

  I ............ (1) = − δ i j ij

  Komutator dari pengandar-pengandar P dan Q, yakni [P, Q] = PQ – QP, dapat

  ∂

  h ditentukan dengan memakai representasi Schroedinger, dengan P i dan Q

  = − ∂ Q

  = Q : [P, Q] = PQ - QP

  ψ ψ ψ

∂ ∂ ψ

  h

  

ih ( Q ) Q ( i )

= − ψ − −

  

Q Q

∂ ∂

∂ ψ ∂ ψ

  h ( ) )

  = − ih ψ Q i Q + + ∂ Q ∂ Q

  = i h = i h I .

  − ψ − ψ

  Jadi, [P, Q] = i h I atau lebih jelas lagi,

  − [P k , Q l ] = i k l I .

  − δ

  Dapat juga komutator itu diperoleh dari kurung Poissonnya, via Asas Kebersesuaian (Correspondence Principle) Bohr. Secara matematis, Asas Ketakpastian ditulis

  1

  h ............ (2)

  ∆ p ⋅ ∆ q ≥

2 Dalam (2), ∆ p dan ∆ q berturut-turut ialah ketakpastian hasil pengukuran pusa

  (momentum) p, dan ketakpastian hasil pengukuran kedudukan (posisi) q. Kalau p diketahui dengan pasti, berarti ketakpastiannya ∆ p = 0, maka menurut (2) ∆ q = ∞, artinya posisi zarah yang pusanya diketahui dengan pasti itu bisa di mana saja; dengan kata lain, sama sekali tidak dapat ditentukan.

  ASAS KETAKPASTIAN HEISENBERG : KEPANGGAHANNYA DENGAN

PENGGETAR SELARAS RATAH

  Liek Wilardjo

  Asas Ketakpastian ditemukan oleh Werner Heisenberg. Albert Einstein, yang meyakini bahwa Fisika itu deterministik, menentang Mekanika Kuantum. Pernyataannya yang terkenal ialah: "Tuhan tidak main dadu." Sebaliknya, Niels Bohr yakin benar bahwa Fisika itu indeterministik, apa lagi di dunia renik (in the

  ). Konon Bohr menjawab Einstein dengan mengatakan: "Tuhan memang

  microworld

  tidak main dadu, tetapi kadang-kadang Ia melemparkan dadu ke arah yang tidak kita ketahui." Dalam debat antara kubu Einstein dan kubu Bohr, akhirnya diputuskan bahwa yang menang ialah kubu Bohr. Einstein mengakui bahwa kubu lawannya itu memang lebih panggah (konsisten). Ia mengaku kalah dalam sebuah pertempuran, tetapi "perang belum usai". "Perang" itu sampai sekarang masih berkecamuk, dengan Roger Penrose sebagai "jendral"nya kubu Einstein dan Stephen Hawking sebagai "komandan"nya kubu Bohr.

  Meskipun berseberangan paham dengan ilmuwan-ilmuwan di kubu Mekanika Kuantum, Einstein jugalah yang bersama dengan Bohr mengusulkan Heisenberg dan Erwin Schroedinger (yang juga perintis Mekanika Kuantum) sehingga mereka mendapat hadiah Nobel. Padahal sejak masih menjadi guru besar di Universitas Jerman di Praha, Einstein sinis sekali terhadap para fisikawan yang mengugemi Mekanika Kuantum.

  Seperti P dan Q, amatan atau pengandar (operator) tenaga total, yakni Hamiltonan H, dan pengandar waktu T juga merupakan pasangan yang sekawan: h

  H T i I ............ (3) l = − δ l

  [ k ] k

  sehingga, menurut asas ketakpastian Heisenberg,

  1

  h

  E . t ............ (4) ∆ ∆ ≥

2 Asas Ketakpastian Heisenberg dapat diturunkan dengan memakai komutator dan

  sifat-sifat serta hubungan antar pengandar-pengandar Hermite-an. Penurunan atau pembuktiannya secara matematis ada di semua buku Mekanika Kuantum, seperti bukunya Merzbacher, bukunya Newing dan Cunningham, bukunya Messiah, dsb. Powel dan Craseman (1961) membuktikannya dengan memakai representasi Schroedinger. Di sini hanya akan ditunjukkan bahwa penggunaan asas itu dalam

  101 Techné Jurnal Ilmiah Elektroteknika Vol. 10 No. 2 Oktober 2011 Hal 99 – 108 Penggetar Selaras Linear memberikan tenaga keadaan dasar (ground state energy) yang sama dengan yang diperoleh dengan menyelesaikan persamaan Schroedinger. Cara untuk meyakinkan kebenaran asas ketakpastian Heisenberg ini sesuai untuk diberikan kepada pemula dalam Mekanika Kuantum, yakni para mahasiswa semester kedua dalam program S

  1 , sebab mereka sudah cukup akrab dengan penggarapan soal

  penggetar selaras linear secara klasik. Pemanfaatan keakraban dengan Fisika Klasik, khususnya tentang gelombang tegak (standing wave) juga dipakai untuk mendapatkan aras-aras tenaga (energy levels) atom Hidrogen, tanpa harus menerima postulat Bohr tentang pencatuan (kuantisasi) pusa sudut (angular momentum)nya, yang dalam teori Bohr itu terasa sebagai ketentuan yang ditambahkan secara ad hoc (Wilardjo, 2001).

3. PENGGETAR SELARAS LINEAR

  Sistem berupa pegas yang tetapan

  k m

  kekakuan (stiffness constant)nya k dan

  x

  pangkalnya tertambat (fixed) di posisi x =

  O

  0, sedang di ujungnya yang bebas terdapat massa m, dapat bergetar pada arah x . Kalau pengaruh gesekan diabaikan,

  ± getarannya selaras. Sistem semacam itulah yang disebut penggetar selaras linear.

  Menurut hukum Newton II, & &

  F m x ............ (5) =

  dan menurut hukum Hooke

  F kx ............ (6) = −

  & & Maka , atau

  − kx = m x

  x& ( k / m ) x ............ (7) =

• &

  Penyelesaian persamaan diferensial (7) ialah

  x exp ( i t ) , ∝ ± ω

  yang dapat kita tulis: ............ (8)

  x = A sin ω t

  ASAS KETAKPASTIAN HEISENBERG : KEPANGGAHANNYA DENGAN PENGGETAR SELARAS RATAH

  Liek Wilardjo

  dengan k / m ............ (9)

  ω =

  Tenaga gerak sistem ini ialah

  2

  2

  1

  & ............ (10)

  K = m x = p /

  2 m

  2

  sedang tenaga potensialnya

  2

  1 V k x =

  2

  yang dengan (9) menjadi

  2

  2

  1

  ............ (11)

  V m x = ω

  2

  sehingga tenaga totalnya

  2

  2

  1

  / 2 ............ (12)

  E = p m m ω x

• 2

  2 Tenaga total atau Hamiltonan klasik ini diungkapkan dalam Mekanika Kuantum

  sebagai pengandar Hamilton:

  2

  2

  2

  1

  2 m m

  X ............ (13) = ω

• H P /

  2 Eigennilai H tidak negatif, sebab dalam suatu eigenkeadaan n ψ

  2

  2

  2

  1

  1

  X = = ω ≥ n

• E H P m

  2 m

  2 Kalau E n ialah eigennilai H, maka demikian pula E n h , asalkan E n h ≥ 0.

  ± ω − ω

  Berikut ini bakatnya:

  2

  2

  2

  1

  1 [ ]

  X , P = ω

• H , P P , P m

  [ ] [ ]

  2 m

  2

  2

  2

  2

  1

  =

  m (

  X P

  XPX

  XPX PX )

• ω − −

  2

  2

  2

  1

  =

  X P

  

XPX

  XPX PX m ω ( − − )

• 2

  2

  1

  = m (

  X [ X , P ] [ X , P ] X ) ω

• +

  2

  2

  1

  2

  = m

  2 X [

  X , P ] ω ⋅

  2

  2 yang dengan (1) menjadi m .ihX.

  ω 103

  Techné Jurnal Ilmiah Elektroteknika Vol. 10 No. 2 Oktober 2011 Hal 99 – 108 Jadi,

  2

  [H, P] = ihm X.

  ω

  Dengan cara yang sama dan memakai (1) lagi, kita dapatkan: [H, X] = (ih/m)P.

  −

  Maka, [H, P im X] = [H, P] im [H,X]

  ± ω ± ω

  2

  = ihm

  X im ( ih/m )P

ω ± ω −

  2 = ihm

X h P

  ω ± ω = h (P im X) .......... (14)

  ± ω ± ω

  Karena [H, P im X] = H (P im X) (P im

   X )H , ± ω ± ω − ± ω

  maka H (P im X) = h (P im

   X ] + (P im X)H , ± ω ψ n ± ω ± ω ψ n ± ω ψ n

  = h (P im

   X ] n + (P im X)E n n , ± ω ± ω ψ ± ω ψ

  = (E n h ) (P im X ) n .

  ± ω ± ω ψ

  Jadi, H( P im X) n = (E n h ) (P im

   X ) n . .......... (15) ± ω ψ ± ω ± ω ψ

  Persamaan (15) menunjukkan bahwa ( P im X) n adalah eigenkeadaan dari

  ± ω ψ

  pengandar H yang bersangkutan dengan eigennilai (E n h ). Maka E n = E + nh ;

  ± ω ω

  di sini E ialah nilai tenaga yang paling rendah, yakni tenaga keadaan dasar, dan n ialah sebuah bilat (bilangan bulat) positif.

  Kita tinjau sekarang H( P im X) = (E h ) (P im )

   X − ω ψ ± ω − ω ψ

  (P im

   X ) mustahil merupakan eigenkeadaan tenaga yang terendah. Karena − ω ψ

  itu, persamaan di atas hanya dipenuhi kalau (P im X ) = 0.

  − ω ψ

  Maka (P + im

   X ) (P im X ) = 0 ω − ω ψ

  2

  2

  

2

  2

  (P + im im + m

  X ) = 0

   X P PX ω − ω ω ψ

  2

  2

  2

  2

  (P + im [X, P] + m

   X ) = 0 ω ω ψ

  2

  2

  2 / 2m + m

  (2m (P

   X ) + im [X, P] ) = 0 ω ω ψ

  ASAS KETAKPASTIAN HEISENBERG : KEPANGGAHANNYA DENGAN

PENGGETAR SELARAS RATAH

  Liek Wilardjo

  [2mH + im (ihI)] = 0

  ω ψ

  (2mH mh I) = 0

  − ω ψ I)

  (2H h = 0

  − ω ψ

  2H = h

  I = h , ψ ω ψ ωψ

  sehingga

  1

  h

  H = = E ψ ωψ ψ

2 Karena E n = E + nh , maka

  ω

  1 E n = (n + )h .......... (16) ω

  2 dengan n = 0, 1, 2, ..........

  Persamaan (16) memberikan eigennilai-eigennilai dari pengandar Hamilton yang bersangkutan dengan eigenkeadaan-eigenkeadaan penggetar selaras linear. Dengan

  1

  h kata lain, E n ialah aras tenaga ke-n dari penggetar selaras linear, sedang E =

  ω

  2 ialah aras tenaganya yang paling rendah, yang juga disebut tenaga keadaan dasar.

4. KEPANGGAHAN DENGAN ASAS KETAKPASTIAN

  1

  h Bahwa tenaga keadaan dasar itu , dan bukan 0, panggah (konsisten) dengan

  ω

  2

  asas ketakpastian Heisenberg, sebab kalau nol, maka pusanya juga nol, berarti tidak bergerak, alias posisinya tertentu dan tidak berubah-ubah. Tetapi kalau pusa dan posisinya (kedua-keduanya) pasti, ini melanggar asas ketakpastian Heisenberg. Dengan argumen "reductio ad absurdum" ini sudah kita tunjukkan bahwa persamaan (16) konsisten dengan persamaan (2).

  Untuk lebih meyakinkan kepanggahan ini, akan ditunjukkan bahwa tenaga

  1

  h keadaan dasar E o = itu dapat diperoleh dengan menerapkan asas ketakpastian

  ω

  2 (2).

  105 Techné Jurnal Ilmiah Elektroteknika Vol. 10 No. 2 Oktober 2011 Hal 99 – 108 Untuk penggetar selaras linear klasik persamaan (8) memberikan posisi di saat t, yakni

  x = A sin ω t .

  , ) cos

  A m p ω ω

  = T dt t T

  2 ∫

  2

  2

  2

  

2

  1 (

  =

  2

  cos

  2

  2

  2

  2

  2

  A t m p ω ω

  & dan

  = =

  2

  2

  ω ω

  2

  2

  E m p =

  dan

  E m x =

  2 ω

  2

  Bila dinyatakan dengan E ini, kita dapatkan bahwa

  1 A m E ω = .

  2

  2

  2

  . Jadi

  1 A m ω

  2

  2

  2

  Tenaga total = tenaga gerak + tenaga potensial. Di saat simpangan penggetar itu maksimum (x m = A ), tenaga geraknya nol, sehingga tenaga total = tenaga potensial maksimum =

  A m .

  1 ω

  cos

  & , sehingga t A m x m p

  Maka x

  2

  A

  ∫ T t d t T

     − =

  ω     

  1

  sin

  2

  2

  A x

  1

  T t d t T

  = ∫

     

  









  2 ω t , dan rerata waktunya :

  sin

  2

  = A

  2

  2

  2

  =

  ) (

  cos

  ω ω

  Dari (8) diperoleh t A x

  1 A =

  2

  2

  T T A

  2 − =

  2

  ω

  ) 2 cos 1 (

      − = ω

  2

  1

  2

  2 sin

  2

  T t t A

  ω T

  1

  , sehingga

  ASAS KETAKPASTIAN HEISENBERG : KEPANGGAHANNYA DENGAN

PENGGETAR SELARAS RATAH

  Liek Wilardjo

  2

  2

  2

  2

  2 x p E m E m E

  = ω = ω

( )

  

( ) ( )

  2

  2 Untuk getaran kecil, ruas kiri dapat ditafsirkan sebagai (∆x) (∆p) . Maka

  2

  2 x p E E

  ∆ ⋅ ∆ = ω = ω

  Tetapi menurut Heisenberg,

  1

  h

  x p , ∆ ⋅ ∆ ≥

  2

  berarti nilainya paling rendah (untuk keadaan dasar, E o )

  1

  h .

  ∆ x ⋅ ∆ p = = E ω

2 Dari sini kita dapatkan :

  1

  h

  E = ω

  2

  (Q.E.D ; quod erat demonstrandum)

5. SIMPULAN

  Asas ketakpastian Heisenberg dijelaskan artinya tetapi hanya diberikan ungkapan matematisnya, tanpa penurunan. Dengan menggunakan pengandar pusa P, pengandar posisi X, dan pengandar Hamilton H serta hubungan mereka, diperoleh aras-aras tenaga penggetar selaras linear, termasuk aras tenaganya yang paling rendah, yakni

  1

  h tenaga keadaan dasar, E . Kemudian ditunjukkan kepanggahan antara asas

  = ω

  2

  ketidakpastian Heisenberg dan aras-aras tenaga penggetar selaras linear, dengan mendapatkan tenaga keadaan dasarnya dengan menerapkan asas Heisenberg pada penggetar selaras linear klasik.

  107 Techné Jurnal Ilmiah Elektroteknika Vol. 10 No. 2 Oktober 2011 Hal 99 – 108

  ACUAN

  1. Powell, John L. & Bernd Craseman:Quantum Mechanics, Addison-Wesley, Reading (Mass.), 1961, p.72-73 2. Wilardjo, L.: "Using Standing-Wave Pattern to Explain Quantization", Proc.

  st rd th

1 Kentingan Physics Forum , July 23 – 24 , 2001

  th

  3. Young, Hugh D. & Robert A. Freedman: University Physics, 12 ed., Addison- Wesley, San Francisco, 2007, Chapters 40 & 41