FAKUTTAS MATEMATIKA DAN ItIVII.J PENGE'TAHIJAN AL.AM

t$sN 0216.2393

Vol. 7 No. 2 -luli 2011

'i

t'ti:

iiii

ii

ir

4l ,

i_]

JURNAL MIPA

lr

-

l.ir
ill

,iir.

[i{[

rili

lirr
l-il-l

tlitl

tiii

%.

FAKUTTAS MATEMATIKA DAN ItIVII.J PENGE'TAHIJAN AL.AM

U N IVE RS

iTAS tsENG KIJ I.IJ

Hal.669-715

Bengkulu,
Juli 2011

rssN 0216-2393

lssN 0216.2393

ffiffi&ffiKKN
Vol. 7 No. 2 Juli 2011

JURNAL MIPA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BENGKULU
Gradien

Vol.7

No.2

Hal.669-715

Bengkulu,

ISSN

Juli 20f 1

0216.2393

tssN 0216-2393

GRAI}IEI{
Vol. 7 No. 2 Juli 201f

JURNAL MIPA

Cakupan Jurnal trlmiah Gradien meliputi artikel iimiah hasil penelitian dalam
bidang Matematika,
Fisika, Kimia dan Biologi. Jumal ini terbit pertama kali pada tahun 2005 dengari
frekuensi
penerbitan dua kali setahun yaitu pada bulan januari dan juti.

Pembina
Dekan FMIPA Unib

I(efua Redaksi
Suhendra, S.Si, M.T

Sekretaris Redal E

t',h"ir"cii. ". *r.".'"""

dengan:

(l3ftX,r):rnin{/(x+v)*ft(v)l(x-r,}e

F :r,

e

K}

(7)

i.i t'"

(f . kX"t)=max{r(x-u)+ft(aii{r*u)e

R;rre

Ki

sehingga didapat

Kombinasi dari dilasi dan erosi pada citra gral,scale akan

'.

(/"

t)(,r) = max{min[/(.r+i.

ekivalen dengan defenisi kedua operator tersebut pada

Prqp!$i,t

citra binair. Persamaan matematis dari kedua operator ini

Jika, f'. K c: EN dan .1 .. F -+

ekivalen dengan persariraan (6) dan (7), tetapi kaLena

f

"

penerapannya pada cifra grayscale maka operator opening

(f

"

akan mencai

nilai maksimum sedangkan operator closing

akan mencari

nilai minimun dari sfrukur elemen (lendela

filter). Penurunan kedua operator ini pada citra grayscale
dapat dilihat pada kajian matematis berikut:

Iv

e,(]+ t(a)

lueK;(.r-uleFB()

menghasilkan jenis operator baru yaitu opening dan
closing. Defenisi opening dan closing pada citra g'avscale

-z) -r(r)

k : F t K -+ E

dan

k: K -+E

maka

dandapatdihitungdengan:

k){x) = min{maxlf(x
+ k(u) | u e

E

+v-u)-k(v)

lr. {l'

K; (,r + v)

e F@ rt']

r:R-+E

sehingga

Bukti:
Misalkan

Rc.EN

Dari proposisi

dan

r--f

@k

1

f@k:F@K-+E
Jadi

r:F@K-+Edan r:R-->E

Dari proposisi

(/@ *X-r)

:

maka

&:F@K

1

max{,f(-x-r)+ [(a) I (x-a) e F:z e Kl
703

Yulian

F danzulfiaM

M / Jurnal Gradien vol.

Maka

r(x) = pn 11@ - u) + k{u)l {x - u) e F;z e K\
Karena f ok=(f @k)@k,Maka.1ck=t@k
(f
= (rokXx)

'k)(x)

Dari proposisi 2

(r0t)(x)
dan

(/r

: min{/(x+v)-t(v)

| (:r+v) e F;v e K}

= .f " k
k)(x) = min{/(x+v)- A'(v) | (x+v) e F ;u e K\

yq41,

Karena

R:F @K

dan

K}

ue

Subsitusikan persamaan ini ke

k)(x)

:

min[r(x

+

pada nilai kecerahan masing-masing piksel kemudian
masing-masing koefisien struktur elemen (endela filter)
tersebut dikalikan dengan nilai kecerahan piksel, pada titik

yang sama. Hasilnya nilai kecerahan yang paling besar
(maksimum) akan menggantikan posisi nilai kecerahan
piksel citra asli pada lokasi (i,j)dan terhimpun dalam citra
output (gambar 1). Prosetlur yang sama dapat diterapkan
pada pemfilteran Erosi tetapi prosesnya adalah tnencari
nilai minimum.

v)

k(r') I (-r + v) e R:u e

ffin
[-]+]ffi
-ffi|+l+l
ffi_
[g t lg Is
I

(f . k)(x)= min{max.[t( x +v - u) - k{v) I v e Kl

t€rleta} d;da:]ffi

I# iri

9l

ail

+r"Itr ilrnen(d:ls
Lhlle olai Bi ladr

Simlb &rer irem,tiarltry:a la'tr
I !trsdberilsttya da cu nilai
hBlrsil@ yw i4dilai iriil nilltu

ir

Urltlaflolol
[cTrTtl:iti
l;fiTt1-6T;'l
ETiT;Tif6l

+kfu)lue1(;(x+u)eF@K)

3.

Slr:Itu e1erun 3x3, &aar Put
t.qak d;Llalld dralr. lrLtPl lendD
d*iciha uli cni a&i rukium Y4

Ftrt-ita['1

f{}

sehingga didaPat
.'.

Cilra Odpui
l:etehl Dil&-,

Citn 14ut

r(x) = 6a*17 Q - u) + k(u) | u e K)
maka r(x + v) = 6s*11(x + v- u) + k{u)l

(/.

7 No. 2luli2011 :102'705

dema, (d* I4J Bj rr)
''a€ladi
#epald liLrel yq ieryilrtr
triq ,.te!ruF lrtr.tu nili; id Pr{.

[mplementasi Morfotogi iVlatematik dalam Sistem

Lrisr$

rhrrl, pw:+ u pada;rlwh

Citra Digital

Dalam sistem digitai, teknik pemfilteran morfologi
maternatik pada citra menggunakan strukur elemen
sebagai jendela filter. Menurut [5], cara kerja struktur

Canrbar

1.

elemen dalam operasi morfologi matematik ekivalen
dengan cara kerja kernel dalam operasi konvolusi citra'

Struktur elemen sebagai pembatas rvilayah atau penentu
lingkungan tetangga (neighborhood). Petumusan erosi dan
dilasi. riigambarkarr dalau struktur elemen dalam oratnks

3x3

sebaeai piksel-rriksel tetangga dengan koefisien-

koefisien matriks yang dinotasikan dalam bentuk:

[t,-i.7-i;

lu.i'tt

(i- l-i) tr-i,7+11]

Q-i) (i-ittt

I

lf,,r"7 rt (i+l.i) (i+l-lrl)-l

Aplikasi operator erosi dan dilasi pada sistem citra digital
berarti menempatkan kedua operator tersebut sebagai filter
tligital. Perumusan kedua filter dapat ditulis dalam bentuk

Ilustrasi kerja operator dilasi pada
sebuah citra digital

181

Bentuk filter 1'ang lain adalah fiiier Opening dan Closirtg'
Opening merupakan kombinasi antara fllter diiasi dengan

filtei: erosi (dalarn citra aras keabuan) sehingga bentuk
diskret filtei ini pada citra digital dalarn ienileia filtcr

i

ii

3, dapat dibuat calam persamaan bcrikui:

(f " b){i. j\

= t'taklMin IJ {i

f(i

- t, i

-1),

i (i - 1,j),"',

+1, i +1)ll

Filter closing merupakan kombinasi fiiter erosi dengan
filter dilasi, maka kombinasi kedua filter ini dapat dibuat
dalam persailaan berikut:

(f

.b)(i,

j)=

x:tinltlakl.f

{i-1.i t),f(i-1,.il,

f(l+1,7+l)i)

persarnaan berikut [6]:

f1i - j *1),.f (i -1,i),.,., J'Q +1,7 + 1)|
F(ij):Mintf (i 't,.j _r), f (i _1..fi....,f (i +1,r + 1))

F(ij) =uaks

1,

4.

KesimPuian

1. Operator erosi pada

titik
Cara

kerja kedua fiiter ini

pada lokasi

(ii)

adalah mengubah nilai piksel

dengan memperhitungkan bobot piksel di

sekitarnya pada citra masukan. Pen-iabaran

prinsip ini

dalam pemfilteran dilasi dapat di-ielaskan sebagai betikut.
koefisien pada struktur elemen (endela filter) diletakkan

744

citra digital akan mencari titik-

1'ang bernilai minimum

di dalam lingkungan

tetangga. sedangkan operator dilasi akan mencari

tilik-titik,r'ang bernilai niaksimum.
2. Implementasi operator

citra digital berarti

morfologi matematik

pada

menempatkan kedua operator

tersebut sebagai filter digital dengan rnenggunakan

{ulian F dan ZulfiaW M / Jurnal Gradien Vol.

7

No. 2 Juli 2011 :7A2-7A5

struhur elemen sebagai jendela filter. Cara kerja
operator morfologi matematik pada sistem citra
digital (grayscale) ini adalah mengubah nilai piksel

pada lokasi

(ij)

dengan memperhitungkan bobot

\r\se\\\se\r\un1r1n\tittr,'nrqu\.
Daftar Pustaka

[l]

Champs, O.[., Kanungo.T., dan Haralik, R.M.,
]996.
Cray-Scale Structuring Element Decomposition.
IEEE Transc. On Image processing. Vol. :. No. 1.

hal.

[2]

lll.l20

Fauzi. Y., Dulbahri dan Sri Wahyuni., 2A04, peran

Penapisan

Morfologi Matematik

Terhadao

Kenampakan Linier pada Ciffa Landsat TM, Jurnal
Sains dan Sibernatika, UGM. Vol. 17, N0. 3.
hal:
455-465.

[3]

[4]

Fauzi.Y., Mayasari. Z"M, 2CA7. penggunaan Teknik
Filtering Morfolo gi Matematik dalanr Mengeksfraksi
Iaringan Jalan dari Citra Satelit" Jurnal I'EKNOSIA,
VoL l, No.l, hal:7-14.

Gonzalez. R.C. and Woods. R.E., 1993.

Digital Imoge

Processing. Addison Wesley. USA.

[5]

Li,W., Benie. 8.G., He. D.C., Wang.S., Ziou.D., and

of

Gwyn. Q.H.J., 1998. Classification
SAR
Images Using Morphological Texture Features. .URS.

Vo.
t6l

{71

t8l

19.

No. 17. hal:3399-

34t0

Pratt, K.William., 1991. Digital Intage Processing^
Second Edition, John Wiley and Sons. USA.

Schalkofl R.. 1989. Digital lma?e llrocessins and
Computer [/ision, Jahn Wiiey & Sons. Inc. USA.
Young. N., 2002. Mathematical Morphology.
hltp : i/wwu:.dmsu

n 1. b

aih.

s c. u k/re s ear

ch

705