PELABELAN TOTAL SISI AJAIB SUPER (TSAS) PADA GABUNGAN GRAF ULAT BULU DAN BIPARTITE LENGKAP | Sudarsana | Natural Science: Journal of Science and Technology 2211 6551 1 PB
PELABELAN TOTAL SISI AJAIB SUPER (TSAS) PADA GABUNGAN GRAF ULAT
BULU DAN BIPARTITE LENGKAP
I W. Sudarsana1, Fitria2 and S. Musdalifah3
1,2,3
Combinatorial and Applied Mathematics Research Group, Tadulako University Jalan Sukarno-Hatta Km. 9 Palu 94118, Indonesia
1 sudarsanaiwayan@yahoo.co.id 2
fitria_matematika@yahoo.co.id
3 Selvymusdalifah@yahoo.com
ABSTRACT
An ( , ) edge anti-magic total labelling, ( , )-EAMT, on graph �( ,�) with vertices and
edges is bijektion � ∶ � ∪ � � ⟶ 1,2,3,…, + , which has a set of edge weights =
= � +� +� ∀ = ∈ � � = , + ,…, + −1 with > 0 and
0. A ( , ) super edge anti-magic total labelling �, , -SEAMT, if the vertex set of � obtain
the smallest labels � = {1,2,3,…, }. An ( , )-EAMT (SEAMT) labelling � is called EMT
(SEMT) labelling if = 0 and = . Furthermore, is called the magic constant. A graph � is said
EMT, SEMT, , -EAMT and , -SEAMT if there is EMT, SEMT, , -EAMT and ,
-SEAMT labelling on graph �, respectively. In this paper, we showed that the union of caterpillars and
complete bipartite graph are SEAMT and SEMT, especialy for �3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0
2
)
has (11 −2,0)-SEAMT and (5 + 3 ,2)-SEAMT with 6; graph �3, ∪ �2, −2 has (6 + 7,0)
-SEAMT and (2 + 9 ,2)-SEAMT for 3; and graph � , ∪ �2 ( 1, 2,…, 2 ) has (3 2+ +
1,0)-SEAMT and ( 2+ 2 + 3,2)-SEAMT with 1= 2= 0; 2 = 2 = 0; 3= 2 −2= 1;
2 −1= −4; 2 −3= −2; 2 +3 = −1 where = 2,3,… , −2 and = 1,2,… , −4 for
5. Thus, graph �3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0
2
) is SEMT with = 11 −2 for 6;
graph �3, ∪ �2, −2 also SEMT with = 6 + 7 for 3; as well graph � , ∪ �2 ( 1, 2,…, 2 )
is SEMT with = 3 2+ + 1 for 5.
Keywords : Caterpillars, Complete Bipartite, EMT, SEMT,(�,�)-SEAMT,(�,�)-SEAMT.
ABSTRAK
Pelabelan total ( , ) sisi anti ajaib, notasi ( , )-TSAA, pada graf �( ,�) dengan titik dan sisi
adalah pemetaan bijektif � ∶ � ∪ � � ⟶ 1,2,3,…, + , yang mempunyai himpunan bobot
sisi = = � +� +� ∀ = ∈ � � = { , + ,…, + −1 } dengan
bobot sisi awal > 0 dan beda 0. Pelabelan total ( , ) sisi anti ajaib super dari �, notasi ( , )
-TSAAS yaitu jika mempunyai sifat bahwa setiap titik memperoleh label terkecil � = {1,2,3,…, }.
Pelabelan ( , )-TSAA (TSAAS) dari � disebut pelabelan TSA (TSAS) jika = 0 dan = .
Selanjutnya disebut konstanta ajaib. Sebuah graf � dikatakan TSA, TSAS, ( , )-TSAA dan
( , )-TSAAS jika terdapat pelabelan TSA, TSAS, ( , )-TSAA dan ( , )-TSAAS pada graf tersebut, berturut-turut. Pada penelitian ini telah berhasil ditunjukkan bahwa gabungan graf ulat bulu
dan bipartite lengkap adalah TSAAS dan TSAS khususnya graf �3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0
2
(2)
mempunyai (11 −2,0)-TSAAS dan (5 + 3 ,2)-TSAAS untuk 6; graf �3, ∪ �2, −2
mempunyai (6 + 7,0)-TSAAS dan (2 + 9 ,2)-TSAAS untuk 3; serta graf � , ∪
�2 ( 1, 2,…, 2 ) mempunyai (3 2+ + 1,0)-TSAAS dan ( 2+ 2 + 3,2)-TSAAS dengan
1= 2= 0; 2 = 2 = 0; 3= 2 −2= 1; 2 −1= −4; 2 −3 = −2; 2 +3 = −1 dimana
= 2,3,… , −2 dan = 1,2,… , −4 untuk 5. Dengan demikian, Graf �3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0
2
) adalah TSAS dengan = 11 −2 untuk 6; graf �3, ∪
�2, −2 juga TSAS dengan = 6 + 7 untuk 3; serta � , ∪ �2 ( 1, 2,…, 2 ) adalah TSAS
dengan = 3 2+ + 1 untuk 5.
Kata Kunci : Ulat Bulu, Bipartite lengkap, TSA, TSAS, (�,�)-TSAA, (�,�)-TSAAS
I. PENDAHULUAN
Graf merupakan pasangan himpunan titik dan himpunan sisi. Pengaitan titik-titik pada graf membentuk sisi dan dapat direpresentasikan pada gambar sehingga membentuk pola graf tertentu. Pola-pola yang terbentuk didefinisikan dan
dikelompokkan menjadi kelas-kelas graf.
Beberapa kelas graf menurut banyaknya sisi yang terkait terhadap titik antara lain graf reguler, yang derajat setiap titiknya adalah sama dan graf irreguler, yang derajat setiap titiknya ada yang tidak sama. Pelabelan merupakan pemetaan injektif yang memetakan unsur himpunan titik dan atau unsur himpunan sisi ke bilangan asli yang disebut label. Pelabelan titik adalah pelabelan dengan domain himpunan titik, pelabelan sisi adalah pelabelan dengan domain himpunan sisi, dan pelabelan total adalah pelabelan dengan domain gabungan himpunan titik dan himpunan sisi.
Pelabelan titik dan sisi dari graf bisa dilakukan dengan banyak cara. Salah satu cara yang bisa digunakan adalah melabelinya dengan bilangan. Terdapat banyak jenis pelabelan graf yang telah dikembangkan, diantaranya adalah pelabelan graceful, pelabelan harmoni, pelabelan total tak
beraturan, pelabelan ajaib, dan pelabelan anti ajaib. Dalam pengembangan pelabelan ajaib, dikenal pula pelabelan total titik ajaib, pelabelan
total , -titik anti ajaib super, pelabelan total
sisi ajaib, dan pelabelan total , -sisi-ajaib
super. Berdasarkan Gallian 2012 [1] gabungan graf ulat bulu dan bipartite lengkap masih menjadi masalah terbuka. Oleh karena itu permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah bagaimana menentukan pelabelan total sisi ajaib super pada gabungan graf ulat bulu dan bipartite lengkap
Permasalahan ini dibatasi pada pelabelan total
sisi ajaib super khususnya pada graf �3, ∪
�2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) untuk 6 ,
�3, ∪ �2, −2 untuk 3 dan � , ∪
�2 ( 1, 2,…, 2 ) dengan 1= 2= 0; 2 =
2 = 0; 3= 2 −2= 1; 2 −1= −4;
2 −3= −2; 2 +3= −1 dimana =
2,3,… , −2 dan = 1,2,… , −4 untuk 5.
II. HASIL TERDAHULU
Sebelum disajikan hasil penelitian ini, terlebih dahulu diberikan teorema-teorema penting yang telah ditemukan sebelumnya yang akan digunakan untuk membuktikan hasil baru
(3)
dalam penelitian ini. Teorema-teorema tersebut adalah:
Teorema 2.1.
Misalkan graf � adalah TSA dengan titik dan
sisi. Jika �adalah pelabelan TSA dari � dengan
konstanta ajaib dan pelabelan �′ didefinisikan
sebagai berikut:
�′ ( ) = �– �( ),∀ ∈ (�), dan �′( ) = � − � ( ),∀ ∈ �(�)
dimana �= + + 1.
maka �′ adalah pelabelan TSA dengan konstanta
ajaib ′ = 3� − .
Pelabelan �′ pada teorema di atas dikatakan
pelabelan dual dari � pada �, jika ′ = maka
�′ disebut selfdual dari � (Wallis et al. [4]).
Teorema 2.2.
Misalkan graf � adalah TSAS dengan titik dan
sisi. Jika �adalah pelabelan TSAS dari �
dengan konstanta ajaib dan pelabelan �′
didefinisikan sebagai berikut:
�′ = + 1− � ,∀ ∈ � , dan �′ = 2 + + 1− � ,∀ ∈ � �
maka �′ adalah pelabelan TSAS dengan
konstanta ajaib ′ = 4 + + 3 – .
Pelabelan �′ pada Teorema 2.2. diatas
dikatakan pelabelan dual super dari � pada �
jika ′ = maka �′ disebut selfdual dari �
(Sudarsana et al. [3]).
Teorema 2.3.
Misalkan � adalah graf yang memuat titik
dan sisi adalah ( , )-TSAAS. Jika � adalah
pelabelan ( , )-TSAAS dari � maka pelabelan
�′ di definisikan sebagai berikut :
�′ = + 1− � ,∀ ∈ � , dan �′ = 2 + + 1− � ,∀ ∈ � �
maka �′ mempunyai pelabelan ( ′, )-TSAAS
dari graf � dengan ′ = 4 + + 3− −
−1 .
Pelabelan �′ pada teorema di atas dikatakan
pelabelan dual super dari �, jika ′ = maka �′
disebut selfdual dari � (Sudarsana et al. [2]).
III.HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil dan pembahasan berikut ini akan membahas mengenai pelabelan TSAS dan TSAAS untuk graf ulat bulu dan bipartite lengkap. Berikut adalah gambar dan notasi secara
umum untuk graf � , ∪ �2 ( 1, 2,…, 2 ) :
V6,1 V5,1 V4,1 V3,1 V2,1 V1,1 en+2,1 en+1,1
e1,1 e2,1 e3,1 e4,1 e5,1 e6,1
Vn,1
Vn+1,1 Vn+2,1 Vn+3,1 Vn+4,1 Vn+5,1 Vn+m,1
en,1
en+3,1 en+4,1 en+5,1 en+6,1 e2n,1
e2n+1,1 e2n+2,1 e2n+3,1 e2n+4,1 e2n+5,1 e2n+6,1 e3n,1
e3n+1,1 e3n+2,1 e3n+3,1 e3n+4,1 e3n+5,1 e3n+6,1 e4n,1
e4n+1,1 e4n+2,1e4n+3,1e4n+4,1e4n+5,1e4n+6,1 e5n,1
e5n+1,1e 5n+2,1
e5n+3,1e 5n+4,1e
5n+5,1
e5n+6,1
enxm,1
V1,2 V2,2 V3,2 V4,2 V5,2 V6,2 V7,2 V2n,2
e1,2
e2,2
e3,2
e4,2
e5,2
e6,2 e8,2
e2n-1,2
e9,2
e10,2
e11,2
e12,2
V12,2 V13,2
V8,2 V9,2 V10,2 V11,2
e7,2
V2n+1,2V2n+2,2 V3n,2
V3n+1,2
V3n+2,2
V4n,2
V4n+1,2
V4n+2,2
V5n,2 V8n+1,2
V5n+1,2
V5n+2,2V6n,2
V6n+1,2
V6n+2,2
V7n,2
V7n+1,2
V7n+2,2V8n,2
V8n+2,2
V9n,2
V9n+1,2
V9n+2,2V10n,2
V10n+1,2 V10n+2,2 V11n,2 V11n+1,2 V11n+2,2 V12n,2 V12n+1,2 V12n+2,2 V13n,2 V13n+1,2
V13n+2,2V14n,2
V14n+1,2V14n+2,2V15n,2
V15n+1,2
V15n+2,2V16n,2
e2n,2 e 2 n+ 1 ,2
e3n-1 ,2 e3n,2 e 3 n+1, 2 e 4n-1 ,2 e 4n ,2 e 4 n + 1 ,2
e5n-1,2 e5n,2
e 5n+1, 2 e 6 n-1 ,2 e 6n ,2 e6n+1,2
e7n-1,2 e7n,2
e 7n +1 ,2 e 8n -1 ,2 e 8n ,2 e 8 n + 1 ,2
e9n-1,2 e9n,2
e
9n
+1,
2 e10
n -1 ,2 e 10 n ,2 e 10 n + 1 ,2 e11 n-1,2 e11 n,2 e 1 1n + 1
,2 e12
n -1 ,2 e 1 2n ,2 e 12 n + 1 ,2 e 13n -1,2 e13n ,2 e 13 n+1 ,2 e 14 n -1 ,2 e 14 n,2 e 14 n + 1 ,2 e15 n-1,2 e15n
,2 e 15n+1,2 e 16 n -1 ,2
Gambar 1 : Penotasian titik dan sisi graf � , ∪
�2 ( 1, 2,…, 2 )
Berdasarkan Gambar 1 di atas, dapat dinotasikan himpunan titik dan sisi graf
� , ∪ �2 ( 1, 2,…, 2 )sebagai berikut.
� , ∪ �2 ( 1, 2,…, 2 )
= , = 1, 1 +
, = 2, 1 2 2−6
� � , ∪ �2 ( 1, 2,…, 2 )
= , = 1, 1
2 , = 2, 1 2 2−6 −1
Pada Gambar 1 di atas graf � , ∪
�2 ( 1, 2,…, 2 ) belum menunjukan sifat TSAS
maupun TSAAS, adapun graf yang menunjukan sifat TSAS maupun TSAAS untuk graf ulat bulu dan bipartite lengkap dibagi kedalam sub-sub bahasan berikut :
(4)
3.1.Graf � ,�∪ � �( , , , … , ,� − �, , , ,
�
) Pada bagian ini, akan dibahas pelabelan
TSAS pada graf
�3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) untuk
6. Notasi titik dan sisi pada graf �3, ∪
�2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) untuk 6
disajikan pada Gambar 2 berikut.
V1,1 V2,1 V3,1 V4,1 V5,1 V6,1 V7,1 Vn,1
Vn+1,1 Vn+2,1 Vn+3,1
e1,1 e2,1 e3,1 e4,1 e5,1 e6,1 e7,1 en,1
en+1,1 en+2,1 en+3,1 en+4,1 en+5,1 en+6,1 en+7,1 e2n,1 e2n+1,1e2n+2,1e2n+3,1e2n+4,1e2n+5,1e2n+6,1e2n+7,1e3n,1
V1,2 V2,2 V3,2 V4,2 V5,2 V6,2 V7,2 V8,2 V9,2 V10,2 V2n-4,2 V2n,1
V2n+1,2 V2n+2,2V2n+3,2V3n - 4,2 V3n - 3,2
e1,2 e2,2 e3,2 e4,2 e5,2 e6,2 e7,2 e8,2 e9,2 e2n-1,2
e2n,2 e2n+1,2e2n+2,2e3n -5,2 e3n - 4,2
V2n-3,2V2n-2,2V2n-1,2
e2n-2,2
e2n-3,2
e2n-4,2
e2n-5,2
Gambar 2: Penotasian titik dan sisi graf �3, ∪
�2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0
2
)
Berdasarkan Gambar 2 di atas, dapat dinotasikan himpunan titik dan sisi graf
�3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
)sebagai berikut.
�3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
)
= , = 1, 1 + 3
, = 2, 1 3 −3
� �3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0
2
)
= , = 1, 1 3
, = 2, 1 3 −4
,1=
,1 +1,1 , 1
− ,1 +2,1 , + 1 2
−2 ,1 +3,1 , 2 + 1 3
,2=
,2 +1,2 , 1 2 −1 2,2 +1,2, = 2
2 −4,2 +1,2 , 2 + 1 3 −5
2 −1,2 +1,2, = 3 −4
….(1)
Pelabelan TSAS untuk graf �3, ∪
�2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) dengan 6
disajikan dalam teorema berikut.
Teorema 3.1.
Graf �3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) adalah
TSAS dengan = 11 −2, untuk 6.
Bukti :
Pandang notasi titik dan sisi graf �3, ∪
�2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) dalam Persamaan
(1) dan Gambar 2 Berikan label pada titik dan sisinya dengan cara berikut.
� ,1 =
, 1 + 1
2 + 1, = + 2
3 + 1, = + 3
� ,2 =
3 , = 1 6 +
2 + 1, 2 2 −2 ; genap
2 + −1
2 + 1, 3 2 −1; ganjil
2 + 3, = 2
3 −1, = 2 + 1
+ 2, 2 + 2 3 −4
2 + 2, = 3 −3
� ,1 = 10 − −3, 1 3
� ,2 =
5 −4, = 1
7 − −4, 2 2 −2
7 −5, = 2 −1
5 −3, = 2
7 − −4, 2 + 1 3 −5
7 −4, = 3 −4
Dengan label tersebut diperoleh konstanta ajaib sebagai berikut :
(5)
=
� ,1 +� ,1 +� +1,1 , 1
� − ,1 +� ,1 +� +2,1 , + 1 2
� −2 ,1 +� ,1 +� +3,1 , 2 + 1 3
=
+ 10 − −3 + + 1 = 11 −2
− + 10 − −3 + 2 + 1 = 11 −2
−2 + 10 − −3 + 3 + 1 = 11 −2
2.Untuk graf kedua
=
� ,2 +� ,2 +� 1+ ,2 , 1 2 −1
� 2,2 +� ,2 +� +1,2 , = 2
� 2 −4,2 +� ,2 +� +1,2 , 2 + 1 3 −5
� 2−1 +� ,2 +� +1,2 , = 3 −4
=
3 + 5 −4 + 3 + 2 = 11 −2 6 +
2 + 1 + 7 − −4 + 2 +
2 + 1 = 11 −2 2 + −1
2 + 1 + 7 − −4 +
6 + + 1
2 + 1 = 11 −2 2 + 7 −5 + 2 + 3 = 11 −2 3 + 2 + 5 −3 + 3 −1 = 11 −2 4 −1 + 7 − −4 + + 3 = 11 −2 2 + 7 −4 + 2 + 2 = 11 −2
Dengan demikian, graf
�3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) adalah
TSAS dengan = 11 −2 untuk 6.
Menggunakan Teorema 2.1., Teorema 2.2 dan Teorema 2.3., diperoleh akibat-akibat berikut :
Akibat 3.1.1.
Graf �3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0
2
) adalah
TSA dengan = 19 −7, untuk 6.
Akibat 3.1.2.
Graf �3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0
2
) adalah
TSAS dengan = 11 + 1, untuk 6.
Akibat 3.1.3
Untuk 6, Graf
�3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) mempunyai
pelabelan (5 + 12 ,2)– TSAAS
3.2.Graf � ,�∪ � ,�−
Pada bagian ini, akan dibahas pelabelan
TSAS pada graf �3, ∪ �2, −2 untuk 3.
Notasi titik dan sisi pada graf �3, ∪ �2, −2
untuk 3 disajikan pada Gambar 3 berikut.
V1,1 V2,1 V3,1 V4,1 V5,1 V6,1 V7,1 Vn,1
Vn+1,1 Vn+2,1 Vn+3,1
e1,1 e2,1 e3,1 e4,1 e5,1 e6,1 e7,1 en,1
en+1,1 en+2,1 en+3,1 en+4,1 en+5,1 en+6,1 en+7,1 e2n,1 e2n+1,1 e2n+2,1e2n+3,1e2n+4,1e2n+5,1e2n+6,1e2n+7,1e3n,1
V1,2 V2,2 V3,2
V7,2
V6,2
V5,2
V4,2
Vn,2
e1,2 e2,2
e3,2
e4,2
e5,2
e6,2
en-1,2
Gambar 3 : Penotasian titik dan sisi graf �3, ∪ �2, −2
Berdasarkan Gambar 3 di atas, dapat dinotasikan himpunan titik dan sisi graf
�3, ∪ �2, −2 sebagai berikut.
�3, ∪ �2, −2 =
, = 1, 1 + 3
, = 2, 1
� �3, ∪ �2, −2 =
, = 1, 1 3
, = 2, 1 −1
,1=
,1 +1,1 , 1
− ,1 +2,1 , + 1 2
−2 ,1 +3,1 , 2 + 1 3
,2=
,2 +1,2 , 1 2
3,2 +1,2, 3 −1
….(2)
Pelabelan TSAS untuk graf �3, ∪ �2, −2
(6)
Teorema 3.2.
Graf �3, ∪ �2, −2 adalah TSAS dengan =
6 + 7, untuk 3.Graf ini mempunyai pelabelan selfdual
Bukti :
Pandang notasi titik dan sisi graf �3, ∪
�2, −2 dalam Persamaan (2) dan Gambar 3
Berikan label pada titik dan sisinya dengan cara :
� ,1 =
+ 2,1
2, = + 1
+ 3, = + 2
2 + 3, = + 3
� ,2 =
1, = 1 + 4, = 2 2 + 2, = 3
+ 1 + , 4
� ,1 =
6 + 3− , 1
6 + 2− , + 1 3
� ,2 =
5 + 2, = 1 3 + 1, = 2
3 + 3− , 3 −1
Dengan label tersebut diperoleh konstanta ajaib sebagai berikut :
1.Untuk graf pertama
=
� ,1 +� ,1 +� +1,1 , 1
� −,1 +� ,1 +� +2,1 , + 1 2 , 1
� −2 ,1 +� ,1 +� +3,1 , 2 + 1 3 , 1
=
+ 2 + 6 + 3− + 2 = 6 + 7
− + 2 + 6 + 2− + + 3 = 6 + 7
−2 + 2 + 6 + 2− + 2 + 3 = 6 + 7
2.Untuk graf kedua
=
� ,2 +� ,2 +� 1+ ,2 , 1 2
� 3,2 +� ,2 +� +1,2 , 3 −1
=
1 + 5 + 2 + + 4 = 6 + 7
+ 4 + 3 + 1 + 2 + 2 = 6 + 7
2 + 2 + 3 + 3− + + 2 + = 6 + 7
Dengan demikian, graf �3, ∪ �2, −2 adalah
TSAS dengan = 6 + 7 untuk 3.
Selanjutnya dengan menggunakan Teorema 2.2, dan mengambil label titik dan sisi yang baru berupa :
�′ ,1 = 2 + 3 + 1− � ,1
�′ ,2 = 2 + 3 + 1− � ,2
�′ ,1 = 2 2 + 3 + 4 −1 + 1− � ,1
�′ ,2 = 2 2 + 3 + 4 −1 + 1− � ,2 Dengan pelabelan tersebut diperoleh :
′= 4(2 + 3) + 4 −1 + 3−(6 + 7)
= 8 + 12 + 4 −1 + 3−(6 + 7) = 8 + 12 + 4 −1 + 3−6 −7 = 6 + 7.
Dengan demikian, graf �3, ∪ �2, −2
mempunyai pelabelan self dual dengan = 6 +
7, untuk 3.
Menggunakan Teorema 2.1 dan Teorema 2.3. diperoleh akibat-akibat berikut :
Akibat 3.2.1. Graf �3, ∪ �2, −2 adalah TSA
dengan = 12 + 2,untuk 3.
Akibat 3.2.3. Untuk 3, Graf �3, ∪ �2, −2
mempunyai pelabelan (2 + 19 ,2) - TSAAS .
3.3.Graf ��,�∪ � �(� ,� ,⋯,� �)
Pada bagian ini, akan dibahas pelabelan
TSAS pada graf � , ∪ �2 ( 1, 2,⋯, 2 ) untuk
5. Notasi titik dan sisi pada graf � , ∪
�2 ( 1, 2,⋯, 2 ) untuk 5 disajikan pada
(7)
V6,1 V5,1 V4,1 V3,1 V2,1 V1,1 en+2,1 en+1,1
e1,1 e2,1 e3,1 e4,1 e5,1 e6,1
Vn,1
V2n
Vn+1,1 Vn+2,1 Vn+3,1 Vn+4,1 Vn+5,1 Vn+6,1
en,1
en+3,1 en+4,1 en+5,1 en+6,1 e2n,1
e2n+1,1 e2n+2,1 e2n+3,1 e2n+4,1 e2n+5,1 e2n+6,1 e3n,1
e3n+1,1 e3n+2,1 e3n+3,1 e3n+4,1 e3n+5,1 e3n+6,1 e4n,1
e4n+1,1e4n+2,1 e4n+3,1e4n+4,1e4n+5,1e4n+6,1 e5n,1
e5n+1,1e5n+2,1e5n+3,1e5n+4,1e5n+5,1e5n+6,1e6n,1
e6n+1,1e6n+2,1e6n+3,1e6n+4,1e6n+5,1e6n+6,1
e
V1,2 V2,2 V3,2 V4,2 V5,2 V6,2 V7,2
V2n-5,2
V2n,2 V2n+1,2
V2n+2,2 V2n+3,2
V2n+4,2V2n+5,2 V2n+6,2
V3n,2
V3n+1,2 V3n+2,2
V3n+3,2V3n+4,2 V3n+5,2
V4n - 1,2 V V V V V V V V V V V V V V v
e1,2 e2,2 e3,2 e4,2 e5,2
e6,2
e2n-6,2 e2n-1,2
e2n,2
e2n+1, 2 e
2n+2 ,2
e2n +3 ,2
e2n+ 4 ,2
e2n+5,2
e3n - 1
,2
e3n,2 e3n+1,2
e3n+ 2 ,2e3n+
3 ,2
e
3n+4, 2
e4n - 2,2
e e e e e e e e e e e e e e e e2n-5,2
e2n-4,2 e2n-3,2 e2n-2,2 V2n-4,2V2n-3,2V2n-2,2
V2n-1,2
Gambar 4 : Penotasian titik dan sisi graf � , ∪
�2 ( 1, 2,⋯, 2 )
Berdasarkan Gambar 4 di atas, dapat
dinotasikan graf � , ∪ �2 ( 1, 2,⋯, 2 )
dengan himpunan titik dan sisinya sebagai berikut
� , ∪ �2 1, 2,⋯, 2
= , = 1, 1 2
, = 2, 1 2−
� �, ∪ �2 1, 2,⋯, 2
= , = 1, 1
2
, = 2, 1 2− −1
,1=
,1 +1,1 , 1
− −1 ,1 + ,1 , 2 , + 1 2
,2=
,2 +1,2 , 1 2 −1 3,2 +1,2, = 2
2 +3,2 +1,2 , 1 −4,2 + 1 2−3 + 4
2 −3,2 +1,2 , 2−3 + 5 2−2 + 2 2−2,2 i+1,2, = 2−2 + 3,2 2−1,2 +1,2, 2−2 + 4 2− −1
………..(3)
Pelabelan TSAS untuk graf � , ∪
�2 ( 1, 2,⋯, 2 ) untuk 5 disajikan dalam
teorema berikut.
Teorema 3.3.
Jika dengan = 1,2,… ,2 adalah bilangan
asli dengan 1= 2= 0; 2 = 2 = 0; 3=
2 −2= 1; 2 −1= −4; 2 −3= −2;
2 +3= −1 dimana = 2,3,… , −2 dan
= 1,2,… , −4 untuk 5, maka graf
� , ∪ �2 1, 2,⋯, 2 adalah TSAS dengan
= 3 2+ + 1.
Bukti :
Pandang notasi titik dan sisi graf � , ∪
�2 1, 2,⋯, 2 dalam Persamaan (3) dan
Gambar 4 Berikan label pada titik dan sisinya dengan cara :
� ,1 =
, 1 + 1
− + 1, + 2 2
� ,2
=
2 2+ + 3
2 , 1 2 −3; ganjil 2 +
2 + 1, 1 2 −2 ; genap 2− + 2, = 2 −1 2− + 4, = 2 2−2 + 2, = 2 + 1 2− 2 + 3 + + −1, 1 −4, 12 + 2 2−3 + 5 + −3, 2−3 + 6 2−2 + 3 2− + 3, = 2−2 + 4 + , 2−2 + 5 2−
� ,1 = 3 2− , 1 2
� ,2
=
2 2−2− , 1 2 −3
2 2−1, = 2 −2
2+ 3 −5, = 2 −1
2+ 3 −4, = 2
2+ 2 + 4 − −2 −2, 1 −4, 2 + 1 2−3 + 4
2 2− − + 3, 2−3 + 5 2−2 + 2
22−2, = 2−2 + 3
2 2+ − −2, 2−2 + 4 2− −1
Dengan label tersebut diperoleh konstanta ajaib sebagai berikut :
(8)
1.Untuk graf pertama
= �
,1 +� ,1 +� +1,1, 1
� − −1 ,1 +� ,1 +� + ,1, 2 , + 1 2
=
+ 3 2− + + 1 = 3 2+ + 1
− −1 + 3 2− + + 1 = 3 2+ + 1
2.Untuk graf kedua
=
� ,2 +� ,2 +� 1+ ,2, 1 2 −1
� 3,2 +� ,2 +� +1,2, = 2
� 2 +3,2 +� ,2 +� +1,2, 1 −4, 2 + 1 2−3 + 4
� 2 −3 +� ,2 +� +1,2, 2−3 + 5 2−2 + 2
� 2 −2 +� ,2 +� +1,2, = 2−2 + 3,2
� 2−1 +� ,2 +� +1,2, 2−2 + 4 2− −1
=
2 2+ + 3
2 + 2
2−2− +2 + + 1
2 + 1 = 3
2+ + 1
2 +
2 + 1 + 2
2−2− +2
2+ + 2
2 + 1 = 3
2+ + 1
2 + 22−1 + 2− + 2 = 32+ + 1 2− + 2 + 2+ 3 −5 + 2− + 4 = 32+ + 1 2+ 3 + 2+ 3 −4 + 2−2 + 2 = 32+ + 1
2+ + 3 + 2+ 2 + 4 − −2−2 + 2− 2 + 3 + + = 3 2+ + 1
2+ + 2 2− − + 3 + + −2 = 3 2+ + 1
2 + 22−2 + 2− + 3 = 32+ + 1 2− + 2 + 2 2+ − −2 + + + 1 = 32+ + 1
Menggunakan Teorema 2.1. Teorema 2.2. dan Teorema 2.3. diperoleh akibat-akibat berikut :
Akibat 3.3.1.
Jika dengan = 1,2,… ,2 adalah bilangan
asli dengan 1= 2= 0; 2 = 2 = 0; 3=
2 −2= 1; 2 −1= −4; 2 −3= −2;
2 +3= −1 dimana = 2,3,… , −2 dan
= 1,2,… , −4 5, maka graf � , ∪
�2 1, 2,⋯, 2 adalah TSA dengan =
6 2− −1.
Akibat 3.3.2.
Jika dengan = 1,2,… ,2 adalah bilangan
asli dengan 1= 2= 0; 2 = 2 = 0;
3= 2 −2= 1; 2 −1= −4; 2 −3= −2;
2 +3= −1 dimana = 2,3,… , −2 dan
= 1,2,… , −4 5, maka graf � , ∪
�2 1, 2,⋯, 2 adalah TSAS dengan =
3 2+ 2 + 1.
Akibat 3.3.3.
Jika dengan = 1,2,… ,2 adalah bilangan
asli dengan 1= 2= 0; 2 = 2 = 0; 3=
2 −2= 1; 2 −1= −4; 2 −3= −2;
2 +3= −1 dimana = 2,3,… , −2 dan
= 1,2,… , −4 5, maka graf � , ∪
�2 1, 2,⋯, 2 mempunyai pelabelan
( 2+ 3 + 1,2) - TSAAS.
Hasil lain yang dapat diperoleh pada
penelitian ini adalah graf
�3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) untuk
6, �3, ∪ �2, −2 untuk 3 dan � , ∪
�2 1, 2,⋯, 2 untuk 5 masing-masing
mempunyai pelabelan ( , )-TSAAS untuk
= 2 dan = 5 + 3, 2 + 9 dan 2+ 2 + 3
yang tersaji dalam teorema-teorema berikut :
Teorema 4.1.
Graf �3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0
2
)
mempunyai pelabelan (5 + 3 ,2)– TSAAS untuk
6.
Bukti :
Berdasarkan notasi titik dan sisi graf �3, ∪
�2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) dalam Persamaan 1
dan Gambar 2 di dapatkan label titik yang sama untuk Teorema 3.1 sehingga diperoleh label sisi sebagai berikut :
� ,1 = 4 + , 1 3
� ,2 =
9 + 1, = 1 7 + + 1, 2 2 −2 7 + 2, = 2 −1 9 , = 2
9 −2 + + 1, 2 + 1 3 −5
7 + 1, = 3 −4
Dengan label tersebut diperoleh himpunan bobot
(9)
1 = 5 + 2 + 11 3
= {5 + 3,5 + 5,…,11 + 1}.
2 = 11 + 3 = 3 −4 ∪ 11 + 5 = 2 −
1∪11 +2 +3 −2∪15 +1 =2 ∪15 +
3 =1∪11 +2 +3 2 + −5
= 11 + 3, 11 + 5, 11 + 7, 11 +
9, … , −1, 15 +1, 15 +3, 15 +5, 15 +7,
… , 7 −7.
= 1∪ 2= 5 + 3, 5 + 5, 5 + 7,…, 17 −
7.
Dengan demikian, graf
�3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) mempunyai
pelabelan ( , )-TSAAS dengan = 5 + 3 dan
= 2 untuk 6.
Teorema 4.2.
Graf �3, ∪ �2, −2 mempunyai pelabelan
(2 + 9 ,2) - TSAAS Untuk 3.
Bukti :
Berdasarkan notasi titik dan sisi graf �3, ∪
�2, −2 dalam Persamaan 2 dan Gambar 3 di
dapatkan label titik yang sama untuk Teorema 3.2 sehingga diperoleh label sisi sebagai berikut :
� ,1 =
2 + 3 + , 1
2 + 4 + , + 1 3
� ,2 =
3 + 4, = 1 5 + 5, = 2
5 + 3 + , 3 −1
Dengan label tersebut diperoleh himpunan
bobot sisi sebagai berikut :
1 = 2 + 2 + 71 ∪ 2 + 2 + 9 +
1 3
= 2 + 9, 2 + 11,…, 4 + 7, 4 + 11, 4 + 13,…, 8 + 9 .
2 = 4 + 9 = 1 ∪ 8 + 11 = 2 ∪
8 + 2 + 73 −1
= 4 + 9, 8 + 11, 8 + 13, 8 + 15,…, 10 +
5.
= 1∪ 2= 2 + 9, 2 + 11, 2 +
…, +5.
Dengan demikian, graf �3, ∪ �2, −2
mempunyai pelabelan total ( , )- TSAAS
dengan = 2 + 9 dan = 2.
Teorema 4.3.
Jika dengan = 1,2,… ,2 adalah bilangan
asli dengan 1= 2= 0; 2 = 2 = 0; 3=
2 −2= 1; 2 −1= −4; 2 −3= −2;
2 +3= −1 dimana = 2,3,… , −2 dan
= 1,2,… , −4 5, maka graf � , ∪
�2 1, 2,⋯, 2 mempunyai pelabelan
( 2+ 2 + 3,2) - TSAAS.
Bukti :
Berdasarkan notasi titik dan sisi graf � , ∪
�2 ( 1, 2,⋯, 2 ) dalam Persamaan 3 dan
Gambar 4 di dapatkan label titik yang sama untuk Teorema 3.3 sehingga diperoleh label sisi sebagai berikut :
(10)
� ,2 =
2 2+ + 2 + , 1 2 −3
2 2+ + 1, = 2 −2
3 2−2 + 5, = 2 −1
3 2−2 + 4, = 2
3 2− 2 + 3 + 2 + 2 + , 1 −4, 2 + 1 2−3 + 4
2 2+ 2 −3 + , = 2, 2−3 + 5 2−2 + 2
2 2+ + 2, = 2, = 2−2 + 3
2 2+ 2 + , = 2, 2−2 + 4 2− −1
Dengan label tersebut diperoleh himpunan
bobot sisi sebagai berikut :
1 = 2+ 2 + 2 + 11 2
= 2+ 2 + 3, 2+ 2 + 5,…, 3 2+ 2 + 1}.
2 = 3 2+ 2 + 3 = 2 −3 ∪{3 2+ 2 +
5 = 2−2 +3} ∪
{3 2+ 2 + 2 + 51 2 −3}∪
{5 2+ 4 −4 −6 + 2 + 5 1 −
4, 2 + 1 2−3 + 4}∪ {5 2−4 +
9 =2 }∪ 5 2−4 +11 =2 −1}∪ 3 2+2 +5
2−2 + 2− −1}∪ 3 2+4 +2−5 2
−3 + 2−2 +2}
= 3 2+ 2 + 3, 3 2+ 2 + 5, 3 2+ 2 +
7,…, 3 2+6 −1, 3 2+6 + , …, 5 2−4 +7,
5 2−4 +9, 5 2−4 +11, 5 2−4 + , …,
5 2−2 +3, 5 2−2 + , …, 5 2−1}.
= 1∪ 2= 2+ 2 + 3, 2+ 2 + 5, 2+
2 +7, …, 5 2−1.
Dengan demikian, graf
� , ∪ �2 1, 2,⋯, 2 mempunyai pelabelan
( , ) - TSAAS dengan = 2+ 2 + 3 dan
= 2.
DAFTAR PUSTAKA
Gallian, J. A., 2012, A Dynamic Survey of Graph
Labelling, Electronic Journal of
Combinatorics, Vol. 18,
(http://www.emis.ams.org/journals/EJC/Surv ey/ds6.pdf), diakses 14 November 2012. I W. Sudarsana, E. T. Baskoro, D. Izmaimusa and
H. Assiyatun, On super ( , )-edge
antimagic total labeling of disconnected graphs, J. Combin. Math. Combin.Comput., 55 (2005), 149-158.
Sudarsana, I W., Baskoro, E. T.,Ismaimuza, D., and Uttunggadewa, S., 2009, An Expansion Technique on Super Edge-Magic Total Graphs, ARS Combinatoria, Vol. 91 : 231-241.
Wallis, W. D., Baskoro, E. T., Miller, M., and Slamin, 2000, Edge-Magic Total Labelings, Australasian J. Combin.,Vol. 22 : 177-190.
(1)
=
� ,1 +� ,1 +� +1,1 , 1
� − ,1 +� ,1 +� +2,1 , + 1 2
� −2 ,1 +� ,1 +� +3,1 , 2 + 1 3
=
+ 10 − −3 + + 1 = 11 −2
− + 10 − −3 + 2 + 1 = 11 −2
−2 + 10 − −3 + 3 + 1 = 11 −2
2.Untuk graf kedua
=
� ,2 +� ,2 +� 1+ ,2 , 1 2 −1
� 2,2 +� ,2 +� +1,2 , = 2
� 2 −4,2 +� ,2 +� +1,2 , 2 + 1 3 −5
� 2−1 +� ,2 +� +1,2 , = 3 −4
=
3 + 5 −4 + 3 + 2 = 11 −2 6 +
2 + 1 + 7 − −4 + 2 +
2 + 1 = 11 −2 2 + −1
2 + 1 + 7 − −4 +
6 + + 1
2 + 1 = 11 −2 2 + 7 −5 + 2 + 3 = 11 −2 3 + 2 + 5 −3 + 3 −1 = 11 −2 4 −1 + 7 − −4 + + 3 = 11 −2 2 + 7 −4 + 2 + 2 = 11 −2
Dengan demikian, graf
�3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) adalah
TSAS dengan = 11 −2 untuk 6.
Menggunakan Teorema 2.1., Teorema 2.2 dan Teorema 2.3., diperoleh akibat-akibat berikut :
Akibat 3.1.1.
Graf �3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0
2
) adalah TSA dengan = 19 −7, untuk 6.
Akibat 3.1.2.
Graf �3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0
2
) adalah TSAS dengan = 11 + 1, untuk 6.
Akibat 3.1.3
Untuk 6, Graf
�3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) mempunyai pelabelan (5 + 12 ,2)– TSAAS
3.2.Graf � ,�∪ � ,�−
Pada bagian ini, akan dibahas pelabelan TSAS pada graf �3, ∪ �2, −2 untuk 3. Notasi titik dan sisi pada graf �3, ∪ �2, −2 untuk 3 disajikan pada Gambar 3 berikut.
V1,1 V2,1 V3,1 V4,1 V5,1 V6,1 V7,1 Vn,1
Vn+1,1 Vn+2,1 Vn+3,1
e1,1 e2,1 e3,1 e4,1 e5,1 e6,1 e7,1 en,1
en+1,1 en+2,1 en+3,1 en+4,1 en+5,1 en+6,1 en+7,1 e2n,1
e2n+1,1 e2n+2,1e2n+3,1e2n+4,1e2n+5,1e2n+6,1e2n+7,1e3n,1
V1,2 V2,2 V3,2
V7,2
V6,2
V5,2
V4,2
Vn,2
e1,2 e2,2
e3,2 e4,2
e5,2 e6,2
en-1,2
Gambar 3 : Penotasian titik dan sisi graf �3, ∪ �2, −2 Berdasarkan Gambar 3 di atas, dapat dinotasikan himpunan titik dan sisi graf
�3, ∪ �2, −2 sebagai berikut. �3, ∪ �2, −2 =
, = 1, 1 + 3
, = 2, 1
� �3, ∪ �2, −2 =
, = 1, 1 3
, = 2, 1 −1
,1=
,1 +1,1 , 1
− ,1 +2,1 , + 1 2
−2 ,1 +3,1 , 2 + 1 3
,2=
,2 +1,2 , 1 2
3,2 +1,2, 3 −1
….(2) Pelabelan TSAS untuk graf �3, ∪ �2, −2 dengan 3 disajikan dalam teorema berikut.
(2)
Teorema 3.2.
Graf �3, ∪ �2, −2 adalah TSAS dengan = 6 + 7, untuk 3.Graf ini mempunyai pelabelan selfdual
Bukti :
Pandang notasi titik dan sisi graf �3, ∪
�2, −2 dalam Persamaan (2) dan Gambar 3 Berikan label pada titik dan sisinya dengan cara :
� ,1 =
+ 2,1
2, = + 1
+ 3, = + 2
2 + 3, = + 3
� ,2 =
1, = 1 + 4, = 2 2 + 2, = 3
+ 1 + , 4
� ,1 =
6 + 3− , 1
6 + 2− , + 1 3
� ,2 =
5 + 2, = 1 3 + 1, = 2
3 + 3− , 3 −1
Dengan label tersebut diperoleh konstanta ajaib sebagai berikut :
1.Untuk graf pertama
=
� ,1 +� ,1 +� +1,1 , 1
� −,1 +� ,1 +� +2,1 , + 1 2 , 1
� −2 ,1 +� ,1 +� +3,1 , 2 + 1 3 , 1
=
+ 2 + 6 + 3− + 2 = 6 + 7
− + 2 + 6 + 2− + + 3 = 6 + 7
−2 + 2 + 6 + 2− + 2 + 3 = 6 + 7
2.Untuk graf kedua
=
� ,2 +� ,2 +� 1+ ,2 , 1 2
� 3,2 +� ,2 +� +1,2 , 3 −1
=
1 + 5 + 2 + + 4 = 6 + 7
+ 4 + 3 + 1 + 2 + 2 = 6 + 7
2 + 2 + 3 + 3− + + 2 + = 6 + 7
Dengan demikian, graf �3, ∪ �2, −2 adalah TSAS dengan = 6 + 7 untuk 3.
Selanjutnya dengan menggunakan Teorema 2.2, dan mengambil label titik dan sisi yang baru berupa :
�′
,1 = 2 + 3 + 1− � ,1
�′
,2 = 2 + 3 + 1− � ,2
�′
,1 = 2 2 + 3 + 4 −1 + 1− � ,1
�′
,2 = 2 2 + 3 + 4 −1 + 1− � ,2
Dengan pelabelan tersebut diperoleh :
′= 4(2 + 3) + 4 −1 + 3−(6 + 7)
= 8 + 12 + 4 −1 + 3−(6 + 7)
= 8 + 12 + 4 −1 + 3−6 −7
= 6 + 7.
Dengan demikian, graf �3, ∪ �2, −2 mempunyai pelabelan self dual dengan = 6 + 7, untuk 3.
Menggunakan Teorema 2.1 dan Teorema 2.3. diperoleh akibat-akibat berikut :
Akibat 3.2.1. Graf �3, ∪ �2, −2 adalah TSA
dengan = 12 + 2,untuk 3.
Akibat 3.2.3. Untuk 3, Graf �3, ∪ �2, −2
mempunyai pelabelan (2 + 19 ,2) - TSAAS .
3.3.Graf ��,�∪ � �(� ,� ,⋯,� �)
Pada bagian ini, akan dibahas pelabelan TSAS pada graf � , ∪ �2 ( 1, 2,⋯, 2 ) untuk
5. Notasi titik dan sisi pada graf � , ∪
�2 ( 1, 2,⋯, 2 ) untuk 5 disajikan pada Gambar 4 berikut.
(3)
V6,1 V5,1 V4,1 V3,1 V2,1 V1,1 en+2,1 en+1,1
e1,1 e2,1 e3,1 e4,1 e5,1 e6,1
Vn,1
V2n
Vn+1,1 Vn+2,1 Vn+3,1 Vn+4,1 Vn+5,1 Vn+6,1
en,1
en+3,1 en+4,1 en+5,1 en+6,1 e2n,1
e2n+1,1 e2n+2,1 e2n+3,1 e2n+4,1 e2n+5,1 e2n+6,1 e3n,1
e3n+1,1 e3n+2,1 e3n+3,1 e3n+4,1 e3n+5,1 e3n+6,1 e4n,1
e4n+1,1e4n+2,1 e4n+3,1e4n+4,1e4n+5,1e4n+6,1 e5n,1 e5n+1,1e5n+2,1e5n+3,1e5n+4,1e5n+5,1e5n+6,1e6n,1
e6n+1,1e6n+2,1e6n+3,1e6n+4,1e6n+5,1e6n+6,1 e
V1,2 V2,2 V3,2 V4,2 V5,2 V6,2 V7,2 V2n-5,2
V2n,2 V2n+1,2
V2n+2,2 V2n+3,2
V2n+4,2V2n+5,2 V2n+6,2
V3n,2
V3n+1,2
V3n+2,2 V3n+3,2V3n+4,2
V3n+5,2 V4n - 1,2 V V V V V V V V V V V V V V v
e1,2 e2,2 e3,2 e4,2 e5,2 e6,2
e2n-6,2 e2n-1,2 e2n,2
e2n+1, 2 e
2n+2 ,2
e2n +3 ,2
e2n+ 4 ,2
e2n+5,2
e3n - 1
,2
e3n,2
e3n+1,2 e3n+ 2 ,2e3n+
3 ,2
e
3n+4, 2
e4n
- 2,2
e e e e e e e e e e e e e e e e2n-5,2
e2n-4,2 e2n-3,2 e2n-2,2 V2n-4,2V2n-3,2V2n-2,2
V2n-1,2
Gambar 4 : Penotasian titik dan sisi graf � , ∪ �2 ( 1, 2,⋯, 2 )
Berdasarkan Gambar 4 di atas, dapat dinotasikan graf � , ∪ �2 ( 1, 2,⋯, 2 ) dengan himpunan titik dan sisinya sebagai berikut
� , ∪ �2 1, 2,⋯, 2
= , = 1, 1 2
, = 2, 1 2−
� �, ∪ �2 1, 2,⋯, 2
= , = 1, 1
2
, = 2, 1 2− −1
,1=
,1 +1,1 , 1
− −1 ,1 + ,1 , 2 , + 1 2
,2=
,2 +1,2 , 1 2 −1 3,2 +1,2, = 2 2 +3,2 +1,2 , 1 −4,2 + 1 2−3 + 4 2 −3,2 +1,2 , 2−3 + 5 2−2 + 2 2−2,2 i+1,2, = 2−2 + 3,2 2−1,2 +1,2, 2−2 + 4 2− −1
………..(3)
Pelabelan TSAS untuk graf � , ∪
�2 ( 1, 2,⋯, 2 ) untuk 5 disajikan dalam teorema berikut.
Teorema 3.3.
Jika dengan = 1,2,… ,2 adalah bilangan asli dengan 1= 2= 0; 2 = 2 = 0; 3=
2 −2= 1; 2 −1= −4; 2 −3= −2;
2 +3= −1 dimana = 2,3,… , −2 dan = 1,2,… , −4 untuk 5, maka graf
� , ∪ �2 1, 2,⋯, 2 adalah TSAS dengan = 3 2+ + 1.
Bukti :
Pandang notasi titik dan sisi graf � , ∪
�2 1, 2,⋯, 2 dalam Persamaan (3) dan Gambar 4 Berikan label pada titik dan sisinya dengan cara :
� ,1 =
, 1 + 1
− + 1, + 2 2
� ,2
=
2 2+ + 3
2 , 1 2 −3; ganjil 2 +
2 + 1, 1 2 −2 ; genap 2− + 2, = 2 −1 2− + 4, = 2 2−2 + 2, = 2 + 1 2− 2 + 3 + + −1, 1 −4, 12 + 2 2−3 + 5 + −3, 2−3 + 6 2−2 + 3 2− + 3, = 2−2 + 4 + , 2−2 + 5 2− � ,1 = 3 2− , 1 2
� ,2
=
2 2−2− , 1 2 −3
2 2−1, = 2 −2 2+ 3 −5, = 2 −1 2+ 3 −4, = 2 2+ 2 + 4 − −2 −2, 1 −4, 2 + 1 2−3 + 4
2 2− − + 3, 2−3 + 5 2−2 + 2
22−2, = 2−2 + 3
2 2+ − −2, 2−2 + 4 2− −1
Dengan label tersebut diperoleh konstanta ajaib sebagai berikut :
(4)
1.Untuk graf pertama
= �
,1 +� ,1 +� +1,1, 1
� − −1 ,1 +� ,1 +� + ,1, 2 , + 1 2
=
+ 3 2− + + 1 = 3 2+ + 1
− −1 + 3 2− + + 1 = 3 2+ + 1
2.Untuk graf kedua
=
� ,2 +� ,2 +� 1+ ,2, 1 2 −1
� 3,2 +� ,2 +� +1,2, = 2
� 2 +3,2 +� ,2 +� +1,2, 1 −4, 2 + 1 2−3 + 4
� 2 −3 +� ,2 +� +1,2, 2−3 + 5 2−2 + 2
� 2 −2 +� ,2 +� +1,2, = 2−2 + 3,2
� 2−1 +� ,2 +� +1,2, 2−2 + 4 2− −1
=
2 2+ + 3
2 + 2
2−2− +2 + + 1
2 + 1 = 3
2+ + 1
2 + 2 + 1 + 2
2−2− +2
2+ + 2
2 + 1 = 3
2+ + 1
2 + 22−1 + 2− + 2 = 32+ + 1 2− + 2 + 2+ 3 −5 + 2− + 4 = 32+ + 1 2+ 3 + 2+ 3 −4 + 2−2 + 2 = 32+ + 1 2+ + 3 + 2+ 2 + 4 − −2−2 + 2− 2 + 3 + + = 3 2+ + 1 2+ + 2 2− − + 3 + + −2 = 3 2+ + 1
2 + 22−2 + 2− + 3 = 32+ + 1 2− + 2 + 2 2+ − −2 + + + 1 = 32+ + 1
Menggunakan Teorema 2.1. Teorema 2.2. dan Teorema 2.3. diperoleh akibat-akibat berikut :
Akibat 3.3.1.
Jika dengan = 1,2,… ,2 adalah bilangan asli dengan 1= 2= 0; 2 = 2 = 0; 3=
2 −2= 1; 2 −1= −4; 2 −3= −2;
2 +3= −1 dimana = 2,3,… , −2 dan = 1,2,… , −4 5, maka graf � , ∪
�2 1, 2,⋯, 2 adalah TSA dengan = 6 2− −1.
Akibat 3.3.2.
Jika dengan = 1,2,… ,2 adalah bilangan asli dengan 1= 2= 0; 2 = 2 = 0;
3= 2 −2= 1; 2 −1= −4; 2 −3= −2; 2 +3= −1 dimana = 2,3,… , −2 dan = 1,2,… , −4 5, maka graf � , ∪
�2 1, 2,⋯, 2 adalah TSAS dengan = 3 2+ 2 + 1.
Akibat 3.3.3.
Jika dengan = 1,2,… ,2 adalah bilangan asli dengan 1= 2= 0; 2 = 2 = 0; 3=
2 −2= 1; 2 −1= −4; 2 −3= −2;
2 +3= −1 dimana = 2,3,… , −2 dan = 1,2,… , −4 5, maka graf � , ∪
�2 1, 2,⋯, 2 mempunyai pelabelan ( 2+ 3 + 1,2) - TSAAS.
Hasil lain yang dapat diperoleh pada
penelitian ini adalah graf
�3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) untuk
6, �3, ∪ �2, −2 untuk 3 dan � , ∪
�2 1, 2,⋯, 2 untuk 5 masing-masing mempunyai pelabelan ( , )-TSAAS untuk = 2 dan = 5 + 3, 2 + 9 dan 2+ 2 + 3 yang tersaji dalam teorema-teorema berikut :
Teorema 4.1.
Graf �3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) mempunyai pelabelan (5 + 3 ,2)– TSAAS untuk
6.
Bukti :
Berdasarkan notasi titik dan sisi graf �3, ∪
�2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) dalam Persamaan 1 dan Gambar 2 di dapatkan label titik yang sama untuk Teorema 3.1 sehingga diperoleh label sisi sebagai berikut :
� ,1 = 4 + , 1 3
� ,2 =
9 + 1, = 1
7 + + 1, 2 2 −2
7 + 2, = 2 −1
9 , = 2
9 −2 + + 1, 2 + 1 3 −5
7 + 1, = 3 −4
Dengan label tersebut diperoleh himpunan bobot sisi sebagai berikut :
(5)
1 = 5 + 2 + 11 3
= {5 + 3,5 + 5,…,11 + 1}.
2 = 11 + 3 = 3 −4 ∪ 11 + 5 = 2 −
1∪11 +2 +3 −2∪15 +1 =2 ∪15 +
3 =1∪11 +2 +3 2 + −5
= 11 + 3, 11 + 5, 11 + 7, 11 +
9, … , −1, 15 +1, 15 +3, 15 +5, 15 +7,
… , 7 −7.
= 1∪ 2= 5 + 3, 5 + 5, 5 + 7,…, 17 −
7.
Dengan demikian, graf
�3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) mempunyai
pelabelan ( , )-TSAAS dengan = 5 + 3 dan = 2 untuk 6.
Teorema 4.2.
Graf �3, ∪ �2, −2 mempunyai pelabelan (2 + 9 ,2) - TSAAS Untuk 3.
Bukti :
Berdasarkan notasi titik dan sisi graf �3, ∪
�2, −2 dalam Persamaan 2 dan Gambar 3 di dapatkan label titik yang sama untuk Teorema 3.2 sehingga diperoleh label sisi sebagai berikut :
� ,1 =
2 + 3 + , 1
2 + 4 + , + 1 3
� ,2 =
3 + 4, = 1 5 + 5, = 2
5 + 3 + , 3 −1
Dengan label tersebut diperoleh himpunan bobot sisi sebagai berikut :
1 = 2 + 2 + 71 ∪ 2 + 2 + 9 +
1 3
= 2 + 9, 2 + 11,…, 4 + 7, 4 + 11, 4 +
13,…, 8 + 9 .
2 = 4 + 9 = 1 ∪ 8 + 11 = 2 ∪
8 + 2 + 73 −1
= 4 + 9, 8 + 11, 8 + 13, 8 + 15,…, 10 +
5.
= 1∪ 2= 2 + 9, 2 + 11, 2 +
…, +5.
Dengan demikian, graf �3, ∪ �2, −2 mempunyai pelabelan total ( , )- TSAAS dengan = 2 + 9 dan = 2.
Teorema 4.3.
Jika dengan = 1,2,… ,2 adalah bilangan asli dengan 1= 2= 0; 2 = 2 = 0; 3=
2 −2= 1; 2 −1= −4; 2 −3= −2;
2 +3= −1 dimana = 2,3,… , −2 dan = 1,2,… , −4 5, maka graf � , ∪
�2 1, 2,⋯, 2 mempunyai pelabelan ( 2+ 2 + 3,2) - TSAAS.
Bukti :
Berdasarkan notasi titik dan sisi graf � , ∪
�2 ( 1, 2,⋯, 2 ) dalam Persamaan 3 dan Gambar 4 di dapatkan label titik yang sama untuk Teorema 3.3 sehingga diperoleh label sisi sebagai berikut :
(6)
� ,2 =
2 2+ + 2 + , 1 2 −3
2 2+ + 1, = 2 −2
3 2−2 + 5, = 2 −1
3 2−2 + 4, = 2
3 2− 2 + 3 + 2 + 2 + , 1 −4, 2 + 1 2−3 + 4
2 2+ 2 −3 + , = 2, 2−3 + 5 2−2 + 2
2 2+ + 2, = 2, = 2−2 + 3
2 2+ 2 + , = 2, 2−2 + 4 2− −1
Dengan label tersebut diperoleh himpunan bobot sisi sebagai berikut :
1 = 2+ 2 + 2 + 11 2
= 2+ 2 + 3, 2+ 2 + 5,…, 3 2+ 2 + 1}.
2 = 3 2+ 2 + 3 = 2 −3 ∪{3 2+ 2 +
5 = 2−2 +3} ∪
{3 2+ 2 + 2 + 51 2 −3}∪
{5 2+ 4 −4 −6 + 2 + 5 1 −
4, 2 + 1 2−3 + 4}∪ {5 2−4 +
9 =2 }∪ 5 2−4 +11 =2 −1}∪ 3 2+2 +5
2−2 + 2− −1}∪ 3 2+4 +2−5 2
−3 + 2−2 +2}
= 3 2+ 2 + 3, 3 2+ 2 + 5, 3 2+ 2 +
7,…, 3 2+6 −1, 3 2+6 + , …, 5 2−4 +7,
5 2−4 +9, 5 2−4 +11, 5 2−4 + , …,
5 2−2 +3, 5 2−2 + , …, 5 2−1}.
= 1∪ 2= 2+ 2 + 3, 2+ 2 + 5, 2+
2 +7, …, 5 2−1.
Dengan demikian, graf
� , ∪ �2 1, 2,⋯, 2 mempunyai pelabelan ( , ) - TSAAS dengan = 2+ 2 + 3 dan
= 2.
DAFTAR PUSTAKA
Gallian, J. A., 2012, A Dynamic Survey of Graph Labelling, Electronic Journal of
Combinatorics, Vol. 18,
(http://www.emis.ams.org/journals/EJC/Surv ey/ds6.pdf), diakses 14 November 2012. I W. Sudarsana, E. T. Baskoro, D. Izmaimusa and
H. Assiyatun, On super ( , )-edge antimagic total labeling of disconnected graphs, J. Combin. Math. Combin.Comput., 55 (2005), 149-158.
Sudarsana, I W., Baskoro, E. T.,Ismaimuza, D., and Uttunggadewa, S., 2009, An Expansion Technique on Super Edge-Magic Total Graphs, ARS Combinatoria, Vol. 91 : 231-241.
Wallis, W. D., Baskoro, E. T., Miller, M., and Slamin, 2000, Edge-Magic Total Labelings, Australasian J. Combin.,Vol. 22 : 177-190.