Pelabelan Total Sisi-Ajaib pada Graf Petersen
PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB PADA GRAF PETERSEN
IKHWAN AL AMIN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pelabelan Total SisiAjaib pada Graf Petersen adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, September 2014
Ikhwan Al Amin
NIM G54100052
ABSTRAK
IKHWAN AL AMIN. Pelabelan Total Sisi-Ajaib pada Graf Petersen. Dibimbing
oleh MUHAMMAD ILYAS dan TEDUH WULANDARI MAS’OED.
Suatu pelabelan total pada graf G dengan banyaknya simpul v dan
banyaknya sisi e adalah pemetaan satu-satu dari himpunan (�) ∪ �(�) ke
himpunan bilangan bulat positif {1, 2, ... , v + e}. Penjumlahan label sisi dan label
dua simpul yang menempel pada sisi tersebut disebut sebagai bobot sisi. Jika graf
G memiliki bobot sisi yang sama, maka pelabelan ini disebut pelabelan total sisiajaib. Karya ilmiah ini membuktikan dua buah teorema pelabelan total sisi-ajaib
pada graf umum Petersen.
Kata kunci: graf Petersen, pelabelan total, pelabelan total sisi-ajaib.
ABSTRACT
IKHWAN AL AMIN. Edge-Magic Total Labeling on Petersen Graph. Supervised
by MUHAMMAD ILYAS and TEDUH WULANDARI MAS’OED.
A total labeling on a graph G with v vertices and e edges is a one-to-one
function from (�) ∪ �(�) onto the set of positive integers {1, 2, ... , v + e}. The
sum of the label on an edge and the labels of its endpoints is called edge-weights.
If graph G has constant edge-weights, then the labeling is called edge-magic total
labeling. In this manuscript, two theorems of edge-magic total labeling on
generalized Petersen graphs are discussed.
Keywords: edge-magic total labeling, Petersen graph, total labeling.
PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB PADA GRAF PETERSEN
IKHWAN AL AMIN
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Pelabelan Total Sisi-Ajaib pada Graf Petersen
Nama
: Ikhwan Al Amin
NIM
: G54100052
Disetujui oleh
Muhammad Ilyas, MSi MSc
Pembimbing I
Teduh Wulandari Mas’oed, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa
ta’ala atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penelitian ini dapat diselesaikan.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Muhammad Ilyas dan Ibu
Teduh Wulandari Mas’oed atas segala bimbingannya hingga akhir penulisan
karya ilmiah ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada saudara Rahmat
Chairulloh yang selalu memberikan semangat pada penulis juga atas masukan dan
kritikannya pada karya ilmiah ini hingga akhirnya dapat selesai dengan cepat dan
baik. Selain itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang
telah membantu memudahkan penulisan karya ilmiah ini, khususnya seluruh
teman di Departemen Matematika Angkatan 47. Topik yang dipilih dalam
penelitian ini adalah pelabelan graf dan karya ilmiah ini berjudul Pelabelan Total
Sisi-Ajaib pada Graf Petersen.
Kendala yang dihadapi dalam membuat karya ilmiah ini adalah perlunya
memahami lebih dahulu materi graf Petersen dan pelabelan graf ajaib secara
umum sehingga mendapat gambaran tentang topik yang diambil. Juga dibutuhkan
banyak percobaan dan ketelitian agar tidak salah dalam melabelkan graf yang
sudah dibuat. Namun dengan kerja keras, akhirnya karya ilmiah ini dapat
diselesaikan sebagaimana yang ada di hadapan Anda.
Tak ada gading yang tak retak, begitu pula dengan karya ilmiah ini.
Karena itu, kritik dan saran Anda akan sangat bermanfaat bagi penulis. Semoga
karya ilmiah ini menambah kekayaan khasanah ilmu pengetahuan khususnya
dalam bidang matematika dan dapat menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian
selanjutnya.
Bogor, September 2014
Ikhwan Al Amin
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vii
DAFTAR LAMPIRAN
vii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
1
LANDASAN TEORI
2
Teori Graf
2
Pelabelan Graf
5
PEMBAHASAN
7
Teorema 1
7
Teorema 2
14
SIMPULAN DAN SARAN
21
Simpulan
21
Saran
21
DAFTAR PUSTAKA
22
RIWAYAT HIDUP
33
DAFTAR GAMBAR
Graf G = (V, E)
Cycle dengan 3 simpul
Graf teratur berderajat 3
Graf Petersen P(3, 1)
Pelabelan pada graf Petersen P(3, 1)
Pelabelan total sisi-ajaib pada graf petersen P(3, 1)
Graf Petersen P(5, 1)
Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(5, 1) dengan konstanta ajaib
k = 29
9 Pelabelan dual pada graf Petersen P(5, 1) dengan konstanta ajaib
k’ = 49
10 Graf Petersen P(7, 1)
11 Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(7, 1) dengan konstanta ajaib
k = 40
12 Pelabelan dual pada graf Petersen P(7, 1) dengan konstanta ajaib
k’ = 68
13 Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(5, 1) dengan konstanta ajaib
k = 39
14 Pelabelan dual pada graf Petersen P(5, 1) dengan konstanta ajaib
k’ = 39
15 Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(7, 1) dengan konstanta ajaib
k = 54
16 Pelabelan dual pada graf Petersen P(7, 1) dengan konstanta ajaib
k’ = 54
1
2
3
4
5
6
7
8
2
3
3
4
6
7
12
12
13
13
14
14
19
19
20
20
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
Pola graf Petersen P(5, 1) pada Teorema 1
Pola graf Petersen P(7, 1) pada Teorema 1
Pola graf Petersen P(5, 1) pada Teorema 2
Pola graf Petersen P(7, 1) pada Teorema 2
23
25
28
30
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Seorang ahli matematika asal Swiss, Leonhard Euler, pada tahun 1736
memperkenalkan salah satu cabang ilmu matematika yang disebut “Teori Graf”.
Ketika itu Euler memperkenalkan teori tersebut untuk menyelesaikan masalah
jembatan Königsberg yang merupakan salah satu masalah transportasi yang
terjadi di kota Kaliningrad, Rusia. Ia memodelkan permasalahan tersebut ke
dalam model matematika berupa bagan yang terdiri dari simpul dan sisi.
Contoh graf yang sangat populer saat ini adalah graf Petersen. Salah satu
penerapan graf Petersen di antaranya dalam masalah pewarnaan gambar peta,
dimana warna setiap daerah pada peta yang berbatasan dibuat berlainan sehingga
mudah untuk dibedakan.
Mengikuti perkembangan zaman, teori graf terus dikembangkan dan
memiliki banyak terapan, di antaranya model jaringan komunikasi, ilmu
komputer, penjadwalan, riset operasi, dan sebagainya. Hal itu disebabkan teori
graf memiliki cakupan model yang luas. Salah satu permasalahan utama dalam
teori graf adalah bagaimana menandai suatu simpul dan sisi, sedemikian sehingga
setiap simpul dan sisi yang saling terhubung memiliki tanda yang berbeda. Ada
beberapa metode yang dapat digunakan untuk menandai suatu simpul/sisi, salah
satunya adalah metode pelabelan.
Pelabelan pada suatu graf merupakan fungsi injektif yang memetakan setiap
unsur himpunan simpul dan setiap unsur himpunan sisi ke bilangan asli yang
disebut label (Gallian 2009). Pelabelan pada graf terdiri dari pelabelan simpul,
pelabelan sisi, dan pelabelan total. Pelabelan simpul adalah pelabelan dengan
domain himpunan simpul, pelabelan sisi adalah pelabelan dengan domain
himpunan sisi, dan pelabelan total adalah pelabelan dengan domain gabungan
himpunan simpul dan sisi. Ada banyak jenis pelabelan pada graf yang telah
dikembangkan, di antaranya adalah pelabelan graceful, pelabelan harmoni,
pelabelan total, pelabelan ajaib, dan pelabelan anti ajaib.
Pelabelan ajaib pada suatu graf merupakan pelabelan total pada simpul dan
sisi suatu graf dengan labelnya adalah bilangan asli, dengan jumlah label-label
pada sebuah sisi dan dua simpul ujungnya adalah suatu bilangan konstan atau
disebut konstanta ajaib. Dalam karya ilmiah ini akan dibuktikan teorema-teorema
untuk memperoleh pelabelan ajaib pada graf Petersen.
Sumber utama dalam karya ilmiah ini adalah artikel berjudul “On Magic
and Antimagic Total Labeling of Generalized Petersen Graph” yang ditulis Anak
Agung Gede Ngurah dan Edy Tri Baskoro pada tahun 2003.
Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah membuktikan teoremateorema untuk memperoleh pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(n, 1)
dengan n bilangan ganjil.
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dijelaskan beberapa definisi dalam teori graf dan
pelabelan graf yang akan digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Teori Graf
Definisi 1 (Graf)
Suatu graf G adalah pasangan terurut (V, E) dengan V adalah himpunan
takkosong dan berhingga dan E adalah himpunan pasangan takterurut yang
menghubungkan elemen-elemen V. Graf G dinotasikan G = (V, E). Elemen V
disebut simpul sedangkan elemen E disebut sisi. Himpunan dari simpul-simpul
pada graf G dinotasikan dengan V(G), sedangkan himpunan dari sisi-sisi pada graf
G dinotasikan dengan E(G) (Foulds 1992).
Graf yang dimaksud definisi di atas disebut graf tak berarah. Contoh graf
dapat dilihat pada Gambar 1 berikut ini
e
g
a
Gambar 1. Graf G = (V, E)
Himpunan simpul dan himpunan sisi graf pada Gambar 1 adalah
V(G) = {a, b, c, d, e, f, g}
E(G) = {{ab}, {bc}, {bd}, {cd}, {ce}, {de}, {df}, {ef}, {eg}, {fg}}.
Definisi 2 (Order dan Size)
Misalkan diberikan graf G. Banyaknya simpul pada graf G disebut order
dan banyaknya sisi pada graf G disebut size. Order dari graf G dinotasikan dengan
|V(G)| dan size dari graf G dinotasikan dengan |E(G)| (Chartrand & Oellermann
1993).
Pada Gambar 1, |V(G)| = 7 dan |E(G)| = 10.
Definisi 3 (Incident dan Adjacent)
Misalkan diberikan graf G. Jika e = {uv} ∈ E(G) dengan u, v ∈V(G) maka
u dan v dikatakan adjacent di G dan e dikatakan incident dengan u dan v
(Chartrand & Oellermann 1993).
Pada Gambar 1, misalkan e = {ab} ∈ E(G) maka a dan b dikatakan adjacent
di G dan e dikatakan incident dengan a dan b.
3
Definisi 4 (Derajat)
Derajat dari suatu simpul v pada graf G adalah banyaknya sisi yang
incident dengan v dan dinotasikan dengan deg(v) (Chartrand & Oellermann 1993).
Pada Gambar 1, derajat setiap simpulnya ialah deg(a) = 1, deg(b) =3,
deg(c) = 3, deg(d) = 4, deg(e) = 3, deg( f )= 3, dan deg(g) = 2.
Definisi 5 (Walk)
Suatu walk pada graf G adalah suatu barisan simpul dan sisi dari graf G
dengan bentuk {v1, {v1v2}, v2, {v2v3}, v3, … , {vn-1vn}, vn} dan dapat dituliskan
sebagai {v1, v2, … , vn} atau v1, v2, … , vn. Suatu walk yang menghubungkan v1
dengan vn dikatakan tertutup jika v1 = vn. Jika v1 ≠ vn maka walk tersebut dikatakan
terbuka (Foulds 1992).
Pada Gambar 1, terdapat walk terbuka yaitu walk {a, {ab}, b} dan walk
tertutup yaitu {b, {bc}, c, {ce}, e, {eg}, g, {gf}, f, {fd}, d, {db}, b}.
Definisi 6 (Cycle)
Cycle pada suatu graf G adalah walk tertutup yang mengandung
setidaknya tiga simpul berbeda (Foulds 1992).
Pada Gambar 1 sebelumnya, terdapat cycle pada graf G yang terdiri atas
tiga simpul, yaitu
e
f
g
Gambar 2. Cycle dengan 3 simpul
Definisi 7 (Graf Teratur)
Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut Graf
Teratur. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai
Graf Teratur Berderajat r (Chartrand dan Oellermann 1993).
Pada Gambar 3, terdapat graf teratur dengan derajat setiap simpul adalah 3
atau disebut graf teratur berderajat 3.
q
s
p
r
Gambar 3. Graf teratur berderajat 3
4
Definisi 8 (Graf Petersen)
Graf G disebut graf Petersen, dinotasikan P(n, m), n ≥ 3, 1 ≤ m < , jika
2
graf G tersebut merupakan graf teratur berderajat 3 (3-regular graphs) dengan 2n
simpul dan 3n sisi serta himpunan simpul dan sisi adalah V(G) = {u1, u2, …, un, v1,
v2, …, vn}, E(G) = {{uiui+1}, {vivi+m}, {uivi}}, ∀i ∈ {1, 2, …, n} dan ketika nilai
indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v lebih besar dari
n maka nilai indeks tersebut akan di-modulo-kan dengan n (Ngurah dan Baskoro
2003).
Contoh graf Petersen dapat dilihat pada gambar di bawah ini.
u1
v1
v2
u2
v3
u3
Gambar 4. Graf Petersen P(3, 1)
Himpunan simpul dan himpunan sisi graf Petersen P(3, 1) pada Gambar 4
adalah
V(G) = {u1, u2, u3, v1, v2, v3}
E(G) = {{u1u2},{u2u3}, {u3u1}, {v1v2}, {v2v3}, {v3v1}, {u1v1}, {u2v2},
{u3v3}}.
Berikut dijelaskan bagaimana cara membuat graf Petersen P(3, 1) di atas
berdasarkan definisi graf Petersen.
Berdasarkan definisi, graf Petersen P(3, 1) memiliki nilai n = 3 dan m = 1.
Pada bagian simpul terdapat 6 simpul dengan 3 simpul pertama pada bagian luar
yaitu u1, u2, dan u3 serta 3 simpul kedua pada bagian dalam yaitu v1, v2, dan v3
sehingga diperoleh himpunan simpul dari graf Petersen P(3, 1) sebagai berikut,
V [P(3, 1)] = { u1, u2, u3, v1, v2, v3 }.
Kemudian pada bagian sisi dari graf Petersen P(3,1) terdapat 9 sisi. Tiga
sisi pertama pada bagian luar menghubungkan setiap simpul u dari graf Petersen
P(3, 1) dengan himpunan sisi E [P(3, 1)] = { u1ui+1 } untuk setiap i ∈ {1, 2, 3}.
Berikut penjelasan tiga himpunan sisi pertama E [P(3,1)] dari graf Petersen
P(3, 1).
Ketika indeks pada simpul u, yaitu i bernilai 1, maka indeks pada simpul u
lainnya, yaitu i+1 bernilai 2, sehingga diperoleh sisi yaitu { u1u2 }.
Ketika indeks pada simpul u, yaitu i bernilai 2, maka indeks pada simpul u
lainnya, yaitu i+1 bernilai 3, sehingga diperoleh sisi yaitu { u2u3 }.
5
Ketika indeks pada simpul u, yaitu i bernilai 3, maka indeks pada simpul u
lainnya, yaitu i+1 bernilai 4. Karena indeks i+1 > 3, maka nilai i+1 dimodulo-kan 3, yaitu 4 mod 3 = 1. Sehingga indeks i+1 setelah di-modulokan bernilai 1. Akibatnya diperoleh sisi yaitu { u3u1 } bukan { u3u4 }.
Himpunan sisi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut,
E [P(3, 1)] = {{ u1u2 }, { u2u3 }, { u3u1 }}.
Dengan cara yang sama dapat kita peroleh tiga sisi kedua pada bagian
dalam sebagai berikut,
E [P(3, 1)] = {{ v1v2 }, { v2v3 }, { v3v1 }}.
Dan terakhir, tiga sisi ketiga yang menghubungkan setiap simpul u pada
bagian luar tepat satu dengan simpul v pada bagian dalam dari graf Petersen
P(3, 1) dengan himpunan sisi sebagai berikut,
E [P(3, 1)] = {{ u1v1 }, { u2v2 }, { u3v3 }}.
Akibatnya diperoleh himpunan sisi secara keseluruhan dari graf Petersen
P(3, 1) sebagai berikut,
E [P(3, 1)] = {{ u1u2 }, { u2u3 }, { u3u1 }, { v1v2 }, { v2v3 }, { v3v1 }, { u1v1 },
{ u2v2 }, { u3v3 }}.
Pelabelan Graf
Definisi 9 (Pelabelan Total)
Suatu pelabelan pada graf G(V, E) dengan banyaknya simpul v dan
banyaknya sisi e adalah pemetaan satu-satu dari himpunan (�) ∪ �(�) ke
himpunan bilangan bulat positif {1, 2, ... , v + e}. Pelabelan ini disebut pelabelan
total (Ngurah dan Baskoro 2003).
Definisi 10 (Pelabelan Ajaib)
Misalkan G graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E serta
penjumlahan label sisi dan label dua simpul yang menempel pada sisi disebut
sebagai bobot sisi. Graf G disebut pelabelan ajaib jika memiliki bobot sisi yang
sama untuk setiap sisi di G sedangkan graf G disebut anti-ajaib jika memiliki
bobot sisi yang berbeda untuk setiap sisi di G (Rahman et al. 2013).
Definisi 11 (Pelabelan Total Sisi-Ajaib)
Misalkan G graf dengan ǀV(G)ǀ = v dan ǀE(G)ǀ = e. Maka pelabelan total
sisi-ajaib pada graf G adalah suatu fungsi bijektif
�:
� ∪ � � → {1,2,3, … , + }
sedemikian hingga untuk suatu konstanta k berlaku
�
+�
+�
=�
6
untuk setiap sisi
x, y ∈ (�).
∈ �(�) yang incident dengan dua simpul ujungnya yaitu
Jika pelabelan dapat dikenakan pada G, maka k disebut konstanta ajaib dari
f dan G disebut graf total sisi-ajaib atau dikatakan mempunyai pelabelan total
sisi-ajaib (Ngurah dan Baskoro 2003).
Berikut ini diberikan contoh pelabelan total sisi-ajaib pada suatu graf.
Misalkan diberikan graf Petersen P(3, 1) seperti pada Gambar 5. Banyaknya
simpul ialah 6 dan banyaknya sisi ialah 9, dengan �(V ∪ E) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}.
u1
e4
e1 e7 v1 e9 e3
v
e5 v2 e8 3 e6
u2
e2
u3
Gambar 5. Pelabelan pada graf Petersen P(3, 1)
Misalkan simpul-simpul pada graf Petersen P(3, 1) diberi pelabelan
�(u1) = 6
�(v1) = 1
�(u2) = 4
�(v2) = 2
�(u3) = 5
�(v3) = 3.
Kemudian diberikan pelabelan untuk sisi-sisi pada graf Petersen P(3, 1), misalnya
�(u1u2) = �(e1) = 8
�(u1v1) = �(e4) = 11 �(v1v2) = �(e7) = 15
�(u2u3) = �(e2) = 9
�(u2v2) = �(e5) = 12 �(v2v3) = �(e8) = 13
�(u3u1) = �(e3) = 7
�(u3v3) = �(e6) = 10 �(v3v1) = �(e9) = 14.
maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2
simpul ujungnya :
�(u1) + �(e1) + �(u2) = 6 + 8 + 4 = 18
�(u2) + �(e2) + �(u3) = 4 + 9 + 5 = 18
�(u3) + �(e3) + �(u1) = 5 + 7 + 6 = 18
�(u1) + �(e4) + �(v1) = 6 + 11 + 1 = 18
�(u2) + �(e5) + �(v2) = 4 + 12 + 2 = 18
�(u3) + �(e6) + �(v3) = 5 + 10 + 3 = 18
�(v1) + �(e7) + �(v2) = 1 + 15 + 2 = 18
�(v2) + �(e8) + �(v3) = 2 + 13 + 3 = 18
�(v3) + �(e9) + �(v1) = 3 + 14 + 1 = 18.
7
Dari semua penjumlahan label di atas terlihat bahwa pelabelan tersebut
menghasilkan satu nilai saja atau disebut konstanta ajaib yaitu k = 18. Pelabelan
tersebut digambarkan seperti pada Gambar 5.
6
11
8
15
4
2
1
1
7
14
3
3
13
10
5
4
5
2
9
Gambar 6. Pelabelan total sisi-ajaib pada graf petersen P(3, 1)
12
0
Definisi 12 (Pelabelan Dual)
Diberikan sebuah pelabelan total sisi-ajaib � untuk graf G dengan
ǀV(G)ǀ = v dan ǀE(G)ǀ = e. Untuk setiap pelabelan ajaib � terdapat pelabelan ajaib
�′ atau disebut pelabelan dual didefinisikan sebagai berikut.
dan
�′
�′
=
=
+ + 1 − �( ), untuk setiap simpul x ∈ V(G)
+ + 1 − �(
), untuk setiap sisi xy ∈ E(G).
Pelabelan dual �′ memiliki konstanta ajaib � ′ = 3
adalah konstanta ajaib dari � (Wallis et al. 2000).
+ + 1 − �, dengan �
PEMBAHASAN
Permasalahan utama dalam karya ilmiah ini adalah bagaimana mencari
pola pelabelan ajaib sehingga diperoleh definisi formula (rumus) khusus untuk
memperoleh konstanta ajaib k sehingga diperoleh pola pelabelan total sisi-ajaib
pada graf Petersen P(n, 1).
Kajian pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(n, 1) akan disajikan
dalam bentuk teorema berikut beserta contoh gambar pola pelabelannya.
Teorema 1
Jika n ganjil, ≥ 3, maka graf umum Petersen P(n, 1) memiliki sebuah
1
pelabelan total sisi-ajaib dengan konstanta ajaib k = (11 + 3).
2
8
Bukti :
Misalkan P(n, 1) dengan adalah graf Petersen yang mempunyai pelabelan total
sisi-ajaib karena |V [P(n, 1)]| = 2n dan |E [P(n, 1)]| = 3n sehingga
� : V [P(n, 1)] ∪ E [P(n, 1)] → {1, 2, …, 5n}, maka v + e = 5n.
Semua simpul dan sisi pada graf Petersen P(n, 1) dilabelkan dengan menggunakan
definisi formula pelabelan �1, dengan �1 didefinisikan sebagai pelabelan simpul
dan sisi dari graf Petersen P(n, 1). Berikut diberikan definisi formula pelabelan �1.
1
�1
2
1
=
�
2
1
4 − � + 1 , � ganjil
3 − � + 1 , � genap
−�
2
�1
�
=
�1
� �+1
=
�1
� �+1
=
�1
� �
=
1
2
, � ganjil, � ≠
, �=
, � genap
2 −�
2 +�+1
2 +1
, � ≠
, �=
, �=
, � = −1
, lainnya
4 +2
4 +1
4 +2+�
3 +�+1
3 +1
, � ≠
, �= .
Berdasarkan definisi pelabelan total sisi-ajaib, akan ada k yang memenuhi
untuk setiap sisi
x, y ∈ (�).
�
+�
+�
=�
∈ �(�) yang incident dengan dua simpul ujungnya yaitu
Atau dapat ditulis
�
�
+�
� �+1
+�
�+1
=�
=�
= �.
�
�
+�
+�
+�
+� �
� �+1
� �
�+1
9
Dari formula �1 akan didapatkan konstanta ajaib � dari tiga kasus berikut.
1) Kasus 1
Misalkan konstanta ajaib adalah �1 sehingga akan memenuhi
�1 = �
�1 =
1
2
1
2
1
2
1
=
�
+�
� �+1
+�
�+1
4 −�+1 +2 +�+1+
1
3 −�+1 +2 +�+1+
1
3 +1 +2 +1+
1
2
4
2
2
(11 + 3) , � ganjil, � ≠
2
1
3 − � , � ganjil, � ≠
, �=
4 − � , � genap
(11 + 3) , � =
2
1
2
11 + 3 , � genap.
2) Kasus 2
Misalkan konstanta ajaib adalah �2 sehingga akan memenuhi
�2 = �
�
1
2
�2 =
1
1
2
1
2
1
2
1
2
�+1
−� +4 +2+�+
2 −
2
1
+�
� �+1
+4 +2+
1
2
1
2 − � − 1 , � ganjil, � ≠
2
−1
, �=
, �=
+1 +4 +1+
2 −� +4 +2+�+
2
=
+�
1
− � − 1 , � genap, � ≠
2
(11 + 3) , � ganjil, � ≠
11 + 3 , � =
(11 + 3) , � =
−1
11 + 3 , � genap, � ≠
−1
− 1.
3) Kasus 3
Misalkan konstanta ajaib adalah �3 sehingga akan memenuhi
�3 = �
�3 =
�
1
2
1
2
1
2
+�
� �
+�
�
4 −�+1 +3 +�+1+
1
3 −�+1 +3 +�+1+
1
2
3 +1 +3 +1+
2
−�
, � ganjil, � ≠
, �=
2 − � , � genap
−1
10
1
2
1
=
2
1
2
(11 + 3) , � ganjil, � ≠
(11 + 3) , � =
11 + 3 , � genap.
1
Dari perhitungan di atas didapatkan � = �1 = �2 = �3 = 11 + 3 .
2
Atau dapat ditulis
�
�
+�
� �+1
+�
=� � +� �
=� � +� �
1
= 11 + 3 .
2
�+1
+�
+� �
�+1
�
�+1
■ Terbukti
Menurut pelabelan dual, untuk setiap pelabelan ajaib � terdapat pelabelan
ajaib �′ didefinisikan sebagai berikut.
�′
dan
=
�′
=
+ + 1 − �( ), untuk setiap simpul x ∈ V(G)
+ + 1 − �(
), untuk setiap sisi xy ∈ E(G).
Pelabelan dual �′ memiliki konstanta ajaib � ′ = 3
adalah konstanta ajaib dari �.
+ + 1 − �, dimana �
Graf Petersen P(n, 1) memiliki 2n simpul dan 3n sisi atau dapat ditulis
|V [P(n, 1)]| = 2n dan |E [P(n, 1)]| = 3n, maka + = 5n.
Sehingga dari definisi formula pelabelan �1, akan kita peroleh
�1 ′
�
= 5 + 1 − �( � )
=
5 +1−
5 +1−
1
=
2
1
2
�1 ′
�
1
2
1
2
4 − � + 1 , � ganjil
3 − � + 1 , � genap
6 + � + 1 , � ganjil
7 + � + 1 , � genap
= 5 + 1 − �( � )
5 +1−
= 5 +1−
5 +1−
1
2
1
2
−�
2 −�
, � ganjil, � ≠
, �=
, � genap
11
1
9 +�+2
= 4 +1
1
8 +�+2
, � ganjil, � ≠
, �=
, � genap
2
2
�1 ′
� �+1
= 5 + 1 − �1
=
=
�1 ′
� �+1
=
�1 ′
� �
5 + 1 − (2 + � + 1)
5 + 1 − (2 + 1)
3 −�
3
= 5 + 1 − �1
=
� �+1
, � ≠
, �=
� �+1
5 + 1 − (4 + 2)
5 + 1 − (4 + 1)
5 + 1 − (4 + 2 + �)
−1
=
, �=
, � = −1
, lainnya
, �=
, � = −1
, lainnya
−1−�
= 5 + 1 − �1
=
, � ≠
, �=
� �
5 + 1 − (3 + � + 1)
5 + 1 − (3 + 1)
2 −�
2
, � ≠
, �= .
=
15 + 3 −
, � ≠
, �=
Diketahui �1 memiliki konstanta ajaib �, maka �1 ′ memiliki konstanta ajaib
1
�′ =
3 5 + 1 − 11 + 3
2
=
1
2
1
2
11 + 3
19 + 3 .
Selanjutnya akan diberikan dua contoh pelabelan total sisi-ajaib pada graf
Petersen P(n, 1) berdasarkan Teorema 1 dengan nilai n = 5 dan n = 7 berikut
dengan pelabelan dualnya.
Graf Petersen P(5, 1)
Contoh pelabelan total sisi-ajaib dari graf Petersen P(n, 1) pada graf
P(5, 1) dapat dilihat pada gambar di bawah ini.
12
1
6
1
5
1
2
11
2
5
5
15
10
7
12
14
3
4
13
2
4
3
9
8
3
3
4
Gambar 7. Graf Petersen P(5, 1)
Dari cara pelabelan �1 pada Lampiran 1 diperoleh sebuah konstanta ajaib
k = 29, sehingga pelabelan graf Petersen P(5, 1) dari pelabelan �1 dapat
digambarkan sebagai berikut.
10
17
12
11
2
7
18
23
4
22
24
13
1
21
25
19
9
8
5
16
3
15
3
20
14
6
Gambar 8. Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen
P(5, 1) dengan konstanta ajaib k = 29
Dari cara pelabelan �1 ′ pada Lampiran 1 diperoleh sebuah konstanta ajaib
�′ = 49, sehingga pelabelan graf Petersen P(5, 1) dari pelabelan �1 ′ dapat
digambarkan sebagai berikut.
13
16
14
15
9
24
19
22
4
3
8
10
2
13
18
21
5
3
23
1
25
11
6
7
20
12
17
Gambar 9. Pelabelan dual pada graf Petersen
P(5, 1) dengan konstanta ajaib k’ = 49
Graf Petersen P(7, 1)
Contoh pelabelan total sisi-ajaib dari graf Petersen P(n, 1) pada graf
P(7, 1) dapat dilihat pada gambar di bawah ini.
1
1
7
8
7
2
1
2
9
2
3
14
21
15
7
6
20
16
13
10
3
18
4
3
4
6
5
5
12
11
4
6
19
17
5
Gambar 10. Graf Petersen P(7, 1)
Dari cara pelabelan �1 pada Lampiran 2 diperoleh konstanta ajaib k = 40
dari graf Petersen P(7, 1), sehingga pelabelan graf Petersen P(7, 1) dari pelabelan
�1 dapat digambarkan sebagai berikut.
14
Gambar 11. Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen
P(7, 1) dengan konstanta ajaib k = 40
Dari cara pelabelan �1 ′ pada Lampiran 2 diperoleh konstanta ajaib �’ = 68
dari graf Petersen P(7, 1), sehingga pelabelan graf Petersen P(7, 1) dari pelabelan
�1 ′ dapat digambarkan sebagai berikut.
22
21
20
13
25
14 29 6
15
32
28
26
33
16
24
5
30
7
1
35
9
8
12
19
4
2
3 34
31
11
23
18
10
17
27
Gambar 12. Pelabelan dual pada graf Petersen P(7, 1)
dengan konstanta ajaib k’ = 68
Teorema 2
Jika n ganjil, ≥ 3, maka graf umum Petersen P(n, 1) memiliki sebuah
1
pelabelan total sisi-ajaib dengan konstanta ajaib k = (15 + 3).
2
Bukti :
Misalkan P(n, 1) dengan adalah graf Petersen yang mempunyai pelabelan total
sisi-ajaib karena |V [P(n, 1)]| = 2n dan |E [P(n, 1)]| = 3n sehingga � : V [P(n, 1)]
∪E [P(n, 1)] → {1, 2, …, 5n}, maka v + e = 5n.
15
Semua simpul dan sisi pada graf Petersen P(n, 1) dilabelkan dengan menggunakan
definisi formula pelabelan �2, dengan �2 didefinisikan sebagai pelabelan simpul
dan sisi dari graf Petersen P(n, 1). Berikut diberikan definisi formula pelabelan �2.
1
�2
2
1
=
�
2
1
2 + � + 1 , � ganjil
3 + � + 1 , � genap
7 +�+2
3 +1
1
6 +�+2
2
2
�2
�
=
�2
� �+1
=
�2
� �+1
=
�2
� �
=
5 −�
5
−1
−1−�
3 −�
3
, � ≠
, �=
, � ganjil, � ≠
, �=
, � genap
, �=
, � = −1
, lainnya
, � ≠
, �= .
Berdasarkan definisi pelabelan total sisi-ajaib, akan ada k yang memenuhi
untuk setiap sisi
x, y ∈ (�).
�
+�
+�
=�
∈ �(�) yang incident dengan dua simpul ujungnya yaitu
Atau dapat ditulis
�
�
+�
� �+1
+�
�+1
=�
=�
= �.
�
�
+�
+�
+�
+� �
� �+1
� �
�+1
Dari formula �2 didapatkan konstanta ajaib � dari tiga kasus berikut.
1) Kasus 1
Misalkan konstanta ajaib adalah �1 sehingga akan memenuhi
�1 = �
�
+�
� �+1
+�
�+1
16
1
=
2
1
2
1
2
1
=
2 +�+1 +5 −�+
1
3 +�+1 +5 −�+
1
3 +1 +5 +
1
2
2
2 +2
2
(15 + 3) , � ganjil, � ≠
2
1
3 + � + 2 , � ganjil, � ≠
, �=
2 + � + 2 , � genap
(15 + 3) , � =
2
1
2
15 + 3 , � genap.
2) Kasus 2
Misalkan konstanta ajaib adalah �2 sehingga akan memenuhi
�2 = �
1
�
2
+�
1
2
1
=
2
1
2
1
2
�+1
−1−�+
1
1
2
6 + � + 3 , � ganjil, � ≠
, �=
7 +3
2
+ 3 +1
6 +�+2 +
2
1
−1+
7 +1 +
2
1
+�
7 +�+2 +
3 +1+
=
� �+1
−1−�+
(15 + 3) , � ganjil, � ≠
15 + 3 , � =
(15 + 3) , � =
−1
15 + 3 , � genap, � ≠
1
2
, �=
−1
7 + � + 3 , � genap, � ≠
− 1.
3) Kasus 3
Misalkan konstanta ajaib adalah �3 sehingga akan memenuhi
�3 = �
=
�
1
2
1
2
1
2
1
=
2
1
2
1
2
+�
� �
+�
�
2 +�+1 +3 −�+
1
3 +�+1 +3 −�+
1
2
3 +1 +3 +3 +1
(15 + 3) , � ganjil, � ≠
(15 + 3) , � =
15 + 3 , � genap.
2
7 +�+2
6 +�+2
, � ganjil, � ≠
, �=
, � genap
−1
17
1
Dari perhitungan di atas didapatkan � = �1 = �2 = �3 = 2 15 + 3 .
Atau dapat ditulis
�
�
+�
� �+1
+�
=� � +� �
=� � +� �
1
= 15 + 3 .
�+1
2
+�
+� �
�+1
�
�+1
■ Terbukti
Menurut pelabelan dual, untuk setiap pelabelan ajaib � terdapat pelabelan
ajaib �′ didefinisikan sebagai berikut.
�′
dan
=
�′
=
+ + 1 − �( ), untuk setiap simpul x ∈ V(G)
+ + 1 − �(
), untuk setiap sisi xy ∈ E(G).
Pelabelan dual �′ memiliki konstanta ajaib � ′ = 3
adalah konstanta ajaib dari �.
+ + 1 − �, dimana �
Graf Petersen P(n, 1) memiliki 2n simpul dan 3n sisi atau dapat ditulis
|V [P(n, 1)]| = 2n dan |E [P(n, 1)]| = 3n, maka + = 5n.
Sehingga dari definisi formula pelabelan �2 , akan kita peroleh
�2 ′
�
= 5 + 1 − �( � )
=
5 +1−
5 +1−
1
=
2
1
2
�2 ′
�
1
2
1
2
2 + � + 1 , � ganjil
3 + � + 1 , � genap
8 − � + 1 , � ganjil
7 − � + 1 , � genap
= 5 + 1 − �( � )
5 +1−
1
2
7 +�+2
= 5 + 1 − (3 + 1)
5 +1−
1
2
= 2
1
2
3 −�
4 −�
1
2
6 +�+2
, � ganjil, � ≠
, �=
, � genap
, � ganjil, � ≠
, �=
, � genap
18
�2 ′
� �+1
= 5 + 1 − �1
5 + 1 − (5 − �)
5 + 1 − (5 )
=
1+�
1
=
�2 ′
�2 ′
� �+1
� �
� �+1
, � ≠
, �=
= 5 + 1 − �1
, � ≠
, �=
� �+1
5 + 1 − ( − 1)
= 5 +1−
5 + 1 − ( − 1 − �)
, �=
, � = −1
, lainnya
4 +2
= 4 +1
4 +2−�
= 5 + 1 − �1
� �
5 + 1 − (3 − �)
5 +1−3
=
2 +1+�
2 +1
=
, �=
, � = −1
, lainnya
, � ≠
, �=
, � ≠
, �= .
Diketahui �2 memiliki konstanta ajaib �, maka �2 ′ memiliki konstanta ajaib
�′
=3 + +1 −�
1
= 3 5 + 1 − 15 + 3
=
1
2
2
15 + 3 .
Karena � ′ = �, akibatnya Teorema 2 hanya memiliki self-dual atau pelabelan
dual terhadap diri sendiri.
Selanjutnya akan diberikan dua contoh pelabelan total sisi-ajaib pada graf
Petersen P(n, 1) berdasarkan Teorema 2 dengan nilai n = 5 dan n = 7 berikut
dengan pelabelan dualnya.
Graf Petersen P(5, 1)
Contoh pelabelan total sisi-ajaib dari graf Petersen P(n, 1) dengan definisi
dan konstanta ajaib yang berbeda dengan Teorema 1 pada graf P(5, 1) terdapat
pada Gambar 13.
19
Dari cara pelabelan �2 pada Lampiran 3 diperoleh sebuah konstanta ajaib
k = 39, sehingga pelabelan graf Petersen P(5, 1) dari pelabelan �2 dapat
digambarkan sebagai berikut.
6
14
24
25
19
9
4
3
17
16
13
2
23
8
15
5
3
18
1
20
12
21
11
22
7
10
Gambar 13. Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen
P(5, 1) dengan konstanta ajaib k = 39
Dari cara pelabelan �2 ′ pada Lampiran 3 diperoleh sebuah konstanta ajaib
�′ = 39, sehingga pelabelan graf Petersen P(5, 1) dari pelabelan �2 ′ dapat
digambarkan sebagai berikut.
20
2
1
12
7
17
13
9
22
23
11
24
3
6
21
25
3
5
8
15
14
19
18
10
4
16
Gambar 14. Pelabelan dual pada graf Petersen
P(5, 1) dengan konstanta ajaib k’ = 39
20
Graf Petersen P(7, 1)
Contoh pelabelan total sisi-ajaib dari graf Petersen P(n, 1) dengan definisi
dan konstanta ajaib yang berbeda dengan Teorema 1 pada graf P(7, 1) terdapat
pada gambar 15.
Dari cara pelabelan �2 pada Lampiran 4 diperoleh konstanta ajaib k = 54
dari graf Petersen P(7, 1), sehingga pelabelan graf Petersen P(7, 1) dari pelabelan
�2 dapat digambarkan sebagai berikut.
Gambar 15. Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen
P(7, 1) dengan konstanta ajaib k = 54
Dari cara pelabelan �2 ′ pada Lampiran 4 diperoleh konstanta ajaib �’ = 54
dari graf Petersen P(7, 1), sehingga pelabelan graf Petersen P(7, 1) dari pelabelan
�2 ′ dapat digambarkan sebagai berikut.
Gambar 16. Pelabelan dual pada graf Petersen
P(7, 1) dengan konstanta ajaib k’ = 54
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Karya ilmiah ini telah membuktikan bahwa graf Petersen P(n, m) dengan
n ganjil dan ≥ 3 dengan nilai m = 1 memiliki pelabelan total sisi-ajaib dengan
1
1
konstanta ajaib � = 11 + 3 atau � = 15 + 3 . Pembuktian dilakukan
2
2
dengan menggunakan definisi pelabelan simpul dan sisi, yaitu �1 dan �2 sehingga
dapat diperoleh himpunan bobot sisi yang sama bernilai �. Selain itu juga
dilakukan pembuktian dengan pelabelan dual �1 ′ dengan konstanta ajaib �′
sehingga diperoleh komplementer dari pelabelan sebelumnya dengan
1
� ′ = (19 + 3). Kemudian dilakukan pelabelan dual dari �2 ′ yang merupakan
2
self-dual atau pelabelan dual terhadap diri sendiri karena konstanta ajaib dari �2 ′
yaitu �′ = �.
Saran
Sebagian besar karya ilmiah sudah banyak membahas graf ajaib, sedangkan
peminat untuk graf anti-ajaib sedikit kurang. Masih banyak topik yang bisa digali
berkaitan dengan graf anti-ajaib. Selain itu, untuk pelabelan ajaib, dapat
dikembangkan pula beberapa variasi nilai n dan m pada graf Petersen, misalkan
nilai n genap atau ≥ 2.
DAFTAR PUSTAKA
Chartrand G, Oellermann OR. 1993. Applied and Algorithmic Graph Theory. New
York (US): McGraw-Hill.
Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York (US): Spinger-Verlag.
Gallian JA. 2009. A dynamic survey of graph labeling. The Electronic Journal
Combinatorics. 16: 7-65.
Kovar P. 2007. Magic labeling of regular graphs. AKCE J Graphs Combin. 4:261275.
Ngurah AAG, Baskoro ET. 2003. On magic and antimagic total labeling of
generalized petersen graph. Utilitas Math. 63: 97-107.
Rahman A, Narwen, Baqi AI. 2012. Pelabelan Total (a, d)-Sisi Anti Ajaib pada
Graf Petersen P(n, 2), untuk n Ganjil, n ≥ 3. Padang (ID): Universitas
Andalas Limau Manis.
Wallis WD, Baskoro ET, Miller M, dan Slamin. 2000. Edge magic total labelings.
Austral J Combin. 22: 177-190.
23
Lampiran 1
�
Pola graf Petersen P(5, 1) pada Teorema 1
Banyaknya simpul ialah 10 dan banyaknya sisi ialah 15, dengan
� = {1, 2, 3, … , 24, 25} serta himpunan simpul dan sisi sebagai berikut.
[� 5, 1 ] = { 1 ,
�[� 5, 1 ] = {{ �
∀� ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
2, … ,
�+1 }, {
5, 1, 2, … , 5}
� � }, { � �+
}}
ketika nilai indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v
lebih besar dari 5 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 5.
Dengan menggunakan definisi formula pelabelan �1 , maka untuk graf Petersen
P(5, 1) diperoleh label simpul sebagai berikut.
�1 (u1) = 10 �1 (v1) = 2
�1 (v2) = 4
�1 (u2) = 7
�1 (v3) = 1
�1 (u3) = 9
�1 (v4) = 3
�1 (u4) = 6
�1 (v5) = 5
�1 (u5) = 8
Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut,
�1 (u1u2) = �1 (e1) = 12
�1 (u1v1) = �1 (e6) = 17
�1 (v1v2) = �1 (e11) = 23
�1 (u2u3) = �1 (e2) = 13
�1 (u2v2) = �1 (e7) = 18
�1 (v2v3) = �1 (e12) = 24
�1 (u3u4) = �1 (e3) = 14
�1 (u3v3) = �1 (e8) = 19
�1 (v3v4) = �1 (e13) = 25
�1 (u4u5) = �1 (e4) = 15
�1 (u4 v4) = �1 (e9) = 20
�1 (v4v5) = �1 (e14) = 21
�1 (u5u1) = �1 (e5) = 11
�1 (u5 v5) = �1 (e10) = 16
�1 (v5v6) = �1 (e15) = 22
sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident
terhadap 2 simpul ujungnya sebagai berikut.
�1 (u1) + �1 (e1) + �1 (u2) = 10 + 12 + 7 = 29
�1 (u2) + �1 (e2) + �1 (u3) = 7 + 13 + 9 = 29
�1 (u3) + �1 (e3) + �1 (u4) = 9 + 14 + 6 = 29
�1 (u4) + �1 (e4) + �1 (u5) = 6 + 15 + 8 = 29
�1 (u5) + �1 (e5) + �1 (u1) = 8 + 11 + 10 = 29
�1 (u1) + �1 (e6) + �1 (v1) = 10 + 17 + 2 = 29
�1 (u2) + �1 (e7) + �1 (v2) = 7 + 18 + 4 = 29
�1 (u3) + �1 (e8) + �1 (v3) = 9 + 19 + 1 = 29
�1 (u4) + �1 (e9) + �1 (v4) = 6 + 20 + 3 = 29
�1 (u5) + �1 (e10) + �1 (v5) = 8 + 16 + 5 = 29
�1 (v1) + �1 (e11) + �1 (v2) = 2 + 23 + 4 = 29
�1 (v2) + �1 (e12) + �1 (v3) = 4 + 24 + 1 = 29
�1 (v3) + �1 (e13) + �1 (v4) = 1 + 25 + 3 = 29
�1 (v4) + �1 (e14) + �1 (v5) = 3 + 21 + 5 = 29
�1 (v5) + �1 (e15) + �1 (v1) = 5 + 22 + 2 = 29
24
Kemudian dengan menggunakan pelabelan �1 akan diperoleh pelabelan
dual �1 ′ dari graf P(5, 1) sebagai berikut. Banyaknya simpul ialah 10 dan
banyaknya sisi ialah 15, dengan �
� = {1, 2, 3, … , 24, 25} serta himpunan
simpul dan sisi sebagai berikut.
[� 5, 1 ] = { 1 ,
�[� 5, 1 ] = {{ �
∀� ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
2, … ,
5, 1, 2, … , 5}
�+1 }, { � � }, { � �+
}}
ketika nilai indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v
lebih besar dari 5 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 5.
Dengan menggunakan definisi formula pelabelan �1 ′ , maka untuk graf Petersen
P(5, 1) diperoleh label simpul sebagai berikut.
�1 ′ (u1) = 16 �1 ′ (v1) = 24
�1 ′ (u2) = 19 �1 ′ (v2) = 22
�1 ′ (u3) = 17 �1 ′ (v3) = 25
�1 ′ (u4) = 20 �1 ′ (v4) = 23
�1 ′ (u5) = 18 �1 ′ (v5) = 21
Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut,
�1 ′(u1u2)= �1 ′(e1)= 14
�1 ′(u1v1)= �1 ′(e6)= 9
�1 ′(v1v2)= �1 ′(e11)= 3
�1 ′(u2u3)= �1 ′(e2)= 13
�1 ′(u2v2)= �1 ′(e7)= 8
�1 ′(v2v3)= �1 ′(e12)= 2
�1 ′(u3u4)= �1 ′(e3)= 12
�1 ′(u3v3)= �1 ′(e8)= 7
�1 ′(v3v4)= �1 ′(e13)= 1
�1 ′(u4u5)= �1 ′(e4)= 11
�1 ′(u4v4)= �1 ′(e9)= 6
�1 ′(v4v5)= �1 ′(e14)= 5
�1 ′(u5u1)= �1 ′(e5)= 15
�1 ′(u5v5)= �1 ′(e10)= 10
�1 ′(v5v6)= �1 ′(e15)= 4
sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident
terhadap 2 simpul ujungnya sebagai berikut.
�1 ′ (u1) + �1 ′ (e1) + �1 ′ (u2) = 16 + 14 +
�1 ′ (u2) + �1 ′ (e2) + �1 ′ (u3) = 19 + 13 +
�1 ′ (u3) + �1 ′ (e3) + �1 ′ (u4) = 17 + 12 +
�1 ′ (u4) + �1 ′ (e4) + �1 ′ (u5) = 20 + 11 +
�1 ′ (u5) + �1 ′ (e5) + �1 ′ (u1) = 18 + 15 +
19 = 49
17 = 49
20 = 49
18 = 49
16 = 49
�1 ′ (u1) + �1 ′ (e6) + �1 ′ (v1) = 16 + 9 + 24 = 49
�1 ′ (u2) + �1 ′ (e7) + �1 ′ (v2) = 19 + 8 + 22 = 49
�1 ′ (u3) + �1 ′ (e8) + �1 ′ (v3) = 17 + 7 + 25 = 49
�1 ′ (u4) + �1 ′ (e9) + �1 ′ (v4) = 20 + 6 + 23 = 49
�1 ′ (u5) + �1 ′ (e10) + �1 ′ (v5) =18 + 10 + 21= 49
�1 ′ (v1) + �1 ′ (e11) + �1 ′ (v2) = 24 + 3 + 22 = 49
�1 ′ (v2) + �1 ′ (e12) + �1 ′ (v3) = 22 + 2 + 25 = 49
�1 ′ (v3) + �1 ′ (e13) + �1 ′ (v4) = 25 + 1 + 23 = 49
�1 ′ (v4) + �1 ′ (e14) + �1 ′ (v5) = 23 + 5 + 21 = 49
�1 ′ (v5) + �1 ′ (e15) + �1 ′ (v1) = 21 + 4 + 24 = 49
25
Lampiran 2
Pola graf Petersen P(7, 1) pada Teorema 1
Banyaknya simpul ialah 14 dan banyaknya sisi ialah 21, dengan
�(V ∪ E) = {1, 2, 3, …, 35} dan himpunan simpul dan sisi sebagai berikut.
V [P(7, 1)]= {u1, u2, …, u7, v1, v2, …, v7}
E [P(7, 1)] = {{uiui+1}, {uivi}, {vivi+m}}
∀i ∈{1, 2, …, 7}
ketika nilai indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v
lebih besar dari 7 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 7.
Dengan menggunakan definisi formula pelabelan �1 , maka untuk graf Petersen
P(7, 1) diperoleh label simpul sebagai berikut.
�1 (u1) = 14 �1 (v1) = 3
�1 (u2) = 11 �1 (v2) = 7
�1 (u3) = 8
�1 (v3) = 4
�1 (u4) = 12 �1 (v4) = 1
�1 (u5) = 9
�1 (v5) = 5
�1 (u6) = 13 �1 (v6) = 2
�1 (u7) = 10 �1 (v7) = 6
Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut,
�1 (u1u2) = �1 (e1) = 15
�1 (u1v1) = �1 (e8) = 23
�1 (v1v2) = �1 (e15) = 30
�1 (u2u3) = �1 (e2) = 21
�1 (u2v2) = �1 (e9) = 22
�1 (v2v3) = �1 (e16) = 29
�1 (u3u4) = �1 (e3) = 20
�1 (u3v3) = �1 (e10) = 28
�1 (v3v4) = �1 (e17) = 35
�1 (u4u5) = �1 (e4) = 19
�1 (u4v4) = �1 (e11) = 27
�1 (v4v5) = �1 (e18) = 34
�1 (u5u6) = �1 (e5) = 18
�1 (u5v5) = �1 (e12) = 26
�1 (v5v6) = �1 (e19) = 33
�1 (u6u7) = �1 (e6) = 17
�1 (u6v7) = �1 (e13) = 25
�1 (v6v7) = �1 (e20) = 32
�1 (u7u1) = �1 (e7) = 16
�1 (u7v1) = �1 (e14) = 24
�1 (v7v1) = �1 (e21) = 31
sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident
terhadap 2 simpul ujungnya seperti berikut.
�1 (u1) + �1 (e1) + �1 (u2) = 14 + 15 + 11 = 40
�1 (u2) + �1 (e2) + �1 (u3) = 11 + 21 + 8 = 40
�1 (u3) + �1 (e3) + �1 (u4) = 8 + 20 + 12 = 40
�1 (u4) + �1 (e4) + �1 (u5) = 12 + 19 + 9 = 40
�1 (u5) + �1 (e5) + �1 (u6) = 9 + 18 + 13 = 40
�1 (u6) + �1 (e6) + �1 (u7) = 13 + 17 + 10 = 40
�1 (u7) + �1 (e7) + �1 (u1) = 10 + 16 + 14 = 40
�1 (u1) + �1 (e8) + �1 (v1) = 14 + 23 + 3 = 40
�1 (u2) + �1 (e9) + �1 (v2) = 11 + 22 + 7 = 40
�1 (u3) + �1 (e10)+ �1 (v3) = 8 + 28 + 4 = 40
�1 (u4) + �1 (e11)+ �1 (v4) = 12 + 27 + 1 = 40
�1 (u5) + �1 (e12)+ �1 (v5) = 9 + 26 + 5 = 40
�1 (u6) + �1 (e13)+ �1 (v6) = 13 + 25 + 2 = 40
�1 (u7) + �1 (e14)+ �1 (v7) = 10 + 24 + 6 = 40
26
�1 (v1) + �1 (e15) + �1 (v2) =
�1 (v2) + �1 (e16) + �1 (v3) =
�1 (v3) + �1 (e17) + �1 (v4) =
�1 (v4) + �1 (e18) + �1 (v5) =
�1 (v5) + �1 (e19) + �1 (v6) =
�1 (v6) + �1 (e20) + �1 (v7) =
�1 (v7) + �1 (e21) + �1 (v1) =
3 + 30 + 7
7 + 29 + 4
4 + 35 + 1
1 + 34 + 5
5 + 33 + 2
2 + 32 + 6
6 + 31 + 3
= 40
= 40
= 40
= 40
= 40
= 40
= 40
Kemudian dengan menggunakan pelabelan �1 akan diperoleh pelabelan
dual �1 ′ dari graf P(7, 1) sebagai berikut. Banyaknya simpul ialah 14 dan
banyaknya sisi ialah 21, dengan �(V ∪ E) = {1, 2, 3, …, 35} dan himpunan simpul
dan sisi sebagai berikut.
V [P(7, 1)]= {u1, u2, …, u7, v1, v2, …, v7}
E [P(7, 1)] = {{uiui+1}, {uivi}, {vivi+m}}, ∀i ∈{1, 2, …, 7}
ketika nilai indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v
lebih besar dari 7 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 7.
Dengan menggunakan definisi formula pelabelan �1 ′, maka untuk graf Petersen
P(7, 1) diperoleh label simpul sebagai berikut.
�1 ′ (u1) = 22 �1 ′ (v1) = 33
�1 ′ (u2) = 25 �1 ′ (v2) = 29
�1 ′ (u3) = 28 �1 ′ (v3) = 32
�1 ′ (u4) = 24 �1 ′ (v4) = 35
�1 ′ (u5) = 27 �1 ′ (v5) = 31
�1 ′ (u6) = 23 �1 ′ (v6) = 34
�1 ′ (u7) = 26 �1 ′ (v7) = 30
Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut,
�1 ′(u1u2)= �1 ′(e1)= 21
�1 ′(u1v1)= �1 ′(e8)= 13
�1 ′(v1v2)= �1 ′(e15)= 6
�1 ′(u2u3)= �1 ′(e2)= 15
�1 ′(u2v2)= �1 ′(e9)= 14
�1 ′(v2v3)= �1 ′(e16)= 7
�1 ′(u3u4)= �1 ′(e3)= 16
�1 ′(u3v3)= �1 ′(e10)= 8
�1 ′(v3v4)= �1 ′(e17)= 1
�1 ′(u4u5)= �1 ′(e4)= 17
�1 ′(u4v4)= �1 ′(e11)= 9
�1 ′(v4v5)= �1 ′(e18)= 2
�1 ′(u5u6)= �1 ′(e5)= 18
�1 ′(u5v5)= �1 ′(e12)= 10
�1 ′(v5v6)= �1 ′(e19)= 3
�1 ′(u6u7)= �1 ′(e6)= 19
�1 ′(u6v7)= �1 ′(e13)= 11
�1 ′(v6v7)= �1 ′(e20)= 4
�1 ′(u7u1)= �1 ′(e7)= 20
�1 ′(u7v1)= �1 ′(e14)= 12
�1 ′(v7v1)= �1 ′(e21)= 5
sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident
terhadap 2 simpul ujungnya seperti berikut.
�1 ′ (u1) + �1 ′ (e1) + �1 ′ (u2) = 22 + 21 + 25 = 68
�1 ′ (u2) + �1 ′ (e2) + �1 ′ (u3) = 25 + 15 + 28 = 68
�1 ′ (u3) + �1 ′ (e3) + �1 ′ (u4) = 28 + 16 + 24 = 68
�1 ′ (u4) + �1 ′ (e4) + �1 ′ (u5) = 24 + 17 + 27 = 68
�1 ′ (u5) + �1 ′ (e5) + �1 ′ (u6) = 27 + 18 + 23 = 68
�1 ′ (u6) + �1 ′ (e6) + �1 ′ (u7) = 23 + 19 + 26 = 68
�1 ′ (u7) + �1 ′ (e7) + �1 ′ (u1) = 26 + 20 + 22 = 68
27
�1 ′ (u1) + �1 ′ (e8) + �1 ′ (v1) = 22 + 13 + 33 = 68
�1 ′ (u2) + �1 ′ (e9) + �1 ′ (v2) = 25 + 14 + 29 = 68
�1 ′ (u3) + �1 ′ (e10)+ �1 ′ (v3) = 28 + 8 + 32 = 68
�1 ′ (u4) + �1 ′ (e11)+ �1 ′ (v4) = 24 + 9 + 35 = 68
�1 ′ (u5) + �1 ′ (e12)+ �1 ′ (v5) = 27 + 10 + 31 = 68
�1 ′ (u6) + �1 ′ (e13)+ �1 ′ (v6) = 23 + 11 + 34 = 68
�1 ′ (u7) + �1 ′ (e14)+ �1 ′ (v7) = 26 + 12 + 30 = 68
�1 ′ (v1) + �1 ′ (e15) + �1 ′ (v2) =
�1 ′ (v2) + �1 ′ (e16) + �1 ′ (v3) =
�1 ′ (v3) + �1 ′ (e17) + �1 ′ (v4) =
�1 ′ (v4) + �1 ′ (e18) + �1 ′ (v5) =
�1 ′ (v5) + �1 ′ (e19) + �1 ′ (v6) =
�1 ′ (v6) + �1 ′ (e20) + �1 ′ (v7) =
�1 ′ (v7) + �1 ′ (e21) + �1 ′ (v1) =
33 + 6 + 29
29 + 7 + 32
32 + 1 + 35
35 + 2 + 31
31 + 3 + 34
34 + 4 + 30
30 + 5 + 33
= 68
= 68
= 68
= 68
= 68
= 68
= 68
28
Lampiran 3
�
Pola graf Petersen P(5, 1) pada Teorema 2
Banyaknya simpul ialah 10 dan banyaknya sisi ialah 15, dengan
� = {1, 2, 3, … , 24, 25} serta himpunan simpul dan sisi sebagai berikut.
[� 5, 1 ] = { 1 ,
�[� 5, 1 ] = {{ �
∀� ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
2, … ,
�+1 }, {
5, 1, 2, … , 5}
� � }, { � �+
}}
ketika nilai indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v
lebih besar dari 5 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 5.
Dengan menggunakan definisi formula pelabelan �2 , maka untuk graf Petersen
P(5, 1) diperoleh label simpul sebagai berikut.
�2 (v1) = 19
�2 (u1) = 6
�2 (v2) = 17
�2 (u2) = 9
�2 (v3) = 20
�2 (u3) = 7
�2 (u4) = 10 �2 (v4) = 18
�2 (v5) = 16
�2 (u5) = 8
Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut,
�2 (u1u2) = �2 (e1) = 24
�2 (u1v1) = �2 (e6) = 14
�2 (v1v2) = �2 (e11) = 3
�2 (u2u3) = �2 (e2) = 23
�2 (u2v2) = �2 (e7) = 13
�2 (v2v3) = �2 (e12) = 2
�2 (u3u4) = �2 (e3) = 22
�2 (u3v3) = �2 (e8) = 12
�2 (v3v4) = �2 (e13) = 1
�2 (u4u5) = �2 (e4) = 21
�2 (u4v4) = �2 (e9) = 11
�2 (v4v5) = �2 (e14) = 5
�2 (u5u1) = �2 (e5) = 25
�2 (u5v5) = �2 (e10) = 15
�2 (v5v6) = �2 (e15) = 4
sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident
terhadap 2 simpul ujungnya sebagai berikut.
�2 (u1) + �2 (e1) + �2 (u2) = 6 + 24 + 9 = 39
�2 (u2) + �2 (e2) + �2 (u3) = 9 + 23 + 7 = 39
�2 (u3) + �2 (e3) + �2 (u4) = 7 + 22 + 10 = 39
�2 (u4) + �2 (e4) + �2 (u5) = 10 + 21 + 8 = 39
�2 (u5) + �2 (e5) + �2 (u1) = 8 + 25 + 6 = 39
�2 (u1) + �2 (e6) + �2 (v1) = 6 + 14 + 19 = 39
�2 (u2) + �2 (e7) + �2 (v2) = 9 + 13 + 17 = 39
�2 (u3) + �2 (e8) + �2 (v3) = 7 + 12 + 20 = 39
�2 (u4) + �2 (e9) + �2 (v4) = 10 + 11 + 18 = 39
�2 (u5) + �2 (e10) + �2 (v5) = 8 + 15 + 16 = 39
�2 (v1) + �2 (e11) + �2 (v2) = 19 + 3 + 17 = 39
�2 (v2) + �2 (e12) + �2 (v3) = 17 + 2 + 20 = 39
�2 (v3) + �2 (e13) + �2 (v4) = 20 + 1 + 18 = 39
�2 (v4) + �2 (e14) + �2 (v5) = 18 + 5 + 16 = 39
�2 (v5) + �2 (e15) + �2 (v1) = 16 + 4 + 19 = 39
29
Kemudian dengan menggunakan pelabelan �2 akan diperoleh pelabelan
dual �2 ′ dari graf P(5, 1) sebagai berikut. Banyaknya simpul ialah 10 dan
banyaknya sisi ialah 15, dengan �
� = {1, 2, 3, … , 24, 25} serta himpunan
simpul dan sisi sebagai berikut.
[� 5, 1 ] = { 1 ,
�[� 5, 1 ] = {{ �
∀� ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
2, … ,
5, 1, 2, … , 5}
�+1 }, { � � }, { � �+
}}
ketika nilai indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v
lebih besar dari 5 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 5.
Dengan menggunakan definisi formula pelabelan �2 ′ , maka untuk graf Petersen
P(5, 1) diperoleh label simpul sebagai berikut.
�2 ′ (u1) = 20 �2 ′ (v1) = 7
�2 ′ (u2) = 17 �2 ′ (v2) = 9
�2 ′ (u3) = 19 �2 ′ (v3) = 6
�2 ′ (u4) = 16 �2 ′ (v4) = 8
�2 ′ (u5) = 18 �2 ′ (v5) = 10
Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut,
�2 ′(u1u2)= �2 ′(e1)= 2
�2 ′(u1v1)= �2 ′(e6)= 12
�2 ′(v1v2)= �2 ′(e11)= 23
�2 ′(u2u3)= �2 ′(e2)= 3
�2 ′(u2v2)= �2 ′(e7)= 13
�2 ′(v2v3)= �2 ′(e12)= 24
�2 ′(u3u4)= �2 ′(e3)= 4
�2 ′(u3v3)= �2 ′(e8)= 14
�2 ′(v3v4)= �2 ′(e13)= 25
�2 ′(u4u5)= �2 ′(e4)= 5
�2 ′(u4v4)= �2 ′(e9)= 15
�2 ′(v4v5)= �2 ′(e14)= 21
�2 ′(u5u1)= �2 ′(e5)= 1
�2 ′(u5v5)= �2 ′(e10)= 11 �2 ′(v5v6)= �2 ′(e15)= 22
sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident
terhadap 2 simpul ujungnya sebagai berikut.
�2 ′ (u1) + �2 ′ (e1) + �2 ′ (u2) = 20 + 2 + 17 = 39
�2 ′ (u2) + �2 ′ (e2) + �2 ′ (u3) = 17 + 3 + 19 = 39
�2 ′ (u3) + �2 ′ (e3) + �2 ′ (u4) = 19 + 4 + 16 = 39
�2 ′ (u4) + �2 ′ (e4) + �2 ′ (u5) = 16 + 5 + 18 = 39
�2 ′ (u5) + �2 ′ (e5) + �2 ′ (u1) = 18 + 1 + 20 = 39
�2 ′ (u1) + �2 ′ (e6) + �2 ′ (v1) = 20 + 12 + 7 = 39
�2 ′ (u2) + �2 ′ (e7) + �2 ′ (v2) = 17 + 13 + 9 = 39
�2 ′ (u3) + �2 ′ (e8) + �2 ′ (v3) = 19 + 14 + 6 = 39
�2 ′ (u4) + �2 ′ (e9) + �2 ′ (v4) = 16 + 15 + 8 = 39
�2 ′ (u5) + �2 ′ (e10) + �2 ′ (v5) =18 + 11+ 10= 39
�2 ′ (v1) + �2 ′ (e11) + �2 ′ (v2) = 7 + 23 + 9 = 39
�2 ′ (v2) + �2 ′ (e12) + �2 ′ (v3) = 9 + 24 + 6 = 39
�2 ′ (v3) + �2 ′ (e13) + �2 ′ (v4) = 6 + 25 + 8 = 39
�2 ′ (v4) + �2 ′ (e14) + �2 ′ (v5) = 8 + 21 + 10 = 39
�2 ′ (v5) + �2 ′ (e15) + �2 ′ (v1) = 10 + 22 + 7 = 39
30
Lampiran 4
Pola graf Petersen P(7, 1) pada Teorema 2
Banyaknya simpul ialah 14 dan banyaknya sisi ialah 21, dengan
�(V ∪ E) = {1, 2, 3, …, 35} dan himpunan simpul dan sisi sebagai berikut.
V [P(7, 1)]= {u1, u2, …, u7, v1, v2, …, v7}
E [P(7, 1)] = {{uiui+1}, {uivi}, {vivi+m}}
∀i ∈{1, 2, …, 7}
ketika nilai indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v
lebih besar dari 7 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 7.
Dengan menggunakan definisi formula pelabelan �2 , maka untuk graf Petersen
P(7, 1) diperoleh label simpul sebagai berikut.
�2 (u1) = 8
�2 (v1) = 26
�2 (u2) = 11 �2 (v2) = 22
�2 (u3) = 14 �2 (v3) = 25
�2 (u4) = 10 �2 (v4) = 28
�2 (u5) = 13 �2 (v5) = 24
�2 (u6) = 9
�2 (v6) = 27
�2 (u7) = 12 �2 (v7) = 23
Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut,
�2 (u1u2) = �2 (e1) = 35
�2 (u1v1) = �2 (e8) = 20
�2 (v1v2) = �2 (e15) = 6
�2 (u2u3) = �2 (e2) = 29
�2 (u2v2) = �2 (e9) = 21
�2 (v2v3) = �2 (e16) = 7
�2 (u3u4) = �2 (e3) = 30
�2 (u3v3) = �2 (e10) = 15
�2 (v3v4) = �2 (e17) = 1
�2 (u4u5) = �2 (e4) = 31
�2 (u4v4) = �2 (e11) = 16
�2 (v4v5) = �2 (e18) = 2
�2 (u5u6) = �2 (e5) = 32
�2 (u5v5) = �2 (e12) = 17
�2 (v5v6) = �2 (e19) = 3
�2 (u6u7) = �2 (e6) = 33
�2 (u6v7) = �2 (e13) = 18
�2 (v6v7) = �2 (e20) = 4
�2 (u7u1) = �2 (e7) = 34
�2 (u7v1) = �2 (e14) = 19
�2 (v7v1) = �2 (e21) = 5
sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlaha
IKHWAN AL AMIN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pelabelan Total SisiAjaib pada Graf Petersen adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, September 2014
Ikhwan Al Amin
NIM G54100052
ABSTRAK
IKHWAN AL AMIN. Pelabelan Total Sisi-Ajaib pada Graf Petersen. Dibimbing
oleh MUHAMMAD ILYAS dan TEDUH WULANDARI MAS’OED.
Suatu pelabelan total pada graf G dengan banyaknya simpul v dan
banyaknya sisi e adalah pemetaan satu-satu dari himpunan (�) ∪ �(�) ke
himpunan bilangan bulat positif {1, 2, ... , v + e}. Penjumlahan label sisi dan label
dua simpul yang menempel pada sisi tersebut disebut sebagai bobot sisi. Jika graf
G memiliki bobot sisi yang sama, maka pelabelan ini disebut pelabelan total sisiajaib. Karya ilmiah ini membuktikan dua buah teorema pelabelan total sisi-ajaib
pada graf umum Petersen.
Kata kunci: graf Petersen, pelabelan total, pelabelan total sisi-ajaib.
ABSTRACT
IKHWAN AL AMIN. Edge-Magic Total Labeling on Petersen Graph. Supervised
by MUHAMMAD ILYAS and TEDUH WULANDARI MAS’OED.
A total labeling on a graph G with v vertices and e edges is a one-to-one
function from (�) ∪ �(�) onto the set of positive integers {1, 2, ... , v + e}. The
sum of the label on an edge and the labels of its endpoints is called edge-weights.
If graph G has constant edge-weights, then the labeling is called edge-magic total
labeling. In this manuscript, two theorems of edge-magic total labeling on
generalized Petersen graphs are discussed.
Keywords: edge-magic total labeling, Petersen graph, total labeling.
PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB PADA GRAF PETERSEN
IKHWAN AL AMIN
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Pelabelan Total Sisi-Ajaib pada Graf Petersen
Nama
: Ikhwan Al Amin
NIM
: G54100052
Disetujui oleh
Muhammad Ilyas, MSi MSc
Pembimbing I
Teduh Wulandari Mas’oed, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa
ta’ala atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penelitian ini dapat diselesaikan.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Muhammad Ilyas dan Ibu
Teduh Wulandari Mas’oed atas segala bimbingannya hingga akhir penulisan
karya ilmiah ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada saudara Rahmat
Chairulloh yang selalu memberikan semangat pada penulis juga atas masukan dan
kritikannya pada karya ilmiah ini hingga akhirnya dapat selesai dengan cepat dan
baik. Selain itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang
telah membantu memudahkan penulisan karya ilmiah ini, khususnya seluruh
teman di Departemen Matematika Angkatan 47. Topik yang dipilih dalam
penelitian ini adalah pelabelan graf dan karya ilmiah ini berjudul Pelabelan Total
Sisi-Ajaib pada Graf Petersen.
Kendala yang dihadapi dalam membuat karya ilmiah ini adalah perlunya
memahami lebih dahulu materi graf Petersen dan pelabelan graf ajaib secara
umum sehingga mendapat gambaran tentang topik yang diambil. Juga dibutuhkan
banyak percobaan dan ketelitian agar tidak salah dalam melabelkan graf yang
sudah dibuat. Namun dengan kerja keras, akhirnya karya ilmiah ini dapat
diselesaikan sebagaimana yang ada di hadapan Anda.
Tak ada gading yang tak retak, begitu pula dengan karya ilmiah ini.
Karena itu, kritik dan saran Anda akan sangat bermanfaat bagi penulis. Semoga
karya ilmiah ini menambah kekayaan khasanah ilmu pengetahuan khususnya
dalam bidang matematika dan dapat menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian
selanjutnya.
Bogor, September 2014
Ikhwan Al Amin
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vii
DAFTAR LAMPIRAN
vii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
1
LANDASAN TEORI
2
Teori Graf
2
Pelabelan Graf
5
PEMBAHASAN
7
Teorema 1
7
Teorema 2
14
SIMPULAN DAN SARAN
21
Simpulan
21
Saran
21
DAFTAR PUSTAKA
22
RIWAYAT HIDUP
33
DAFTAR GAMBAR
Graf G = (V, E)
Cycle dengan 3 simpul
Graf teratur berderajat 3
Graf Petersen P(3, 1)
Pelabelan pada graf Petersen P(3, 1)
Pelabelan total sisi-ajaib pada graf petersen P(3, 1)
Graf Petersen P(5, 1)
Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(5, 1) dengan konstanta ajaib
k = 29
9 Pelabelan dual pada graf Petersen P(5, 1) dengan konstanta ajaib
k’ = 49
10 Graf Petersen P(7, 1)
11 Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(7, 1) dengan konstanta ajaib
k = 40
12 Pelabelan dual pada graf Petersen P(7, 1) dengan konstanta ajaib
k’ = 68
13 Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(5, 1) dengan konstanta ajaib
k = 39
14 Pelabelan dual pada graf Petersen P(5, 1) dengan konstanta ajaib
k’ = 39
15 Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(7, 1) dengan konstanta ajaib
k = 54
16 Pelabelan dual pada graf Petersen P(7, 1) dengan konstanta ajaib
k’ = 54
1
2
3
4
5
6
7
8
2
3
3
4
6
7
12
12
13
13
14
14
19
19
20
20
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
Pola graf Petersen P(5, 1) pada Teorema 1
Pola graf Petersen P(7, 1) pada Teorema 1
Pola graf Petersen P(5, 1) pada Teorema 2
Pola graf Petersen P(7, 1) pada Teorema 2
23
25
28
30
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Seorang ahli matematika asal Swiss, Leonhard Euler, pada tahun 1736
memperkenalkan salah satu cabang ilmu matematika yang disebut “Teori Graf”.
Ketika itu Euler memperkenalkan teori tersebut untuk menyelesaikan masalah
jembatan Königsberg yang merupakan salah satu masalah transportasi yang
terjadi di kota Kaliningrad, Rusia. Ia memodelkan permasalahan tersebut ke
dalam model matematika berupa bagan yang terdiri dari simpul dan sisi.
Contoh graf yang sangat populer saat ini adalah graf Petersen. Salah satu
penerapan graf Petersen di antaranya dalam masalah pewarnaan gambar peta,
dimana warna setiap daerah pada peta yang berbatasan dibuat berlainan sehingga
mudah untuk dibedakan.
Mengikuti perkembangan zaman, teori graf terus dikembangkan dan
memiliki banyak terapan, di antaranya model jaringan komunikasi, ilmu
komputer, penjadwalan, riset operasi, dan sebagainya. Hal itu disebabkan teori
graf memiliki cakupan model yang luas. Salah satu permasalahan utama dalam
teori graf adalah bagaimana menandai suatu simpul dan sisi, sedemikian sehingga
setiap simpul dan sisi yang saling terhubung memiliki tanda yang berbeda. Ada
beberapa metode yang dapat digunakan untuk menandai suatu simpul/sisi, salah
satunya adalah metode pelabelan.
Pelabelan pada suatu graf merupakan fungsi injektif yang memetakan setiap
unsur himpunan simpul dan setiap unsur himpunan sisi ke bilangan asli yang
disebut label (Gallian 2009). Pelabelan pada graf terdiri dari pelabelan simpul,
pelabelan sisi, dan pelabelan total. Pelabelan simpul adalah pelabelan dengan
domain himpunan simpul, pelabelan sisi adalah pelabelan dengan domain
himpunan sisi, dan pelabelan total adalah pelabelan dengan domain gabungan
himpunan simpul dan sisi. Ada banyak jenis pelabelan pada graf yang telah
dikembangkan, di antaranya adalah pelabelan graceful, pelabelan harmoni,
pelabelan total, pelabelan ajaib, dan pelabelan anti ajaib.
Pelabelan ajaib pada suatu graf merupakan pelabelan total pada simpul dan
sisi suatu graf dengan labelnya adalah bilangan asli, dengan jumlah label-label
pada sebuah sisi dan dua simpul ujungnya adalah suatu bilangan konstan atau
disebut konstanta ajaib. Dalam karya ilmiah ini akan dibuktikan teorema-teorema
untuk memperoleh pelabelan ajaib pada graf Petersen.
Sumber utama dalam karya ilmiah ini adalah artikel berjudul “On Magic
and Antimagic Total Labeling of Generalized Petersen Graph” yang ditulis Anak
Agung Gede Ngurah dan Edy Tri Baskoro pada tahun 2003.
Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah membuktikan teoremateorema untuk memperoleh pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(n, 1)
dengan n bilangan ganjil.
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dijelaskan beberapa definisi dalam teori graf dan
pelabelan graf yang akan digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Teori Graf
Definisi 1 (Graf)
Suatu graf G adalah pasangan terurut (V, E) dengan V adalah himpunan
takkosong dan berhingga dan E adalah himpunan pasangan takterurut yang
menghubungkan elemen-elemen V. Graf G dinotasikan G = (V, E). Elemen V
disebut simpul sedangkan elemen E disebut sisi. Himpunan dari simpul-simpul
pada graf G dinotasikan dengan V(G), sedangkan himpunan dari sisi-sisi pada graf
G dinotasikan dengan E(G) (Foulds 1992).
Graf yang dimaksud definisi di atas disebut graf tak berarah. Contoh graf
dapat dilihat pada Gambar 1 berikut ini
e
g
a
Gambar 1. Graf G = (V, E)
Himpunan simpul dan himpunan sisi graf pada Gambar 1 adalah
V(G) = {a, b, c, d, e, f, g}
E(G) = {{ab}, {bc}, {bd}, {cd}, {ce}, {de}, {df}, {ef}, {eg}, {fg}}.
Definisi 2 (Order dan Size)
Misalkan diberikan graf G. Banyaknya simpul pada graf G disebut order
dan banyaknya sisi pada graf G disebut size. Order dari graf G dinotasikan dengan
|V(G)| dan size dari graf G dinotasikan dengan |E(G)| (Chartrand & Oellermann
1993).
Pada Gambar 1, |V(G)| = 7 dan |E(G)| = 10.
Definisi 3 (Incident dan Adjacent)
Misalkan diberikan graf G. Jika e = {uv} ∈ E(G) dengan u, v ∈V(G) maka
u dan v dikatakan adjacent di G dan e dikatakan incident dengan u dan v
(Chartrand & Oellermann 1993).
Pada Gambar 1, misalkan e = {ab} ∈ E(G) maka a dan b dikatakan adjacent
di G dan e dikatakan incident dengan a dan b.
3
Definisi 4 (Derajat)
Derajat dari suatu simpul v pada graf G adalah banyaknya sisi yang
incident dengan v dan dinotasikan dengan deg(v) (Chartrand & Oellermann 1993).
Pada Gambar 1, derajat setiap simpulnya ialah deg(a) = 1, deg(b) =3,
deg(c) = 3, deg(d) = 4, deg(e) = 3, deg( f )= 3, dan deg(g) = 2.
Definisi 5 (Walk)
Suatu walk pada graf G adalah suatu barisan simpul dan sisi dari graf G
dengan bentuk {v1, {v1v2}, v2, {v2v3}, v3, … , {vn-1vn}, vn} dan dapat dituliskan
sebagai {v1, v2, … , vn} atau v1, v2, … , vn. Suatu walk yang menghubungkan v1
dengan vn dikatakan tertutup jika v1 = vn. Jika v1 ≠ vn maka walk tersebut dikatakan
terbuka (Foulds 1992).
Pada Gambar 1, terdapat walk terbuka yaitu walk {a, {ab}, b} dan walk
tertutup yaitu {b, {bc}, c, {ce}, e, {eg}, g, {gf}, f, {fd}, d, {db}, b}.
Definisi 6 (Cycle)
Cycle pada suatu graf G adalah walk tertutup yang mengandung
setidaknya tiga simpul berbeda (Foulds 1992).
Pada Gambar 1 sebelumnya, terdapat cycle pada graf G yang terdiri atas
tiga simpul, yaitu
e
f
g
Gambar 2. Cycle dengan 3 simpul
Definisi 7 (Graf Teratur)
Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut Graf
Teratur. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai
Graf Teratur Berderajat r (Chartrand dan Oellermann 1993).
Pada Gambar 3, terdapat graf teratur dengan derajat setiap simpul adalah 3
atau disebut graf teratur berderajat 3.
q
s
p
r
Gambar 3. Graf teratur berderajat 3
4
Definisi 8 (Graf Petersen)
Graf G disebut graf Petersen, dinotasikan P(n, m), n ≥ 3, 1 ≤ m < , jika
2
graf G tersebut merupakan graf teratur berderajat 3 (3-regular graphs) dengan 2n
simpul dan 3n sisi serta himpunan simpul dan sisi adalah V(G) = {u1, u2, …, un, v1,
v2, …, vn}, E(G) = {{uiui+1}, {vivi+m}, {uivi}}, ∀i ∈ {1, 2, …, n} dan ketika nilai
indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v lebih besar dari
n maka nilai indeks tersebut akan di-modulo-kan dengan n (Ngurah dan Baskoro
2003).
Contoh graf Petersen dapat dilihat pada gambar di bawah ini.
u1
v1
v2
u2
v3
u3
Gambar 4. Graf Petersen P(3, 1)
Himpunan simpul dan himpunan sisi graf Petersen P(3, 1) pada Gambar 4
adalah
V(G) = {u1, u2, u3, v1, v2, v3}
E(G) = {{u1u2},{u2u3}, {u3u1}, {v1v2}, {v2v3}, {v3v1}, {u1v1}, {u2v2},
{u3v3}}.
Berikut dijelaskan bagaimana cara membuat graf Petersen P(3, 1) di atas
berdasarkan definisi graf Petersen.
Berdasarkan definisi, graf Petersen P(3, 1) memiliki nilai n = 3 dan m = 1.
Pada bagian simpul terdapat 6 simpul dengan 3 simpul pertama pada bagian luar
yaitu u1, u2, dan u3 serta 3 simpul kedua pada bagian dalam yaitu v1, v2, dan v3
sehingga diperoleh himpunan simpul dari graf Petersen P(3, 1) sebagai berikut,
V [P(3, 1)] = { u1, u2, u3, v1, v2, v3 }.
Kemudian pada bagian sisi dari graf Petersen P(3,1) terdapat 9 sisi. Tiga
sisi pertama pada bagian luar menghubungkan setiap simpul u dari graf Petersen
P(3, 1) dengan himpunan sisi E [P(3, 1)] = { u1ui+1 } untuk setiap i ∈ {1, 2, 3}.
Berikut penjelasan tiga himpunan sisi pertama E [P(3,1)] dari graf Petersen
P(3, 1).
Ketika indeks pada simpul u, yaitu i bernilai 1, maka indeks pada simpul u
lainnya, yaitu i+1 bernilai 2, sehingga diperoleh sisi yaitu { u1u2 }.
Ketika indeks pada simpul u, yaitu i bernilai 2, maka indeks pada simpul u
lainnya, yaitu i+1 bernilai 3, sehingga diperoleh sisi yaitu { u2u3 }.
5
Ketika indeks pada simpul u, yaitu i bernilai 3, maka indeks pada simpul u
lainnya, yaitu i+1 bernilai 4. Karena indeks i+1 > 3, maka nilai i+1 dimodulo-kan 3, yaitu 4 mod 3 = 1. Sehingga indeks i+1 setelah di-modulokan bernilai 1. Akibatnya diperoleh sisi yaitu { u3u1 } bukan { u3u4 }.
Himpunan sisi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut,
E [P(3, 1)] = {{ u1u2 }, { u2u3 }, { u3u1 }}.
Dengan cara yang sama dapat kita peroleh tiga sisi kedua pada bagian
dalam sebagai berikut,
E [P(3, 1)] = {{ v1v2 }, { v2v3 }, { v3v1 }}.
Dan terakhir, tiga sisi ketiga yang menghubungkan setiap simpul u pada
bagian luar tepat satu dengan simpul v pada bagian dalam dari graf Petersen
P(3, 1) dengan himpunan sisi sebagai berikut,
E [P(3, 1)] = {{ u1v1 }, { u2v2 }, { u3v3 }}.
Akibatnya diperoleh himpunan sisi secara keseluruhan dari graf Petersen
P(3, 1) sebagai berikut,
E [P(3, 1)] = {{ u1u2 }, { u2u3 }, { u3u1 }, { v1v2 }, { v2v3 }, { v3v1 }, { u1v1 },
{ u2v2 }, { u3v3 }}.
Pelabelan Graf
Definisi 9 (Pelabelan Total)
Suatu pelabelan pada graf G(V, E) dengan banyaknya simpul v dan
banyaknya sisi e adalah pemetaan satu-satu dari himpunan (�) ∪ �(�) ke
himpunan bilangan bulat positif {1, 2, ... , v + e}. Pelabelan ini disebut pelabelan
total (Ngurah dan Baskoro 2003).
Definisi 10 (Pelabelan Ajaib)
Misalkan G graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E serta
penjumlahan label sisi dan label dua simpul yang menempel pada sisi disebut
sebagai bobot sisi. Graf G disebut pelabelan ajaib jika memiliki bobot sisi yang
sama untuk setiap sisi di G sedangkan graf G disebut anti-ajaib jika memiliki
bobot sisi yang berbeda untuk setiap sisi di G (Rahman et al. 2013).
Definisi 11 (Pelabelan Total Sisi-Ajaib)
Misalkan G graf dengan ǀV(G)ǀ = v dan ǀE(G)ǀ = e. Maka pelabelan total
sisi-ajaib pada graf G adalah suatu fungsi bijektif
�:
� ∪ � � → {1,2,3, … , + }
sedemikian hingga untuk suatu konstanta k berlaku
�
+�
+�
=�
6
untuk setiap sisi
x, y ∈ (�).
∈ �(�) yang incident dengan dua simpul ujungnya yaitu
Jika pelabelan dapat dikenakan pada G, maka k disebut konstanta ajaib dari
f dan G disebut graf total sisi-ajaib atau dikatakan mempunyai pelabelan total
sisi-ajaib (Ngurah dan Baskoro 2003).
Berikut ini diberikan contoh pelabelan total sisi-ajaib pada suatu graf.
Misalkan diberikan graf Petersen P(3, 1) seperti pada Gambar 5. Banyaknya
simpul ialah 6 dan banyaknya sisi ialah 9, dengan �(V ∪ E) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}.
u1
e4
e1 e7 v1 e9 e3
v
e5 v2 e8 3 e6
u2
e2
u3
Gambar 5. Pelabelan pada graf Petersen P(3, 1)
Misalkan simpul-simpul pada graf Petersen P(3, 1) diberi pelabelan
�(u1) = 6
�(v1) = 1
�(u2) = 4
�(v2) = 2
�(u3) = 5
�(v3) = 3.
Kemudian diberikan pelabelan untuk sisi-sisi pada graf Petersen P(3, 1), misalnya
�(u1u2) = �(e1) = 8
�(u1v1) = �(e4) = 11 �(v1v2) = �(e7) = 15
�(u2u3) = �(e2) = 9
�(u2v2) = �(e5) = 12 �(v2v3) = �(e8) = 13
�(u3u1) = �(e3) = 7
�(u3v3) = �(e6) = 10 �(v3v1) = �(e9) = 14.
maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2
simpul ujungnya :
�(u1) + �(e1) + �(u2) = 6 + 8 + 4 = 18
�(u2) + �(e2) + �(u3) = 4 + 9 + 5 = 18
�(u3) + �(e3) + �(u1) = 5 + 7 + 6 = 18
�(u1) + �(e4) + �(v1) = 6 + 11 + 1 = 18
�(u2) + �(e5) + �(v2) = 4 + 12 + 2 = 18
�(u3) + �(e6) + �(v3) = 5 + 10 + 3 = 18
�(v1) + �(e7) + �(v2) = 1 + 15 + 2 = 18
�(v2) + �(e8) + �(v3) = 2 + 13 + 3 = 18
�(v3) + �(e9) + �(v1) = 3 + 14 + 1 = 18.
7
Dari semua penjumlahan label di atas terlihat bahwa pelabelan tersebut
menghasilkan satu nilai saja atau disebut konstanta ajaib yaitu k = 18. Pelabelan
tersebut digambarkan seperti pada Gambar 5.
6
11
8
15
4
2
1
1
7
14
3
3
13
10
5
4
5
2
9
Gambar 6. Pelabelan total sisi-ajaib pada graf petersen P(3, 1)
12
0
Definisi 12 (Pelabelan Dual)
Diberikan sebuah pelabelan total sisi-ajaib � untuk graf G dengan
ǀV(G)ǀ = v dan ǀE(G)ǀ = e. Untuk setiap pelabelan ajaib � terdapat pelabelan ajaib
�′ atau disebut pelabelan dual didefinisikan sebagai berikut.
dan
�′
�′
=
=
+ + 1 − �( ), untuk setiap simpul x ∈ V(G)
+ + 1 − �(
), untuk setiap sisi xy ∈ E(G).
Pelabelan dual �′ memiliki konstanta ajaib � ′ = 3
adalah konstanta ajaib dari � (Wallis et al. 2000).
+ + 1 − �, dengan �
PEMBAHASAN
Permasalahan utama dalam karya ilmiah ini adalah bagaimana mencari
pola pelabelan ajaib sehingga diperoleh definisi formula (rumus) khusus untuk
memperoleh konstanta ajaib k sehingga diperoleh pola pelabelan total sisi-ajaib
pada graf Petersen P(n, 1).
Kajian pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(n, 1) akan disajikan
dalam bentuk teorema berikut beserta contoh gambar pola pelabelannya.
Teorema 1
Jika n ganjil, ≥ 3, maka graf umum Petersen P(n, 1) memiliki sebuah
1
pelabelan total sisi-ajaib dengan konstanta ajaib k = (11 + 3).
2
8
Bukti :
Misalkan P(n, 1) dengan adalah graf Petersen yang mempunyai pelabelan total
sisi-ajaib karena |V [P(n, 1)]| = 2n dan |E [P(n, 1)]| = 3n sehingga
� : V [P(n, 1)] ∪ E [P(n, 1)] → {1, 2, …, 5n}, maka v + e = 5n.
Semua simpul dan sisi pada graf Petersen P(n, 1) dilabelkan dengan menggunakan
definisi formula pelabelan �1, dengan �1 didefinisikan sebagai pelabelan simpul
dan sisi dari graf Petersen P(n, 1). Berikut diberikan definisi formula pelabelan �1.
1
�1
2
1
=
�
2
1
4 − � + 1 , � ganjil
3 − � + 1 , � genap
−�
2
�1
�
=
�1
� �+1
=
�1
� �+1
=
�1
� �
=
1
2
, � ganjil, � ≠
, �=
, � genap
2 −�
2 +�+1
2 +1
, � ≠
, �=
, �=
, � = −1
, lainnya
4 +2
4 +1
4 +2+�
3 +�+1
3 +1
, � ≠
, �= .
Berdasarkan definisi pelabelan total sisi-ajaib, akan ada k yang memenuhi
untuk setiap sisi
x, y ∈ (�).
�
+�
+�
=�
∈ �(�) yang incident dengan dua simpul ujungnya yaitu
Atau dapat ditulis
�
�
+�
� �+1
+�
�+1
=�
=�
= �.
�
�
+�
+�
+�
+� �
� �+1
� �
�+1
9
Dari formula �1 akan didapatkan konstanta ajaib � dari tiga kasus berikut.
1) Kasus 1
Misalkan konstanta ajaib adalah �1 sehingga akan memenuhi
�1 = �
�1 =
1
2
1
2
1
2
1
=
�
+�
� �+1
+�
�+1
4 −�+1 +2 +�+1+
1
3 −�+1 +2 +�+1+
1
3 +1 +2 +1+
1
2
4
2
2
(11 + 3) , � ganjil, � ≠
2
1
3 − � , � ganjil, � ≠
, �=
4 − � , � genap
(11 + 3) , � =
2
1
2
11 + 3 , � genap.
2) Kasus 2
Misalkan konstanta ajaib adalah �2 sehingga akan memenuhi
�2 = �
�
1
2
�2 =
1
1
2
1
2
1
2
1
2
�+1
−� +4 +2+�+
2 −
2
1
+�
� �+1
+4 +2+
1
2
1
2 − � − 1 , � ganjil, � ≠
2
−1
, �=
, �=
+1 +4 +1+
2 −� +4 +2+�+
2
=
+�
1
− � − 1 , � genap, � ≠
2
(11 + 3) , � ganjil, � ≠
11 + 3 , � =
(11 + 3) , � =
−1
11 + 3 , � genap, � ≠
−1
− 1.
3) Kasus 3
Misalkan konstanta ajaib adalah �3 sehingga akan memenuhi
�3 = �
�3 =
�
1
2
1
2
1
2
+�
� �
+�
�
4 −�+1 +3 +�+1+
1
3 −�+1 +3 +�+1+
1
2
3 +1 +3 +1+
2
−�
, � ganjil, � ≠
, �=
2 − � , � genap
−1
10
1
2
1
=
2
1
2
(11 + 3) , � ganjil, � ≠
(11 + 3) , � =
11 + 3 , � genap.
1
Dari perhitungan di atas didapatkan � = �1 = �2 = �3 = 11 + 3 .
2
Atau dapat ditulis
�
�
+�
� �+1
+�
=� � +� �
=� � +� �
1
= 11 + 3 .
2
�+1
+�
+� �
�+1
�
�+1
■ Terbukti
Menurut pelabelan dual, untuk setiap pelabelan ajaib � terdapat pelabelan
ajaib �′ didefinisikan sebagai berikut.
�′
dan
=
�′
=
+ + 1 − �( ), untuk setiap simpul x ∈ V(G)
+ + 1 − �(
), untuk setiap sisi xy ∈ E(G).
Pelabelan dual �′ memiliki konstanta ajaib � ′ = 3
adalah konstanta ajaib dari �.
+ + 1 − �, dimana �
Graf Petersen P(n, 1) memiliki 2n simpul dan 3n sisi atau dapat ditulis
|V [P(n, 1)]| = 2n dan |E [P(n, 1)]| = 3n, maka + = 5n.
Sehingga dari definisi formula pelabelan �1, akan kita peroleh
�1 ′
�
= 5 + 1 − �( � )
=
5 +1−
5 +1−
1
=
2
1
2
�1 ′
�
1
2
1
2
4 − � + 1 , � ganjil
3 − � + 1 , � genap
6 + � + 1 , � ganjil
7 + � + 1 , � genap
= 5 + 1 − �( � )
5 +1−
= 5 +1−
5 +1−
1
2
1
2
−�
2 −�
, � ganjil, � ≠
, �=
, � genap
11
1
9 +�+2
= 4 +1
1
8 +�+2
, � ganjil, � ≠
, �=
, � genap
2
2
�1 ′
� �+1
= 5 + 1 − �1
=
=
�1 ′
� �+1
=
�1 ′
� �
5 + 1 − (2 + � + 1)
5 + 1 − (2 + 1)
3 −�
3
= 5 + 1 − �1
=
� �+1
, � ≠
, �=
� �+1
5 + 1 − (4 + 2)
5 + 1 − (4 + 1)
5 + 1 − (4 + 2 + �)
−1
=
, �=
, � = −1
, lainnya
, �=
, � = −1
, lainnya
−1−�
= 5 + 1 − �1
=
, � ≠
, �=
� �
5 + 1 − (3 + � + 1)
5 + 1 − (3 + 1)
2 −�
2
, � ≠
, �= .
=
15 + 3 −
, � ≠
, �=
Diketahui �1 memiliki konstanta ajaib �, maka �1 ′ memiliki konstanta ajaib
1
�′ =
3 5 + 1 − 11 + 3
2
=
1
2
1
2
11 + 3
19 + 3 .
Selanjutnya akan diberikan dua contoh pelabelan total sisi-ajaib pada graf
Petersen P(n, 1) berdasarkan Teorema 1 dengan nilai n = 5 dan n = 7 berikut
dengan pelabelan dualnya.
Graf Petersen P(5, 1)
Contoh pelabelan total sisi-ajaib dari graf Petersen P(n, 1) pada graf
P(5, 1) dapat dilihat pada gambar di bawah ini.
12
1
6
1
5
1
2
11
2
5
5
15
10
7
12
14
3
4
13
2
4
3
9
8
3
3
4
Gambar 7. Graf Petersen P(5, 1)
Dari cara pelabelan �1 pada Lampiran 1 diperoleh sebuah konstanta ajaib
k = 29, sehingga pelabelan graf Petersen P(5, 1) dari pelabelan �1 dapat
digambarkan sebagai berikut.
10
17
12
11
2
7
18
23
4
22
24
13
1
21
25
19
9
8
5
16
3
15
3
20
14
6
Gambar 8. Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen
P(5, 1) dengan konstanta ajaib k = 29
Dari cara pelabelan �1 ′ pada Lampiran 1 diperoleh sebuah konstanta ajaib
�′ = 49, sehingga pelabelan graf Petersen P(5, 1) dari pelabelan �1 ′ dapat
digambarkan sebagai berikut.
13
16
14
15
9
24
19
22
4
3
8
10
2
13
18
21
5
3
23
1
25
11
6
7
20
12
17
Gambar 9. Pelabelan dual pada graf Petersen
P(5, 1) dengan konstanta ajaib k’ = 49
Graf Petersen P(7, 1)
Contoh pelabelan total sisi-ajaib dari graf Petersen P(n, 1) pada graf
P(7, 1) dapat dilihat pada gambar di bawah ini.
1
1
7
8
7
2
1
2
9
2
3
14
21
15
7
6
20
16
13
10
3
18
4
3
4
6
5
5
12
11
4
6
19
17
5
Gambar 10. Graf Petersen P(7, 1)
Dari cara pelabelan �1 pada Lampiran 2 diperoleh konstanta ajaib k = 40
dari graf Petersen P(7, 1), sehingga pelabelan graf Petersen P(7, 1) dari pelabelan
�1 dapat digambarkan sebagai berikut.
14
Gambar 11. Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen
P(7, 1) dengan konstanta ajaib k = 40
Dari cara pelabelan �1 ′ pada Lampiran 2 diperoleh konstanta ajaib �’ = 68
dari graf Petersen P(7, 1), sehingga pelabelan graf Petersen P(7, 1) dari pelabelan
�1 ′ dapat digambarkan sebagai berikut.
22
21
20
13
25
14 29 6
15
32
28
26
33
16
24
5
30
7
1
35
9
8
12
19
4
2
3 34
31
11
23
18
10
17
27
Gambar 12. Pelabelan dual pada graf Petersen P(7, 1)
dengan konstanta ajaib k’ = 68
Teorema 2
Jika n ganjil, ≥ 3, maka graf umum Petersen P(n, 1) memiliki sebuah
1
pelabelan total sisi-ajaib dengan konstanta ajaib k = (15 + 3).
2
Bukti :
Misalkan P(n, 1) dengan adalah graf Petersen yang mempunyai pelabelan total
sisi-ajaib karena |V [P(n, 1)]| = 2n dan |E [P(n, 1)]| = 3n sehingga � : V [P(n, 1)]
∪E [P(n, 1)] → {1, 2, …, 5n}, maka v + e = 5n.
15
Semua simpul dan sisi pada graf Petersen P(n, 1) dilabelkan dengan menggunakan
definisi formula pelabelan �2, dengan �2 didefinisikan sebagai pelabelan simpul
dan sisi dari graf Petersen P(n, 1). Berikut diberikan definisi formula pelabelan �2.
1
�2
2
1
=
�
2
1
2 + � + 1 , � ganjil
3 + � + 1 , � genap
7 +�+2
3 +1
1
6 +�+2
2
2
�2
�
=
�2
� �+1
=
�2
� �+1
=
�2
� �
=
5 −�
5
−1
−1−�
3 −�
3
, � ≠
, �=
, � ganjil, � ≠
, �=
, � genap
, �=
, � = −1
, lainnya
, � ≠
, �= .
Berdasarkan definisi pelabelan total sisi-ajaib, akan ada k yang memenuhi
untuk setiap sisi
x, y ∈ (�).
�
+�
+�
=�
∈ �(�) yang incident dengan dua simpul ujungnya yaitu
Atau dapat ditulis
�
�
+�
� �+1
+�
�+1
=�
=�
= �.
�
�
+�
+�
+�
+� �
� �+1
� �
�+1
Dari formula �2 didapatkan konstanta ajaib � dari tiga kasus berikut.
1) Kasus 1
Misalkan konstanta ajaib adalah �1 sehingga akan memenuhi
�1 = �
�
+�
� �+1
+�
�+1
16
1
=
2
1
2
1
2
1
=
2 +�+1 +5 −�+
1
3 +�+1 +5 −�+
1
3 +1 +5 +
1
2
2
2 +2
2
(15 + 3) , � ganjil, � ≠
2
1
3 + � + 2 , � ganjil, � ≠
, �=
2 + � + 2 , � genap
(15 + 3) , � =
2
1
2
15 + 3 , � genap.
2) Kasus 2
Misalkan konstanta ajaib adalah �2 sehingga akan memenuhi
�2 = �
1
�
2
+�
1
2
1
=
2
1
2
1
2
�+1
−1−�+
1
1
2
6 + � + 3 , � ganjil, � ≠
, �=
7 +3
2
+ 3 +1
6 +�+2 +
2
1
−1+
7 +1 +
2
1
+�
7 +�+2 +
3 +1+
=
� �+1
−1−�+
(15 + 3) , � ganjil, � ≠
15 + 3 , � =
(15 + 3) , � =
−1
15 + 3 , � genap, � ≠
1
2
, �=
−1
7 + � + 3 , � genap, � ≠
− 1.
3) Kasus 3
Misalkan konstanta ajaib adalah �3 sehingga akan memenuhi
�3 = �
=
�
1
2
1
2
1
2
1
=
2
1
2
1
2
+�
� �
+�
�
2 +�+1 +3 −�+
1
3 +�+1 +3 −�+
1
2
3 +1 +3 +3 +1
(15 + 3) , � ganjil, � ≠
(15 + 3) , � =
15 + 3 , � genap.
2
7 +�+2
6 +�+2
, � ganjil, � ≠
, �=
, � genap
−1
17
1
Dari perhitungan di atas didapatkan � = �1 = �2 = �3 = 2 15 + 3 .
Atau dapat ditulis
�
�
+�
� �+1
+�
=� � +� �
=� � +� �
1
= 15 + 3 .
�+1
2
+�
+� �
�+1
�
�+1
■ Terbukti
Menurut pelabelan dual, untuk setiap pelabelan ajaib � terdapat pelabelan
ajaib �′ didefinisikan sebagai berikut.
�′
dan
=
�′
=
+ + 1 − �( ), untuk setiap simpul x ∈ V(G)
+ + 1 − �(
), untuk setiap sisi xy ∈ E(G).
Pelabelan dual �′ memiliki konstanta ajaib � ′ = 3
adalah konstanta ajaib dari �.
+ + 1 − �, dimana �
Graf Petersen P(n, 1) memiliki 2n simpul dan 3n sisi atau dapat ditulis
|V [P(n, 1)]| = 2n dan |E [P(n, 1)]| = 3n, maka + = 5n.
Sehingga dari definisi formula pelabelan �2 , akan kita peroleh
�2 ′
�
= 5 + 1 − �( � )
=
5 +1−
5 +1−
1
=
2
1
2
�2 ′
�
1
2
1
2
2 + � + 1 , � ganjil
3 + � + 1 , � genap
8 − � + 1 , � ganjil
7 − � + 1 , � genap
= 5 + 1 − �( � )
5 +1−
1
2
7 +�+2
= 5 + 1 − (3 + 1)
5 +1−
1
2
= 2
1
2
3 −�
4 −�
1
2
6 +�+2
, � ganjil, � ≠
, �=
, � genap
, � ganjil, � ≠
, �=
, � genap
18
�2 ′
� �+1
= 5 + 1 − �1
5 + 1 − (5 − �)
5 + 1 − (5 )
=
1+�
1
=
�2 ′
�2 ′
� �+1
� �
� �+1
, � ≠
, �=
= 5 + 1 − �1
, � ≠
, �=
� �+1
5 + 1 − ( − 1)
= 5 +1−
5 + 1 − ( − 1 − �)
, �=
, � = −1
, lainnya
4 +2
= 4 +1
4 +2−�
= 5 + 1 − �1
� �
5 + 1 − (3 − �)
5 +1−3
=
2 +1+�
2 +1
=
, �=
, � = −1
, lainnya
, � ≠
, �=
, � ≠
, �= .
Diketahui �2 memiliki konstanta ajaib �, maka �2 ′ memiliki konstanta ajaib
�′
=3 + +1 −�
1
= 3 5 + 1 − 15 + 3
=
1
2
2
15 + 3 .
Karena � ′ = �, akibatnya Teorema 2 hanya memiliki self-dual atau pelabelan
dual terhadap diri sendiri.
Selanjutnya akan diberikan dua contoh pelabelan total sisi-ajaib pada graf
Petersen P(n, 1) berdasarkan Teorema 2 dengan nilai n = 5 dan n = 7 berikut
dengan pelabelan dualnya.
Graf Petersen P(5, 1)
Contoh pelabelan total sisi-ajaib dari graf Petersen P(n, 1) dengan definisi
dan konstanta ajaib yang berbeda dengan Teorema 1 pada graf P(5, 1) terdapat
pada Gambar 13.
19
Dari cara pelabelan �2 pada Lampiran 3 diperoleh sebuah konstanta ajaib
k = 39, sehingga pelabelan graf Petersen P(5, 1) dari pelabelan �2 dapat
digambarkan sebagai berikut.
6
14
24
25
19
9
4
3
17
16
13
2
23
8
15
5
3
18
1
20
12
21
11
22
7
10
Gambar 13. Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen
P(5, 1) dengan konstanta ajaib k = 39
Dari cara pelabelan �2 ′ pada Lampiran 3 diperoleh sebuah konstanta ajaib
�′ = 39, sehingga pelabelan graf Petersen P(5, 1) dari pelabelan �2 ′ dapat
digambarkan sebagai berikut.
20
2
1
12
7
17
13
9
22
23
11
24
3
6
21
25
3
5
8
15
14
19
18
10
4
16
Gambar 14. Pelabelan dual pada graf Petersen
P(5, 1) dengan konstanta ajaib k’ = 39
20
Graf Petersen P(7, 1)
Contoh pelabelan total sisi-ajaib dari graf Petersen P(n, 1) dengan definisi
dan konstanta ajaib yang berbeda dengan Teorema 1 pada graf P(7, 1) terdapat
pada gambar 15.
Dari cara pelabelan �2 pada Lampiran 4 diperoleh konstanta ajaib k = 54
dari graf Petersen P(7, 1), sehingga pelabelan graf Petersen P(7, 1) dari pelabelan
�2 dapat digambarkan sebagai berikut.
Gambar 15. Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen
P(7, 1) dengan konstanta ajaib k = 54
Dari cara pelabelan �2 ′ pada Lampiran 4 diperoleh konstanta ajaib �’ = 54
dari graf Petersen P(7, 1), sehingga pelabelan graf Petersen P(7, 1) dari pelabelan
�2 ′ dapat digambarkan sebagai berikut.
Gambar 16. Pelabelan dual pada graf Petersen
P(7, 1) dengan konstanta ajaib k’ = 54
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Karya ilmiah ini telah membuktikan bahwa graf Petersen P(n, m) dengan
n ganjil dan ≥ 3 dengan nilai m = 1 memiliki pelabelan total sisi-ajaib dengan
1
1
konstanta ajaib � = 11 + 3 atau � = 15 + 3 . Pembuktian dilakukan
2
2
dengan menggunakan definisi pelabelan simpul dan sisi, yaitu �1 dan �2 sehingga
dapat diperoleh himpunan bobot sisi yang sama bernilai �. Selain itu juga
dilakukan pembuktian dengan pelabelan dual �1 ′ dengan konstanta ajaib �′
sehingga diperoleh komplementer dari pelabelan sebelumnya dengan
1
� ′ = (19 + 3). Kemudian dilakukan pelabelan dual dari �2 ′ yang merupakan
2
self-dual atau pelabelan dual terhadap diri sendiri karena konstanta ajaib dari �2 ′
yaitu �′ = �.
Saran
Sebagian besar karya ilmiah sudah banyak membahas graf ajaib, sedangkan
peminat untuk graf anti-ajaib sedikit kurang. Masih banyak topik yang bisa digali
berkaitan dengan graf anti-ajaib. Selain itu, untuk pelabelan ajaib, dapat
dikembangkan pula beberapa variasi nilai n dan m pada graf Petersen, misalkan
nilai n genap atau ≥ 2.
DAFTAR PUSTAKA
Chartrand G, Oellermann OR. 1993. Applied and Algorithmic Graph Theory. New
York (US): McGraw-Hill.
Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York (US): Spinger-Verlag.
Gallian JA. 2009. A dynamic survey of graph labeling. The Electronic Journal
Combinatorics. 16: 7-65.
Kovar P. 2007. Magic labeling of regular graphs. AKCE J Graphs Combin. 4:261275.
Ngurah AAG, Baskoro ET. 2003. On magic and antimagic total labeling of
generalized petersen graph. Utilitas Math. 63: 97-107.
Rahman A, Narwen, Baqi AI. 2012. Pelabelan Total (a, d)-Sisi Anti Ajaib pada
Graf Petersen P(n, 2), untuk n Ganjil, n ≥ 3. Padang (ID): Universitas
Andalas Limau Manis.
Wallis WD, Baskoro ET, Miller M, dan Slamin. 2000. Edge magic total labelings.
Austral J Combin. 22: 177-190.
23
Lampiran 1
�
Pola graf Petersen P(5, 1) pada Teorema 1
Banyaknya simpul ialah 10 dan banyaknya sisi ialah 15, dengan
� = {1, 2, 3, … , 24, 25} serta himpunan simpul dan sisi sebagai berikut.
[� 5, 1 ] = { 1 ,
�[� 5, 1 ] = {{ �
∀� ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
2, … ,
�+1 }, {
5, 1, 2, … , 5}
� � }, { � �+
}}
ketika nilai indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v
lebih besar dari 5 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 5.
Dengan menggunakan definisi formula pelabelan �1 , maka untuk graf Petersen
P(5, 1) diperoleh label simpul sebagai berikut.
�1 (u1) = 10 �1 (v1) = 2
�1 (v2) = 4
�1 (u2) = 7
�1 (v3) = 1
�1 (u3) = 9
�1 (v4) = 3
�1 (u4) = 6
�1 (v5) = 5
�1 (u5) = 8
Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut,
�1 (u1u2) = �1 (e1) = 12
�1 (u1v1) = �1 (e6) = 17
�1 (v1v2) = �1 (e11) = 23
�1 (u2u3) = �1 (e2) = 13
�1 (u2v2) = �1 (e7) = 18
�1 (v2v3) = �1 (e12) = 24
�1 (u3u4) = �1 (e3) = 14
�1 (u3v3) = �1 (e8) = 19
�1 (v3v4) = �1 (e13) = 25
�1 (u4u5) = �1 (e4) = 15
�1 (u4 v4) = �1 (e9) = 20
�1 (v4v5) = �1 (e14) = 21
�1 (u5u1) = �1 (e5) = 11
�1 (u5 v5) = �1 (e10) = 16
�1 (v5v6) = �1 (e15) = 22
sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident
terhadap 2 simpul ujungnya sebagai berikut.
�1 (u1) + �1 (e1) + �1 (u2) = 10 + 12 + 7 = 29
�1 (u2) + �1 (e2) + �1 (u3) = 7 + 13 + 9 = 29
�1 (u3) + �1 (e3) + �1 (u4) = 9 + 14 + 6 = 29
�1 (u4) + �1 (e4) + �1 (u5) = 6 + 15 + 8 = 29
�1 (u5) + �1 (e5) + �1 (u1) = 8 + 11 + 10 = 29
�1 (u1) + �1 (e6) + �1 (v1) = 10 + 17 + 2 = 29
�1 (u2) + �1 (e7) + �1 (v2) = 7 + 18 + 4 = 29
�1 (u3) + �1 (e8) + �1 (v3) = 9 + 19 + 1 = 29
�1 (u4) + �1 (e9) + �1 (v4) = 6 + 20 + 3 = 29
�1 (u5) + �1 (e10) + �1 (v5) = 8 + 16 + 5 = 29
�1 (v1) + �1 (e11) + �1 (v2) = 2 + 23 + 4 = 29
�1 (v2) + �1 (e12) + �1 (v3) = 4 + 24 + 1 = 29
�1 (v3) + �1 (e13) + �1 (v4) = 1 + 25 + 3 = 29
�1 (v4) + �1 (e14) + �1 (v5) = 3 + 21 + 5 = 29
�1 (v5) + �1 (e15) + �1 (v1) = 5 + 22 + 2 = 29
24
Kemudian dengan menggunakan pelabelan �1 akan diperoleh pelabelan
dual �1 ′ dari graf P(5, 1) sebagai berikut. Banyaknya simpul ialah 10 dan
banyaknya sisi ialah 15, dengan �
� = {1, 2, 3, … , 24, 25} serta himpunan
simpul dan sisi sebagai berikut.
[� 5, 1 ] = { 1 ,
�[� 5, 1 ] = {{ �
∀� ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
2, … ,
5, 1, 2, … , 5}
�+1 }, { � � }, { � �+
}}
ketika nilai indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v
lebih besar dari 5 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 5.
Dengan menggunakan definisi formula pelabelan �1 ′ , maka untuk graf Petersen
P(5, 1) diperoleh label simpul sebagai berikut.
�1 ′ (u1) = 16 �1 ′ (v1) = 24
�1 ′ (u2) = 19 �1 ′ (v2) = 22
�1 ′ (u3) = 17 �1 ′ (v3) = 25
�1 ′ (u4) = 20 �1 ′ (v4) = 23
�1 ′ (u5) = 18 �1 ′ (v5) = 21
Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut,
�1 ′(u1u2)= �1 ′(e1)= 14
�1 ′(u1v1)= �1 ′(e6)= 9
�1 ′(v1v2)= �1 ′(e11)= 3
�1 ′(u2u3)= �1 ′(e2)= 13
�1 ′(u2v2)= �1 ′(e7)= 8
�1 ′(v2v3)= �1 ′(e12)= 2
�1 ′(u3u4)= �1 ′(e3)= 12
�1 ′(u3v3)= �1 ′(e8)= 7
�1 ′(v3v4)= �1 ′(e13)= 1
�1 ′(u4u5)= �1 ′(e4)= 11
�1 ′(u4v4)= �1 ′(e9)= 6
�1 ′(v4v5)= �1 ′(e14)= 5
�1 ′(u5u1)= �1 ′(e5)= 15
�1 ′(u5v5)= �1 ′(e10)= 10
�1 ′(v5v6)= �1 ′(e15)= 4
sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident
terhadap 2 simpul ujungnya sebagai berikut.
�1 ′ (u1) + �1 ′ (e1) + �1 ′ (u2) = 16 + 14 +
�1 ′ (u2) + �1 ′ (e2) + �1 ′ (u3) = 19 + 13 +
�1 ′ (u3) + �1 ′ (e3) + �1 ′ (u4) = 17 + 12 +
�1 ′ (u4) + �1 ′ (e4) + �1 ′ (u5) = 20 + 11 +
�1 ′ (u5) + �1 ′ (e5) + �1 ′ (u1) = 18 + 15 +
19 = 49
17 = 49
20 = 49
18 = 49
16 = 49
�1 ′ (u1) + �1 ′ (e6) + �1 ′ (v1) = 16 + 9 + 24 = 49
�1 ′ (u2) + �1 ′ (e7) + �1 ′ (v2) = 19 + 8 + 22 = 49
�1 ′ (u3) + �1 ′ (e8) + �1 ′ (v3) = 17 + 7 + 25 = 49
�1 ′ (u4) + �1 ′ (e9) + �1 ′ (v4) = 20 + 6 + 23 = 49
�1 ′ (u5) + �1 ′ (e10) + �1 ′ (v5) =18 + 10 + 21= 49
�1 ′ (v1) + �1 ′ (e11) + �1 ′ (v2) = 24 + 3 + 22 = 49
�1 ′ (v2) + �1 ′ (e12) + �1 ′ (v3) = 22 + 2 + 25 = 49
�1 ′ (v3) + �1 ′ (e13) + �1 ′ (v4) = 25 + 1 + 23 = 49
�1 ′ (v4) + �1 ′ (e14) + �1 ′ (v5) = 23 + 5 + 21 = 49
�1 ′ (v5) + �1 ′ (e15) + �1 ′ (v1) = 21 + 4 + 24 = 49
25
Lampiran 2
Pola graf Petersen P(7, 1) pada Teorema 1
Banyaknya simpul ialah 14 dan banyaknya sisi ialah 21, dengan
�(V ∪ E) = {1, 2, 3, …, 35} dan himpunan simpul dan sisi sebagai berikut.
V [P(7, 1)]= {u1, u2, …, u7, v1, v2, …, v7}
E [P(7, 1)] = {{uiui+1}, {uivi}, {vivi+m}}
∀i ∈{1, 2, …, 7}
ketika nilai indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v
lebih besar dari 7 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 7.
Dengan menggunakan definisi formula pelabelan �1 , maka untuk graf Petersen
P(7, 1) diperoleh label simpul sebagai berikut.
�1 (u1) = 14 �1 (v1) = 3
�1 (u2) = 11 �1 (v2) = 7
�1 (u3) = 8
�1 (v3) = 4
�1 (u4) = 12 �1 (v4) = 1
�1 (u5) = 9
�1 (v5) = 5
�1 (u6) = 13 �1 (v6) = 2
�1 (u7) = 10 �1 (v7) = 6
Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut,
�1 (u1u2) = �1 (e1) = 15
�1 (u1v1) = �1 (e8) = 23
�1 (v1v2) = �1 (e15) = 30
�1 (u2u3) = �1 (e2) = 21
�1 (u2v2) = �1 (e9) = 22
�1 (v2v3) = �1 (e16) = 29
�1 (u3u4) = �1 (e3) = 20
�1 (u3v3) = �1 (e10) = 28
�1 (v3v4) = �1 (e17) = 35
�1 (u4u5) = �1 (e4) = 19
�1 (u4v4) = �1 (e11) = 27
�1 (v4v5) = �1 (e18) = 34
�1 (u5u6) = �1 (e5) = 18
�1 (u5v5) = �1 (e12) = 26
�1 (v5v6) = �1 (e19) = 33
�1 (u6u7) = �1 (e6) = 17
�1 (u6v7) = �1 (e13) = 25
�1 (v6v7) = �1 (e20) = 32
�1 (u7u1) = �1 (e7) = 16
�1 (u7v1) = �1 (e14) = 24
�1 (v7v1) = �1 (e21) = 31
sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident
terhadap 2 simpul ujungnya seperti berikut.
�1 (u1) + �1 (e1) + �1 (u2) = 14 + 15 + 11 = 40
�1 (u2) + �1 (e2) + �1 (u3) = 11 + 21 + 8 = 40
�1 (u3) + �1 (e3) + �1 (u4) = 8 + 20 + 12 = 40
�1 (u4) + �1 (e4) + �1 (u5) = 12 + 19 + 9 = 40
�1 (u5) + �1 (e5) + �1 (u6) = 9 + 18 + 13 = 40
�1 (u6) + �1 (e6) + �1 (u7) = 13 + 17 + 10 = 40
�1 (u7) + �1 (e7) + �1 (u1) = 10 + 16 + 14 = 40
�1 (u1) + �1 (e8) + �1 (v1) = 14 + 23 + 3 = 40
�1 (u2) + �1 (e9) + �1 (v2) = 11 + 22 + 7 = 40
�1 (u3) + �1 (e10)+ �1 (v3) = 8 + 28 + 4 = 40
�1 (u4) + �1 (e11)+ �1 (v4) = 12 + 27 + 1 = 40
�1 (u5) + �1 (e12)+ �1 (v5) = 9 + 26 + 5 = 40
�1 (u6) + �1 (e13)+ �1 (v6) = 13 + 25 + 2 = 40
�1 (u7) + �1 (e14)+ �1 (v7) = 10 + 24 + 6 = 40
26
�1 (v1) + �1 (e15) + �1 (v2) =
�1 (v2) + �1 (e16) + �1 (v3) =
�1 (v3) + �1 (e17) + �1 (v4) =
�1 (v4) + �1 (e18) + �1 (v5) =
�1 (v5) + �1 (e19) + �1 (v6) =
�1 (v6) + �1 (e20) + �1 (v7) =
�1 (v7) + �1 (e21) + �1 (v1) =
3 + 30 + 7
7 + 29 + 4
4 + 35 + 1
1 + 34 + 5
5 + 33 + 2
2 + 32 + 6
6 + 31 + 3
= 40
= 40
= 40
= 40
= 40
= 40
= 40
Kemudian dengan menggunakan pelabelan �1 akan diperoleh pelabelan
dual �1 ′ dari graf P(7, 1) sebagai berikut. Banyaknya simpul ialah 14 dan
banyaknya sisi ialah 21, dengan �(V ∪ E) = {1, 2, 3, …, 35} dan himpunan simpul
dan sisi sebagai berikut.
V [P(7, 1)]= {u1, u2, …, u7, v1, v2, …, v7}
E [P(7, 1)] = {{uiui+1}, {uivi}, {vivi+m}}, ∀i ∈{1, 2, …, 7}
ketika nilai indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v
lebih besar dari 7 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 7.
Dengan menggunakan definisi formula pelabelan �1 ′, maka untuk graf Petersen
P(7, 1) diperoleh label simpul sebagai berikut.
�1 ′ (u1) = 22 �1 ′ (v1) = 33
�1 ′ (u2) = 25 �1 ′ (v2) = 29
�1 ′ (u3) = 28 �1 ′ (v3) = 32
�1 ′ (u4) = 24 �1 ′ (v4) = 35
�1 ′ (u5) = 27 �1 ′ (v5) = 31
�1 ′ (u6) = 23 �1 ′ (v6) = 34
�1 ′ (u7) = 26 �1 ′ (v7) = 30
Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut,
�1 ′(u1u2)= �1 ′(e1)= 21
�1 ′(u1v1)= �1 ′(e8)= 13
�1 ′(v1v2)= �1 ′(e15)= 6
�1 ′(u2u3)= �1 ′(e2)= 15
�1 ′(u2v2)= �1 ′(e9)= 14
�1 ′(v2v3)= �1 ′(e16)= 7
�1 ′(u3u4)= �1 ′(e3)= 16
�1 ′(u3v3)= �1 ′(e10)= 8
�1 ′(v3v4)= �1 ′(e17)= 1
�1 ′(u4u5)= �1 ′(e4)= 17
�1 ′(u4v4)= �1 ′(e11)= 9
�1 ′(v4v5)= �1 ′(e18)= 2
�1 ′(u5u6)= �1 ′(e5)= 18
�1 ′(u5v5)= �1 ′(e12)= 10
�1 ′(v5v6)= �1 ′(e19)= 3
�1 ′(u6u7)= �1 ′(e6)= 19
�1 ′(u6v7)= �1 ′(e13)= 11
�1 ′(v6v7)= �1 ′(e20)= 4
�1 ′(u7u1)= �1 ′(e7)= 20
�1 ′(u7v1)= �1 ′(e14)= 12
�1 ′(v7v1)= �1 ′(e21)= 5
sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident
terhadap 2 simpul ujungnya seperti berikut.
�1 ′ (u1) + �1 ′ (e1) + �1 ′ (u2) = 22 + 21 + 25 = 68
�1 ′ (u2) + �1 ′ (e2) + �1 ′ (u3) = 25 + 15 + 28 = 68
�1 ′ (u3) + �1 ′ (e3) + �1 ′ (u4) = 28 + 16 + 24 = 68
�1 ′ (u4) + �1 ′ (e4) + �1 ′ (u5) = 24 + 17 + 27 = 68
�1 ′ (u5) + �1 ′ (e5) + �1 ′ (u6) = 27 + 18 + 23 = 68
�1 ′ (u6) + �1 ′ (e6) + �1 ′ (u7) = 23 + 19 + 26 = 68
�1 ′ (u7) + �1 ′ (e7) + �1 ′ (u1) = 26 + 20 + 22 = 68
27
�1 ′ (u1) + �1 ′ (e8) + �1 ′ (v1) = 22 + 13 + 33 = 68
�1 ′ (u2) + �1 ′ (e9) + �1 ′ (v2) = 25 + 14 + 29 = 68
�1 ′ (u3) + �1 ′ (e10)+ �1 ′ (v3) = 28 + 8 + 32 = 68
�1 ′ (u4) + �1 ′ (e11)+ �1 ′ (v4) = 24 + 9 + 35 = 68
�1 ′ (u5) + �1 ′ (e12)+ �1 ′ (v5) = 27 + 10 + 31 = 68
�1 ′ (u6) + �1 ′ (e13)+ �1 ′ (v6) = 23 + 11 + 34 = 68
�1 ′ (u7) + �1 ′ (e14)+ �1 ′ (v7) = 26 + 12 + 30 = 68
�1 ′ (v1) + �1 ′ (e15) + �1 ′ (v2) =
�1 ′ (v2) + �1 ′ (e16) + �1 ′ (v3) =
�1 ′ (v3) + �1 ′ (e17) + �1 ′ (v4) =
�1 ′ (v4) + �1 ′ (e18) + �1 ′ (v5) =
�1 ′ (v5) + �1 ′ (e19) + �1 ′ (v6) =
�1 ′ (v6) + �1 ′ (e20) + �1 ′ (v7) =
�1 ′ (v7) + �1 ′ (e21) + �1 ′ (v1) =
33 + 6 + 29
29 + 7 + 32
32 + 1 + 35
35 + 2 + 31
31 + 3 + 34
34 + 4 + 30
30 + 5 + 33
= 68
= 68
= 68
= 68
= 68
= 68
= 68
28
Lampiran 3
�
Pola graf Petersen P(5, 1) pada Teorema 2
Banyaknya simpul ialah 10 dan banyaknya sisi ialah 15, dengan
� = {1, 2, 3, … , 24, 25} serta himpunan simpul dan sisi sebagai berikut.
[� 5, 1 ] = { 1 ,
�[� 5, 1 ] = {{ �
∀� ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
2, … ,
�+1 }, {
5, 1, 2, … , 5}
� � }, { � �+
}}
ketika nilai indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v
lebih besar dari 5 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 5.
Dengan menggunakan definisi formula pelabelan �2 , maka untuk graf Petersen
P(5, 1) diperoleh label simpul sebagai berikut.
�2 (v1) = 19
�2 (u1) = 6
�2 (v2) = 17
�2 (u2) = 9
�2 (v3) = 20
�2 (u3) = 7
�2 (u4) = 10 �2 (v4) = 18
�2 (v5) = 16
�2 (u5) = 8
Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut,
�2 (u1u2) = �2 (e1) = 24
�2 (u1v1) = �2 (e6) = 14
�2 (v1v2) = �2 (e11) = 3
�2 (u2u3) = �2 (e2) = 23
�2 (u2v2) = �2 (e7) = 13
�2 (v2v3) = �2 (e12) = 2
�2 (u3u4) = �2 (e3) = 22
�2 (u3v3) = �2 (e8) = 12
�2 (v3v4) = �2 (e13) = 1
�2 (u4u5) = �2 (e4) = 21
�2 (u4v4) = �2 (e9) = 11
�2 (v4v5) = �2 (e14) = 5
�2 (u5u1) = �2 (e5) = 25
�2 (u5v5) = �2 (e10) = 15
�2 (v5v6) = �2 (e15) = 4
sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident
terhadap 2 simpul ujungnya sebagai berikut.
�2 (u1) + �2 (e1) + �2 (u2) = 6 + 24 + 9 = 39
�2 (u2) + �2 (e2) + �2 (u3) = 9 + 23 + 7 = 39
�2 (u3) + �2 (e3) + �2 (u4) = 7 + 22 + 10 = 39
�2 (u4) + �2 (e4) + �2 (u5) = 10 + 21 + 8 = 39
�2 (u5) + �2 (e5) + �2 (u1) = 8 + 25 + 6 = 39
�2 (u1) + �2 (e6) + �2 (v1) = 6 + 14 + 19 = 39
�2 (u2) + �2 (e7) + �2 (v2) = 9 + 13 + 17 = 39
�2 (u3) + �2 (e8) + �2 (v3) = 7 + 12 + 20 = 39
�2 (u4) + �2 (e9) + �2 (v4) = 10 + 11 + 18 = 39
�2 (u5) + �2 (e10) + �2 (v5) = 8 + 15 + 16 = 39
�2 (v1) + �2 (e11) + �2 (v2) = 19 + 3 + 17 = 39
�2 (v2) + �2 (e12) + �2 (v3) = 17 + 2 + 20 = 39
�2 (v3) + �2 (e13) + �2 (v4) = 20 + 1 + 18 = 39
�2 (v4) + �2 (e14) + �2 (v5) = 18 + 5 + 16 = 39
�2 (v5) + �2 (e15) + �2 (v1) = 16 + 4 + 19 = 39
29
Kemudian dengan menggunakan pelabelan �2 akan diperoleh pelabelan
dual �2 ′ dari graf P(5, 1) sebagai berikut. Banyaknya simpul ialah 10 dan
banyaknya sisi ialah 15, dengan �
� = {1, 2, 3, … , 24, 25} serta himpunan
simpul dan sisi sebagai berikut.
[� 5, 1 ] = { 1 ,
�[� 5, 1 ] = {{ �
∀� ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
2, … ,
5, 1, 2, … , 5}
�+1 }, { � � }, { � �+
}}
ketika nilai indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v
lebih besar dari 5 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 5.
Dengan menggunakan definisi formula pelabelan �2 ′ , maka untuk graf Petersen
P(5, 1) diperoleh label simpul sebagai berikut.
�2 ′ (u1) = 20 �2 ′ (v1) = 7
�2 ′ (u2) = 17 �2 ′ (v2) = 9
�2 ′ (u3) = 19 �2 ′ (v3) = 6
�2 ′ (u4) = 16 �2 ′ (v4) = 8
�2 ′ (u5) = 18 �2 ′ (v5) = 10
Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut,
�2 ′(u1u2)= �2 ′(e1)= 2
�2 ′(u1v1)= �2 ′(e6)= 12
�2 ′(v1v2)= �2 ′(e11)= 23
�2 ′(u2u3)= �2 ′(e2)= 3
�2 ′(u2v2)= �2 ′(e7)= 13
�2 ′(v2v3)= �2 ′(e12)= 24
�2 ′(u3u4)= �2 ′(e3)= 4
�2 ′(u3v3)= �2 ′(e8)= 14
�2 ′(v3v4)= �2 ′(e13)= 25
�2 ′(u4u5)= �2 ′(e4)= 5
�2 ′(u4v4)= �2 ′(e9)= 15
�2 ′(v4v5)= �2 ′(e14)= 21
�2 ′(u5u1)= �2 ′(e5)= 1
�2 ′(u5v5)= �2 ′(e10)= 11 �2 ′(v5v6)= �2 ′(e15)= 22
sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident
terhadap 2 simpul ujungnya sebagai berikut.
�2 ′ (u1) + �2 ′ (e1) + �2 ′ (u2) = 20 + 2 + 17 = 39
�2 ′ (u2) + �2 ′ (e2) + �2 ′ (u3) = 17 + 3 + 19 = 39
�2 ′ (u3) + �2 ′ (e3) + �2 ′ (u4) = 19 + 4 + 16 = 39
�2 ′ (u4) + �2 ′ (e4) + �2 ′ (u5) = 16 + 5 + 18 = 39
�2 ′ (u5) + �2 ′ (e5) + �2 ′ (u1) = 18 + 1 + 20 = 39
�2 ′ (u1) + �2 ′ (e6) + �2 ′ (v1) = 20 + 12 + 7 = 39
�2 ′ (u2) + �2 ′ (e7) + �2 ′ (v2) = 17 + 13 + 9 = 39
�2 ′ (u3) + �2 ′ (e8) + �2 ′ (v3) = 19 + 14 + 6 = 39
�2 ′ (u4) + �2 ′ (e9) + �2 ′ (v4) = 16 + 15 + 8 = 39
�2 ′ (u5) + �2 ′ (e10) + �2 ′ (v5) =18 + 11+ 10= 39
�2 ′ (v1) + �2 ′ (e11) + �2 ′ (v2) = 7 + 23 + 9 = 39
�2 ′ (v2) + �2 ′ (e12) + �2 ′ (v3) = 9 + 24 + 6 = 39
�2 ′ (v3) + �2 ′ (e13) + �2 ′ (v4) = 6 + 25 + 8 = 39
�2 ′ (v4) + �2 ′ (e14) + �2 ′ (v5) = 8 + 21 + 10 = 39
�2 ′ (v5) + �2 ′ (e15) + �2 ′ (v1) = 10 + 22 + 7 = 39
30
Lampiran 4
Pola graf Petersen P(7, 1) pada Teorema 2
Banyaknya simpul ialah 14 dan banyaknya sisi ialah 21, dengan
�(V ∪ E) = {1, 2, 3, …, 35} dan himpunan simpul dan sisi sebagai berikut.
V [P(7, 1)]= {u1, u2, …, u7, v1, v2, …, v7}
E [P(7, 1)] = {{uiui+1}, {uivi}, {vivi+m}}
∀i ∈{1, 2, …, 7}
ketika nilai indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v
lebih besar dari 7 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 7.
Dengan menggunakan definisi formula pelabelan �2 , maka untuk graf Petersen
P(7, 1) diperoleh label simpul sebagai berikut.
�2 (u1) = 8
�2 (v1) = 26
�2 (u2) = 11 �2 (v2) = 22
�2 (u3) = 14 �2 (v3) = 25
�2 (u4) = 10 �2 (v4) = 28
�2 (u5) = 13 �2 (v5) = 24
�2 (u6) = 9
�2 (v6) = 27
�2 (u7) = 12 �2 (v7) = 23
Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut,
�2 (u1u2) = �2 (e1) = 35
�2 (u1v1) = �2 (e8) = 20
�2 (v1v2) = �2 (e15) = 6
�2 (u2u3) = �2 (e2) = 29
�2 (u2v2) = �2 (e9) = 21
�2 (v2v3) = �2 (e16) = 7
�2 (u3u4) = �2 (e3) = 30
�2 (u3v3) = �2 (e10) = 15
�2 (v3v4) = �2 (e17) = 1
�2 (u4u5) = �2 (e4) = 31
�2 (u4v4) = �2 (e11) = 16
�2 (v4v5) = �2 (e18) = 2
�2 (u5u6) = �2 (e5) = 32
�2 (u5v5) = �2 (e12) = 17
�2 (v5v6) = �2 (e19) = 3
�2 (u6u7) = �2 (e6) = 33
�2 (u6v7) = �2 (e13) = 18
�2 (v6v7) = �2 (e20) = 4
�2 (u7u1) = �2 (e7) = 34
�2 (u7v1) = �2 (e14) = 19
�2 (v7v1) = �2 (e21) = 5
sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlaha