Kasus Transportasi (Transportation Problem)

  

OPERATIONAL RESEARCH 1

(IE G2M3) Program Studi Teknik Industri _{Fakultas Rekayasa Industri Telkom University}

  Amelia Kurniawati Murni Dwi Astuti Aji Pamoso Puti Renosori Rio Aurachman

  KASUS TRANSPORTASI

(TRANSPORTATION PROBLEM)

TUJUAN PEMBELAJARAN

• Memahami konsep metode transportasi dan penerapannya

• • Memahami konsep solusi optimal permasalahan transportasi

• • Memahami metode pencarian solusi layak dan solusi optimal

  4 OUTLINE

  Pendahuluan

  Pemecahan Masalah Transportasi

  Solusi basis layak awal

• Northwest corner method
• Least cost method
• Vogel’s Approximation Method (VAM)
• Perbaikan solusi basis layak awal
• Metode u-v atau MODI (Modifed Distribution Method)
• Metode stepping stone
• Contoh Implementasi

  Model Transportasi Pendahuluan Pencarian Solusi Basis Northwest corner

  Least cost Vogel Approximation Method Pencarian Solusi

  Optimal Metode u-v atau MODI (Modifed Distribution

  Method) Metode stepping stone Degenerasi

  Penerapan Pendahuluan

⁶

  7

KASUS TRANSPORTASI

• Masalah transportasi umumnya berkaitan dengan masalah pendistribusian suatu produk dari beberapa sumber ke sejumlah tujuan dengan biaya yang minimum.

  8

KASUS TRANSPORTASI

  Pabrik Pusat Distribusi/Depot

  5

  1 100

  1

  25

  4

  3

  70

  30

  2

  7

  2

  4

  5

  3 100

  6

  7 Berapa yang harus dikirim dari

  15

  4 gudang 1 dan 2 ke masing-masing

RUMUSAN PEMROGRAMAN LINIER

• Terdapat m sumber (misal: gudang) dimana produk disimpan.
• Terdapat n tujuan (misal: pasar) dimana produk dibutuhkan.
• Ketersediaan pasokan dari sumber : a

  i (i

  = 1, 2, …, m)

• Permintaan dari tujuan : b

  j (j = 1, 2, …, n) ⁹

  10

RUMUSAN PEMROGRAMAN LINIER

• Biaya pengiriman dari sumber i ke tujuan j :

  c (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). Jika suatu ij

sumber i tidak dapat memasok suatu tujuan

j, maka c = M (M bilangan positif yang ij sangat besar).

• •Permasalahannya adalah menentukan jumlah

  produk yang dikirim dari sumber i ke tujuan j

  (dinyatakan dengan x ) yang meminimumkan

  ij biaya transportasi (pengiriman) total.

  11

RUMUSAN PEMROGRAMAN LINIER

  m n Z c x

   ij ij

  Minimize   i 1 j

  1   dengan pembatas-pembatas: n a x  ij i

   i = 1, 2, …, m j

  1 m b x  ij j j = 1, 2, …, n

   i 1

x i, j

    ij

MASALAH TRANSPORTASI DALAM BENTUK JARINGAN

  1

  2 m

  1

  2 n ... ...

  Sumber Tujuan c ij a

  1 a

  2 a i a m b

  1 b

  2 b j b n ¹² MASALAH TRANSPORTASI STANDAR/SEIMBANG (STANDARD/BALANCED TRANSPORTATION PROBLEM) Minimize dengan pembatas-pembatas: j = 1, 2, …, n i = 1, 2, …, m ¹³

     

   m i n j

ij ij

  Z x c

  1

  1 i n j ij a x 

   1 j m i ij b x 

   1

   ij x

     

   n i j m j i b a

  1

  1 j i,

   MASALAH TRANSPORTASI TAK SEIMBANG Minimize dengan pembatas-pembatas: j = 1, 2, …, n, n+1 i = 1, 2, …, m j = n+1 adalah tujuan fiktif dengan permintaan dan ¹⁴

    _ ^ _  m i n j ij ij

  1

  ,..., 2 , 1 ,

  m i c n i

  

  1 j i,

  1

  1

       n i j m j i n b a b

  1  

   n i j m j i b a

  Z x c

     

   _1  ij x

  1 j m i ij b x 

  1

   ^ _

  1 i n j ij a x 

  1

  1

  1 ,   _

  MASALAH TRANSPORTASI TAK SEIMBANG Minimize dengan pembatas-pembatas: j = 1, 2, …, n i = 1, 2, …, m+1 j = n+1 adalah sumber fiktif dengan pasokan dan ¹⁵

  1

  ,

  ,..., 2 , 1 ,

  n j c j m

  

  1 j i,

  1

  1

       m j i n i j n a b a

  1  

   n i j m j i b a

    ^ _{ } 

     

  1  ij x

  1

   ^ _

   _1 j m i ij b x 

  Z x c i n j ij a x 

  1 m i n j ij ij

  1

  1

  1   _

  TABEL TRANSPORTASI

  Tujuan Pasokan

  D ₁ D ₂ D _n

  Sumbe r

  S ₁ c ₁₁ c ₁₂ c _1n a ₁ x ₁₁ x ₁₂ x _1n S ₂ c ₂₂ c ₂₂ c _2n a ₂ x ₁₂ x ₂₂ x _2n S _m c _m1 c _m2 c _mn a _n x _m1 x _m2 x _mn

  Permintaan

  b ₁ b ₂ b _m ¹⁶

  17

CONTOH KASUS

  To Albuquerque Boston Cleveland

  From Des Moines $5 $4 $3 Evansville $8 $4 $3 Fort Lauderdale $9 $7 $5

  Fort Lauderdale (300 units Albuquerque (300 units required) Des Moines

  (100 units capacity) Evansville (300 units capacity) Cleveland

  (200 units required) Boston (200 units required)

  To Albuquerque Boston Cleveland

  From Des Moines $5 $4 $3 Evansville $8 $4 $3 Fort Lauderdale $9 $7 $5 ¹⁸

  19

TRANSPORTATION MATRIX

  Des Moines To Factory capacity

  Albuquerque Boston Cleveland From capacity constraint

  $5 $4 $3 Des Moines

  100 Cell representing

  $8 $4 $3 a possible Evansville

  300 source-to- destination

  $9 $7 $5 Fort Lauderdale

  300 shipping assignment

  Warehouse (Evansville

  300 200 200 700 requirement to Cleveland)

  Cost of shipping 1 unit from Fort Cleveland Total demand Lauderdale factory to Boston warehouse warehouse demand and total supply

  Contoh Kasus II ₂₀ Shipping costs, Supply, and Demand for Powerco Example

  From To City 1 City 2 City 3 City 4 Supply (Million kwh) Plant 1 $8 $6 $10 $9

  35 Plant 2 $9 $12 $13 $7

  50 Plant 3 $14 $9 $16 $5

  40 Demand

  45

  20

  30

  30 (Million kwh)

• 6X
• 10X
• 9X
• 9X
• 12X
• 13X
• 7X

• 14X
• 9X
• 16X
• 5X

  33

  LP Formulation of Powerco’s Problem Min Z = 8X

  11

  12

  13

  14

  21

  22

  23

  24

  31

  32

34 S.T. :

  X

• X
• X
• X
• X
• X
• X
• X
• X
• X
• X
• X
• X
• X
• X
• X
• X
• X

Pemecahan Masalah Transportasi ²²

  21

  34 >= 30 ²¹

  24

  14

  X

  33 >= 30

  23

  13

  X

  32 >= 20

  22

  12

  X

  31 >= 45 (Demand Constraints)

  11

  11

  X

  34 <= 40

  33

  32

  31

  X

  24 <= 50

  22

  21

  X

  14 <= 35 (Supply Constraints)

  13

  12

  23

  Model Transportasi Pendahuluan Pencarian Solusi Basis Northwest corner

  Least cost Vogel Approximation Method Pencarian Solusi

  Optimal Metode u-v atau MODI (Modifed Distribution

  Method) Metode stepping stone Degenerasi

  Penerapan

  24 Algoritma Pemecahan

• Perumusan masalah dalam masalah transportasi

  Langkah 0:

• – standar
• Penentuan solusi basis layak awal

  Langkah 1:

• – Langkah 2:
• Pemeriksaan optimalitas. Jika solusi optimal maka
>– berhenti. Penentuan solusi basis yang baru dan ke langkah 2
• –

  METODE PENENTUAN SOLUSI BASIS LAYAK AWAL

• Northwest corner method
• Least cost method
• Vogel’s approximation method (VAM)
²⁵

  Model Transportasi Pendahuluan Pencarian Solusi Basis Northwest corner

  Least cost Vogel Approximation Method Pencarian Solusi

  Optimal Metode u-v atau MODI (Modifed Distribution

  Method) Metode stepping stone Degenerasi

  Penerapan

NORTHWEST CORNER RULE (0)

   Merupakan pemecahan awal yang layak, namun belum optimal sehingga harus dilanjutkan ke tahap selanjutnya dengan mempergunakan metode lanjut.

  Prosedur: (1) Pengisian sel/kotak dimulai dari ujung kiri atas. (2) Alokasi jumlah maksimum (terbesar) sesuai syarat sehingga layak untuk memenuhi permintaan. (3) Bergerak ke kotak sebelah kanan bila masih terdapat suplai yang cukup. Kalau tidak, bergerak ke kotak di bawahnya sesuai demand. Bergerak terus hingga suplai habis dan demand terpenuhi. ²⁷

NORTHWEST CORNER RULE (1)

  6

  Pabrik Ketersediaan Produk ²⁸

  4 Konsumen

  4

  3

  4

  5

  8

  6

  2

  2

  7

  4

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  7

  2

  7

  1

  3

  10

  8

  5

  4

  7

  2

  6

  6

  8

  5

  1

  3

  4

  2

  2

  2

  7

  2

  1

  3

  10

  8

  5

  4

  7

  4 NORTHWEST CORNER RULE (2) ²⁹

  6

  6

  8

  5

  1

  3

  4

  4

  2

  1

  4

  3

  5

  8

  6

  6

  7

  6

  2

  4

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  4 NORTHWEST CORNER RULE (3) ³⁰

  2

  1

  4

  5

  8

  6

  6

  7

  3

  3

  2

  4

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  4 NORTHWEST CORNER RULE (4) ³¹

  2

  3

  1

  5

  8

  6

  6

  7

  3

  1

  2

  4

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  4 NORTHWEST CORNER RULE (5) ³²

  2

  3

  1

  4

  8

  6

  6

  7

  3

  1

  2

  4

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  4 NORTHWEST CORNER RULE (6) ³³

  2

  3

  1

  8

  6

  6

  7

  3

  1

  2

  4

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  4 NORTHWEST CORNER RULE (7) ³⁴

  2

  3

  1

  8

  6

  6

  7

  3

  1

  2

  4

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  4 NORTHWEST CORNER RULE SOLUSI BASIS LAYAK ³⁵ Model Transportasi Pendahuluan Pencarian Solusi Basis Northwest corner

  Least cost Vogel Approximation Method Pencarian Solusi

  Optimal Metode u-v atau MODI (Modifed Distribution

  Method) Metode stepping stone Degenerasi

  Penerapan

LEAST COST RULE (1)

  6

  4 ³⁷

  4

  3

  4

  5

  8

  6

  2

  2

  7

  4

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  7

LEAST COST RULE (2)

  6

  1 ³⁸

  4

  3

  4

  5

  8

  6

  2

  2

  7

  4

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  7

LEAST COST RULE (3)

  7

  4 ³⁹

  3

  4

  5

  8

  6

  6

  2

  2

  6

  4

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  1

LEAST COST RULE (4)

  1

  3 ⁴⁰

  4

  5

  8

  6

  6

  7

  2

  2

  2

  4

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  4

LEAST COST RULE (5)

  1

  4 ⁴¹

  3

  2

  8

  6

  6

  7

  2

  2

  2

  4

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  4

LEAST COST RULE (6)

  1

  2 ⁴²

  3

  2

  8

  6

  6

  7

  2

  2

  2

  4

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  4

  LEAST COST RULE SOLUSI BASIS LAYAK AWAL

  2

  2

  8

  6

  6

  7

  1

  4

  4

  2

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  2

  3 ⁴³ Model Transportasi Pendahuluan Pencarian Solusi Basis Northwest corner

  Least cost Vogel Approximation Method Pencarian Solusi

  Optimal Metode u-v atau MODI (Modifed Distribution

  Method) Metode stepping stone Degenerasi

  Penerapan

  VOGEL’S APPROXIMATION METHOD (VAM) (0) ⁴⁵ Prosedur Pemecahan: (1)   Hitung perbedaan antara dua biaya terkecil dari setiap baris dan

kolom. Nilai perbedaan/selisih ditulis di baris/kolom baru di samping

baris/kolom yang ada (disebut baris/kolom penalti).

  (2)  Pilih baris atau kolom dengan nilai penalti terbesar, lalu beri tanda kurung. Jika nilai pada baris atau kolom adalah sama, pilih yang dapat memindahkan barang paling banyak. (3)  Dari baris/kolom yang dipilih pada (2), tentukan jumlah barang yang bisa terangkut dengan memperhatikan pembatasan yang berlaku bagi baris atau kolomnya serta sel dengan biaya terkecil. (4)  Hapus baris atau kolom yang sudah memenuhi syarat sebelumnya (artinya suplai atau demand telah dapat terpenuhi).

  (5) Ulangi langkah (1) sampai (4) hingga semua alokasi terpenuhi.

  VOGEL’S APPROXIMATION METHOD (VAM) (1)

  7

  3

  4

  5

  4 Penalti

  4

  3

  4

  5

  8

  6

  6

  1

  46 Pena

  7

  4

  5

  8

  10

  1

  3

  1

  2

  2

  2

  lti

  3

  VOGEL’S APPROXIMATION METHOD (VAM) (2) ⁴⁷ Pena

  6

  1

  2

  3

  4 Penalti

  4

  3

  1

  5

  8

  6

  7

  lti

  1

  7

  4

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  2

  2

  4

  VOGEL’S APPROXIMATION METHOD (VAM) (3) ⁴⁸ Pena

  4

  2

  3

  4 Penalti

  3

  1

  5

  8

  6

  6

  7

  3

  lti

  3

  4

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  2

  2

  1

  VOGEL’S APPROXIMATION METHOD (VAM) (4) ⁴⁹ Pena

  3

  3

  1

  5

  8

  6

  6

  7

  4

  4

  lti

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  2

  2

  1 Penalti

  VOGEL’S APPROXIMATION METHOD (VAM)

SOLUSI BASIS LAYAK AWAL

  2

  6

  4 Biaya transportasi total Z = 68

  4

  3

  4

  1 Permintaan

  3

  1

  5

  8

  6

  7

  2

  ⁵⁰ Pasokan

  3

  7

  4

  5

  8

  10

  3

  3

  1

  2

  4 Model Transportasi Pendahuluan Pencarian Solusi Basis Northwest corner

  Least cost Vogel Approximation Method Pencarian Solusi

  Optimal Metode u-v atau MODI (Modifed Distribution

  Method) Metode stepping stone Degenerasi

  Penerapan

  52 PERBAIKAN SOLUSI BASIS LAYAK AWAL

• Pemeriksaan optimalitas

  Perbaikan solusi basis layak awal

• – Penentuan solusi basis layak yang baru
• – Metode:
• Metode u-v atau MODI (Modifed
>– Distribution Method) Metode Stepping Stone
• –

  Model Transportasi Pendahuluan Pencarian Solusi Basis Northwest corner

  Least cost Vogel Approximation Method Pencarian Solusi

  Optimal Metode u-v atau MODI (Modifed Distribution

  Method) Metode stepping stone Degenerasi

  Penerapan

  54

METODE U-V (1)

  Untuk sebarang solusi basis layak, tentukan nilai

u (untuk semua i) dan v (untuk semua j) sedemikian

i j hingga u v c

    i j ij untuk setiap variabel basis x ij (Nilai u dan v bisa positif, negatif atau nol). i j

  Untuk variabel non basis: c c u v

     ij ij i j

   

METODE U-V (2)

  Untuk variabel non basis: c c u v

     ij ij i j

    Kondisi optimalitas (masalah minimize) terjadi apabila untuk semua variabel non basis c c u v

      ij ij i j

    Jika kondisi belum optimal, variabel yang masuk basis adalah yang mempunyai paling negatif (masalah c ij minimize) MISAL DIBERIKAN SOLUSI BASIS LAYAK AWAL DENGAN LEAST COST METHOD ⁵⁶

  2

  4

  2

  8

  6

  6

  7

  1

  2

  2

  4

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  3

PENERAPAN METODE U-V

  Enam persamaan dengan tujuh u

  1  v  variabel yang tak diketahui 

  1

  4 terdapat tak hingga solusi yang u

  10  v 

  2

  1 mungkin u

  5  v 

  2

  3 u

  4  v 

  2

4 Untuk mendapatkan solusi,

  u

  7  v 

  3

  1 suatu nilai variabel tertentu dapat u

  6  v 

  3

  2 ditetapkan sebarang, dan nilai yang lain dapat dipecahkan.

  

Misalnya, u = 0

  1

PEMERIKSAAN OPTIMALITAS

  4

  4

  4

  3

  4

  3

  2

  5

  8

  6

  6

  7

  =

  u ₃

  1

  ⁵⁸ v ₁

  = v ₂ = v ₃ = v ₄ =

  3

  u ₁

  = 0

  2

  2

  2

  1

  3

  7

  u ₂

  =

  10

  8

  5

  4

  2

PEMERIKSAAN OPTIMALITAS

  4

  7

  6

  6

  8

  5

  2

  3

  3

  u ₃

  4

  4

  1

  3

  7

  2

  6

  =

  ⁵⁹ v ₁

  = v ₂ = v ₃ = v ₄ =

  3

  u ₁

  = 0

  2

  2

  2

  1

  3

  u ₂

  4

  =

  10

  8

  5

  4

  7

  2

  1

PEMERIKSAAN OPTIMALITAS

  c c u v _{ij ij i j}     

v = 7 v = 6 v = 2 v = 1

_{1 2 3 4}

• -5

  2

  2

  2

  1

  u = 0 ₁

  3

  3

  10

  8

  5

  4

  u = 3 ₂

  7

  2

  4

  1

  7

  6

  6

  8

  u = 0 ₃

  5

  2

  3

  4

  3

  4

  4

PEMERIKSAAN OPTIMALITAS

  c c u v _{ij ij i j}     

v = 7 v = 6 v = 2 v = 1

_{1 2 3 4}

• -5

  2

  2

  2

  1

• 4

  u = 0 ₁

  3

  3 10 -1

  8

  5

  4

  u = 3 ₂

  7

  2

  4

  1

  7

  6

  6

  8

  4

  7 u = 0 ₃

  5

  2

  3

  4

  3

  4

  4

  x masuk basis

  11

• +

  8

  1

  u ₃

  = 0

  7

  6

  6

  5

  2

  2

  3

  4

  3

  4

  4

   = min(3, 2) = 2  x keluar basis

  4

  7

  

  2

  v ₁

  = 7 v ₂ = 6 v ₃ = 2 v ₄ = 1

  u ₁

  = 0

  2

  2

  1

  4

  3

  3

  u ₂

  = 3

  10

  8

  5

•  

SOLUSI BARU

  7

  4 Biaya transportasi total Z = 69

  4

  3

  4

  3

  2

  5

  8

  6

  6

  2

  2

  4

  7

  4

  5

  8

  10

  1

  2

  3

  1

  2

  3

PEMERIKSAAN OPTIMALITAS

  7

  = 2

  = 1 = 1 = 3

  = 0 = 2 = 5

  4

  4

  3

  4

  3

  2

  5

  8

  6

  6

  v ₁ v ₂ v ₃ v ₄ u ₁

  2

  3

  4

  7

  4

  5

  8

  10

  u ₂

  1

  2

  3

  1

  2

  2

  u ₃

PEMERIKSAAN OPTIMALITAS

  3

  = 5

  7

  6

  6

  8

  5

  2

  4

  3

  3

  4

  4

  1

  5

  4

  2

  u ₃

  4

  v ₁

  3

  = 2 v ₂ = 1 v ₃ = 2 v ₄ = 1

  u ₁

  = 0

  2

  2

  2

  1

  2

  7

  1

  u ₂

  = 3

  10

  8

  5

  4

• -1
• +

  

  2

  = 5

  7

  6

  6

  8

  5

  3

  3

  4

  3

  4

  4

   = min(1, 4, 2) = 1  x keluar basis

  

  

  u ₃

  4

  v ₁

  3

  = 2 v ₂ = 1 v ₃ = 2 v ₄ = 1

  u ₁

  = 0

  2

  2

  2

  1

  2

  7

  1

  u ₂

  = 3

  10

  8

  5

  4

• +
• +

SOLUSI BARU

  6

  4 Biaya transportasi total Z = 68

  4

  3

  4

  1

  3

  1

  5

  8

  6

  2

  2

  4

  3

  7

  4

  5

  8

  10

  3

  3

  1

  2

  7

PEMERIKSAAN OPTIMALITAS

  4

  4

  4

  3

  4

  1

  3

  1

  5

  8

  6

  6

  7

  = 5

  u ₃

  v ₁

  = 2 v ₂ = 1 v ₃ = 1 v ₄ = 0

  3

  u ₁

  = 0

  2

  2

  2

  1

  3

  7

  u ₂

  = 4

  10

  8

  5

  4

  3

  SOLUSI v ₁

  3

  3

  4

  u ₃

  = 5

  7

  6

  6

  8

  4

  5

  1

  3

  1

  4

  3

  4

  7

  5

  = 2 v ₂ = 1 v ₃ = 1 v ₄ = 0

  1

  u ₁

  = 0

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  8

  3

  3

  u ₂

  = 4

  4

  10

  3

  4

SOLUSI OPTIMAL

  6

  4 Biaya transportasi total Z = 68

  4

  3

  4

  1

  3

  1

  5

  8

  6

  2

  2

  4

  3

  7

  4

  5

  8

  10

  3

  3

  1

  2

  7

MASALAH MAXIMIZE

  Kondisi optimal :

 Koefisien fungsi tujuan relatif untuk variabel non basis

tak positif Penentuan variabel non basis yang masuk basis

   Pilih variabel non basis dengan koefisien fungsi tujuan relatif paling positif

        j i ij ij v u c c

  72

V1 V2

  = U i

  1. Tetapkan U 1 = 0

  2. Hitung nilai U i dan V j dengan menggunakan persamaan C ij = U i + V j , untuk sel yang mendapatkan alokasi.

  

3. Hitung Reduced Cost (K ij )= C ij -U i -V j, untuk sel yang tidak mendapatkan

alokasi.

  V4 V3 U1 U2 U3

  C ij

• V

  j U

  1 , U

  2 , U

  Sel yang tidak mendapatkan alokasi Sel yang mendapatkan alokasi

  1 , V

  2 , V

  3 , V

  4 , K

  12, K

  14, K

  21 , K

  23 , K

  24 , K

  33 ? ⁷³

  3

, V

  CONTOH

⁷⁴

  75 OPTIMAL

⁷⁶

MISAL DIBERIKAN SOLUSI BASIS LAYAK AWAL DENGAN LEAST COST METHOD ⁷⁷

  2

  4

  2

  8

  6

  6

  7

  1

  2

  2

  4

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  3 Model Transportasi Pendahuluan Pencarian Solusi Basis Northwest corner

  Least cost Vogel Approximation Method Pencarian Solusi

  Optimal Metode u-v atau MODI (Modifed Distribution

  Method) Metode stepping stone Degenerasi

  Penerapan

  79 Stepping-Stone Method

  Metode Stepping Stone : Menekan ke bawah biaya transportasi dengan memasukkan variabel non basis (yaitu alokasi barang ke kotak kosong) ke dalam solusi. Dengan menggunakan solusi awal yang diperoleh melalui Least Cost Method yang belum optimum, akan ditunjukkan evaluasi masing-masing non basis.

  a. Memilih salah satu sel kosong (yang tidak mendapatkan alokasi)

  b. Mulai dari sel ini, kita membuat jalur tertutup melalui sel-sel yang

mendapatkan alokasi menuju sel kosong terpilih kembali. Jalur tertutup ini

bergerak secara horisontal dan vertikal saja.

  c. Mulai dengan tanda (+) pada sel kosong terpilih, kita menempatkan tanda (-) dan (+) secara bergantian pada setiap sudut jalur tertutup.

  d. Menghitung indeks perbaikan dengan cara menjumlahkan biaya transportasi pada sel bertanda (+) dan mengurangkan biaya transportasi pada sel bertanda

STEPPING STONE

  ⁸⁰

  1

  11

  11 , buat jalur tertutup melalui sel yang sudah memiliki alokasi sampai kembali lagi ke x

  2

  8

  6

  6

  7

  4

  2

  2

  4

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  2

3 Mulai dari sel x

STEPPING STONE (2)

  ⁸¹

  4

  2

  8

  6

  6

  7

  1

  2

  2

  4

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  2

3 Beri tanda (+) pada sel kosong terpilih, lalu tanda (-) dan (+) secara

STEPPING STONE (3)

  ⁸²

  4

  11 dari nilai biayanya Maka, C = 2 – 1 + 4 – 10 = - 5

  2

  8

  6

  6

  7

  1

  2

  2

  4

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  2

3 Hitung nilai improvement index C

STEPPING STONE (4)

  ⁸³

  4

  12

  2

  8

  6

  6

  7

  1

  2

  2

  4

  5

  8

  10

  3

  1

  2

  2

3 Sel x

STEPPING STONE (5)

  2

  8

  6

  6

  7

  1

  4

  ⁸⁴

  5

  4

  8

  10

  3

  1

  2

  2

  2

  2

3 Improvement index C

  12 = 2 – 1 + 4 – 10 + 7 – 6 =

• -4

STEPPING STONE (6)

  Nilai improvement index setiap sel kosong Sel C

  11 = -5 Sel C

  12 = -4 Sel C

  13 = 0 Sel C

  22 = -1 Sel C

  33 = 4 Sel C

  34 = 7

  86

STEPPING STONE (7)

  

1. Jika perbaikan dapat dilakukan, pilih jalur dengan

nilai indeks perbaikan yang paling negatif.

  

2. Pada jalurnya, pilih nilai alokasi terkecil dari kotak

yang memiliki tanda (-).

  3. Tambahkan nilai alokasi tersebut ke setiap kotak yang bertanda (+) dan kurangkan ke setiap kotak yang bertanda (-)

  4. Ulangi iterasi sampai tidak ada lagi nilai perbaikan indeks yang negatif.

STEPPING STONE (8)

  Nilai improvement index setiap sel kosong Sel C 11 = -5

  Sel C

  12 = -4 Sel C

  13 = 0 Sel C

  22 = -1 Sel C

  33 = 4 Sel C

  34 = 7 Nilai minus terbesar, maka dilakukan alokasi ulang pada sel x

  11

STEPPING STONE (9)

  ⁸⁸

  2

  1

  3

  10

  8

  5

  4

  1

  4

  2

  7

  6

  6

  8

  2

  3

  2

  2

  2

  4

  2

  2

  1

  3

  10

  8

  5

  2

  x ₁₁ , lihat nilai alokasi pada kotak bertanda (-) dan pilih nilai

  4

  1

  7

  6

  6

  8

  2

3 Dari jalur sel

STEPPING STONE (10)

  ⁸⁹

  2

  2

  2

  1 0 + 2 3 - 2

  10

  8

  5

  4

• 2

  2

  4 1 + 2

  7

  6

  6

  8

  2

  2

  8

  8

  2

  2

  2

  1

  3

  10

  5

  6

  4

  2

  4

  1

  7

  6

  3

3 Tambahkan nilai

  2 ke setiap kotak yang bertanda (+) dan kurangkan ke setiap kotak yang bertanda (-)

STEPPING STONE (11)

  ⁹⁰

  4

  69

  2

  8

  6

  6

  7

  3

  4

  2

  5

  8

  10

  1

  2

  1

  2

  2

3 Alokasi baru dengan nilai solusi =

STEPPING STONE (13)

  Nilai improvement index setiap sel Sel C 12 = 1

  Sel C