Masalah Transportasi (Transportation Problem)
Masalah Transportasi
(Transportation Problem)
Amelia Kurniawati ST., MT.
OUTLINE Pendahuluan Pendahuluan Pemecahan Masalah Transportasi Pemecahan Masalah Transportasi
Solusi Basis Awal Layak
- Solusi Basis Awal Layak •
Northwest corner method
- Northwest corner method
- Least cost method
Least cost method
Vogel’s approximation method (VAM) Vogel’s approximation method (VAM)
Perbaikan Solusi Basis Layak Awal
- Perbaikan Solusi Basis Layak Awal •
Metode u-v atau MODI (Modified Distribution Method)
- Metode u-v atau MODI (Modified Distribution Method)
- Metode stepping stone
- Metode stepping stone
- Contoh Implementasi
Contoh Implementasi
GOAL
Memahami konsep metode transportasi
- dan penerapannya Memahami konsep solusi optimal
- permasalahan transportasi Memahami metode Vogel’s untuk
- pencarian solusi optimal
PENDAHULUAN
MASALAH TRANSPORTASI
Masalah transportasi umumnya berkaitan
- dengan masalah pendistribusian suatu
produk dari beberapa sumber ke sejumlah
tujuan dengan biaya yang minimum.
Pabrik Pusat Distribusi/Depot
5 100
1
25
1
4
3
70
30
7
2
2
4
5 100
3
6
7 Berapa yang harus dikirim dari
15
4 gudang 1 dan 2 ke masing-masing konsumen supaya biaya minimal? Rumusan Pemrograman Linier Terdapat m sumber (misal: gudang) dimana
- produk disimpan. Terdapat n tujuan (misal: pasar) dimana
- produk dibutuhkan.
- Ketersediaan pasokan dari sumber : a (i =
i 1, 2, …, m)
- Permintaan dari tujuan : b (j = 1, 2, …, n)
j Rumusan Pemrograman Linier Biaya pengiriman dari sumber i ke tujuan j : c
- ij
(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). Jika suatu sumber i tidak dapat memasok suatu tujuan j, maka c = M (M bilangan positif yang sangat ij besar) Permasalahannya adalah menentukan jumlah
- produk yang dikirim dari sumber i ke tujuan j (dinyatakan dengan x ) yang meminimumkan
ij biaya transportasi (pengiriman) total.
Rumusan Pemrograman Linier Biaya pengiriman dari sumber i ke tujuan j : c
- ij
(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). Jika suatu sumber i tidak dapat memasok suatu tujuan j, maka c = M (M bilangan positif yang sangat ij besar) Permasalahannya adalah menentukan jumlah
- produk yang dikirim dari sumber i ke tujuan j (dinyatakan dengan x ) yang meminimumkan
ij biaya transportasi (pengiriman) total.
Rumusan Pemrograman Linier Minimasi
m i n j ij ij
Z x c
1
1 dengan pembatas-pembatas: i n j ij a x
1 j m i ij b x
1
ij x j i,
j = 1, 2, …, n i = 1, 2, …, m
1
2 m
1
2 n ... ...
Sumber Tujuan c ij a
1 a
2 a i a m b
1 b
2 b j b n Masalah Transportasi Standar/Seimbang (Standar/Balanced Transportation Problem)
Minimasi
m i n j ij ij
Z x c
1
1 dengan pembatas-pembatas: i n j ij a x
1 j m i ij b x
1
ij x
n i j m j i b a
1
1 j i,
j = 1, 2, …, n i = 1, 2, …, m Masalah Transportasi Tak Seimbang m n
1 Z c x
Minimasi ij ij m n
i 1 j
1 a b
i j
dengan pembatas-pembatas: j 1 i
1 n
1 i = 1, 2, …, m a x ij i
j
1 m b
x j = 1, 2, …, n, n+1
ij j i
1 i, j x
ij m n b a b
j = n+1 adalah tujuan fiktif dengan permintaan n 1 i j
j 1 i
1 c , i 1 , 2 ,..., m dan i , n
1
Masalah Transportasi Tak Seimbang Minimasi
1
1
,
,..., 2 , 1 ,
dan n j c j m1 j i,
1
1
m j i n i j n a b a
1 j = 1, 2, …, n i = 1, 2, …, m+1 j = n+1 adalah sumber fiktif dengan pasokan
n i j m j i b a
1 ij x
1
1 j m i ij b x
Z x c dengan pembatas-pembatas: i n j ij a x
1 m i n j ij ij
1
1
Tabel Transportasi
Tujuan Pasokan
D 1 D 2 D n
Sum ber
S 1 c 11 c 12 c 1n a 1 x 11 x 12 x 1n S 2 c 22 c 22 c 2n a 2 x 12 x 22 x 2n S m c m1 c m2 c mn a n x m1 x m2 x mn
Permintaan
b 1 b 2 b m
Contoh Kasus I
To From Albuquerque Boston Cleveland Des Moines $5 $4 $3 Evansville $8 $4 $3 Fort Lauderdale $9 $7 $5
To From Albuquerque Boston Cleveland Des Moines $5 $4 $3 Evansville $8 $4 $3 Fort Lauderdale $9 $7 $5
Boston (200 units Cleveland required)
(200 units Des Moines required) (100 units capacity) Albuquerque
(300 units Evansville required) (300 units capacity) Fort Lauderdale
(300 units capacity) Transportation Matrix Des Moines To
Factory capacity Albuquerque Boston Cleveland capacity From constraint
$5 $4 $3 Des Moines
100 Cell representing a
$8 $4 $3 possible Evansville
300 source-to- destination shipping
$9 $7 $5 assignment Fort Lauderdale
300 (Evansville to Cleveland)
Warehouse 300 200 200 700 requirement Cost of shipping 1 unit from Fort Cleveland Total demand
Lauderdale factory to Boston warehouse warehouse demand and total supply
Contoh Kasus II Shipping costs, Supply, and Demand for Powerco Example
From To City 1 City 2 City 3 City 4 Supply
(Million kwh) Plant 1 $8 $6 $10 $9
35 Plant 2 $9 $12 $13 $7
50 Plant 3 $14 $9 $16 $5
40 Demand
45
20
30
30 (Million kwh)
LP Formulation of Powerco’s Problem
Min Z = 8X 11 +6X 12 +10X 13 +9X 14 +9X 21 +12X 22 +13X 23 +7X 24
- 14X 31 +9X 32 +16X 33 +5X 34 S.T.:
Perumusan masalah dalam masalah transportasi standar
- – Langkah 1:
- Penentuan solusi basis layak awal
- – Langkah 2:
- Pemeriksaan optimalitas. Jika solusi optimal maka
- – berhenti. Penentuan solusi basis yang baru dan ke langkah 2
- –
- Northwest corner method
- Least cost method
- Vogel’s approximation method (VAM)
dikatakan degenerasi (degenerate) jika satu atau
lebih variabel basis mempunyai nilai nol. Solusi basis dapat menjadi degenerasi jika sisapasokan dan sisa permintaan adalah sama untuk
variabel yang akan dipilih menjadi basis. Jumlah solusi basis dalam masalah transportasi- harus : m + n – 1 (m = jumlah baris, n = jumlah kolom)
- Pemeriksaan optimalitas
- – Penentuan solusi basis layak yang baru
- – Metode:
Metode u-v atau MODI (Modified Distribution
–- –
- -5
- -5
- +
- +
- 2. Hitung nilai U dan V dengan menggunakan persamaan C = U i j ij i V , untuk sel yang mendapatkan alokasi. j
- - METODE STEPPING STONE-
- $8 $4 $3
- $9 $7 $5
X 11 +X 12 +X 13 +X 14 <= 35 (Supply Constraints)
X 21 +X 22 +X 23 +X 24 <= 50
X 31 +X 32 +X 33 +X 34 <= 40
X 11 +X 21 +X 31 >= 45 (Demand Constraints)
X 12 +X 22 +X 32 >= 20
X 13 +X 23 +X 33 >= 30
X 14 +X 24 +X 34 >= 30 Xij >= 0 (i= 1,2,3; j= 1,2,3,4)
PEMECAHAN MASALAH
TRANSPORTASIAlgoritma Pemecahan Langkah 0:
Metode Penentuan Solusi Basis Layak Awal
Northwest Corner Rule (0) Merupakan pemecahan awal yang layak, namun belum optimal sehingga harus dilanjutkan ke tahap selanjutnya dengan mempergunakan metode lanjut.
Prosedur:
(1) Pengisian sel/kotak dimulai dari ujung kiri atas.
(2) Alokasi jumlah maksimum (terbesar) sesuai syarat sehingga layak untuk memenuhi permintaan. (3) Bergerak ke kotak sebelah kanan bila masih terdapat suplai yang cukup. Kalau tidak, bergerak ke kotak di bawahnya sesuai demand. Bergerak terus hingga suplai habis
Northwest Corner Rule (1)
6
Produk
Pabrik Permintaan Konsumen Ketersediaan
4 Konsumen
4
3
4
5
8
2
2
7
7
4
5
8
10
3
1
2
6
Northwest Corner Rule (2)
6
4
4
3
1
5
8
6
2
2
7
4
5
8
10
3
1
2
7
Northwest Corner Rule (3)
7
4
4
3
5
8
6
6
2
2
6
4
5
8
10
3
1
2
1
Northwest Corner Rule (4)
3
4
4
5
8
6
6
7
2
2
3
4
5
8
10
3
1
2
1
Northwest Corner Rule (5)
3
4
1
5
8
6
6
7
2
2
1
4
5
8
10
3
1
2
3
6 Northwest Corner Rule (6) )
3
1
1
4
8
6
6
7
3
1
2
4
5
8
10
3
1
2
2
4
Northwest Corner Rule
Solusi Basis Layak Awal
2
7
4 Biaya transportasi total Z = 92
4
3
4
4
1
5
8
6
6
3
2
2
1
7
4
5
8
10
3
3
1
3
Least Cost Rule (1)
7
4
3
4
5
8
6
6
7
2
4
5
8
10
3
1
2
2
4
Least Cost Rule (2)
6
1
4
3
4
5
8
6
2
2
7
4
5
8
10
3
1
2
7
Least Cost Rule (3)
7
4
3
4
5
8
6
6
2
2
6
4
5
8
10
3
1
2
1
Least Cost Rule (4)
1
3
4
5
8
6
6
7
2
2
2
4
5
8
10
3
1
2
4
Least Cost Rule (5)
1
4
3
2
8
6
6
7
2
2
2
4
5
8
10
3
1
2
4
Least Cost Rule (6)
1
2
3
2
8
6
6
7
2
2
2
4
5
8
10
3
1
2
4
Least Cost Rule
Solusi Basis Layak Awal
2
4
2
8
6
6
7
1
2
2
2
5
8
10
3
1
4
Vogel’s Approximation Method (VAM) (0)
Prosedur Pemecahan: (1) Hitung perbedaan antara dua biaya terkecil dari setiap baris dan kolom. Nilai perbedaan/selisih ditulis di kolom baru di samping kolom yang ada (disebut baris/kolom penalti).
(2) Pilih baris atau kolom dengan nilai hukuman terbesar, lalu beri tanda kurung. Jika nilai pada baris atau kolom adalah sama, pilih yang dapat memindahkan barang paling banyak.
(3) Dari baris/kolom yang dipilih pada (2), tentukan jumlah barang yang bisa terangkut dengan memperhatikan pembatasan yang berlaku bagi baris atau kolomnya serta sel dengan biaya terkecil.
(4) Hapus baris atau kolom yang sudah memenuhi syarat sebelumnya (artinya suplai telah dapat terpenuhi).
(5) Ulangi langkah (1) sampai (4) hingga semua alokasi
Vogel’s Approximation Method (VAM) (1)
7
3
4
5
4 Penalti
4
3
4
5
8
6
6
1
Pen alti
7
4
5
8
10
1
3
1
2
2
2
3
Vogel’s Approximation Method (VAM) (2)
6
4
1
2
3
4 Penalti
4
3
1
5
8
Pen alti
2
7
1
7
4
5
8
10
3
1
2
2
6
Vogel’s Approximation Method (VAM) (3)
7
1
2
3
4 Penalti
3
1
5
8
6
6
Pen alti
2
3
3
4
5
8
10
3
1
2
2
4
Vogel’s Approximation Method (VAM) (4)
4
1 Penalti
3
1
5
8
6
6
7
Pen alti
2
4
5
8
10
3
1
2
2
3
Vogel’s Approximation Method (VAM)
Solusi Basis Layak Awal
2
6
4 Biaya transportasi total Z = 68
4
3
4
1 Permintaan
3
1
5
8
6
7
2
Pasokan
3
7
4
5
8
10
3
3
1
2
4
Degenerasi
Solusi basis layak dari masalah transportasi
Ilustrasi Degenerasi (1)
7
4
5
4
8
8
6
6
5
2
4
5
8
10
4
1
2
2
4
Ilustrasi Degenerasi (2)
7
4
4
5
8 Sisa Permintaan
8
6
6
Sisa Pasokan
2
4
5
8
10
4
1
2
2
5
Ilustrasi Degenerasi (3)
7
4
4
5
8 Sisa Permintaan
8
6
6
Sisa Pasokan
2
4
5
8
10
4
1
2
2
5
Ilustrasi Degenerasi (4)
5
4
4
8 Sisa Permintaan
8
6
6
7
Sisa Pasokan
2
5
8
10
4
1
2
2
4
Ilustrasi Degenerasi (5)
5
4
4
8 Sisa Permintaan
8
6
6
7
Sisa Pasokan
2
5
8
10
4
1
2
2
4
Ilustrasi Degenerasi (6)
5
4
4 Sisa Permintaan
4
8
6
6
7
Sisa Pasokan
2
5
8
10
4
1
2
2
4
Ilustrasi Degenerasi (7)
7
4
4
5
4 Permintaan 4
4
8
8
6
6
Pasokan
2
5
4
5
8
10
4
4
1
2
2
5
Perbaikan Solusi Basis Layak Awal Perbaikan solusi basis layak awal
Method) Metode Stepping Stone
Metode u-v (1) Untuk sebarang solusi basis layak, tentukan nilai u (untuk semua i) dan v (untuk semua j) sedemikian i j hingga untuk setiap variabel basis x u v c
ij i j ij (Nilai u dan v bisa positif, negatif atau nol). i j
Untuk variabel non basis: c c u v
ij ij i j
Metode u-v (2)
Untuk variabel non basis:
c c u v ij ij i j
Kondisi optimalitas (masalah minimasi ) terjadi apabila untuk semua variabel non basis
c c u v ij ij i j
Jika kondisi belum optimal, variabel yang masuk basis
c
adalah yang mempunyai paling negatif (masalah
ij
minimasi)
Misal Diberikan Solusi Basis Layak
Awal dengan Least Cost Method
2
1
3
2
8
6
6
7
4
2
2
4
5
8
10
3
1
2
Penerapan Metode u-v Enam persamaan dengan tujuh variabel yang tak diketahui u
1 v
1
4 terdapat tak hingga solusi yang mungkin u
10 v
2
1 u
5 v
2
suatu nilai variabel tertentu dapat u
4 v
2
4 ditetapkan sebarang, dan nilai u
7 v
3
1 yang lain dapat dipecahkan.
Misalnya, u = 0
1 u
6 v
3
2
Pemeriksaan Optimalitas v 1
2
4
3
4
3
2
5
8
6
6
7
=
u 3
1
4
7
= v 2 = v 3 = v 4 =
4
5
8
10
=
u 2
3
3
1
2
2
2
= 0
u 1
4 Pemeriksaan Optimalitas v 1
= 7 v 2 = 6 v 3 = 2 v 4 = 1
4
4
3
4
3
2
5
8
6
6
7
= 0
u 3
1
2
u 1
7
4
5
8
10
= 3
u 2
3
3
1
2
2
2
= 0
4 Pemeriksaan Optimalitas c c u v
ij ij i j
v = 7 v = 6 v = 2 v = 1 1 2 3 4
2
2
2
1
u = 0 1
3
3
10
8
5
4
u = 3 2
7
2
4
1
7
6
6
8
u = 0 3
5
2
3
4
3
4
4 Pemeriksaan Optimalitas c c u v
ij ij i j
v = 7 v = 6 v = 2 v = 1 1 2 3 4
2 -4
2
2
1
u = 0 1
3
3 10 -1
8
5
4
u = 3 2
7
2
4
1
7
6
4
6
7
8
u = 0 3
5
2
3
4
3
4
4
x masuk basis
11
v = 7 v = 6 v = 2 v = 1 1 2 3 4
2
2
2
1
u = 0 1
3
3
10
8
5
4
u = 3 2
7 1+
2
4
7
6
6
8
u = 0 3
5
2
3
4
3
4
4
= min(3, 2) = 2 x keluar basis
21
Solusi
7
4 Biaya transportasi total Z = 69
4
3
4
3
2
5
8
6
6
2
2
4
7
4
5
8
10
1
2
3
1
2
3 Pemeriksaan Optimalitas v 1
= 2 v 2 = 1 v 3 = 2 v 4 = 1
4
4
3
4
3
2
5
8
6
6
7
= 5
u 3
3
7
u 1
4
5
8
10
= 3
u 2
1
2
3
1
2
2
2
= 0
4 Pemeriksaan Optimalitas v 1
= 2 v 2 = 1 v 3 = 2 v 4 = 1
8
3
u 3
= 5
7 6 -1
6
2
5
7
2
3
4
3
4
4
x
4
4
u 1
3
= 0
2
1
2
2
1
2
5
1
u 2
= 3
5
10
4
8
33 masuk basis
Pemeriksaan Optimalitas
v = 2 v = 1 v = 2 v = 1 1 2 3 4
2
2
2
1
u = 0 1
3 2+
1
10
8
5
4
u = 3 2
7 3+
4
7
6
6
8
u = 5 3
5
2
3
4
3
4
4
= min(1, 4, 2) = 1 x keluar basis
14
Solusi
6
4 Biaya transportasi total Z = 68
4
3
4
1
3
1
5
8
6
2
2
4
3
7
4
5
8
10
3
3
1
2
7
Solusi v 1
3
4
3
4
1
3
1
5
8
6
6
7
= 5
u 3
4
7
= 2 v 2 = 1 v 3 = 1 v 4 = 0
4
5
8
10
= 4
u 2
3
3
1
2
2
2
= 0
u 1
4 Biaya transportasi total Z = 68
Solusi v 1
3
3
4
u 3
= 5
7
6
6
8
4
5
1
3
1
4
3
4
7
5
= 2 v 2 = 1 v 3 = 1 v 4 = 0
1
u 1
= 0
2
1
2
1
2
1
8
3
3
u 2
= 4
4
10
3
4 Solusi optimal
Solusi Optimal
6
4 Biaya transportasi total Z = 68
4
3
4
1
3
1
5
8
6
2
2
4
3
7
4
5
8
10
3
3
1
2
7
Masalah Maksimasi Kondisi optimal : Koefisien fungsi tujuan relatif untuk variabel non basis tak positif
j i ij ij v u c c
Penentuan variabel non basis yang masuk basis Pilih variabel non basis dengan koefisien fungsi tujuan relatif paling positif
1. Tetapkan U = 0 1
3. Hitung Reduced Cost (K )= C -U -V untuk sel yang tidak ij ij i j, mendapatkan alokasi.
V3 V4 Sel yang mendapatkan alokasi
C = U + V ij i j U1 U2 U3
Sel yang tidak mendapatkan alokasi U , U , U , V , V , V , V , K K K , K , K , K ? 1 2
3
1 2 3 4 12, 14, 21 23 24 33 K = C -U -V ij ij i jContoh
Optimal
Transportation Matrix Transportation Matrix
Des Moines To Factory capacity Albuquerque Boston Cleveland capacity
From constraint
$5 $4 $3 Des Moines
100 Cell representing a
$8 $4 $3 possible Evansville
300 source-to- destination shipping
$9 $7 $5 assignment Fort Lauderdale
300 (Evansville to Cleveland)
Warehouse 300 200 200 700 requirement
Cost of shipping 1 unit from Fort Cleveland Total demand Lauderdale factory to Boston warehouse warehouse demand and total supply
Northwest-Corner Rule Northwest-Corner Rule
Start in the upper left-hand cell (or northwest corner) of the table and allocate units to shipping routes as follows:
1. Exhaust the supply (factory capacity) of each row before moving down to the next row
2. Exhaust the (warehouse) requirements of each column before moving to the next column
Northwest-Corner Rule
Northwest-Corner Rule
1. Assign 100 tubs from Des Moines to Albuquerque (exhausting Des Moines’s supply)
2. Assign 200 tubs from Evansville to Albuquerque (exhausting Albuquerque’s demand)
3. Assign 100 tubs from Evansville to Boston (exhausting Evansville’s supply)
4. Assign 100 tubs from Fort Lauderdale to Boston (exhausting Boston’s demand)
5. Assign 200 tubs from Fort Lauderdale to Cleveland (exhausting Cleveland’s demand and Fort Lauderdale’s supply)
Northwest-Corner Rule Northwest-Corner Rule
To (A) (B) (C) Factory capacity
Albuquerque Boston Cleveland From $5 $4 $3
(D) Des Moines 100
100 $8 $4 $3
(E) Evansville 200 100 300 $9 $7 $5
(F) Fort Lauderdale 100 200 300
Warehouse 300 200 200 700 requirement
Means that the firm is shipping 100 bathtubs Figure C.3 from Fort Lauderdale to Boston
Intuitive Lowest-Cost Method Intuitive Lowest-Cost Method
To
(A) (B) (C)
Factory capacity
Albuquerque Boston Cleveland
From $5 $4 $3(D) Des Moines 100
100 $8 $4 $3
(E) Evansville 300
$9 $7 $5 (F) Fort Lauderdale
300 Warehouse
300 200 200 700 requirement
First, $3 is the lowest cost cell so ship 100 units from Des Moines to Cleveland and cross off the first row as Des Moines is satisfied
Figure C.4 Intuitive Lowest-Cost Method Intuitive Lowest-Cost Method
To (A) (B) (C) Factory capacity
Albuquerque Boston Cleveland
From $5 $4 $3(D) Des Moines 100
100 $8 $4 $3
(E) Evansville 300
100 $9 $7 $5 (F) Fort Lauderdale
300 Warehouse
300 200 200 700 requirement
Second, $3 is again the lowest cost cell so ship 100 units from Evansville to Cleveland and cross off column C as Cleveland is satisfied
Figure C.4 Intuitive Lowest-Cost Method Intuitive Lowest-Cost Method
To (A) (B) (C) Factory capacity
Albuquerque Boston Cleveland From $5 $4 $3
(D) Des Moines 100
100 $8 $4 $3
(E) Evansville 200 300 100 $9 $7 $5
(F) Fort Lauderdale 300
Warehouse 300 200 200 700 requirement
Third, $4 is the lowest cost cell so ship 200 units from Evansville to Boston and cross off column B and row E as Evansville and Boston are satisfied
Figure C.4 Intuitive Lowest-Cost Method Intuitive Lowest-Cost Method
To (A) (B) (C) Factory capacity
Albuquerque Boston Cleveland From $5 $4 $3
(D) Des Moines 100 100 $8 $4 $3
(E) Evansville 200 300 100
$9 $7 $5 (F) Fort Lauderdale
300 300
Warehouse 300 200 200 700 requirement
Finally, ship 300 units from Albuquerque to Fort Lauderdale as this is the only remaining cell to complete the allocations
Figure C.4 Intuitive Lowest-Cost Method Intuitive Lowest-Cost Method
To (A) (B) (C) Factory capacity
Albuquerque Boston Cleveland From $5 $4 $3
(D) Des Moines 100
100 $8 $4 $3
(E) Evansville 200 300 100 $9 $7 $5
(F) Fort Lauderdale 300 300
Warehouse 300 200 200 700 requirement
Total Cost = $3(100) + $3(100) + $4(200) + $9(300) = $4,100 Figure C.4
Intuitive Lowest-Cost Method Intuitive Lowest-Cost Method
To (A) (B) (C) Factory capacity
Albuquerque Boston Cleveland From $5 $4 $3 This is a feasible solution, and an
(D) Des Moines 100
100 improvement over the previous solution, but not necessarily the lowest
$8 $4 $3 cost alternative (E) Evansville 200 300
100 $9 $7 $5 (F) Fort Lauderdale 300
300 Warehouse
300 200 200 700 requirement
Total Cost = $3(100) + $3(100) + $4(200) + $9(300) = $4,100 Figure C.4
Stepping-Stone Method Stepping-Stone Method
Metode Stepping Stone : Menekan ke bawah biaya
transport dengan memasukkan variabel non basis (yaitu
alokasi barang ke kotak kosong) ke dalam solusi. Dengan
menggunakan solusi awal yang diperoleh melalui metode
North West Corner yang belum optimum, akan ditunjukkan evaluasi masing-masing non basis.a. Memilih salah satu sel kosong (yang tidak mendapatkan alokasi)
b. Mulai dari sel ini, kita membuat jalur tertutup melalui sel-sel yang mendapatkan alokasi menuju sel kosong terpilih kembali. Jalur tertutup ini bergerak secara horisontal dan vertikal saja.
c. Mulai dengan tanda (+) pada sel kosong terpilih, kita menempatkan tanda (-) dan (+) secara bergantian pada setiap sudut jalur tertutup.
d. Menghitung indeks perbaikan dengan cara menjumlahkan biaya transportasi pada sel bertanda (+)
dan mengurangkan biaya transportasi pada sel bertanda
(-).$5 $8 $4
$4
Stepping-Stone Method Stepping-Stone Method
To (A) Albuquerque (B) Boston (C) Cleveland (D) Des Moines (E) Evansville (F) Fort Lauderdale Warehouse requirement
300 200 200 Factory capacity 300 300 100 700
$5 $5 $4 $4
$3 $3 $9 $8
$7 From 100 100 100
200 200
1 100 201
99
99 100 200
Figure C.5 Des Moines- Boston index = $4 - $5 + $8 - $4 = +$3
Stepping-Stone Method Stepping-Stone Method
To (A) (B) (C) Factory capacity
Albuquerque Boston Cleveland From $5 $4 $3 Start
(D) Des Moines 100
100
(E) Evansville 200 100 300
(F) Fort Lauderdale 100 200 300
Warehouse 300 200 200 700 requirement