SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINIER (SPL) SIMULTAN

METODE NUMERIK

  SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINIER (SPL) SIMULTAN http://maulana.lecture.ub.ac.id/lecture/metode-numerik/

Sistem Persamaan Linier

  3 ^{2 1 3 2 1 3 32 31 2 22 21 1 12 11 n n m n m m m n n n n} C x a x a x a x a

  3 ^{3 2 2 1 1 2 2 3 23 2 22 1 21 1 1 3 13 2 12 1 11}

  

   

       

           

  C x a x a x a x a C x a x a x a x a

  

Misal terdapat SPL dengan n buah variabel bebas

Matriks:

        

  C ^{C C C x x x x a a a a a a a a a a a a}   

         n ^{n n}

  















        

        

         

        

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier (SPL)

   Algoritma Gauss Naif

   Algoritma Gauss Jordan

   Algoritma Gauss Seidel

  Algoritma Gauss Naif 1.

  Membagi persamaan pertama dengan koefisien a . Langkah tersebut disebut

  11 normalisasi. Tujuan normalisasi ini adalah

agar koefisien dari x berubah menjadi 1.

  

1

2.

  Kalikan persamaan yang telah dinormalisasi (dalam hal ini persamaan pertama) dengan

koefisien pertama dari persamaan kedua

(yaitu a ).

  21 3.

  Mengurangkan baris kedua dan ketiga dengan baris pertama.

  Algoritma Gauss Naif 4.

  Kalikan persamaan pertama yang sudah dinormalisasi dengan koefisien tertentu sehingga a = a .

  11

  31 5.

  Kurangkan persamaan ketiga dengan hasil dari yang didapat dari langkah 4.

  22 Langkah ini disebut NORMALISASI untuk persamaan kedua. Tujuannya adalah agar koefisien x berubah menjadi 1.

  2

  Algoritma Gauss Naif 7.

  Kalikan persamaan kedua yang sudah

dinormalisasi pada langkah ke-6 dengan

suatu koefisien tertentu sehingga a = a .

  22

  32 8.

  Kurangkan persamaan ketiga dengan persamaan kedua hasil dari langkah ke-7.

Algoritma Gauss Naif (Ex.)

   Diketahui SPL: 2x + 2x + x = 4

  1

  2

  3 3x - x + x = 1

  1

  2

  3 x + 4x - x = 2

  1

  2

  3 

  Bagaimana penyelesaiannya?

Algoritma Gauss Naif (Ex.)

  1

  3 ^{2 1 x x x}      

  2

  2

  1

  3

  1

  1

  1

  4

   Matriks yang terbentuk:

  

  1

  2

  

       

     

       

       

     

       

  4

Langkah: 1

       

  3

     

  2 ^{2 1 1} x x x b

  1

  2

  1

  1

  1

  2

  1

     

  1

  1

  4

  1

  2

  1

  2

   

       

       

Algoritma Gauss Naif (Ex.)

  1  

  1

  x

     ₁ 2 

  1 2. dan 3.

  2  

     

  b b

  1 x   ₂  3   ₁ 4    ₂

  5    

  2  

  x

     

  1 4 

  1 ₃

  2        

  1

  1 x

  1   4. dan 5.

  2     ₁

  2      

  1 b b x

    ₃    ₁ 4    ₂

  5     2   x

     

  3 ₃

  3       

  2  

  Algoritma Gauss Naif (Ex.) 6.

  5

       

         

     

       

       

    

  4

  15

  4

  2

  

3

²

¹

² x x x b

  8

  15

  8

  1

  1

  2

  1

  1

  1

       

  1

  7. dan 8.

  2

      

      

       

      

       

       

    

  4

  5

  2

  4

  3

  3

  8

  1

  1

  2

  1

  1

  1

  3 _{3 2} ¹ _{2 3 x} ^{x x b b}

Algoritma Gauss Naif (Ex.)

  

Hasil:

  15

  2 ^{3 2}      x x x

  4

  1 ^{3 2 1}         x x x x

  1

  2

  2

  2

  1

  1

  2

  2

     

  1

  8

  8

  2

  4

  5

  4

  1

  8

  2

  1

   

  3 ³      x x

  15

  5

Algoritma Gauss Jordan

  A

  C x C x C x _{2 2 1 1}

     n n

    

  1

  1

  1

  1

  3 ^{2 1 3 2 1 1}

    

       

   

   Dengan metode Gauss Jordan matriks A diubah sedemikian rupa sampai terbentuk identitas dengan cara :

diubah menjadi

C* merupakan matriks C yang sudah mengalami beberapa kali transformasi, sehingga:

    C

        

        

        

         

        

        

  I ¹ |

  X A

   C

     

  X I A  |

   ^{   } _n C C C C x x x x

Algoritma Gauss Jordan (Ex.)

   Diketahui SPL: 2x + 2x + x = 4

  1

  2

  3 3x - x + x = 1

  1

  2

  3 x + 4x - x = 2

  1

  2

  3 

  Bagaimana penyelesaiannya?

Algoritma Gauss Jordan (Ex.)

  1

       

       

   

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  1

       

  2

  1

  4

  1

  1

  1

  3

  1

  2

  1

  3 ^{2 1 1} x x x b

      

   Langkah: 1.

  2.

  1

       

     

       

       

     

       

  

  2

  1

  4

  1

      

  1

  1

  1

  1

  4

  1

  2

  1

  3

  2

  3 ^{2 1}

x

x

x

      

Algoritma Gauss Jordan (Ex.)

   

  1

  1 3.

  x

  1

  1    ₁ 2 

  2

  2 _{b b}  

  

  3 _{2 1}

     

  1

  3 

   x  4   1   ₂

  5     _{b b}

  2

  2 

   ₃  ₁

  x

     

  3

  3

  1 ₃   

  

  1    

  2

  2 

  

   

  1

  1 4. x

  1

  1 2     ₁

  2

  2  

  1    

  1

  3

  1

  5 b x

   

  1  ₂   ₂    

  8

  8

  4

  4 4   x

     

  3

  3

  1 ₃  

  1      

  2

  2  

Algoritma Gauss Jordan (Ex.) 5

  4

  15

  6

  15

  8

  15

  3

  5

  4

  4

  2

     

       

       

      

  13

  1

       

  8

  3 ^{2 1 3} x x x b

  8

  15

  1

  1

  3

  1

  8

  8

  1

  1

  8

  1

  4

  3

       

  6. ^{2 3 2 1} 3b ^{b b b} 

        

  15

  4

  1

  3

  4

  5

  4

  4

  8

    

       

       

     

         

       

  3

  13

  3 ^{2 1} x x x

  15

  1

  1

  3

  8

  1

  8

  8

  4

  

1

  8

  1

  4

  

3

  8

  1

       

  Algoritma Gauss Jordan (Ex.) 7.

  5

  13

  15

  1

  5

  1

  15

  4

  1

  6

  5

  2

  5

  21

  1

  1

  1

  15

  15

  Jadi: x

      

  1 = 0, x

  2 = 1, x

  3

= 2

^{3 2 3 1}

  8

  1

  8

  3 _{b b b b}  

      

  8

       

      

       

       

    

  2

  1

  15

  3 ^{2 1} x x x

Algoritma Gauss Seidel

   Sering dipakai untuk menyelesaikan persamaan yang berjumlah besar.

  

Dilakukan dengan suatu iterasi yang memberikan

harga awal untuk x = x = x = ... = x = 0.

  1

  2 3 n 

  Metode ini berlainan dengan metode Gauss Jordan

dan Gauss Naif karena metode ini menggunakan

iterasi dalam menentukan harga x , x , x , ..., x .

  1

  2 3 n 

  Kelemahan metode eliminasi dibandingkan metode iterasi adalah metode eliminasi sulit untuk digunakan dalam menyelesaikan SPL berukuran besar.

  Algoritma Gauss Seidel 1.

  Beri harga awal x

  1

= x

  2 = x

  3 = ... = x n

  = 0 2. Hitung Karena x

  2 = x

  3 = x

  4 = ... = x n

  = 0, maka 

   _{11 1 4 14 3 13 2 12 1 1} a C x a x a x a x a x ^{n n}

        

  11 ^{1 1} a C x

  

  Algoritma Gauss Seidel 3. x baru yang didapat dari tahap 2 digunakan untuk

  1 menghitung x .

  2 Baris 2  a x + a x + a x + ... + a x = C

  21

  1

  22

  2

  23 3 2n n

  2 C a x a x a x

   ₂     _{21 1 23 3 2 n n}

  x ₂  a ₂₂ C a x ₂  _{21 1} x ₂  a ₂₂

  Algoritma Gauss Seidel 4.

  Menghitung x

  3 Baris 3  a x + a x + a x + ... + a x = C

  31

  1

  32

  2

  33 3 3n n

  3 a x = C – a x – a x – … – a x

  33

  3

  3

  31

  1

  32 2 3n n C a x a x a x a x

   ₃      _{31 1 32 2 34 4 3 n n} x ₃  a ₃₃ C a x a x ₃   _{31 1 32 2} x ₃  a ₃₃

  Algoritma Gauss Seidel 5.

  Cara ini diteruskan sampai ditemukan x n .

  1 , x

  2 , x

  3 , ..., x n baru

    ^{n n n} _n ^{n n n n} C x a x a x a x a x a C x a x a x a x a

  C x a x a x a x

  1 ^{1 1 3 13 2 12 1 11 22 2 3 23 1 21 2 2 11 1 3 13 2 12 1 1}  

            

        

   

  Algoritma Gauss Seidel 7.

  Mencari kesalahan iterasi |  | dengan cara: a x x _{i bar u i lam a} 

    ( ) x

  100 % _{i a}    

  x _{i bar u}  

  

  x x _{n bar u n lam a}  _{( )}   x _{n a}     100 % x _{n bar u}

    8.

  Iterasi diteruskan sampai didapat |  | < |  | a s

Algoritma Gauss Seidel (Ex.)

   Diketahui SPL: x

• 7x
• – 3x
• – 4x
• 9x

     

   

  3 ^{2 1} x x x

  1

  7

  3

  4

  4

  9

  12

  1

  3

  51

  61

  8

       

  1

       

       

     

• – x

  = 5 %      

  3 = 8 dan  a

  2

  1

  3 = 61  12x

  2

  1

  3 = –51 4x

  2

• 3x

Algoritma Gauss Seidel (Ex.)

  4

      x x x

  8 _{2 1 3}     

  12

  3

  8

  51

  66

  3 25 ,

  184 58 ,

  x x    

   

   

    

  61 _{1 2}  

   Iterasi ke-0 x

  1 = x

  61

  4

  51

  4

  66

  25 ,

  x  

   

  51 ₁  

  1

  51

   Iterasi ke-1

  3 = 0

  2 = x

  4

Algoritma Gauss Seidel (Ex.)

   

  3

  7

  51

  2 ¹ ₃ ^{3 1 2 3 2 1}

     

    

    

  51

   

    

      

     

  

  x x x x x x x x x

  1

   Iterasi ke-2

             

  8 1366 55 ,

  3407 78 ,

  3 1366 55 , 966 49 ,

  12

  8

  3

  12

  4 184 58 , 9 966 49 ,

  66

  4

  61

  4

  9

  4

  61 966 49 ,

  1 184 58 , 3 25 ,

  7

Algoritma Gauss Seidel (Ex.)

  7

  61 19840 19 ,

  1 3407 78 , 3 1366 55 ,

  7

  51

  1

  3

  51

  9

  2 ¹ ₃ ^{3 1 2 3 2 1}     

     

         

     

   

   

   

   x x _x ^{x x x x x x}

  4

   Iterasi ke-3

   Perhitungan x

  3 27522 94 , 19840 19 ,

  1 , x

  2 , x

  3 diteruskan sampai semua |  a

  | < |  s

  |        

      70189 11 ,

  12

  61

  8

  3

  12

  8 27522 94 ,

  4 3407 78 , 9 19840 19 ,

  4

  4

Algoritma Gauss Seidel (Ex.) Iterasi ke- Nilai x 

  _a

  x ₁ = 0 x ₂ = 0 x ₃ = 0

  1 x ₁ = 51 x ₂ = 66,25 x ₃ = 184,58

  2 x ₁ = 966,49 x ₂ = 1366,55 x ₃ = 3407,78  _a = 105,28 %  _a = 104,85 %  _a = 105,42 %

  3 x ₁ = 19840,19 x ₂ = 27522,94  _a = 104,87 %  _a = 104,97 %

  Koefisien Relaksasi () 

  Tujuan: Perbaikan konvergensi dalam Gauss Seidel.

   Biasanya koefisien relaksasi dipilih sendiri berdasarkan masalah yang dihadapi.

  

Jika SPL tidak konvergen,  yang bernilai antara 0

s/d 1 disebut Under Relaksasi.

    antara 1 dan 2 biasanya digunakan untuk mempercepat konvergensi suatu sistem persamaan yang konvergen, disebut Over Relaksasi.

  Koefisien Relaksasi () 

  

Rumus (nilai SPL) dengan menggunakan 

baru lama x x x

         i i i

   

  1 0<

  <2

1

  Solusi perbaikan dengan Koefisien Relaksasi () pada metode Gauss Seidel x ₁ x ₂ u v x _1(target) x _{2 (target)} x ₁ x ₂ u v x _1(target) x _2`(target)

  Konvergen lambat Divergen

  0< <1 1< <2

_{Over relaxation Under relaxation}

  Solusi:

  Koefisien Relaksasi () (Ex.) Iterasi dengan Nilai x

  Contoh perhitungan : ke-  (1,5) x baru ₁ x = 0 ₁

  = 1,5 . 6 + (1 – 1,5) . 10 x = 0 ₂ = 9 + (–0,5) . 10 x = 10 ₁

  = 4

  1 x = 15 ₂ x = 6 x baru = 4 _{1 1}

  2 x = 7,5 x baru = 3,75 _{2 2} x = 4 ₁

  3 x = 3,75 ₂