Integral Lipat Tiga pada Balok

  

Integral Lipat Tiga Integral Lipat Tiga Integral Lipat Tiga pada Balok Integral Lipat Tiga pada Balok

  1. Partisi balok B menjadi n bagian; B , B , …, B , …, B

  1 2 k n

  B

  k

  Definisikan || || = diagonal

  ∆∆∆∆ ∆ ( x , y , z ) _{k k k}

  ruang terpanjang dari B

  k ∆∆∆∆

  2. Ambil

  ( x , y , z ) B _{k k k k} ∈

  B

  3. Bentuk jumlah Riemann _n

  ∆∆∆∆ f f ( ( x x , , y y , , z z ) )

  V V ∆ ∆

  ∑ ∑ k k k k _{k 1} =

  4. Jika || || 0 diperoleh limit

  ∆

  jumlah Riemann _n

  lim f ( x , y , z )

  V _{k k k k} ∆ ∑

  ∆ → _{k 1} =

  Jika limit ada, maka fungsi w = f(x,y,z) terintegralkan Riemann pada balok B, ditulis _n

  f ( x , y , z ) dV lim f ( x , y , z )

  V = ∆ _{k k k k}

  ∑ ∫∫∫ ∆ → Integral Lipat Tiga pada Balok (2) Integral Lipat Tiga pada Balok (2) ∆

  v

  k

  =

  ∆

  x

  k ∆

  y

  k ∆

  z

  k

  dV = dx dy dz Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:

  ∫∫∫ ∫∫∫ = _{B B}

  ) dz dy dx z , y , x ( f dV ) z , y , x ( f Contoh Contoh ∫∫∫ ² Hitung

  dengan B adalah balok dengan ukuran B = {(x,y,z)| 1

  1 ∫

  

4

  =

    

  7   

  6

  1

  2

  1 ²

  7 ₂

  3

  1

  2

    = ² ₁

¹

²

  









  3 Integral Lipat Tiga pada Daerah Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang Sembarang ₂ Hitung x yz dV , Jika S benda padat sembarang ∫∫∫ _S

  ≤

  1, 1

  x

  ≤

  2, 0

  

≤

  y

  ≤

  ≤

    = ² ₁ ^{1 2} ₁ ³

  z

  ≤

  2} Jawab.

  ∫∫∫ ² ∫ ∫ ∫ = ^{2 1 2 2}

  ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ = _{1 0 1}

  ∫ ∫









  

7

=

  Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1) B S

  (gb. 1) Integral Lipat Tiga pada Daerah Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang (2) Sembarang (2)

  Jika S dipandang sebagai

  z= (x,y) ψ ₂

  himpunan z sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh z= (x,y) dan

  ψ

  1

  z= (x,y), dan proyeksi S pada

  ψ

  2

  bidang XOY dipandang sebagai

  z= (x,y) ψ ₁

  daerah jenis I) maka: _{( ) ( , )}

  φ ^{2 ψ 2} ( , , ) ( , , )

  = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ _{( ) ( , )}

  φ ^{1 ψ 1} y= (x)

  φ _{1 y= (x)} φ ² S

  Catatan:

  xy ( , , )

  ∫∫∫

  Jika f(x,y,z) = 1, maka

  (gb. 2)

  menyatakan volume benda pejal S Contoh Contoh

  Hitung

  ( , , )

  dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S benda

  ∫∫∫

  2

  padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2; ½x dan bidang;bidang z = 0, y=x, y=0 Jawab.

  Dari gambar terlihat bahwa Dari gambar terlihat bahwa S={(x,y,z)|0≤x≤2, 0≤y≤x

  2

  0≤z≤ 2 – ½x } Sehingga, _{2 1 2 2} − ₂

  2

  2 =

  ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ _{2 0 0 2 1 2 2} −

  S = proyeksi S pada XOY ²

  xy = _{0 0} ∫ ∫

  (segitiga)

• − =
^{2 2 4 2}

  2 ∫

     

• − =
• − =
²

⁷

^{5 3}

  8

  2 ₂

  8 ^{6 4}

  64

  1

  1

  6

  2

  1

  3

  4

  4

  3

  32

  1

  8

   

     

  Contoh (lanjutan) Contoh (lanjutan) ∫ ∫

  









    − = ² _{0 0} ^{2 2}

  2

  1

  2 ∫

     

   

  2

  1

  4

  1

  2

  4 ∫

• − =

  8 = + − = Latihan Latihan

  , S benda padat di oktan pertama yang

  1. Hitung z dV

  ∫∫∫ _S

  dibatasi oleh bidang;bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabung

  2

  2 x + z = 1.

  2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi

  2

  2

  tabung y + z = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan tabung y + z = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan tuliskan dan hitung integral lipatnya.

  3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh :

  2 a. y = x , y + z = 4, x = 0, z = 0.

  2

  2 b. 1 = z +y , y = x, x = 0.

  2

  2 c. x = y, z =y, y = 1.

  2 d. y = x + 2, y = 4, z = 0, 3y ; 4z = 0. _{/ 2 z y} π

  4. Hitung

  sin( x y z ) dxdydz

  ∫ ∫ ∫ Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung dan Bola) dan Bola)

  Koordinat Tabung Koordinat Bola

  ρρρρ θθθθ φφφφ θθθθ φφφφ ρρρρ

  θθθθ θθθθ ≥≥≥≥ ≤≤≤≤ θθθθ ≤≤≤≤

  ρ π π ≤≤≤≤ φ ≤≤≤≤ ≥≥≥≥ ≤≤≤≤ θθθθ ≤≤≤≤ π x = r cos

  θ x = r cos

  θ

  } x = cos sin

  ρ θ φ r = sin

  ρ φ y = r sin

  θ y = r sin

  θ z = z

  } y = sin sin

  ρ θ φ _{2 2 2} r = ρ sin φ r = x + y z = cos ₂ ρ φ _{2 2 2} x + y + z = ρ

   ! " # # $$ % ! " # $$ &$" Contoh Contoh

1. Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh

  2

  2

  tabung x +y =4 dan bidang z = 0, z = 4 Jawab.

  '

  D dalam koordinat:

  a. Cartesius: ₂ D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ ,

  a. Cartesius:

  4 −

  0≤z≤4}

  θθθθ

  b. Tabung:

  ( '

  D={(x,y,z)| 0≤r≤2, 0≤ ≤ /2,

  θ π

  0≤z≤4} Contoh Contoh

  2

  2

  2 2. Sketsa D; D bagian bola x +y + z =4 di oktan I. _{2 2} Jawab.

  4 = − −

  D dalam koordinat:

  a. Cartesius:

  ρρρρ ρρρρ _{2 2} D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ ,

  4 _{2 2} − −

  4

  0≤z≤ }

  4 − −

  θθθθ

  b. Bola D={(x,y,z)| 0≤ ≤2, 0≤ ≤ /2,

  π ρ φ

  0≤ ≤ /2}

  π θ Penggantian Peubah dalam Integral Penggantian Peubah dalam Integral Lipat Tiga Lipat Tiga

  Definisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w) maka: dimana

  ∫∫∫ ∫∫∫ = _{D D}

  ) dw dv du w , v , u ( J )) w , v , u ( p ), w , v , u ( n ), w , v , u ( m ( f dz dy dx ) z , y , x ( f x x x

  ∂ ∂ ∂

  dimana

  w z v z u z w y v y u y w x v x u x

  ) w , v , u ( J

∂

∂

  ∂ ∂ ∂ ∂

  

∂

∂ ∂ ∂

  ∂ ∂ ∂ ∂

  ∂ ∂ ∂ ∂

  =

  Jacobian

  

Koordinat Kartesius Koordinat Kartesius Tabung Tabung

  x = r cos

  θ

  y = r sin

  θ

  z = z Matriks Jacobiannya:

  x x x ∂ ∂ ∂ r sin r cos r

  1 cos r sin sin r cos z z z r z z y y r y z x x r x ) w , v , u ( J ^{2 2}

  = θ + θ = θ θ θ − θ = ∂

  ∂ θ ∂ ∂ ∂

  ∂ ∂ ∂ θ ∂

  ∂ ∂ ∂ ∂

  ∂ θ ∂ ∂ ∂

  ∂ = ∫∫∫ ∫∫∫

  θ θ θ = _{D D} ) dz d dr r z , sin r , cos r ( f dz dy dx ) z , y , x ( f Koordinat Kartesius Koordinat Kartesius Bola Bola

  x =

  φ

  ∫∫∫ ∫∫∫ φ θ ρ φ ρ φ ρ θ φ ρ θ φ ρ = _D ² _D

  ∂ = z z z y y y x x x J w v u

  ∂ ∂ ∂ ∂

  ∂ ∂ ∂ ∂

  ∂ ∂ ∂ ∂

  ∂ ∂ ∂ ∂

  − = − = ∂

  θ φ ρ θ φ ρ θ φ φ θ ρ φ θ ρ φ θ ρ sin 1 cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos sin ) , , ( ²

  φ ρ φ θ φ ρ θ φ ρ θ φ

  ∂ ∂ ∂ x x x

  Matriks Jacobiannya:

  cos

  ρ

  ρ

  z =

  φ

  sin

  θ

  sin

  ρ

  y =

  φ

  sin

  θ

  cos

  ) d d d sin cos , sin sin , cos sin ( f dz dy dx ) z , y , x ( f Contoh (Tabung) Contoh (Tabung)

  1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid

  2

  2 z = x + y dan z = 4. _Z Jawab.

  '

  Daerah dalam Koordinat Cartesius adalah: _{2 2 2 2}

  4 _{y S={( S={( )|;2 )|;2 2, 2, − − − − , ,}

  4

  4 − −

  4

  ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

  2

  2 _x

• Dalam koordinat tabung:

  4}

  ≤ ≤

  2 S={( )|0 2, 0

  2 , 4}

  ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ θ θ π

  Sehingga, volume benda pejalnya adalah _{2 2 4}

  π

  1 = = θ

  ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ₂ Contoh (Lanjutan) Contoh (Lanjutan) ∫ ∫ ∫

  = ^{2 2 4} ₂ π

  1

  Jadi volume benda pejalnya adalah 8

  8 =

  − = π π

    

  2   

  2

  4

  θ ∫ ∫

  ∫ _{2 4 2}

  θ ( )

  4 π

  ∫ − = ^{2 2 2}

  θ ( )

  = ^{2 2 4 2} π

  π Contoh (bola) Contoh (bola)

  2

  2

  2

  2. Hitung volume bola pejal x + y + z = 4 di oktan I _{2 2} Jawab.

  4 = − −

  D dalam koordinat:

  a. Cartesius: _{2 2}

  ρρρρ ρρρρ

  D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ ,

  4 _{2 2} − −

  4

  0≤z≤ }

  4 − −

  θθθθ

  b. Bola: D={(x,y,z)| 0≤ ≤2, 0≤ ≤ /2,

  π ρ φ

  0≤ ≤ /2}

  θ π

  Sehingga, volume benda pejalnya adalah _{/ 2 / 2 2}

  π π ₂

  1 = sin = ρ φ ρ φ θ

  ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ Contoh (Lanjutan) Contoh (Lanjutan) _{/ 2 / 2 2} π π ₂ sin

  = ρ φ ρ φ θ

  ∫ ∫ ∫ ₂ π / ^{2 π / 2}

   

  1 ₃   sin

  = φ ρ θ ∫ ∫

  3   _{/ 2 / 2} π π 8 cos cos

  = = − − φ φ θ θ ( ( ) )

  ∫ ∫

  3 π / ²

  3

  8

  4 = θ

  ( ) = π

  3

3 Jadi volume benda pejalnya adalah 4 /3

  π Contoh Contoh

  2 x dV

  , dengan D benda pejal yang dibatasi

  1. Hitung

  ∫∫∫ _D

  2

  2 z =9 – x – y dan bidang xy.

  2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi

  2

  2

  2

  

2

  2

  2 bola x + y + z = 1 dan x + y + z =4.

  3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh

  3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh

  2

  2

  2 bola r + z = 5 dan di bawah r =4z.

  4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid

  2

  2 z = x + y dan bidang z =4.

  5. Hitung volume benda pejal yang di batasi oleh bola

  2

  2

  2

  x + y + z = 9, di bawah oleh bidang z = 0 dan secara

  2

  2 menyamping oleh tabung x +y =4. Latihan Latihan

  6. Hitung volume benda pejal yang di dalam bola ^{2 2}

  2

  2

  = 9, di luar kerucut = + + dan di atas bidang xy. _{2 9 2 2 3 9} − − − ₂

₂

_{2 3 / 2}
• 2

  7. Hitung

  ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ _{3 2 2 2}

  − _{9 9 3} − − − − − _{9 2 2} − ^{2 2} ∫ ∫ ∫

• 8. Hitung
_{2 4}

  2 ² _{2 4} − − − _{2 2}

  9. Hitung

  4 − −

  ∫ ∫ ∫