FINITE DIFFERENCE PROCEDURE MUDAH DAN AKURAT UNTUK PROBLEM SIMPLE PLATE
FINITE DIFFERENCE PROCEDURE MUDAH DAN AKURAT
UNTUK PROBLEM SIMPLE PLATE
AJUNNISAY. T Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan,
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
Abstrak — Studi ini untuk membandingkan perhitungan gaya – gaya dalam pada pelat
sederhana (simple plate) baja bujur sangkar antara perhitungan metode finite difference
dengan dibantu software finite element Matlab, kemudian dibandingkan dengan program
computer SAP2000, Lusas dan ANSYS. Karya tulis ini memodelkan pelat baja bujur
sangkar terjepit di keempat sisi dengan lebar = 3000 mm; tebal = 8 mm; poisson ratio = 0,3
2
dan beban merata yang bekerja di atasnya sebesar = 300 kg/m . Perhitungan gaya – gaya
dalam pada pelat dihitung berdasarkan lendutan (w) yang terjadi pada pelat dengan finite
difference method. Finite difference method digunakan untuk mencari nilai lendutan,
momen-momen, gaya geser dan tegangan. Hasilnya dibandingkan dengan hasil dari
program finite elemen. Kontur yang didapatkan menunjukkan nilai yang hampir sama.Kata kunci — simple plate, finite difference method, software finite element.
1. PENDAHULUAN dengan lendutan (
Δ). Karena lendutan (w) hanya memperhitungkan poisson ratio saja,
Finite difference procedure merupakan sebagai cara untuk mencari momen dan gaya
konsep dasar untuk mempelajari prosedur geser pada pelat. Sedangkan lendutan Δ finite elemen yang lebih komplek. Finite dipengaruhi juga harga modulus elastisitas
difference procedure mudah dan akurat untuk bahan E. Maka, untuk mendapatkan momen
problem simple plate. Perhitungan lendutan dan gaya geser pelat, pertama kali harus dicari dan tegangan pada pelat dengan menggunakan persamaan lendutan (w) pada tiap titik dengan rumus analitis banyak mengalami kesulitan, menggunakan molekul lendutan yang didapat sehingga perlu pemecahan yang lebih melalui penurunan finite difference method. sederhana, mudah dan efisien. Solusinya adalah dengan menggunakan rumus numerik
2. DASAR TEORI
antara lain Metode Beda Hingga (Finite
difference Method) . Di makalah ini dihitung
3. METODOLOGI
lendutan dan gaya dalam dengan menggunakan titik jaring yang berbentuk bujur Gaya dalam pelat dicari dengan Metode sangkar yang ditumpu dengan tumpuan jepit. Beda Hingga (Finite difference Method), Perhitungan gaya – gaya dalam pada pelat dengan bantuan MATLAB penggunaan rumus dihitung berdasarkan lendutan yang terjadi ini lebih mudah, sehingga diperoleh kontur pada pelat. Tetapi lendutan (w) yang dimaksud gaya dalam pelat. Pelat sederhana tersebut pada finite difference method itu berbeda dimeshing menjadi 4x4 elemen. Untuk mengetahui keakuratannya, maka hasilnya dibandingkan dengan program finite elemen yang lain seperti SAP2000, LUSAS dan ANSYS.
4. HASIL
4.1. Metode Finite Difference untuk Mencari Gaya Dalam dengan Bantuan Program Matlab
Pelat dimeshing menjadi 4x4 elemen seperti Gambar 2. Molekul Lendutan sebagai gambar berikut dan diselesaikan persamaan
Koefisien Rumus Lendutan Pelat lendutan [w]. Disederhanakan menjadi 3 w [lendutan] : w , w
1 , w 2 , w
3 Jika titik [3,3] sebagai acuan maka rumus
w = w 3,3 lendutan pelat sebagai berikut (lihat Gambar 1 w
1 = w 2,3 = w 3,2 = w 4,3 = w 3,4
& 2): w = w = w = w = w
2 2,2 4,2 4,4 2,4
w
3 = 0
.. [2] Jika titik [3,2] sebagai acuan maka rumus lendutan pelat sebagai berikut (Lihat Gambar 2 & 3):
Gambar 1. Meshing Pelat Menjadi 4x4 Bagian Berikut adalah plate equation for deflection: ..(1) Dimana:
2
q = beban merata pada pelat (kg/m ) Gambar 3. Lendutan dan Molekul Pelat a = lebar pelat dengan Titik Acuan (3,2) h = lebar pias = a/4 (m) jika lebar dibagi empat
Arti symbol lingkaran pada gambar 3 adalah D = tebal pelat (m) pada lingkaran warna biru berarti dikalikan 20, Sehingga hanya akan didapatkan 3 variabel warna hijau = dikalikan -8, warna ungu lendutan (w) yang tidak diketahui. Berikut dikalikan 2 dan warna coklat = dikalikan 1. adalah gambar molekul lendutan:
Berikut adalah cara finite difference
method untuk mencari momen-momen (arah x,
y, xy) dan gaya geser (arah x, y) dengan terlebih dulu mencari w melalui program bantu computer Matlab versi 7.1. Setelah di
.............................[3]
running , maka didapatkan gambar – gambar
kontur untuk lendutan w (Gambar 7), Mx Jika titik [2,2] sebagai acuan maka rumus
(Gambar 8), My (Gambar 9), Mxy (Gambar lendutan pelat sebagai berikut (Lihat Gambar 2 10), Vx (Gambar 11) dan Vy (Gambar 12). & 3):
Gambar 5. Input Matlab Gambar 4. Lendutan dan Molekul Pelat dengan Titik Acuan (2,2)
Maka lendutan w yang terjadi adalah w = - 5.4660; w = -3.6662 dan w = -2.4830
1
2
…..........[4] Dari 3 persamaan yaitu persamaan [2], [3] dan [4] dengan tiga variable (wo, w , w ) di atas
1
2
dapat diselesaikan dengan menggunakan metode dekomposisi LU dengan program bantu Matlab versi 7.1.
Hasil lendutan w pada matlab, tidak dapat dibandingkan dengan lendutan Δ pada program finite element , karena w bukanlah Δ.
Gambar 6. Output Lendutan dari Matlab Lendutan w pada rumus finite difference
method sebagai cara untuk mencari momen
Berikut kontur Lendutan dari output Matlab dan gaya pada pelat, dan hanya dipengaruhi 7.1 pada Gambar 7:
poisson ratio , tidak dipengaruhi modulus
elastisitas bahan E. Sedangkan Δ (lendutan) dipengaruhi juga harga E. Gambar 7. Kontur Lendutan w dengan Finite
Difference Method dari Matlab 7.1
Didapatkan lendutan w = -5.4660, w
1 = -
3.6662 dan w
2
= -2.4830. Kemudian mencari nilai momen Mx dengan finite difference
method sebagai berikut :
Mx(1,1) = 0, Mx(1,2) = -100.45, Mx(1,3) = 148.3, Mx(1,4) =-100.45, Mx(1,5) =0, Mx(2,1) = -334.8, Mx(2,2) = -113.9, Mx(2,3) =-197.3, Mx(2,4) =-113.9, Mx(2,5) =-334.8, Mx(3,1) = -494.4, Mx(3,2) = -173.7, Mx(3,3) = 315.4, Mx(3,4) =173.7, Mx(3,5) =-494.4, Mx(4,1) = -334.8, Mx(4,2) = 113.9, Mx(4,3) =197.3, Mx(4,4) =113.9, Mx(4,5) =-334, Mx(5,1) = 0, Mx(5,2) = -100.45, Mx(5,3) =- 148.3, Mx(5,4) =-100.45, Mx(5,5) =0, Berikut adalah ganbar kontur dari hasil finite
difference method dengan bantuan Matlab:
Gambar 8. Kontur Mx Pelat Baja akibat Beban Merata dengan Matlab 7.1 Persamaan My sebagai berikut : Sebagai contoh perhitungan My pada (1,1) dan (1,2) adalah sebagai berikut: Dan seterusnya sampai My pada (5,4) dan (5,5): My(1,1) = 0, My(1,2) = -334.8, My(1,3) = - 494.4, My(1,4) = -334.8, My(1,5) = 0 My(2,1) = -100.45, My(2,2) = 113.9, My(2,3) = 173.75, My(2,4) = 113.9, My(2,5) = 100.45 My(3,1) = -148.3, My(3,2) = 197.3, My(3,3) = 315.41, My(3,4) = 197.3, My(3,5) = -148.3 My(4,1) = -100.45, My(4,2) = 113.9, My(4,3) = -173.75, My(4,4) = 113.9, My(4,5) = 0 My(5,1) = 0, My(5,2) = -334.8, My(1,3) = - 494.4, My(1,4) = -334.8, My(1,5) = 0 Gambar 9. Kontur My pelat baja akibat beban merata dengan Matlab 7.1 [Figure 3] ]Persamaan Mxy sebagai berikut :
117.2 Mxy (1,1) = 117.2, Mxy (1,2) = 0, Mxy (1,3) = 0, Mxy (1,4) = 0, Mxy (1,5) = -117.2, Mxy (2,1) = 0, Mxy (2,2) = -257.95, Mxy (2,3) = 0, Mxy (2,4) = 257.95, Mxy (2,5) = 0, Mxy (3,1) = 0, Mxy (3,2) = 0, Mxy (3,3) = 0, Mxy (3,4) = 0, Mxy (3,5) = 0, Mxy (4,1) = 0, Mxy (4,2) = 257.95, Mxy (4,3) = 0, Mxy (4,4) = -257.95, Mxy (4,5) = 0,
Mxy (5,1) = -117.2, Mxy (5,2) = 0, Mxy (5,3) = 0, Mxy (5,4) = 0, Mxy (5,5) = 117.2
Gambar 10. Kontur Mxy pelat baja akibat beban merata dengan Matlab 7.1 Persamaan Vx sebagai berikut :
Vx (1,1) = -41.85, Vx (1,2) = -123.6, Vx (1,3) = 0, Vx (1,4) = 123.6, Vx (1,5) = 41.85, Vx (2,1) = -61.80, Vx (2,2) = -155.07, Vx (2,3) = 0, Vx (2,4) = -155.07, Vx (2,5) = 61.8, Vx (3,1) = -92.13, Vx (3,2) = 244.91, Vx (3,3) = 0, Vx (3,4) = -224.91, Vx (3,5) =92.13, Vx (4,1) = -61.80, Vx (4,2) = 155.07, Vx (4,3) = 0, Vx (4,4) = -155.07, Vx (4,5) =61.8, Vx (5,1) = -41.85, Vx (5,2) = -123.6, Vx (5,3) = 0, Vx (5,4) = 123.6, Vx (5,5) = 41.85,
4.2. Perbandingan Hasil Gaya-gaya Dalam antar Program Finite Element
Gambar 11. Kontur Vx Pelat Baja Persamaan Vy sebagai berikut : Vy (1,1) = -41.85, Vy (1,2) = -61.80, Vy (1,3) = -92.13, Vy (1,4) = -61.80, Vy (1,5) = 41.85, Vy (2,1) = -123.6, Vy (2,2) = 155.10, Vy (2,3) = 244.91, Vy (2,4) = 155.1, Vy (2,5) = -123.6, Vy (3,1) = 0, Vy (3,2) = 0, Vy (3,3) = 0, Vy (3,4) = 0, Vy (3,5) = 0, Vy (4,1) = 123.6, Vy (4,2) = -155.10, Vy (4,3) = -244.91, Vy (4,4) = -155.1, Vy (4,5) = 123.6, Vy (5,1) = 41.85, Vy (5,2) = 61.80, Vy (5,3) = 92.13, Vy (5,4) = 61.80, Vy (5,5) = -41.85,
Gambar 12. Kontur Vy pelat baja akibat beban merata dengan Matlab 7.1
Hasil dari perhitungan finite difference
procedure, dapat diketahui gambar kontur dari
momen dan gaya lintang yang terjadi pada pelat baja bujur sangkar sisi 3 m tebal 8 mm yang diberi beban merata. Kemudian kontur tersebut dibandingkan dengan program bantu
Finite Element lain yaitu: SAP2000, Lusas dan
ANSYS. Gambar 13 berikut adalah input pada SAP2000 untuk pelat yang sama dengan meshing 4x4 bagian.
Gambar 13. Pelat baja dimeshing 4x4 Elemen dengan SAP2000. Lendutan Uz hasil SAP2000 seperti gambar 14 berikut:
Gambar 14. Lendutan pada Pelat Baja dengan SAP2000 Kontur Mx hasil Matlab dan SAP2000v.9 Kontur My hasil Matlab dan SAP2000v.9 (nilai dapat dilihat pada kontur, hasil hampir (nilai dapat dilihat pada kontur Gambar 16a sama) dan 16b. Kontur menunjukkan nilai yang hampir sama.
Gambar 15a. Kontur Mx Hasil Matlab Gambar 16a. Kontur My Hasil Matlab
Gambar 15b Kontur Mx Hasil SAP2000 Gambar 16b. Kontur My Hasil SAP2000
Gambar 15c. Section Gambar 16c. Section Kontur Mxy dari Matlab dan SAP2000v.7: Gambar 17a. Kontur My Hasil Matlab
Gambar 17b. Kontur My Hasil SAP2000 Gambar 17c Section C-C
4.3. Perbandingan Hasil Tegangan dan Lendutan antar Program Finite Element
Sedangkan kontur gaya dalam Vx dari program Matlab dan SAP2000 adalah sebagai berikut:
Gambar 18a. Kontur Vx Hasil Matlab Gambar 18b. Kontur Vx Hasil SAP2000
Gambar 1 sampai 18 menunjukkan kontur hasil dari matlab dan SAP2000. Untuk selanjutnya, digunakan Program Finite Elemen Lusas.versi 13.57 Dengan kasus sama yaitu
simple plate dari baja dengan ukuran sama, diberikan beban merata 300 kg/m2.
Gambar 19 Pelat baja dijepit dikeempat sisi Setelah running , maka hasil kontur displacement pelat dengan Lusas 13.5-7 seperti pada gambar 20:
Gambar 20 Displacement pelat baja dengan Lusas 13.5-7
Pada program Lusas, tidak dapat untuk mendapatkan kontur momen. Yang ada kontur tegangan. Sehingga, dalam makalah ini dibandingkan kontur tegangan arah x (Lusas 13.5-7) dan SAP2000v.9: LOAD CASE = 1 Loadcase 1 RESULT S FILE = 1 ST RESS CONT OURS OF S1
83.1853E6 77.6396E6 72.094E6 66.5483E6 61.0026E6 55.4569E6 49.9112E6 44.3655E6 38.8198E6 33.2741E6 27.7284E6 22.1828E6 16.6371E6 11.0914E6 5.54569E6 SCALE 1/0.2624E-02 EYE X=0.0000E+00 Y=0.000 LINEAR/DYNAMIC ANALYSIS LOAD CASE ID = 1 Loadcase 1 RESULT S FILE ID = 1 MAX DISP 0.3930E-01 AT N T YPE ST RESS CONT OUR COMPONENT =S NUMBER OF CONT OURS = INT ERVAL = 0.5546E+0 MAX 0.8539E+08 AT NODE MIN -0.3341E+07 AT NODE
Gambar 21. Kontur Tegangan x(Lusas 13.5-7) Gambar 22. Kontur Tegangan x (SAP2000)
Sedangkan, kontur tegangan arah y dengan Lusas 13.5-7 dan SAP2000v.9 adalah sebagai berikut:
Gambar 23 Kontur Tegangan arah y (Lusas 13.5-7)
Gambar 24. Kontur Tegangan y (SAP2000) Untuk mengetahui perbandingan nilai lendutan yang terjadi pada pelat baja terjepit di empat sisinya antara program bantu ANSYS, Lusas dan SAP2000, adalah dengan membandingkan kontur hasil running ketiga program tersebut. Gambar 25. Kontur Lendutan (ANSYS) Dari ANSYS: lendutan di tengah = 9.3242 mm.
Gambar 26. Kontur Lendutan (Lusas) Dari Lusas, Lendutan ditengah = 9.78319E-3 m = 9.78319 mm, bandingkan dari Ansys: lendutan ditengah = 9.3242 mm. Selisih hanya
0.45 mm.
Gambar 27. Kontur Lendutan (SAP2000) Lendutan di tengah = - 39.0024 mm untuk meshing shell 32x32 dengan asumsi shell.
(SAP2000v.9). Sedangkan dari program Lusas, lendutan ditengah = 9.78319E-3 m = 9.78319 mm. Dari ANSYS, lendutan di tengah = 9.3242 mm.
Gambar 28. Principal Stress Max (ANSYS) Dari ANSYS, Principal Stress Max di tepi pelat = 77.37 Mpa. Principal Stress Max di tengah pelat = -20.65 Mpa
Gambar 29. Middle Principle Stress (ANSYS) Dari ANSYS, Middle Principle Stress di tepi pelat = 33.186 Mpa.
Gambar 30. Middle Principle Stress (ANSYS) Dari ANSYS, Min Principle Stress = 32.9 Mpa di tepi pelat Gambar 31. Tegangan SE (Lusas) Dari hasil running Lusas, tegangan SE = 58.3644E6N/m
2
= 58.3644 Mpa. Jika dibandingkan dengan hasil ANSYS : Max
Principle Stress = 77.37 Mpa, Middle Principle Stress = 33.186 Mpa, Min Principle Stress = 32.9 Mpa.
Gambar 32. Tegangan Smax (SAP2000v.9) Dari hasil Sap2000v.9, tegangan max = S max = -64 Mpa, bandingkan dengan Lusas, tegangan SE = 58.3644E6N/m
2
= 58.3644 Mpa dan ANSYS : Max Principle Stress =
77.37 Mpa, Middle Principle Stress = 33.186 Mpa, Min Principle Stress = 32.9 Mpa.
Gambar 33. Tegangan S min (SAP2000v.9) Dari Sap2000v.9, Tegangan min = S min = -64 s.d -80 Mpa (Sap2000v.9), dibandingkan dengan hasil Lusas, tegangan SE = 58.3644E6N/m2 = 58.3644 Mpa dan Ansys :
Max Principle Stress = 77.37 Mpa, Middle Principle Stress = 33.186 Mpa, Min Principle Stress = 32.9 Mpa.
Gambar 34. Tegangan S min (Lusas) Dari Lusas, tegangan S1 = 77.0762E6 N/m
2
= 77.0762 Mpa, bandingkan dengan ANSYS :
Max Principle Stress = 77.37 Mpa, Middle Principle Stress = 33.186 Mpa, Min Principle Stress = 32.9 Mpa.
Gambar 35. Tegangan (SAP2000) Gambar 36. Tegangan (SAP2000) Dari Sap2000v.7, tegangan arah x = S11 = -88 Mpa s.d. -66 Mpa (Sap2000v.9). Bandingkan, dari Lusas, tegangan S1 = 77.0762E6 N/m2 = 77.0762 Mpa (Lusas), bandingkan dengan ANSYS : Max Principle Stress = 77.37 Mpa,
Middle Principle Stress = 33.186 Mpa, Min Principle Stress = 32.9 Mpa (ANSYS).
Gambar 39. Maximum Shear Stress (ANSYS) Dari ANSYS, Maximum Shear Stress di tepi pelat = 22.235 Mpa.
Gambar 37. Tegangan (Lusas) Dari Lusas, Tegangan S2 = 26.4369E6 N/m2 = 26.4369 Mpa (LUSAS), bandingkan dengan
Gambar 40. Shear Stress (ANSYS) Ansys : Max Principle Stress = 77.37 Mpa,
Middle Principle Stress = 33.186 Mpa, Min Dari ANSYS, Shear Stress = 5.5544 Mpa.
Principle Stress = 32.9 Mpa (ANSYS).
Gambar 41. Shear Stress (Lusas) Gambar 38. Tegangan (SAP2000)
Dari Lusas, Shear Stress = Sxy = 5.79061E6 Dari Sap2000v.9, Tegangan S22 (arah y) = -66
N/m2 = 5.79 Mpa, bandingkan Shear Stress = Mpa s.d. -88 Mpa. Bandingkan dengan 5.5544 Mpa. ANSYS : Max Principle Stress = 77.37 Mpa,
Middle Principle Stress = 33.186 Mpa, Min Principle Stress = 32.9 Mpa.
4.4. Perbandingan antara SAP2000 Pelat
Kontur gambar 44 hasil SAP2000
dengan Meshing 32x32 dan 4X4
menunjukkan bahwa teganagan S11 = -88 Mpa untuk meshing 32x32.
Gambar 42. Lendutan (SAP2000) Gambar 45. Lendutan (SAP2000)
Lendutan = -39.0024 mm untuk pelat ukuran Kontur pada Gambar 45 menunjukkan nilai (3000x3000x8) mm meshing 32x32. teganagan S11 = -86.257946 MPa (meshing 4x4), bandingkan S11 = -88 Mpa (meshing 32x32).
5. KESIMPULAN
Kesimpulan dari makalah ini adalah:
1. Penggunaan finite difference method sangat mudah dan akurat untuk penyelesaian kasus simple plate.
2. Untuk mempermudah penggunaan Gambar 43. Lendutan (SAP2000) metode tersebut, maka memakai program bantu MATLAB. Lendutan = -44.8997 mm untuk pelat ukuran
3. Pembuktian keakuratan hasil dari finite (3000x3000x8) mm meshing 4x4. Bandingkan difference method dengan cara dengan hasil lendutan = -39.0024 mm untuk menghitung gaya dalam, tegangan dan pelat ukuran 3000x3000x8 mm meshing lendutan yang terjadi pada simple plate 32x32. kemudian dibandingkan dengan program bantu finite element yang lain.
Dalam makalah ini digunakan Lusas versi 13.5-7, SAP2000 versi 9 dan ANSYS. Hasil menunjukkan bahwa gaya dalam, tegangan dan lendutan tidak jauh berbeda.
4. Untuk nilai lendutan dapat dicari dari semua program (Matlab, Lusas, SAP dan ANSYS), sedangkan momen
Gambar 44. Tegangan (SAP2000) hanya dapat dilihat pada hasil Matlab dan SAP, sedangkan stress/tegangan [2] Ross, Finite Element Methods in dapat dilihat pada hasil SAP, ANSYS Engineering Science , Prentice Hall, 1997 dan Lusas. Pada Ansys dan Lusas tidak [3] Plates and Shells for Smart Structures: ada menu untuk melihat kontur momen Classical and Advanced Theories for dan gaya geser, tetapi kontur berupa Modeling and Analysis , John Wiley and tegangan. Sons Ltd, Sep 2011
5. Untuk nilai lendutan:
- Matlab dengan finite Difference Method Meshing 4 x 4 = -5.4660 (bukan nilai displacement sebenarnya)
- Ansys Meshing 4 x 4 = - 9.3242 mm
- Lusas Meshing 4 x 4 = - 9.78319 mm
- SAP2000 dengan meshing 32x32 = -
39.0024 mm
- SAP2000 dengan meshing 4 x 4 = -
44.8997 mm
6. Nilai Tegangan Utama:
- Matlab dengan finite Difference Method Meshing 4 x 4 = tersedia Nilai Kontur Momen - Ansys Meshing 4 x 4 = Max principle stress = 77.37 Mpa Middle principle stress = 33.186 Mpa Min principle stress = 32.9 Mpa - Lusas Meshing 4 x 4 SE = 58.3644 Mpa S1 = 77.0762 Mpa - SAP2000 dengan meshing 32x32 S max = -64 Mpa S11 = -66 s.d. -88 Mpa S22 = -66 s.d. -88 Mpa Nilai Tegangan Geser:
- Ansys meshing 4x4 = 5.5544 Mpa - Shear Stress Sxy = 5.79061 Mpa Dapat disimpulkan bahwa walaupun hasil tidak persis sama, tetapi nilai mendekati.
REFERENSI
[1] Timoshenko, Stephen P.; Woinowsky- Krieger, S, Theory of Plates and Shells
(2nd Edition) © 1959 McGraw-Hill