PENENTUAN SUATU PENGONTROL DENGAN INDEKS PERFORMANSI BERUPA NORMA CAMPURAN DAN - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR)
Jurnal Matematika Vol. 10, No.3, Desember 2007:98-104, ISSN 1410-8518,
PENENTUAN SUATU PENGONTROL DENGAN INDEKS PERFORMANSI
BERUPA NORMA CAMPURAN H 2 DAN H ∞
Robertus Heri Soelistyo
Jurusan Matematika FMIPA UNDIP
Jl. Prof. Soedarto, Tembalang Semarang.
Abstract. This paper considers the mix-norm H 2 / H ∞ standard problem. Specifically an LQG
control design problem involving a constraint on H ∞ disturbance attenuation is addressed. It is
shown that the H 2 / H ∞ dynamic compensator gains are completely characterized via coupled
Riccati/Lyapunov equation. The principle result involves a sufficient condition for characterizing
full order guaranteeing closed loop stability, a constrained H ∞ disturbance attenuation and an
optimized H 2 performance bound.
Keywords: mixed-norm H 2 / H ∞ , closed loop stability, H ∞ disturbance attenuation, an
optimized H 2 performance bound.
1. PENDAHULUAN
Sistem kontrol berumpan balik
(feedback control sistem) adalah sistem
kontrol yang menjaga hubungan antara
masukan dan keluaran dan membandingkannya dengan menggunakan selisihnya
sebagai alat pengontrolan. Sedangkan
sistem kotrol lup tertutup merupakan sistem kontrol yang sinyal keluarannya berpengaruh langsung pada aksi pengontrolan.
Jadi sistem kontrol lup tertutup termasuk
sistem kontrol berumpan balik. Dalam
sistem kontrol lup tertutup, fungsi pengontrol sangatlah penting untuk memperkecil
kesalahan dan membuat agar keluaran sistem mendekati harga yang diinginkan.
Salah satu cara untuk mencari pengontrol adalah dengan teori kontrol
campuran H 2 / H ∞ . Latar belakang yang
mendasari kontrol campuran H 2 / H ∞ , adalah adanya dua persoalan utama dalam
desain sistem kontrol. Pertama optimisasi
performansi yang diinginkan. Kedua, penting untuk disadari bahwa model selalu
menyatakan suatu nominal sistem sementara sistem yang sebenarnya merupa98
kan subyek ketidakpastian. Untuk keperluan itulah, kedua aspek ini harus diakomodasi dalam desain sistem kontrol yang
sama yaitu sistem kontrol campuran
H 2 / H ∞ , yang terdiri dari optimasi norma
H 2 dari suatu fungsi alih lup tertutup,
sementara norm norma H ∞ dari fungsi alih
yang lain dipaksa untuk kurang dari suatu
konstanta yang telah ditentukan. Situasi
tersebut dapat digambarkan seperti Gambar 1.
Z2
Z∞
Σ
y
w
u
Σc
Gambar 1. Desain kontrol campuran
H2 / H∞
Dimana ∑ adalah sistem time invariant
dan ∑ c merupakan pengontrolnya. Masa-
Robertus Heri Soelistyo (Penentuan Suatu Pengontrol dengan Indeks Performansi Berupa …)
ruhan tulisan ini membahas pengontrol
berdimensi n dan lup tertutup berdimensi
n~ = 2n .
Perhatikan blok diagram masalah baku
campuran H 2 / H ∞ seperti Gambar 2
berikut.
lah optimal campuran H 2 / H ∞ adalah
mencari pengontrol ∑ c sedemikian sehingga
untuk
γ >0
{
min Tzw
2
2
: Tzw
∞
0 .
{
J ( Ac , Bc , C c ) = lim E x T (t ) R1 x(t )
t →∞
T
w
B
E2
E 2∞
D
y
u
Ac Bc
Cc 0
Masalah teori kontrol LQG dengan
kendala H ∞ adalah menentukan pengontrol order n
x& c (t ) = Ac xc (t ) + Bc y (t ),
iii. Performansifungsional
D1
0
E∞
D2
}
+ 2 x T (t ) R12 u (t ) + u (t ) R2 u (t )
adalah minimal.
3. PENENTUAN
SUATU
PENGONTROL DENGAN INDEKS
PERFORMANSI BERUPA NORMA
CAMPURAN H 2 DAN H ∞
3.1. Teori Kontrol LQG dengan
kendala Pelemahan Gangguan H ∞
Dalam sub bab ini dibahas teori
kontrol LQG dengan kendala pelemahan
gangguan H ∞ . Tanpa criteria performansi
H 2 , masalah yang dibahas di sini adalah
masalah kontrol baku H ∞ [3,4,5]. Keselu-
Gambar 2. Lup Tertutup masalah baku
norma campuran H 2 / H ∞
Misalkan diketahui plant P( s ) order n
yang stabilizable dan detectable dengan
model dinamik sebagai berikut.
x& (t ) = Ax(t ) + Bu (t ) + D1w(t ) ,
(3.1)
(3.2)
y (t ) = Cx (t ) + Du (t ) + D2 w(t ) ,
dimana:
w : input sebagai disturbance.
u : input dari pengontrol.
z 2 : output dari plant untuk kasus H 2 .
z ∞ : output dari plant untuk kasus H ∞ .
y : input pengontrol/output yang terukur.
Permasalahan teori kontrol LQG dengan
kendala H ∞ adalah menentukan pengonrol
order n :
x&c (t ) = Ac xc (t ) + Bc y (t ),
(3.3)
(3.4)
u (t ) = C c xc (t ),
⎡A B ⎤
K =⎢ c c⎥ ,
⎣ Cc 0 ⎦
yang memenuhi syarat:
i. sistem lup tertutup dari model (2.1)
dinamik stabil asimtotik.
(3.5)
ii. fungsi alih nonstrictly proper q ∞ × d
~ ~
~
H ( s ) = E ∞ ( sI n~ − A) −1 D + E ∞
99
Jurnal Matematika Vol. 10, No.3, Desember 2007:98-104
dari w(t ) ke
z ∞ (t ) = E1∞ x(t ) + E 2∞ u (t ) + E ∞ w(t )
memenuhi kendala H ( s ) ∞ ≤ γ , γ > 0 .
(3.6)
iii. performansi fungsional
{
J ( Ac , Bc , C c ) = lim E x T (t ) R1 x (t )
t →∞
+ 2 x T (t ) R12 u (t ) + u T (t ) R2 u (t )
adalah minimal.
(3.7)
Sebelum menemukan pengontrol yang
memenuhi syarat (3.5)-(3.7), dibahas terlebih dulu beberapa hal sebagai berikut.
Substitusikan (3.4) ke (3.1) dan (3.2)
dihasilkan persamaan:
~
~
~
x& (t ) = A~
x (t ) + Dw(t )
.
(3.8)
~
y (t ) = C~
x (t ) + D w(t )
2
Kemudian performansi fungsional (3.7)
menjadi
~~
(3.9)
J ( Ac , Bc , C c ) = trQR ,
~
dengan Q ≅ lim E ~
(3.10)
x (t ) ~
x T (t ) ,
t →∞
[
]
memenuhi persamaan aljabar Lyapunov
n~ × n~
~ ~ ~~ ~
A Q + QA + V = 0 .
(3.11)
Fungsi alih lup tertutp dari w(t ) ke
z 2 (t ) = E1 x(t ) + E 2 u (t ) adalah:
z ( s) ~
~ ~
~
= E ( sI n~ − A) −1 D.
(3.12)
H ( s) = 2
w( s)
Menurut [8], pengontrol (3.3) dan (3.4)
admissible (diperkenankan) di H 2 sehingga
2
~
J ( Ac , Bc , C c ) = H ( s ) .
(3.13)
2
Dari uraian di atas ternyata performansi
fungsional (3.7) identik dengan fungsi alih
dari w(t ) ke z 2 (t ) , sehingga masalah
kontrol LQG dengan kendala H ∞ identik
dengan masalah campuran H 2 / H ∞ . Artinya, ketika meminumkan performansi
(3.7) sama dengan meminimmkan fungsi
alih (3.12)
}
Langkah pertama untuk menyelesaikan
masalah kontrol LQG dengan kendala H ∞
adalah melemahkan gangguan H ∞ .
Pelemahan gangguan H ∞ ( H ∞ disturbance attenuation) ini dilakukan dengan
mengganti persamaan aljabar Liapunov
dengan persamaan aljabar Riccati, seperti
dinyatakan dalam Lemma 1.
Lemma
1.
Misalkan
diberikan
( Ac , Bc , Cc ) dan asumsikan terdapat
θ ∈ ℜ n×n yang memenuhi θ ∈ Ν n dan
~
~
~ T
~T
~ T
~T T ~
A θ + θA T + γ −2 ( DE ∞
+ θE ∞
) M −1 ( DE ∞
+ θE ∞
) +V = 0
(3.14)
dengan Ν adalah matriks simetris n~ × n~
yang definit non negative.
~ ~
Maka ( A, D) stabilizable jika dan hanya
~
jika A stabil asimtotik.
Dalam kasus ini
~
H (s ) ≤ γ dan Q ≤ θ .(3.15) (3.16)
n
Sehingga J ( Ac , Bc , C c ) = ℑ( Ac , Bc , C c , θ ) ,
(3.17)
~
dimana ℑ( Ac , Bc , C c , θ ) ≅ trθR . (3.18)
Bukti.
(⇒) Dari sistem lup tertutup (3.1)-(3.4)
~ ~
diketahui bahwa ( A, D) stabilizable dan
~ ~
( A, C ) detectable. Hal ini mengakibatkan
~
A stabil asimtotik.
~
(⇐) Karena A stabil asimtotik, maka
~ ~ ~
( A, D, C , D2 ) stabil asimtotik. Sehingga
~ ~
( A, D) stabilizable. Untuk membuktikan
~~
~
(3.15), V diganti dengan DD T dimana
V12 BcT ⎤
~ ⎡ V
~ ⎡ D ⎤
,
D=⎢ 1 ⎥,
V =⎢ 1T
T ⎥
⎣ Bc D 2 ⎦
⎣ BcV12 BcV2 Bc ⎦
V1 = D1 D1T , V2 = D2 D2T , V12 = D1 D2T , dan
mengurangi serta menambahkan jωI nθ
ke
(3.14)
sehingga
menjadi
~
~ ~T
DD = (−A + jωIn)θ
~
~ T ~T −1 ~ T ~T T
+θ(−A − jωIn) − γ −2(DE∞
+θE∞)M (DE∞ +θE∞) .
(3.19)
100
Robertus Heri Soelistyo (Penentuan Suatu Pengontrol dengan Indeks Performansi Berupa …)
Mengalikan kedua ruas (3.19) dengan
~
~
E ∞ ( jωI n − A) −1
dari
kiri
dan
~ −1 ~ T
( jωI n − A) E ∞ dari kanan diperoleh:
~ ~~
~ ~T
~
E∞ ( jωI n~ − A)−1 DDT ( jωI n~ − A)−T E∞
~ ~T ~
~
~
~T
= E∞θ ( jωI n~ − A)−T E∞
+ E∞ ( jωI n~ − A)−1θE∞
yaitu meminimalkan performansi fungsional J ( Ac , Bc , Cc ) , akan dibahas terlebih
dahulu Lemma 2 berikut, yang menjamin
eksistensi solusi tunggal yang definit non
negative untuk (3.14) jika (3.15) terpenuhi.
~
~
~
~
~
~
~
~
− γ −2 E∞ ( jωI n~ − A) −1 ( DE∞T + θE∞T ) M −1 ( DE∞T + θE∞T )T ( jωI n~ − A) −T E∞T
(3.20)
Kemudian dengan menjumlahkan kedua
ruas (3.20) dengan
~ ~
~
~
~
~
E ∞ ( jωI n~ − A) −1 DE ∞T + E ∞ D T ( jωI n~ − A) −T E ∞T + E ∞ E ∞T
Lemma 2. Misal diberikan ( Ac , Bc , C c ) ,
~
dan A adalah stabil asimtotik dan asumsikan pelemahan gangguan (3.15) dipenuhi.
Maka terdapat solusi tunggal θ yang
definit non negative yang memenuhi (3.14)
diperoleh
Untuk memenuhi syarat ketiga dari
masalah kendali LQG dengan kendala H ∞ ,
~ ~~
~ ~
~ ~
~ ~
~
~
~
E ∞ ( jωI n~ − A) −1 DD T ( jωI n~ − A) −T E ∞T + E ∞ ( jωI n~ − A) −1 DE ∞T + E ∞ D T ( jωI n~ − A) −T E ∞T + E ∞ E ∞T
~
~ ~
~
~
~
~
~ T
= E ∞ ( jωI n~ − A) −1 DE ∞T + θE ∞T + DE ∞T + θE ∞T ( jωI n~ − A) −T E ∞T + E ∞ E ∞T
~
~ ~
~
~
~
~
~
− γ − 2 E ∞ ( jωI n~ − A) −1 ( DE ∞T + θE ∞T ) M −1 ( DE ∞T + θE ∞T ) T ( jωI n~ − A) −T E ∞T
(3.21)
Sementara ruas kiri dan ruas kanan dari
Lemma 1 menunjukkan bahwa pelemahan
(3.21)
berturut-turut
sama
dengan
ganguan H ∞ dengan sendirinya menguat
H ( jω ) H * ( jω ) dan
ketika solusi definit untuk (3.14) ada
~
*
2
−2
−1 *
dan A stabil asimtotik. Hal ini berarti
S + S − γ SM S + γ ( I q∞ − M ) ,
bahwa syarat pertama dan kedua telah
dimana
~ −1 ~ T
~
~T
dipenuhi.
S ≅ E ∞ ( jωI n~ − A) DE ∞ + θE ∞ dan
[
] [
[
]
]
M = I q∞ − γ E ∞ E .
−2
T
∞
Sehingga (3.21) menjadi
(
)(
)
−1
−1 * ⎤
1 −
1 −
⎡
H ( jω ) H * ( jω ) = − ⎢ γM 2 γ −1SM 2 γM 2 γ −1SM 2 ⎥
⎦
⎣
+ γ 2 I q∞ ≥ 0
.
Untuk membuktikan (3.16) kurangkan
(3.11) ke (3.14), diperoleh:
~
~
~ ~
A(θ − Q ) + (θ − Q ) A T
~ T
~T
~ T
~T T
) M −1 ( DE∞
) =0
+ γ − 2 ( DE ∞
+ θE∞
+ θE∞
.
~
Karena A stabil asimtotik, hal ini ekivalen
~
dengan θ − Q ≥ 0 , sehingga
J ( Ac , Bc , C c ) ≤ ℑ( Ac , Bc , C c , θ ) .
~
Jadi terbukti ℑ( Ac , Bc , C c , θ ) ≅ trθR . ■
Sedemikian
sehingga
nilai
eigen
~
−2 ~ T
−1 ~
−2
T
−1 ~
A + γ DE ∞ M E ∞ + γ θE ∞ M E ∞
berada di bagian real sebelah kiri.
Bukti.
Bentuk (3.14) ekivalen dengan
(A~ + γ
) (
)
~
~ T −1 ~
~ T −1 ~ T
DE ∞
M E ∞ θ + θ A + γ − 2 DE ∞
M E∞
~
~
~
~
T
T
θ + DN −1 D T
M −1 E ∞
+ γ − 2θE ∞
−2
.
Misalkan θ adalah solus yang definit
nonnegative, menurut [2, Teorema 23-3]
~
~
~
dan
dengan A T = A + γ −2 DE ∞T M −1 E ∞
T
−2 ~ T
−1 ~
- KBB = γ E ∞ M E ∞θ .Akan
dibuktikan
Reλ (A - BB T K) = Reλ (A - BB T K) T < 0 .
Misalkan terdapat θ1 dan θ 2 dengan
θ1 ≠ θ 2 sedemikian sehingga
101
Jurnal Matematika Vol. 10, No.3, Desember 2007:98-104
~
~
~
~
~
A + γ −2 DE ∞T M −1 E ∞ + γ −2 E ∞T M −1 E ∞θ1 dan
~
~
~
~
~
A + γ −2 DE ∞T M −1 E ∞ + γ −2 E ∞T M −1 E ∞θ 2
memiliki nilai eigen di sebelah kiri sumbu
imajiner, sehingga menurut [2, Teorema
23-2] solusi dari
~
~ T −1 ~
x& (t ) = A + γ −2 DE∞
M E∞
~
~
T
+ γ − 2 E∞
M −1 E∞θ i , i = 1,2
dengan x(0) = x0 mendekati nol untuk
t →∞.
Menurut [2,Teorema 22-2 dan Lemma 211],
t
~ −1 ~ T
T
⎛ T
⎞
∫ ⎜ u (σ )u (σ ) + x (σ ) DN D x(σ ) ⎟dσ
⎝
⎠
0
t
2
= x T (0)θ1 x(0) − x T (t )θ1 x(t ) + ∫ u (t ) + B T θ1 x(t ) dt
0
t
2
= x T (0)θ 2 x(0) − x T (t )θ 2 x(t ) + ∫ u (t ) + B T θ1 x(t ) dt
0
Karena θ1 ≠ θ 2 dan keduanya simetris
sehingga terdapat x0 sedemikian sehingga
x θ1 x0 ≥ x θ 2 x0 .
T
0
Misalkan
T
0
x θ1 x0 > x θ 2 x0
T
0
T
0
u (t ) = − B T θ 2 x(t ) .
dihasilkan
Untuk
∞
dan
t →∞,
x 0T θ 2 x0 = x 0T θ1 x0 + ∫ B T (θ1 − θ 2 ) x(t ) dt .
2
0
Kontradiksi dengan
x0T θ1 x0 ≥ x0T θ 2 x0 .
Sehingga pengandaian salah.
Jadi terdapat dengan tunggal θ yang
definit non negatif yang memenuhi (3.14)
sedemikian sehingga nilai eigen
~
~
~
~
~
A + γ −2 DE ∞T M −1 E ∞ + γ −2θE ∞T M −1 E ∞
berada di bagian real sebelah kiri.
■
Dari Lemma 1 dan Lemma 2, diketahui
bahwa penggantian (3.11) dengan (3.14)
membuktikan kestabilan lup tertutup,
pengurangan/pelemahan gangguan H ∞ ,
dan batas atas untuk criteria performansi
H2 .
Artinya,
misalkan
diberikan
pengontrol ( Ac , Bc , C c ) dimana terdapat
102
solusi definit non negative untuk (3.15),
criteria performansi J ( Ac , Bc , C c ) dari
pengontrol dijamin tidak lebih buruk dari
Karena
itu
J ( Ac , Bc , C c ,θ ) .
J ( Ac , Bc , C c ,θ ) dapat diinterpretasikan sebagai alat bantu untuk mengarahkan pada
problem optimasi berikut ini, yaitu menentukan ( Ac , Bc , C c ,θ ) yang meminimalkan J ( Ac , Bc , C c ,θ ) dengan kendala (3.14)
dimana θ ∈ Ν n .
3.2. Syarat Cukup untuk Pelemahan
Gangguan H ∞
Dalam subbab ini akan dinyatakan
syarat cukup untuk karakterisasi pengontrol
order penuh yang menjamin kestabilan lup
tertutup, pelemahan gangguan H ∞ dan
batas atas untuk criteria performansi H 2 .
Untuk Q, P, Qˆ ∈ ℜ n×n dan α , β ≥ 0
didefinisikan notasi
Qa ≅ QC T + V12 ∞ ,
T DT + γ −2 RT (Q + Qˆ )⎤ P + RT
Pa ≅ ⎡ BT + γ −2 R02
∞ 1
02∞
12
⎥⎦
⎣⎢
(
, S ≅ α 2 I n + β 2 γ − 2 Qˆ P
nya ada.
)
−1
, dimana invers-
Remark 1. Misalkan ( Ac , Bc , C c ,θ )
memenuhi
masalah
minimasi
J ( Ac , Bc , C c ,θ ) ,
maka
terdapat
Q, P, Qˆ ∈ ℜ n×n yang memenuhi
(
)
(
0 = A + γ − 2 D1 R01∞ Q + Q A + γ − 2 D1 R01∞
)T
+ γ − 2 QR1∞ Q + V1∞ − QaV2−∞1QaT
,
(3.22)
1
2
−
−
0 = A − BRˆ 2 Pa S + γ Q R1∞ − R12∞ Rˆ 2−1 Pa S
(
(
[
[
])
+ γ − 2 D1 R01∞ − D1 R02∞ Rˆ 2−1 Pa S Qˆ
[
+ Q A − BRˆ 2−1 Pa S + γ −2 Q R1∞ − R12∞ Rˆ 2−1 Pa S
[
])
T
+ γ − 2 D1 R01∞ − D1 R02∞ Rˆ 2−1 Pa S
T
+ γ −2 Qˆ R1∞ − R12∞ Rˆ 2−1 Pa S − S T Pa Rˆ 2−1 R12
∞
(
)
+ β 2 S T Pat Rˆ 2−1 Pa S Qˆ + QaV2−∞1QaT
,
(3.23)
]
]
Robertus Heri Soelistyo (Penentuan Suatu Pengontrol dengan Indeks Performansi Berupa …)
dengan
Ac = A − BRˆ 2−1 Pa S − QaV2−1C − QaV12−1∞ DRˆ 2−1 Pa S
−2
(
c
+ γ QR1∞ + D1 R01∞ − D1 R02∞ Rˆ 2−1 Pa S
− QR12∞ Rˆ 2−1 Pa S − QaV2−∞1 D2 R01∞
+ QaV2−∞1 D2 R02∞ Rˆ 2−1 Pa S
)
−1
2∞
−1
2
a
Bc = QaV , C c = − Rˆ P S ,
⎡Q + Qˆ Qˆ ⎤
⎥
ˆ
Q⎦
⎣ Q
θ =⎢
(3.24)-(3.27)
Lebih lanjut auxiliary cost diberikan
dengan
J ( Ac , Bc , C c , θ ) = tr Q + Qˆ R1 − 2 R12 Rˆ 2−1 Pa SQˆ
[(
)
+ S T PaT Rˆ 2−1 R2 Rˆ 2−1 Pa SQˆ
(3.28)
~
ˆ
Sebaliknya jika tedapat Q, P, Q ∈ Ν n
yang memenuhi (3.22, 3.23), maka
( Ac , Bc , Cc , θ ) seperti (3.24-3.27) memenuhi (3.14) dengan auxiliary cost seperti (3.28).
Teorema
1.
Misalkan
terdapat
n~
ˆ
Q, P, Q ∈ Ν yang memenuhi (3.22,3.23)
dengan ( Ac , Bc , Cc , θ ) seperti (3.24-3.27).
~ ~
Maka ( A, D) stabilizable jika dan hanya
~
jika A stabil asimtotik. Dalam kasus ini,
fungsi alih lup tertutup H (s ) memenuhi
kendala
pelemahan
gangguan
H ∞ ( H (s ) ≤ γ ) ,
dan
performansi
fungsional (3.7) memenuhi batas
J ( Ac , Bc , C c ) = tr Q + Qˆ R1 − 2 R12 Rˆ 2−1 Pa SQˆ
+ S T P T Rˆ −1 R Rˆ −1 P SQˆ
[(
)
a
2
2 2
a
.
Bukti.
Bagian sebaliknya dari Remark 1 menunjukkan bahwa θ dari (3.32) memenuhi
(3.14) dengan auxiliary cost seperti (3.32).
Hal ini berarti menurut Lemma 1, ke~ ~
stabilan ( A, D ) ekivalen dengan kestabil~
an asimtotik dari A . Sehingga pelemahan
gangguan H ∞ terpenuhi dan performansi
fungsional (3.7) memenuhi batas
J ( A , B , C ) = tr Q + Qˆ R − 2 R Rˆ −1 P SQˆ
]
]
c
c
[(
)1
12 2 a
+ S T PaT Rˆ 2−1 R2 Rˆ 2−1 Pa SQˆ
]
■
4. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan, dapat
disimpulkan bahwa, syarat cukup untuk
mendesain pengontrol dengan kendala H ∞
pada suatu fungsi alih lup tertutup terdiri
dari tiga persamaan aljabar Riccati yang
dimodifikasi dalam variable Q, P, Qˆ .
5. DAFTAR PUSTAKA
[1] Bernstein D.S, Haddad. (1989), LQG
Control with an H ∞ Performance
Bound: A Riccati Equation Approac’,
IEEE Trans. Automat. Control (34),
pp:293-305.
[2] Brockett, R.W. (1970), Finite Dimensional Linear System, John Willey and
Sons, New York.
[3] Colaneri, P, Locatelli, A. (1997),
Control Theory and Design: An H 2
and H ∞ Viewpoint, Academic Press.
[4] Doyle, J.C., Glover, K, Khargoneker,
P.P. (1989), State Space Solution to
Standard H 2 and H ∞ Control
Problem, IEEE Trans. Automat.
Control (34), pp:831-847.
[5] Doyle, J.C., Glover, K. (1988), State
Space Formulae for All Stabilizing
Controller that Satisfy and H ∞ Norm
Bound and Relation to Risk Sensitivity,
System Control Lett (11), pp: 161-171.
[6] Glover, K, Limebeer, Doyle, A
Charecterization of All Solution to The
Four
Block
General
Distance
Problem. Preprint.
[7] Wonham, W.M. (1979), Linear Multivariable Control: A Geometric
Approach, Springer-Verlag, New
York.
[8] Zames, G. (1981), Feedback and
Optimal Sensitivity: Model Reference
Transformation, Multiplicative Seminorm and Approximate Inverses, IEEE
103
Jurnal Matematika Vol. 10, No.3, Desember 2007:98-104
Trans. Automat. Control (26), pp:301320.
[9] Zhou, K, Doyle. (1998), Essentials of
Robust
Control,
Prentice
Hall
International.
104
PENENTUAN SUATU PENGONTROL DENGAN INDEKS PERFORMANSI
BERUPA NORMA CAMPURAN H 2 DAN H ∞
Robertus Heri Soelistyo
Jurusan Matematika FMIPA UNDIP
Jl. Prof. Soedarto, Tembalang Semarang.
Abstract. This paper considers the mix-norm H 2 / H ∞ standard problem. Specifically an LQG
control design problem involving a constraint on H ∞ disturbance attenuation is addressed. It is
shown that the H 2 / H ∞ dynamic compensator gains are completely characterized via coupled
Riccati/Lyapunov equation. The principle result involves a sufficient condition for characterizing
full order guaranteeing closed loop stability, a constrained H ∞ disturbance attenuation and an
optimized H 2 performance bound.
Keywords: mixed-norm H 2 / H ∞ , closed loop stability, H ∞ disturbance attenuation, an
optimized H 2 performance bound.
1. PENDAHULUAN
Sistem kontrol berumpan balik
(feedback control sistem) adalah sistem
kontrol yang menjaga hubungan antara
masukan dan keluaran dan membandingkannya dengan menggunakan selisihnya
sebagai alat pengontrolan. Sedangkan
sistem kotrol lup tertutup merupakan sistem kontrol yang sinyal keluarannya berpengaruh langsung pada aksi pengontrolan.
Jadi sistem kontrol lup tertutup termasuk
sistem kontrol berumpan balik. Dalam
sistem kontrol lup tertutup, fungsi pengontrol sangatlah penting untuk memperkecil
kesalahan dan membuat agar keluaran sistem mendekati harga yang diinginkan.
Salah satu cara untuk mencari pengontrol adalah dengan teori kontrol
campuran H 2 / H ∞ . Latar belakang yang
mendasari kontrol campuran H 2 / H ∞ , adalah adanya dua persoalan utama dalam
desain sistem kontrol. Pertama optimisasi
performansi yang diinginkan. Kedua, penting untuk disadari bahwa model selalu
menyatakan suatu nominal sistem sementara sistem yang sebenarnya merupa98
kan subyek ketidakpastian. Untuk keperluan itulah, kedua aspek ini harus diakomodasi dalam desain sistem kontrol yang
sama yaitu sistem kontrol campuran
H 2 / H ∞ , yang terdiri dari optimasi norma
H 2 dari suatu fungsi alih lup tertutup,
sementara norm norma H ∞ dari fungsi alih
yang lain dipaksa untuk kurang dari suatu
konstanta yang telah ditentukan. Situasi
tersebut dapat digambarkan seperti Gambar 1.
Z2
Z∞
Σ
y
w
u
Σc
Gambar 1. Desain kontrol campuran
H2 / H∞
Dimana ∑ adalah sistem time invariant
dan ∑ c merupakan pengontrolnya. Masa-
Robertus Heri Soelistyo (Penentuan Suatu Pengontrol dengan Indeks Performansi Berupa …)
ruhan tulisan ini membahas pengontrol
berdimensi n dan lup tertutup berdimensi
n~ = 2n .
Perhatikan blok diagram masalah baku
campuran H 2 / H ∞ seperti Gambar 2
berikut.
lah optimal campuran H 2 / H ∞ adalah
mencari pengontrol ∑ c sedemikian sehingga
untuk
γ >0
{
min Tzw
2
2
: Tzw
∞
0 .
{
J ( Ac , Bc , C c ) = lim E x T (t ) R1 x(t )
t →∞
T
w
B
E2
E 2∞
D
y
u
Ac Bc
Cc 0
Masalah teori kontrol LQG dengan
kendala H ∞ adalah menentukan pengontrol order n
x& c (t ) = Ac xc (t ) + Bc y (t ),
iii. Performansifungsional
D1
0
E∞
D2
}
+ 2 x T (t ) R12 u (t ) + u (t ) R2 u (t )
adalah minimal.
3. PENENTUAN
SUATU
PENGONTROL DENGAN INDEKS
PERFORMANSI BERUPA NORMA
CAMPURAN H 2 DAN H ∞
3.1. Teori Kontrol LQG dengan
kendala Pelemahan Gangguan H ∞
Dalam sub bab ini dibahas teori
kontrol LQG dengan kendala pelemahan
gangguan H ∞ . Tanpa criteria performansi
H 2 , masalah yang dibahas di sini adalah
masalah kontrol baku H ∞ [3,4,5]. Keselu-
Gambar 2. Lup Tertutup masalah baku
norma campuran H 2 / H ∞
Misalkan diketahui plant P( s ) order n
yang stabilizable dan detectable dengan
model dinamik sebagai berikut.
x& (t ) = Ax(t ) + Bu (t ) + D1w(t ) ,
(3.1)
(3.2)
y (t ) = Cx (t ) + Du (t ) + D2 w(t ) ,
dimana:
w : input sebagai disturbance.
u : input dari pengontrol.
z 2 : output dari plant untuk kasus H 2 .
z ∞ : output dari plant untuk kasus H ∞ .
y : input pengontrol/output yang terukur.
Permasalahan teori kontrol LQG dengan
kendala H ∞ adalah menentukan pengonrol
order n :
x&c (t ) = Ac xc (t ) + Bc y (t ),
(3.3)
(3.4)
u (t ) = C c xc (t ),
⎡A B ⎤
K =⎢ c c⎥ ,
⎣ Cc 0 ⎦
yang memenuhi syarat:
i. sistem lup tertutup dari model (2.1)
dinamik stabil asimtotik.
(3.5)
ii. fungsi alih nonstrictly proper q ∞ × d
~ ~
~
H ( s ) = E ∞ ( sI n~ − A) −1 D + E ∞
99
Jurnal Matematika Vol. 10, No.3, Desember 2007:98-104
dari w(t ) ke
z ∞ (t ) = E1∞ x(t ) + E 2∞ u (t ) + E ∞ w(t )
memenuhi kendala H ( s ) ∞ ≤ γ , γ > 0 .
(3.6)
iii. performansi fungsional
{
J ( Ac , Bc , C c ) = lim E x T (t ) R1 x (t )
t →∞
+ 2 x T (t ) R12 u (t ) + u T (t ) R2 u (t )
adalah minimal.
(3.7)
Sebelum menemukan pengontrol yang
memenuhi syarat (3.5)-(3.7), dibahas terlebih dulu beberapa hal sebagai berikut.
Substitusikan (3.4) ke (3.1) dan (3.2)
dihasilkan persamaan:
~
~
~
x& (t ) = A~
x (t ) + Dw(t )
.
(3.8)
~
y (t ) = C~
x (t ) + D w(t )
2
Kemudian performansi fungsional (3.7)
menjadi
~~
(3.9)
J ( Ac , Bc , C c ) = trQR ,
~
dengan Q ≅ lim E ~
(3.10)
x (t ) ~
x T (t ) ,
t →∞
[
]
memenuhi persamaan aljabar Lyapunov
n~ × n~
~ ~ ~~ ~
A Q + QA + V = 0 .
(3.11)
Fungsi alih lup tertutp dari w(t ) ke
z 2 (t ) = E1 x(t ) + E 2 u (t ) adalah:
z ( s) ~
~ ~
~
= E ( sI n~ − A) −1 D.
(3.12)
H ( s) = 2
w( s)
Menurut [8], pengontrol (3.3) dan (3.4)
admissible (diperkenankan) di H 2 sehingga
2
~
J ( Ac , Bc , C c ) = H ( s ) .
(3.13)
2
Dari uraian di atas ternyata performansi
fungsional (3.7) identik dengan fungsi alih
dari w(t ) ke z 2 (t ) , sehingga masalah
kontrol LQG dengan kendala H ∞ identik
dengan masalah campuran H 2 / H ∞ . Artinya, ketika meminumkan performansi
(3.7) sama dengan meminimmkan fungsi
alih (3.12)
}
Langkah pertama untuk menyelesaikan
masalah kontrol LQG dengan kendala H ∞
adalah melemahkan gangguan H ∞ .
Pelemahan gangguan H ∞ ( H ∞ disturbance attenuation) ini dilakukan dengan
mengganti persamaan aljabar Liapunov
dengan persamaan aljabar Riccati, seperti
dinyatakan dalam Lemma 1.
Lemma
1.
Misalkan
diberikan
( Ac , Bc , Cc ) dan asumsikan terdapat
θ ∈ ℜ n×n yang memenuhi θ ∈ Ν n dan
~
~
~ T
~T
~ T
~T T ~
A θ + θA T + γ −2 ( DE ∞
+ θE ∞
) M −1 ( DE ∞
+ θE ∞
) +V = 0
(3.14)
dengan Ν adalah matriks simetris n~ × n~
yang definit non negative.
~ ~
Maka ( A, D) stabilizable jika dan hanya
~
jika A stabil asimtotik.
Dalam kasus ini
~
H (s ) ≤ γ dan Q ≤ θ .(3.15) (3.16)
n
Sehingga J ( Ac , Bc , C c ) = ℑ( Ac , Bc , C c , θ ) ,
(3.17)
~
dimana ℑ( Ac , Bc , C c , θ ) ≅ trθR . (3.18)
Bukti.
(⇒) Dari sistem lup tertutup (3.1)-(3.4)
~ ~
diketahui bahwa ( A, D) stabilizable dan
~ ~
( A, C ) detectable. Hal ini mengakibatkan
~
A stabil asimtotik.
~
(⇐) Karena A stabil asimtotik, maka
~ ~ ~
( A, D, C , D2 ) stabil asimtotik. Sehingga
~ ~
( A, D) stabilizable. Untuk membuktikan
~~
~
(3.15), V diganti dengan DD T dimana
V12 BcT ⎤
~ ⎡ V
~ ⎡ D ⎤
,
D=⎢ 1 ⎥,
V =⎢ 1T
T ⎥
⎣ Bc D 2 ⎦
⎣ BcV12 BcV2 Bc ⎦
V1 = D1 D1T , V2 = D2 D2T , V12 = D1 D2T , dan
mengurangi serta menambahkan jωI nθ
ke
(3.14)
sehingga
menjadi
~
~ ~T
DD = (−A + jωIn)θ
~
~ T ~T −1 ~ T ~T T
+θ(−A − jωIn) − γ −2(DE∞
+θE∞)M (DE∞ +θE∞) .
(3.19)
100
Robertus Heri Soelistyo (Penentuan Suatu Pengontrol dengan Indeks Performansi Berupa …)
Mengalikan kedua ruas (3.19) dengan
~
~
E ∞ ( jωI n − A) −1
dari
kiri
dan
~ −1 ~ T
( jωI n − A) E ∞ dari kanan diperoleh:
~ ~~
~ ~T
~
E∞ ( jωI n~ − A)−1 DDT ( jωI n~ − A)−T E∞
~ ~T ~
~
~
~T
= E∞θ ( jωI n~ − A)−T E∞
+ E∞ ( jωI n~ − A)−1θE∞
yaitu meminimalkan performansi fungsional J ( Ac , Bc , Cc ) , akan dibahas terlebih
dahulu Lemma 2 berikut, yang menjamin
eksistensi solusi tunggal yang definit non
negative untuk (3.14) jika (3.15) terpenuhi.
~
~
~
~
~
~
~
~
− γ −2 E∞ ( jωI n~ − A) −1 ( DE∞T + θE∞T ) M −1 ( DE∞T + θE∞T )T ( jωI n~ − A) −T E∞T
(3.20)
Kemudian dengan menjumlahkan kedua
ruas (3.20) dengan
~ ~
~
~
~
~
E ∞ ( jωI n~ − A) −1 DE ∞T + E ∞ D T ( jωI n~ − A) −T E ∞T + E ∞ E ∞T
Lemma 2. Misal diberikan ( Ac , Bc , C c ) ,
~
dan A adalah stabil asimtotik dan asumsikan pelemahan gangguan (3.15) dipenuhi.
Maka terdapat solusi tunggal θ yang
definit non negative yang memenuhi (3.14)
diperoleh
Untuk memenuhi syarat ketiga dari
masalah kendali LQG dengan kendala H ∞ ,
~ ~~
~ ~
~ ~
~ ~
~
~
~
E ∞ ( jωI n~ − A) −1 DD T ( jωI n~ − A) −T E ∞T + E ∞ ( jωI n~ − A) −1 DE ∞T + E ∞ D T ( jωI n~ − A) −T E ∞T + E ∞ E ∞T
~
~ ~
~
~
~
~
~ T
= E ∞ ( jωI n~ − A) −1 DE ∞T + θE ∞T + DE ∞T + θE ∞T ( jωI n~ − A) −T E ∞T + E ∞ E ∞T
~
~ ~
~
~
~
~
~
− γ − 2 E ∞ ( jωI n~ − A) −1 ( DE ∞T + θE ∞T ) M −1 ( DE ∞T + θE ∞T ) T ( jωI n~ − A) −T E ∞T
(3.21)
Sementara ruas kiri dan ruas kanan dari
Lemma 1 menunjukkan bahwa pelemahan
(3.21)
berturut-turut
sama
dengan
ganguan H ∞ dengan sendirinya menguat
H ( jω ) H * ( jω ) dan
ketika solusi definit untuk (3.14) ada
~
*
2
−2
−1 *
dan A stabil asimtotik. Hal ini berarti
S + S − γ SM S + γ ( I q∞ − M ) ,
bahwa syarat pertama dan kedua telah
dimana
~ −1 ~ T
~
~T
dipenuhi.
S ≅ E ∞ ( jωI n~ − A) DE ∞ + θE ∞ dan
[
] [
[
]
]
M = I q∞ − γ E ∞ E .
−2
T
∞
Sehingga (3.21) menjadi
(
)(
)
−1
−1 * ⎤
1 −
1 −
⎡
H ( jω ) H * ( jω ) = − ⎢ γM 2 γ −1SM 2 γM 2 γ −1SM 2 ⎥
⎦
⎣
+ γ 2 I q∞ ≥ 0
.
Untuk membuktikan (3.16) kurangkan
(3.11) ke (3.14), diperoleh:
~
~
~ ~
A(θ − Q ) + (θ − Q ) A T
~ T
~T
~ T
~T T
) M −1 ( DE∞
) =0
+ γ − 2 ( DE ∞
+ θE∞
+ θE∞
.
~
Karena A stabil asimtotik, hal ini ekivalen
~
dengan θ − Q ≥ 0 , sehingga
J ( Ac , Bc , C c ) ≤ ℑ( Ac , Bc , C c , θ ) .
~
Jadi terbukti ℑ( Ac , Bc , C c , θ ) ≅ trθR . ■
Sedemikian
sehingga
nilai
eigen
~
−2 ~ T
−1 ~
−2
T
−1 ~
A + γ DE ∞ M E ∞ + γ θE ∞ M E ∞
berada di bagian real sebelah kiri.
Bukti.
Bentuk (3.14) ekivalen dengan
(A~ + γ
) (
)
~
~ T −1 ~
~ T −1 ~ T
DE ∞
M E ∞ θ + θ A + γ − 2 DE ∞
M E∞
~
~
~
~
T
T
θ + DN −1 D T
M −1 E ∞
+ γ − 2θE ∞
−2
.
Misalkan θ adalah solus yang definit
nonnegative, menurut [2, Teorema 23-3]
~
~
~
dan
dengan A T = A + γ −2 DE ∞T M −1 E ∞
T
−2 ~ T
−1 ~
- KBB = γ E ∞ M E ∞θ .Akan
dibuktikan
Reλ (A - BB T K) = Reλ (A - BB T K) T < 0 .
Misalkan terdapat θ1 dan θ 2 dengan
θ1 ≠ θ 2 sedemikian sehingga
101
Jurnal Matematika Vol. 10, No.3, Desember 2007:98-104
~
~
~
~
~
A + γ −2 DE ∞T M −1 E ∞ + γ −2 E ∞T M −1 E ∞θ1 dan
~
~
~
~
~
A + γ −2 DE ∞T M −1 E ∞ + γ −2 E ∞T M −1 E ∞θ 2
memiliki nilai eigen di sebelah kiri sumbu
imajiner, sehingga menurut [2, Teorema
23-2] solusi dari
~
~ T −1 ~
x& (t ) = A + γ −2 DE∞
M E∞
~
~
T
+ γ − 2 E∞
M −1 E∞θ i , i = 1,2
dengan x(0) = x0 mendekati nol untuk
t →∞.
Menurut [2,Teorema 22-2 dan Lemma 211],
t
~ −1 ~ T
T
⎛ T
⎞
∫ ⎜ u (σ )u (σ ) + x (σ ) DN D x(σ ) ⎟dσ
⎝
⎠
0
t
2
= x T (0)θ1 x(0) − x T (t )θ1 x(t ) + ∫ u (t ) + B T θ1 x(t ) dt
0
t
2
= x T (0)θ 2 x(0) − x T (t )θ 2 x(t ) + ∫ u (t ) + B T θ1 x(t ) dt
0
Karena θ1 ≠ θ 2 dan keduanya simetris
sehingga terdapat x0 sedemikian sehingga
x θ1 x0 ≥ x θ 2 x0 .
T
0
Misalkan
T
0
x θ1 x0 > x θ 2 x0
T
0
T
0
u (t ) = − B T θ 2 x(t ) .
dihasilkan
Untuk
∞
dan
t →∞,
x 0T θ 2 x0 = x 0T θ1 x0 + ∫ B T (θ1 − θ 2 ) x(t ) dt .
2
0
Kontradiksi dengan
x0T θ1 x0 ≥ x0T θ 2 x0 .
Sehingga pengandaian salah.
Jadi terdapat dengan tunggal θ yang
definit non negatif yang memenuhi (3.14)
sedemikian sehingga nilai eigen
~
~
~
~
~
A + γ −2 DE ∞T M −1 E ∞ + γ −2θE ∞T M −1 E ∞
berada di bagian real sebelah kiri.
■
Dari Lemma 1 dan Lemma 2, diketahui
bahwa penggantian (3.11) dengan (3.14)
membuktikan kestabilan lup tertutup,
pengurangan/pelemahan gangguan H ∞ ,
dan batas atas untuk criteria performansi
H2 .
Artinya,
misalkan
diberikan
pengontrol ( Ac , Bc , C c ) dimana terdapat
102
solusi definit non negative untuk (3.15),
criteria performansi J ( Ac , Bc , C c ) dari
pengontrol dijamin tidak lebih buruk dari
Karena
itu
J ( Ac , Bc , C c ,θ ) .
J ( Ac , Bc , C c ,θ ) dapat diinterpretasikan sebagai alat bantu untuk mengarahkan pada
problem optimasi berikut ini, yaitu menentukan ( Ac , Bc , C c ,θ ) yang meminimalkan J ( Ac , Bc , C c ,θ ) dengan kendala (3.14)
dimana θ ∈ Ν n .
3.2. Syarat Cukup untuk Pelemahan
Gangguan H ∞
Dalam subbab ini akan dinyatakan
syarat cukup untuk karakterisasi pengontrol
order penuh yang menjamin kestabilan lup
tertutup, pelemahan gangguan H ∞ dan
batas atas untuk criteria performansi H 2 .
Untuk Q, P, Qˆ ∈ ℜ n×n dan α , β ≥ 0
didefinisikan notasi
Qa ≅ QC T + V12 ∞ ,
T DT + γ −2 RT (Q + Qˆ )⎤ P + RT
Pa ≅ ⎡ BT + γ −2 R02
∞ 1
02∞
12
⎥⎦
⎣⎢
(
, S ≅ α 2 I n + β 2 γ − 2 Qˆ P
nya ada.
)
−1
, dimana invers-
Remark 1. Misalkan ( Ac , Bc , C c ,θ )
memenuhi
masalah
minimasi
J ( Ac , Bc , C c ,θ ) ,
maka
terdapat
Q, P, Qˆ ∈ ℜ n×n yang memenuhi
(
)
(
0 = A + γ − 2 D1 R01∞ Q + Q A + γ − 2 D1 R01∞
)T
+ γ − 2 QR1∞ Q + V1∞ − QaV2−∞1QaT
,
(3.22)
1
2
−
−
0 = A − BRˆ 2 Pa S + γ Q R1∞ − R12∞ Rˆ 2−1 Pa S
(
(
[
[
])
+ γ − 2 D1 R01∞ − D1 R02∞ Rˆ 2−1 Pa S Qˆ
[
+ Q A − BRˆ 2−1 Pa S + γ −2 Q R1∞ − R12∞ Rˆ 2−1 Pa S
[
])
T
+ γ − 2 D1 R01∞ − D1 R02∞ Rˆ 2−1 Pa S
T
+ γ −2 Qˆ R1∞ − R12∞ Rˆ 2−1 Pa S − S T Pa Rˆ 2−1 R12
∞
(
)
+ β 2 S T Pat Rˆ 2−1 Pa S Qˆ + QaV2−∞1QaT
,
(3.23)
]
]
Robertus Heri Soelistyo (Penentuan Suatu Pengontrol dengan Indeks Performansi Berupa …)
dengan
Ac = A − BRˆ 2−1 Pa S − QaV2−1C − QaV12−1∞ DRˆ 2−1 Pa S
−2
(
c
+ γ QR1∞ + D1 R01∞ − D1 R02∞ Rˆ 2−1 Pa S
− QR12∞ Rˆ 2−1 Pa S − QaV2−∞1 D2 R01∞
+ QaV2−∞1 D2 R02∞ Rˆ 2−1 Pa S
)
−1
2∞
−1
2
a
Bc = QaV , C c = − Rˆ P S ,
⎡Q + Qˆ Qˆ ⎤
⎥
ˆ
Q⎦
⎣ Q
θ =⎢
(3.24)-(3.27)
Lebih lanjut auxiliary cost diberikan
dengan
J ( Ac , Bc , C c , θ ) = tr Q + Qˆ R1 − 2 R12 Rˆ 2−1 Pa SQˆ
[(
)
+ S T PaT Rˆ 2−1 R2 Rˆ 2−1 Pa SQˆ
(3.28)
~
ˆ
Sebaliknya jika tedapat Q, P, Q ∈ Ν n
yang memenuhi (3.22, 3.23), maka
( Ac , Bc , Cc , θ ) seperti (3.24-3.27) memenuhi (3.14) dengan auxiliary cost seperti (3.28).
Teorema
1.
Misalkan
terdapat
n~
ˆ
Q, P, Q ∈ Ν yang memenuhi (3.22,3.23)
dengan ( Ac , Bc , Cc , θ ) seperti (3.24-3.27).
~ ~
Maka ( A, D) stabilizable jika dan hanya
~
jika A stabil asimtotik. Dalam kasus ini,
fungsi alih lup tertutup H (s ) memenuhi
kendala
pelemahan
gangguan
H ∞ ( H (s ) ≤ γ ) ,
dan
performansi
fungsional (3.7) memenuhi batas
J ( Ac , Bc , C c ) = tr Q + Qˆ R1 − 2 R12 Rˆ 2−1 Pa SQˆ
+ S T P T Rˆ −1 R Rˆ −1 P SQˆ
[(
)
a
2
2 2
a
.
Bukti.
Bagian sebaliknya dari Remark 1 menunjukkan bahwa θ dari (3.32) memenuhi
(3.14) dengan auxiliary cost seperti (3.32).
Hal ini berarti menurut Lemma 1, ke~ ~
stabilan ( A, D ) ekivalen dengan kestabil~
an asimtotik dari A . Sehingga pelemahan
gangguan H ∞ terpenuhi dan performansi
fungsional (3.7) memenuhi batas
J ( A , B , C ) = tr Q + Qˆ R − 2 R Rˆ −1 P SQˆ
]
]
c
c
[(
)1
12 2 a
+ S T PaT Rˆ 2−1 R2 Rˆ 2−1 Pa SQˆ
]
■
4. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan, dapat
disimpulkan bahwa, syarat cukup untuk
mendesain pengontrol dengan kendala H ∞
pada suatu fungsi alih lup tertutup terdiri
dari tiga persamaan aljabar Riccati yang
dimodifikasi dalam variable Q, P, Qˆ .
5. DAFTAR PUSTAKA
[1] Bernstein D.S, Haddad. (1989), LQG
Control with an H ∞ Performance
Bound: A Riccati Equation Approac’,
IEEE Trans. Automat. Control (34),
pp:293-305.
[2] Brockett, R.W. (1970), Finite Dimensional Linear System, John Willey and
Sons, New York.
[3] Colaneri, P, Locatelli, A. (1997),
Control Theory and Design: An H 2
and H ∞ Viewpoint, Academic Press.
[4] Doyle, J.C., Glover, K, Khargoneker,
P.P. (1989), State Space Solution to
Standard H 2 and H ∞ Control
Problem, IEEE Trans. Automat.
Control (34), pp:831-847.
[5] Doyle, J.C., Glover, K. (1988), State
Space Formulae for All Stabilizing
Controller that Satisfy and H ∞ Norm
Bound and Relation to Risk Sensitivity,
System Control Lett (11), pp: 161-171.
[6] Glover, K, Limebeer, Doyle, A
Charecterization of All Solution to The
Four
Block
General
Distance
Problem. Preprint.
[7] Wonham, W.M. (1979), Linear Multivariable Control: A Geometric
Approach, Springer-Verlag, New
York.
[8] Zames, G. (1981), Feedback and
Optimal Sensitivity: Model Reference
Transformation, Multiplicative Seminorm and Approximate Inverses, IEEE
103
Jurnal Matematika Vol. 10, No.3, Desember 2007:98-104
Trans. Automat. Control (26), pp:301320.
[9] Zhou, K, Doyle. (1998), Essentials of
Robust
Control,
Prentice
Hall
International.
104