PERLUASAN HARNACK DAN SIFAT CAUCHY INTEGRAL HENSTOCK-DUNFORD PADA RUANG EUCLIDE - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR)

PERLUASAN HARNACK DAN SIFAT CAUCHY
INTEGRAL HENSTOCK-DUNFORD PADA RUANG EUCLIDE ¡ n
Solikhin
Jurusan Matematika FMIPA UNDIP
Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang
e-mail : soli_erf@yahoo.com
Abstract. In this paper we study Henstock-Dunford integral on the Euclidean space ¡ n . We
discuss some properties of the integrable. We prove the Harnack Extension theorems and the
Cauchy extension theorems for Henstock-Dunford integral on the Euclidean space ¡ n .
Keyword : Henstock-Dunford integral, Harnack extension and Cauchy extension.

1. PENDAHULUAN
Sejak diperkenalkan oleh Ralph
Henstock pada tahun 1960-an, yang
merupakan pengintlakan dari integral
Riemann,
integral
Henstock
telah
mengalami perkembangan baik dari segi
teori maupun aplikasinya [1], [4], [6].

berdasarkan kajian tentang integral
Henstock banyak sifat-sifat yang telah
diungkap baik dalam ruang real ¡ [2], [7]
maupun ruang Euclide ¡ n [5].
Dunford mendefinisikan integralnya
pada fungsi terukur lemah f dari ¡ n ke
ruang Banach X ( X * ruang dualnya) dan
untuk setiap x* Î X * fungsi bernilai real
x* f terintegral Lebesgue. Integral ini
dikenal dengan integral Dunford [10].
Kajian integral Dunford telah diperluas ke
dalam integral tipe Riemann (integral
Henstock) pada ruang ¡ , yaitu dengan
mendefinisikan fungsi bernilai realnya x* f
terintegral Henstock. Hasilnya dikenal
dengan integral Henstock-Dunford pada
ruang ¡ [3]. Penelitian selanjutnya,
integral Henstock-Dunford pada ruang ¡
digeneralisasi ke dalam ruang Euclide ¡ n
[9]. Pembahasannya meliputi sifat-sifat

sederhana
dan
beberapa
teorema
kekonvergenan [9].
Berdasarkan uraian tersebut, penulis
akan meneliti sifat-sifat lebih lanjut dari
integral Henstock-Dunford pada ruang
Euclide ¡ n . Sifat-sifat ini digeneralisasi
dari integral Henstock pada ruang real ¡ .
8

2.
INTEGRAL
HENSTOCKDUNFORD PADA RUANG EUCLIDE
¡n
Pada tulisan ini, dibahas definisi
integral Henstock-Dunford pada ruang
Euclide ¡ n , sifat-sifat sederhana, dan
fungsi primitifnya mengacu pada [9].

Definisi 2.1 [9] Diberikan X ruang
Banach dan X * ruang dualnya, volume- a
pada ¡ n dan sel E Ì ¡ n . Fungsi
f : E ® X dikatakan terintegral Henstock
-Dunford pada E jika untuk setiap
x* Î X * fungsi x* f terintegral Henstock
pada E dan untuk setiap sel A Ì E
terdapat vektor x(**f , A,a ) Î X ** sehingga

x(**f , A,a ) ( x* ) = ( H ) ò x* f .

Selanjutnya vektor

A
**
( f , A,a )

x

Î X ** di atas

disebut nilai integral Henstock-Dunford
fungsi f pada A dan ditulis

x(**f , A,a ) = ( HD ) ò f .
A

Jika f terintegral Henstock-Dunford pada
E , ditulis f Î HD ( E , a ) .
Teorema 2.2 [9] Jika f Î HD( E , a ) maka
f Î HD( A, a ) untuk setiap sel bagian
AÌ E.
Bukti :
Jelas berdasarkan definisi. ■

Jurnal Matematika, Vol 16, No. 1, April 2013 : 8 - 12

Definisi 2.3 [9] Diberikan f Î HD( E , a )
dan I ( E ) koleksi semua sel bagian di
dalam E . Fungsi F : I ( E ) ® X dengan

rumus
F ( A) = x(**f , A,a ) = ( HD ) ò f
A

dan F (Æ ) = 0 , untuk setiap A Î I ( E )
disebut fungsi primitif-HD fungsi f .
Berdasarkan Definisi 2.3 maka fungsi F
merupakan fungsi aditif.
Teorema 2.4 [9] Jika f Î HD( E , a )
dengan F sebagai primitif-HDnya maka
F merupakan fungsi aditif pada E .
Bukti :
Fungsi f Î HD( E , a ) berarti untuk setiap

( x ) = ( H ) ò x f dan

**
( f , B ,a )

( x ) = ( H ) ò x* f .

x

*

*

B

Dengan demikian diperoleh
x(**f , A,a ) ( x* ) + x(**f , B ,a ) ( x* ) =

(H )ò x
A

= (H )

*

p

*

B

*

x f

=x

Ei0 Ç E 0j = Æ untuk setiap i ¹ j maka

diperoleh

æ p ö
F ( E ) = F ç U Ei ÷
è i =1 ø
**
= xæ p ö

ç f ,U Ei ,a ÷
ç
÷
è i=1
ø
**
( f , E1 ,a )

=x

+ x(**f , E2 ,a ) + ... + x(**f , E ,a )
p
= F ( E1 ) + F ( E2 ) + ... + F ( E p )
p

= å F ( Ei )
i =1
p

= å x(**f , Ei ,a ) . ■

(x )

å x ( f ( x )a ( D ) - F ( D ) ) < e
*

i

i

i

atau

i =1
p

atau

F ( A) + F ( B) = F ( A È B) . ■

Akibat 2.5 [9] Jika f Î HD( E , a ) dengan
sebagai
primitif-HDnya
dan
F
E1 , E2 ,..., E p sel-sel di dalam E yang
p

tidak saling tumpang-tindih dan E = U Ei
i =1

maka

i =1

p

*

untuk setiap x* Î X * .

Jadi
x(**f , A,a ) + x(**f , B ,a ) = x(**f , AÈ B ,a )

dengan

i =1

partisi Perron d -fine pada A berlaku

AÈ B
**
( f , AÈ B ,a )

E = U Ei

bilangan e > 0 dan x* Î X * terdapat
fungsi positif d pada E sehingga jika
A Ì E sel dan D = {( Di , xi ) : i = 1, 2,..., p}

f + (H )ò x f

ò

i =1

Selanjutnya berdasarkan Definisi 2.1
maka integral Henstock-Dunford pada E
dapat dinyatakan seperti dalam teorema
berikut.
Teorema 2.6 [9] Fungsi f Î HD( E , a )
jika dan hanya jika terdapat fungsi aditif
F : I ( E ) ® X sehingga untuk setiap

*

A

x

i =1

primitif-HDnya,

turut terdapat vektor x(**f , A,a ) Î X ** dan
**
( f , A,a )

p

Bukti :
Karena f Î HD( E , a ) dengan F sebagai

x* Î X * fungsi x* f terintegral Henstock
pada E dan untuk setiap sel A Ì E dan
sel B Ì E dengan ma ( A Ç B) = 0 berturutx(**f , B ,a ) Î X ** sehingga

p

F ( E ) = å F ( Ei ) = å x(**f , Ei ,a ) .

åx

*

f ( xi )a ( Di ) - x* F ( Di ) < e . ■

i =1

3. PERLUASAN HARNACK DAN
SIFAT CAUCHY
Berikut ini dibahas perluasan Harnack
dan Sifat Cauchy integral HenstockDunford pada ruang Euclide ¡ n .
Teorema 3.1 [3], [5], [8] (Ekstensi
Harnack) Diberikan X ruang Banach
dan X * ruang dualnya, volume- a pada
9

Solikin (Perluasan Harnack dan Sifat Cauchy Integral Henstock-Dunford pada Ruang Euclide

¡ n , sel E Ì ¡ n , dan fungsi
Himpunan G merupakan
tertutup di dalam E dan { Ei }
barisan himpunan sederhana
saling
tumpang-tindih
¥

UE

i

f :E ®¡ .
himpunan
i = 1, 2,3,...
yang tidak
dengan

Jika f Î HD(G, a )

= E -G.

dan

i =1

¡n )

ì min {d 0 ( x ), d1 ( x ),..., d N ( x )} ,
ï
æN ö
ï
x
Î
G
È
ç U Ei ÷
ïï
è i =1 ø
d (x ) = í
ï min {d 0 ( x ), d N + k ( x )} ,
ï
¥
ï
x Î U Ei , k = 1, 2,...
ïî
i=N +k

f Î HD( Ei , a ) untuk setiap i Î ¥ dengan
¥

å(H ) ò x
i =1

*

f N
G
Ei
è

¥

( HD ) ò f = ( HD ) ò f c G + å ( HD ) ò
A

i =1

E

f.

Ei

Bukti :
Diberikan bilangan e > 0 sebarang.
Karena f Î HD(G, a ) maka terdapat
fungsi positif d 0 pada G sehingga untuk
setiap partisi Perron d 0 -fine D0 = {( D, x )}

£ ( D0 ) å x* f ( x )a ( D) - ( H ) ò x* f
Ei

+

n0

å(D ) å x
i =1

+

e
( D0 ) å x f ( x )a ( D) - ( H ) ò x f <
4
G
*

untuk setiap x* Î X * .
Karena f Î HD( Ei , a ) untuk setiap i
maka untuk bilangan e > 0 di atas dan
x* Î X * terdapat fungsi positif d i pada Ei
sehingga untuk setiap partisi Perron d i fine Di = {( D, x )} pada Ei berlaku

( Di ) å x* f ( x )a ( D) - ( H ) ò x* f
Ei

<

e
.
4

¥

å ( H ) ò x* f < ¥

å(H ) ò x

*

Ei

f

Ei

e e e
+ + =e .
4 4 2

Hal ini berarti x* f terintegral Henstock
pada E dan untuk setiap sel A Ì E
terdapat vektor x(**f , A,a ) Î X ** sehingga
x(**f , A,a ) ( x* ) = ( H ) ò x* f + å ( H ) ò x* f .
i =1

G

Ei

Dengan kata lain f Î HD( E , a ) dan
¥

x(**f , A,a ) ( x* ) = ( H ) ò x* f + å ( H ) ò x* f
i =1

G

Ei

Untuk setiap x Î X .
*

*

Ei

maka untuk setiap bilangan e > 0 di atas
terdapat bilangan asli n sehingga untuk
i > N berlaku

e
(H ) ò x f < .
å
2
i> N
Ei
*

Dibentuk fungsi positif d pada E dengan
rumus
10

i< N

i > n0

<

f ( x )a ( D) - å ( H ) ò x* f

¥

Kemudian, karena diketahui
i =1

*

i

pada G berlaku
*

ö
÷
÷
ø

Jadi untuk setiap x* Î X * diperoleh
¥

x(**f , A,a ) = ( HD ) ò f c G + å ( HD ) ò f .
E

Ekuivalen

i =1

Ei

Jurnal Matematika, Vol 16, No. 1, April 2013 : 8 - 12

¥

( HD ) ò f = ( HD ) ò f c G + å ( HD ) ò
A

i =1

E

f .■

Ei

Teorema 3.2 [5], [8] (Sifat Cauchy)
Diberikan X ruang Banach dan X *
ruang dualnya, volume- a pada ¡ n ,dan
sel E Ì ¡ n . Jika f Î HD( E ' , a ) untuk
setiap E ' Ì E 0 dan
lim ( HD ) ò f = å ( HD ) ò f
i =1

E'

( HD ) ò f = å ( HD ) ò
i =1

f ( x )a ( D ) - ( H ) ò x* f <

e
.
3

Diketahui bahwa
¥

lim
( HD ) ò f = å ( HD ) ò f
'
i =1

E'

ada, berarti untuk setiap bilangan e > 0
dan x* Î X * di atas terdapat bilangan
h > 0 sehingga untuk E ' Ì E 0 dengan

a ( E - E ) < h berlaku
'

i =1

+ ( H ) ò x* f - å ( H ) ò x* f
i =1

E'

Ei

<

Ei

+ ( D" ) å x* f ( x )a ( D)
x ÏE '

e e
+ + ( D " ) x* f ( x ) å a ( D )
3 3
x ÏE '
2e
e
£
+ x* f ( x )
*
3
3 x f (x ) +1
£

0 dan
x* Î X * di atas, dibentuk fungsi d pada
E dengan rumus
ìmin {d ' ( x )} , x Î E '
ïï
d (x ) = í
ìï
üï
e
'
'
ïmin íd ( x ),
ý, x Ï E
*
3 x f ( x ) + 1 ïþ
ïî
ïî
.

Ei

Jadi f Î HD( E , a ) dan

A

( H ) ò x* f - å ( H ) ò x* f
E'

E'

¥

Ei

¥

Ei

¥

Ei

E'

E ®E

¥

x ÎE '

f .

E ' berlaku
*

=

Ei

£ ( D ' ) å x* f ( x )a ( D ) - ( H ) ò x* f

Bukti :
Diberikan bilangan e > 0 sebarang dan
x* Î X * . Karena f Î HD( E ' , a ) untuk
setiap E ' Ì E 0 maka terdapat fungsi
positif d ' pada E ' sehingga untuk setiap
partisi Perron d ' -fine D' = {( D, x )} pada

'

i =1

i =1

¥

(D ) å x

¥

( D ) å x* f ( x )a ( D) - å ( H ) ò x* f

Ei

ada maka f Î HD( E , a ) dan

A

D ' dan D" berturut-turut partisi yang
terkait dengan x Î E ' dan x Ï E ' .
Dengan demikian diperoleh

( D' È D" ) å x* f ( x )a ( D) - å ( H ) ò x* f

¥

E' ®E

Diambil sebarang partisi Perron d -fine
D = D' È D" = {( D, x )} pada E , dengan

i =1

f .■

Ei

4. PENUTUP
Dari pembahasan di muka diperoleh
kesimpulan bahwa perluasan Harnack dan
sifat Cauchy pada integral Henstock dapat
digeneralisasi untuk integral HenstockDunford pada ruang Euclide ¡ n . Untuk
penelitian lebih lanjut, dapat dikaji
mengenai sifat-sifat smal Riemann sums
11

Solikin (Perluasan Harnack dan Sifat Cauchy Integral Henstock-Dunford pada Ruang Euclide

fungsi terintegral Henstock-Dunford pada
ruang Euclide ¡ n .
5. DAFTAR PUSTAKA
[1] Boccuto, A., Skvortsov, A.V. (2004),
Henstock-Kurzweil Type Integration
of Riesz-Space-Valued Functions and
Applications to Walsh Series, Real
Analysis Echange, 29(1): 419-439.
[2] Gordon, R.A. (1994), The Integral of
lebesgue, Denjoy, Perron, and
Henstock, Mathematical Society,
USA.
[3] Guoju, Ye., Tianqing, An. (2001), On
Henstock-Dunford and HenstockPettis Integrals, IJMMS, 25(7): 467478.
[4] Heikkila, S. (2011), Monotone
Convergence Theorems for HenstockKurzweil Integrable Functions and
Applications,
Journal
of
Mathematical
Analysis
and
Applications,
377(1):
286-295.

12

¡n )

[5] Indrati, Ch. R. (2002), Integral
Henstock-Kurzweil di dalam Ruang
Euclide Berdimensi-n, Disertasi,
Universitas
Gadjah
Mada,
Yogyakarta.
[6] Indrati, Ch.R., Surodjo, Budi. (2000),
Aplikasi Integral Henstock-Kurzweil
pada Medan Vektor, Lembaga
Penelitian UGM, Yogyakarta.
[7] Lee P.Y. (1989), Lanzhou Lectures on
Henstock
Integration,
World
Scientific, Singapore.
[8] Rahman, Hairur. (2005), Integral
Henstock-Pettis pada ruang Euclide
¡ n , Tesis, Universitas Gadjah Mada,
Yogyakarta.
[9] Saifullah. (2003), Integral HenstockDunford pada Ruang Euclide ¡ n ,
Tesis, Universitas Gadjah Mada,
Yogyakarta.
[10] Schwabik, S., Guoju, Ye. (2004),
Topics in Banach Space Integration,
Manuscrip in Preparation.