5
�
= ∑
�
,
�=
�
= �
�
�
�
18a Dimana:
�
�
= [
�
,
�+
, ] 18b
�
�
= [∆
��
∆
� �+
] 18c
Dengan mensubstitusi persamaan 10b ke persamaan 15 maka akan didapat persamaan:
�
=
�
- – ∫ �
�
�
�
d 19
Sehingga persamaan 18c dapat menjadi: �
�
= �
�
d 20a
Dimana:
�
�
= [
− −∫ �
− ∫ �
− ∫ �
− ∫ �
− − ∫
� − ∫
� − ∫
� − ∫
� ⋱
− − ∫
�
�
− ∫ �
�
− ∫ �
�
− ∫ �
�
] 20b
� = { �
� } 20c
Substitusi persamaan 20a ke persamaan 18a maka akan didapat persamaan:
�
= �
�
�
�
d =
�
�
d 21
Dalam penelitian ini, matriks �
�
menggunakan shape function linear dan matriks �
�
hanya diambil 2 baris yang berhubungan dengan titik elemen yang ditinjau yaitu baris ke-i dan baris ke-i+1.
Kemudian dengan mengganti matriks �
�
pada persamaan 13a dengan matriks �
�
pada persamaan 21, maka persamaan umum matriks kekakuan balok Timoshenko untuk MEH-K dengan DSG menjadi:
� = ∫ �
�
�
�� �
� + ∫ �
�
�
�� �
�
� 22
6. HASIL PERHITUNGAN NUMERIK
Dalam penelitian ini dilakukan analisa statik saja. Hasil analisa perhitungan tersebut akan dijelaskan secara singkat pada bagian ini. Untuk memperjelas, dalam pernelitian ini terdapat 2 bentuk singkatan
P--G dan P--QS. Asterisk pertama berhubungan dengan polynomial basis dan asterisk kedua berhubungan dengan jumlah lapisan elemen DOI.
1. Pengujian Shear Locking Pengujian dilakukan pada balok yang diberi beban terbagi rata q = 1 kNm dengan perletakan jepit-jepit
yang dibagi menjadi 8 elemen. Balok yang digunakan memiliki nilai E = 2000 kNm
2
, L = 10 m, b = 2 m, v = 0.3, Lh = 10; 100; 1000; 10000, dan h = 1; 0.1; 0.01; 0.001. Hasil deformasi pada tengah bentang
balok tersebut dibandingkan dengan solusi eksak dari balok Timoshenko yang dirumuskan dengan: =
8 �
+
8 � �
�
23
Dapat dilihat pada Tabel 3. Yang merupakan hasil perhitungan deformasi pada tengah bentang balok yang telah dinormalisasi, yang dimana balok dibagi menjadi 8 elemen dengan jarak yang sama antar
nodal, yaitu sebagai berikut:
6
Tabel 3. Normalisasi Hasil Deformasi pada Balok Timoshenko dengan Fungsi Korelasi Gauss Menggunakan Teknik DSG-1
Lh
Hasil Eksak Normalisasi terhadap
w
Timoshenko
w
Timoshenko P1-1-G P1-2-G P2-2-G P2-3-G P3-3-G 1
0.0010 0.9668
0.9668 0.9668
0.9668 0.9668
5 0.0145
0.9555 1.0037
1.0037 1.0037
1.0037
10 0.0877
0.9443 1.0036
1.0036 1.0013
1.0013
100 78.2206
0.9376 1.0031
1.0025 1.0004
1.0003
1000 78125.9563
0.9375 1.0031
1.0025 1.0004
1.0002
10000 78125010
0.9375 1.0031
1.0025 1.0004
1.0002
Dari Tabel 3. terlihat hasil deformasi balok Timoshenko dengan fungsi korelasi Gauss menggunakan teknik DSG-1 menunjukkan bahwa fenomena shear locking telah berhasil dieliminasi dengan baik dan
menunjukkan hasil yang lebih mendekati hasil eksaknya. 2. Pengujian Konvergensi dan Akurasi
Dalam bagian ini, yang ditunjukkan oleh Tabel 4., dilakukan analisa konvergensi terhadap balok yang memiliki perletakan jepit bebas dan diberi beban segitiga dengan q = 1 kNm. Balok dianalisis
menggunakan jumlah mesh yang berbeda-beda yaitu 4, 8, 16, dan 32 elemen. Kemudian terdapat berbagai kondisi ketebalan balok yang digolongkan menjadi sangat tebal Lh = 1, sedang normal Lh
= 8, dan sangat tipis Lh = 10000. Acuan yang diambil yaitu L = 4 m, b = 2 m, E = 1000 kNm2, dan v
= 0.3. Hasil yang ditunjukkan oleh Tabel 4. adalah hasil normalisasi terhadap solusi eksak. Dari tabel
tersebut menunjukkan hasil yang konvergen dengan tingkat akurasi tinggi. Sedangkan, distribusi gaya geser sepanjang balok dengan Lh = 10000 yang menggunakan 4 elemen dan 8 elemen ditunjukkan pada
Gambar 2. Hasil distribusi gaya geser terlihat berbentuk piecewise constant.
Tabel 4a. Hasil Normalisasi Deformasi Balok untuk 4, 8, 16, dan 32 Elemen Menggunakan Teknik DSG-1
Lh=
1
Lh=
8
Lh=
10000
4 8
16 32
4 8
16 32
4 8
16 32
P1-1-G 0.9911
0.9978 0.9994
0.9999 0.9846
0.9961 0.9990
0.9998 0.9844
0.9961 0.9990
0.9998
P1-2-G 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000
P2-2-G 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000
P2-3-G 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000
P3-3-G 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000
Tabel 4b. Hasil Normalisasi Momen Lentur Balok untuk 4, 8, 16, dan 32 Elemen Menggunakan Teknik DSG-1
Lh=
1
Lh=
8
Lh=
10000
4 8
16 32
4 8
16 32
4 8
16 32
P1-1-G 0.8750
0.9375 0.9687
0.9844 0.8750
0.9375 0.9687
0.9844 0.8750
0.9375 0.9687
0.9844
P1-2-G 0.9881
0.9940 0.9970
0.9985 0.9881
0.9940 0.9970
0.9985 0.9881
0.9940 0.9970
0.9985
P2-2-G 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000
P2-3-G 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000
P3-3-G 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000
7
Tabel 4c. Hasil Normalisasi Gaya Geser Balok untuk 4, 8, 16, dan 32 Elemen Menggunakan Teknik DSG- 1
Lh=
1
Lh=
8
Lh=
10000
4 8
16 32
4 8
16 32
4 8
16 32
P1-1-G 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000
P1-2-G 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000
P2-2-G 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000
P2-3-G 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000
P3-3-G 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000
Gambar 2. Distribusi Gaya Geser terhadap Beban Segitiga
3. Pengujian Lentur Murni Pure Bending Test Pada pengujian ini digunakan elemen balok kantilever. Balok kantilever ini akan diberi beban
momen terpusat pada ujungnya. Balok ini akan dibagi menjadi 4 elemen untuk peninjauan pertama jarak antar titik nodal adalah sama panjang, sedangkan untuk peninjauan kedua jarak antar titik nodal tidak
sama panjang. Balok dianalisis dengan berbagai kondisi ketebalan balok yang digolongkan menjadi sangat tebal Lh = 1, sedang normal Lh = 8, dan sangat tipis Lh = 10000. Acuan yang diambil
yaitu L = 10 m, b = 2 m, E = 1000 kNm
2
, v = 0.3, dan M = 1 kNm. Besar deformasi dan rotasi yang terjadi dapat dirumuskan:
� �
=
�
24 � =
�
25 Sedangkan, gaya geser tidak dinormalisasikan karena mempunyai hasil eksak yang bernilai nol. Hasil
normalisasi yang ditunjukkan oleh Tabel 5. menunjukkan hasil yang akurat. Tabel 5a. Normalisasi Deformasi
Lh
Jarak antar Titik Nodal Sama Panjang Jarak antar Titik Nodal Tidak Sama Panjang
P1-1-G P1-2-G P2-2-G P2-3-G P3-3-G P1-1-G P1-2-G P2-2-G P2-3-G P3-3-G 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
8 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
10000 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
-2.5 -2
-1.5 -1
-0.5
1 2
3 4
S h
e a
r k
N
Koordinat -X m
Eksak P3-3-G 4 elemen
P3-3-G 8 elemen
8
Tabel 5b. Normalisasi Rotasi
Lh
Jarak antar Titik Nodal Sama Panjang Jarak antar Titik Nodal Tidak Sama Panjang
P1-1-G P1-2-G P2-2-G P2-3-G P3-3-G P1-1-G P1-2-G P2-2-G P2-3-G P3-3-G 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
8 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
10000 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
Tabel 5c. Hasil Gaya Geser
Lh
Jarak antar Titik Nodal Sama Panjang Jarak antar Titik Nodal Tidak Sama Panjang
P1-1-G P1-2-G
P2-2-G P2-3-G
P3-3-G P1-1-G
P1-2-G P2-2-G
P2-3-G P3-3-G
1 1.11E-16
-2.84E-16 1.08E-16
1.13E-15 -1.92E-15
4.16E-17 2.75E-16
1.77E-16 -9.34E-15
6.33E-15
8
-6.22E-15 -1.04E-14
8.88E-15 1.78E-15
3.55E-15 -2.00E-15
4.04E-15 1.12E-14
-1.83E-14 -2.48E-14
10000 1.12E-08
7.92E-09 6.75E-09
-1.68E-08 2.33E-10
1.63E-09 -3.58E-08
4.05E-09 -7.92E-08
-1.93E-08
7. KESIMPULAN
