PENERAPAN GRAF DEBRUIJN PADA KONSTRUKSI GRAF EULERIAN

(1)

PENERAPAN GRAF DEBRUIJN PADA KONSTRUKSI GRAF EULERIAN

(Skripsi)

Oleh FAZRIE MULIA

0817031026

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2013

(2)

ABSTRAK

PENERAPAN GRAF DEBRUIJN PADA KONSTRUKSI GRAF EULERIAN

Oleh

FAZRIE MULIA

Graf deBruijn adalah salah satu pengembangan dari graf yang secara umum didefinisikan sebagai graf berarah �_�,�, � ≥ , � ≥ yang dibentuk dari bilangan bulat positif � dan �, yang berisi ��− vertex dan �� arc. Graf deBruijn banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi alur terpendek yang membentuk graf Eulerian. Pada skripsi ini, pembahasan akan dikhususkan pada graf deBruijn �_2, dengan menggunakan proses cross-over (perkawinan silang) yang melibatkan permutasi pada posisi genotype (gen) ke 2, 3, 4 dan 5, permutasi pada posisi genotype (gen) ke 3, 4, 5 dan 6, permutasi pada posisi genotype (gen) ke 4, 5, 6 dan 7 untuk string biner 0 dan 1 dengan menggunakan fungsi fitness

� = −2�_{. sin 3�} _dan _{� =} −�_{. sin 3�} _{. Dari hasil perhitungan didapat} kesimpulan bahwa penyelesaian layak pada cross-over graf deBruijn akan membentuk konstruksi graf Eulerian dan pada hasil akhir cross-over diperoleh solusi dengan nilai fitness terbaik adalah 0,625489.

(3)

PENERAPAN GRAF DEBRUIJN PADA KONSTRUKSI GRAF EULERIAN

Oleh

FAZRIE MULIA 0817031026

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2013

(4)

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Ketua : Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. ...

Sekretaris : Fitriani, S.Si., M.Sc. ...

Penguji

Bukan Pembimbing : Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc. ...

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Prof. Suharso, Ph.D.

NIP. 19690530 199512 1 001

(5)

Judul Skripsi

: PENERAPAN GRAF DEBRUIJN PADA KONSTRUKSI GRAF EULERIAN

Nama Mahasiswa : Fazrie Mulia

Nomor Pokok Mahasiswa : 0817031026

Program Studi : Matematika S1

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI

1. Komisi Pembimbing

Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. Fitriani, S.Si., M.Sc.

NIP 19631108 198902 2 001 NIP 19840627 200604 2 001

2. Mengetahui

Ketua Jurusan Matematika

Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. NIP 19620704 198803 1 002

(6)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 21 Mei 1991, sebagai anak pertama dari lima bersaudara, dari Bapak Drs. Irsyah Hutapris, M.M dan Ibu Seswati, S.Pd.

Pendidikan dasar diselesaikan di SDN 2 Palapa, Bandar Lampung pada tahun 2002. Pendidikan menengah pertama diselesaikan di SMPN 25 Bandar Lampung pada tahun 2005. Pendidikan menengah atas diselesaikan di SMAN 3 Bandar Lampung pada tahun 2008. Pada masa sekolah lanjutan tingkat atas, penulis pernah tercatat sebagai Juara 3 Olimpiade fisika tingkat Kota Bandar Lampung.

Tahun 2008, Penulis terdaftar sebagai mahasiswa jurusan matematika FMIPA Unila melalui jalur SNMPTN. Selama menjadi mahasiswa penulis pernah aktif di Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA) periode 2008-2009 sebagai ketua Generasi Muda HIMATIKA (GEMATIKA). Pada periode 2010-2011 sebagai anggota bidang kaderisasi dan kepemimpinan. Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah menyelesaikan mata kuliah wajib Kuliah Kerja Nyata (KKN) yang dilaksanakan pada 01 Juli 2011 –10 Agustus 2011 di Dese Totokaton, Tulang Bawang Barat serta Kerja Praktik (KP) di Kantor Dinas Pendidikan Provinsi Lampung pada 4 Juli 2011 – 6 Agustus 2011 bagian Sekolah Menengah dan Perguruan Tinggi.

(7)

PERSEMBAHAN

Dengan hati yang tulus dan penuh rasa syukur kupersembahkan karya kecilku ini kepada :

Allah SWT

Sebagai wujud syukur atas ilmu yang telah Engkau limpahkan... Papi dan Mami

Yang selalu ada dan percaya. Untuk cinta dan semua yang telah kalian berikan sampai hari ini dan hari-hari berikutnya.Terima kasih untuk setiap doa dan air

mata yang jatuh untuk saya. Mencintaimu, lebih dan lebih setiap hari ... Adik – Adikku

Terima kasih untuk membuat hari-hari saya terlihat dan terasa begitu keren dan sempurna...

Kekasihku

Orang yang selalu menempatkan kewarasan dalam diri saya ketika kegilaan terjadi dan membawa saya pergi liar dan gila untuk sementara waktu ketika aku

terlalu waras. Aku mencintaimu ... Dosen – Dosenku dan Guru – Guruku

Saya merasa terhormat untuk belajar dengan kalian dan telah belajar banyak dari kalian.

Bagi saya, kalian yang terbaik ... Sahabat – Sahabatku dan Teman - Temanku

Terima kasih untuk selalu mengingatkan saya bagaimana untuk menjaga tawa meskipun dunia tidak seindah surga. Hidup saya lebih menyenangkan karena

kalian semua...

Kepada almamaterku tercinta, Universitas Lampung

Akhirnya, terima kasih kepada kalian semua untuk berada di kehidupan ini mengubah perjalanan saya

- Tidak peduli seberapa sebagian besar atau kecil Anda bermain - kata-kata tidak bisa mengungkapkan rasa terima kasih saya.

(8)

SANWACANA

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah Nya kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam semoga tetap tercurahkan kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW, penuntun jalan bagi umat manusia.

Skripsi dengan judul “Penerapan Graf DeBruijn Pada Konstruksi Graf Eulerian” adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

Dapat diselesaikannya skripsi ini tidak terlepas dari bantuan dan kerja sama berbagai pihak yang telah membantu. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Ibu Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D., selaku pembimbing utama atas kesediaan waktunya untuk memberikan bimbingan, ilmu, saran, arahan dan kritikannya. 2. Ibu Fitriani, S.Si., M.Sc., selaku pembimbing kedua atas kesediaan waktunya

untuk memberikan bimbingan, ilmu, saran, arahan dan kritikannya.

3. Bapak Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc., selaku pembahas atas masukan saran dan kritikannya.

(9)

4. Bpk Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

5. Bapak Drs. Rudi Ruswandi, M.Si., selaku Pembimbing Akademik yang selalu membimbing penulis selama mengikuti perkuliahan di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung. 7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah

memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

8. Kedua orangtua dan keempat saudara kandungku tercinta atas doa, nasihat, dukungan dan semangatnya selama ini.

9. Kekasihku Henny Media Okta Sari yang selalu memberi dorongan dan motivasi kepada penulis.

10. Noven, Edy, Yayat, Rendi, Edo, Toro, Tri, Ida, Wiwid, Achi, Wiwik, Selvi, Diah, Nurul, Ririn dan seluruh teman - teman Jurusan Matematika khususnya angkatan 2008, 2009, 2010 atas bantuan dan rasa kekeluargaan yang telah diberikan selama ini.

11. Seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Hanya Allah SWT yang akan membalas semuanya. Akhir kata, penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan dan semoga dapat bermanfaat.Amiin.

Bandar Lampung, Januari 2013 Penulis

(10)

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Teori graf merupakan suatu cabang ilmu pengetahuan yang sangat berkaitan erat hubungannya dengan masalah yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Graf digunakan untuk mewakili objek-objek diskrit dan hubungan antara objek tersebut. Objek-objek diskrit diwakili oleh titik atau vertex, sedangkan hubungan antara objek tersebut diwakili oleh edge atau sisi. Teori graf banyak diaplikasikan pada ilmu-ilmu lain untuk membentuk struktur molekul, peta, diagram alir, rangkaian listrik atau masalah lain dalam kehidupan sehari-hari yang erat kaitannya dalam teori graf.

Teori graf muncul pada tahun 1736 ketika Leonhard Euler membuat tulisan untuk menyelesaikan masalah jembatan Konisberg. Masalah jembatan Konisberg dapat dinyatakan sebagai berikut : terdapat empat daerah yang terletak di tepi sungai Pregel, Rusia yang dihubungkan dengan tujuh jembatan. Masalah dimulai ketika seseorang ingin melewati tujuh jembatan yang menghubungkan empat daerah tersebut tepat satu kali dan kembali ke tempat semula. Masalah tersebut akhirnya diselesaikan oleh Euler dengan menggambarkannya menjadi suatu graf.

Barisan deBruijn merupakan bentuk kombinasi dari “kata” yang pertama kali diperkenalkan oleh deBruijn pada tahun 1946 dengan menggunakan alfabet biner

(11)

yakni 0 dan 1. Hingga saat ini kombinasi dari “kata” yang dihasilkan dari barisan deBruijn banyak digunakan pada berbagai bidang, salah satunya adalah bioinformatika. Pada penyelesaian masalah diberbagai bidang, graf deBruijn dan barisan deBruijn akan membentuk konstruksi graf Eulerian yang menghasilkan penyelesaian yang layak. Graf Eulerian digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang ingin diselesaikan dengan cara diperbolehkan melewati titik awal dan akhir secara berulang tetapi tidak diperbolehkan melewati jalan yang sama secara berulang.

Pada penelitian ini, akan dikaji mengenai salah satu aplikasi graf deBruijn yaitu dalam konstruksi graf Eulerian. Graf Eulerian digunakan untuk menentukan layak atau tidaknya suatu solusi pada graf deBruijn dan barisan deBruijn dengan menentukan nilai maksimal (fitness) pada algoritma genetika dasar yang terdapat pada sebuah graf deBruijn yang membentuk barisan deBruijn.

1.2 Batasan Masalah

Graf yang digunakan dalam penelitian ini adalah graf deBruijn dengan menggunakan proses cross-over (perkawinan silang) yang melibatkan permutasi pada posisi genotype (gen) ke 2, 3, 4 dan 5, permutasi pada posisi genotype (gen) ke 3, 4, 5 dan 6, permutasi pada posisi genotype (gen) ke 4, 5, 6 dan 7 pada graf berarah deBruijn D2,3. Graf yang digunakan adalah graf deBruijn D2,3 karena graf deBruijn menghasilkan 2 induk. Seperti jelas dikenal secara umum, perkawinan silang membutuhkan 2 induk. Fungsi fitness yang digunakan adalah

(12)

� = −2�_{. sin 3�} _dan _{� =} −�_{. sin 3�} _{, karena 2 fungsi}_fitness

tersebut menghasilkan nilai fitness yang terbaik atau terbesar.

1.3 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji tentang penggunaan graf deBruijn pada konstruksi graf Eulerian.

1.4 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penelitian ini antara lain :

1. Memperdalam pengetahuan tentang teori graf, khususnya mengenai graf deBruijn dan barisan deBruijn.

2. Menggali beberapa informasi mengenai graf Eulerian.

3. Memotivasi pembaca untuk dapat mengkaji graf deBruijn dan barisan deBruijn pada aplikasi lainnya.

(13)

III. METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dimulai pada semester ganjil tahun ajaran 2012-2013 bertempat di jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Penelitian ini ditujukan untuk mengkaji tentang penerapan graf deBruijn pada konstruksi graf Eulerian. Penggunaan graf Eulerian dapat menentukan penyelesaian masalah graf deBruijn dengan hasil yang maksimal. Penyelesaian masalah akan menggunakan beberapa langkah untuk menentukan solusi yang maksimal.

Langkah 1. Mendefinisikan graf deBruijn D2,3

Untuk mendapatkan solusi yang maksimal (terbaik), harus ditentukan semua Eulerian tour yang terdapat dalam graf deBruijn D2,3 agar tidak ada solusi yang terlewatkan.

(14)

Langkah 2. Mendefinisikan barisan deBruijn

Barisan deBruijn merupakan barisan yang dibentuk dari string berhingga dengan sifat – sifat tertentu. Barisan deBruijn didapat dengan menghimpun seluruh bitsring dari arc pada graf deBruijn yang membentuk Eulerian tour.

Langkah 3. Mendefinisikan aplikasi genetika

Mendefinisikan aplikasi genetika dapat dilakukan dengan mendefinisikan beberapa definisi penting didalam algoritma genetika, yaitu mendefinisikan genotype (gen) dan individu dari seluruh barisan deBruijn pada graf deBruijn D2,3.

Langkah 4. Melakukan cross-over pada individu 1 dan individu 2

Cross-over dilakukan dengan cara mengkombinasikan dua individu yang berbeda dengan cara menukar gen ke � pada induk 1 (individu 1) dengan gen ke � pada induk 2 (individu 2), begitu seterusnya. Pada penelitian ini digunakan proses cross-over (perkawinan silang) yang melibatkan posisi genotype (gen) ke 2, 3, 4 dan 5, posisi genotype (gen) ke 3, 4, 5 dan 6, posisi genotype (gen) ke 4, 5, 6 dan 7 untuk string biner 0 dan 1 pada graf berarah deBruijn D2,3.

Langkah 5. Mendefinisikan hasil cross-over pada individu 1 dan individu 2

Dengan dilakukannya cross-over maka akan terbentuk individu – individu baru. Mendefinisikan hasil cross-over dilakukan dengan mendefinisikan keturunan, nilai X dan nilai fitness dari individu – individu hasil cross-over.

(15)

Langkah 6. Mengamati konstruksi graf Eulerian yang terjadi

Dengan didefinisikannya hasil cross-over, maka akan didapat keturunan cross-over pada graf deBruijn D2,3. Namun, tidak semua keturunan pada cross-over merupakan penyelesaian layak. Sehingga, perlu untuk dikelompokkan antara penyelesaian layak dan penyelesaian tak layak yang dapat berguna untuk dapat melihat sifat – sifat yang terbentuk dari seluruh penyelesaian. Hasil keturunan layak didapatkan jika keturunan cross-over pada graf deBruijn D2,3 membentuk konstruksi graf Eulerian.

Langkah 7. Mendapatkan hasil keturunan terbaik

Hasil keturunan terbaik didapatkan dari nilai fitness terbaik atau terbesar yang menghasilkan keturunan layak hasil cross-over pada graf deBruijn D2,3 yang membentuk konstruksi graf Eulerian.

(16)

Berikut ini adalah diagram alir yang menjelaskan tentang tahap-tahap penelitian ini.

Mulai

Mendefinisikan graf deBruijn D2,3

Mendefinisikan barisan deBruijn pada graf deBruijn D2,3

Mendefinisikan aplikasi genetika

Melakukan cross-over (perkawinan silang) pada individu 1 dan individu 2

Mendefinisikan hasil cross-over pada individu 1 dan individu 2

Mengamati konstruksi graf Eulerian yang terjadi

Mendapatkan hasil keturunan terbaik

Selesai

(17)

II. LANDASAN TEORI

Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan Konisberg yang kemudian menghasilkan konsep graf Eulerian merupakan awal dari lahirnya teori graf. Euler mengilustrasikan permasalahan tersebut dalam bentuk sketsa titik dan garis yang masing – masing merupakan representasi dari daratan dan jembatan, dimana daratan dinyatakan dengan titik atau vertex dan jembatan dinyatakan dengan garis atau edge. Ilustrasi dari Euler ini melahirkan suatu konsep yang disebut dengan graf. Berdasarkan ilustrasi yang dilakukan oleh Euler jadi, graf merupakan kumpulan objek berhingga dari titik dan garis, dimana titik – titik tersebut dapat terhubung ataupun tidak, dihubungkan oleh garis yang berarah maupun tidak berarah, dan dapat pula terhubung dengan dirinya sendiri.

Menurut Deo (1989), suatu graf G = (V,E) terdiri dari himpunan objek V = { , ₂, … } yang disebut vertex (titik) yang tidak kosong, dan himpunan lain

E = { , ₂, … } yang unsur-unsurnya disebut edge (garis) yang boleh kosong, sehingga setiap edge diidentifikasikan sebagai pasangan bukan berurutan ( , ) dari vertex. Representasi paling umum dari graf adalah dengan cara diagram, di mana vertex direpresentasikan sebagai titik dan setiap edge sebagai garis yang menghubungkan vertex. Graf yang terhubung dengan edge berarah

(18)

disebut dengan directed graph atau graf berarah, sedangkan graf yang terhubung dengan edge tanpa arah disebut dengan undirected graph atau graf tidak berarah.

Lipschutz and Lipson (2002) mengatakan suatu graf berarah (digraph) G terdiri dari sebuah himpunan V(G) yang elemen – elemennya disebut titik (vertex) dan suatu koleksi E(G) dari pasangan – pasangan vertex terurut yang disebut garis (edge) berarah (arc). Graf berarah G dikatakan berhingga jika himpunan V dari vertex – vertex berhingga. Contoh graf berarah dapat dilihat pada Gambar 2.1.

Gambar 2.1. contoh graf berarah (digraph).

Setiap vertex pada graf dapat dihubungkan ke setiap vertex lainnya atau tidak dihubungkan sama sekali. Karena itu, masing – masing vertex akan mempunyai sejumlah edge tertentu yang menempel pada vertex tersebut. Definisi berikut adalah definisi tentang degree.

(19)

Definisi 2.1 Degree

Derajat (degree) adalah jumlah edge yang menempel pada suatu vertex vi, dengan

loop dihitung dua kali dan ditulis dengan d(vi) (Deo, 1989) .

Degree pada graf berarah (digraph) memiliki perbedaan dengan degree pada graf tidak berarah. Definisi berikut adalah tentang Degree pada graf berarah (digraph).

Definisi 2.2 Derajat Keluar (outdeg) dan Derajat Masuk (indeg)

Suatu edge berarah = , dikatakan mulai pada titik awal u dan berakhir dititik akhir v. Derajat keluar dari v, ditulis dengan outdeg(v) adalah jumlah edge yang keluar dari v, dan derajat masuk dari v, ditulis dengan indeg (v) adalah jumlah edge yang menuju v. Pada Gambar 2.1 indeg (R) adalah 1 dan outdeg (R) adalah 1 (Lipschutz and Lipson, 2002).

Pada pernyataan sebelumnya, vertex - vertex suatu graf dapat terhubung ataupun tidak terhubung. Definisi berikut adalah tentang keterhubungan vertex oleh suatu edge pada suatu graf.

Definisi 2.3 Bertetangga (Adjacent) dan Menempel (Incidence)

Vertex vi dan edge ej dikatakan incident dengan satu sama lain jika vertex vi adalah

suatu vertex ujung dari edge ej. Dua edge yang tidak paralel dikatakan adjacent

jika kedua edges tersebut incident pada satu vertex dan dua vertex dikatakan adjacent jika kedua vertex tersebut adalah vertex akhir dari edge yang sama. Isolated vertex merupakan vertex yang tidak terhubung dengan vertex lainnya pada suatu graf dan mempunyai degree bernilai 0 (Deo, 1989).

(20)

Dengan adanya adjacent dan incidence, maka suatu graf dapat membentuk pola dari himpunan adjacent dan incidence. Terdapat beberapa istilah dalam teori, antara lain walk, trail, path dan cycle. Definisi dari walk dan trail diberikan sebagai berikut.

Definisi 2.4 Walk dan Trail

Walk adalah barisan berhingga dari titik (vertex) dan garis (edge), dimulai dan diakhiri dengan vertex, sedemikian sehingga setiap edge menempel dengan vertex sebelum dan sesudahnya. Walk yang berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut walk tertutup (Deo, 1989).

Gambar 2.2. Contoh walk pada suatu graf.

Garis yang tebal pada Gambar 2.2 merupakan salah satu walk yaitu � 2 ℎ 2. Sedangkan trail adalah suatu walk yang melewati garis (edge) yang berbeda. Pada Gambar 2.2 salah satu trailnya adalah

(21)

Selain terbentuk karena pola dari himpunan adjacent dan incidence, trail yang terdapat pada digraph dapat membentuk Eulerian digraph. Definisi berikut adalah tentang Eulerian digraph.

Definisi 2.5 Eulerian Digraph

Graf berarah terhubung D adalah Eulerian jika terdapat trail tertutup yang semua arcnya ada di D (Wilson and Watkins, 1990).

Berikut ini adalah Teorema yang menghubungkan antara Graf Eulerian dengan derajat suatu vertex.

Teorema 1 (Wilson and Watkins, 1990)

Graf berarah G adalah graf berarah Eulerian jika dan hanya jika G terhubung dan derajat masuk sama dengan derajat keluar pada setiap vertexnya.

Bukti :

⇒ Akan ditunjukkan Jika G Eulerian, maka setiap vertex dalam G memiliki derajat masuk yang sama dengan derajat keluar.

Misalkan G graf berarah Eulerian.

Dari Definisi 2.5 jelas bahwa G terhubung.

Ambil walk berarah tertutup � = � … ��− � dengan = _�. Hapus semua derajat masuk dan derajat keluar dari setiap vertex di �. Akibatnya, semua arc akan terhapus juga, sehingga diperoleh :

�� = =

(22)

⇐ Akan ditunjukkan Jika setiap vertex dalam G memiliki derajat masuk yang sama dengan derajat keluar, maka G adalah Eulerian.

Misalkan G terhubung, dengan derajat masuk sama dengan derajat keluar pada setiap vertex.

Jika G memiliki satu vertex, jelas G Eulerian.

Oleh karena itu, diasumsikan G memiliki vertex lebih dari satu.

Misalkan ₂… _� barisan vertex pada suatu walk berarah di G yang terpanjang. Setiap vertex memiliki derajat masuk dan derajat keluar yang sama kecuali di dan _�.

Andaikan ≠ _� maka �� ≠ _�

Hal ini menimbulkan kontradiksi. Akibatnya = _�.

Akan ditunjukkan bahwa walk berarah tertutup � di G memuat semua arc di G. Andaikan tidak, maka akan terdapat walk berarah lain �₂ yang bukan walk berarah terpanjang ₂… _�.

Karena G terhubung maka akan terdapat arc � dari �₂ yang incident dengan salah satu vertex di �, misalkan dengan � = , , … , �.

Jika sebagai vertex awal dari �, walk berarah terpanjang dimulai dari ke ditambah dengan arc �. Hal ini kontradiksi dengan � yang merupakan walk berarah tertutup.

Jika sebagai vertex akhir dari �, walk berarah terpanjang dimulai dari arc � ditambah dengan ke . Hal ini kontradiksi dengan � yang merupakan walk berarah tertutup.

Dari penjelasan sebelumnya, terlihat bahwa jika dihapus maka arc yang incident dengannya juga terhapus.

(23)

Akibatnya, � bukan lagi walk berarah terpanjang. Dengan demikian � merupakan walk berarah tertutup yang memuat setiap arc D tepat satu kali. Jadi, G merupakan graf berarah Eulerian. ■

Eulerian yang tertutup disebut Eulerian tour (Misra, 2001).

Terdapat beberapa jenis graf, antara lain graf lengkap, graf sederhana, reguler, graf bipartite, graf terhubung, dan graf deBruijn. Graf deBruijn merupakan contoh dari Eulerian tour. Definisi dari graf deBruijn diberikan sebagai berikut.

Definisi 2.6 Graf DeBruijn

Graf deBruijn adalah suatu graf berarah �_�,�, � ≥ , � ≥ yang dibentuk dari setiap bilangan bulat positif � dan �, yang berisi ��− vertex yang diberi label dengan bitstring panjangnya � − , dan �� arc yang diberi label dengan bitstring panjangnya �. Arc dari vertex = ₂… _�− ke vertex ₂ = ₂ … _� diberi label vertex = ₂… _� (Gross dan Yellen, 1999).

Contoh salah satu graf deBruijn dapat dilihat pada Gambar 2.3.

(24)

Dari Gambar 2.3, dapat dilihat bahwa sesuai dengan Definisi 2.6 bahwa graf deBruijn �_2,2 memiliki � = , � = yang berisi 2− = vertex yang diberi label dengan bitstring yang panjangnya − = , dan 2 = arc yang diberi label dengan bitstring panjangnya . Arc dari vertex = ke vertex ₂ = diberi label vertex = , dan seterusnya.

Eulerian tour adalah dasar yang digunakan untuk mengembangkan graf deBruijn menjadi sebuah barisan deBruijn. Secara singkat, barisan deBruijn merupakan bagian dari graf deBruijn yang membentuk Eulerian tour.

Definisi 2.7 Barisan DeBruijn

Barisan deBruijn merupakan barisan yang dibentuk dari string berhingga dengan sifat – sifat tertentu, sedangkan string adalah barisan berhingga (finite) simbol – simbol. Sebagai contoh, jika �, , dan adalah tiga buah simbol maka � adalah sebuah string yang dibangun dari ketiga simbol tersebut. Substring dari string adalah string yang dihasilkan dari string dengan menghilangkan nol atau lebih simbol – simbol paling depan dan atau simbol – simbol paling belakang dari string tersebut.

Suatu string dengan panjang � disebut barisan deBruijn , � jika setiap string dengan panjang � hadir tepat satu kali sebagai substring dari �. Contoh string yang dibentuk dari alfabet berukuran 2 yaitu { , } adalah barisan deBruijn , � . Untuk kasus � = , ,3, barisan deBruijnnya sebagai berikut : 01, 0110, 01110100, 0000100110101111 (Gross dan Yellen, 2006).

(25)

Proses pembentukan barisan deBruijn adalah sebagai berikut :

Misalkan suatu Eulerian Tour dalam sebuah graf deBruijn terbentuk oleh beberapa Arc (Edge berarah) yaitu (abc, bcd, cde, def, efg, fgh). Maka, barisan deBruijnnya adalah abcdefgh (Gross dan Yellen, 2006).

Graf deBruijn banyak digunakan untuk menyelesaikan beberapa masalah dalam kehidupan nyata dengan menggunakan beberapa aplikasi. Salah satu aplikasi yang biasa digunakan adalah aplikasi genetika (genetics application) untuk memecahkan masalah seperti kemacetan dan berbagai masalah genetika lainnya. Algoritma genetika merupakan suatu bagian dari aplikasi genetika yang paling sering digunakan untuk menyelesaikan masalah genetics application.

Definisi 2.8 Algoritma Genetika

Algoritma genetika adalah algoritma yang dikembangkan dari proses pencarian solusi menggunakan pencarian acak, ini terlihat pada proses pembangkitan populasi awal yang menyatakan sekumpulan solusi yang dipilih secara acak (Goldberg, 1989).

Algoritma genetika memiliki beberapa istilah penting yang tidak dapat dipisahkan dari aplikasi genetika. Beberapa istilah tersebut adalah genotype, kromosom, populasi, nilai fitness dan individu.

(26)

Definisi 2.9 Genotype (gen), Kromosom, Populasi, Nilai Fitness, Individu Genotype (gen) adalah suatu nilai yang menyatakan satuan dasar yang membentuk suatu arti tertentu dalam satu kesatuan gen yang dinamakan kromosom. Kromosom adalah gabungan gen – gen yang membentuk nilai tertentu.

Populasi merupakan sekumpulan individu dengan ciri-ciri yang sama (spesies) yang hidup menempati ruang yang sama pada waktu tertentu (Goldberg, 1989). Nilai Fitness menyatakan seberapa baik nilai dari suatu individu atau solusi yang didapatkan. Individu menyatakan satu nilai atau keadaan yang menyatakan salah satu solusi yang mungkin dari permasalahan yang diangkat. Individu dinyatakan dalam 8 gen biner dengan batas 0 sampai dengan 1, yang berarti 1 bit setara dengan −8 yang disebut dengan nilai X. Sebagai contoh 10001001 = (128+8+1)/256 = 0.5352 (Goldberg, 1989). Aplikasi genetika bertujuan untuk mencari nilai fitness terbaik dari suatu populasi. Nilai fitness didapatkan dengan menggunakan fungsi fitness.

Definisi 2.10 Fungsi Fitness

Fungsi fitness adalah fungsi yang digunakan untuk mencari suatu nilai fitness. Fungsi fitness mempunyai daerah penyelesaian lebih besar dari nol > dan lebih kecil dari satu < untuk daerah asal yang lebih besar dari nol > dan lebih kecil dari satu < , serta daerah penyelesaian lebih besar dari satu > atau lebih kecil dari nol < untuk daerah asal yang lainnya. Jika kita misalkan fungsi fitness sebagai � , maka dalam bahasa matematika dapat dituliskan sebagai berikut :

(27)

Beberapa contoh fungsi - fungsi fitness yaitu � = −2�cos 3� , � = −�_{cos 3�} _, _{� =} −�_{cos �} _.

Untuk mendapatkan nilai fitness terbaik dari suatu populasi, maka digunakan pengkombinasian individu. Pengkombinasian individu yang paling sering digunakan adalah cross-over (perkawinan silang).

Definisi 2.11 Cross-Over (Perkawinan Silang)

Cross-over (perkawinan silang) merupakan proses mengkombinasikan dua

individu untuk memperoleh individu – individu baru yang diharapkan mempunyai fitness yang lebih baik. Sebagai contoh cross-over (perkawinan silang) adalah sebagai berikut:

Misalkan kita ambil sebarang induk yaitu Induk 1: 0 0 1 1 1 0 0 1 dan induk 2: 1 0 0 1 1 0 1 0, maka hasil dari cross-over (perkawinan silang) adalah anak 1: 0 0 1 1 1 0 1 1 dan anak 2: 1 0 0 1 1 0 0 0.

(28)

MOTTO

Kebaikan tidak bernilai ketika diucapkan, akan tetapi

bernilai ketika telah dikerjakan

“...

Orang yang hebat tidak dihasilkan melalui kemudahan,

kesenangan dan kenyamanan.

Mereka dibentuk melalui kesukaran, tantangan dan airmata

...”

(29)