Graik Fungsi Kuadrat FUNGSI KUADRAT a. Menemukan Konsep Fungsi Kuadrat

32 Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Perhatikan fungsi kuadrat WA si kuadrat y = fx =  4 20 x 2 , x  R, x  0, yan mengalir dari pipa. Besarnya debit air yang menga 1 2 3 4 = fx 0 3,51 14,04 31,6 56,17  20         20 0 1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 70 y =  20   yang menyatakan debit air yang mengalir dari pipa. Debit air yang mengalir dari pipa bergantung pada diameter x pipa. Jika x = 0, maka debit air adalah y = fx = f0 = 0. Untuk beberapa nilai x diberikan, diperoleh nilai y = fx seperti disajikan dalam tabel berikut. x 1 2 3 4 y = fx 3,51 14,04 31,6 56,17 Grafik persamaan fungsi kuadrat WA    si kuadrat y = fx =  4 20 x 2 , x  R, x  0 dapa    20    20 0 1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 70 y  20 x 2 , x  R  dapat digambarkan sebagai berikut. Gambar 7.12 Graik Fungsi Dengan mencerminkan grafik persamaan fungsi kuadrat WA si kuadrat y = fx =  4 20 x 2 , x   mengalir dari pipa. Besarnya debit air 1 2 3 4 = fx 0 3,51 14,04 31,6 56,17  20         20 0 1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 70 y y = fx    x ∈R, x ≥ 0 terhadap sumbu-y, maka diperoleh sebuah parabola berikut. 10 -1 1 2 3 4 5 6 -2 -3 -4 -5 -6 20 30 40 50 60 70 D D y C C B B A A WA 256   20    20     –   20   20   20 fx =  4 20 x 2 , x  R 1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 70 y x -2 -1 A B C D D ’ C ’ B ’ A ’ → x Gambar 7.13 Graik Fungsi f x WA    t = fx =  4 20 x 2 , x  R, x        20 0 1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 70 y =  20   33 Matematika Ciri-ciri fungsi kuadrat WA  si kuadrat y = fx =  4 20 x 2 , x  R dan p   20     –   20   20   yang berupa parabola di atas adalah sebagai berikut. • Koeisien x 2 adalah WA     fisien adalah a =  4 20  buka ke atas    –        • Kurva terbuka ke atas • Memiliki titik puncak titik balik minimum di titik O 0, 0 • Memiliki sumbu simetri yang membagi dua kurva sama besar, yaitu garis x = 0 dan nilai minimum y = f0 = 0 • Nilai diskriminan, D = b 2 – 4ac = 0 • Kurva menyinggung sumbu x di titik O0, 0 • Cerminkan grafik fungsi kuadrat WA  si kuadrat y = fx =  4 20 x 2 , x  R dan p   20     –   20   20     ’ ’ ’ ’ terhadap sumbu-x dan selidiki sifat-sifat graik fungsi kuadrat yang ditemukan. Kita cerminkan grafik fungsi kuadrat WA  si kuadrat y = fx =  4 20 x 2 , x  R dan p   20     –   20   20     ’ ’ ’ ’ terhadap sumbu-x atau garis y = 0. Dengan mengingat kembali sifat-sifat pencerminan bahwa arah benda dengan bayangannya selalu berlawanan arah. Sehingga nilai fungsi kuadrat y = fx = PEGANGAN SI , 4 20 2 x      x  R beruba perubahan fungsinya da             –  - ’ ’ ’ ’     berubah dari bernilai positif menjadi negatif. Perubahan tersebut diikuti perubahan fungsinya dari y = fx = PEGANGAN SI         = x =  4 20 x 2 ,   Beberapa pertanyaan ar  20      20       20  . x 2 , x ∈ R menjadi WA 258        20  menjadi y = fx = -  4 20 x 2 , x  si kuadrat y = fx setelah dicerminkan  20    20     –  1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 70 y x 3 -2 -1 A B C D D ’ C ’ B ’ A ’  20   20  R . Secara lengkap bayangan graik persamaan fungsi kuadrat y = fx setelah dicerminkan terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut. 34 Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Gambar 7.14 Graik Fungsi x dan graik pencerminan fx Ciri-ciri fungsi kuadrat WA 258        20  menjadi y = fx = -  4 20 x 2 , x  si kuadrat y = fx setelah dicerminkan  20    20     –  1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 70 y x 3 -2 -1 A B C D D ’ C ’ B ’ A ’  20   20  R dan parabola hasil pencer- minan terhadap sumbu-x Gambar-7.14 adalah sebagai berikut. • Koeisien x 2 adalah a = – WA             dalah a = -  4 20  ke bawah    –  ’ ’ ’ ’     • Kurva terbuka ke bawah • Memiliki titik puncak titik balik maksimum di titik O 0, 0 • Memiliki sumbu simetri yang membagi dua kurva sama besar, yaitu garis y = 0 dan nilai minimum f0 = 0 • Nilai diskriminan, D = b 2 – 4ac = 0 • Kurva menyinggung sumbu x di titik O0, 0 Apa kesimpulan dari hasil pencerminan tersebut? Kesimpulan Misalkan gx = ax 2 , x ∈ R. Jika graik g dicerminkan terhadap sumbu-x maka diperoleh gx = -ax 2 , x ∈ R dengan sumbu simetri adalah sumbu-y dan memiliki titik puncak O 0, 0. 35 Matematika Untuk memecahkan masalah di atas, cermati beberapa graik fungsi kuadrat yang telah digambar sebelumnya dan beberapa pertanyaan berikut: 1 Apa yang dimaksud dengan graik fungsi kuadrat? 2 Apa yang dimaksud dengan persamaan garis sumbu simetri graik fungsi kuadrat? 3 Apa yang dimaksud dengan titik puncak graik fungsi kuadrat? 4 Bagaimana menemukan aturan penentuan persamaan garis simetri dan titik puncak graik fungsi kuadrat? 5 Apa yang dimaksud dengan transformasi geser? 6 Apa kaitan transformasi geser dan sifat-sifatnya untuk memperoleh sebarang graik fungsi kuadrat dari graik fungsi kuadrat gx = ax 2 , x ∈ R, dan a ≠ 0? 7 Temukan arah pergeseran graik fungsi kuadrat gx = ax 2 , x ∈ R untuk mend apatkan graik fungsi WA mukan arah pergeseran grafik fungsi kuadr  fik fungsi                      a D a b x g x f 4 2 dan s ifat-sifat apa saja yang kamu simpulkan da                      D ≠ 0 berkaitan ≠ 0. ≠ 0  b c ≠ 0  b b ≠ 0  b  ≠ 0  b b  ≠ 0  b   ≠ 0   b  D  ≠ 0   fx =   dan syarat-syarat yang diperlukan 8 Sifat-sifat apa saja yang kamu simpulkan dari graik fungsi kuadrat N SISWA                       8 Sifat-sifat apa saja yang ka                      a D a b x a x f 4 2 2 , deng ≠ 0 berkaitan dengan nilai koefisien a dan titik punc ≠ 0. ≠ 0  ≠ 0  ≠ 0   ≠ 0   ≠ 0    ≠ 0   b  D  ≠ 0     dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 berkaitan dengan nilai koeisien a dan titik puncak graik fungsi? 9 Dapatkah kamu memberi beberapa kemungkinan gambaran graik fungsi kuadrat terkait nilai koeisien a, nilai diskriminan, titik potong terhadap sumbu-x, nilai fungsinya. Masalah-7.8 Diberikan fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. a. Temukan persamaan garis simetri sumbu simetri dan titik puncak graik fungsi kuadrat tersebut. b. Temukan graik fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 dari graik fungsi kuadrat gx = ax 2 , x ∈ R, a ≠ 0. c. Temukan titik potong graik dengan sumbu x dan sumbu y. d. Temukan sifat-sifat graik fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 terkait nilai koeisien a dan titik puncak parabola. 36 Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Berdasarkan Deinisi 7.2, rumus umum fungsi kuadrat adalah fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. fx , a ≠ 0 Graik fungsi fx = gx – WA = x - 2 a b  + a D 4  ada  b   b   ≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat   b       ≠ 0. Misal – + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan riel dan a ≠ 0, b  b  D  adalah graik fungsi kuadrat gx = ax 2 , x ∈ R yang digeser sejauh satuan kearah Sumbu-x dan digeser sejauh satuan ke arah Sumbu-y. Sifat-4 Graik fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0, memiliki a. Persamaan sumbu simetri x = dan b. Titik puncak , . 2 4 − − b D P a a 37 Matematika Dari beberapa sajian graik fungsi kuadrat sebelumnya turunkan sifat-sifat graik fungsi kuadrat dan sajikan beberapa kemungkinan kondisi graik tersebut terkait dengan koeisien x 2 , nilai diskriminan dan nilai fungsi tersebut. Dari fungsi kuadrat WA  erkait dengan koefisien x , nilai diskriminan da si kuadrat fx = ax - 2 a b  2 + a D 4  , denga ≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat.   b  D    b  D  ≠ 0. Misal –   dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat. Sifat-5 Jika a 0, maka graik fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, dan c bilangan real a ≠ 0 terbuka ke atas dan memiliki titik balik minimum WA    ≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat   k minimum P a b 2  , a D 4  .   b  D  ≠ 0. Misal –    Sifat-6 Jika a 0, maka graik fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, dan c bilangan real a ≠ 0 terbuka ke bawah dan memiliki titik puncak maksimum , . 2 4 − − b D P a a Sifat-7 Diberikan fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0, misalkan D = b 2 – 4ac D adalah diskriminan a. Jika D 0, maka graik y = fx memotong sumbu-x di dua titik berbeda b. Jika D = 0, maka graik y = fx menyinggung sumbu-x di satu titik c. Jika D 0, maka graik y = fx tidak memotong sumbu-x Pada gambar berikut diperlihatkan berbagai kemungkinan letak parabola terhadap sumbu-x y = fx x ∈ R y = fx x ∈ R y y Graik tidak memotong Sb-x, a 0, D 0, dan fx 0, A x ∈R Graik menyinggung Sb-x, a 0, D = 0, dan fx ≥ 0, A x ∈R x x x 1 = x 2 38 Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi y = fx x ∈ R y Graik memotong Sb-x, pada titik, a 0, D 0, dan fx 1 = fx 2 = 0 x x 1 x 2 y = fx x ∈ R y Graik menyinggung Sb-x, pada dua titik, a 0, D 0, dan fx 1 = fx 2 = 0 x x 1 x 2 y = fx x ∈ R y Graik tidak memotong Sb-x, a 0, D 0, dan fx 0, A x ∈D f x y = fx x ∈ R y Graik menyinggung Sb-x pada dua titik, a 0, D = 0, dan fx ≤ 0, A x ∈D f x x 1

c. Hubungan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

Kita cermati konsep persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat sebagai berikut. • Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan aljabar yang dinyatakan dalam bentuk ax 2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. • Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. Latihan 7.5 Berdasarkan kedua konsep di atas, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut 1. Apakah sebuah persamaan kuadrat dapat diperoleh dari sebuah fungsi kuadrat? 2. Jika disubtitusikan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 ke dalam persamaan fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c apa yang kamu dapatkan 3. Dapatkah persamaan fungsi kuadrat dipandang sebuah persamaan kuadrat? Jelaskan. 4. Apa perbedaan konsep fungsi dengan konsep persamaan? 39 Matematika Projek Rancanglah masalah nyata yang melibatkan graik fungsi kuadrat pada bidang teknik bangunan dan isika. Buatlah pemecahan masalah tersebut dengan menerapkan berbagai sifat graik fungsi kuadrat yang telah kamu pelajari. Buat laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas. Sifat-8 Untuk setiap nilai sebuah fungsi kuadrat diperoleh sebuah persamaan kuadrat. 1. Sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum -3 pada saat x = 2, sedangkan untuk x = - 2 fungsi bernilai -11. Tentukan rumus fungsi kuadrat tersebut 2. Tentukan luas minimum segi empat EFGH di bawah ini 3. Gambarlah graik fungsi kuadrat fx = 4x 2 – 8x + 3 dari graik fungsi kuadrat gx = 4x 2 Uji Kompetensi 7.4 4. Persegi ABCD dengan panjang sisinya a cm. Titik E terletak pada sisi AB dengan panjang AE adalah x cm. Diantara sisi BC terdapat titik F dengan panjang BF = AE. Panjang EB = FC. Tentukan luas minimum DEF 5. Daerah asal fungsi kuadrat fx = -2x 2 + 4x + 3 adalah himpunan A = {x |-2 ≤ x ≤ 3, x ∈ R} . Tentukan daerah hasil fungsi f 6. Gambarkan graik fungsi kuadrat di bawah ini.untuk setiap x bilangan real a. fx = 3x 2 +5x-4, x ∈ R. b. fx =-2x 2 –3x+7, x ∈ R.