Masalah Pendistribusian Barang menggunakan Pemrograman Linear Integer
MASALAH PENDISTRIBUSIAN BARANG MENGGUNAKAN
PEMROGRAMAN LINEAR INTEGER
ANGGUN ARYANTI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Masalah Pendistribusian
Barang menggunakan Pemrograman Linear Integer adalah benar karya saya dengan
arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Maret 2014
Anggun Aryanti
NIM G54080034
ABSTRAK
ANGGUN ARYANTI. Masalah Pendistribusian Barang Menggunakan
Pemrograman Linear Integer. Dibimbing oleh PRAPTO TRI SUPRIYO dan
FARIDA HANUM.
Salah satu hal penting dalam pendistribusian barang adalah penentuan
skenario pendistribusian barang yang meminimumkan total waktu perjalanan dari
perusahaan ke distributor-distributor. Permasalahan ini dapat dimodelkan sebagai
suatu Pemrograman Linear Integer (PLI). Model ini diimplementasikan untuk
kasus pengiriman produk berupa manisan kepada lima distributor dalam 12 periode
pengiriman dengan kendala antara lain adalah banyaknya persediaan barang di
distributor, penggunaan barang yang tidak melebihi persediaan, kapasitas
penyimpanan barang di distributor, masa kadaluarsa barang, dan durasi maksimum
tiap periode pengiriman. Perusahaan akan melakukan pengiriman barang kepada
setiap distributor untuk memenuhi kebutuhan konsumen melalui rute yang sudah
ditetapkan urutannya. Dengan model ini dihasilkan perjalanan yang terjadi dari
perusahaan ke distributor-distributor hingga kembali ke perusahaan dalam tiap
periode pengiriman beserta banyaknya barang yang dikirimkan ke setiap
distributor.
Kata kunci: meminimumkan waktu perjalanan, pemrograman linear integer,
pendistribusian barang
ABSTRACT
ANGGUN ARYANTI. The Problem of Product Distribution using Integer Linear
Programming. Supervised by PRAPTO TRI SUPRIYO and FARIDA HANUM.
One of the important things in determining the distribution of products is
searching distribution scenario that minimizes the total travel time from the depot
to distributors, where the problem can be modeled as an Integer Linear
Programming (ILP). In this work, we implemented the model to a candy company,
where we had to deliver products to 5 distributors within 12 periods. Constraints
should be considered are distributor inventory level, warehouse capacity, demandsupply balance, expiration date of product, and the maximum duration of each
period of delivery. We here assumed that the delivery process to distributors is
conducted through a predetermined order. The output of this model includes the
retour trip between depot and distributors as well as the delivered amount of
products in each period.
Key words: distribution of products, integer linear programming, minimize time
traveling
MASALAH PENDISTRIBUSIAN BARANG MENGGUNAKAN
PEMROGRAMAN LINEAR INTEGER
ANGGUN ARYANTI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Masalah Pendistribusian Barang menggunakan Pemrograman
Linear Integer
Nama
: Anggun Aryanti
NIM
: G54080034
Disetujui oleh
Drs Prapto Tri Supriyo, MKom
Pembimbing I
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
Judul Skripsi: Masalah Pendistribusian Barang menggunakan Pemrograman
Linear Integer
: Anggun Aryanti
Nama
: G54080034
NIM
Disetujui oleh
::'v
1
Drs Prapto Tri Supriyo, MKom
Pembimbing I
.
..,
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II
. ....
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
'2B MAR 2(J14
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga penelitian dengan judul Masalah Pendistribusian
Barang menggunakan Pemrograman Linear Integer dapat diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Drs Prapto Tri Supriyo, MKom
dan Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku pembimbing, serta Bapak Muhammad Ilyas,
MSi MSc yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga
disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih
sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Maret 2014
Anggun Aryanti
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian
1
1
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
MASALAH PENDISTRIBUSIAN BARANG
Deskripsi Masalah
Formulasi Masalah
3
3
3
IMPLEMENTASI MODEL
5
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Saran
11
11
11
DAFTAR PUSTAKA
12
LAMPIRAN
12
RIWAYAT HIDUP
25
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
Kuantitas barang yang dibutuhkan distributor
Waktu tempuh yang dibutuhkan ( ) pada setiap periode (t)
Kuantitas barang yang dikirim perusahaan kepada setiap distributor
Banyaknya persediaan barang di distributor
Penyaluran barang yang terjadi pada proses pendistribusian barang
6
6
9
9
9
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Sistem distribusi barang merupakan salah satu pendukung utama setelah
proses produksi. Hasil produksi atau produk dikirimkan kepada konsumen untuk
dipasarkan dengan tujuan memudahkan pemasaran produk. Tidak adanya kontrol
terhadap pendistribusian barang dapat menyebabkan kerugian bagi perusahaan.
Distribusi akan melibatkan pergerakan dan penyimpanan produk dari perusahaan
ke konsumen dengan pertambahan nilai dari produk (Tersine 1994).
Salah satu aspek yang dapat memengaruhi keberhasilan suatu perusahaan
dalam bertahan dan bersaing adalah proses sistem distribusi. Pendistribusian ini
mempunyai tujuan menyalurkan produk yang dihasilkan perusahaan untuk dapat
dinikmati oleh para konsumen. Konsumen-konsumen yang tersebar secara tidak
tertata menyebabkan perusahaan sulit untuk mendistribusikan produknya sehingga
perusahaan menempatkan produknya di berbagai lokasi yang mendekati konsumen.
Dalam melakukan pendistribusian barang menuju pihak distributor, sebuah
kendaraan pendistribusi barang tidak hanya melayani satu distributor saja, namun
harus melayani beberapa distributor sekaligus. Wilayah-wilayah distributor yang
berbeda menyebabkan suatu kendaraan pendistribusi barang harus menentukan rute
perjalanan yang akan dilaluinya sebelum melakukan perjalanan pendistribusian
barang. Penentuan rute yang akan diambil harus sesuai dengan jarak terbaik antara
distributor satu dengan distributor yang lainnya agar waktu tempuh minimum.
Selain rute, lamanya waktu tempuh, dan masa kadaluarsa barang juga harus
diperhatikan. Tiga hal tersebut menjadi sangat penting, karena pendistribusian
barang yang tidak tertata dengan baik akan memengaruhi harga produk. Naiknya
harga jual produk dapat menurunkan minat dan daya beli konsumen terhadap
produk tersebut. Menurunnya tingkat penjualan produk pada akhirnya dapat
mengancam kelangsungan hidup usaha dari sebuah perusahaan.
Tujuan Penelitian
Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah memodelkan masalah rute
pendistribusian barang ke distributor sehingga total waktu perjalanan minimum
menggunakan Pemrograman Linear Integer (PLI) dan menyelesaikannya dengan
LINGO 11.0. Dalam karya ilmiah ini akan diformulasikan masalah pendistribusian
barang ke dalam integer programming yang dimodifikasi dari model dalam artikel
yang berjudul Delivery Strategies for Blood Products Supplies ditulis oleh Vera
Hemmelmayr, Karl F. Doerner, Richard F. Hartl dan Martin W. P. Savelsbergh
tahun 2009.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Permasalahan pendistribusian barang dari suatu perusahaan ke para
konsumen dapat diformulasikan sebagai suatu Vehicle Routing Problem (VRP).
Dengan VRP dapat diperoleh suatu rute dengan jarak atau total biaya
pendistribusian yang seminimum mungkin. Rute tersebut merupakan rute
kendaraan yang mengunjungi setiap pelanggan tepat satu kali dengan
mempertimbangkan kendala-kendala yang ada.
Lebih dari 40 tahun yang lalu Dantzig dan Ramser memperkenalkan masalah
yang terjadi pada tahun 1959. Mereka menggambarkan sebuah aplikasi dunia nyata
mengenai pengiriman bensin untuk pusat pelayanan dan mengusulkan formulasi
pemrograman matematika yang pertama dan pendekatan algoritmik. Beberapa
tahun kemudian, pada tahun 1964 Clarke dan Wright mengusulkan heuristik greedy
efektif, peningkatan dari pendekatan Dantzig-Ramser. Setelah dua makalah ini,
ratusan model dan algoritme diusulkan untuk solusi optimal dan perkiraan versi
yang berbeda dari VRP. Puluhan paket untuk solusi dari berbagai VRP dunia nyata
kini tersedia. Contoh VRP terbesar yang dapat diselesaikan secara konsisten dengan
algoritma yang tepat dan paling efektif sejauh ini hanya untuk sekitar 50 pelanggan,
sedangkan contoh yang lebih besar dapat diselesaikan secara optimal hanya pada
kasus tertentu (Toth dan Vigo 2002).
Selain VRP masalah pendistribusian barang juga dapat diformulasikan
menggunakan Multi Periode Single Sourcing Problem (MPSSP). MPSSP adalah
masalah menemukan penempatan yang tepat, dari waktu ke waktu, dari pelanggan
ke gudang sehingga setiap pelanggan dihubungkan dengan tepat satu gudang di
setiap periode, sesuai dengan keterbatasan kapasitas, sehingga total biaya
transportasi dan persediaan diminimalkan (Romeijn dan Morales 1998).
MPSSP merupakan bagian dari masalah rantai suplai. Dalam MPSSP setiap
titik permintaan dipenuhi oleh tepat satu sumber dengan memperhatikan
kapasitasnya. Jaringan distribusi dianggap terdiri dari seperangkat fasilitas produksi
dan penyimpanan, dan satu set pelanggan yang tidak mempunyai persediaan.
Dengan memperhatikan kapasitas produksi, permintaan setiap pelanggan harus
dihubungkan dengan fasilitas tunggal dalam setiap periode. Hal ini berhubungan
dengan penempatan pelanggan untuk fasilitas, lokasi, waktu, dan ukuran persediaan
(Romeijn dan Morales 1998).
Diasumsikan bahwa setiap pabrik telah memiliki kapasitas yang telah
diketahui dan terbatas dalam waktu yang berbeda-beda. Diasumsikan pula bahwa
setiap gudang yang terhubung memiliki kapasitas dan penyaluran yang tidak
terbatas. Dengan kata lain, diasumsikan bahwa kapasitas gudang cukup untuk
mampu menyimpan akumulasi produksi dari pabrik-pabrik yang terhubung, bahkan
jika pabrik memproduksi kapasitas penuh dalam setiap periode. Kapasitas
penyaluran dari gudang juga cukup besar untuk mampu memenuhi berbagai
kombinasi permintaan pelanggan yang dihubungkan dengan gudang tersebut. Jadi,
setiap pelanggan perlu untuk ditempatkan ke fasilitas tertentu pada setiap periode
(Romeijn dan Morales 1998).
3
MASALAH PENDISTRIBUSIAN BARANG
Deskripsi Masalah
Masalah pendistribusian barang yang dimaksud dalam karya ilmiah ini adalah
masalah penentuan rute kendaraan dalam melakukan pengiriman barang dari
perusahaan ke beberapa distributor hingga kembali ke perusahaan awal untuk
meminimumkan total waktu perjalanan sehingga kendala-kendala yang terkait
terpenuhi. Dalam meminimumkan waktu perjalanan, hal yang harus
dipertimbangkan adalah masa kadaluarsa produk dan lamanya waktu perjalanan
dari perusahaan ke beberapa distributor hingga kembali ke perusahaan.
Banyaknya barang yang disimpan tidak boleh melampaui kapasitas
penyimpanan distributor, dan barang yang disimpan itu selanjutnya akan
dikirimkan kembali oleh distributor kepada konsumen pada periode selanjutnya
selama tidak melewati masa kadaluarsa barang. Dalam setiap periode pengiriman
barang perusahaan akan mengirimkan barang kepada distributor yang
membutuhkan barang, jika suatu distributor tidak membutuhkan barang maka
perusahaan akan mengirimkan barang ke distributor lain yang membutuhkan
barang sebelum kembali ke perusahaan.
Kunjungan ke setiap distributor bergantung pada permintaan distributor ke
perusahaan. Keadaan ini memengaruhi penurunan biaya pengiriman, tetapi tetap
harus diperhatikan dengan cermat pendistribusian barang ini agar pengiriman
produk ke distributor terpenuhi setiap waktu dan banyaknya produk yang rusak
seminimal mungkin.
Dalam karya ilmiah ini, akan ditentukan total waktu perjalanan minimum
dalam melakukan pendistribusian produk manisan dari perusahaan ke distributordistributor dengan mempertimbangkan kebutuhan barang di distributor, banyaknya
barang yang dikirimkan ke distributor, lamanya pengiriman, dan masa kadaluarsa
barang.
Formulasi Masalah
Masalah pendistribusian barang ini dapat diformulasikan sebagai suatu
Pemrograman Linear Integer (PLI). Model dalam kasus ini menggunakan indeks,
parameter dan variabel keputusan sebagai berikut:
Indeks
i = 1, 2, ..., � , merupakan indeks untuk distributor, dengan i = 1 merupakan
perusahaan tempat awal rute pendistribusian.
j = 2, 3, ..., �+1, merupakan indeks untuk distributor, dengan j = �+1 merupakan
perusahaan tempat akhir rute pendistribusian.
t = 1, 2, ..., �, merupakan indeks untuk periode.
Parameter
Iit = banyaknya persediaan barang di distributor pada periode
uti = banyaknya barang yang dibutuhkan distributor
untuk memenuhi
kebutuhan konsumen pada periode
4
dit =
wij =
Ci =
si =
D =
� =
� =
banyaknya barang yang dikirim perusahaan ke distributor pada periode
waktu tempuh dari distributor ke distributor
kapasitas penyimpanan di distributor
lamanya bongkar muat di distributor
durasi maksimum tiap rute
lamanya penyimpanan barang
masa kadaluarsa barang
Variabel Keputusan
1, jika distributor i dikunjungi pada periode t
={
0, jika selainnya
1, jika terdapat perjalanan dari distributor i ke distributor j pada periode t
={
0, jika selainnya
1, jika terdapat pengiriman barang pada periode t
={
0, jika selainnya
Fungsi Objektif
min ∑ ∑ wij xtij
t
i,j
yaitu meminimumkan total waktu perjalanan pendistribusian barang dari
perusahaan ke distributor-distributor hingga kembali ke perusahaan.
Kendala
1. Persediaan barang suatu distributor di periode selanjutnya ditentukan oleh
persediaan barang di periode sekarang, kebutuhan barang dan kiriman barang
dari perusahaan.
� + =� − +� ,
= , … , �,
= ,…,�
2. Kebutuhan barang di beberapa periode selanjutnya tidak melebihi persediaan.
�
+� −
∑
=
,
= , … , �,
= ,…,�
3. Persediaan barang tidak kurang dari persediaan mula-mula.
�
� ,
= , … , �,
= ,…,�
4. Persediaan barang tidak melebihi kapasitas penyimpanan distributor.
�
,
= , … , �,
= ,…,�
5. Persediaan barang harus habis sebelum masa kadaluarsa.
�
+� −
∑
=
,
= , … , �,
= ,…,�
6. Banyaknya barang yang dikirimkan ke distributor tidak melebihi kapasitas
penyimpanan distributor.
�
,
= , … , �,
= ,…,�
5
7. Pengiriman dilakukan secara berurut dimulai dari distributor dengan indeks kecil
kemudian dilanjutkan dengan distributor berindeks yang lebih besar. Penentuan
indeks ini diperoleh dari solusi masalah Travelling Salesman Problem (TSP).
+
−
−
− ∑
=+
,
= , … , �, = , . . . , � + , = , … , �
Perusahaan akan mengirimkan barang ke Distributor 1 jika Distributor 1
membutuhkan kiriman barang, jika Distributor 1 tidak membutuhkan kiriman
barang maka perusahaan akan langsung mengirimkan barang ke Distributor 2
tanpa melalui Distributor 1 terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan ke Distributor
2 jika Distributor 2 juga membutuhkan kiriman barang, jika tidak perusahaan
akan langsung mengirimkan barang ke Distributor 3 tanpa melalui Distributor 2
terlebih dahulu, lalu distributor-distributor lain secara berurut hingga ke
Distributor � kemudian kembali ke Perusahaan. Perusahaan tidak melakukan
kiriman barang secara acak, misal mengirimkan barang ke Distributor 5 terlebih
dahulu kemudian mengirimkan ke Distributor 2, lalu ke Distributor 4 kemudian
kembali ke perusahaan.
8. Lamanya pengiriman tidak melebihi durasi maksimum.
� �+
∑∑
=
=
�
+∑
=
,
= ,…,�
9. Perusahaan selalu mengirimkan barang ke distributor di setiap periode.
= ,…,�
= �+ = ,
10. Jika ada distributor yang dikunjungi maka terdapat pengiriman barang dari
perusahaan.
= , … , �,
= ,…,�
11. Semua variabel keputusan bernilai nol atau satu.
∈ { , }; ∀ ,
∈ { , }; ∀ , ,
∈ { , }; ∀
IMPLEMENTASI MODEL
Dalam permasalahan ini misalkan diambil masalah pendistribusian manisan.
Perusahaan produksi manisan harus mengirimkan produknya ke distributordistributor di setiap periodenya. Dalam melakukan pengiriman barang tentu saja
tidak semua distributor harus dikunjungi, hanya distributor yang meminta saja yang
dikunjungi untuk mendapatkan kiriman barang.
Asumsi yang digunakan pada karya ilmiah ini ialah sebagai berikut:
1. Perusahaan awal dan perusahaan akhir adalah perusahaan yang sama yaitu
sebagai sumber barang ke distributor.
2. Satu periode sama dengan 7 hari.
3. Banyaknya kebutuhan konsumen kepada distributor sudah diketahui
sebelumnya.
6
4. Kapasitas produksi dan kapasitas kendaraan tidak dipertimbangkan.
5. Pengiriman barang hanya menggunakan satu unit kendaraan.
Data yang diberikan merupakan data hipotetik dengan satuan unit untuk setiap
barang dan satuan jam untuk waktu tempuh. Diandaikan dalam satu periode
pengiriman terdapat lima distributor yang harus dipenuhi kebutuhannya dalam dua
belas periode seperti yang diberikan pada Tabel 1.
Tabel 1 Kuantitas barang yang dibutuhkan distributor
Distributor
1
2
3
4
5
1
0
0
0
0
0
2
1
3
0
1
3
3
3
2
3
3
3
4
4
3
1
3
1
Periode
6 7 8
3 2 3
3 1 0
4 3 2
4 1 0
3 3 3
5
5
4
2
2
3
9
5
3
1
3
3
10
1
2
3
2
3
11
3
5
2
1
3
Persediaan
awal
1
3
5
1
3
12
2
8
4
3
3
Tabel 2 menampilkan lamanya perjalanan yang harus ditempuh perusahaan ke
distributor.
Tabel 2 Waktu tempuh yang dibutuhkan (
) pada setiap periode (t)
Perusahaan
(awal
rute)
Distributor
1
Distributor
2
Perusahaan
(awal rute)
0
1
1
1
1
1
0
Distributor 1
1
0
1
3
2
4
1
Distributor 2
1
1
0
3
2
2
1
Distributor 3
1
3
3
0
5
2
1
Distributor 4
1
2
2
5
0
1
1
Distributor 5
1
4
2
2
1
0
1
Perusahaan
(akhir rute)
0
1
1
1
1
1
0
Distri- Distri- Distributor butor butor
3
4
5
Perusahaan
(akhir
rute)
Berdasarkan permasalahan yang ada, formulasi matematik dari masalah tersebut
dapat ditulis menggunakan indeks, parameter, dan variabel keputusan sebagai
berikut:
7
Indeks
i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, merupakan indeks untuk distributor, dengan i = 1 merupakan
perusahaan awal rute pendistribusian.
j = 2, 3, 4, 5, 6, 7, merupakan indeks untuk distributor, dengan j = 7 merupakan
perusahaan akhir rute pendistribusian.
t = 1, 2, ...,12, merupakan indeks untuk periode.
Parameter
Iit = banyaknya persediaan barang di distributor pada periode
uti = banyaknya barang yang dibutuhkan distributor
untuk memenuhi
kebutuhan konsumen pada periode
dit = banyaknya barang yang dikirimkan perusahaan ke distributor pada periode
wij
Ci
si
D
�
�
=
=
=
=
=
=
waktu tempuh dari distributor ke distributor
kapasitas penyimpanan di distributor =
unit
lamanya bongkar muat di distributor = jam
durasi rute maksimum tiap periode = 8 jam
lamanya penyimpanan barang = 2 periode
lamanya masa kadaluarsa barang = 5 periode
Variabel Keputusan
1, jika distributor i dikunjungi pada periode t
={
0, jika selainnya
1, jika terdapat perjalanan dari distributor i ke distributor j pada periode t
={
0, jika selainnya
1, jika terdapat pengiriman barang pada periode t
={
0, jika selainnya
Fungsi Objektif
min ∑ ∑
,
yaitu meminimumkan total waktu perjalanan pendistribusian barang dari
perusahaan ke distributor-distributor hingga kembali ke perusahaan.
Kendala
1. Persediaan barang suatu distributor di periode selanjutnya ditentukan oleh
persediaan barang di periode sekarang, kebutuhan barang dan kiriman barang
dari perusahaan.
� + =� − +� ,
= ,…, ,
= ,…,
2. Penggunaan barang di beberapa periode selanjutnya tidak melebihi persediaan.
�
+ −
∑
=
,
= ,…, ,
= ,…,
3. Persediaan barang tidak kurang dari persediaan mula-mula.
�
� ,
= ,…, ,
= ,…,
8
4. Persediaan barang tidak melebihi kapasitas penyimpanan distributor.
�
,
= ,…, ,
= ,…,
5. Persediaan barang harus habis sebelum masa kadaluarsa.
+ −
�
,
∑
=
= ,…, ,
= ,…,
6. Banyaknya barang yang dikirimkan ke distributor tidak melebihi kapasitas
penyimpanan distributor.
�
,
= ,…, ,
= ,…,
7. Pengiriman dilakukan secara berurut dimulai dari distributor dengan indeks kecil
kemudian dilanjutkan dengan distributor berindeks yang lebih besar. Penentuan
indeks ini diperoleh dari solusi masalah Travelling Salesman Problem (TSP).
+
−
− − ∑
=+
,
= ,…, , = ,..., ,
8. Lamanya pengiriman tidak melebihi durasi maksimum.
∑∑
=
=
+∑
=
,
= ,…, ,
= ,..., ,
= ,…,
= ,…,
9. Perusahaan selalu mengirimkan barang ke distributor di setiap periode.
=
= ,
= ,…,
10. Jika ada distributor yang dikunjungi maka terdapat pengiriman barang dari
perusahaan.
= ,…, ,
= ,…,�
11. Semua variabel keputusan bernilai nol atau satu.
∈ { , }; ∀ ,
∈ { , }; ∀ , ,
∈ { , }; ∀
Penyelesaian masalah pengiriman barang pada karya ilmiah ini dilakukan
dengan bantuan software LINGO 11.0. Program dan hasil komputasi dicantumkan
pada Lampiran 1. Solusi yang didapat adalah solusi optimal dengan nilai fungsi
objektif 26 jam untuk dua belas periode pengiriman barang dari perusahaan ke 5
distributor. Hasil yang diperoleh dari proses komputasi dapat dilihat pada Tabel 3
dan Tabel 4, sedangkan pada Tabel 5 diberikan penyaluran barang yang terjadi pada
proses pendistribusian barang.
9
Tabel 3 Kuantitas barang yang dikirim perusahaan kepada setiap distributor
Distributor
1
2
3
4
5
1
15
0
0
12
9
2
0
10
10
0
0
3
0
0
0
0
0
4
0
0
0
4
12
5
5
6
0
0
0
Periode
6
7
0
11
0
13
6
0
0
0
0
0
8
0
0
0
6
9
9
0
0
6
0
0
10
0
0
0
0
0
11
0
0
0
0
0
12
0
0
0
0
0
11
5
13
6
4
6
12
2
8
4
3
3
Tabel 4 Banyaknya persediaan barang di distributor
Distributor
1
2
3
4
5
1
1
5
3
1
3
2
16
15
3
13
12
3
15
12
13
12
9
4
12
10
10
9
6
5
8
7
9
10
15
Periode
6
7
8
5
9
6
7
9
8
4
12
9
8
14
18
6
3
6
9
11
18
4
9
12
10
6
15
9
6
9
Tabel 5 Penyaluran barang yang terjadi pada proses pendistribusian barang
Periode
1
2
3
4
5
6
7
Penyaluran barang
Persediaan awal distributor
Kuantitas barang yang dibutuhkan
Kiriman barang
Persediaan barang
Kuantitas barang yang dibutuhkan
Kiriman barang
Persediaan barang
Kuantitas barang yang dibutuhkan
Kiriman barang
Persediaan barang
Kuantitas barang yang dibutuhkan
Kiriman barang
Persediaan barang
Kuantitas barang yang dibutuhkan
Kiriman barang
Persediaan barang
Kuantitas barang yang dibutuhkan
Kiriman barang
Persediaan barang
Kuantitas barang yang dibutuhkan
Kiriman barang
1
1
0
15
16
1
0
15
3
0
12
4
0
8
5
5
8
3
0
5
2
11
Distributor
2
3
4
5
3
1
0
0
0
0
0 12
5
3 13
3
0
1
10 10 0
12 13 12
2
3
3
0
0
0
10 10 9
3
1
3
0
0
4
7
9 10
4
2
2
6
0
0
9
7
8
3
4
4
0
6
0
6
9
4
1
3
1
13 0
0
5
3
0
9
12
3
0
9
3
0
6
3
12
15
3
0
12
3
0
9
3
0
10
Tabel 5 Penyaluran barang yang terjadi pada proses pendistribusian barang
(lanjutan)
Persediaan barang
14 18 6
3
6
8
Kuantitas barang yang dibutuhkan
3
0
2
0
3
Kiriman barang
0
0
0
6
9
Persediaan barang
11 18 4
9 12
9
Kuantitas barang yang dibutuhkan
5
3
1
3
3
Kiriman barang
0
0
6
0
0
Persediaan barang
6 15 9
6
9
10
Kuantitas barang yang dibutuhkan
1
2
3
2
3
Kiriman barang
0
0
0
0
0
Persediaan barang
5 13 6
4
6
11
Kuantitas barang yang dibutuhkan
3
5
2
1
3
Kiriman barang
0
0
0
0
0
Persediaan barang
2
8
4
3
3
12
Kuantitas barang yang dibutuhkan
2
8
4
3
3
Kiriman barang
0
0
0
0
0
Dari Tabel 5 terlihat bahwa pada Periode 1 perusahaan mengirimkan barang
ke Distributor 1, Distributor 4 dan Distributor 5, sedangkan pada Distributor 2 dan
Distributor 3 tidak terdapat kiriman barang karena persediaan barang di awal
periode pada kedua distributor masih dapat memenuhi kuantitas barang yang
dibutuhkan. Pada Periode 2 terdapat perjalanan dari perusahaan ke Distributor 2
dilanjutkan ke Distributor 3 kemudian kembali ke perusahaan. Begitu pula yang
terjadi pada periode-periode lainnya.
Terlihat pula bahwa persediaan habis sebelum masa kadaluarsa, yaitu 5
periode seperti contoh Distributor 1 pada Periode 1 persediaan awal Distributor 1
adalah 1 dan persediaan awal ini habis sebelum Periode 6. Pada Periode 2
Distributor 1 memiliki persediaan barang 16 pada Periode 2 barang yang
dibutuhkan 1, pada Periode 3 barang yang dibutuhkan 3, pada Periode 4 barang
yang dibutuhkan 4, pada Periode 5 barang yang dibutuhkan 5, dan pada Periode 6
barang yang dibutuhkan 3, sehingga 16 - 1 - 3 - 4 - 5 - 3 = 0. Barang habis sebelum
Periode 7 pada Distributor 1. Sama halnya yang terjadi pada periode-periode
selanjutnya di Distributor 1. Begitu pula yang terjadi pada distributor-distributor
lainnya.
Pada Tabel 5 dan Gambar 1 juga terlihat bahwa durasi pendistribusian tidak
melebihi 8 jam. Sebagai contoh pada Periode pertama perusahaan mengirimkan
barang kepada Distributor 1 yang ditempuh selama 1 jam dan melakukan bongkar
muat selama 1 jam, setelah itu kendaraan perusahaan melanjutkan perjalanannya ke
Distributor 4 yang ditempuh selama 2 jam dan melakukan bongkar muat selama 1
jam, kemudian dilanjutkan dengan mengunjungi Distributor 5 yang ditempuh
selama 1 jam dan melakukan bongkar muat selama 1 jam, lalu kendaraan kembali
ke perusahaan yang ditempuh selama 1 jam.
11
Periode 1
1
4
Periode 2
2
Periode 4
4
5
Periode 5
1
2
Periode 6
3
Periode 7
1
2
Periode 8
4
5
5
3
Periode 9
3
Gambar 1 Bagan waktu pendistribusian barang. Satu kotak mewakili 1 jam, (
waktu perjalanan, ( ) waktu bongkar muat di Distributor .
)
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Masalah pendistribusian barang multiperiode dengan kendala waktu dapat
diselesaikan menggunakan Pemrograman Linear Integer (PLI). Pendistribusian
yang dibuat bertujuan meminimumkan total waktu perjalanan pendistribusian
barang dari perusahaan ke distributor-distributor hingga kembali ke perusahaan dan
memenuhi kendala yang ada.
Model ini dapat diselesaikan menggunakan software LINGO 11.0, sehingga
dapat diperoleh solusi optimal. Studi kasus dalam pengiriman produk berupa
manisan kepada 5 distributor membutuhkan waktu 26 jam untuk 12 periode
pengiriman.
Saran
Pada karya ilmiah ini, data yang digunakan merupakan data hipotetik.
Penelitian ini dapat dikembangkan dengan mempertimbangkan kapasitas
kendaraan dan kapasitas produksi barang agar penelitian semakin mendekati
masalah sebenarnya.
12
DAFTAR PUSTAKA
Hemmelmayr V, Doerner K F, Hartl R F, Savelsbergh MWP. 2009. Delivery
strategies for blood products supplies. OR Spectrum. 31:707725.doi:10.1007/s00291-008-0134-7.
Romeijn H E, Morales R D. 1998. Generating experimental data for the generalized
assignment
problem.
Operations
Research.
49:866878.doi:10.1287/opre.49.6.866.10021.
Tersine J R. 1994. Principles of Inventory and Materials Management. North
Holland (NL) : PTR Prentice.
Toth P, Vigo D. 2002. An overview of vehicle routing problems. Di dalam Toth P,
Vigo D, editor. The Vehicle Routing Problem. Philadelphia: Siam, hlm1-26.
13
Lampiran 1
Syntax dan hasil komputasi program LINGO 11.0 untuk masalah pendistribusian barang
kepada 5 distributor dalam 12 periode
model:
sets:
periode/1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12/;
distributor/1,2,3,4,5,6,7/:s,c;
link1(distributor,distributor):w;
link2(distributor,periode):d,y,ii,u;
link21(distributor,periode);
link3(distributor,distributor,periode):x;
endsets
data:
Dmax=8;
c=20 20 20 20 20 20 20;
s=1 1 1 1 1 1 1;
k1=2;
k2=5;
w=0 1 1 1 1 1 0
1013241
1103221
1330521
1225011
1422101
0 1 1 1 1 1 0;
u=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
013453235132
032343103258
003124321324
013324103213
033333333333
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
enddata
ii(2,1)=1;
ii(3,1)=5;
ii(4,1)=3;
ii(5,1)=1;
ii(6,1)=3;
!fo : Meminimumkan total waktu perjalanan pendistribusian barang dari perusahaan ke
distributor-distributor hingga kembali ke perusahaan.
min=@sum(link3(i,j,t):w(i,j)*x(i,j,t));
!kendala 1: Persediaan barang suatu distributor di periode selanjutnya ditentukan oleh
persediaan barang di periode skarang, kebutuhan barang, dan kiriman barang dari
perusahaan.
@for (link2(i,t):@for (Link21(i,a)|a#EQ#t+1 :II(i,a)=II(i,t)-u(i,t)+d(i,t)));
14
!kendala 2: Penggunaan barang di beberapa periode selanjutnya tidak melebihi
persediaan.
@for (distributor(i):II(i,1)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1#and#a#GE#1:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,2)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+1#and#a#GE#2:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,3)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+2#and#a#GE#3:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,4)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+3#and#a#GE#4:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,5)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+4#and#a#GE#5:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,6)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+5#and#a#GE#6:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,7)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+6#and#a#GE#7:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,8)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+7#and#a#GE#8:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,9)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+8#and#a#GE#9:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,10)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+9#and#a#GE#10:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,11)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+10#and#a#GE#11:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,12)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+11#and#a#GE#12:u(i,a)));
!kendala 3: Persediaan barang tidak kurang dari persediaan mula-mula.
@for (Link2(i,t)|t#NE#1:II(i,t)>=II(i,1));
!kendala 4: Persediaan barang tidak melebihi kapasitas penyimpanan distributor.
@for (distributor(i):@for (link2(i,t):II(i,t)=y(3,1)+y(6,1)-1-y(4,1)-y(5,1);
x(3,7,1)>=y(3,1)+y(7,1)-1-y(4,1)-y(5,1)-y(6,1);
x(4,5,1)>=y(4,1)+y(5,1)-1;
x(4,6,1)>=y(4,1)+y(6,1)-1-y(5,1);
x(4,7,1)>=y(4,1)+y(7,1)-1-y(5,1)-y(6,1);
x(5,6,1)>=y(5,1)+y(6,1)-1;
x(5,7,1)>=y(5,1)+y(7,1)-1-y(6,1);
x(6,7,1)>=y(6,1)+y(7,1)-1;
x(1,2,2)>=y(1,2)+y(2,2)-1;
x(1,3,2)>=y(1,2)+y(3,2)-1-y(2,2);
x(1,4,2)>=y(1,2)+y(4,2)-1-y(2,2)-y(3,2);
x(1,5,2)>=y(1,2)+y(5,2)-1-y(2,2)-y(3,2)-y(4,2);
x(1,6,2)>=y(1,2)+y(6,2)-1-y(2,2)-y(3,2)-y(4,2)-y(5,2);
x(1,7,2)>=y(1,2)+y(7,2)-1-y(2,2)-y(3,2)-y(4,2)-y(5,2)-y(6,2);
x(2,3,2)>=y(2,2)+y(3,2)-1;
x(2,4,2)>=y(2,2)+y(4,2)-1-y(3,2);
x(2,5,2)>=y(2,2)+y(5,2)-1-y(3,2)-y(4,2);
x(2,6,2)>=y(2,2)+y(6,2)-1-y(3,2)-y(4,2)-y(5,2);
x(2,7,2)>=y(2,2)+y(7,2)-1-y(3,2)-y(4,2)-y(5,2)-y(6,2);
x(3,4,2)>=y(3,2)+y(4,2)-1;
x(3,5,2)>=y(3,2)+y(5,2)-1-y(4,2);
x(3,6,2)>=y(3,2)+y(6,2)-1-y(4,2)-y(5,2);
x(3,7,2)>=y(3,2)+y(7,2)-1-y(4,2)-y(5,2)-y(6,2);
x(4,5,2)>=y(4,2)+y(5,2)-1;
x(4,6,2)>=y(4,2)+y(6,2)-1-y(5,2);
x(4,7,2)>=y(4,2)+y(7,2)-1-y(5,2)-y(6,2);
x(5,6,2)>=y(5,2)+y(6,2)-1;
x(5,7,2)>=y(5,2)+y(7,2)-1-y(6,2);
x(6,7,2)>=y(6,2)+y(7,2)-1;
x(1,2,3)>=y(1,3)+y(2,3)-1;
x(1,3,3)>=y(1,3)+y(3,3)-1-y(2,3);
x(1,4,3)>=y(1,3)+y(4,3)-1-y(2,3)-y(3,3);
x(1,5,3)>=y(1,3)+y(5,3)-1-y(2,3)-y(3,3)-y(4,3);
x(1,6,3)>=y(1,3)+y(6,3)-1-y(2,3)-y(3,3)-y(4,3)-y(5,3);
x(1,7,3)>=y(1,3)+y(7,3)-1-y(2,3)-y(3,3)-y(4,3)-y(5,3)-y(6,3);
x(2,3,3)>=y(2,3)+y(3,3)-1;
x(2,4,3)>=y(2,3)+y(4,3)-1-y(3,3);
x(2,5,3)>=y(2,3)+y(5,3)-1-y(3,3)-y(4,3);
x(2,6,3)>=y(2,3)+y(6,3)-1-y(3,3)-y(4,3)-y(5,3);
16
x(2,7,3)>=y(2,3)+y(7,3)-1-y(3,3)-y(4,3)-y(5,3)-y(6,3);
x(3,4,3)>=y(3,3)+y(4,3)-1;
x(3,5,3)>=y(3,3)+y(5,3)-1-y(4,3);
x(3,6,3)>=y(3,3)+y(6,3)-1-y(4,3)-y(5,3);
x(3,7,3)>=y(3,3)+y(7,3)-1-y(4,3)-y(5,3)-y(6,3);
x(4,5,3)>=y(4,3)+y(5,3)-1;
x(4,6,3)>=y(4,3)+y(6,3)-1-y(5,3);
x(4,7,3)>=y(4,3)+y(7,3)-1-y(5,3)-y(6,3);
x(5,6,3)>=y(5,3)+y(6,3)-1;
x(5,7,3)>=y(5,3)+y(7,3)-1-y(6,3);
x(6,7,3)>=y(6,3)+y(7,3)-1;
x(1,2,4)>=y(1,4)+y(2,4)-1;
x(1,3,4)>=y(1,4)+y(3,4)-1-y(2,4);
x(1,4,4)>=y(1,4)+y(4,4)-1-y(2,4)-y(3,4);
x(1,5,4)>=y(1,4)+y(5,4)-1-y(2,4)-y(3,4)-y(4,4);
x(1,6,4)>=y(1,4)+y(6,4)-1-y(2,4)-y(3,4)-y(4,4)-y(5,4);
x(1,7,4)>=y(1,4)+y(7,4)-1-y(2,4)-y(3,4)-y(4,4)-y(5,4)-y(6,4);
x(2,3,4)>=y(2,4)+y(3,4)-1;
x(2,4,4)>=y(2,4)+y(4,4)-1-y(3,4);
x(2,5,4)>=y(2,4)+y(5,4)-1-y(3,4)-y(4,4);
x(2,6,4)>=y(2,4)+y(6,4)-1-y(3,4)-y(4,4)-y(5,4);
x(2,7,4)>=y(2,4)+y(7,4)-1-y(3,4)-y(4,4)-y(5,4)-y(6,4);
x(3,4,4)>=y(3,4)+y(4,4)-1;
x(3,5,4)>=y(3,4)+y(5,4)-1-y(4,4);
x(3,6,4)>=y(3,4)+y(6,4)-1-y(4,4)-y(5,4);
x(3,7,4)>=y(3,4)+y(7,4)-1-y(4,4)-y(5,4)-y(6,4);
x(4,5,4)>=y(4,4)+y(5,4)-1;
x(4,6,4)>=y(4,4)+y(6,4)-1-y(5,4);
x(4,7,4)>=y(4,4)+y(7,4)-1-y(5,4)-y(6,4);
x(5,6,4)>=y(5,4)+y(6,4)-1;
x(5,7,4)>=y(5,4)+y(7,4)-1-y(6,4);
x(6,7,4)>=y(6,4)+y(7,4)-1;
x(1,2,5)>=y(1,5)+y(2,5)-1;
x(1,3,5)>=y(1,5)+y(3,5)-1-y(2,5);
x(1,4,5)>=y(1,5)+y(4,5)-1-y(2,5)-y(3,5);
x(1,5,5)>=y(1,5)+y(5,5)-1-y(2,5)-y(3,5)-y(4,5);
x(1,6,5)>=y(1,5)+y(6,5)-1-y(2,5)-y(3,5)-y(4,5)-y(5,5);
x(1,7,5)>=y(1,5)+y(7,5)-1-y(2,5)-y(3,5)-y(4,5)-y(5,5)-y(6,5);
x(2,3,5)>=y(2,5)+y(3,5)-1;
x(2,4,5)>=y(2,5)+y(4,5)-1-y(3,5);
x(2,5,5)>=y(2,5)+y(5,5)-1-y(3,5)-y(4,5);
17
x(2,6,5)>=y(2,5)+y(6,5)-1-y(3,5)-y(4,5)-y(5,5);
x(2,7,5)>=y(2,5)+y(7,5)-1-y(3,5)-y(4,5)-y(5,5)-y(6,5);
x(3,4,5)>=y(3,5)+y(4,5)-1;
x(3,5,5)>=y(3,5)+y(5,5)-1-y(4,5);
x(3,6,5)>=y(3,5)+y(6,5)-1-y(4,5)-y(5,5);
x(3,7,5)>=y(3,5)+y(7,5)-1-y(4,5)-y(5,5)-y(6,5);
x(4,5,5)>=y(4,5)+y(5,5)-1;
x(4,6,5)>=y(4,5)+y(6,5)-1-y(5,5);
x(4,7,5)>=y(4,5)+y(7,5)-1-y(5,5)-y(6,5);
x(5,6,5)>=y(5,5)+y(6,5)-1;
x(5,7,5)>=y(5,5)+y(7,5)-1-y(6,5);
x(6,7,5)>=y(6,5)+y(7,5)-1;
x(1,2,6)>=y(1,6)+y(2,6)-1;
x(1,3,6)>=y(1,6)+y(3,6)-1-y(2,6);
x(1,4,6)>=y(1,6)+y(4,6)-1-y(2,6)-y(3,6);
x(1,5,6)>=y(1,6)+y(5,6)-1-y(2,6)-y(3,6)-y(4,6);
x(1,6,6)>=y(1,6)+y(6,6)-1-y(2,6)-y(3,6)-y(4,6)-y(5,6);
x(1,7,6)>=y(1,6)+y(7,6)-1-y(2,6)-y(3,6)-y(4,6)-y(5,6)-y(6,6);
x(2,3,6)>=y(2,6)+y(3,6)-1;
x(2,4,6)>=y(2,6)+y(4,6)-1-y(3,6);
x(2,5,6)>=y(2,6)+y(5,6)-1-y(3,6)-y(4,6);
x(2,6,6)>=y(2,6)+y(6,6)-1-y(3,6)-y(4,6)-y(5,6);
x(2,7,6)>=y(2,6)+y(7,6)-1-y(3,6)-y(4,6)-y(5,6)-y(6,6);
x(3,4,6)>=y(3,6)+y(4,6)-1;
x(3,5,6)>=y(3,6)+y(5,6)-1-y(4,6);
x(3,6,6)>=y(3,6)+y(6,6)-1-y(4,6)-y(5,6);
x(3,7,6)>=y(3,6)+y(7,6)-1-y(4,6)-y(5,6)-y(6,6);
x(4,5,6)>=y(4,6)+y(5,6)-1;
x(4,6,6)>=y(4,6)+y(6,6)-1-y(5,6);
x(4,7,6)>=y(4,6)+y(7,6)-1-y(5,6)-y(6,6);
x(5,6,6)>=y(5,6)+y(6,6)-1;
x(5,7,6)>=y(5,6)+y(7,6)-1-y(6,6);
x(6,7,6)>=y(6,6)+y(7,6)-1;
x(1,2,7)>=y(1,7)+y(2,7)-1;
x(1,3,7)>=y(1,7)+y(3,7)-1-y(2,7);
x(1,4,7)>=y(1,7)+y(4,7)-1-y(2,7)-y(3,7);
x(1,5,7)>=y(1,7)+y(5,7)-1-y(2,7)-y(3,7)-y(4,7);
x(1,6,7)>=y(1,7)+y(6,7)-1-y(2,7)-y(3,7)-y(4,7)-y(5,7);
x(1,7,7)>=y(1,7)+y(7,7)-1-y(2,7)-y(3,7)-y(4,7)-y(5,7)-y(6,7);
x(2,3,7)>=y(2,7)+y(3,7)-1;
x(2,4,7)>=y(2,7)+y(4,7)-1-y(3,7);
18
x(2,5,7)>=y(2,7)+y(5,7)-1-y(3,7)-y(4,7);
x(2,6,7)>=y(2,7)+y(6,7)-1-y(3,7)-y(4,7)-y(5,7);
x(2,7,7)>=y(2,7)+y(7,7)-1-y(3,7)-y(4,7)-y(5,7)-y(6,7);
x(3,4,7)>=y(3,7)+y(4,7)-1;
x(3,5,7)>=y(3,7)+y(5,7)-1-y(4,7);
x(3,6,7)>=y(3,7)+y(6,7)-1-y(4,7)-y(5,7);
x(3,7,7)>=y(3,7)+y(7,7)-1-y(4,7)-y(5,7)-y(6,7);
x(4,5,7)>=y(4,7)+y(5,7)-1;
x(4,6,7)>=y(4,7)+y(6,7)-1-y(5,7);
x(4,7,7)>=y(4,7)+y(7,7)-1-y(5,7)-y(6,7);
x(5,6,7)>=y(5,7)+y(6,7)-1;
x(5,7,7)>=y(5,7)+y(7,7)-1-y(6,7);
x(6,7,7)>=y(6,7)+y(7,7)-1;
x(1,2,8)>=y(1,8)+y(2,8)-1;
x(1,3,8)>=y(1,8)+y(3,8)-1-y(2,8);
x(1,4,8)>=y(1,8)+y(4,8)-1-y(2,8)-y(3,8);
x(1,5,8)>=y(1,8)+y(5,8)-1-y(2,8)-y(3,8)-y(4,8);
x(1,6,8)>=y(1,8)+y(6,8)-1-y(2,8)-y(3,8)-y(4,8)-y(5,8);
x(1,7,8)>=y(1,8)+y(7,8)-1-y(2,8)-y(3,8)-y(4,8)-y(5,8)-y(6,8);
x(2,3,8)>=y(2,8)+y(3,8)-1;
x(2,4,8)>=y(2,8)+y(4,8)-1-y(3,8);
x(2,5,8)>=y(2,8)+y(5,8)-1-y(3,8)-y(4,8);
x(2,6,8)>=y(2,8)+y(6,8)-1-y(3,8)-y(4,8)-y(5,8);
x(2,7,8)>=y(2,8)+y(7,8)-1-y(3,8)-y(4,8)-y(5,8)-y(6,8);
x(3,4,8)>=y(3,8)+y(4,8)-1;
x(3,5,8)>=y(3,8)+y(5,8)-1-y(4,8);
x(3,6,8)>=y(3,8)+y(6,8)-1-y(4,8)-y(5,8);
x(3,7,8)>=y(3,8)+y(7,8)-1-y(4,8)-y(5,8)-y(6,8);
x(4,5,8)>=y(4,8)+y(5,8)-1;
x(4,6,8)>=y(4,8)+y(6,8)-1-y(5,8);
x(4,7,8)>=y(4,8)+y(7,8)-1-y(5,8)-y(6,8);
x(5,6,8)>=y(5,8)+y(6,8)-1;
x(5,7,8)>=y(5,8)+y(7,8)-1-y(6,8);
x(6,7,8)>=y(6,8)+y(7,8)-1;
x(1,2,9)>=y(1,9)+y(2,9)-1;
x(1,3,9)>=y(1,9)+y(3,9)-1-y(2,9);
x(1,4,9)>=y(1,9)+y(4,9)-1-y(2,9)-y(3,9);
x(1,5,9)>=y(1,9)+y(5,9)-1-y(2,9)-y(3,9)-y(4,9);
x(1,6,9)>=y(1,9)+y(6,9)-1-y(2,9)-y(3,9)-y(4,9)-y(5,9);
x(1,7,9)>=y(1,9)+y(7,9)-1-y(2,9)-y(3,9)-y(4,9)-y(5,9)-y(6,9);
x(2,3,9)>=y(2,9)+y(3,9)-1;
19
x(2,4,9)>=y(2,9)+y(4,9)-1-y(3,9);
x(2,5,9)>=y(2,9)+y(5,9)-1-y(3,9)-y(4,9);
x(2,6,9)>=y(2,9)+y(6,9)-1-y(3,9)-y(4,9)-y(5,9);
x(2,7,9)>=y(2,9)+y(7,9)-1-y(3,9)-y(4,9)-y(5,9)-y(6,9);
x(3,4,9)>=y(3,9)+y(4,9)-1;
x(3,5,9)>=y(3,9)+y(5,9)-1-y(4,9);
x(3,6,9)>=y(3,9)+y(6,9)-1-y(4,9)-y(5,9);
x(3,7,9)>=y(3,9)+y(7,9)-1-y(4,9)-y(5,9)-y(6,9);
x(4,5,9)>=y(4,9)+y(5,9)-1;
x(4,6,9)>=y(4,9)+y(6,9)-1-y(5,9);
x(4,7,9)>=y(4,9)+y(7,9)-1-y(5,9)-y(6,9);
x(5,6,9)>=y(5,9)+y(6,9)-1;
x(5,7,9)>=y(5,9)+y(7,9)-1-y(6,9);
x(6,7,9)>=y(6,9)+y(7,9)-1;
x(1,2,10)>=y(1,10)+y(2,10)-1;
x(1,3,10)>=y(1,10)+y(3,10)-1-y(2,10);
x(1,4,10)>=y(1,10)+y(4,10)-1-y(2,10)-y(3,10);
x(1,5,10)>=y(1,10)+y(5,10)-1-y(2,10)-y(3,10)-y(4,10);
x(1,6,10)>=y(1,10)+y(6,10)-1-y(2,10)-y(3,10)-y(4,10)-y(5,10);
x(1,7,10)>=y(1,10)+y(7,10)-1-y(2,10)-y(3,10)-y(4,10)-y(5,10)-y(6,10);
x(2,3,10)>=y(2,10)+y(3,10)-1;
x(2,4,10)>=y(2,10)+y(4,10)-1-y(3,10);
x(2,5,10)>=y(2,10)+y(5,10)-1-y(3,10)-y(4,10);
x(2,6,10)>=y(2,10)+y(6,10)-1-y(3,10)-y(4,10)-y(5,10);
x(2,7,10)>=y(2,10)+y(7,10)-1-y(3,10)-y(4,10)-y(5,10)-y(6,10);
x(3,4,10)>=y(3,10)+y(4,10)-1;
x(3,5,10)>=y(3,10)+y(5,10)-1-y(4,10);
x(3,6,10)>=y(3,10)+y(6,10)-1-y(4,10)-y(5,10);
x(3,7,10)>=y(3,10)+y(7,10)-1-y(4,10)-y(5,10)-y(6,10);
x(4,5,10)>=y(4,10)+y(5,10)-1;
x(4,6,10)>=y(4,10)+y(6,10)-1-y(5,10);
x(4,7,10)>=y(4,10)+y(7,10)-1-y(5,10)-y(6,10);
x(5,6,10)>=y(5,10)+y(6,10)-1;
x(5,7,10)>=y(5,10)+y(7,10)-1-y(6,10);
x(6,7,10)>=y(6,10)+y(7,10)-1;
x(1,2,11)>=y(1,11)+y(2,11)-1;
x(1,3,11)>=y(1,11)+y(3,11)-1-y(2,11);
x(1,4,11)>=y(1,11)+y(4,11)-1-y(2,11)-y(3,11);
x(1,5,11)>=y(1,11)+y(5,11)-1-y(2,11)-y(3,11)-y(4,11);
x(1,6,11)>=y(1,11)+y(6,11)-1-y(2,11)-y(3,11)-y(4,11)-y(5,11);
x(1,7,11)>=y(1,11)+y(7,11)-1-y(2,11)-y(3,11)-y(4,11)-y(5,11)-y(6,11);
20
x(2,3,11)>=y(2,11)+y(3,11)-1;
x(2,4,11)>=y(2,11)+y(4,11)-1-y(3,11);
x(2,5,11)>=y(2,11)+y(5,11)-1-y(3,11)-y(4,11);
x(2,6,11)>=y(2,11)+y(6,11)-1-y(3,11)-y(4,11)-y(5,11);
x(2,7,11)>=y(2,11)+y(7,11)-1-y(3,11)-y(4,11)-y(5,11)-y(6,11);
x(3,4,11)>=y(3,11)+y(4,11)-1;
x(3,5,11)>=y(3,11)+y(5,11)-1-y(4,11);
x(3,6,11)>=y(3,11)+y(6,11)-1-y(4,11)-y(5,11);
x(3,7,11)>=y(3,11)+y(7,11)-1-y(4,11)-y(5,11)-y(6,11);
x(4,5,11)>=y(4,11)+y(5,11)-1;
x(4,6,11)>=y(4,11)+y(6,11)-1-y(5,11);
x(4,7,11)>=y(4,11)+y(7,11)-1-y(5,11)-y(6,11);
x(5,6,11)>=y(5,11)+y(6,11)-1;
x(5,7,11)>=y(5,11)+y(7,11)-1-y(6,11);
x(6,7,11)>=y(6,11)+y(7,11)-1;
x(1,2,12)>=y(1,12)+y(2,12)-1;
x(1,3,12)>=y(1,12)+y(3,12)-1-y(2,12);
x(1,4,12)>=y(1,12)+y(4,12)-1-y(2,12)-y(3,12);
x(1,5,12)>=y(1,12)+y(5,12)-1-y(2,12)-y(3,12)-y(4,12);
x(1,6,12)>=y(1,12)+y(6,12)-1-y(2,12)-y(3,12)-y(4,12)-y(5,12);
x(1,7,12)>=y(1,12)+y(7,12)-1-y(2,12)-y(3,12)-y(4,12)-y(5,12)-y(6,12);
x(2,3,12)>=y(2,12)+y(3,12)-1;
x(2,4,12)>=y(2,12)+y(4,12)-1-y(3,12);
x(2,5,12)>=y(2,12)+y(5,12)-1-y(3,12)-y(4,12);
x(2,6,12)>=y(2,12)+y(6,12)-1-y(3,12)-y(4,12)-y(5,12);
x(2,7,12)>=y(2,12)+y(7,12)-1-y(3,12)-y(4,12)-y(5,12)-y(6,12);
x(3,4,12)>=y(3,12)+y(4,12)-1;
x(3,5,12)>=y(3,12)+y(5,12)-1-y(4,12);
x(3,6,12)>=y(3,12)+y(6,12)-1-y(4,12)-y(5,12);
x(3,7,12)>=y(3,12)+y(7,12)-1-y(4,12)-y(5,12)-y(6,12);
x(4,5,12)>=y(4,12)+y(5,12)-1;
x(4,6,12)>=y(4,12)+y(6,12)-1-y(5,12);
x(4,7,12)>=y(4,12)+y(7,12)-1-y(5,12)-y(6,12);
x(5,6,12)>=y(5,12)+y(6,12)-1;
x(5,7,12)>=y(5,12)+y(7,12)-1-y(6,12);
x(6,7,12)>=y(6,12)+y(7,12)-1;
!kendala 8: Lamanya pengiriman tidak melebihi durasi maksimum.
@for(periode(t):@sum (distributor(i):@sum
(distributor(j):(w(i,j)*x(i,j,t))))+@sum(distributor(i):(Y(i,t)*S(i)))=y(i,t)));
!kendala 11: semua variabel keputusan bernilai nol atau satu.
@for(Link3(i,j,t):@bin(x(i,j,t)));
@for (Link2(i,t):@bin(y(i,t)));
Hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut :
(Tidak semua hasil ditampilkan, hanya untuk variabel yang tidak bernilai 0 saja yang
ditampilkan)
Global optimal solution found.
Objective value:
26.00000
Objective bound:
26.00000
Infeasibilities:
0.8881784E-15
Extended solver steps:
1571
Total solver iterations:
122350
Variable
DMAX
K1
K2
Z( 1)
Z( 2)
Z( 3)
Z( 4)
Z( 5)
Z( 6)
Z( 7)
Z( 8)
Z( 9)
Z(10)
Z(11)
Z(12)
S( 1)
S( 2)
S( 3)
S( 4)
S( 5)
S( 6)
S( 7)
C( 1)
C( 2)
C( 3)
C( 4)
C( 5)
C( 6)
C( 7)
Value
Reduced Cost
8.000000
0.000000
2.000000
0.000000
5.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
20.00000
0.000000
20.00000
0.000000
20.00000
0.000000
20.00000
0.000000
20.00000
0.000000
20.00000
0.000000
20.00000
0.000000
W( 1, 2)
1.000000
0.000000
W( 1, 3)
W( 1, 4)
W( 1, 5)
W( 1, 6)
W( 2, 1)
W( 2, 3)
W( 2, 4)
W( 2, 5)
W( 2, 6)
W( 2, 7)
W( 3, 1)
W( 3, 2)
W( 3, 4)
W( 3, 5)
W( 3, 6)
W( 3, 7)
W( 4, 1)
W( 4, 2)
W( 4, 3)
W( 4, 5)
W( 4, 6)
W( 4, 7)
W( 5, 1)
W( 5, 2)
W( 5, 3)
W( 5, 4)
W( 5, 6)
W( 5, 7)
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
3.000000
2.000000
4.000000
1.000000
1.000000
1.000000
3.000000
2.000000
2.000000
1.000000
1.000000
3.000000
3.000000
5.000000
2.000000
1.000000
1.000000
2.000000
2.000000
5.000000
1.000000
1.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
22
W( 6, 1)
W( 6, 2)
W( 6, 3)
W( 6, 4)
W( 6, 5)
W( 6, 7)
W( 7, 2)
W( 7, 3)
W( 7, 4)
W( 7, 5)
W( 7, 6)
D( 1, 12)
D( 2, 1)
D( 2, 5)
D( 2, 7)
D( 3, 2)
D( 3, 5)
D( 3, 7)
D( 4, 2)
D( 4, 6)
D( 4, 9)
D( 5, 1)
D( 5, 4)
D( 5, 8)
D( 6, 1)
D( 6, 4)
D( 6, 8)
D( 7, 12)
Y( 1, 1)
Y( 1, 2)
Y( 1, 3)
Y( 1, 4)
Y( 1, 5)
Y( 1, 6)
Y( 1, 7)
Y( 1, 8)
Y( 1, 9)
Y( 1, 10)
Y( 1, 11)
Y( 1, 12)
Y( 2, 1)
Y( 2, 5)
Y( 2, 7)
Y( 3, 2)
Y( 3, 5)
Y( 3, 7)
Y( 4, 2)
Y( 4, 6)
Y( 4, 9)
Y( 5, 1)
Y( 5, 4)
Y( 5, 8)
Y( 6, 1)
1.000000
4.000000
2.000000
2.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
20.00000
15.00000
5.000000
11.00000
10.00000
6.000000
13.00000
10.00000
6.000000
6.000000
12.00000
4.000000
6.000000
9.000000
12.00000
9.000000
20.00000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
Y( 6, 4)
Y( 6, 8)
Y( 7, 1)
Y( 7, 2)
Y( 7, 3)
Y( 7, 4)
Y( 7, 5)
Y( 7, 6)
Y( 7, 7)
Y( 7, 8)
Y( 7, 9)
Y( 7, 10)
Y( 7, 11)
Y( 7, 12)
II( 2, 1)
II( 2, 2)
II( 2, 3)
II( 2, 4)
II( 2, 5)
II( 2, 6)
II( 2, 7)
II( 2, 8)
II( 2, 9)
II( 2, 10)
II( 2, 11)
II( 2, 12)
II( 3, 1)
II( 3, 2)
II( 3, 3)
II( 3, 4)
II( 3, 5)
II( 3, 6)
II( 3, 7)
II( 3, 8)
II( 3, 9)
II( 3, 10)
II( 3, 11)
II( 3, 12)
II( 4, 1)
II( 4, 2)
II( 4, 3)
II( 4, 4)
II( 4, 5)
II( 4, 6)
II( 4, 7)
II( 4, 8)
II( 4, 9)
II( 4, 10)
II( 4, 11)
II( 4, 12)
II( 5, 1)
II( 5, 2)
II( 5, 3)
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
16.00000
15.00000
12.00000
8.000000
8.000000
5.000000
14.00000
11.00000
6.000000
5.000000
2.000000
5.000000
5.000000
12.00000
10.00000
7.000000
9.000000
6.000000
18.00000
18.00000
15.00000
13.00000
8.000000
3.000000
3.000000
13.00000
10.00000
9.000000
7.000000
9.000000
6.000000
4.000000
9.000000
6.000000
4.000000
1.000000
13.00000
12.00000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
23
II( 5, 4)
II( 5, 5)
II( 5, 6)
II( 5, 7)
II( 5, 8)
II( 5, 9)
II( 5, 10)
II( 5, 11)
II( 5, 12)
II( 6, 1)
II( 6, 2)
II( 6, 3)
II( 6, 4)
II( 6, 5)
II( 6, 6)
II( 6, 7)
II( 6, 8)
II( 6, 9)
II( 6, 10)
II( 6, 11)
II( 6, 12)
U( 2, 2)
U( 2, 3)
U( 2, 4)
U( 2, 5)
U( 2, 6)
U( 2, 7)
U( 2, 8)
U( 2, 9)
U( 2, 10)
U( 2, 11)
U( 2, 12)
U( 3, 2)
U( 3, 3)
U( 3, 4)
U( 3, 5)
U( 3, 6)
U( 3, 7)
U( 3, 9)
U( 3, 10)
U( 3, 11)
U( 3, 12)
U( 4, 3)
U( 4, 4)
U( 4, 5)
U( 4, 6)
U( 4, 7)
U( 4, 8)
U( 4, 9)
U( 4, 10)
U( 4, 11)
U( 4, 12)
U( 5, 2)
9.000000
10.00000
8.000000
4.000000
3.000000
9.000000
6.000000
4.000000
3.000000
3.000000
12.00000
9.000000
6.000000
15.00000
12.00000
9.000000
6.000000
12.00000
9.000000
6.000000
3.000000
1.000000
3.000000
4.000000
5.000000
3.000000
2.000000
3.000000
5.000000
1.000000
3.000000
2.000000
3.000000
2.000000
3.000000
4.000000
3.000000
1.000000
3.000000
2.000000
5.000000
8.000000
3.000000
1.000000
2.000000
4.000000
3.000000
2.000000
1.000000
3.000000
2.000000
4.000000
1.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
U( 5, 3)
U( 5, 4)
U( 5, 5)
U( 5, 6)
U( 5, 7)
U( 5, 9)
U( 5, 10)
U( 5, 11)
U( 5, 12)
U( 6, 2)
U( 6, 3)
U( 6, 4)
U( 6, 5)
U( 6, 6)
U( 6, 7)
U( 6, 8)
U( 6, 9)
U( 6, 10)
U( 6, 11)
U( 6, 12)
X( 1, 2, 1)
X( 1, 2, 5)
X( 1, 2, 7)
X( 1, 3, 2)
X( 1, 4, 6)
X( 1, 4, 9)
X( 1, 5, 4)
X( 1, 5, 8)
X( 1, 7, 1)
X( 1, 7, 2)
X( 1, 7, 3)
X( 1, 7, 4)
X( 1, 7, 5)
X( 1, 7, 6)
X( 1, 7, 7)
X( 1, 7, 8)
X( 1, 7, 9)
X( 1, 7, 10)
X( 1, 7, 11)
X( 1, 7, 12)
X( 2, 3, 5)
X( 2, 3, 7)
X( 2, 5, 1)
X( 3, 4, 2)
X( 3, 7, 5)
X( 3, 7, 7)
X( 4, 7, 2)
X( 4, 7, 6)
X( 4, 7, 9)
X( 5, 6, 1)
X( 5, 6, 4)
X( 5, 6, 8)
X( 6, 7, 1)
3.000000
3.000000
2.000000
4.000000
1.000000
3.000000
2.000000
1.000000
3.000000
3.000000
3.000000
3.000000
3.000000
3.000000
3.000000
3.000000
3.000000
3.000000
3.000000
3.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
1.000000
1.000000
2.000000
3.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
24
X( 6, 7, 4)
X( 6, 7, 8)
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
25
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Cianjur pada 16 Juli 1990 sebagai anak pertama dari tiga
bersaudara, anak dari pasangan Ridwan dan Sri Mulyanti. Pada tahun 2002 penulis
lulus dari SD Negeri Kebon Pedes 1 Bogor, kemudian pada tahun 2005 lulus dari
SLTP Negeri 12 Kota Bogor. Tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Kota
Bogor dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur
USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB) dan diterima di Departemen Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif sebagai anggota Biro
Kewirausahaan Matematika IPB (GUMATIKA IPB) 2009/2010, anggota Biro
Kewirausahaan Matematika IPB (GUMATIKA IPB) 2010/2011. Penulis juga aktif
mengikuti ke
PEMROGRAMAN LINEAR INTEGER
ANGGUN ARYANTI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Masalah Pendistribusian
Barang menggunakan Pemrograman Linear Integer adalah benar karya saya dengan
arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Maret 2014
Anggun Aryanti
NIM G54080034
ABSTRAK
ANGGUN ARYANTI. Masalah Pendistribusian Barang Menggunakan
Pemrograman Linear Integer. Dibimbing oleh PRAPTO TRI SUPRIYO dan
FARIDA HANUM.
Salah satu hal penting dalam pendistribusian barang adalah penentuan
skenario pendistribusian barang yang meminimumkan total waktu perjalanan dari
perusahaan ke distributor-distributor. Permasalahan ini dapat dimodelkan sebagai
suatu Pemrograman Linear Integer (PLI). Model ini diimplementasikan untuk
kasus pengiriman produk berupa manisan kepada lima distributor dalam 12 periode
pengiriman dengan kendala antara lain adalah banyaknya persediaan barang di
distributor, penggunaan barang yang tidak melebihi persediaan, kapasitas
penyimpanan barang di distributor, masa kadaluarsa barang, dan durasi maksimum
tiap periode pengiriman. Perusahaan akan melakukan pengiriman barang kepada
setiap distributor untuk memenuhi kebutuhan konsumen melalui rute yang sudah
ditetapkan urutannya. Dengan model ini dihasilkan perjalanan yang terjadi dari
perusahaan ke distributor-distributor hingga kembali ke perusahaan dalam tiap
periode pengiriman beserta banyaknya barang yang dikirimkan ke setiap
distributor.
Kata kunci: meminimumkan waktu perjalanan, pemrograman linear integer,
pendistribusian barang
ABSTRACT
ANGGUN ARYANTI. The Problem of Product Distribution using Integer Linear
Programming. Supervised by PRAPTO TRI SUPRIYO and FARIDA HANUM.
One of the important things in determining the distribution of products is
searching distribution scenario that minimizes the total travel time from the depot
to distributors, where the problem can be modeled as an Integer Linear
Programming (ILP). In this work, we implemented the model to a candy company,
where we had to deliver products to 5 distributors within 12 periods. Constraints
should be considered are distributor inventory level, warehouse capacity, demandsupply balance, expiration date of product, and the maximum duration of each
period of delivery. We here assumed that the delivery process to distributors is
conducted through a predetermined order. The output of this model includes the
retour trip between depot and distributors as well as the delivered amount of
products in each period.
Key words: distribution of products, integer linear programming, minimize time
traveling
MASALAH PENDISTRIBUSIAN BARANG MENGGUNAKAN
PEMROGRAMAN LINEAR INTEGER
ANGGUN ARYANTI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Masalah Pendistribusian Barang menggunakan Pemrograman
Linear Integer
Nama
: Anggun Aryanti
NIM
: G54080034
Disetujui oleh
Drs Prapto Tri Supriyo, MKom
Pembimbing I
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
Judul Skripsi: Masalah Pendistribusian Barang menggunakan Pemrograman
Linear Integer
: Anggun Aryanti
Nama
: G54080034
NIM
Disetujui oleh
::'v
1
Drs Prapto Tri Supriyo, MKom
Pembimbing I
.
..,
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II
. ....
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
'2B MAR 2(J14
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga penelitian dengan judul Masalah Pendistribusian
Barang menggunakan Pemrograman Linear Integer dapat diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Drs Prapto Tri Supriyo, MKom
dan Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku pembimbing, serta Bapak Muhammad Ilyas,
MSi MSc yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga
disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih
sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Maret 2014
Anggun Aryanti
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian
1
1
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
MASALAH PENDISTRIBUSIAN BARANG
Deskripsi Masalah
Formulasi Masalah
3
3
3
IMPLEMENTASI MODEL
5
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Saran
11
11
11
DAFTAR PUSTAKA
12
LAMPIRAN
12
RIWAYAT HIDUP
25
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
Kuantitas barang yang dibutuhkan distributor
Waktu tempuh yang dibutuhkan ( ) pada setiap periode (t)
Kuantitas barang yang dikirim perusahaan kepada setiap distributor
Banyaknya persediaan barang di distributor
Penyaluran barang yang terjadi pada proses pendistribusian barang
6
6
9
9
9
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Sistem distribusi barang merupakan salah satu pendukung utama setelah
proses produksi. Hasil produksi atau produk dikirimkan kepada konsumen untuk
dipasarkan dengan tujuan memudahkan pemasaran produk. Tidak adanya kontrol
terhadap pendistribusian barang dapat menyebabkan kerugian bagi perusahaan.
Distribusi akan melibatkan pergerakan dan penyimpanan produk dari perusahaan
ke konsumen dengan pertambahan nilai dari produk (Tersine 1994).
Salah satu aspek yang dapat memengaruhi keberhasilan suatu perusahaan
dalam bertahan dan bersaing adalah proses sistem distribusi. Pendistribusian ini
mempunyai tujuan menyalurkan produk yang dihasilkan perusahaan untuk dapat
dinikmati oleh para konsumen. Konsumen-konsumen yang tersebar secara tidak
tertata menyebabkan perusahaan sulit untuk mendistribusikan produknya sehingga
perusahaan menempatkan produknya di berbagai lokasi yang mendekati konsumen.
Dalam melakukan pendistribusian barang menuju pihak distributor, sebuah
kendaraan pendistribusi barang tidak hanya melayani satu distributor saja, namun
harus melayani beberapa distributor sekaligus. Wilayah-wilayah distributor yang
berbeda menyebabkan suatu kendaraan pendistribusi barang harus menentukan rute
perjalanan yang akan dilaluinya sebelum melakukan perjalanan pendistribusian
barang. Penentuan rute yang akan diambil harus sesuai dengan jarak terbaik antara
distributor satu dengan distributor yang lainnya agar waktu tempuh minimum.
Selain rute, lamanya waktu tempuh, dan masa kadaluarsa barang juga harus
diperhatikan. Tiga hal tersebut menjadi sangat penting, karena pendistribusian
barang yang tidak tertata dengan baik akan memengaruhi harga produk. Naiknya
harga jual produk dapat menurunkan minat dan daya beli konsumen terhadap
produk tersebut. Menurunnya tingkat penjualan produk pada akhirnya dapat
mengancam kelangsungan hidup usaha dari sebuah perusahaan.
Tujuan Penelitian
Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah memodelkan masalah rute
pendistribusian barang ke distributor sehingga total waktu perjalanan minimum
menggunakan Pemrograman Linear Integer (PLI) dan menyelesaikannya dengan
LINGO 11.0. Dalam karya ilmiah ini akan diformulasikan masalah pendistribusian
barang ke dalam integer programming yang dimodifikasi dari model dalam artikel
yang berjudul Delivery Strategies for Blood Products Supplies ditulis oleh Vera
Hemmelmayr, Karl F. Doerner, Richard F. Hartl dan Martin W. P. Savelsbergh
tahun 2009.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Permasalahan pendistribusian barang dari suatu perusahaan ke para
konsumen dapat diformulasikan sebagai suatu Vehicle Routing Problem (VRP).
Dengan VRP dapat diperoleh suatu rute dengan jarak atau total biaya
pendistribusian yang seminimum mungkin. Rute tersebut merupakan rute
kendaraan yang mengunjungi setiap pelanggan tepat satu kali dengan
mempertimbangkan kendala-kendala yang ada.
Lebih dari 40 tahun yang lalu Dantzig dan Ramser memperkenalkan masalah
yang terjadi pada tahun 1959. Mereka menggambarkan sebuah aplikasi dunia nyata
mengenai pengiriman bensin untuk pusat pelayanan dan mengusulkan formulasi
pemrograman matematika yang pertama dan pendekatan algoritmik. Beberapa
tahun kemudian, pada tahun 1964 Clarke dan Wright mengusulkan heuristik greedy
efektif, peningkatan dari pendekatan Dantzig-Ramser. Setelah dua makalah ini,
ratusan model dan algoritme diusulkan untuk solusi optimal dan perkiraan versi
yang berbeda dari VRP. Puluhan paket untuk solusi dari berbagai VRP dunia nyata
kini tersedia. Contoh VRP terbesar yang dapat diselesaikan secara konsisten dengan
algoritma yang tepat dan paling efektif sejauh ini hanya untuk sekitar 50 pelanggan,
sedangkan contoh yang lebih besar dapat diselesaikan secara optimal hanya pada
kasus tertentu (Toth dan Vigo 2002).
Selain VRP masalah pendistribusian barang juga dapat diformulasikan
menggunakan Multi Periode Single Sourcing Problem (MPSSP). MPSSP adalah
masalah menemukan penempatan yang tepat, dari waktu ke waktu, dari pelanggan
ke gudang sehingga setiap pelanggan dihubungkan dengan tepat satu gudang di
setiap periode, sesuai dengan keterbatasan kapasitas, sehingga total biaya
transportasi dan persediaan diminimalkan (Romeijn dan Morales 1998).
MPSSP merupakan bagian dari masalah rantai suplai. Dalam MPSSP setiap
titik permintaan dipenuhi oleh tepat satu sumber dengan memperhatikan
kapasitasnya. Jaringan distribusi dianggap terdiri dari seperangkat fasilitas produksi
dan penyimpanan, dan satu set pelanggan yang tidak mempunyai persediaan.
Dengan memperhatikan kapasitas produksi, permintaan setiap pelanggan harus
dihubungkan dengan fasilitas tunggal dalam setiap periode. Hal ini berhubungan
dengan penempatan pelanggan untuk fasilitas, lokasi, waktu, dan ukuran persediaan
(Romeijn dan Morales 1998).
Diasumsikan bahwa setiap pabrik telah memiliki kapasitas yang telah
diketahui dan terbatas dalam waktu yang berbeda-beda. Diasumsikan pula bahwa
setiap gudang yang terhubung memiliki kapasitas dan penyaluran yang tidak
terbatas. Dengan kata lain, diasumsikan bahwa kapasitas gudang cukup untuk
mampu menyimpan akumulasi produksi dari pabrik-pabrik yang terhubung, bahkan
jika pabrik memproduksi kapasitas penuh dalam setiap periode. Kapasitas
penyaluran dari gudang juga cukup besar untuk mampu memenuhi berbagai
kombinasi permintaan pelanggan yang dihubungkan dengan gudang tersebut. Jadi,
setiap pelanggan perlu untuk ditempatkan ke fasilitas tertentu pada setiap periode
(Romeijn dan Morales 1998).
3
MASALAH PENDISTRIBUSIAN BARANG
Deskripsi Masalah
Masalah pendistribusian barang yang dimaksud dalam karya ilmiah ini adalah
masalah penentuan rute kendaraan dalam melakukan pengiriman barang dari
perusahaan ke beberapa distributor hingga kembali ke perusahaan awal untuk
meminimumkan total waktu perjalanan sehingga kendala-kendala yang terkait
terpenuhi. Dalam meminimumkan waktu perjalanan, hal yang harus
dipertimbangkan adalah masa kadaluarsa produk dan lamanya waktu perjalanan
dari perusahaan ke beberapa distributor hingga kembali ke perusahaan.
Banyaknya barang yang disimpan tidak boleh melampaui kapasitas
penyimpanan distributor, dan barang yang disimpan itu selanjutnya akan
dikirimkan kembali oleh distributor kepada konsumen pada periode selanjutnya
selama tidak melewati masa kadaluarsa barang. Dalam setiap periode pengiriman
barang perusahaan akan mengirimkan barang kepada distributor yang
membutuhkan barang, jika suatu distributor tidak membutuhkan barang maka
perusahaan akan mengirimkan barang ke distributor lain yang membutuhkan
barang sebelum kembali ke perusahaan.
Kunjungan ke setiap distributor bergantung pada permintaan distributor ke
perusahaan. Keadaan ini memengaruhi penurunan biaya pengiriman, tetapi tetap
harus diperhatikan dengan cermat pendistribusian barang ini agar pengiriman
produk ke distributor terpenuhi setiap waktu dan banyaknya produk yang rusak
seminimal mungkin.
Dalam karya ilmiah ini, akan ditentukan total waktu perjalanan minimum
dalam melakukan pendistribusian produk manisan dari perusahaan ke distributordistributor dengan mempertimbangkan kebutuhan barang di distributor, banyaknya
barang yang dikirimkan ke distributor, lamanya pengiriman, dan masa kadaluarsa
barang.
Formulasi Masalah
Masalah pendistribusian barang ini dapat diformulasikan sebagai suatu
Pemrograman Linear Integer (PLI). Model dalam kasus ini menggunakan indeks,
parameter dan variabel keputusan sebagai berikut:
Indeks
i = 1, 2, ..., � , merupakan indeks untuk distributor, dengan i = 1 merupakan
perusahaan tempat awal rute pendistribusian.
j = 2, 3, ..., �+1, merupakan indeks untuk distributor, dengan j = �+1 merupakan
perusahaan tempat akhir rute pendistribusian.
t = 1, 2, ..., �, merupakan indeks untuk periode.
Parameter
Iit = banyaknya persediaan barang di distributor pada periode
uti = banyaknya barang yang dibutuhkan distributor
untuk memenuhi
kebutuhan konsumen pada periode
4
dit =
wij =
Ci =
si =
D =
� =
� =
banyaknya barang yang dikirim perusahaan ke distributor pada periode
waktu tempuh dari distributor ke distributor
kapasitas penyimpanan di distributor
lamanya bongkar muat di distributor
durasi maksimum tiap rute
lamanya penyimpanan barang
masa kadaluarsa barang
Variabel Keputusan
1, jika distributor i dikunjungi pada periode t
={
0, jika selainnya
1, jika terdapat perjalanan dari distributor i ke distributor j pada periode t
={
0, jika selainnya
1, jika terdapat pengiriman barang pada periode t
={
0, jika selainnya
Fungsi Objektif
min ∑ ∑ wij xtij
t
i,j
yaitu meminimumkan total waktu perjalanan pendistribusian barang dari
perusahaan ke distributor-distributor hingga kembali ke perusahaan.
Kendala
1. Persediaan barang suatu distributor di periode selanjutnya ditentukan oleh
persediaan barang di periode sekarang, kebutuhan barang dan kiriman barang
dari perusahaan.
� + =� − +� ,
= , … , �,
= ,…,�
2. Kebutuhan barang di beberapa periode selanjutnya tidak melebihi persediaan.
�
+� −
∑
=
,
= , … , �,
= ,…,�
3. Persediaan barang tidak kurang dari persediaan mula-mula.
�
� ,
= , … , �,
= ,…,�
4. Persediaan barang tidak melebihi kapasitas penyimpanan distributor.
�
,
= , … , �,
= ,…,�
5. Persediaan barang harus habis sebelum masa kadaluarsa.
�
+� −
∑
=
,
= , … , �,
= ,…,�
6. Banyaknya barang yang dikirimkan ke distributor tidak melebihi kapasitas
penyimpanan distributor.
�
,
= , … , �,
= ,…,�
5
7. Pengiriman dilakukan secara berurut dimulai dari distributor dengan indeks kecil
kemudian dilanjutkan dengan distributor berindeks yang lebih besar. Penentuan
indeks ini diperoleh dari solusi masalah Travelling Salesman Problem (TSP).
+
−
−
− ∑
=+
,
= , … , �, = , . . . , � + , = , … , �
Perusahaan akan mengirimkan barang ke Distributor 1 jika Distributor 1
membutuhkan kiriman barang, jika Distributor 1 tidak membutuhkan kiriman
barang maka perusahaan akan langsung mengirimkan barang ke Distributor 2
tanpa melalui Distributor 1 terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan ke Distributor
2 jika Distributor 2 juga membutuhkan kiriman barang, jika tidak perusahaan
akan langsung mengirimkan barang ke Distributor 3 tanpa melalui Distributor 2
terlebih dahulu, lalu distributor-distributor lain secara berurut hingga ke
Distributor � kemudian kembali ke Perusahaan. Perusahaan tidak melakukan
kiriman barang secara acak, misal mengirimkan barang ke Distributor 5 terlebih
dahulu kemudian mengirimkan ke Distributor 2, lalu ke Distributor 4 kemudian
kembali ke perusahaan.
8. Lamanya pengiriman tidak melebihi durasi maksimum.
� �+
∑∑
=
=
�
+∑
=
,
= ,…,�
9. Perusahaan selalu mengirimkan barang ke distributor di setiap periode.
= ,…,�
= �+ = ,
10. Jika ada distributor yang dikunjungi maka terdapat pengiriman barang dari
perusahaan.
= , … , �,
= ,…,�
11. Semua variabel keputusan bernilai nol atau satu.
∈ { , }; ∀ ,
∈ { , }; ∀ , ,
∈ { , }; ∀
IMPLEMENTASI MODEL
Dalam permasalahan ini misalkan diambil masalah pendistribusian manisan.
Perusahaan produksi manisan harus mengirimkan produknya ke distributordistributor di setiap periodenya. Dalam melakukan pengiriman barang tentu saja
tidak semua distributor harus dikunjungi, hanya distributor yang meminta saja yang
dikunjungi untuk mendapatkan kiriman barang.
Asumsi yang digunakan pada karya ilmiah ini ialah sebagai berikut:
1. Perusahaan awal dan perusahaan akhir adalah perusahaan yang sama yaitu
sebagai sumber barang ke distributor.
2. Satu periode sama dengan 7 hari.
3. Banyaknya kebutuhan konsumen kepada distributor sudah diketahui
sebelumnya.
6
4. Kapasitas produksi dan kapasitas kendaraan tidak dipertimbangkan.
5. Pengiriman barang hanya menggunakan satu unit kendaraan.
Data yang diberikan merupakan data hipotetik dengan satuan unit untuk setiap
barang dan satuan jam untuk waktu tempuh. Diandaikan dalam satu periode
pengiriman terdapat lima distributor yang harus dipenuhi kebutuhannya dalam dua
belas periode seperti yang diberikan pada Tabel 1.
Tabel 1 Kuantitas barang yang dibutuhkan distributor
Distributor
1
2
3
4
5
1
0
0
0
0
0
2
1
3
0
1
3
3
3
2
3
3
3
4
4
3
1
3
1
Periode
6 7 8
3 2 3
3 1 0
4 3 2
4 1 0
3 3 3
5
5
4
2
2
3
9
5
3
1
3
3
10
1
2
3
2
3
11
3
5
2
1
3
Persediaan
awal
1
3
5
1
3
12
2
8
4
3
3
Tabel 2 menampilkan lamanya perjalanan yang harus ditempuh perusahaan ke
distributor.
Tabel 2 Waktu tempuh yang dibutuhkan (
) pada setiap periode (t)
Perusahaan
(awal
rute)
Distributor
1
Distributor
2
Perusahaan
(awal rute)
0
1
1
1
1
1
0
Distributor 1
1
0
1
3
2
4
1
Distributor 2
1
1
0
3
2
2
1
Distributor 3
1
3
3
0
5
2
1
Distributor 4
1
2
2
5
0
1
1
Distributor 5
1
4
2
2
1
0
1
Perusahaan
(akhir rute)
0
1
1
1
1
1
0
Distri- Distri- Distributor butor butor
3
4
5
Perusahaan
(akhir
rute)
Berdasarkan permasalahan yang ada, formulasi matematik dari masalah tersebut
dapat ditulis menggunakan indeks, parameter, dan variabel keputusan sebagai
berikut:
7
Indeks
i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, merupakan indeks untuk distributor, dengan i = 1 merupakan
perusahaan awal rute pendistribusian.
j = 2, 3, 4, 5, 6, 7, merupakan indeks untuk distributor, dengan j = 7 merupakan
perusahaan akhir rute pendistribusian.
t = 1, 2, ...,12, merupakan indeks untuk periode.
Parameter
Iit = banyaknya persediaan barang di distributor pada periode
uti = banyaknya barang yang dibutuhkan distributor
untuk memenuhi
kebutuhan konsumen pada periode
dit = banyaknya barang yang dikirimkan perusahaan ke distributor pada periode
wij
Ci
si
D
�
�
=
=
=
=
=
=
waktu tempuh dari distributor ke distributor
kapasitas penyimpanan di distributor =
unit
lamanya bongkar muat di distributor = jam
durasi rute maksimum tiap periode = 8 jam
lamanya penyimpanan barang = 2 periode
lamanya masa kadaluarsa barang = 5 periode
Variabel Keputusan
1, jika distributor i dikunjungi pada periode t
={
0, jika selainnya
1, jika terdapat perjalanan dari distributor i ke distributor j pada periode t
={
0, jika selainnya
1, jika terdapat pengiriman barang pada periode t
={
0, jika selainnya
Fungsi Objektif
min ∑ ∑
,
yaitu meminimumkan total waktu perjalanan pendistribusian barang dari
perusahaan ke distributor-distributor hingga kembali ke perusahaan.
Kendala
1. Persediaan barang suatu distributor di periode selanjutnya ditentukan oleh
persediaan barang di periode sekarang, kebutuhan barang dan kiriman barang
dari perusahaan.
� + =� − +� ,
= ,…, ,
= ,…,
2. Penggunaan barang di beberapa periode selanjutnya tidak melebihi persediaan.
�
+ −
∑
=
,
= ,…, ,
= ,…,
3. Persediaan barang tidak kurang dari persediaan mula-mula.
�
� ,
= ,…, ,
= ,…,
8
4. Persediaan barang tidak melebihi kapasitas penyimpanan distributor.
�
,
= ,…, ,
= ,…,
5. Persediaan barang harus habis sebelum masa kadaluarsa.
+ −
�
,
∑
=
= ,…, ,
= ,…,
6. Banyaknya barang yang dikirimkan ke distributor tidak melebihi kapasitas
penyimpanan distributor.
�
,
= ,…, ,
= ,…,
7. Pengiriman dilakukan secara berurut dimulai dari distributor dengan indeks kecil
kemudian dilanjutkan dengan distributor berindeks yang lebih besar. Penentuan
indeks ini diperoleh dari solusi masalah Travelling Salesman Problem (TSP).
+
−
− − ∑
=+
,
= ,…, , = ,..., ,
8. Lamanya pengiriman tidak melebihi durasi maksimum.
∑∑
=
=
+∑
=
,
= ,…, ,
= ,..., ,
= ,…,
= ,…,
9. Perusahaan selalu mengirimkan barang ke distributor di setiap periode.
=
= ,
= ,…,
10. Jika ada distributor yang dikunjungi maka terdapat pengiriman barang dari
perusahaan.
= ,…, ,
= ,…,�
11. Semua variabel keputusan bernilai nol atau satu.
∈ { , }; ∀ ,
∈ { , }; ∀ , ,
∈ { , }; ∀
Penyelesaian masalah pengiriman barang pada karya ilmiah ini dilakukan
dengan bantuan software LINGO 11.0. Program dan hasil komputasi dicantumkan
pada Lampiran 1. Solusi yang didapat adalah solusi optimal dengan nilai fungsi
objektif 26 jam untuk dua belas periode pengiriman barang dari perusahaan ke 5
distributor. Hasil yang diperoleh dari proses komputasi dapat dilihat pada Tabel 3
dan Tabel 4, sedangkan pada Tabel 5 diberikan penyaluran barang yang terjadi pada
proses pendistribusian barang.
9
Tabel 3 Kuantitas barang yang dikirim perusahaan kepada setiap distributor
Distributor
1
2
3
4
5
1
15
0
0
12
9
2
0
10
10
0
0
3
0
0
0
0
0
4
0
0
0
4
12
5
5
6
0
0
0
Periode
6
7
0
11
0
13
6
0
0
0
0
0
8
0
0
0
6
9
9
0
0
6
0
0
10
0
0
0
0
0
11
0
0
0
0
0
12
0
0
0
0
0
11
5
13
6
4
6
12
2
8
4
3
3
Tabel 4 Banyaknya persediaan barang di distributor
Distributor
1
2
3
4
5
1
1
5
3
1
3
2
16
15
3
13
12
3
15
12
13
12
9
4
12
10
10
9
6
5
8
7
9
10
15
Periode
6
7
8
5
9
6
7
9
8
4
12
9
8
14
18
6
3
6
9
11
18
4
9
12
10
6
15
9
6
9
Tabel 5 Penyaluran barang yang terjadi pada proses pendistribusian barang
Periode
1
2
3
4
5
6
7
Penyaluran barang
Persediaan awal distributor
Kuantitas barang yang dibutuhkan
Kiriman barang
Persediaan barang
Kuantitas barang yang dibutuhkan
Kiriman barang
Persediaan barang
Kuantitas barang yang dibutuhkan
Kiriman barang
Persediaan barang
Kuantitas barang yang dibutuhkan
Kiriman barang
Persediaan barang
Kuantitas barang yang dibutuhkan
Kiriman barang
Persediaan barang
Kuantitas barang yang dibutuhkan
Kiriman barang
Persediaan barang
Kuantitas barang yang dibutuhkan
Kiriman barang
1
1
0
15
16
1
0
15
3
0
12
4
0
8
5
5
8
3
0
5
2
11
Distributor
2
3
4
5
3
1
0
0
0
0
0 12
5
3 13
3
0
1
10 10 0
12 13 12
2
3
3
0
0
0
10 10 9
3
1
3
0
0
4
7
9 10
4
2
2
6
0
0
9
7
8
3
4
4
0
6
0
6
9
4
1
3
1
13 0
0
5
3
0
9
12
3
0
9
3
0
6
3
12
15
3
0
12
3
0
9
3
0
10
Tabel 5 Penyaluran barang yang terjadi pada proses pendistribusian barang
(lanjutan)
Persediaan barang
14 18 6
3
6
8
Kuantitas barang yang dibutuhkan
3
0
2
0
3
Kiriman barang
0
0
0
6
9
Persediaan barang
11 18 4
9 12
9
Kuantitas barang yang dibutuhkan
5
3
1
3
3
Kiriman barang
0
0
6
0
0
Persediaan barang
6 15 9
6
9
10
Kuantitas barang yang dibutuhkan
1
2
3
2
3
Kiriman barang
0
0
0
0
0
Persediaan barang
5 13 6
4
6
11
Kuantitas barang yang dibutuhkan
3
5
2
1
3
Kiriman barang
0
0
0
0
0
Persediaan barang
2
8
4
3
3
12
Kuantitas barang yang dibutuhkan
2
8
4
3
3
Kiriman barang
0
0
0
0
0
Dari Tabel 5 terlihat bahwa pada Periode 1 perusahaan mengirimkan barang
ke Distributor 1, Distributor 4 dan Distributor 5, sedangkan pada Distributor 2 dan
Distributor 3 tidak terdapat kiriman barang karena persediaan barang di awal
periode pada kedua distributor masih dapat memenuhi kuantitas barang yang
dibutuhkan. Pada Periode 2 terdapat perjalanan dari perusahaan ke Distributor 2
dilanjutkan ke Distributor 3 kemudian kembali ke perusahaan. Begitu pula yang
terjadi pada periode-periode lainnya.
Terlihat pula bahwa persediaan habis sebelum masa kadaluarsa, yaitu 5
periode seperti contoh Distributor 1 pada Periode 1 persediaan awal Distributor 1
adalah 1 dan persediaan awal ini habis sebelum Periode 6. Pada Periode 2
Distributor 1 memiliki persediaan barang 16 pada Periode 2 barang yang
dibutuhkan 1, pada Periode 3 barang yang dibutuhkan 3, pada Periode 4 barang
yang dibutuhkan 4, pada Periode 5 barang yang dibutuhkan 5, dan pada Periode 6
barang yang dibutuhkan 3, sehingga 16 - 1 - 3 - 4 - 5 - 3 = 0. Barang habis sebelum
Periode 7 pada Distributor 1. Sama halnya yang terjadi pada periode-periode
selanjutnya di Distributor 1. Begitu pula yang terjadi pada distributor-distributor
lainnya.
Pada Tabel 5 dan Gambar 1 juga terlihat bahwa durasi pendistribusian tidak
melebihi 8 jam. Sebagai contoh pada Periode pertama perusahaan mengirimkan
barang kepada Distributor 1 yang ditempuh selama 1 jam dan melakukan bongkar
muat selama 1 jam, setelah itu kendaraan perusahaan melanjutkan perjalanannya ke
Distributor 4 yang ditempuh selama 2 jam dan melakukan bongkar muat selama 1
jam, kemudian dilanjutkan dengan mengunjungi Distributor 5 yang ditempuh
selama 1 jam dan melakukan bongkar muat selama 1 jam, lalu kendaraan kembali
ke perusahaan yang ditempuh selama 1 jam.
11
Periode 1
1
4
Periode 2
2
Periode 4
4
5
Periode 5
1
2
Periode 6
3
Periode 7
1
2
Periode 8
4
5
5
3
Periode 9
3
Gambar 1 Bagan waktu pendistribusian barang. Satu kotak mewakili 1 jam, (
waktu perjalanan, ( ) waktu bongkar muat di Distributor .
)
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Masalah pendistribusian barang multiperiode dengan kendala waktu dapat
diselesaikan menggunakan Pemrograman Linear Integer (PLI). Pendistribusian
yang dibuat bertujuan meminimumkan total waktu perjalanan pendistribusian
barang dari perusahaan ke distributor-distributor hingga kembali ke perusahaan dan
memenuhi kendala yang ada.
Model ini dapat diselesaikan menggunakan software LINGO 11.0, sehingga
dapat diperoleh solusi optimal. Studi kasus dalam pengiriman produk berupa
manisan kepada 5 distributor membutuhkan waktu 26 jam untuk 12 periode
pengiriman.
Saran
Pada karya ilmiah ini, data yang digunakan merupakan data hipotetik.
Penelitian ini dapat dikembangkan dengan mempertimbangkan kapasitas
kendaraan dan kapasitas produksi barang agar penelitian semakin mendekati
masalah sebenarnya.
12
DAFTAR PUSTAKA
Hemmelmayr V, Doerner K F, Hartl R F, Savelsbergh MWP. 2009. Delivery
strategies for blood products supplies. OR Spectrum. 31:707725.doi:10.1007/s00291-008-0134-7.
Romeijn H E, Morales R D. 1998. Generating experimental data for the generalized
assignment
problem.
Operations
Research.
49:866878.doi:10.1287/opre.49.6.866.10021.
Tersine J R. 1994. Principles of Inventory and Materials Management. North
Holland (NL) : PTR Prentice.
Toth P, Vigo D. 2002. An overview of vehicle routing problems. Di dalam Toth P,
Vigo D, editor. The Vehicle Routing Problem. Philadelphia: Siam, hlm1-26.
13
Lampiran 1
Syntax dan hasil komputasi program LINGO 11.0 untuk masalah pendistribusian barang
kepada 5 distributor dalam 12 periode
model:
sets:
periode/1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12/;
distributor/1,2,3,4,5,6,7/:s,c;
link1(distributor,distributor):w;
link2(distributor,periode):d,y,ii,u;
link21(distributor,periode);
link3(distributor,distributor,periode):x;
endsets
data:
Dmax=8;
c=20 20 20 20 20 20 20;
s=1 1 1 1 1 1 1;
k1=2;
k2=5;
w=0 1 1 1 1 1 0
1013241
1103221
1330521
1225011
1422101
0 1 1 1 1 1 0;
u=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
013453235132
032343103258
003124321324
013324103213
033333333333
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
enddata
ii(2,1)=1;
ii(3,1)=5;
ii(4,1)=3;
ii(5,1)=1;
ii(6,1)=3;
!fo : Meminimumkan total waktu perjalanan pendistribusian barang dari perusahaan ke
distributor-distributor hingga kembali ke perusahaan.
min=@sum(link3(i,j,t):w(i,j)*x(i,j,t));
!kendala 1: Persediaan barang suatu distributor di periode selanjutnya ditentukan oleh
persediaan barang di periode skarang, kebutuhan barang, dan kiriman barang dari
perusahaan.
@for (link2(i,t):@for (Link21(i,a)|a#EQ#t+1 :II(i,a)=II(i,t)-u(i,t)+d(i,t)));
14
!kendala 2: Penggunaan barang di beberapa periode selanjutnya tidak melebihi
persediaan.
@for (distributor(i):II(i,1)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1#and#a#GE#1:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,2)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+1#and#a#GE#2:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,3)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+2#and#a#GE#3:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,4)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+3#and#a#GE#4:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,5)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+4#and#a#GE#5:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,6)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+5#and#a#GE#6:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,7)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+6#and#a#GE#7:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,8)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+7#and#a#GE#8:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,9)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+8#and#a#GE#9:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,10)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+9#and#a#GE#10:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,11)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+10#and#a#GE#11:u(i,a)));
@for (distributor(i):II(i,12)>=@sum(periode(a)|a#LE#k1+11#and#a#GE#12:u(i,a)));
!kendala 3: Persediaan barang tidak kurang dari persediaan mula-mula.
@for (Link2(i,t)|t#NE#1:II(i,t)>=II(i,1));
!kendala 4: Persediaan barang tidak melebihi kapasitas penyimpanan distributor.
@for (distributor(i):@for (link2(i,t):II(i,t)=y(3,1)+y(6,1)-1-y(4,1)-y(5,1);
x(3,7,1)>=y(3,1)+y(7,1)-1-y(4,1)-y(5,1)-y(6,1);
x(4,5,1)>=y(4,1)+y(5,1)-1;
x(4,6,1)>=y(4,1)+y(6,1)-1-y(5,1);
x(4,7,1)>=y(4,1)+y(7,1)-1-y(5,1)-y(6,1);
x(5,6,1)>=y(5,1)+y(6,1)-1;
x(5,7,1)>=y(5,1)+y(7,1)-1-y(6,1);
x(6,7,1)>=y(6,1)+y(7,1)-1;
x(1,2,2)>=y(1,2)+y(2,2)-1;
x(1,3,2)>=y(1,2)+y(3,2)-1-y(2,2);
x(1,4,2)>=y(1,2)+y(4,2)-1-y(2,2)-y(3,2);
x(1,5,2)>=y(1,2)+y(5,2)-1-y(2,2)-y(3,2)-y(4,2);
x(1,6,2)>=y(1,2)+y(6,2)-1-y(2,2)-y(3,2)-y(4,2)-y(5,2);
x(1,7,2)>=y(1,2)+y(7,2)-1-y(2,2)-y(3,2)-y(4,2)-y(5,2)-y(6,2);
x(2,3,2)>=y(2,2)+y(3,2)-1;
x(2,4,2)>=y(2,2)+y(4,2)-1-y(3,2);
x(2,5,2)>=y(2,2)+y(5,2)-1-y(3,2)-y(4,2);
x(2,6,2)>=y(2,2)+y(6,2)-1-y(3,2)-y(4,2)-y(5,2);
x(2,7,2)>=y(2,2)+y(7,2)-1-y(3,2)-y(4,2)-y(5,2)-y(6,2);
x(3,4,2)>=y(3,2)+y(4,2)-1;
x(3,5,2)>=y(3,2)+y(5,2)-1-y(4,2);
x(3,6,2)>=y(3,2)+y(6,2)-1-y(4,2)-y(5,2);
x(3,7,2)>=y(3,2)+y(7,2)-1-y(4,2)-y(5,2)-y(6,2);
x(4,5,2)>=y(4,2)+y(5,2)-1;
x(4,6,2)>=y(4,2)+y(6,2)-1-y(5,2);
x(4,7,2)>=y(4,2)+y(7,2)-1-y(5,2)-y(6,2);
x(5,6,2)>=y(5,2)+y(6,2)-1;
x(5,7,2)>=y(5,2)+y(7,2)-1-y(6,2);
x(6,7,2)>=y(6,2)+y(7,2)-1;
x(1,2,3)>=y(1,3)+y(2,3)-1;
x(1,3,3)>=y(1,3)+y(3,3)-1-y(2,3);
x(1,4,3)>=y(1,3)+y(4,3)-1-y(2,3)-y(3,3);
x(1,5,3)>=y(1,3)+y(5,3)-1-y(2,3)-y(3,3)-y(4,3);
x(1,6,3)>=y(1,3)+y(6,3)-1-y(2,3)-y(3,3)-y(4,3)-y(5,3);
x(1,7,3)>=y(1,3)+y(7,3)-1-y(2,3)-y(3,3)-y(4,3)-y(5,3)-y(6,3);
x(2,3,3)>=y(2,3)+y(3,3)-1;
x(2,4,3)>=y(2,3)+y(4,3)-1-y(3,3);
x(2,5,3)>=y(2,3)+y(5,3)-1-y(3,3)-y(4,3);
x(2,6,3)>=y(2,3)+y(6,3)-1-y(3,3)-y(4,3)-y(5,3);
16
x(2,7,3)>=y(2,3)+y(7,3)-1-y(3,3)-y(4,3)-y(5,3)-y(6,3);
x(3,4,3)>=y(3,3)+y(4,3)-1;
x(3,5,3)>=y(3,3)+y(5,3)-1-y(4,3);
x(3,6,3)>=y(3,3)+y(6,3)-1-y(4,3)-y(5,3);
x(3,7,3)>=y(3,3)+y(7,3)-1-y(4,3)-y(5,3)-y(6,3);
x(4,5,3)>=y(4,3)+y(5,3)-1;
x(4,6,3)>=y(4,3)+y(6,3)-1-y(5,3);
x(4,7,3)>=y(4,3)+y(7,3)-1-y(5,3)-y(6,3);
x(5,6,3)>=y(5,3)+y(6,3)-1;
x(5,7,3)>=y(5,3)+y(7,3)-1-y(6,3);
x(6,7,3)>=y(6,3)+y(7,3)-1;
x(1,2,4)>=y(1,4)+y(2,4)-1;
x(1,3,4)>=y(1,4)+y(3,4)-1-y(2,4);
x(1,4,4)>=y(1,4)+y(4,4)-1-y(2,4)-y(3,4);
x(1,5,4)>=y(1,4)+y(5,4)-1-y(2,4)-y(3,4)-y(4,4);
x(1,6,4)>=y(1,4)+y(6,4)-1-y(2,4)-y(3,4)-y(4,4)-y(5,4);
x(1,7,4)>=y(1,4)+y(7,4)-1-y(2,4)-y(3,4)-y(4,4)-y(5,4)-y(6,4);
x(2,3,4)>=y(2,4)+y(3,4)-1;
x(2,4,4)>=y(2,4)+y(4,4)-1-y(3,4);
x(2,5,4)>=y(2,4)+y(5,4)-1-y(3,4)-y(4,4);
x(2,6,4)>=y(2,4)+y(6,4)-1-y(3,4)-y(4,4)-y(5,4);
x(2,7,4)>=y(2,4)+y(7,4)-1-y(3,4)-y(4,4)-y(5,4)-y(6,4);
x(3,4,4)>=y(3,4)+y(4,4)-1;
x(3,5,4)>=y(3,4)+y(5,4)-1-y(4,4);
x(3,6,4)>=y(3,4)+y(6,4)-1-y(4,4)-y(5,4);
x(3,7,4)>=y(3,4)+y(7,4)-1-y(4,4)-y(5,4)-y(6,4);
x(4,5,4)>=y(4,4)+y(5,4)-1;
x(4,6,4)>=y(4,4)+y(6,4)-1-y(5,4);
x(4,7,4)>=y(4,4)+y(7,4)-1-y(5,4)-y(6,4);
x(5,6,4)>=y(5,4)+y(6,4)-1;
x(5,7,4)>=y(5,4)+y(7,4)-1-y(6,4);
x(6,7,4)>=y(6,4)+y(7,4)-1;
x(1,2,5)>=y(1,5)+y(2,5)-1;
x(1,3,5)>=y(1,5)+y(3,5)-1-y(2,5);
x(1,4,5)>=y(1,5)+y(4,5)-1-y(2,5)-y(3,5);
x(1,5,5)>=y(1,5)+y(5,5)-1-y(2,5)-y(3,5)-y(4,5);
x(1,6,5)>=y(1,5)+y(6,5)-1-y(2,5)-y(3,5)-y(4,5)-y(5,5);
x(1,7,5)>=y(1,5)+y(7,5)-1-y(2,5)-y(3,5)-y(4,5)-y(5,5)-y(6,5);
x(2,3,5)>=y(2,5)+y(3,5)-1;
x(2,4,5)>=y(2,5)+y(4,5)-1-y(3,5);
x(2,5,5)>=y(2,5)+y(5,5)-1-y(3,5)-y(4,5);
17
x(2,6,5)>=y(2,5)+y(6,5)-1-y(3,5)-y(4,5)-y(5,5);
x(2,7,5)>=y(2,5)+y(7,5)-1-y(3,5)-y(4,5)-y(5,5)-y(6,5);
x(3,4,5)>=y(3,5)+y(4,5)-1;
x(3,5,5)>=y(3,5)+y(5,5)-1-y(4,5);
x(3,6,5)>=y(3,5)+y(6,5)-1-y(4,5)-y(5,5);
x(3,7,5)>=y(3,5)+y(7,5)-1-y(4,5)-y(5,5)-y(6,5);
x(4,5,5)>=y(4,5)+y(5,5)-1;
x(4,6,5)>=y(4,5)+y(6,5)-1-y(5,5);
x(4,7,5)>=y(4,5)+y(7,5)-1-y(5,5)-y(6,5);
x(5,6,5)>=y(5,5)+y(6,5)-1;
x(5,7,5)>=y(5,5)+y(7,5)-1-y(6,5);
x(6,7,5)>=y(6,5)+y(7,5)-1;
x(1,2,6)>=y(1,6)+y(2,6)-1;
x(1,3,6)>=y(1,6)+y(3,6)-1-y(2,6);
x(1,4,6)>=y(1,6)+y(4,6)-1-y(2,6)-y(3,6);
x(1,5,6)>=y(1,6)+y(5,6)-1-y(2,6)-y(3,6)-y(4,6);
x(1,6,6)>=y(1,6)+y(6,6)-1-y(2,6)-y(3,6)-y(4,6)-y(5,6);
x(1,7,6)>=y(1,6)+y(7,6)-1-y(2,6)-y(3,6)-y(4,6)-y(5,6)-y(6,6);
x(2,3,6)>=y(2,6)+y(3,6)-1;
x(2,4,6)>=y(2,6)+y(4,6)-1-y(3,6);
x(2,5,6)>=y(2,6)+y(5,6)-1-y(3,6)-y(4,6);
x(2,6,6)>=y(2,6)+y(6,6)-1-y(3,6)-y(4,6)-y(5,6);
x(2,7,6)>=y(2,6)+y(7,6)-1-y(3,6)-y(4,6)-y(5,6)-y(6,6);
x(3,4,6)>=y(3,6)+y(4,6)-1;
x(3,5,6)>=y(3,6)+y(5,6)-1-y(4,6);
x(3,6,6)>=y(3,6)+y(6,6)-1-y(4,6)-y(5,6);
x(3,7,6)>=y(3,6)+y(7,6)-1-y(4,6)-y(5,6)-y(6,6);
x(4,5,6)>=y(4,6)+y(5,6)-1;
x(4,6,6)>=y(4,6)+y(6,6)-1-y(5,6);
x(4,7,6)>=y(4,6)+y(7,6)-1-y(5,6)-y(6,6);
x(5,6,6)>=y(5,6)+y(6,6)-1;
x(5,7,6)>=y(5,6)+y(7,6)-1-y(6,6);
x(6,7,6)>=y(6,6)+y(7,6)-1;
x(1,2,7)>=y(1,7)+y(2,7)-1;
x(1,3,7)>=y(1,7)+y(3,7)-1-y(2,7);
x(1,4,7)>=y(1,7)+y(4,7)-1-y(2,7)-y(3,7);
x(1,5,7)>=y(1,7)+y(5,7)-1-y(2,7)-y(3,7)-y(4,7);
x(1,6,7)>=y(1,7)+y(6,7)-1-y(2,7)-y(3,7)-y(4,7)-y(5,7);
x(1,7,7)>=y(1,7)+y(7,7)-1-y(2,7)-y(3,7)-y(4,7)-y(5,7)-y(6,7);
x(2,3,7)>=y(2,7)+y(3,7)-1;
x(2,4,7)>=y(2,7)+y(4,7)-1-y(3,7);
18
x(2,5,7)>=y(2,7)+y(5,7)-1-y(3,7)-y(4,7);
x(2,6,7)>=y(2,7)+y(6,7)-1-y(3,7)-y(4,7)-y(5,7);
x(2,7,7)>=y(2,7)+y(7,7)-1-y(3,7)-y(4,7)-y(5,7)-y(6,7);
x(3,4,7)>=y(3,7)+y(4,7)-1;
x(3,5,7)>=y(3,7)+y(5,7)-1-y(4,7);
x(3,6,7)>=y(3,7)+y(6,7)-1-y(4,7)-y(5,7);
x(3,7,7)>=y(3,7)+y(7,7)-1-y(4,7)-y(5,7)-y(6,7);
x(4,5,7)>=y(4,7)+y(5,7)-1;
x(4,6,7)>=y(4,7)+y(6,7)-1-y(5,7);
x(4,7,7)>=y(4,7)+y(7,7)-1-y(5,7)-y(6,7);
x(5,6,7)>=y(5,7)+y(6,7)-1;
x(5,7,7)>=y(5,7)+y(7,7)-1-y(6,7);
x(6,7,7)>=y(6,7)+y(7,7)-1;
x(1,2,8)>=y(1,8)+y(2,8)-1;
x(1,3,8)>=y(1,8)+y(3,8)-1-y(2,8);
x(1,4,8)>=y(1,8)+y(4,8)-1-y(2,8)-y(3,8);
x(1,5,8)>=y(1,8)+y(5,8)-1-y(2,8)-y(3,8)-y(4,8);
x(1,6,8)>=y(1,8)+y(6,8)-1-y(2,8)-y(3,8)-y(4,8)-y(5,8);
x(1,7,8)>=y(1,8)+y(7,8)-1-y(2,8)-y(3,8)-y(4,8)-y(5,8)-y(6,8);
x(2,3,8)>=y(2,8)+y(3,8)-1;
x(2,4,8)>=y(2,8)+y(4,8)-1-y(3,8);
x(2,5,8)>=y(2,8)+y(5,8)-1-y(3,8)-y(4,8);
x(2,6,8)>=y(2,8)+y(6,8)-1-y(3,8)-y(4,8)-y(5,8);
x(2,7,8)>=y(2,8)+y(7,8)-1-y(3,8)-y(4,8)-y(5,8)-y(6,8);
x(3,4,8)>=y(3,8)+y(4,8)-1;
x(3,5,8)>=y(3,8)+y(5,8)-1-y(4,8);
x(3,6,8)>=y(3,8)+y(6,8)-1-y(4,8)-y(5,8);
x(3,7,8)>=y(3,8)+y(7,8)-1-y(4,8)-y(5,8)-y(6,8);
x(4,5,8)>=y(4,8)+y(5,8)-1;
x(4,6,8)>=y(4,8)+y(6,8)-1-y(5,8);
x(4,7,8)>=y(4,8)+y(7,8)-1-y(5,8)-y(6,8);
x(5,6,8)>=y(5,8)+y(6,8)-1;
x(5,7,8)>=y(5,8)+y(7,8)-1-y(6,8);
x(6,7,8)>=y(6,8)+y(7,8)-1;
x(1,2,9)>=y(1,9)+y(2,9)-1;
x(1,3,9)>=y(1,9)+y(3,9)-1-y(2,9);
x(1,4,9)>=y(1,9)+y(4,9)-1-y(2,9)-y(3,9);
x(1,5,9)>=y(1,9)+y(5,9)-1-y(2,9)-y(3,9)-y(4,9);
x(1,6,9)>=y(1,9)+y(6,9)-1-y(2,9)-y(3,9)-y(4,9)-y(5,9);
x(1,7,9)>=y(1,9)+y(7,9)-1-y(2,9)-y(3,9)-y(4,9)-y(5,9)-y(6,9);
x(2,3,9)>=y(2,9)+y(3,9)-1;
19
x(2,4,9)>=y(2,9)+y(4,9)-1-y(3,9);
x(2,5,9)>=y(2,9)+y(5,9)-1-y(3,9)-y(4,9);
x(2,6,9)>=y(2,9)+y(6,9)-1-y(3,9)-y(4,9)-y(5,9);
x(2,7,9)>=y(2,9)+y(7,9)-1-y(3,9)-y(4,9)-y(5,9)-y(6,9);
x(3,4,9)>=y(3,9)+y(4,9)-1;
x(3,5,9)>=y(3,9)+y(5,9)-1-y(4,9);
x(3,6,9)>=y(3,9)+y(6,9)-1-y(4,9)-y(5,9);
x(3,7,9)>=y(3,9)+y(7,9)-1-y(4,9)-y(5,9)-y(6,9);
x(4,5,9)>=y(4,9)+y(5,9)-1;
x(4,6,9)>=y(4,9)+y(6,9)-1-y(5,9);
x(4,7,9)>=y(4,9)+y(7,9)-1-y(5,9)-y(6,9);
x(5,6,9)>=y(5,9)+y(6,9)-1;
x(5,7,9)>=y(5,9)+y(7,9)-1-y(6,9);
x(6,7,9)>=y(6,9)+y(7,9)-1;
x(1,2,10)>=y(1,10)+y(2,10)-1;
x(1,3,10)>=y(1,10)+y(3,10)-1-y(2,10);
x(1,4,10)>=y(1,10)+y(4,10)-1-y(2,10)-y(3,10);
x(1,5,10)>=y(1,10)+y(5,10)-1-y(2,10)-y(3,10)-y(4,10);
x(1,6,10)>=y(1,10)+y(6,10)-1-y(2,10)-y(3,10)-y(4,10)-y(5,10);
x(1,7,10)>=y(1,10)+y(7,10)-1-y(2,10)-y(3,10)-y(4,10)-y(5,10)-y(6,10);
x(2,3,10)>=y(2,10)+y(3,10)-1;
x(2,4,10)>=y(2,10)+y(4,10)-1-y(3,10);
x(2,5,10)>=y(2,10)+y(5,10)-1-y(3,10)-y(4,10);
x(2,6,10)>=y(2,10)+y(6,10)-1-y(3,10)-y(4,10)-y(5,10);
x(2,7,10)>=y(2,10)+y(7,10)-1-y(3,10)-y(4,10)-y(5,10)-y(6,10);
x(3,4,10)>=y(3,10)+y(4,10)-1;
x(3,5,10)>=y(3,10)+y(5,10)-1-y(4,10);
x(3,6,10)>=y(3,10)+y(6,10)-1-y(4,10)-y(5,10);
x(3,7,10)>=y(3,10)+y(7,10)-1-y(4,10)-y(5,10)-y(6,10);
x(4,5,10)>=y(4,10)+y(5,10)-1;
x(4,6,10)>=y(4,10)+y(6,10)-1-y(5,10);
x(4,7,10)>=y(4,10)+y(7,10)-1-y(5,10)-y(6,10);
x(5,6,10)>=y(5,10)+y(6,10)-1;
x(5,7,10)>=y(5,10)+y(7,10)-1-y(6,10);
x(6,7,10)>=y(6,10)+y(7,10)-1;
x(1,2,11)>=y(1,11)+y(2,11)-1;
x(1,3,11)>=y(1,11)+y(3,11)-1-y(2,11);
x(1,4,11)>=y(1,11)+y(4,11)-1-y(2,11)-y(3,11);
x(1,5,11)>=y(1,11)+y(5,11)-1-y(2,11)-y(3,11)-y(4,11);
x(1,6,11)>=y(1,11)+y(6,11)-1-y(2,11)-y(3,11)-y(4,11)-y(5,11);
x(1,7,11)>=y(1,11)+y(7,11)-1-y(2,11)-y(3,11)-y(4,11)-y(5,11)-y(6,11);
20
x(2,3,11)>=y(2,11)+y(3,11)-1;
x(2,4,11)>=y(2,11)+y(4,11)-1-y(3,11);
x(2,5,11)>=y(2,11)+y(5,11)-1-y(3,11)-y(4,11);
x(2,6,11)>=y(2,11)+y(6,11)-1-y(3,11)-y(4,11)-y(5,11);
x(2,7,11)>=y(2,11)+y(7,11)-1-y(3,11)-y(4,11)-y(5,11)-y(6,11);
x(3,4,11)>=y(3,11)+y(4,11)-1;
x(3,5,11)>=y(3,11)+y(5,11)-1-y(4,11);
x(3,6,11)>=y(3,11)+y(6,11)-1-y(4,11)-y(5,11);
x(3,7,11)>=y(3,11)+y(7,11)-1-y(4,11)-y(5,11)-y(6,11);
x(4,5,11)>=y(4,11)+y(5,11)-1;
x(4,6,11)>=y(4,11)+y(6,11)-1-y(5,11);
x(4,7,11)>=y(4,11)+y(7,11)-1-y(5,11)-y(6,11);
x(5,6,11)>=y(5,11)+y(6,11)-1;
x(5,7,11)>=y(5,11)+y(7,11)-1-y(6,11);
x(6,7,11)>=y(6,11)+y(7,11)-1;
x(1,2,12)>=y(1,12)+y(2,12)-1;
x(1,3,12)>=y(1,12)+y(3,12)-1-y(2,12);
x(1,4,12)>=y(1,12)+y(4,12)-1-y(2,12)-y(3,12);
x(1,5,12)>=y(1,12)+y(5,12)-1-y(2,12)-y(3,12)-y(4,12);
x(1,6,12)>=y(1,12)+y(6,12)-1-y(2,12)-y(3,12)-y(4,12)-y(5,12);
x(1,7,12)>=y(1,12)+y(7,12)-1-y(2,12)-y(3,12)-y(4,12)-y(5,12)-y(6,12);
x(2,3,12)>=y(2,12)+y(3,12)-1;
x(2,4,12)>=y(2,12)+y(4,12)-1-y(3,12);
x(2,5,12)>=y(2,12)+y(5,12)-1-y(3,12)-y(4,12);
x(2,6,12)>=y(2,12)+y(6,12)-1-y(3,12)-y(4,12)-y(5,12);
x(2,7,12)>=y(2,12)+y(7,12)-1-y(3,12)-y(4,12)-y(5,12)-y(6,12);
x(3,4,12)>=y(3,12)+y(4,12)-1;
x(3,5,12)>=y(3,12)+y(5,12)-1-y(4,12);
x(3,6,12)>=y(3,12)+y(6,12)-1-y(4,12)-y(5,12);
x(3,7,12)>=y(3,12)+y(7,12)-1-y(4,12)-y(5,12)-y(6,12);
x(4,5,12)>=y(4,12)+y(5,12)-1;
x(4,6,12)>=y(4,12)+y(6,12)-1-y(5,12);
x(4,7,12)>=y(4,12)+y(7,12)-1-y(5,12)-y(6,12);
x(5,6,12)>=y(5,12)+y(6,12)-1;
x(5,7,12)>=y(5,12)+y(7,12)-1-y(6,12);
x(6,7,12)>=y(6,12)+y(7,12)-1;
!kendala 8: Lamanya pengiriman tidak melebihi durasi maksimum.
@for(periode(t):@sum (distributor(i):@sum
(distributor(j):(w(i,j)*x(i,j,t))))+@sum(distributor(i):(Y(i,t)*S(i)))=y(i,t)));
!kendala 11: semua variabel keputusan bernilai nol atau satu.
@for(Link3(i,j,t):@bin(x(i,j,t)));
@for (Link2(i,t):@bin(y(i,t)));
Hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut :
(Tidak semua hasil ditampilkan, hanya untuk variabel yang tidak bernilai 0 saja yang
ditampilkan)
Global optimal solution found.
Objective value:
26.00000
Objective bound:
26.00000
Infeasibilities:
0.8881784E-15
Extended solver steps:
1571
Total solver iterations:
122350
Variable
DMAX
K1
K2
Z( 1)
Z( 2)
Z( 3)
Z( 4)
Z( 5)
Z( 6)
Z( 7)
Z( 8)
Z( 9)
Z(10)
Z(11)
Z(12)
S( 1)
S( 2)
S( 3)
S( 4)
S( 5)
S( 6)
S( 7)
C( 1)
C( 2)
C( 3)
C( 4)
C( 5)
C( 6)
C( 7)
Value
Reduced Cost
8.000000
0.000000
2.000000
0.000000
5.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
20.00000
0.000000
20.00000
0.000000
20.00000
0.000000
20.00000
0.000000
20.00000
0.000000
20.00000
0.000000
20.00000
0.000000
W( 1, 2)
1.000000
0.000000
W( 1, 3)
W( 1, 4)
W( 1, 5)
W( 1, 6)
W( 2, 1)
W( 2, 3)
W( 2, 4)
W( 2, 5)
W( 2, 6)
W( 2, 7)
W( 3, 1)
W( 3, 2)
W( 3, 4)
W( 3, 5)
W( 3, 6)
W( 3, 7)
W( 4, 1)
W( 4, 2)
W( 4, 3)
W( 4, 5)
W( 4, 6)
W( 4, 7)
W( 5, 1)
W( 5, 2)
W( 5, 3)
W( 5, 4)
W( 5, 6)
W( 5, 7)
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
3.000000
2.000000
4.000000
1.000000
1.000000
1.000000
3.000000
2.000000
2.000000
1.000000
1.000000
3.000000
3.000000
5.000000
2.000000
1.000000
1.000000
2.000000
2.000000
5.000000
1.000000
1.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
22
W( 6, 1)
W( 6, 2)
W( 6, 3)
W( 6, 4)
W( 6, 5)
W( 6, 7)
W( 7, 2)
W( 7, 3)
W( 7, 4)
W( 7, 5)
W( 7, 6)
D( 1, 12)
D( 2, 1)
D( 2, 5)
D( 2, 7)
D( 3, 2)
D( 3, 5)
D( 3, 7)
D( 4, 2)
D( 4, 6)
D( 4, 9)
D( 5, 1)
D( 5, 4)
D( 5, 8)
D( 6, 1)
D( 6, 4)
D( 6, 8)
D( 7, 12)
Y( 1, 1)
Y( 1, 2)
Y( 1, 3)
Y( 1, 4)
Y( 1, 5)
Y( 1, 6)
Y( 1, 7)
Y( 1, 8)
Y( 1, 9)
Y( 1, 10)
Y( 1, 11)
Y( 1, 12)
Y( 2, 1)
Y( 2, 5)
Y( 2, 7)
Y( 3, 2)
Y( 3, 5)
Y( 3, 7)
Y( 4, 2)
Y( 4, 6)
Y( 4, 9)
Y( 5, 1)
Y( 5, 4)
Y( 5, 8)
Y( 6, 1)
1.000000
4.000000
2.000000
2.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
20.00000
15.00000
5.000000
11.00000
10.00000
6.000000
13.00000
10.00000
6.000000
6.000000
12.00000
4.000000
6.000000
9.000000
12.00000
9.000000
20.00000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
Y( 6, 4)
Y( 6, 8)
Y( 7, 1)
Y( 7, 2)
Y( 7, 3)
Y( 7, 4)
Y( 7, 5)
Y( 7, 6)
Y( 7, 7)
Y( 7, 8)
Y( 7, 9)
Y( 7, 10)
Y( 7, 11)
Y( 7, 12)
II( 2, 1)
II( 2, 2)
II( 2, 3)
II( 2, 4)
II( 2, 5)
II( 2, 6)
II( 2, 7)
II( 2, 8)
II( 2, 9)
II( 2, 10)
II( 2, 11)
II( 2, 12)
II( 3, 1)
II( 3, 2)
II( 3, 3)
II( 3, 4)
II( 3, 5)
II( 3, 6)
II( 3, 7)
II( 3, 8)
II( 3, 9)
II( 3, 10)
II( 3, 11)
II( 3, 12)
II( 4, 1)
II( 4, 2)
II( 4, 3)
II( 4, 4)
II( 4, 5)
II( 4, 6)
II( 4, 7)
II( 4, 8)
II( 4, 9)
II( 4, 10)
II( 4, 11)
II( 4, 12)
II( 5, 1)
II( 5, 2)
II( 5, 3)
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
16.00000
15.00000
12.00000
8.000000
8.000000
5.000000
14.00000
11.00000
6.000000
5.000000
2.000000
5.000000
5.000000
12.00000
10.00000
7.000000
9.000000
6.000000
18.00000
18.00000
15.00000
13.00000
8.000000
3.000000
3.000000
13.00000
10.00000
9.000000
7.000000
9.000000
6.000000
4.000000
9.000000
6.000000
4.000000
1.000000
13.00000
12.00000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
23
II( 5, 4)
II( 5, 5)
II( 5, 6)
II( 5, 7)
II( 5, 8)
II( 5, 9)
II( 5, 10)
II( 5, 11)
II( 5, 12)
II( 6, 1)
II( 6, 2)
II( 6, 3)
II( 6, 4)
II( 6, 5)
II( 6, 6)
II( 6, 7)
II( 6, 8)
II( 6, 9)
II( 6, 10)
II( 6, 11)
II( 6, 12)
U( 2, 2)
U( 2, 3)
U( 2, 4)
U( 2, 5)
U( 2, 6)
U( 2, 7)
U( 2, 8)
U( 2, 9)
U( 2, 10)
U( 2, 11)
U( 2, 12)
U( 3, 2)
U( 3, 3)
U( 3, 4)
U( 3, 5)
U( 3, 6)
U( 3, 7)
U( 3, 9)
U( 3, 10)
U( 3, 11)
U( 3, 12)
U( 4, 3)
U( 4, 4)
U( 4, 5)
U( 4, 6)
U( 4, 7)
U( 4, 8)
U( 4, 9)
U( 4, 10)
U( 4, 11)
U( 4, 12)
U( 5, 2)
9.000000
10.00000
8.000000
4.000000
3.000000
9.000000
6.000000
4.000000
3.000000
3.000000
12.00000
9.000000
6.000000
15.00000
12.00000
9.000000
6.000000
12.00000
9.000000
6.000000
3.000000
1.000000
3.000000
4.000000
5.000000
3.000000
2.000000
3.000000
5.000000
1.000000
3.000000
2.000000
3.000000
2.000000
3.000000
4.000000
3.000000
1.000000
3.000000
2.000000
5.000000
8.000000
3.000000
1.000000
2.000000
4.000000
3.000000
2.000000
1.000000
3.000000
2.000000
4.000000
1.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
U( 5, 3)
U( 5, 4)
U( 5, 5)
U( 5, 6)
U( 5, 7)
U( 5, 9)
U( 5, 10)
U( 5, 11)
U( 5, 12)
U( 6, 2)
U( 6, 3)
U( 6, 4)
U( 6, 5)
U( 6, 6)
U( 6, 7)
U( 6, 8)
U( 6, 9)
U( 6, 10)
U( 6, 11)
U( 6, 12)
X( 1, 2, 1)
X( 1, 2, 5)
X( 1, 2, 7)
X( 1, 3, 2)
X( 1, 4, 6)
X( 1, 4, 9)
X( 1, 5, 4)
X( 1, 5, 8)
X( 1, 7, 1)
X( 1, 7, 2)
X( 1, 7, 3)
X( 1, 7, 4)
X( 1, 7, 5)
X( 1, 7, 6)
X( 1, 7, 7)
X( 1, 7, 8)
X( 1, 7, 9)
X( 1, 7, 10)
X( 1, 7, 11)
X( 1, 7, 12)
X( 2, 3, 5)
X( 2, 3, 7)
X( 2, 5, 1)
X( 3, 4, 2)
X( 3, 7, 5)
X( 3, 7, 7)
X( 4, 7, 2)
X( 4, 7, 6)
X( 4, 7, 9)
X( 5, 6, 1)
X( 5, 6, 4)
X( 5, 6, 8)
X( 6, 7, 1)
3.000000
3.000000
2.000000
4.000000
1.000000
3.000000
2.000000
1.000000
3.000000
3.000000
3.000000
3.000000
3.000000
3.000000
3.000000
3.000000
3.000000
3.000000
3.000000
3.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
1.000000
1.000000
2.000000
3.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
24
X( 6, 7, 4)
X( 6, 7, 8)
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
25
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Cianjur pada 16 Juli 1990 sebagai anak pertama dari tiga
bersaudara, anak dari pasangan Ridwan dan Sri Mulyanti. Pada tahun 2002 penulis
lulus dari SD Negeri Kebon Pedes 1 Bogor, kemudian pada tahun 2005 lulus dari
SLTP Negeri 12 Kota Bogor. Tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Kota
Bogor dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur
USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB) dan diterima di Departemen Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif sebagai anggota Biro
Kewirausahaan Matematika IPB (GUMATIKA IPB) 2009/2010, anggota Biro
Kewirausahaan Matematika IPB (GUMATIKA IPB) 2010/2011. Penulis juga aktif
mengikuti ke