Aplikasi Multi Objective Fuzzy Linear Programming Dalam Masalah Perencanaan Persediaan Produksi

(1)

APLIKASI MULTI OBJECTIVE FUZZY LINEAR PROGRAMMING

DALAM MASALAH PERENCANAAN PERSEDIAAN PRODUKSI

SKRIPSI

EVI THERESIA SIPAYUNG

060803046

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2011

(2)

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

EVI THERESIA SIPAYUNG 060803046

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2011

(3)

PERSETUJUAN

Judul : APLIKASI MULTI OBJECTIVE FUZZY LINEAR

PROGRAMMING DALAM MASALAH

PERENCANAAN PERSEDIAAN PRODUKSI

Kategori : SKRIPSI

Nama : EVI THERESIA SIPAYUNG

Nomor Induk Mahasiswa : 060803046

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, Juni 2011 Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Djakaria Sebayang, M.Si Drs. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si NIP. 19511227 198503 1 002 NIP. 19531218 1980031 003

Diketahui/ Disetujui oleh:

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si

(4)

PERNYATAAN

APLIKASI MULTI OBJECTIVE FUZZY LINEAR PROGRAMMING DALAM MASALAH PERENCANAAN PERSEDIAAN PRODUKSI

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2011

EVI THERESIA SIPAYUNG 060803046

(5)

PENGHARGAAN

Puji syukur dan terima kasih kepada Yesus Kristus atas kasih, anugrah serta perlindunganNya kepada penulis sehingga dapat mengerjakan dan menyelesaikan skripsi ini.

Ucapan terima kasih juga penulis ucapkan kepada Drs. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si dan Drs. Djakaria Sebayang, M.Si selaku Dosen pembimbing penulis dalam penyelesaian skripsi ini, atas setiap bimbingan dan motivasi yang telah diberikan. Penulis juga mengucapkakan terima kasih kepada Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si dan Drs. H. Haludin Panjaitan selaku Dosen penguji, atas setiap saran dan masukannya selama pengerjaan skripsi ini. Ucapan terima kasih juga penulis tujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Dra. Mardiningsi, M.Si dan kepada Bapak dan Ibu dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU beserta semua Staf Administrasi di FMIPA USU. Terima kasih yang sebanyak-banyaknya juga penulis tujukan kepada kedua orang tua yang sangat saya cintai dan saya banggakan Bapak JM. Sipayung dan Ibu T. br. Purba atas semua dukungan dalam doa, motivasi, kasih sayang, serta semua dukungan materil dan moril yang membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Juga kepada abang saya Fernando dan adik-adik saya, Lia, Riska dan Kristiani, terima kasih atas dukungan dan doa kalian. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semuanya teman-teman seperjuangan jurusan Matematika USU stambuk 2006 atas kebersamaan kita selama ini, atas persahabatan dan saling mendukung di antara kita. Terkhusus buat persahabatan penulis dengan Lusi, Marlina dan Nova buat semangat, doa, motivasi dan teguran pada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada semua teman dan sahabat yang lain yang membantu penyelesaian skripsi ini. Terima kasih atas semua doa dan dukungannya. Kiranya kasih karunia dan kemurahan Tuhan yang menyertai kita semua. Amin.

Penulis,

(6)

ABSTRAK

Skripsi ini bertujuan untuk memperlihatkan kegunaan dari modifikasi fungsi keanggotaan kurva-s dalam permasalahan perencanaan persediaan produksi yang terbatas dengan variabel kontinu. Dalam hal ini, parameter-parameter fuzzy dari pemrograman linier dimodelkan dengan fungsi keanggotaan non-linier seperti fungsi kurva-s. Tulisan ini dimulai dengan memperkenalkan dan membangun modifikasi fungsi keanggotaan kurva-s dan menyajikan pembahasan numerik dalam kehidupan nyata dari permasalahan persediaan produksi. Hasil komputasi menunjukkan keunggulan dari funggsi keanggotaan kurva-s dengan teknik program linier fuzzy

dalam mengoptimalkan fungsi tujuan individu dibandingkan dengan pendekatan program linier non-fuzzy. Selanjutnya, solusi optimal menolong menyimpulkan bahwa dengan menggabungkan kekaburan dalam model program linier melalui fungsi tujuan dan kendala, memberikan solusi dengan tingkat kepuasan yang lebih baik dibandingkan dengan program linier non-fuzzy.

(7)

APPLICATION OF MULTI OBJECTIVE FUZZY LINEAR PROGRAMMING IN SUPPLY PRODUCTION PLANNING PROBLEM

ABSTRACT

The purpose of this paper is establish the usefulness of newly formed modified s-curve membership function in a limited supply production planing problem with continous variable. In this respect fuzzy parameters of linear programming are modeled by non-linear membership function such as s-curve function. This paper begins with introduction and construction of modified s-curve membership function and numerical real life example of supply production planing problem is presented. The computational results show that the superiority of the modified s-curve membership function with fuzzy linear programming technique in optimizing individual objective functions compared to non-fuzzy linear programming approach. Furthermore, the optimal solution helps to conclude that by incorporating fuzziness in a linear programming model in objective function and constraints, provides a better level of satisfactory solution compared to non-fuzzy linear programming.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel viii

Daftar Gambar ix

Bab 1 Pendahuluan

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Identifikasi Masalah 3

1.3 Tinjauan Pustaka 3

1.4 Tujuan Penelitian 4

1.5 Manfaat Penelitian 4

1.6 Metode Penelitian 4

Bab 2 Landasan Teori

2.1 Program Linier (Linear Programming) 5

2.1.1 Karakteristik Pemrograman Linier 5

2.1.2 Formulasi Permasalahan 6

2.1.3 Metode Simpleks 9

2.2 Teori Himpunan Fuzzy 18

2.2.1 Fungsi Keanggotaan Fuzzy 19

2.2.2 Bilangan Fuzzy Triangular 19

2.2.3 Bilangan Fuzzy Trapezoidal 21

2.2.4 Bilangan Fuzzy Kurva-S 22

2.3 Multi Objective Fuzzy Linear Programming 25

Bab 3 Pembahasan

3.1 Fungsi Keanggotaan Logistik 27

3.2 Modifikasi Fungsi Keanggotaan Kurva-S 28

3.3 Parameter Sumber Daya Fuzzy 31

3.4 Pembahasan Numerik 32

Bab 4 Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan 44

4.2 Saran 44

Daftar Pustaka 45

(9)

viii

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1 Bentuk Tabel Simpleks 9

Tabel 2.2 Bentuk Awal Tabel Simpleks Sebelum Pivoting 11 Tabel 2.3 Bentuk Awal Tabel Simpleks Sesudah Pivoting 14 Tabel 2.4 Tabel Simpleks untuk Solusi Awal (Iterasi 0) 15 Tabel 2.5 Tabel Simpleks untuk Solusi yang Baru (Iterasi 1) 16 Tabel 2.6 Tabel Simpleks untuk Solusi Akhir (Iterasi 2) 17 Tabel 3.1 Tabel Simpleks untuk Solusi Awal (Kasus 1) 34 Tabel 3.2 Tabel Simpleks untuk Solusi yang Baru (Kasus 1) 34 Tabel 3.3 Tabel Simpleks untuk Solusi Akhir (Kasus 1) 35 Tabel 3.4 Tabel Simpleks untuk Solusi Awal (Kasus 2) 36

Tabel 3.5 Input Data untuk Pendapatan 38

Tabel 3.6 Input Data untuk Polusi 40

Tabel 3.7 Fuzzy Band untuk Total Pendapatan 41

Tabel 3.8 Fuzzy Band untuk Total Polusi 42

Tabel 3.9 Optimal Polusi dan Tingkat Kepuasan ( = 13.81) 42 Tabel 3.9 Optimal Pendapatan dan Tingkat Kepuasan ( = 13.81) 43

(10)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Bilangan Fuzzy Triangular 20

Gambar 2.2 Himpunan Fuzzy : Berat (Kurva Triangular) 20

Gambar 2.3 Bilangan Fuzzy Trapezodial 21

Gambar 2.4 Himpunan Fuzzy : Berat (Kurva Trapezodial) 22 Gambar 2.5 Bilangan Fuzzy Kurva-S : PERTUMBUHAN 22 Gambar 2.6 Bilangan Fuzzy Kurva-S : PENYUSUTAN 23

Gambar 2.7 Karakteristik Fungsi Kurva-S 23

Gambar 2.8 Bilangan Fuzzy Kurva-S : TUA 24

Gambar 2.9 Bilangan Fuzzy Kurva-S : MUDA 25

Gambar 3.1 Fungsi Keanggotaan Logistik 27

(11)

ABSTRAK

(12)

APPLICATION OF MULTI OBJECTIVE FUZZY LINEAR PROGRAMMING IN SUPPLY PRODUCTION PLANNING PROBLEM

ABSTRACT

(13)

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dunia usaha dan pembangunan dalam segala bidang dewasa ini berkembang dengan sangat pesat. Hal ini merupakan akibat dari berbagai kemajuan yang dicapai umat manusia dalam berbagai bidang teknologi dan ilmu pengetahuan. Dunia usaha atau lingkungan pembangunan tidak lain merupakan suatu sistem yang dinamis yang unsur-unsurnya satu sama lain saling mempengaruhi, saling menunjang dan terdapatnya hubungan ketergantungan.

Dalam pemrograman matematika, permasalahan dinyatakan sebagai optimasi beberapa fungsi tujuan yang diberikan kendala tertentu. Sehingga metode penyelesaian diarahkan pada pemrograman matematika dengan tujuan tunggal seperti metode simpleks dalam program linier. Dalam menerapkan pemrograman matematika, pengambil keputusan menyadari bahwa ada permasalahan dalam kehidupan nyata yang mempertimbangkan multiple objective. Untuk mendatangkan permasalahan yang multiple objective dengan sebuah model yang dapat diselesaikan oleh metode penyelesaian program matematika tujuan tunggal, multiple objective harus dikombinasikan dalam beberapa cara untuk menjadikan satu tujuan tunggal.

Banyak permasalahan dalam operasi riset, ilmu keputusan, teknik dan managemen sebagian besar telah dipelajari dari sudut pandang optimisasi. Karena pengambilan keputusan banyak dipengaruhi oleh gangguan-gangguan dari keadaan sosial dan ekonomi, sehingga pendekatan optimisasi tidak selalu menjadi yang terbaik (Vasant, 2004). Karena berada di bawah pengaruh yang demikian, banyak masalah berada dalam struktur yang buruk. Oleh karena itu, sebuah pendekatan kepuasaan

(14)

mungkin lebih baik digunakan daripada optimisasi. Dalam hal ini, dapat diterima bahwa tingkat aspirasi pada masalah yang dibicarakan diselesaikan berdasarkan pengalaman masa lalu dan pengetahuan yang dimiliki oleh pengambil keputusan, dalam kasus ini di mana tingkat aspirasi dari seorang pengambil keputusan seharusnya dipertimbangkan untuk memecahkan masalah dari segi strategi kepuasan. Oleh karena itu, lebih natural bahwa ketidakjelasan dalam sistem fuzzy dinyatakan sebagai bilangan fuzzy oleh pengambil keputusan.

Dalam dunia nyata proses pembuatan keputusan dalam teknik dan bisnis, teori pengambilan keputusan menjadi salah satu bidang yang paling penting. Teori tersebut tidak hanya yang berhubungan pada kriteria tunggal (single criteria), tapi juga konsep yang memuaskan dari beberapa kriteria. Proses keputusan dengan beberapa kriteria berhubungan dengan penilaian manusia. Proses tersebut sulit untuk dimodelkan. Unsur penilaian manusia berada dalam area preferensi yang didefinisikan pengambil keputusan. Pertama mencoba memodelkan proses keputusan dengan beberapa kriteria dalam bisnis dan teknik yang mengarah pada konsep multi obejective linear

programming. Dalam pendekatan ini pengambil keputusan menyokong

masing-masing tujuan dengan sejumlah goal yang harus dipenuhi. Istilah memuaskan membutuhkan pencarian solusi untuk masalah multi kriteria, yang dipilih, dipahami dan dilaksanakan dengan percaya diri. Keyakinan bahwa solusi terbaik telah ditemukan diperkirakan melalui solusi ideal, yakni solusi yang mengoptimalkan semua kriteria secara simultan. Karena secara praktek tidak tercapai, pengambil keputusan mempertimbangkan solusi layak terdekat dengan solusi ideal.

Jenis fungsi keanggotaan yang beraneka ragam digunakan dalam program linier fuzzy dan aplikasinya seperti pada fungsi keanggotaan linier, fungsi keanggotaan tipe tangent, fungsi keanggotaan interval linier, fungsi keanggotaan logistic, fungsi keanggotaan linier konkaf. Karena jenis tangent, dari fungsi keanggotaan, fungsi keanggotaan eksponensial, dan fungsi keanggotaan hiperbolik merupakan fungsi non linier. Program matematik fuzzy didefinisikan dengan hasil fungsi keanggotaan non-linier dalam program non-non-linier. Biasanya fungsi keanggotaan non-linier ditugaskan untuk menghindari ke non-linieran. Namun, ada beberapa kesulitan dalam menyeleksi solusi masalah yang ditulis dalam fungsi keanggotaan linier. Dengan demikian, dalam tulisan ini fungsi keanggotaan kurva-S yang dimodifikasi ditugaskan untuk mengatasi

(15)

kesulitan tersebut. Lebih lanjut, fungsi keanggotaan kurva-S cukup fleksibel manggambarkan ketidakjelasan dalam parameter fuzzy untuk masalah perencanaan persediaan produksi.

Dalam tulisan ini, metodologi baru fungsi keanggotaan kurva-S yang dimodifikasi menggunakan program linier fuzzy dalam perencanaan persediaan produksi dan aplikasinya pada pengambilan keputusan dilakukan. Terutama program linier fuzzy didasarkan pada ketidakjelasan dalam parameter fuzzy seperti variabel sumber daya yang diberikan pembuat keputusan dianalisis.

1.2 Identifikasi Masalah

Permasalahan yang akan dibahas adalah mengenai fungsi keanggotaan kurva-S yang dimodifikasi menggunakan program linier fuzzy yang diterapkan dalam masalah perencanaan persediaan produksi.

1.3 Tinjauan Pustaka

Sutapa, Nyoman (2000) dalam jurnalnya menuliskan bahwa dalam pengambilan keputusan yang dimodelkan dalam program linier, dalam prakteknya sering sulit dipenuhi karena ada ketidakpastian yang muncul diakibatkan oleh suatu kebijakan. Untuk memecahkan dan mengakomodasi ketidakpastian, didekati dengan teori himpunan fuzzy dengan menggunakan fungsi keanggotaan linier.

Vasant (2004) mengatakan bahwa biasanya fungsi keanggotaan linier digunakan untuk menghindari non-linieritas. Namun demikian, ada beberapa kesulitan dalam memilih solusi masalah yang ditulis dalam fungsi keanggotaan linier.

Perhatian perencanaan dan pengendalian produksi telah banyak dilakukan. Vasant (2003, 2006) program linier fuzzy yang diaplikasikan pada perencanaan produksi menggunakan fungsi keanggotaan non-linier bentuk kurva-S yang dimodifikasi.

(16)

Hadiguna (2008) dalam jurnalnya menuliskan bahwa jika dibandingkan dengan fungsi keanggotaan lainnya seperti segitiga (triangular) yang sering digunakan dalam program linier, maka tipe S yang dimodifikasi dapat memudahkan proses perhitungan. Selain itu, fungsi ini tidak kaku dalam mengakomodasi preferensi pengambil keputusan dalam menilai kondisi yang tidak tegas.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah menetapkan kegunaan fungsi keanggotaan kurva-S yang dimodifikasi dalam masalah perencanaan persediaan produksi yang terbatas dengan variabel kontinu.

1.5 Manfaat Penelitian

Penelitian ini dapat digunakan sebagai bahan referensi yang dapat mempermudahkan dalam menentukan kondisi yang tidak tegas dalam proses pengambilan keputusan. Terkhusus dalam permasalahan perencanaan persediaan produksi.

1.6 Metodologi Penelitian

Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah :

1. Sebagai langkah awal akan dibicarakan tentang fungsi keanggotaan kurva-S yang dimodifikasi yang akan digunakan dalam tulisan ini. Selanjutnya, akan dimodelkan parameter-parameter fuzzy dalam program linier.

2. Mengerjakan contoh permasalahan program linier fuzzy. 3. Menarik kesimpulan.

(17)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Program linier (Linier Programming)

Pemrograman linier merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Program linier banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. Program linier berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier.

2.1.1 Karakteristik Pemrograman Linier

Adapun karakteristik pemrograman linier adalah sebagai berikut (Siringo-ringo, 2005) :

Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, dapat memeriksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar) ataupun menggunakan uji hipotesa. Secara teknis, linearitas ditujukan oleh adanya sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian fungsi tujuan dan pembatas.

Sifat proporsional dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proporsional terhadap level nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jumlah yang dibeli, maka sifat proporsianal dipenuhi. Atau dengan kata lain, jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsional tidak dipenuhi. Jika

(18)

penggunaan sumber daya per unitnya tergantung dari jumlah yang diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi.

Sifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian silang pada model. Sifat additivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala). Sifat additivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan. Untuk fungsi kendala, sifat additivitas dipenuhi jika nilai kanan merupakan total penggunaan masing-masing variabel keputusan. Jika dua variabel keputusan misalnya merepresentasikan dua produk subsitusi, di mana peningkatan volume penjualan salah satu produk akan mengurangi volume penjualan produk lainnya dalam pasar yang sama, maka sifat additivitas tidak dipenuhi. Sifat divisibilitas berarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan.

Sifat kepastian menunjukkan bahwa semua parameter model berupa konstanta. Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu nilai pasti, bukan merupakan nilai peluang tertentu.

2.1.2 Formulasi Permasalahan

Agar dapat menyusun dan merumuskan suatu persoalan atau permasalahan yang dihadapi ke dalam model program linier, maka dimintakan lima syarat yang harus dipenuhi sebagai berikut ini (Nasendi, 1984) :

a. Tujuan

Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan. Fungsi tujuan tersebut dapat berupa dampak positif, manfaat-manfaat, keuntungan-keuntungan, dan kebaikan-kebaikan yang ingin dimaksimumkan, atau dampak negatif, kerugian-kerugian risiko-risiko, biaya-biaya, jarak, waktu, dan sebagainya yang ingin diminimumkan.

(19)

b. Alternatif Perbandingan

Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan; misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah; atau antara alternatif terpadat modal dengan padat karya; atau antara kebijakan A dengan B; atau antara proyeksi permintaan tinggi dengan rendah; dan seterusnya.

c. Sumber daya

Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas. Misalnya, keterbatasan waktu, keterbatasan biaya, keterbatasan tenaga, keterbatasan luas tanah, keterbatasan ruangan, dan lain-lain. Keterbatasan dalam sumber daya tersebut dinamakan sebagai kendala atau syarat ikatan. d. Perumusan kuantitatif

Fungsi tujuan dan kendala tersebut harus dapat dirumuskan secara kuantitatif dalam apa yang disebut model matematika.

e. Keterkaitan peubah

Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan. Hubungan keterkaitan tersebut dapat diartikan sebagai hubungan yang saling mempengaruhi, hubungan interaksi, interdependensi, timbal-balik, saling menunjang, dan sebagainya.

Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut : Funsi tujuan :

Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn

Sumber daya yang membatasi :

(2.1)

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = / ≤ / ≥ b1

21x1 + a22x2 + … + a2nxn = / ≤ / ≥ b2

(20)

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = / ≤ / ≥ bm

1, x2, …, xn

Bentuk di atas juga dapat ditulis sebagai berikut :

≥ 0 (2.3)

Fungsi tujuan :

Maksimum dan minimumkan :

Kendala :

Dan xj

Simbol x

≥ 0 , j = 1, 2, …, n (2.6)

1, x2, …, xn menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel

keputusan oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol c1, c2, …, cn merupakan kontribusi

masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya. Simbol a11, ..., a1n, ...,amn merupakan penggunaan per unit

variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1, b2, …, bn

Pertidaksamaan terakhir (x

menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.

1, x2, …, xn ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif.

Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan metematik tapi juga menuntut seni pemodelan. Menggunakan seni akan membuat pemodelan lebih mudah dan menarik.

(21)

2.1.3 Metode Simpleks

Apabila suatu masalah linear programming hanya mengandung dua kegiatan (variabel-variabel keputusan) saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik. Bila terdapat lebih dari dua variabel maka metode grafik tidak dapat digunakan lagi, sehingga diperlukan metode simpleks. Metode ini lazim dipakai untuk menentukan kombinasi dari tiga variabel atau lebih.

Masalah program linier yang melibatkan banyak variabel keputusan dapat dengan cepat dipecahkan dengan bantuan komputer. Bila variabel keputusan yang dikandung tidak terlalu banyak, masalah tersebut dapat diselesaikan dengan suatu algoritma yang biasanya sering disebut metode tabel simpleks. Disebut demikian karena kombinasi variabel keputusan yang optimal dicari dengan menggunakan tabel-tabel.

Tabel 2.1 Bentuk Tabel Simpleks

Cj C1 … Ck … C Jawab

Basis

Variabel Basis

Harga Basis

XB1 … Xn … Xm

XB1 CB1 a11 … a1k … a1n

XBr CBr ar1 … ark … arn

XBm CBm am1 … amk … amn

(22)

Sebelum menyelesaikan suatu tabel simpleks terlebih dahulu menginisialisasikan dan merumuskan suatu persoalan keputusan ke dalam model matematik persamaan linier, caranya sebagai berikut :

1. Konversikan semua ketidaksamaan menjadi persamaan

Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian pada daerah kelayakan (feasible) maka untuk model program linier diubah menjadi suatu model yang sama dengan menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan (artificial variable) pada tiap batasan (constraint) serta memberi harga nol pada setiap koefisien c-nya. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut :

1) Untuk batasan bernotasi (≤) dapat dimodifikasi kepada bentuk persa maan dengan menambahkan variabel slack ke dalamnya.

2) Untuk batasan bernotasi (≥) dapat dimodifikasi kepada bentuk persamaan dengan mengurangi variabel surplus dan kemudian menambahkan variabel buatan (artificial variable) ke dalamnya.

3) Untuk batasan bernotasi (=) diselesaikan dengan menambahkan variabel buatan (artificial variable) ke dalamnya.

Dengan penambahan variabel buatan ini akan merusak sistem batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan besar M sebagai harga dari variabel dengan buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Jika persoalan maksimasi maka dibuat – M sebagai harga, dan jika persoalan minimal dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M Method).

Penambahan variabel slack dan variabel buatan (artificial variable) pada tiap batasan (constraint) untuk persoalan maksimal dapat dirumuskan sebagai berikut :

Maksimalkan :

(23)

0, 0, 0, 0 untuk semua harga i dan j = 0, j = 1, 2, ..., n

= , i = 1, 2, ..., m = , i = m

2. Menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel awal simpleks.

+ 1, ..., m

Tabel 2.2 Bentuk Awal Tabel Simpleks Sebelum Pivoting

Cj C1 Cr Cm … Cj … Ck

Jawab Basis Variabel

Basis

Harga Basis

XB1 … XBr … XBm … Xj … Xk

XB1 CB1 1 … 0 … 0 … a1j … a1k

XBr CBr 0 … 1 … 0 … arj … ark

XBm CBm 0 … 0 … 1 … amj … amk

(24)

Langkah-langkah yang digunakan untuk menyelesaikan suatu tabel simpleks adalah sebagai berikut :

Langkah 1 : Mengecek nilai optimal imbalan.

Untuk persoalan maksimal : zj – cj = minimal { zj – cj : j R }. Jika zk – ck

0 maka selesai, berarti jawab atau solusi sudah optimal. Untuk persoalan minimal zj –

cj = minimal { zj – cj : j R }. Jika zk – ck

Harga-harga imbalan (z

0 maka selesai, berarti jawab atau solusi sudah optimal.

j – cj

Untuk : c

) dapat diperoleh dengan rumus :

= Harga dari semua variabel dalam z.

= Koefisien dari semua variabel dalam sistem batasan.

Bi = Harga dari variabel basis.

Langkah 2 : Menentukan variabel yang akan masuk dalam basis.

Untuk persoalan maksimalkan jika terdapat beberapa zj – cj 0 maka kolom

yang menjadi kolom pivot adalah kolom dengan zj – cj terkecil, dan variabel yang

sehubungan dengan kolom pivot adalah variabel yang akan masuk ke dalam basis. Untuk persoalan minimal jika terdapat beberapa zj – cj 0 maka kolom yang menjadi

kolom pivot adalah kolom dengan zj – cj

Jika pada baris z

terbesar, dan variabel yang sehubungan dengan kolom pivot adalah variabel yang masuk dalam basis.

j – cj terdapat lebih dari satu kolom yang mempunyai nilai

negatif yang angkanya terbesar dan sama pada persoalan maksimal atau terdapat lebih dari satu kolom yang mempunyai nilai positif terbesar dan sama pada persoalan minimal maka terdapat dua kolom yang bisa terpilih menjadi kolom pivot. Untuk mengatasi hal ini, dapat dipilih salah satu dari zj – cj secara sembarang.

(25)

Langkah 3 : Menentukan variabel yang akan keluar dari basis.

Menetapkan variabel yang keluar dari basis yaitu : = minimum

variabel yang sehubungan dengan baris pivot yang demikian adalah variabel yang keluar dari basis. Jika terdapat dua baris atau lebih nilai maka ada beberapa baris yang dapat terpilih sebagai baris pivot. Dapat dipilih baris pivot secara bebas di antara keduanya dan hasilnya akan sama.

Langkah 4 : Menyusun tabel simpleks baru.

Untuk menyusun tabel simpleks yang baru, maka harus mencari koefisien elemen pivot dari tabel simpleks sebelumnya. Koefisien elemen pivot dapat dicari dengan menghubungkan kolom pivot dengan baris pivot sedemikian rupa sehingga titik potong kedua pivot ini menunjukkan koefisien, yang disebut elemen pivot.

Koefisien-koefisien baris pivot baru dapat dicari dengan menggunakan rumus

sebagai berikut : (2.12)

Untuk menghitung nilai baris baru lainnya dilakukan dengan menggunakan

rumus sebagai berikut : - (2.13)

Langkah 5 : Mengecek nilai optimal imbalan dari tabel simpleks yang baru.

Jika imbalan sudah optimal maka tafsirkan hasil penyelesaian, jika belum optimal maka kembali kepada langkah 2.

(26)

Tabel 2.3 Bentuk Awal Tabel Simpleks Sesudah Pivoting

Cj C1 Cr Cm … Cj … Ck

Jawab Basis Variabel

Basis

Harga Basis

XB1 … XBr … XBm … Xj … Xk

XB1 CB1 1 … … 0 … … 0

XBr CBr 0 … … 0 … … 1

XBm CBm 0 … … 1 … … 0

Zj - Cj = 0

imbalan

0 0 cB

Contoh 2.1 :

Maksimumkan : Z = 8x1 + 9x2 + 4x

Kendala : x

1 + x2 + 2x3

1 + 3x2 + 4x3

1 + 6x2 + 2x3

1, x2, x3

Agar persamaan di atas memenuhi persyaratan penyelesaian dalam daerah kelayakan (feasible), maka pada sisi kiri persamaan batasan ditambahkan variabel slack. Sehingga bentuk bakunya sebagai berikut :

(27)

Maksimumkan : Z = 8x1 + 9x2 + 4x3 + 0x4 + 0x5 + 0x

Kendala : x

1 + x2 + 2x3 + x4

= 2

1 + 3x2 + 4x3 + x5

= 3

1 + 6x2 + 2x3 + x6

= 8

1, x2, x3, x4, x5, x6

Model di atas dapat dibawa ke dalam tabel simpleks sebagai berikut : 0

Tabel 2.4 Tabel Simpleks untuk Solusi Awal (Iterasi 0)

Cj 8 9 4 0 0 0 Harga

Jawab Variabel

Basis

Harga Basis

x1 x2 x3 x4 x5 x6

x4 0 1 1 2 1 0 0 2

x5 0 2 3 4 0 1 0 3

x6 0 7 6 2 0 0 1 8

zj - cj -8 -9 -4 0 0 0 0

Dari tabel 2.4, tampak bahwa penyelesaian opitimal belum dicapai di mana harga zj –

cj terkecil dari tabel 2.4 adalah -9, sehingga variabel yang masuk basis adalah variabel

x2. Kolom variabel x2

menjadi kolom pivot dan perhitungan untuk indeks (I) adalah :

min

Diperoleh I =

min = 1, maka variabel yang akan meninggalkan basis adalah variabel x5

kemudian digantikan dengan variabel x2. Angka kunci (elemen pivot) yang diperoleh

(28)

Tabel 2.5 Tabel Simpleks untuk Solusi yang Baru (Iterasi 1)

Cj 8 9 4 0 0 0 Harga

Jawab Variabel

Basis

Harga Basis

x1 x2 x3 x4 x5 x6

x4 0 0 1 0 1

x2 9 1 0 0 1

x6 0 3 0 -6 0 -2 1 2

zj - cj -2 0 8 0 3 0 9

Dari tabel 2.5 tampak bahwa penyelesaian optimal belum tercapai di mana harga zj –

cj terkecil dari tabel di atas adalah -2, sehingga variabel yang masuk basis adalah

variabel x1. Kolom variabel x1 menjadi kolom pivot dan perhitungan untuk indeks (I)

adalah : Imin

Diperoleh I

min = 0,67 maka variabel yang akan meninggalkan basis adalah variabel x6

kemudian digantikan oleh variabel x1. Angka kunci (elemen pivot) yang diperoleh =

(29)

Tabel 2.6 Tabel Simpleks untuk Solusi Akhir (Iterasi 2)

Dari tabel 2.6 tidak ada lagi zj – cj

< 0, dengan demikian telah dicapai penyelesaian optimal yaitu :

= = 0,67

= = 0,56

Z = 8 + 9 4(0) = 8(0,67) + 9(0,56) = 5,36 + 5,04 = 10,04 = 0

Cj 8 9 4 0 0 0 Harga

Jawab Variabel

Basis

Harga Basis

x1 x2 x3 x4 x5 x6

x4 0 0 1

x2 9 1 0

x1 8 1 0 -2 0

(30)

2.2 Teori Himpunan Fuzzy

Himpunan A dikatakan crisp jika sebarang anggota-anggota yang ada pada himpunan A tersebut dikenakan suatu fungsi, akan bernilai 1 yakni jika a A maka fungsi a = 1. Namun jika a A, maka nilai fungsi yang dikenakan pada a adalah 0. Nilai fungsi yang dikenakan pada sebarang anggota himpunan A dikatakan sebagai nilai keanggotaan. Jadi pada himpunan crisp, hanya mempunyai 2 nilai keanggotaan yaitu 0 dan 1. Tetapi pada himpunan fuzzy, nilai keanggotaan dari anggota-anggotanya tidak hanya 0 dan 1 saja. Tapi berada pada interval tertutup [0,1]. Dengan kata lain himpunan A dikatakan fuzzy selama fungsi : A [0,1].

Misalkan diketahui klasifikasi harga dari sebuah barang sebagai berikut :

MURAH harga < 35.000

STANDARD 35.000 harga 55.000

MAHAL harga > 55.000

Dengan menggunakan pendekatan crisp, amatlah tidak adil untuk menetapkan harga STANDARD. Pendekatan ini bisa saja dilakukan untuk hal-hal yang bersifat diskontinu. Misalkan klasifikasi untuk harga 55.000 dan 56.000 sangat jauh berbeda, harga 55.000 termasuk STANDARD, sedangkan harga 56.000 sudah termasuk MAHAL. Demikian pula untuk kategori MURAH dan MAHAL. Barang yang seharga 34.000 dikatakan MURAH, sedangkan barang yang berharga 35.000 sudah TIDAK MURAH lagi. Barang yang berharga 55.000 termasuk STANDARD, barang yang berharga 55.000 lebih 1 rupiah sudah TIDAK STANDARD lagi. Dengan demikian pendekatan crisp ini sangat tidak cocok diterapkan pada hal-hal yang bersifat kontinu, missal harga barang. Selain itu, untuk menunjukkan suatu harga pasti termasuk STANDARD atau tidak termasuk STANDARD, dan menunjukkan suatu nilai kebenaran 0 dan 1, dapat digunakan nilai pecahan, dan menunjukkan 1 atau nilai yang dekat 1 untuk harga 45.000, kemudian pecahan menurun menuju ke 0 untuk harga di bawah 35.000 dan di atas 55.000.

Terkadang kemiripan antara keanggotaan fuzzy dengan probabilitas menimbulkan kerancuan. Keduanya memiliki interval [0,1], namun interpretasi

(31)

nilainya sangat berbeda. Keanggotaan fuzzy memberikan suatu ukuran terhadap pendapat atau keputusan, sedangkan probabilitas mengindikasikan proporsi terhadap keseringan suatu hasil bernilai besar dalam jangka panjang. (Kusumadewi, 2004)

2.3.1 Fungsi Keanggotaan Fuzzy

Sebuah himpunan fuzzy A dari bilangan riil didefinisikan oleh fungsi keanggotaan (dinotasikan oleh A)

: [ 0,1 ]

Jika x maka (x) dikatakan sebagai derajat keanggotaan x dalam A. Himpunan fuzzy dalam disebut normal jika terdapat x sehingga (x) = 1. Himpunan fuzzy A adalah himpunan fuzzy dari bilangan riil dengan normal, (fuzzy) convex dan fungsi keanggotaan yang kontinu dari penyokong yang terbatas.

2.3.2 Bilangan Fuzzy Triangular

Sebuah himpunan fuzzy A disebut bilangan fuzzy triangular dengan nilai tengah a, sebelah kiri > 0, dalam disebut konvex jika A adalah unimodal (sebagai sebuah fungsi). Bilangan fuzzy dan sebelah kanan > 0.

Fungsi keanggotaannya adalah sebagai berikut :

(2.14)

Penyokong A adalah . Bilangan fuzzy triangular dengan nilai tengah a dilihat sebagai nilai kwantitas fuzzy. “ x dekat terhadap a “atau” x hampir sama dengan a”.

(32)

Gambar 2.1 Bilangan Fuzzy Triangular

Contoh 2.2 :

Fungsi keanggotaan triangular untuk himpunan BERAT pada variabel berat badan (kg) seperti terlihat pada gambar 2.2.

[23] =

= 0,8

BERAT 1

0,8

0 15 23 25 35 x

(33)

2.1.3. Bilangan Fuzzy Trapezoidal

Sebuah himpunan fuzzy A disebut bilangan fuzzy trapezoidal dengan interval toleransi [a,b], sebelah kiri dan kanan . Fungsi keanggotaannya adalah sebagai berikut :

(2.15)

Penyokong A adalah . Bilangan fuzzy trapezoidal dapat dilihat sebagai nilai kwantitas fuzzy. “ x mendekati pada interval [a,b] ”.

a b

Gambar 2.3 Bilangan Fuzzy Trapezoidal Contoh 2.3 :

Fungsi keanggotaan trapezodial untuk himpunan BERAT pada variabel berat badan (kg) terlihat pada gambar 2.4.

[32] =

(34)

1 0,375

x 0 15 24 27 32 35

Gambar 2.4 Himpunan Fuzzy : BERAT (Kurva Trapezoidal)

2.1.4. Bilangan Fuzzy Kurva-S

Kurva PERTUMBUHAN dan PENYUSUTAN merupakan kurva-S atau sigmoid yang berhubungan dengan kenaikan dan penurunan permukaan secara tak linier.

Kurva-S untuk PERTUMBUHAN akan bergerak dari sisi paling kiri (nilai keanggotaan = 0) ke sisi paling kanan (nilai keanggotaan = 1). Fungsi keanggotaannya akan bertumpu pada 50% nilai keanggotaannya yang sering disebut dengan titik infleksi (gambar 2.5).

Gambar 2.5 Bilangan Fuzzy Kurva-S : PERTUMBUHAN

1 domain 2

Derajat keanggotaan

(35)

Kurva-S untuk PENYUSUTAN akan bergerak dari sisi paling kanan (nilai keanggotaan = 1) ke sisi paling kiri (nilai keanggotaan = 0) seperti terlihat pada gambar 2.6.

Gambar 2.6 Bilangan Fuzzy Kurva-S : PENYUSUTAN

Kurva-S didefinisikan dengan menggunakan 3 parameter, yaitu : nilai keanggotaan nol ( ), nilai keanggotaan ( ), dan titik infleksi atau crossover ( ) yaitu titik yang memiliki domain 50% benar. Gambar 2.7 menunjukkan karakteristik kurva-S dalam bentuk skema.

Gambar 2.7 Karakteristik Fungsi Kurva-S

domain

Derajat keanggotaan

µ[x]

2 1

Derajat keanggotaan

µ[x]

1 [x] = 0

[x] = 1 [x] = 0,5

(36)

Fungsi keanggotaan pada kurva PERTUMBUHAN adalah :

Contoh 2.4 :

Fungsi keanggotaan untuk himpunan TUA pada variabel umur seperti terlihat pada gambar 2.7.

[50] = 1 – 2((60-50) / (60-35)) = 1 – 2(10 / 25)

= 0,68

0 35 50 60

Gambar 2.8 Bilangan Fuzzy Kurva-S : TUA

Sedangkan fungsi keanggotaan pada kurva PENYUSUTAN adalah : µ[x]

1 0,68

Umur (tahun)

(37)

Contoh 2.5 :

Fungsi keanggotaan untuk himpunan MUDA pada variabel umur seperti terlihat pada gambar 2.8.

[50] = 2((50-37) / (50-20)) = 2(13 / 30)

= 0,376

0 20 37 50

Gambar 2.9 Bilangan Fuzzy Kurva-S : MUDA

2.3 Multi Objective Fuzzy Linear Programming

Multi objective linear programming adalah metode optimasi dengan beberapa fungsi tujuan yang tunduk pada beberapa batasan. Solusi permasalahan ini diperoleh seperti penyelesaian optimasi dengan 1 fungsi tujuan.

Selama ini ada 2 cara untuk menyelesaikan multi objective linear

programming, yaitu :

1. Metode penjualan terbobot

Misalkan untuk permasalahan :

Umur (tahun) 1

(38)

Max f1

Max f ;

… ;

Max fn

Dikombinasikan menjadi : .

Max : w1f1 + w2f2 + … + wnfn.

2. Lexicographics ordering method.

Pertama kali obyek-obyek diurutkan berdasarkan pentingnya. Obyek pertama diselesaikan sebagai :

F1 = max {f1

Kemudian, untuk setiap i > 1 diselesaikan F

(x) dengan batasan yang telah diberikan}

i = max {fi(x), fk(x) = Fk

Metode lain yang dapat digunakan adalah dengan menggunakan Himpunan Fuzzy. Dengan menggunakan metode ini, tidak perlu menggunakan kalibrasi bobot atau melakukan seleksi terhadap derajat pentingnya objek. Metode ini hanya menggunakan preferensi (pilihan) khusus pada tujuan yang dapat dimodelkan dengan menggunakan fungsi-fungsi keanggotaan fuzzy.

untuk i = 1, 2, …,i-1}. Metode ini akan cocok jika sebelumnya telah diketahui derajat pentingnya tiap-tiap fungsi tujuan.

(39)

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Fungsi Keanggotaan Logistik

Fungsi keanggotaan logistik untuk masalah Fuzzy Linear Programming didefinisikan sebagai :

Dimana f(x) merupakan derajat fungsi keanggotaan dari nilai spesifik parameter x, yaitu 0 < f(x) < 1. Parameter x dipertimbangkan menjadi anggota dari bilangan fuzzy, xL dan xU merupakan batas bawah dan batas atas dari parameter fuzzy x. B dan C

merupakan konstanta dan parameter > 0 menentukan bentuk dari fungsi keanggotaan. Gambar 3.1 menunjukkan bentuk dari fungsi keanggotaan logistik.

Gambar 3.1 Fungsi Keanggotaan Logistik

(40)

3.2 Modifikasi Fungsi Keanggotaan Kurva-S

Modifikasi fungsi keanggotaan kurva-S adalah sebuah kasus yang khusus dari fungsi logistik dengan nilai spesifik B, C dan α. Nilai-nilai ini harus ditemukan. Fungsi logistik seperti yang diberikan oleh persamaan (1) dan digambarkan dalam Gambar 1 ditunjukan sebagai fungsi keanggotaan bentuk-S oleh Zadeh (1971).

Disini didefinisikan, modifikasi fungsi keanggotaan kurva-S sebagai berikut :

= (3.2)

Di mana µ adalah derajat fungsi keanggotaan. Notasi α menentukan bentuk dari fungsi keanggotaan , di mana α > 0. Semakin besar parameter α, semakin berkurang kekaburan terjadi.

Gambar 3.1 menunjukkan modifikasi kurva-S. Fungsi keanggotaan ini didefinisikan ulang sebagai 0.001 ≤ . Rentang ini dipilih karena dalam pasokan produksi pendapatan dan polusi tidak perlu selalu 100% dari kebutuhan. Pada saat yang sama total pendapatan dan total polusi tidak akan 0%. Oleh karena itu,

dianjurkan ada rentang antara dan sebagai 0.001 ≤ . Konsep ini

(41)

Gambar 3.2 Modifikasi Fungsi Keanggotaan Kurva-S

Akan diskalakan ulang sumbu x pada xa = 0 dan xb

Nilai B, C dan diperoleh dari persamaan (3.2) seperti :

= 1 untuk mencari nilai dari B, C dan :

B = 0.999 (1 + C) (3.3)

= 0.001 (3.4)

Dengan mensubsitusikan persamaan (3.3) ke persamaan (3.4) diperoleh :

= 0.001 (3.5)

Dari persamaan (3.5) didapat :

α = ln (3.6)

Karena nilai B dan bergantung pada C, maka dibutuhkan satu kondisi untuk mendapatkan nilai B, C dan .

(42)

= 2 (3.7)

Diperoleh :

= 2 ln

(3.8)

Subsitusi persamaan (3.6) dan persamaan (3.7) ke dalam persamaan (3.8), diperoleh :

2 ln = ln (3.9)

(0.998 + 1.998C)2

C =

(3.11)

= C(998 + 999C) (3.10)

C = 0.001001001

Dalam hal ini nilai C harus positip, jadi dari persamaan (3.11) diperoleh nilai C = 0,001001001 dan dari persamaan (3.3) dan (3.6), B = 1 dan α = 13,81350956.

Modifikasi fungsi keanggotaan kurva-S ini mempunyai bentuk yang mirip dengan fungsi logistik dan merupakan bagian dari fungsi tangent hyperbolic. Tetapi fungsi ini lebih mudah diatasi dari pada tangent hyperbola. Dan lagi, fungsi keanggotaan trapezodial dan triangular merupakan penaksiran dari fungsi logistik (Vasant, 2004). Oleh karena itu, fungsi-S ini dipertimbangkan yang lebih tepat untuk menunjukkan level tujuan yang samar yang mana seorang pembuat keputusan mempertimbangkan pelaksanaan solusinya. Selanjutnya, hal ini juga dapat dimungkinkan bahwa modifikasi fungsi keanggotaan kurva-S berganti bentuknya berdasarkan dari nilai-nilai parameternya. Maka seorang pembuat keputusan dapat mampu menyalurkan strateginya pada perencanaan persediaan produksi yang fuzzy menggunakan parameter-parameter ini. Karena itu, modifikasi fungsi keanggotaan kurva-S lebih banyak tidak menyusahkan dari pada suatu linier.

(43)

3.3 Parameter Sumber Daya Fuzzy

Dalam hal ini, pertama akan diambil persamaan dari parameter sumber daya fuzzy. Persamaan ini yang akan digunakan untuk menghasilkan nilai fuzzy dari parameter yang maksudkan.

Fuzzy Resource Parameter .

Dari persamaan (3.1), pada interval ,

Maka diperoleh :

Karena adalah variabel sumber daya yang fuzzy pada persamaan (3.12), maka disimbolkan i

Fungsi keanggotaan dari serta interval fuzzy, ke dari diberikan pada gambar 3.2.

(44)

3.4 Contoh Numerik

Permasalahan Perencanaan Persediaan Produksi terbatas dengan variabel kontinu yang dinyatakan seperti :

Sebuah Perusahaan memiliki sebuah pabrik, yang menghasilkan 3 Produk.

1. Untuk menghasilkan 1 unit Produk I, dibutuhkan 2 kg M1, 3 kg M2, dan 4 kg

2. Untuk menghasilkan 1 unit Produk II, dibutuhkan 8 kg M .

1, dan 1 kg M2

3. Untuk menghasilkan 1 unit Produk III, dibutuhkan 4 kg M

1, 4 kg M2, dan 2 kg

Banyaknya bahan baku yang tersedia adalah material M .

1 sebanyak 100 kg, material

M2 sebanyak 50 kg, dan material M3

Konstribusi keuntungan Produk I sebesar $5/unit, Produk II sebesar $10/unit, Produk III sebesar $12/unit. Namun selama proses produksi, 1 unit produk I menghasilkan 1 satuan polusi, 1 unit produk II menghasilkan 2 satuan polusi, dan 1 unit produk III menghasilkan 2 satuan polusi. Tujuan Perusahaan adalah ingin memaksimalkan pendapatan sekaligus meminimalkan total polusi berbahaya yang dihasilkan.

sebanyak 50 kg.

Solusi :

Variabel keputusan :

• x1

• x

= jumlah Produk I yang dibuat;

• x

= jumlah Produk II yang dibuat;

Permasalahan ini dapat diekspresikan sebagai multi-objective linear programming, sebagai berikut :

= jumlah Produk III yang dibuat;

Maksimumkan Z0 = cx dan minimumkan Z1

Dengan kendala Ax≤ b, x≥ 0

= dx

Dimana : xT = (x1, x2, x3

A = [(2, 8, 4), (3, 1, 4), (4, 0, 2)], b

), c = (5, 10, 12), d = (1, 2, 2)

(45)

Penyelesaian :

Apabila diselesaikan satu per satu :

Maksimumkan : Z

Kasus 1.

0 = 5x1 + 10x2 + 12x

Dengan batasan :

2x1 + 8x2 + 4x3

≤ 100 1 + x2 + 4x3

≤ 50 1 + 2x3

≤ 50 1, x2, x3

Penyelesaian :

≥ 0

Dengan bantuan slack variabel, maka persamaan dapat ditulis menjadi : Maksimumkan : Z0 = 5x1 + 10x2 + 12x3 + 0x4 + 0x5 + 0x

Dengan batasan :

2x1 + 8x2 + 4x3 + x4

≤ 100 1 + x2 + 4x3 + x5

≤ 50 1 + 2x3 + x6

≤ 50 1, x2, x3 ≥ 0

(46)

Tabel 3.1 Tabel Simpleks untuk Solusi Awal (Kasus 1)

Cj 5 10 12 0 0 0 Harga

Jawab Variabel

Basis

Harga Basis

x1 x2 x3 x4 x5 x6

x4 0 2 8 4 1 0 0 100

x5 0 3 1 4 0 1 0 50

x6 0 4 0 2 0 0 1 50

zj - cj -5 -10 -12 0 0 0 0

Imin

Diperoleh I =

min = 12,5, maka variabel yang akan meninggalkan basis adalah variabel x5

kemudian digantikan dengan variabel x3. Angka kunci (elemen pivot) yang diperoleh

= 4, maka tabel simpleks yang baru adalah :

Table 3.2 Tabel Simpleks untuk Solusi yang Baru (Kasus 1)

Cj 5 10 12 0 0 0 Harga

Jawab Variabel

Basis

Harga Basis

x1 x2 x3 x4 x5 x6

x4 0 -1 7 0 1 -1 0 50

x3 12 0,75 0,25 1 0 0,25 0 12,5

x6 0 2,5 3 0 0 -0,5 1 25

(47)

Imin

Diperoleh I =

min = 7,1, maka variabel yang akan meninggalkan basis adalah variabel x4

kemudian digantikan dengan variabel x2

Tabel 3.3 Tabel Simpleks untuk Solusi Akhir (Kasus 1)

. Angka kunci (elemen pivot) yang diperoleh = 7, maka tabel simpleks yang baru adalah :

Cj 5 10 12 0 0 0 Harga

Jawab Variabel

Basis

Harga Basis

x1 x2 x3 x4 x5 x6

x2 10 -0,1429 1 0 0,1429 -0,1429 0 7,1429

x3 12 -0,7857 0 1 -0,0357 0,2857 0 10,7143

x6 0 2,4286 0 0 0,0714 -0,5714 1 28,5714

zj - cj 3 0 0 1 2 0 200

Dari tabel tidak ada lagi zj – cj

< 0, dengan demikian telah dicapai penyelesaian optimal yaitu :

1 x = 0 2 x = 7,1429 3 Z = 10,7143 0 Z

= 5(0) + 10(7,1429) + 12(10,7143) = 200

1 = 0 + 2(7,1429) + 2(10,7143) = 35,7144

Maksimumkan : Z

Kasus 2.

(48)

Dengan batasan : 2x1 + 8x2 + 4x3

≤ 100 1 + x2 + 4x3

≤ 50 1 + 2x3

≤ 50 1, x2, x3

Penyelesaian :

≥ 0

Dengan bantuan slack variabel, maka persamaan dapat ditulis menjadi : Maksimumkan : Z0 = x1 + 2x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 + 0x

Dengan batasan :

2x1 + 8x2 + 4x3 + x4

≤ 100 1 + x2 + 4x3 + x5

≤ 50 1 + 2x3 + x6

≤ 50 1, x2, x3 ≥ 0

Tabel 3.4 Tabel Simpleks untuk Solusi Awal (Kasus 2)

Cj 1 2 2 0 0 0 Harga

Jawab Variabel

Basis

Harga Basis

x1 x2 x3 x4 x5 x6

x4 0 2 8 4 1 0 0 100

x5 0 3 1 4 0 1 0 50

x6 0 4 0 2 0 0 1 50

(49)

Dari tabel dapat dilihat tidak ada zj – cj

≥ 0, dengan demikian diperoleh penyelesaian

optimal yaitu :

x = 0

Z = 0

Pada kasus 1 diperoleh penghasilan maksimum $200, namun disisi lain juga menghasilkan 35,71 satuan polusi. Pada kasus 2 polusi yang diperoleh 0 satuan polusi, namun hal itu juga menunjukkan $0 pendapatan.

= 0

Seperti yang diketahui, kedua tujuan ini saling bertolak belakang satu sama lain. Disaat memaksimumkan pendapatan, polusi meningkat. Disaat meminimumkan polusi, pendapatanpun minim. Untuk menunjukkan sebuah solusi yang dikompromikan yang berkenaan pada kekaburan dan derajat kepuasan, perusahaan memberikan kebijakan sebagai berikut :

Goal 1 : Harus menahan paling sedikit 75% dari pendapatan maksimum ($150). Goal 2 : Harus tidak melebihi 30 satuan polusi untuk total polusi, tetapi lebih baik lagi

jika tidak menimbulkan polusi sama sekali.

Goal 3 : Rentang dari total pendapatan dan total polusi berbahaya harus minim. Rentang ini disebut sebagai fuzzy band.

Dua tujuan pertama akan dimodelkan ke dalam fuzzy linear programming dan modifikasi fungsi keanggotaan kurva-S.

Model fuzzy linear programming untuk masalah perencanaan persediaan produksi diberikan sebagai berikut :

(50)

Di mana , j = 1, 2, 3., 0 < < 1, 0 < < . C = 0,001001001, B = 1, dan = 13,81.

Pada persamaan (3.13), setelah menukar antara parameter sumber daya yang bernilai fuzzy dan parameter non-fuzzy dan , nilai terbaik dari fungsi objektif pada level tertentu dari mencapai ketika :

untuk i = 1, 2, 3, 4. ; j = 1, 2, 3. (3.15) Penyelesaian persamaan di atas menggunakan teknik program linier.

Tabel 3.5 Input Data untuk Pendapatan

5 10 12

2 8 4 100

3 1 4 50

4 0 2 50

1 2 2 [0 ; 30]

Penyelesaian :

1. Maksimumkan = 5x1 + 10x2 + 12x

Dengan batasan : 2x

1 + 8x2 + 4x3

≤ 100 1 + x2 + 4x3

≤ 50 1 + 2x3

≤ 50 1 + 2x2 + 2x3 30

(51)

x1, x2, x3

Setelah diselesaikan dengan metode simpleks menggunakan software QM diperoleh :

≥ 0 x1 x = 0 2 x = 3,3333 3 = 173,33 = 11,6667

2. Maksimumkan = 5x1 + 10x2 + 12x

Dengan batasan : 2x

1 + 8x2 + 4x3

≤ 100 1 + x2 + 4x3

≤ 50 1 + 2x3

≤ 50 1 + 2x2 + 2x3

0 + ln

1, x2, x3

Setelah diselesaikan dengan metode simpleks menggunakan software QM diperoleh :

≥ 0 x1 x = 0 2 x = 0 3 = 35,885 = 2,9903

(52)

Tabel 3.6 Input Data untuk Polusi

1 2 2

2 8 4 100

3 1 4 50

4 0 2 50

5 10 12 [35,885 ; 173,33]

Penyelesaian :

1. Maksimumkan = 1x1 + 2x2 + 2x

Dengan batasan : 2x

1 + 8x2 + 4x3

≤ 100 1 + x2 + 4x3

≤ 50 1 + 2x3

≤ 50 1 + 10x2 + 12x3

173,33

1, x2, x3

Setelah diselesaikan dengan metode simpleks menggunakan software QM diperoleh :

≥ 0 x1 x = 8,89 2 x = 8,4129 3 = 33,1743 = 3,7293

2. Maksimumkan = 1x1 + 2x2 + 2x

Dengan batasan : 2x

1 + 8x2 + 4x3

≤ 100 1 + x2 + 4x3≤ 50

(53)

4x1 + 2x3

≤ 50 1 + 10x2 + 12x3

35,883 + ln

1, x2, x3

Setelah diselesaikan dengan metode simpleks menggunakan software QM diperoleh :

≥ 0 x1 x = 0 2 x = 6,3365 3 = 12,673 = 0

Fuzzy band dari total pendapatan didefinisikan yaitu = - dan

untuk total polusi berbahaya = - . Di mana adalah maksimum

total pendapatan, adalah minimum total pendapatan dan adalah jarak antara total pendapatan. adalah maksimum total polusi, adalah minimum total polusi dan adalah jarak untuk polusi berbahaya. Fuzzy band untuk pendapatan dan polusi diberikan sebagai berikut :

Tabel 3.7 Fuzzy Band untuk Total Pendapatan Iterasi Pendapatan

Minimum Pendapatan Maksimum Fuzzy Band 1 2 3 35,88 99,19 151,43 173,33 188,15 194,73 137,45 88,99 43,3

(54)

Tabel 3.8 Fuzzy Band untuk Total Polusi

Iterasi Polusi

Minimum Polusi Maksimum Fuzzy Band 1 2 3 12,67 23,21 31,68 33,17 34,59 35,21 20,5 11,38 3,53

Proses berhenti pada iterasi ke 3. Hal ini dikarenakan minimum polusi sudah melebihi batas 30 ton meskipun nilai dari fuzzy band = 3,53 adalah yang terkecil, namun hal itu juga berarti goal ke-2 dilanggar. Oleh karena itu, iterasi ke-3 memberikan hasil yang cukup baik untuk maksimum total pendapatan dan minimum total polusi. Hasil dari tabel 3.8 menunjukkan bahwa total pendapatan maksimum adalah 194,73 dan total polusi minimum adalah 23,21 pada 99% tingkat kepuasan dengan tingkat kekaburan = 13,81.

Menurut Zimmermann dan Carlsson dalam pada Vasant (2004), solusi yang nyata tepat berada pada tingkat kepuasan 50% dalam lingkungan fuzzy.Tabel 3.9 dan 3.10 memberikan solusi fuzzy untuk optimal pendapatan dan optimal polusi yang berkenaan dengan kekaburan dan tingkat kepuasan.

Tabel 3.9 Optimal Polusi dan Tingkat Kepuasan ( = 13.81)

Tingkat kepuasan (%)

Optimal Polusi (Satuan Polusi)

0,10 34,5854

10,08 30,7056

20,06 30,0415

30,04 29,5989

40,02 29,2357

(55)

59,98 28,5688

68,96 28,2445

79,94 27,7630

89,92 27,0989

99,90 23,2139

Tabel 3.9 Optimal Pendapatan dan Tingkat Kepuasan ( = 13.81)

Tingkat kepuasan (%)

Optimal Pendapatan ($)

0,10 194,7319

10,08 179,9501

20,06 177,4235

30,04 175,7393

40,02 174,3573

50,00 173,0886

59,98 171,8199

68,96 170,5858

79,94 168,7538

89,92 166,2272

99,00 151,4336

Dari tabel 3.8 dan tabel 3.9 dapat dilihat bahwa total polusi pada tingkat kepuasan 50% adalah 28,90 satuan polusi, di mana goal ke-2 terpenuhi. Total pendapatan pada tingkat kepuasan 50% adalah $173,09, di mana goal pertama juga terpenuhi. Hasil ini menunjukkan bahwa solusi optimal dan kepuasan telah terpenuhi.

(56)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari studi literatur ini dapat disimpulkan :

1. Fuzzy Linear Programming (FLP) merupakan alat yang sederhana dan sesuai untuk permasalahan multi-objective dibandingkan dengan metode lain.

2. Tujuan dalam memformulasikan bentuk baru dari fungsi keanggotaan kurva-S yang modifikasi pada masalah perencanaan persediaan produksi yang terbatas telah tercapai.

3. Kemudahan dari fungsi keanggotaan kurva-S yang modifikasi dalam aplikasinya pada permasalahan dunia nyata telah dibuktikan melalui analisis, serta sangat memudahkan juga dalam pengambilan keputusan.

4.2 Saran

1. Model ini dapat diperluas pada situasi lainnya tidak hanya pada perencanaan persediaan produksi tetapi pada bidang yang lain juga dengan sedikit atau tanpa modifikasi.

2. Model ini juga dapat diperluas untuk banyaknya tujuan dengan memasukkan hanya satu penambahan pembatas ke dalam kumpulan pembatas untuk setiap penambahan fungsi tujuan.

(57)

DAFTAR PUSTAKA

Hadiguna, R.A, dan Machfud., 2008. “ Model Perencanaan Produksi pada Rantai Pasok Crude Palm Oil dengan Mempertimbangkan Preferensi Pengambil Keputusan”. Jurnal Teknik Industri, Volume 10 Nomor 1: hal. 38-49.

Kusumadewi. Sri. dan Purnomo, Hari. 2004. Aplikasi Logika Fuzzy untuk Pendukung

Keputusan. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Nasendi, B. D. Dan Effendi Anwar. 1985. Program Linier dan Variasinya, Jakarta : P. T. Gramedia.

Siringoringo, Hotniar., 2005, Seri Teknik Riset Operasional. Pemrograman Linier. Penerbit Graha Ilmu. Yogyakarta.

Sutapa, Nyoman., 2000. “Masalah Program Linier Fuzzy dengan Fungsi Keanggotaan Linier”. Jurnal Teknik Industri, Volume 2 Nomor 1: hal. 28-33.

Zadeh, L. A., 1971. “Similiarity Relation and Fuzzy Orderings”. Information science ; 3 : 177-206.

Vasant, P.M., 2003. “Aplication of Fuzzy Linear Programing in Production Planing.”

Fuzzy Optimization and Decision Making, Volume 3, hal. 229-241.

Vasant, P.M., 2004. “Aplication of Multi Objective Fuzzy Linear Programing in

Supply Production Planing Problem.” Jurnal teknologi, 40(D) : 37-48.

Vasant, P.M., 2006. “Fuzzy Production Planing and its Application to Decision

(1)

Tabel 3.6 Input Data untuk Polusi

1 2 2

2 8 4 100

3 1 4 50

4 0 2 50

5 10 12 [35,885 ; 173,33]

Penyelesaian :

1. Maksimumkan = 1x1 + 2x2 + 2x

Dengan batasan : 2x

3 1 + 8x2 + 4x3

≤ 100 1 + x2 + 4x3 4x

≤ 50 1 + 2x3 5x

≤ 50 1 + 10x2 + 12x3

173,33 1, x2, x3

Setelah diselesaikan dengan metode simpleks menggunakan software QM diperoleh : ≥ 0

= 8,89 2

= 8,4129 3

= 33,1743 = 3,7293

2. Maksimumkan = 1x1 + 2x2 + 2x

Dengan batasan : 2x

3 1 + 8x2 + 4x3

≤ 100 1 + x2 + 4x3 ≤ 50

(2)

4x1 + 2x3 5x

≤ 50 1 + 10x2 + 12x3

35,883 + ln

1, x2, x3

Setelah diselesaikan dengan metode simpleks menggunakan software QM diperoleh : ≥ 0

= 0 2

= 6,3365 3

= 12,673 = 0

Fuzzy band dari total pendapatan didefinisikan yaitu = - dan untuk total polusi berbahaya = - . Di mana adalah maksimum total pendapatan, adalah minimum total pendapatan dan adalah jarak antara total pendapatan. adalah maksimum total polusi, adalah minimum total polusi dan adalah jarak untuk polusi berbahaya. Fuzzy band untuk pendapatan dan polusi diberikan sebagai berikut :

Tabel 3.7 Fuzzy Band untuk Total Pendapatan

Iterasi Pendapatan Minimum

Pendapatan Maksimum

Fuzzy Band

1 2 3

35,88 99,19 151,43

173,33 188,15 194,73

137,45 88,99

(3)

Tabel 3.8 Fuzzy Band untuk Total Polusi

Iterasi Polusi Minimum

Polusi Maksimum

Fuzzy Band

1 2 3

12,67 23,21 31,68

33,17 34,59 35,21

20,5 11,38

3,53