Resmawan Kalkulus Integral Lipat Dua pada Persegi Panjang Integral Berulang
KALKULUS LANJUT
Integral Lipat
Resmawan
Universitas Negeri Gorontalo
7 November 2018
13.1. Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang Perhatikan Gambar
De…nition
Jumlah Rieman untuk f
n
f ( t ) ∆x
∑ i i
= i1 , .
merupakan hampiran luas daerah dibawah kurva y = f ( x ) x ǫ [
a, b ] Jika
n ( ) ∆x
lim f t
∑ i i j P j! i =
1 [ ]
ada, maka f dikatakan terintegralkan pada
a, b . Integral tentu f pada
[
a, b ] dide…nisikan sebagai
Z n b
f ( x ) dx = lim f ( t ) ∆x
i i ∑
j j!
a P i =1 Perhatikan Gambar
De…nition (Jumlah Riemann Fungsi Dua Variabel) :
Misalkan R x, y ) a x
b, c y d g dan f kontinu (kecuali
= f(
pada suatu kurva) dan terbatas. Bentuk partisi A dengan panjang ∆x
k k
k k k k
, , dan lebar ∆y . Jika pada setiap A dipilih titik sampel ( x y ) maka
Jumlah Riemann diperoleh
n
k k k ∑ k 1
, f ( x y ) ∆A
= ( )
yang merupakan hampiran volume ruang diantara permukaan z f x, y dan persegi panjang R.
De…nition (Integral Lipat Fungsi Dua Variabel)
Misalkan f suatu fungsi dua variabel yang terde…nisi pada suatu persegipanjang tertutup R.Jika
n
,
( ) ∆A
lim f x y
∑ k k k j P j! k =
1
ada, maka f dikatakan terintegralkan pada R. Selanjutnya disebut dengan Integral Lipat Dua f pada R yang diberikan oleh
ZZ n
,
=
f ( x, y ) dA lim f ( x y ) ∆A
∑ k k k j P j! = k
1 R Catatan penting untuk diingat: Jika f ( x ) 0, maka
Z b
f ( x ) dx
a menyatakan luas daerah dibawah kurva y = f ( x ) diantara a dan b.
Dengan kaidah yang sama jika f ( x, y ) 0, maka
ZZ
f ( x, y ) dA
R
menyatakan volume benda pejal dibawah permukaan z = f ( x, y ) dan diatas persegipanjang R. Theorem (Keterintegralan)
Jika f kontinu (kecuali pada suatu kurva) dan terbatas pada persegi panjang R, maka f terintegralkan pada R.
Example
Fungsi Tangga
Example
Setiap polinom dua peubah terintegralkan pada sembarang persegi panjang.
1 Linear ZZ ZZ
k f ( x, y ) dA = k f ( x, y ) dA
R R ZZ ZZ ZZ [ ( ) + ( + )] = ( ) ( )
f x, y g x, y dA f x, y dA g x, y dA 2 R R R
= [
Aditif (Dapat Dijumlahkan). Jika R R
1 R 2 maka berlaku ZZ ZZ ZZ
- =
f ( x, y ) dA f ( x, y ) dA f ( x, y ) dA 3 R R R 1 2 Monoton (Berlaku Sifat Perbandingan). Jika f ( x, y ) g ( x, y ) untuk semua ( x, y ) di R, maka
ZZ ZZ
f ( x, y ) dA g ( x, y ) dA
R R
Example
2 ; 1 x 4, 1 y
3 ; 3 x 4, 0 y
2
3, 1 y
<
1 ; 1 x
1
<
3, 0 y
<
2 ; 1 x
2 2 ) f ( x, y ) =
1
Misalkan R
<
1 ; 1 x 4, 0 y
dA jika diberikan fungsi 1 ) f ( x, y ) =
)
x, y
(
f
ZZ R
Hitunglah
x, y ) : x 4, 0 y 2 g .
= f(
2
2 < =
1 Dari fungsi diperoleh persegipanjang R 1 dan R
R 1 x 4, 0 y
1
1 R =
1 x 4, 1 y
2
2
sehingga dengan sifat aditif, diperoleh
ZZ ZZ ZZ
f ( x, y ) dA = + f ( x, y ) dA f ( x, y ) dA
R R R
1
2 = ( ) + ( )1
3.1
2
3.1
=
3
2. Dari fungsi diperoleh persegipanjang R , R dan R
1
2
3 < < =
R
1
1 x 3, 0 y
1
<
R = 1 x 3, 1 y
2
2 =
R 3 x 4, 0 y
2
3
sehingga dengan sifat aditif, diperoleh
ZZ ZZ ZZ ZZ
f ( x, y ) dA = f ( + x, y ) dA f ( x, y ) dA f ( x, y ) + dA
R R R R 1 2 3 =
2 ( 2.1 ) + 1 ( 2.1 ) + 3 ( 1.2 ) =
12 Example
= f(
: . Diketahui persegipanjang R x, y ) x 4, 0 y 8 g Taksir
nilai dari
ZZ
2
- 64 8x y dA
16 R dengan Jumlah Riemann dengan membagi R atas 8 persegi sama besar dan memilih titik-titik tengah tiap persegi sebagai titik sampelnya. Solution
Nilai f di titik-titik sampel f ( 1, 1 ) =
x
ZZ R
64 8x + y
2
16 dA
8 ∑ k =
1
f
(
k
89
, y
k
) ∆A k=
4
16
(
57 + 65 + 81 + 105 + 41 + 49 + 65 + 89 )
=
16 Dengan ∆A k = 4, diperoleh
f ( 3, 7 ) =
57
105
16
f ( 1, 3 ) =
65
16
f ( 1, 5 ) =
81
16
f ( 1, 7 ) =
16
16
f ( 3, 1 ) =
41
16
f ( 3, 3 ) =
49
16
f ( 3, 5 ) =
65
138 Problem 1 Misalkan R = f( x, y ) :
x 4, 0 y
2 b ) f ( x, y ) =
1 ; 3 x 4, 1 y
2
3, 1 y
<
3 ; 1 x
1
<
2 ; 1 x 4, 0 y
3 ; 3 x 4, 0 y Problem :
) g
2
2
<
3, 0 y
<
2 ; 1 x
f ( x, y ) dA jika diberikan fungsi a ) f ( x, y ) =
ZZ R
Hitunglah
g .
2
2. Misalkan R = f( x, y x 6, 0 y
4 dan P adalah partisi dari R menjadi 6 persegi yang sama oleh garis-garis x = 2, x = 4, dan
=
y
2. Aproksimasi
ZZ
f ( x, y ) dA
R
dengan menghitung jumlah Riemann dengan fungsi dua peubah: a ) f ( x, y ) = 12 x y
2 ) ( ) =
b f x, y 10 y
1 c ) f ( x, y ) = ( 48 4x 3y )
6
13.2. Integral Berulang Berulang De…nition
Jika f terintegralkan pada persegi panjang R = [
a, b ] [
c, d ] , maka integral lipat dua dari f pada R dapat dihitung sebagai integral berulang:
ZZ Z Z d b
f ( x, y ) dA = f ( x, y ) dxdy
c a R
atau
ZZ Z Z b d
f ( x, y ) dA = f ( x, y ) dydx
a c R
Catatan: Pada cara pertama, ruang diiris sejajar sumbu x terlebih dahulu
2 Z
x
Examples
Hitunglah masing-masing integral berulang dari 1 )
Z
3 (
9 x ) dydx 2 )
Z
1
2
2
2
- y
1 Z
dxdy 3 )
Z
8 Z
4
- y
64 8x
2
16 dxdy
1 Solution
2 Z
=
Z48
2
=
2
2 x
3
= 27x
dx
]
27 3x
2 [
=
Z9.3 x.3 ) ] dx
2 [(
1
) Z
3
2 [ 9y xy ]
=
Zdx
3
) j
9y xy
2 (
=
Zdydx
)
9 x
3 (
dx Solution
3
2 Z Z Z
1
2
1
x
2
2
2
2 x y dxdy = xy + dy
) +
3
1
1
1
1 Z
3
1
2
1
2
2
- = 2y y + dy
1
3
3 Z
1
7
2
- = y dy
1
3
1
3
y 7y
- =
3
3
1
1
7
1
7
- = +
3
3
3
3
16
=
3 Solution
2
2
2
4 Z Z Z
8
4
8
x y x xy
3 ) 4 + dxdy = + 4x dy
2
16
4
16 Z
2
2
8
4 4y = 4 4 dy +
4
16 Z
2
8
y
= +
12 dy
4
8
3
y
- = 12y
12
3
8
- = 12 8
12
2
= 138
3 Example
2 Hitunglah volume benda pejal dibawah permukaan z = : 4 x y diatas .
) g
persegipanjang R = f( x, y x 1, 0 y
2 Solution
Volume estimasi :
=
Misal tinggi benda pejal 2.5, maka diperkirakan V ( 2 ) ( 2.5 ) =
5 Volume dengan pendekatan integral berulang: Jika perhitungan benar, maka volume yang diperoleh harusnya tidak jauh dari angka 5.
ZZ
2 V =
4 x y dA
R Z Z
1
2
2 =
4 x y dydx Solution
2
2 Z
1
y
2 V = 4y x y dx
2 Z
1
2 =
6 2x dx
1
3
2x
= 6x
3
2
=
6
3
16
=
3 Problem
) :
g .
1. Misalkan R = f( x, y
2
2 ; 1 x 4, 0 y
2
1 ; 3 x 4, 1 y
2
3, 1 y
<
3 ; 1 x
1
<
2 b ) f ( x, y ) =
Hitunglah
x 4, 0 y
2 Problem :
) g
<
3, 0 y
<
2 ; 1 x
f ( x, y ) dA jika diberikan fungsi a ) f ( x, y ) =
ZZ R
3 ; 3 x 4, 0 y
2. Misalkan R = f( x, y x 6, 0 y
4 dan P adalah partisi dari R menjadi 6 persegi yang sama oleh garis-garis x = 2, x = 4, dan
=
y
2. Aproksimasi
ZZ
f ( x, y ) dA
R
dengan menghitung jumlah Riemann dengan fungsi dua peubah: a ) f ( x, y ) = 12 x y
2 ) ( ) =
b f x, y 10 y
1 c ) f ( x, y ) = ( 48 4x 3y )
6
16 dydx
1
2
64 8x
8
4 Z
Z
dydx 3 )
2
2
x
1
Problem
1 Z
2
Z
9 x ) dxdy 2 )
2
(
3 Z
Z
1 )
3. Hitunglah masing-masing integral berulang dari
- y
- y
4. Hitunglah volume benda pejal dibawah permukaan:
" Terima Kasih, Semoga Bermanfaat "