b bama ramlan ganjil

Jurnal Penelitian Sains

Edisi Khusus Desember 2009 (B) 09:12-05

Statistika Sistem Zarah; dari Klasik hingga Eksotik
Akhmad Aminuddin Bama dan Ramlan
Jurusan Fisika FMIPA, Universitas Sriwijaya, Sumatera Selatan, Indonesia

Intisari: Dalam makalah ini diuraikan secara kronologis statistika bagi sistem zarah, dari statistika Maxwell-Boltzmann
yang merupakan bentuk statistik bagi sistem zarah klasik, statistika Bose-Einstein dan Fermi-Dirac, hingga statistika
eksotik yang merupakan berbagai bentuk statistika bagi sistem zarah kuantum.
Kata kunci: statistika Maxwell-Boltzmann, satitistika Bose-Einstein, statistika Fermi-Dirac, statistika eksotik
Abstract: This paper describes in chronological order statistics for particle systems, from the Maxwell-Boltzmann
statistics, which is a statistics of classical particle systems, Bose-Einstein and Fermi-Dirac statistics, to the exotic
statistics, which are various forms of quantum statistics for quantum particle systems.

Keywords: Maxwell-Boltzmann statistics, Bose-Einstein statistics, Fermi-Dirac statistics, exotic statistics
E-mail: akhmadbama@yahoo.com
Desember 2009

1

PENDAHULUAN

i dalam mekanika statistik, fungsi distribusi
D
f (E) bagi sistem zarah identik merupakan peluang sebuah zarah berada pada tingkat energi E.
Fungsi ini merupakan perluasan gagasan peluang diskret untuk kasus yang energinya kontinu [1,2,3,4] .
Sampai sejauh ini, di alam, paling tidak terdapat
tiga fungsi distribusi yang berbeda, yaitu fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein, dan Fermi
Dirac. Fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann berlaku
untuk zarah identik tetapi terbedakan. Contoh bagi
distribusi ini adalah distribusi Maxwell untuk kecepatan molekular. Distribusi Bose-Einstein dan FermiDirac berlaku apabila zarah itu tak terbedakan (akibat efek kuantum) yang masing-masingnya berlaku
untuk spin bulat dan tengahan (dalam satuan ~). Radiasi termal dan panas spesifik mematuhi distribusi
Bose-Einstein, sedangkan elektron di dalam logam dan
semikonduktor serta lubang (hole) mematuhi fungsi
distribusi Fermi-Dirac.
Umumnya, di berbagai tulisan maupun buku teks,
berbagai bentuk statistika bagi sistem zarah di atas
diuraikan secara rinci dengan berbagai rumusan matematis yang begitu banyak dan kompleks. Hal yang
demikian itu terkadang membuat sulit untuk dapat

memahami “benang merahnya” secara utuh, terutama
bagi pemula. Tujuan dari paparan ini adalah memberikan gambaran sekilas tetapi menyeluruh (rangkuman) mengenai berbagai statistika bagi sistem zarah,
yang umumnya di berbagai tulisan maupun buku teks
c 2010 FMIPA Universitas Sriwijaya


tidak terangkum secara menyeluruh.
2

STATISTIKA MAXWELL-BOLTZMANN

Statistika Maxwell-Boltzmann sering digambarkan sebagai statistika bagi zarah klasik “terbedakan”.
Sistem zarah klasik terbedakan merupakan sistem
zarah yang konfigurasinya berbeda ketika dua atau
lebih zarah dipertukarkan. Dengan kata lain, konfigurasi zarah A di dalam keadaan 1 dan zarah B di
dalam keadaan 2 berbeda dengan konfigurasi ketika
zarah B berada dalam keadaan 1 sedangkan zarah A
dalam keadaan 2.
Ketika gagasan di atas diimplementasikan akan dihasilkan distribusi (Boltzmann) biasa bagi zarah dalam berbagai tingkat energi. Fungsi distribusi ini
menghasilkan hasil yang kurang fisis untuk entropi,

sebagaimana ditunjukkan dalam “paradoks Gibbs”
[1,2,3,4]
. Namun, masalah itu tidak muncul pada peninjauan statistik ketika semua zarah dianggap tak terbedakan.
Secara khusus, statistika Maxwell-Boltzmann berguna untuk mempelajari berbagai sifat gas mampat.
3

STATISTIKA BOSE-EINSTEIN DAN
FERMI-DIRAC

Statistika kuantum adalah paradigma statistik bagi
zarah atau sistem zarah yang perilaku penyusunnya
harus digambarkan oleh mekanika kuantum, alih-alih
mekanika klasik karena ukuran mikroskopiknya.
0912-05-26

Bama & Ramlan/Statistika Sistem Zarah . . .
Sebagaimana di dalam statistika klasik (statistika
Maxwell-Boltzmann), pusat permasalahannya adalah
mencari fungsi distribusi yang tepat untuk berbagai
temperatur (melukiskan energi kinetik rerata sistem

gas). Meskipun demikian, mengingat fungsi distribusi
di dalam mekanika statistik klasik menggambarkan
jumlah zarah di dalam unsur ruang fase pada jangkau
posisi dan momentum tertentu, di dalam statistika
kuantum fungsi distribusi memberikan jumlah zarah
di dalam grup tingkat-tingkat energi. Cacah zarah
yang menghuni setiap tingkat energi individual dapat
satu atau dapat berlebih, tergantung pada derajat kemerosotan energi serta sifat simetri fungsi gelombang
terkait dengan pertukaran zarah. Untuk fungsi gelombang antisimetrik, hanya ada sebuah zarah yang dapat
menghuni sebuah keadaan, sedangkan untuk fungsi
gelombang simetrik, sejumlah zarah dapat menghuni
sebuah keadaan (pada saat yang sama). Berdasarkan
batasan ini, terdapat dua distribusi kuantum terpisah,
yaitu distribusi Fermi-Dirac untuk sistem yang digambarkan oleh fungsi gelombang antisimetrik dan distribusi Bose-Einstein untuk sistem yang digambarkan
oleh fungsi gelombang simetrik [5,6] .
Statistika kuantum Bose-Einstein dan Fermi-Dirac
berlaku ketika efek kuantum harus diperhitungkan
yang mengakibatkan zarah tak lagi terbedakan. Efek
kuantum muncul jika konsentrasi zarah (jumlah zarah per-volume (N/V )) lebih besar atau sama dengan
konsentrasi kuantum nq [2] .

Konsentrasi kuantum terjadi ketika jarak antar
zarah sama dengan panjang gelombang de-Broglie
termal, yaitu ketika fungsi gelombang zarah saling
menyentuh tetapi tidak saling bertindih (overlapping).
Konsentrasi kuantum bergantung pada temperatur;
pada temperatur tinggi sistem akan berubah menjadi sistem dalam limit klasik kecuali sistem itu mempunyai kerapatan yang sangat tinggi, misalnya “katai
putih” [5,6] .
Statistika Bose-Einstein dan Fermi-Dirac akan menjadi statistika Maxwell-Boltzmann pada temperatur
tinggi atau pada konsentrasi rendah.
Statistika Fermi-Dirac menentukan distribusi statistik bagi fermion pada berbagai tingkat energi untuk
sebuah sistem di dalam kesetimbangan termal. Dengan kata lain, statistika ini merupakan probabilitas
bagi suatu tingkat energi untuk dihuni fermion.
Fermion adalah zarah tak terbedakan berspin tengahan dan karena itu mematuhi asas larangan Pauli,
yaitu pada saat yang sama tidak boleh ada lebih dari
satu zarah yang dapat menempati keadaan kuantum
yang sama. Kumpulan fermion yang tak saling berinteraksi disebut sebagai gas Fermi ideal [1,2] .
Statistika Fermi-Dirac diperkenalkan oleh Enrico
Fermi dan Paul Dirac pada tahun 1926. Pada tahun itu pula, Ralph Fowler memanfaatkannya untuk
menggambarkan keruntuhan bintang menjadi katai

JPS Edisi Khusus (B) 09:12-05
putih, dan pada tahun 1927, Arnold Sommerfeld menerapkannya untuk elektron di dalam logam.
Statistika Bose-Einstein menentukan distribusi statistik bagi boson pada berbagai tingkat energi di dalam kesetimbangn termal.
Tidak seperti fermion, boson adalah zarah berspin
bulat sehingga tidak mematuhi asas larangan Pauli;
sejumlah besar zarah boson dapat menempati keadaan
yang sama pada saat yang sama pula. Hal itu
dapat menjelaskan mengapa pada temperatur rendah boson dapat berperilaku sangat berbeda dengan
fermion; semua zarah akan menggumpal bersamasama pada keadaan energi yang paling rendah. Proses
yang demikian itu disebut sebagai “kondensasi BoseEinstein”, misalnya fenomena superfluida di dalam helium cair. Di samping itu sejumlah zarah tergandeng
secara efektif juga dapat bertindak sebagai boson, misalnya, di dalam teori superkonduktor BCS, sejumlah
pasangan elektron tergandeng bertindak seperti boson
dan berkumpul atau menggumpal ke sebuah keadaan
yang mengakibatkan resistansi elektrik nol [1,2] .
Statistika Bose-Einstein diperkenalkan oleh Bose
(untuk foton) pada tahun 1920 dan diperluas oleh Einstein untuk atom pada tahun 1924.
4

STATISTIKA EKSOTIK

Di samping statistika klasik (Maxwell-Boltzmann)
dan dua jenis statistika kuantum (Bose-Einstein dan
Fermi-Dirac) sebagaimana yang dijelaskan di atas,
di dalam mekanika kuantum dan mekanika statistika (kuantum statistika), parastatistika merupakan
satu dari beberapa alternatif model statistika zarah
(kuantum) yang secara teoretis telah banyak diselidiki [7,8,9,10,11] . Selain parastatistika, untuk ruangwaktu berdimensi lebih rendah, misalnya ruang-waktu
berdimensi-(2 + 1), dikenal juga beberapa alternatif
statistika lain, misalnya statistika anyonik maupun
statistika fraksional lainnya [12,13] .
Statistika Fraksional dicirii oleh parameter statistik θ (0 < θ < π), yaitu apabila dua zarah yang
memenuhi statistika ini dipertukarkan maka fungsi
gelombang akan berubah dengan sebuah fase exp(iθ)
(θ = 0 → statistika Bose-Einstein; θ = π → statistika
Fermi-Dirac). Semua statistika baru itu (selain statistika Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein, dan FermiDirac) sering juga disebut sebagai “statistika eksotik”
[12,13,14,15,16,17]
.
Secara aljabar, terdapat grup SN (grup simetrik
berorde-N ) yang bekerja pada aljabar operator dengan tafsiran yang diharapkan bagi permutasi N zarah
[18,16,17]
. Mekanika kuantum menghendaki pemfokusan pada observabel, dan observabel haruslah invarian

terhadap semua permutasi yang mungkin bagi N zarah. Dengan kata lain, jika aljabar operator bagi sistem N -zarah identik adalah aljabar-(∗), maka aljabar

0912-05-27

Bama & Ramlan/Statistika Sistem Zarah . . .
observabel harus merupakan subaljabar-(∗) yang invarian terhadap tindakan grup SN (perlu dicatat bahwa
hal ini tidak berarti setiap unsur aljabar operator
yang invarian terhadap tindakan SN adalah observabel). Karena itu terdapat sektor superseleksi (ruang
Hilbert) yang berbeda, masing-masing sektor superseleksi ini diparameterkan oleh “diagram atau tabel
Young” bagi grup SN .
Secara khusus, untuk N zarah paraboson berordea (dengan a adalah bilangan bulat positif), diagram
Young yang mungkin adalah semua diagram Young
dengan a baris sebagai acuannya, sedangkan untuk N
zarah parafermion berorde-a adalah semua diagram
Young dengan a kolom sebagai acuannya [19,20] .
Di dalam parastatistika, istilah paraboson dan parafermion berorde-a muncul berkaitan dengan tidak
adanya keadaan (state) yang berturut-turut antisimetrik dan simetrik sejumlah a buah zarah. Perlu
dicatat bahwa sifat fisis bagi paraboson maupun parafermion belum banyak diteliti; diduga keduanya mempunyai sifat fisis yang lebih condong ke boson (untuk
paraboson) dan ke fermion (untuk parafermi). Jika a
sama dengan 1, diperoleh kasus untuk statistika BoseEinstein (1 baris) dan Fermi-Dirac (1 kolom). Jika a

takterhingga (a tidak hanya bilangan bulat, tetapi dapat bilangan sebarang), diperoleh statistika MaxwellBoltzmann [20] .
Lebih jauh lagi, secara matematis, penentuan sektor superseleksi terkait dengan wakilan uniter tak tersusutkan (irreducible unitary representation (IUR))
grup fundamental π1 (Q) bagi ruang konfigurasi Q
(atau grup N -untai) yang tergantung pada topologi
spasialnya. Untuk ruang berdimensi-3 atau lebih dan
tersambung sederhana (misalnya ruang bertopologi R3
atau S 3 ), grup fundamental bagi ruang ini trivial,
karena itu statistika yang mungkin bagi sistem N zarah identik di dalamnya hanya terkait dengan wakilan uniter bagi grup simetrik SN [18,21,16,17] . Boson
dan fermion adalah manifestasi dari wakilan uniter tak
tersusutkan berdimensi-1 bagi SN , sementara untuk
wakilan berdimensi yang lebih tinggi bagi SN akan
memberikan parastatistika. Berbeda dengan kasus
berdimensi-3 (tersambung sederhana), untuk ruang
berdimensi-(d < 3), grup fundamentalnya tidak selalu
trivial. Akibatnya, statistika yang mungkin bagi sistem zarah identik di dalam berbagai ruang ini dapat
sangat bervariasi tergantung pada topologi ruangnya.
Misalnya, N -zarah identik yang menghuni permukaan
datar (ruang bertopologi R2 ) akan menunjukkan variasi statistik yang berbeda jika dibandingkan dengan
sistem yang sama tetapi menghuni torus berdimensi-2
(ruang bertopologi T 2 ) atau permukaan bola (ruang

bertopologi S 2 ) [22,16,17] .

JPS Edisi Khusus (B) 09:12-05
5

SIMPULAN

Perilaku kolektif (sifat makro) bagi sistem zarah
klasik (terbedakan) memenuhi statistika MaxwellBoltzmann. Sedangkan untuk sistem zarah kuantum dan tak terbedakan, perilaku kolektifnya dapat
digambarkan oleh berbagai jenis statistika, yaitu dari
satistika Bose-Einstein (untuk zarah boson), statistika
Fermi-Dirac (untuk zarah Fermi), hingga statistika eksotik (bukan Bose dan bukan Fermi).
Parastatistik merupakan statistika eksotik untuk
sistem zarah bukan boson dan bukan fermion dalam
ruang berdimensi-3, sedangkan statistika fraksional
untuk ruang berdimensi-(d < 3).
Penenetuan bebagai jenis statistika kuantum terkait
dengan wakilan uniter tak tersusutkan dari grup fundamental bagi ruang konfigurasi sistem yang bergantung pada topologi spasialnya (menentukan sektor
superseleksi-nya).
DAFTAR PUSTAKA

[1]

[2]
[3]
[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]
[10]
[11]

[12]

[13]

[14]

Greiner,W., L. Neise, dan H. St¨
ocker, 1995,
Thermodynamics and Statistical Mechanics, Springer
Verlag, New York
Huang, K., 1965, Statistical Mechanics, JohnWilley &
Sons, New York
Mandl, F., 1971, Statistical Physics, hal. 310, John Wiley
& Sons Ltd., London
Sears, F.W. dan G.L. Sallinger, 1975, Thermodynamics,
Kinetic Theory, and Statistical Thermodynamics,
Addison-Wesley, Massachusets
Balachandran, A.P., T.D. Imbo, dan C.S. Imbo, 1988,
Topological and Algebraic Aspect of Quantization:
Symmetries and Statistics, Ann. Inst. Henri Poincar´
e, vol.
49, no. 3, hal. 387-396
Bama, A.A., 2003, Elaborasi Hubungan Spin dan
Statistika, Tesis S2, Program Pascasarjana Universitas
Gadjah Mada, Yogyakarta
Chaturvedi, S. dan V. Srinivasan, 1996, Grand Canonical
Partition Functions for Multi-level Parafermi Systems of
any Order Particles with Different Statistics, Phys. Lett.
A, vol. 224, hal. 249-252
Chaturvedi, S., R.H. McKenzie, P.K. Panigrahi, dan V.
Srinivasan, 1997, Equivalence of the Grand Canonical
Partition Functions of Particles with Different Statistics,
Mod. Phys. Lett. A, vol. 12, hal. 1095-1099
Polychronakus, A.P., 1996, Path Integrals and
Parastatistics, Nucl. Phys. B, vol. 474, hal. 529-539
Satriawan, M., 2002, Generalized Parastatistical Systems,
PhD Thesis, University of Illinois at Chicago, Chicago
Satriawan, M., 2004, Grand Canonical Partition Function
for Parastatistical Systems, Phys. J. IPS, vol. C8, hal.
0515
Einarsson, T., 1991, Fractional Statistics on Compact
Surfaces, G¨
oteborg ITP 91-1 (Invited Brief Review for
Mod. Phys. Lett. B)
Haldane, F.D.M., 1991, “Fractional Statistics” in
Arbitrary Dimensions: A Generalization of the Pauli
Principle, Phys. Rev. Lett., vol. 67, no. 8, hal. 83
Hatsugai, Y., M. Kohmoto, dan Y.S. Wu, 1991, Braid
Groups, Anyons and Gauge Invariance (On Topologically
Nontrivial Surfaces), Technical Report of ISSP, vol. Ser.
A, no. 2489

0912-05-28

Bama & Ramlan/Statistika Sistem Zarah . . .
[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

Hatsugai, Y., M. Kohmoto, dan Y.S. Wu, 1991,
Multi-Sheet Configuration Space and Fractional Quantum
Statistics, Technical Report of ISSP, vol. Ser.A, no. 24,
hal. 567-940
Imbo, T.D. dan J.M. Russell, 1990, Exotic Statistics on
Surfaces, Lyman Lab. of Physics, Harvard University,
Cambridge, MA 02138
Imbo, T.D., C.S. Imbo, dan E.C.G. Sudarshan, 1990,
Identical Particles, Exotic Statistics and Braid Groups,
Phys. Lett. B, vol. 234, hal. 103-107hysics, Harvard
University, Cambridge, MA 02138
Birman, J.S., 1969, On Braid Groups, Comm. Pure Appl.
Math., vol. 22, hal. 41-72
Fulton, W., 1991, Young Tableaux, Cambridge Univ.
Press, New York
Yosi Aprian Sari, R., 2005, Perhitungan Fungsi-fungsi
Termodinamika Sistem Paraboson Orde Dua, Tesis S2,
Program Pascasarjana Universitas Gadjah Mada,
Yogyakarta
Johnson, D.L., 1997, Presentations of Groups, edisi 2,
Cambridge University Press, New York
Bama, A.A., M. Satriawan, M.F. Rosyid, dan Muslim,
2004, Inequivalent Quantizations of Identical Particle
System in a Universe with a Wormhole, dalam Proceeding
of the First Jogja Regional Physics Conference 2004,
Section D, Yogyakarta, Indonesia, 11 September 2004, hal.
65-71, Physics Dept. Gadjah Mada University, Yogyakarta,
Indonesia

0912-05-29

JPS Edisi Khusus (B) 09:12-05