PENERAPAN METODE ADAMS-BASHFORTH-MOULTON ORDE EMPAT UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER HOMOGEN ORDE TIGA KOEFISIEN KONSTAN

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 2 Hal. 21 – 25

  ISSN : 2303–2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND

PENERAPAN METODE

ADAMS-BASHFORTH-MOULTON ORDE EMPAT

  

UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERSAMAAN

DIFERENSIAL LINIER HOMOGEN ORDE TIGA

KOEFISIEN KONSTAN

DELVITRI MURNI, BUKTI GINTING, NARWEN

  

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia.

_Abstrak.

email : delvitrimurni21@gmail.com

  Persamaan diferensial linier homogen orde tiga koefisien konstan direduksi _′

menjadi persamaan diferensial biasa orde-1, yaitu y = f (x, y) dengan syarat awal

y (x ) = y . Persamaan diferensial biasa orde-1 diselesaikan menggunakan metode

_{1 2 3} Runge-Kutta orde empat untuk menentukan nilai pendekatan y , y , dan y . Selanjutnya,

digunakan metode Adams-Bashforth orde empat untuk menentukan nilai pendekatan

_{4 5 · · · , dst}

y , y , sebagai prediktor. Nilai yang ditampilkan oleh metode Adams-Bashforth

orde empat digunakan pada metode Adams-Moulton orde empat sebagai korektor. Proses

metode Adams-Bashforth orde empat dan metode Adams-Moulton orde empat dikatakan

sebagai metode Adams-Bashforth-Moulton orde empat atau metode prediktor-korektor.

  Kata Kunci : Persamaan diferensial, Runge-Kutta, Adams-Bashforth, Adams-Moulton, prediktor-korektor

  1. Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan-turunan suatu fungsi yang tak diketahui. Meskipun persamaan seperti itu seharusnya disebut per- samaan turunan, namun istilah persamaan diferensial (aequatio differentialis) yang diperkenalkan oleh Leibniz pada tahun 1676 sudah umum digunakan [1].

  Metode yang dikembangkan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa secara numerik, terbagi atas dua yaitu metode satu langkah (one-step) dan metode banyak langkah (multi-step). Metode satu langkah membutuhkan satu nilai awal _r untuk mendapatkan nilai sekarang, dengan kata lain hanya dibutuhkan nilai y un- tuk mendapatkan nilai y r+1 , sedangkan metode banyak langkah membutuhkan dua atau lebih nilai sebelumnya untuk menda-patkan nilai sekarang, dengan kata lain

  , y , r dibutuhkan nilai y ^{1 · · · , y dengan r = 0, 1, 2, · · · , n − 1 untuk menghitung nilai} y _{r+1 . Nilai-nilai awal tersebut diperoleh dari metode satu langkah. Metode banyak} langkah disebut metode prediktor-korektor, karena dalam penyelesaiannya digu- nakan persamaan prediktor dan persamaan korektor. Metode Adams-Bashforth- Moulton

  , metode Milne-Simpson dan metode Hamming merupakan metode banyak langkah.

  Delvitri Murni dkk.

  Dalam artikel ini akan dibicarakan penyelesaian persamaan diferensial linier ho- mogen orde tiga koefisien konstan menggunakan metode Adams-Bashforth-Moulton orde empat. Pada prinsipnya, metode Adams-Bashforth-Moulton orde empat mem- berikan solusi yang cukup akurat dalam menyelesaikan persamaan diferensial. Metode satu langkah yang digunakan untuk mencari solusi awal adalah metode Runge-Kutta orde empat, dimana metode Runge-Kutta merupakan alternatif dari metode deret Taylor yang tidak membutuhkan perhitungan turunan. Kelebihan dari metode Runge-Kutta ini memiliki ketelitian yang lebih tinggi dibandingkan dengan metode Euler, metode Heun dan metode deret Taylor

  2. Pembahasan Penurunan rumus metode Adams-Bashforth-Moulton orde empat diperoleh dari per- samaan diferensial sebagai berikut dy f ,

  (x, y(x)) = (2.1) dx dengan x r ≤ x ≤ x . _r+1 Persamaan 2.1) diintegralkan dari x r hingga x yaitu _{x r x r r+1}

  Z +1 Z +1 dy f (x, y(x))dx = dx _{x r x r} dx _{r ,}

  = y r+1 − y atau Z x r ₊₁ y r f ^{r+1 = y (x, y(x))dx, (2.2)} _{x r}

• Fungsi f (x, y(x)) dapat dinyatakan sebagai fungsi polinomial p(x), sehingga per- samaan (2.2) menjadi _x

  Z r +1 _r+1 + y = y r p (x)dx. (2.3) _{x r}

  2.1. Metode Adams-Bashforth Metode Adams-Bashforth diperoleh dengan menggunakan interpolasi beda mundur Newton berderajat tiga yang menginterpolasi f (x, y(x)) pada titik x r , x r , x r , x r _{−1 −2 −3} , maka hampiran fungsi p(x) dapat dinyatakan sebagai berikut: u (u + 1) u (u + 1)(u + 2) _{2 3} p r r f r f _{3 (x) = f + u ▽ f ▽ ▽ (2.4)} ^{r ,}

  2! 3! dengan x r

  − x u = (2.5) h atau x r

  = x + hu. (2.6)

• u
2<
• u
3<
• u
2<
• 1
• 1
• 1

  8 (f ^r − 3f ^r ₋₁ + 3f ^r ₋₂ − f ^r ₋₃ )]

  12 f r ₋₁

  10

  12 f r −

  2 f r ₋₁

  1

  2 f r −

  1

  = h[f ^r +

  3

  8 f ^r −

  12 (f ^r − 2f ^r ₋₁ + f ^r ₋₂ ) +

  5

  2 (f ^r − f ^r ₋₁ ) +

  1

  = h[f ^r +

  8 ∇ ³ f ^r ]

  3

  12 ∇ ² f ^r +

  5

  12 f r ₋₂

  9

  1

  8 f r ₋₃ ]

  24 f r ₋₃ ]

  9

  24 f r ₋₂ −

  24 f r ₋₁

  59

  24 f r −

  55

  = h[

  3

  8 f ^r ₋₁ +

  24 f r ₋₂ −

  24 f r ₋₁

  59

  24 f r −

  55

  8 f ^r ₋₃ ] = h[

  3

  8 f ^r ₋₂ −

  9

  2 ∇f ^r +

  Z ^{x r +1} _{x r} p ^{3 (x)dx = h[f r} +

  = h (55f ^r − 59f ^r ₋₁ + 37f ^r ₋₂ − 9f ^r ₋₃ ). (2.11)

  6

  1

  2 ∇f ^r + (

  1

  = h[f ^r +

  6 )∇ ³ f ^r ] | ¹

  6

  24

  4 )∇ ² f ^r + ( u ⁴

  2 ∇f ^r + ( u ³

  4 )∇ ² f ^r + (

  = h[f ^r u + u ²

  3! ∇ ³ f ^r )du

  ∇ ² f ^r + u (u + 1)(u + 2)

  (u + 1) 2!

  Z ¹ (f ^r + u∇f ^r + u

  Z ^{x r} _{+1 x r} p _{3 (x)hdu} = h

  = hdu, dan Z ^{x r} _{+1 x r} p _{3 (x)dx =}

  Jika x = x ^r dan x = x r+1 masing-masing disubstitusikan ke dalam persamaan (2.5), maka diperoleh 0 ≤ u ≤ 1. Jika persamaan (2.6) diturunkan terhadap variabel u, maka diperoleh dx

  Penerapan Metode Adams-Bashforth-Moulton

  6

  1

  Untuk k = 3, ∇ ³ f r = ∇ ² f r − ∇ ² f r ₋₁ = f r − 3f r ₋₁ + 3f r ₋₂ − f r ₋₃ . (2.10) Substitusikan persamaan (2.8), (2.9) dan (2.10) ke dalam persamaan (2.7), sehingga dapat dinyatakan

  1

  (2.8) Untuk k = 2, ∇ ² f r = ∇f r − ∇f r ₋₁ = f r − 2f r ₋₁ + f r ₋₂ . (2.9)

  Untuk k = 1, ∇f ^r = f ^r − f ^r ₋₁ .

  = ∇ ^{k −1} f r − ∇ ^{k −1} f r ₋₁ ; k = 1, 2, 3.

  Selanjutnya definisikan ∇ ^k f r

  8 ∇ ³ f ^r ]. (2.7)

  3

  12 ∇ ² f ^r +

  5

  2 ∇f ^r +

  = h[f ^r +

  24

  24 ∇ ³ f ^r ]

  9

  12 ∇ ² f ^r +

  5

  2 ∇f ^r +

  1

  = h[f ^r +

  6 )∇ ³ f ^r − 0]

  6

• 5
• 5
• 3
• 37
• 37

  Delvitri Murni dkk.

  Substitusikan persamaan (2.11) ke dalam persamaan (2.3), maka diperoleh rumus h y _{r+1 = y (55f − 59f + 37f − 9f ), (2.12)} ^{r r r r r} _{−1 −2 −3}

• 24 dan dikatakan metode Adams-Bashforth orde empat (persamaan prediktor).

  Metode Adams-Moulton 2.2.

  ¯ p Metode Adams-Moulton dinyatakan sebagai polinomial (x) pada persamaan (2.3) merupakan polinomial interpolasi beda mundur Newton berderajat tiga yang meng-

  , x r , x r , x r interpolasi f (x, y(x)) pada titik x r+1 , maka hampiran fungsi dapat _{−1 −2} dinyatakan sebagai berikut: u u

  (u + 1) (u + 1)(u + 2) _{2 3} ¯ ^{3 (x) = f r+1 + u ▽ f r+1 ▽ r+1 ▽ r+1 (2.13)} + p f f ,

• 2! 3! dengan x − x _r+1 u = (2.14) h atau x _r

  = x r+1 + hu. (2.15) Jika x = x dan x = x r+1 masing-masing disubstitusikan ke dalam persamaan (2.14), maka diperoleh −1 ≤ u ≤ 0. Jika persamaan (2.15) diturunkan terhadap variabel u, maka diperoleh dx

  = hdu, sehingga Z x r Z x r _{+1 +1} p p _{x r x r} ¯ ^{3 (x)dx = ¯ 3 (x)hdu}

  Z u u (u + 1) (u + 1)(u + 2) _{2 3}

  = h (f r+1 + u∇f ∇ + r+1 r+1 ∇ r+1 )du _{−1 2 3} 2! 3! _{2 4 3 2} u u u u u u _{2 3 r+1 r+1 r+1 r+1} + + + = h[f + u ∇f + ( )∇ f + ( )∇ f ] | ₋₁

• f f

  2

  6

  4

  24

  6

  6

  1

  1

  1 ₂

  1

  1

  1 _{3 r+1 r+1 r+1 r+1} + = h[0 − (−f + ∇f + (− )∇ − )∇ + f + ( f )]

  2

  6

  4

  24

  6

  6

  12

  2 ₂

  1 ₃ = h(f r+1 − ∇f r+1 − ∇ f r+1 − ∇ f r+1 ). (2.16)

  24

  24

  24 Selanjutnya definisikan _{k k k −1 −1} ∇ f = ∇ f − ∇ f r ; k = 1, 2, 3. _{r+1 r+1 r .}

  Untuk k = 1, ∇f r+1 = f r+1 − f (2.17) ₂ f r r r .

  Untuk k = 2, ∇ r+1 = ∇f r+1 − ∇f = f r+1 − 2f + f (2.18) _{3 2 2 −1} f f f r r r r .

  Untuk k = 3, ∇ r+1 = ∇ r+1 − ∇ = f r+1 − 3f + 3f − f (2.19) _{−1 −2}

  Penerapan Metode Adams-Bashforth-Moulton

  Substitusikan persamaan (2.17), (2.18) dan (2.19) ke dalam persamaan (2.16), se- hingga dapat dinyatakan bahwa Z x r ₊₁

  12

  2 ₂

  1 ₃ p f f _{x r} ¯ ^{3 (x)dx = h[f r+1 − ∇f r+1 − ∇ r+1 − ∇ r+1 ]} _{x r}

  24

  24

  24 Z +1

  12 _{r r r}

  2 _x p ¯ ^{3 (x)dx = h[f r+1 − (f r+1 − f ) − (f r+1 − 2f + f )} _{−1 r}

  24

  24

  1 − (f − 3f r + 3f r − f r )] _{r+1 −1 −2}

  24

  9

  19

  5

  1 _{r+1 −1 −2} + = h[ + f f r − f r f r ]

  24

  24

  24

  24 h _{r r r} = (9f r+1 + 19f − 5f + f ). (2.20) _{−1 −2}

  24 Substitusikan persamaan (2.20) ke dalam persamaan (2.3), maka diperoleh rumus h

• y r+1 = y (9f r+1 + 19f − 5f + f ), (2.21) ^{r r r r} _{−1 −2}

  24 dan dikatakan metode Adams-Moulton orde empat (persamaan korektor).

  3. Kesimpulan Persamaan diferensial linier homogen orde tiga koefisien konstan dapat disele- saikan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat untuk menentukan nilai pen- dekatan y , y , dan nilai y , selanjutnya ditentukan nilai pendekatan y , y , · · · , y _{1 2 3 4 5 10} menggunakan metode Adams-Bashforth orde empat dan dikoreksi menggunakan metode Adams-Moulton orde empat, sehingga menghasilkan nilai pendekatan yang mendekati nilai sebenarnya.

  Daftar Pustaka [1] Finizio, Ladas dan Widiarti, S. 1998. Persamaan Diferensial Biasa dengan Pen- erapan Modern

  . Edisi ke-2. Erlangga, Jakarta. [2] Kartono. 1994. Penuntun Belajar Persamaan Diferensial. Andi Offset, Yo- gyakarta _th

  [3] Mathews, H.J. and Fink, D.K. 2004. Numerical Methods Using Matlab. 4 edi- tion. Prentice-Hall Inc, New Jersey [4] Munir, R. 2003. Metode Numerik. Edisi ke-5. Informatika. Bandung [5] Rao, S.G. 2006. Numerical Analysis. New Age Internasional. New Delhi [6] Ross, L.S. 1974. Differential Equations. John Wiley and Sons, New York