TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK- KURZWEIL SERENTAK DAN FUNGSI BERSIFAT LOCALLY SMALL RIEMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG EUCLID

  Vol. 6 No. 1 (Mei) 2013, Hal. 46-57 eta

  © eta2013

  β β p-ISSN: 2085-5893 e-ISSN: 2541-0458

  

TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK-

KURZWEIL SERENTAK DAN FUNGSI BERSIFAT LOCALLY SMALL

n

RIEMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG EUCLID KE RUANG

  

  

p

BARISAN , (1 p<

   ) 

  1 Aniswita

Abstract: In this paper we discuss Henstock Equi -integrable and

  

Uniformly Locally Small Riemann Sums (UESRS) properties for

n

  Henstock-Kurzweil integrable functions from the Euclidean spaces

  

  p into the Sequences space

   , (

1  p   )

Keywords : Henstock Equi -integrable, Uniformly Locally Small

   Riemann Sums (UESRS) and Henstock-Kurzweil integrable n functions from the Euclidean spaces into the

  

  p Sequences space 

  , ( 1  p   ) A.

   PENDAHULUAN

  Pada tahun 1960, Henstock dan Kurzweil secara terpisah mengitlakkan integral Riemann dengan mengubah konstanta  menjadi fungsi positif dan ternyata integral yang di susun ekuivalen. Oleh karena

   itu integral tersebut dikenal dengan integral Henstock-Kurzweil atau integral Riemann yang diperluas (Gordon, 1994).

  Integral ini mendapat perhatian yang sangat besar dari para peneliti, berbagai penelitian dilakukan untuk menggali sifat-sifat dan aplikasinya. Diantara sifat tersebut adalah sifat Locally Small Riemann Sums (LSRS) Pengertian LSRS untuk fungsi bernilai Real pada himpunan bilangan Real yang terintegral Henstock diberikan dan dibukukan oleh Lee (1989). Indrati (2002) mengitlakkanya untuk fungsi bernilai real pada ruang

1 STAIN Bukit Tinggi, Indonesia,

   Euclide berdimensi n, kemudian Suherman (2003) mengembangkannya untuk fungsi bernilai vektor pada ruang Euclide berdimensi n, sedangkan

  p

  untuk fungsi bernilai barisan ) dikembangkan oleh Aniswita  , (1  p<  (2006).

  Berdasarkan uraian diatas akan diselidiki teorema kekonvergenan fungsi terintegral Henstock serentak dengan fungsi yang bersifat Locally

  n p

Small Riemann Sums (LSRS) dari ruang Euclide  ,

   ke ruang barisan (1 ).  p< 

  Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan  . Untuk

  n

  bilangan asli n,  menyatakan himpunan semua pasangan atas n bilangan real, yaitu

     ...     ,...,  :   1  

  n  = . (n factor) = x x x x dan i n .

   1 n i  n

  Untuk titik x x dengan jari- jari   , persekitaran (neighborhood) titik r> 0, dinotasikan dengan B ( r x , ) dan didefinisikan

  n B ( r x , ) = . y : y   dan x  y  r

     p

  Untuk (1 ), = W  p<   merupakan koleksi semua barisan x x 

    k  p

  sehingga x atau ditulis,  

  k  k

  1  p

   

  p  = x  x  W , x   . (Kreyszig, E, 1978).

   

   k k 

   k

  1

   

  n p

  Perlu diperhatikan bahwa fungsi  merupakan barisan

  f : E    n

  fungsi f dengan f : E     , untuk setiap k

   

  (  k 1 , 2 , 3 ,...)

  k k p

  sehingga f  untuk setiap x E.

  f x = (x )       k n p

  E  

  Selanjutnya jika f , g fungsi dari ke  didefinisikan nilai fungsi k f dan f + g sebagai berikut

  (i) (k x ) = k x ), untuk setiap x E dan k suatu skalar.

  f ) ( f ( 

  (ii) ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ), untuk setiap x  E.

  Untuk setiap dan , untuk setiap k N didefinisikan

  

f    f g    g 

k k

  (i) , yaitu , untuk setiap

  f  g jika dan hanya jika f  g f x  g x k k k     k x E dan setiap k N.

    (ii) f < g jika dan hanya jika f  g , yaitu f x  g x , untuk setiap

  k k k     k x  E dan setiap k  N.

  (iii) , yaitu , untuk

  f  g jika dan hanya jika f  g f ( x )  g ( x ) k k k k setiap x  E dan setiap k  N.

  Berikut ini diberikan definisi kekonvergenan barisan fungsi.

  n p Diberikan fungsi f , f : E     untuk setiap n  N. n

  i) Barisan fungsi dikatakan konvergen ke fungsi

  f f pada E, ditulis   n

  dengan lim f = f atau lim f ( x ) = f ( x ), jika untuk setiap x  E

  n n n   n  

  barisan f (x ) konvergen ke f ( x ), yaitu untuk setiap bilangan > 0

     n

  dan x E terdapat bilangan asli m = m( , x ) sehingga jika n  m   berakibat f ( x )  f ( x )  .

  

  n p

  ii) Barisan fungsi f dikatakan konvergen seragam ke fungsi f pada E

    n

  jika untuk setiap bilangan  > 0 terdapat bilangan asli m = m(  ) sehingga jika n  berakibat m f ( x )  f ( x )  , untuk setiap x 

   E.

  

  n

p

  Selanjutnya karena sel E tertutup dan terbatas maka sel E merupakan himpunan kompak sehingga untuk setiap barisan fungsi yang konvergen pada sel E merupakan barisan fungsi yang konvergen seragam pada sel yang sama.

  Berikut diberikan definisi, sifat dasar dan sifat lanjut dari integral

  n p Henstock dari ruang Euclide  , (1  p<  ).

   ke ruang barisan

  n n

Definisi 1.1 Diberikan fungsi volume  pada  dan E   sel. Fungsi

n p

f E  dikatakan terintegral Henstock pada E, ditulis dengan

  :   

  p p f R E   jika terdapat a    a   dengan sifat untuk setiap

    * , , 

  k

bilangan   terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap

  D i partisi Perron  -fine  D , x  D , x : i 

  1 , 2 ,..., r pada E

        i   berlaku

  r D

    f ( x )  ( D )  a  f ( x i )  ( D )  a  

  i   p

  

  1

i

p

  . p

  Selanjutnya nilai a  a   yang dimaksud di atas disebut

    k

  nilai integral- Henstock fungsi

   f pada E di tulis dengan a  ( R *) f d .

  

   E n n

  

Definisi 1.2 Diberikan fungsi volume pada E sel, dan

  ,   n

fungsi untuk setiap k, (k=1,2, ...). Barisan fungsi {f }

f :    k k

dikatakan terintegral-  Henstock serentak (Henstock Equi  -integrable)

pada E dengan F k sebagai primitifnya jika untuk setiap bilangan  

terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap partisi Perron  -

  D fine pada E berlaku

   D , x

     

  D

  f x    D  F   E     k   k 

  ,untuk setiap k. n

  Teorema 1.3 (Kriteria Cauchy) Diberikan fungsi volume  pada

   dan

  n p

     

  E f R E ,  ,

bilangan  terdapat fungsi positif pada E sehingga untuk setiap

• sel. Fungsi jika dan hanya jika untuk setiap

   

   

  D D dua partisi D x dan D x pada E berlaku

   ,  ,

  1    1  2    2 

  D f x D D f x D

  ( )  ( )  ( )  ( )  

   

  1

  1

  2

    

  

2 

p . n

  Teorema 1.4 (Lemma Henstock) Diberikan fungsi volume  pada

  

  n p E  

    

• dan sel . Jika dengan f R E , , F sebagai primitifnya,

  yaitu untuk setiap bilangan  terdapat fungsi positif pada E

  

 

   

  D

sehingga untuk setiap partisi Perron  -fine  D , x pada E berlaku

      D f ( x )  ( D )  F ( E )   , maka untuk setiap jumlah bagian

     p

  D D dari berlaku f ( x )  ( D )  F ( E )  2  .

     

  1  1   p n

  Teorema 1.5 (Peluasan Harnack) Diberikan fungsi volume pada   , n n p

sel E   , dan fungsi f : E     . Himpunan X merupakan

  

himpunan tertutup di dalam E dan {E i } merupakan barisan himpunan

tertutup sederhana yang tidak saling tumpang-tindih dengan

 p p

  . Jika dan   , untuk E  E \ X f  R X ,  ,  f  R E , ,

    i i

     i

  

  1 

• setiap i dengan ( R ) f d    maka

    i

  1  E i p p

  

   

  f  R , ,

• E

   

   dan .

  ( R ) f d   ( R ) f  d   ( R ) f d  x

      i 

  1 E

  X E i n

  Akibat 1.6 (Sifat Cauchy) Diberikan fungsi volume  pada  , sel n

n p

  

E , dan fungsi  . Barisan {E i } merupakan barisan

    f : E   

  himpunan sederhana yang tidak saling tumpang-tindih dengan 

  

E  E , dengan E menyatakan himpunan titik-dalam (interior

i

   i

  

  1 p

• point) sel E.. Jika   , untuk setiap i dengan f  R E , ,

  i  

   p

maka   dan

f  R E , ,

• i 
• R f d

   

     ( )

   

1 E

  i p

  

  R f d   R f d  ( ) ( )

     i 

1 E E i B.

TEMUAN DAN PEMBAHASAN

  Pada bagian ini akan dibahas tentang beberapa teorema kekonvergenan

diantaranya yaitu kekonvergenan terintegral serentak dan teorema

kekonvergenan fungsi yang memiliki sifat Unifomly Locally Small Riemann Sums

(ULSRS). n n

  Definisi 2.1 Diberikan fungsi volume pada , sel , dan fungsi   E   n p

f : E     untuk setiap k, (k=1,2,…). Barisan fungsi f dikatakan

    k k

terintegral-  serentak (Henstock Equi  -integrable) pada sel E jika untuk

setiap bilangan terdapat fungsi positif pada E sehingga untuk setiap

    

  D partisi Perron pada E berlaku

   –fine  D , x

      D

• f x D  R f x d 

      

    k     k    

  E p , untuk setiap k. n n

  Definisi 2.2 Diberikan fungsi volume  pada , sel E   dan fungsi

  

  n p untuk setiap k, (k=1, 2, 3, ....). f : E     k

  

Barisan fungsi terukur bersifat LSRS seragam atau Unifomly Locally Small

f

    k n

  Riemann Sums (ULSRS) pada sel E   jika untuk setiap bilangan  

terdapat fungsi positif pada E sehingga untuk setiap dan untuk setiap

   y  E

  D partisi Perron -fine pada sel dan

    D , x C  B y ,  ( y ) y  C

        berlaku

  D f x    D  

      k

  

p

  , untuk setiap k.

  

Lemma 2.3 Jika Barisan fungsi terukur f bersifat LSRS seragam pada sel

  k n

dan h.d. pada sel E maka fungsi bersifat LSRS.

  E   f  f f k

  Bukti: Tanpa mengurangi arti dapat dianggap bahwa f  f pada sel E , karena k jika fungsi terintegral Henstock pada sel E dan = h.d. pada sel E maka f g f g terintegral Henstock, lebih lanjut merupakan fungsi bersifat LSRS pada sel E. g

  Jadi f f berarti untuk setiap bilangan  dan untuk setiap

   

  k

x  E terdapat bilangan positif dengan sifat untuk setiap k  berlaku

k k

  , x , x

  

  f x  f x  k     k p

  2    E .

  n Barisan fungsi terukur f bersifat LSRS seragam pada sel E  

    k terdapat fungsi positif pada E sehingga untuk setiap berlaku

   y  E D

   

  f x   D    k  

   p .

  

D

untuk setiap partisi Perron -fine pada sel 

    D , x C  B y , ( y )

       

dan untuk setiap k. Lebih lanjut untuk setiap partisi Perron -fine

y  C

  

  D pada sel E, cacah titik terkait adalah hingga. Dengan demikian

   D , x

      D

menurut lemma Henstock, untuk setiap partisi Perron -fine pada

    D , x

      sel  dan berlaku

  C  B y , ( y ) y  C  

  D f x  D 

       

   p

  D D D f x  D  f x  D  f x

        k     k      

  

  

p p

   3  .

  k  maks k x  D

  :

   x  , Dengan .

  

Teorema 2.4 Jika Barisan fungsi terukur adalah barisan fungsi terintegral

f

    k n

  

Henstock serentak pada sel dan h.d. pada sel E untuk

E   f  f k maka terintegral Henstock pada sel E dan k   f

• .

  lim R f d  

  R f d    k   k

      E E

  Bukti: Tanpa mengurangi arti dianggap f  f pada sel E. Berarti untuk setiap

k

bilangan  dan untuk setiap x  E terdapat bilangan positif dengan

  

  k x sifat untuk setiap k berlaku

   k

  x

  

  f x  f x  k     p

   E

    .

  Barisan fungsi terukur adalah barisan fungsi terintegral Henstock f

    k n

serentak pada sel E   sehingga terdapat fungsi positif  pada sel E

  D dengan sifat untuk setiap partisi Perron -fine pada E berlaku

    D , x

     

• 2
• ) ( ) (

•  
• ) ( ) (
• 

  Jadi   k f merupakan barisan Cauchy, akibatnya

  E .

   

         

      

  2 

  2

  k

  D

    

   

   

  

  D x f x f

p m n k

  D      

    k f konvergen, katakan ke a

  . Berarti terdapat bilangan positif k dengan sifat untuk setiap

   k k berlaku

   

     

   p E k

  R a d f

  Untuk setiap partisi Perron

  

      D x , 

  D pada E diambil

    D x k k maks K x

    : ,

  maka untuk setiap partisi Perron

  

      D x , 

  D pada E berlaku

    

  R d f D x f 



    p

E

m m

    D x k maks K x

     

  1

  ) ( ) (

  

   

    k

p

  E k k R d f D x f

    

  D , untuk setiap k Cacah titik terkait untuk setiap partisi Perron

   -fine

      D x

  , 

  D pada E adalah hingga maka dapat diambil

    : .

  ) ( ) (

    

  D D

    

  D x f D x f  

      p m k

  D    

  R d f D x f  

  Dengan demikian untuk N m k  ,

diperoleh

      p E k k

  

  R f d f R

    p E E m k

   

     

3 D

• .
• -fine
• -fine
D f ( x )  ( D )  a 

     p

  D D f ( x )  ( D )  f x  D

        k  

    p

  D f ( x )  ( D )  R f d  R f  a

    k   k   k 

 

E E

p p

• 

  3  .

  Dengan kata lain terbukti terintegral Henstock pada sel E dan f

• lim R f d   R f d  .

      k k

      E E

  

Teorema 2.5 Jika Barisan fungsi terukur bersifat LSRS seragam pada sel

f

    k n E   maka f terintegral Henstock serentak pada sel E.

    k

  Bukti: Diketahui Barisan fungsi terukur bersifat LSRS seragam pada sel , f E

  

  k

berarti untuk setiap bilangan  terdapat fungsi positif pada E dengan

   

• D

  sifat untuk setiap dan untuk setiap partisi Perron -fine  D x y  E  ,

     

  pada sel  dan berlaku C  B y , ( y ) y  C

    D f x D 

   

   * p

  , untuk setiap k. Barisan fungsi terukur f konvergen h.d. pada sel E sehingga menurut

  k      

    k

  

  

Teorema Egoroff terdapat himpunan terbuka O dengan  dengan sifat

  O  k

  2

  

konvergen seragam pada . Jadi terdapat bilangan positif

f E \ O K

    k dengan sifat untuk setiap berlaku k  K

  

  f x  f x  k     p

  7  D

    , untuk setiap . x  E \ O

• p

  

Untuk setiap k,   sehingga terdapat fungsi positif pada

f  R E , ,  k  k 

  1

  2 D D sel E dengan sifat untuk setiap dua partisi -fine , pada E berlaku

  

  k k k

     

    

    

     

    

    p k k

  

D x f D x f

  2 D

  1 D .

  2. Jika K k 

     

  7 ) ( ) (

    

     

     

    

    

    p k k

  

D x f D x f

  2 D

  1 D

  

      p K k

  D x f D x f  

    

    

  1 D

    

     

  7 ) ( ) (

  1 D

         

     

  7 ) ( ) (

     

    

    

     

    

    p k k

  D x f D x f

  2 k D

  1 k D .

  Diambil fungi positif  pada sel E dengan          

     

     

     

   

  

  O x setiap untuk O x d x x x O E x setiap untuk x x x x

  K K

  , , , ,..., , min \ , ,..., , min

  1 * 1 *

        

   .

  Maka untuk setiap dua partisi  -fine

  

1

D ,

  2 D pada E

  1. Jika K k  diperoleh

    ) ( ) (

•  
•  

1 D

  \

    

   

  7

    p K K

    

  p O E x K k

  D x f D x f  

    p O x k

  D x f 

  

    

    

  

   

     

    

    p O x

  K D x f 

  1 D

     

     

    

    

  D x f D x f  

    

    

     

    

    ) ( ) (

  2 D

  1 D

    

    

    

     

    

    p K k

  D x f D x f  

  2 D

  2 D

  ) ( ) ( 

1 D

2 D

•  

     

       

    p O E x

  K k D x f D x f

  \

   

    

    

  1

  1

     

  D D f x  D f x  D

         

  k   K    

     

  x  O x  O p p

•       

          

  7

  7

  7

  7

  7

  7

  7 .

  

Jadi terbukti jika barisan fungsi terukur bersifat LSRS seragam pada sel maka

f

    E

k

terintegral Henstock serentak pada sel E. f

    k Teorema 2.6 Jika Barisan fungsi terukur f bersifat LSRS seragam pada sel

    k n

dan h.d. pada sel E untuk maka fungsi

  E   f  f k   f k

• terintegral Henstock pada sel E dan .

  lim R f d   R f d 

    k   k

      E E

  Bukti:

Lemma 2.3 mengakibatkan fungsi bersifat LSRS pada sel E dan sesuai

f

dengan Teorema 2.5 diperoleh fungsi f terintegral Henstock pada sel E dan dengan menggunakan Teorema

  2.4 dan Teorema 2.5 diperoleh

• ..

  lim R f d   R f d 

    k   k

      E E C. SIMPULAN

  Berdasarkan pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa fungsi

  n p

  yang terintegral Henstock dari ruang Euclide  ke ruang barisan  , (1  p<  ).

  Permasalahan-permasalahan lain yang perlu dikembangkan antara lain kajian mengenai teorema kekonvergenan Globally Small Riemann

  n

  Sums fungsi yang terintegral Henstock dari ruang Euclide  ke ruang

  p Barisan ) serta aplikasinya pada disiplin ilmu lain.

   ,(1  p< 

DAFTAR PUSTAKA

  Gordon, R. A, 1994, The Integral of Lebesque, Denjoy, Perron and Henstock, American Mathematical Society, USA Indrati, Ch. R, 2002, Integral Henstock-Kurzweil di Dalam Ruang Euclide

  Berdimensi- n, Disertasi, Universitas Gadjah Mada, Indonesia Kreyszig, E, 1978, Introduction Functional Analysis with Application, John Wiley and Sons

  

Lee, P. Y, 1989, Lanzhou Lectures on Henstock Integration, Word Scientific,

Singapore.

Pfeffer, W. F, 1993, The Riemann Approach to Integration, Cambridge University

Press, New York, USA

Royden, H. L, 1989, Real Analysis, third edition, Macmillan Publishing Company,

New York, USA