Makalah: PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA, Mata Pelajaran: Matematika
1
PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA
MATA PELAJARAN: MATEMATIKA
Pemateri: Murdanu
BAGIAN A
1. Carilah dua bilangan yang hasilkali dan jumlahnya bernilai sama!
2. Carilah dua bilangan yang perbandingan dan selisihnya bernilai sama!
3. Diketahui: ab = 84, bc = 276, ac = 161. Berapakah a 2
b
2
c
2
2ab
2bc
2ac ?
4
4. Berapakah nilai x, untuk
x
5. Hitunglah: 5 x
5
1
5
5
x
3
x
16
2
2x
4x
5x
8
6
?
x
x 1
......
6. Rata-rata tiga buah bilangan adalah 45. Apabila ditambahkan sebuah bilangan, rataratanya menjadi 43. Bilangan berapakah yang ditambahkan?
2
PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA
MATA PELAJARAN: MATEMATIKA
Pemateri: Murdanu
BAGIAN B
Barisan aritmetika: a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b, a+5b, . . .,
2
3
4
Un
5
a
(n
1)b
( n 1)
U n ar
Barisan geometri: a, ar, ar , ar , ar , ar , . . .
Deret aritmetika: a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + (a+5b) + . . .
n 2a
Sn
2
3
4
5
Deret geometri: a + ar + ar + ar + ar + ar + . . .
Sn
S
a (1
1
1
(n
1) b
2
n
r )
; r
r
a ; r
r
1
1
Contoh:
Tuliskan deretnya untuk U n
kemudian hitunglah S 30
(12
.....
3n
4
Tuliskan deretnya untuk U n
kemudian hitunglah S 21
( 2)
1
3
n 1
,
2
3
n
,
.....
Tuliskan deretnya untuk U n
kemudian hitunglah S
,
.....
Tuliskan deretnya untuk U n
kemudian hitunglah S
n 1
.....
Tuliskan deretnya untuk U n
kemudian hitunglah S 8
2 ,
.....
Tuliskan deretnya untuk U n
kemudian hitunglah S12
,
4n )
2
3
4
( n 1)
,
.....
Persoalan-persoalan:
1.
Jumlah n suku pertama suatu deret dirumuskan: 2n + 4n. Jumlah suku ke-4, ke-5, ke-6,
dan ke-7 adalah ........................
PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA
MATA PELAJARAN: MATEMATIKA
Pemateri: Murdanu
2.
Suku ke-4 dan suku ke-8 suatu deret geometri adalah 54 dan 4374. Jumlah 5 suku
pertama deret tersebut adalah .................
3.
Hasilkali suku ke-2 dan suku ke-4 suatu barisan aritmetika yang semua sukunya
bilangan positif adalah 16. Jumlah 3 suku pertama barisan tersebut adalah 7. Bilangan
berapakah yang merupakan suku pertama barisan tersebut?
4.
adalah jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika. Carilah suku ke-5
deret tersebut !
5.
Pada suatu deret aritmetika, suku ke-7 dan suku ke-10 berturut-turut 25 dan 37.
Berapakah jumlah 10 suku pertama?
6.
Suku pertama dan suku-7 suatu deret geometri adalah 8 dan
pertama deret tersebut adalah ................
7.
Rasio suatu deret geometri adalah 3. Suku ke-7 adalah 2916. Suku ke-4 deret tersebut
adalah ........
Sn
n
2
3n
1
8
. Jumlah lima suku
3
PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA
MATA PELAJARAN: MATEMATIKA
Pemateri: Murdanu
4
8.
Bilangan-bilangan: x – 80, x – 32, x – 16, berturut-turut merupakan tiga suku pertama
suatu deret geometri takhingga. Jumlah semua suku deret tersebut adalah ........
9.
Sebuah kelereng jatuh ke lantai dari ketinggian 3 m. Kelereng memantul kembali dengan
ketinggian 54 dari ketinggian semula. Demikian seterusnya hingga kelereng berhenti.
Jarak lintasan kelereng tersebut seluruhnya adalah ...........
10. Jumlah semua suku suatu deret geometri adalah 332 . Suku pertama deret tersebut adalah
143
. Jumlah lima suku pertama deret tersebut adalah ...................
9
5
PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA
MATA PELAJARAN: MATEMATIKA
Pemateri: Murdanu
BAGIAN C
Notasi faktorial: n ! 1 2 3 4 ... (n 2) (n 1) n
Permutasi k objek dari suatu himpunan dengan n objek P n , k
(n
n!
; 0
k )!
k
n
Permutasi: memilih k objek dari n objek dengan memperhatikan urutan.
Permutasi 2 huruf dari huruf-huruf: A, B, dan C, yaitu: AB, BA, AC, CA, BC, CB
Permutasi 3 huruf dari huruf-huruf: A, B, C, dan D, yaitu: ABC, ABD, ACB,
ACD, ADB, ADC, BAC, BAD, ..............................................................................
Kombinasi k objek dari suatu himpunan dengan n objek C n , k
n!
; 0
k !.(n k ) !
k
n
Kombinasi: memilih k objek dari n objek dengan tanpa memperhatikan urutan
Kombinasi 2 huruf dari huruf-huruf: A, B, dan C, yaitu: AB, AC, BC
Permutasi 3 huruf dari huruf-huruf: A, B, C, dan D, yaitu: ABC, ABD, ACD,
.................................................................
Persoalan-persoalan:
1. Ada lima orang anak, yang duduk di 5 buah kursi. Ada berapa cara yang mungkin mereka
duduk berjajar?
2. Ada empat anak yang memakai topi. Ketika masuk kelas, ia harus melepaskan topinya dan
menaruhnya pada sebuah keranjang. Setelah pulang sekolah, mereka mengambil kembali
topi-topi tersebut, akan tetapi tak satupun yang mengambil topi mereka sendiri. Ada
berapa cara mereka hal ini dapat terjadi?
3. Ada berapa cara memilih dua kartu-angka berbeda sekaligus dari kumpulan kartu-angka
{1, 2, 3, 4, 5}?
PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA
MATA PELAJARAN: MATEMATIKA
Pemateri: Murdanu
6
4. Ada berapa cara memilih wakil dan ketua kelas dari 10 orang kandidatnya?.
5. Ada berapa cara bilangan 4 digit yang terdiri dari 1,2,3,4 tanpa ada angka yang diulang?
6. Jika masing-masing angka digunakan satu kali, berapa cara angka 2,4, dan 6 bisa diisika
pada titik-titik sedemikian hingga 0, … > 0, … …?
7. Pada suatu bilangan dengan tiga digit, digit ratusan lebih besar dari 5, digit puluhan lebih
besar 4 tetapi kurang dari 8, dan digit satuan adalah bilangan prima terkecil. Berapa
bilangan yang memenuhi sarat di atas?
8. Ada berapa bilangan genap positif terdiri dari 3 digit sedemikian hingga jumlah digit
ratusan dan puluhan sama dengan digit satuan?
7
PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA
MATA PELAJARAN: MATEMATIKA
Pemateri: Murdanu
BAGIAN D.
A
1.
AB
AC
BC
s
CD
AD
......
......
C
B
D
2.
A
OC = ……………….
ABC samasisi
OD = …………………..
E
F
O
C
D
B
3. Hitunglah luas daerah yang diberi arsiran !
A
O
C
B
8
PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA
MATA PELAJARAN: MATEMATIKA
Pemateri: Murdanu
4.
Carilah luas daerah-dalam segienam beraturan
yang diberi arsiran !
5.
6.
P
T titik tengah PR dan S titik tengah PQ pada
PM
1
6
PQ R sa m asisi
3
H itunglah luas daerah yang diarsir !
T
S
M
Q
R
PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA
MATA PELAJARAN: MATEMATIKA
Pemateri: Murdanu
7.
9
Pada gambar berikut, diketahui AC = p, merupakan suatu lintasan yang unik, dari titik
A menuju titik B yang melalui C C1 C2 C3 C4 C5 dan seterusnya. Hitunglah
panjang lintasan tersebut, seluruhnya!
PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA
MATA PELAJARAN: MATEMATIKA
Pemateri: Murdanu
BAGIAN A
1. Carilah dua bilangan yang hasilkali dan jumlahnya bernilai sama!
2. Carilah dua bilangan yang perbandingan dan selisihnya bernilai sama!
3. Diketahui: ab = 84, bc = 276, ac = 161. Berapakah a 2
b
2
c
2
2ab
2bc
2ac ?
4
4. Berapakah nilai x, untuk
x
5. Hitunglah: 5 x
5
1
5
5
x
3
x
16
2
2x
4x
5x
8
6
?
x
x 1
......
6. Rata-rata tiga buah bilangan adalah 45. Apabila ditambahkan sebuah bilangan, rataratanya menjadi 43. Bilangan berapakah yang ditambahkan?
2
PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA
MATA PELAJARAN: MATEMATIKA
Pemateri: Murdanu
BAGIAN B
Barisan aritmetika: a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b, a+5b, . . .,
2
3
4
Un
5
a
(n
1)b
( n 1)
U n ar
Barisan geometri: a, ar, ar , ar , ar , ar , . . .
Deret aritmetika: a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + (a+5b) + . . .
n 2a
Sn
2
3
4
5
Deret geometri: a + ar + ar + ar + ar + ar + . . .
Sn
S
a (1
1
1
(n
1) b
2
n
r )
; r
r
a ; r
r
1
1
Contoh:
Tuliskan deretnya untuk U n
kemudian hitunglah S 30
(12
.....
3n
4
Tuliskan deretnya untuk U n
kemudian hitunglah S 21
( 2)
1
3
n 1
,
2
3
n
,
.....
Tuliskan deretnya untuk U n
kemudian hitunglah S
,
.....
Tuliskan deretnya untuk U n
kemudian hitunglah S
n 1
.....
Tuliskan deretnya untuk U n
kemudian hitunglah S 8
2 ,
.....
Tuliskan deretnya untuk U n
kemudian hitunglah S12
,
4n )
2
3
4
( n 1)
,
.....
Persoalan-persoalan:
1.
Jumlah n suku pertama suatu deret dirumuskan: 2n + 4n. Jumlah suku ke-4, ke-5, ke-6,
dan ke-7 adalah ........................
PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA
MATA PELAJARAN: MATEMATIKA
Pemateri: Murdanu
2.
Suku ke-4 dan suku ke-8 suatu deret geometri adalah 54 dan 4374. Jumlah 5 suku
pertama deret tersebut adalah .................
3.
Hasilkali suku ke-2 dan suku ke-4 suatu barisan aritmetika yang semua sukunya
bilangan positif adalah 16. Jumlah 3 suku pertama barisan tersebut adalah 7. Bilangan
berapakah yang merupakan suku pertama barisan tersebut?
4.
adalah jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika. Carilah suku ke-5
deret tersebut !
5.
Pada suatu deret aritmetika, suku ke-7 dan suku ke-10 berturut-turut 25 dan 37.
Berapakah jumlah 10 suku pertama?
6.
Suku pertama dan suku-7 suatu deret geometri adalah 8 dan
pertama deret tersebut adalah ................
7.
Rasio suatu deret geometri adalah 3. Suku ke-7 adalah 2916. Suku ke-4 deret tersebut
adalah ........
Sn
n
2
3n
1
8
. Jumlah lima suku
3
PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA
MATA PELAJARAN: MATEMATIKA
Pemateri: Murdanu
4
8.
Bilangan-bilangan: x – 80, x – 32, x – 16, berturut-turut merupakan tiga suku pertama
suatu deret geometri takhingga. Jumlah semua suku deret tersebut adalah ........
9.
Sebuah kelereng jatuh ke lantai dari ketinggian 3 m. Kelereng memantul kembali dengan
ketinggian 54 dari ketinggian semula. Demikian seterusnya hingga kelereng berhenti.
Jarak lintasan kelereng tersebut seluruhnya adalah ...........
10. Jumlah semua suku suatu deret geometri adalah 332 . Suku pertama deret tersebut adalah
143
. Jumlah lima suku pertama deret tersebut adalah ...................
9
5
PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA
MATA PELAJARAN: MATEMATIKA
Pemateri: Murdanu
BAGIAN C
Notasi faktorial: n ! 1 2 3 4 ... (n 2) (n 1) n
Permutasi k objek dari suatu himpunan dengan n objek P n , k
(n
n!
; 0
k )!
k
n
Permutasi: memilih k objek dari n objek dengan memperhatikan urutan.
Permutasi 2 huruf dari huruf-huruf: A, B, dan C, yaitu: AB, BA, AC, CA, BC, CB
Permutasi 3 huruf dari huruf-huruf: A, B, C, dan D, yaitu: ABC, ABD, ACB,
ACD, ADB, ADC, BAC, BAD, ..............................................................................
Kombinasi k objek dari suatu himpunan dengan n objek C n , k
n!
; 0
k !.(n k ) !
k
n
Kombinasi: memilih k objek dari n objek dengan tanpa memperhatikan urutan
Kombinasi 2 huruf dari huruf-huruf: A, B, dan C, yaitu: AB, AC, BC
Permutasi 3 huruf dari huruf-huruf: A, B, C, dan D, yaitu: ABC, ABD, ACD,
.................................................................
Persoalan-persoalan:
1. Ada lima orang anak, yang duduk di 5 buah kursi. Ada berapa cara yang mungkin mereka
duduk berjajar?
2. Ada empat anak yang memakai topi. Ketika masuk kelas, ia harus melepaskan topinya dan
menaruhnya pada sebuah keranjang. Setelah pulang sekolah, mereka mengambil kembali
topi-topi tersebut, akan tetapi tak satupun yang mengambil topi mereka sendiri. Ada
berapa cara mereka hal ini dapat terjadi?
3. Ada berapa cara memilih dua kartu-angka berbeda sekaligus dari kumpulan kartu-angka
{1, 2, 3, 4, 5}?
PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA
MATA PELAJARAN: MATEMATIKA
Pemateri: Murdanu
6
4. Ada berapa cara memilih wakil dan ketua kelas dari 10 orang kandidatnya?.
5. Ada berapa cara bilangan 4 digit yang terdiri dari 1,2,3,4 tanpa ada angka yang diulang?
6. Jika masing-masing angka digunakan satu kali, berapa cara angka 2,4, dan 6 bisa diisika
pada titik-titik sedemikian hingga 0, … > 0, … …?
7. Pada suatu bilangan dengan tiga digit, digit ratusan lebih besar dari 5, digit puluhan lebih
besar 4 tetapi kurang dari 8, dan digit satuan adalah bilangan prima terkecil. Berapa
bilangan yang memenuhi sarat di atas?
8. Ada berapa bilangan genap positif terdiri dari 3 digit sedemikian hingga jumlah digit
ratusan dan puluhan sama dengan digit satuan?
7
PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA
MATA PELAJARAN: MATEMATIKA
Pemateri: Murdanu
BAGIAN D.
A
1.
AB
AC
BC
s
CD
AD
......
......
C
B
D
2.
A
OC = ……………….
ABC samasisi
OD = …………………..
E
F
O
C
D
B
3. Hitunglah luas daerah yang diberi arsiran !
A
O
C
B
8
PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA
MATA PELAJARAN: MATEMATIKA
Pemateri: Murdanu
4.
Carilah luas daerah-dalam segienam beraturan
yang diberi arsiran !
5.
6.
P
T titik tengah PR dan S titik tengah PQ pada
PM
1
6
PQ R sa m asisi
3
H itunglah luas daerah yang diarsir !
T
S
M
Q
R
PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA
MATA PELAJARAN: MATEMATIKA
Pemateri: Murdanu
7.
9
Pada gambar berikut, diketahui AC = p, merupakan suatu lintasan yang unik, dari titik
A menuju titik B yang melalui C C1 C2 C3 C4 C5 dan seterusnya. Hitunglah
panjang lintasan tersebut, seluruhnya!