Penutup himpunan bayangan sederhana pada pemetaan reguler kuat dalam aljabar maks-plus BAB I
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Aljabar merupakan salah satu cabang matematika yang berkembang luas dan
dapat digunakan sebagai alat pemecahan masalah pada kehidupan nyata. Saat ini
aljabar telah mengalami kemajuan yang sangat pesat dan menjadi bahan riset para
ilmuwan. Berbagai macam permasalahan riset dalam ruang lingkup yang berbeda,
antara lain persoalan penjadwalan, teori graf, dan teori automata dapat diekspresikan
sebagai suatu formula yang mudah dipahami dengan menggunakan teori-teori dalam
aljabar [8].
Aljabar maks-plus merupakan semiring idempoten dan banyak digunakan pada
pengembangan teori didalam berbagai bidang matematika. Menurut Butkovic dan
Cuningham-Green [6], aljabar maks-plus diperkenalkan oleh Klene pada tahun 1956
di dalam papernya saat membahas tentang teori automata dan jaringan syaraf tiruan.
Menurut Baccelli et al. [2], aljabar maks-plus telah digunakan secara luas untuk
memodelkan dan menganalisis permasalahan di bidang sistem produksi, komunikasi,
sistem antrian dengan kapasitas berhingga, dan lalu lintas.
Menurut Baccelli et al. [2], aljabar maks-plus didefinisikan sebagai himpunan
ℝ = ℝ ∪ { },
(⊗), dengan
dinotasikan ℝ
= −∞ yang dilengkapi dua operasi biner maksimum (⊕) dan plus
⊕
= maks ( , ) dan
⊗
=
+ . Aljabar maks-plus
= ( ℝ ; ⊕,⊗) dengan identitas operasi maks adalah
identitas operasi plus adalah
= −∞ dan
= 0. Struktur aljabar maks-plus adalah semiring.
Semiring adalah monoid abelian terhadap operasi ⊕ yang dilengkapi dengan operasi
⊗ assosiatif, distributif terhadap ⊕, mempunyai elemen identitas dinotasikan dengan
e dan ε adalah elemen penyerap yaitu ε ⊗
=
⊗ ε = ε.
Perkembangan yang lebih lanjut tentang aljabar maks-plus adalah pembahasan
mengenai sistem linear. Pada tahun 2000, Butkovic [3] mempublikasikan artikel yang
commit to user
1
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
membahas tentang matriks regular kuat dan himpunan bayangan sederhana pada
pemetaan linear dalam maks-plus Selanjutnya pada tahun 2003, Butkovic [5]
menunjukkan bahwa terdapat hubungan antara kombinatorik dan aljabar maks-plus.
Kemudian pada tahun 2010, Tam [15] mempublikasikan tesisnya yang memuat
sistem linear dalam aljabar maks-plus, matriks reguler kuat, dan himpunan bayangan.
Butkovic [3] dan Tam [15] menyebutkan bahwa pemetaan linear dalam aljabar maksplus memiliki kaitan dengan matriks reguler kuat dan himpunan bayangan. Dalam
skripsi ini dikaji ulang pemetaan linear, himpunan bayangan sederhana, dan matriks
reguler kuat.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah, dapat dirumuskan permasalahan
1.
bagaimana menentukan penutup himpunan bayangan sederhana, termasuk
kriteria untuk pemetaan regular kuat?
2.
bagaimana membuktikan penutup himpunan bayangan sederhana dari suatu
pemetaan linear reguler kuat (matriks) A merupakan bayangan dari iterasi ke-k
dari matriks A setelah matriks A dinormalkan?
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk
1.
menentukan penutup himpunan bayangan sederhana, termasuk kriteria untuk
pemetaan regular kuat,
2.
membuktikan penutup himpunan bayangan sederhana dari suatu pemetaan
linear reguler kuat (matriks) A merupakan bayangan dari iterasi ke-k dari
matriks A setelah matriks A dinormalkan.
1.4
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penulisan skripsi ini terdiri dari teoritis dan praktis. Adapun
manfaat teoritisnya adalah dapat memberikan sumbangan pemikiran dan memperkaya
khazanah keilmuan di bidang aljabar
maks-plus.
commit
to user Sedangkan, manfaat praktisnya
2
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
adalah dapat penjelasan yang lebih rinci dan mudah dipahami mengenai matriks
reguler kuat, himpunan bayangan sederhana dan penutup himpunan bayangan
sederhana.
commit to user
3
digilib.uns.ac.id
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Aljabar merupakan salah satu cabang matematika yang berkembang luas dan
dapat digunakan sebagai alat pemecahan masalah pada kehidupan nyata. Saat ini
aljabar telah mengalami kemajuan yang sangat pesat dan menjadi bahan riset para
ilmuwan. Berbagai macam permasalahan riset dalam ruang lingkup yang berbeda,
antara lain persoalan penjadwalan, teori graf, dan teori automata dapat diekspresikan
sebagai suatu formula yang mudah dipahami dengan menggunakan teori-teori dalam
aljabar [8].
Aljabar maks-plus merupakan semiring idempoten dan banyak digunakan pada
pengembangan teori didalam berbagai bidang matematika. Menurut Butkovic dan
Cuningham-Green [6], aljabar maks-plus diperkenalkan oleh Klene pada tahun 1956
di dalam papernya saat membahas tentang teori automata dan jaringan syaraf tiruan.
Menurut Baccelli et al. [2], aljabar maks-plus telah digunakan secara luas untuk
memodelkan dan menganalisis permasalahan di bidang sistem produksi, komunikasi,
sistem antrian dengan kapasitas berhingga, dan lalu lintas.
Menurut Baccelli et al. [2], aljabar maks-plus didefinisikan sebagai himpunan
ℝ = ℝ ∪ { },
(⊗), dengan
dinotasikan ℝ
= −∞ yang dilengkapi dua operasi biner maksimum (⊕) dan plus
⊕
= maks ( , ) dan
⊗
=
+ . Aljabar maks-plus
= ( ℝ ; ⊕,⊗) dengan identitas operasi maks adalah
identitas operasi plus adalah
= −∞ dan
= 0. Struktur aljabar maks-plus adalah semiring.
Semiring adalah monoid abelian terhadap operasi ⊕ yang dilengkapi dengan operasi
⊗ assosiatif, distributif terhadap ⊕, mempunyai elemen identitas dinotasikan dengan
e dan ε adalah elemen penyerap yaitu ε ⊗
=
⊗ ε = ε.
Perkembangan yang lebih lanjut tentang aljabar maks-plus adalah pembahasan
mengenai sistem linear. Pada tahun 2000, Butkovic [3] mempublikasikan artikel yang
commit to user
1
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
membahas tentang matriks regular kuat dan himpunan bayangan sederhana pada
pemetaan linear dalam maks-plus Selanjutnya pada tahun 2003, Butkovic [5]
menunjukkan bahwa terdapat hubungan antara kombinatorik dan aljabar maks-plus.
Kemudian pada tahun 2010, Tam [15] mempublikasikan tesisnya yang memuat
sistem linear dalam aljabar maks-plus, matriks reguler kuat, dan himpunan bayangan.
Butkovic [3] dan Tam [15] menyebutkan bahwa pemetaan linear dalam aljabar maksplus memiliki kaitan dengan matriks reguler kuat dan himpunan bayangan. Dalam
skripsi ini dikaji ulang pemetaan linear, himpunan bayangan sederhana, dan matriks
reguler kuat.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah, dapat dirumuskan permasalahan
1.
bagaimana menentukan penutup himpunan bayangan sederhana, termasuk
kriteria untuk pemetaan regular kuat?
2.
bagaimana membuktikan penutup himpunan bayangan sederhana dari suatu
pemetaan linear reguler kuat (matriks) A merupakan bayangan dari iterasi ke-k
dari matriks A setelah matriks A dinormalkan?
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk
1.
menentukan penutup himpunan bayangan sederhana, termasuk kriteria untuk
pemetaan regular kuat,
2.
membuktikan penutup himpunan bayangan sederhana dari suatu pemetaan
linear reguler kuat (matriks) A merupakan bayangan dari iterasi ke-k dari
matriks A setelah matriks A dinormalkan.
1.4
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penulisan skripsi ini terdiri dari teoritis dan praktis. Adapun
manfaat teoritisnya adalah dapat memberikan sumbangan pemikiran dan memperkaya
khazanah keilmuan di bidang aljabar
maks-plus.
commit
to user Sedangkan, manfaat praktisnya
2
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
adalah dapat penjelasan yang lebih rinci dan mudah dipahami mengenai matriks
reguler kuat, himpunan bayangan sederhana dan penutup himpunan bayangan
sederhana.
commit to user
3