KETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS PLUS

  KETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS PLUS

  oleh TRI ANGGORO PUTRO M0112100

  SKRIPSI

  ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA

  2017

  

PERNYATAAN

  Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi saya yang berjudul ”Ketercapai- an dari Ruang Eigen Matriks atas Aljabar Maks-Plus” belum pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan pada suatu perguruan tinggi, dan sepanjang pengetahuan saya juga belum pernah ditulis atau dipublikasikan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.

  Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.

  Surakarta, Juli 2017 Tri Anggoro Putro

  

ABSTRAK

  Tri Anggoro Putro, 2017. KETERCAPAIAN RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.

  Aljabar maks-plus merupakan suatu himpunan R = R∪{ε} yang dilengkapi dengan dua operasi yaitu ⊕ dan ⊗, dengan a ⊕ b = maks{a, b} dan a ⊗ b = a + b. Himpunan matriks berukuran m × n atas aljabar maks-plus dinotasikan seba- _m×n

  . Suatu matriks A dikatakan tak tereduksi jika graf precedence G(A) gai R terhubung kuat. Sebaliknya, jika graf precedence G(A) tidak terhubung kuat, _n×n maka matriks tersebut tereduksi. Matriks A = (a dikatakan ter- _{ij ) ∈ R} visualisasi jika a ij ≤ λ(A) untuk setiap i, j ∈ N dan a ij = λ(A) untuk seti- ap (i, j) ∈ E(A). Suatu matriks tervisualisasi kuat apabila a ij = λ(A) jika dan hanya jika (i, j) ∈ E(A). Pada penelitian ini, dibahas mengenai proyektor spektral, kelas-kelas siklis dan perilaku khusus dari matriks berpangkat, dan pe- nyelesaian ketercapaian. Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa suatu matriks Q dikatakan proyektor spektral dari A apabila memenuhi

  2 r

  A ⊗ Q = Q ⊗ A = Q = Q . Proyektor spektral Q = A akan periodik ketika

  2

  nilai r ≥ n . Jika matriks A adalah suatu matriks definit dan tak tereduksi maka _r semua baris (atau kolom) dari A yang termuat di kelas siklis yang sama adalah bernilai sama. Ruang eigen matriks A disebut tercapai apabila orbit O(A, x) memuat vektor eigen dari matriks A.

  Kata kunci : aljabar maks-plus, ruang eigen, proyeksi spektral, kelas siklis, ke-

  tercapaian

  

ABSTRACT

  Tri Anggoro Putro, 2017. REACHABILITY OF EIGENSPACES IN MAX- PLUS ALGEBRA. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.

  Max-plus algebra is a set R = R ∪ {ε} equipped with two operations ⊕ and ⊗, where a⊕b = max{a, b} and a⊗b = a+b. The set of matrices m×n in max-plus _m×n

  . Matrix A is called irreducible if precedence graph algebra is denoted by R G(A) is strongly connected, if precedence graph G(A) is not strongly connected, _n×n then the matrix is called reducible. Matrix A = (a ij is called visualized

  ) ∈ R if a ij ≤ λ(A) for all i, j ∈ N and a ij = λ(A) for all (i, j) ∈ E(A). A visualized matrix is called strictly visualized if a = λ(A) if and only if (i, j) ∈ E(A). In _ij this research, is discussed about spectral projector, cyclic classes and ultimate behavior of matrix powers, and solving reachability. Based on the result and discussion can be concluded that matrix Q is called spectral projector on A such _r

  2

  that A ⊗ Q = Q ⊗ A = Q = Q . Spectral projector Q = A will be periodic when

  2 ^r

  r ≥ n . If matrix A is definite and irreducible then all rows (or colomns) of A with indices in the same cyclic class are equal. Eigenspaces of matrix A is called reachable if orbit O(A, x) contains eigenvector of matrix A.

  Keywords : max-plus algebra, eigenspaces, spectral projector, cyclic classes,

  reachability

  

MOTO

”Keistimewaan dalam kehidupan adalah menjadi dirimu sendiri.”

(Joseph Campbell)

  

”Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan.”

(QS. Al-Insyirah : 6)

  

PERSEMBAHAN

  Karya ini kupersembahkan untuk ibu, bapak, dan kakak - kakak saya.

KATA PENGANTAR

  Bismillahirrahmanirrahim, Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah me- limpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penu- lisan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu dihaturkan kepada Nabi Muhammad SAW. Penulis menyadari bahwa terwujudnya skripsi ini berkat bantuan dan bim- bingan dari berbagai pihak. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada

  1. Drs. Siswanto, M.Si. dan Supriyadi Wibowo, M.Si. sebagai Pembimbing I dan II yang telah memberikan bimbingan materi serta penulisan dalam skripsi, saran, dan motivasi, dan

  2. semua pihak yang telah memberikan bantuan, masukan, dan dukungan ke- pada penulis.

  Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.

  Surakarta, Juli 2017 Penulis

DAFTAR ISI

  HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i HALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii PERNYATAAN TIDAK PLAGIASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

  ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

  MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii DAFTAR ISI

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x DAFTAR GAMBAR

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii

  I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 II LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 2.2 Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 2.2.1 Aljabar Konvensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 2.2.2 Aljabar Maks Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  6 2.2.3 Matriks dalam Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . . . .

  8

  2.2.4 Graf dalam Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . . . . .

  9 2.2.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen . . . . . . . . . . . . . . . .

  10 2.2.6 Visualisasi Sifat-Sifat Spektral oleh Matriks Scalling . . . .

  11 2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  12 III METODE PENELITIAN

  14 IV PEMBAHASAN 15 4.1 Proyektor Spektral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  15 4.2 Kelas-Kelas Siklis dan Perilaku Khusus dari Matriks Berpangkat .

  19 4.3 Penyelesaian Ketercapaian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  24 V PENUTUP 32 5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  32 5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  32 DAFTAR PUSTAKA

  33 DAFTAR GAMBAR 4.1 Digraf kritis pada contoh 4.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  27 4.2 Digraf tak kritis pada contoh 4.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . .

  27 4.3 Kelas siklis pada contoh 4.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  31

DAFTAR NOTASI

  R : himpunan bilangan real

  R : R ∪ {ε} ⊕ : operasi maksimum pada aljabar maks plus ⊗ : operasi jumlah pada aljabar maks plus ε

  : elemen identitas untuk ⊕ dengan ε = −∞ e : elemen identitas untuk ⊗ dengan e = 0 R ^m×n : himpunan matriks berukuran m × n dengan elemen R E _{n : matriks identitas berukuran n × n dalam aljabar maks plus} A ^T

  : transpose dari matriks A A ^{⊗ k}

  : A

  ⊗ A ⊗ . . . ⊗ A (A sebanyak k) G(A) : graf berarah dari matriks A I (G) : himpunan yang beranggotakan titik-titik (nodes) pada graf berarah G(A) E

  (G) : himpunan yang beranggotakan arcs pada graf berarah G(A) π

  : lintasan ( path) pada graf berarah G(A) ω (π) : bobot dari lintasan π ω

  (σ, A) : bobot lintasan σ pada G(A) µ

  (σ, A) : rata-rata cycle σ pada G(A) λ (A) : nilai eigen terbesar dari matriks A N _{c (A) : node eigen atau node kritis di A} C

  (A) : cycle kritis di A E c (A) : himpunan semua arc dari semua cycle kritis di A

  V (A) : ruang eigen dari matriks A

  σ (A) : cyclicity matriks A

  σ (G(A)) : cyclicity graf berarah G(A)

  A _{ii : submatriks dari matriks A pada diagonal ke-i} a

  (r) _ij

  : elemen dari matriks A ^r a ^r _ij : pangkat ke-r dari a ij

  ε ^n×

  1

  : matriks berukuran n × 1 dengan elemennya bernilai ε Q (A) : proyektor spektral dari matriks A Q _{i (A) : proyektor spektral elementer ke-i dari matriks A} A ^∗

  : matriks Kleene Star T (A) : transien dari A ^k [i] : kelas siklis yang memuat node i O

  (A, x) : orbit dari matriks A dengan vektor awal x Attr (A, p) : ruang p-attraction dari matriks A