PENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-n MENGGUNAKAN TEOREMA TONELLI

  

PENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-n

MENGGUNAKAN TEOREMA TONELLI

SKRIPSI

  Diajukan untuk Memenuhi Sebagian Syarat Mencapai Gelar Sarjana S-1

  Oleh :

  

NURWIYATI

  0901060149

  

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO

2013

  

PERSEMBAHAN

Mengucap puji syukur padaMu ya Alloh atas semua berkah dan

rahmat yang telah Engkau berikan. Dengan tulus skripsi ini ku

persembahkan untuk:

 Bapak dan Mama yang selalu memberi dukungan kepadaku.

  Terima kasih banyak atas do’a yang senantiasa mengalir untukku. Buat Mama, semoga sakit yang sudah sekian lama diderita bisa cepat sembuh dan bisa sehat kembali.

MOTTO

  

Sesungguhnya sesudah kesulitan akan datang kemudahan, maka

apabila kamu telah selesai (dari suatu urusan), kerjakanlah

dengan sungguh - sungguh (urusan) yang lain. ( Q. S. Al insyirah : 6-7).

  

Barang siapa yang menempuh jalan di dunia ini untuk mencari

ilmu di dalamnya, maka Allah akan memudahkan baginya jalan

menuju surga ( H. R Muslim). My Quality Must Be Better Than My Performance

  

ABSTRAK

  Penelitian ini bertujuan untuk menentukan penyelesaian integral dimensi-n menggunakan Teorema Tonelli. Metode penelitian yang digunakan dalam penyusunan skripsi ini adalah studi literatur dengan langkah - langkah sebagai berikut: 1) Menyelidiki apakah permasalahan integral dimensi-n dapat diselesaikan secara langsung dengan urutan pengintegralan yang diberikan. 2) Menyelidiki keterintegralan dari fungsi pada permasalahan integral dimensi-n yang diberikan. 3) Menyelidiki keterukuran fungsi pada permasalahan integral dimensi-n. Jika fungsi terukur dan non-negatif, Teorema Fubini sulit diterapkan pada permasalahan ini, maka dalam hal ini diterapkan Teorema Tonelli. Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan dapat disimpulkan sebagai berikut: jika terdapat fungsi f A  B  R merupakan fungsi yang terukur dan non-

  : _n f x , y dxdy

  negatif pada interval A  B  R dan   , maka

    _{A B}  

dx f x , y dy  dy f x , y dx . Tetapi jika f x , y dxdy   dapat diartikan

             _{A B B A A B}

  

  integral dari nilai absolut fungsi tidak terbatas, maka dapat disimpulkan nilai

  

f x , y dxdy tidak terdefinisi dan dx f x , y dy  dy f x , y dx , sehingga

      _{A A B B A}     

  B Teorema Tonelli tidak berlaku pada permasalahan ini.

  Kata Kunci : Integral Dimensi-n, Teorema Tonelli

  Alhamdulillah segala puji bagi Alloh SWT, Tuhan semesta alam yang Maha Pengasih dan Penyayang, yang senantiasa memberi kemudahan kepada hambaNya untuk berusaha. Hanya dengan keridhoan, kekuatan dan keberkahanNyalah peneliti dapat menyusun dan menyelesaikan skripsi yang berjudul

  “Penyelesaian Integral Dimensi-n Menggunakan Teorema Tonelli”.

  Shalawat dan salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Besar Muhammad SAW beserta keluarga dan sahabatnya.

  Peneliti berusaha semaksimal mungkin dalam penyelesaian skripsi ini dengan memaparkan dan menyajikan hasil penelitian yang terbaik. Tetapi sebagai manusia biasa yang tidak luput dari kesalahan, peneliti menyadari sepenuhnya bahwa masih banyak banyak kekurangan dalam sistematika penulisan, tata bahasa, maupun teknik dan kelengkapan penyajian.

  Pada kesempatan ini peneliti menyampaikan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu menyelesaikan penelitian ini. Ucapan terimakasih peneliti ucapkan kepada:

  1. Dr. H. Syamsuhadi Irsyad, S.H., M.H., Rektor Universitas Muhammadiyah Purwokerto.

  2. Drs. Ahmad, M.Pd, Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Purwokerto.

  3. Erni Widiyastuti, S.Si., M.Si, Kaprodi Pendidikan Matematika dan Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, petunjuk serta arahan dalam penyusunan skripsi ini.

  4. Eka Setyaningsih, S.Si., M.Si, Pembimbing I yang telah memberikan motivasi dan meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan, petunjuk serta arahan dalam penyusunan skripsi ini.

  5. Semua pihak yang tidak mungkin peneliti sebutkan satu persatu yang secara langsung maupun tidak langsung, telah memberikan bantuan dan semangat dalam penyusunan skripsi ini.

Teriring do’a dan harapan semoga amal dan kebaikan yang telah diberikan senantiasa mendapat balasan yang berlipat ganda dari Alloh SWT. Peneliti

  berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat untuk kemajuan semua.

  Purwokerto, 16 Agustus 2013 Peneliti

  

DAFTAR ISI

  HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN ........................................................................ ii HALAMAN PENGESAHAN ......................................................................... iii SURAT PERNYATAAN ................................................................................ iv PERSEMBAHAN ........................................................................................... v MOTTO .......................................................................................................... vi ABSTRAK ...................................................................................................... vii KATA PENGANTAR .................................................................................... viii DAFTAR ISI ................................................................................................... ix DAFTAR LAMBANG ................................................................................... xiv DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xvii

  BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah ...................................................................... 1 B. Rumusan Masalah ............................................................................... 3 C. Tujuan .................................................................................................. 3 D. Manfaat Penelitian ............................................................................... 4 BAB II KAJIAN TEORI A. Sistem Bilangan Real .......................................................................... 5 B. Himpunan ............................................................................................ 8

  1. Himpunan Terbatas ...................................................................... 8

  2. Himpunan Bilangan Real ............................................................. 11

  3. Himpunan Terbuka dan Tertutup ................................................. 12

  C. Fungsi .................................................................................................. 14

  1. Fungsi Komposisi ......................................................................... 15

  2. Fungsi Aljabar .............................................................................. 16

  3. Fungsi Transenden ....................................................................... 16

  4. Fungsi Terbatas ............................................................................ 18

  D. Limit .................................................................................................... 19

  1. Limit Fungsi di R .......................................................................... 19 ₂

  2. Limit Fungsi di ....................................................................... 22

  R _n

  3. Limit Fungsi di R ....................................................................... 22

  E. Kekontinuan ........................................................................................ 23

  1. Kekontinuan di R .......................................................................... 23 ₂

  2. Kekontinuan di R ....................................................................... 24 _n

  3. Kekontinuan di R ....................................................................... 24

  F. Turunan

  1. Turunan di R ................................................................................. 25

  a. Aturan Pencarian Turunan .................................................... 27

  b. Turunan Fungsi Trigonometri ............................................... 28

  c. Turunan Fungsi Invers .......................................................... 28

  d. Turunan Fungsi Komposisi ................................................... 29

  BAB III METODOLOGI PENELITIAN......................................................... 61 BAB IV PEMBAHASAN ............................................................................... 66 A. Integral Dimensi-n ............................................................................... 66 B. Sifat

  b. Integral lipat dua atas daerah bukan persegi panjang ............ 46

  3. Himpunan Terukur ....................................................................... 58 J. Fungsi Terukur .................................................................................... 58 K. Teorema Tonelli .................................................................................. 60

  2. Ukuran Dalam .............................................................................. 57

  1. Ukuran Luar ................................................................................. 57

  I. Himpunan Terukur .............................................................................. 57

  H. Integral Kurzweil-Henstock ................................................................ 52

  d. Integral lipat dua dalam koordinat kutub .............................. 49

  c. Perhitungan integral lipat dua atas daerah persegi panjang .. 47

  a. Integral lipat dua atas persegi panjang .................................. 43

  e. Turunan Fungsi Logaritma .................................................... 29

  2. Integral Tentu ............................................................................... 41

  1. Integral Tak Tentu ........................................................................ 36

  G. Integral ................................................................................................ 35

  .............................................................................. 30

  R

  2. Turunan di ⁿ

  g. Turunan Tingkat Tinggi ........................................................ 30

  f. Turunan Fungsi Eksponensial ............................................... 29

• – Sifat Integral Dimensi-n .......................................................... 68

  C. Teorema Tonelli .................................................................................. 73

  D. Penyelesaian Integral Dimensi-n Menggunakan Teorema Tonelli ..... 74

  BAB V KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan .......................................................................................... 90 B. Saran .................................................................................................... 90 DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 91

   Untuk setiap 

  Elemen/anggota Bukan anggota

  

   Himpunan bagian sejati

   Himpunan bagian

  R Sistem bilangan real _n R Ruang dimensi-n R  Himpunan semua bilangan real kecuali 0

    x Harga mutlak x x y

   x lebih besar dari y x  y x lebih kecil dari y x y x lebih besar atau sama dengan y

  

  x lebih kecil atau sama dengan y x  y x  y

  Jika x maka y

  x  y x jika dan hanya jika y

  Bukti selesai █

   Tidak sama dengan Sup A Batas atas terkecil himpunan A Inf A Batas bawah terbesar himpunan A

  

  Gabungan

   Irisan

   Himpunan kosong

  D Daerah asal fungsi f _f R Daerah hasil fungsi f _f g f  Komposisi fungsi f dilanjutkan fungsi g

  Daerah asal komposisi fungsi 

  D _{g  f} g f g f

  R Daerah hasil komposisi fungsi  _{g  f 1}  f   x Invers fungsi f x

    lim f x Limit dari fungsi f x dengan x mendekati c

      _{x c} 

  Limit kanan fungsi f x di titik c

  lim f   x   _{ x c} 

  Limit kiri fungsi f x di titik c

  lim f   x   _{_ x c}  _' f x Turunan pertama dari fungsi f x

     

  J Volume atau ukuran (measure) interval J  A  B P

  Panjang maksimum selang bagian pada partisi P ^* Ukuran luar himpunan E

    

  E E

   Ukuran dalam himpunan E

    *

   E Ukuran himpunan E

    f : A  B Fungsi atau pemetaan dengan domain A dan range B

     ^b _a dx x f Integral dari fungsi

    , y x f yang diintegralkan pertama

  ,..., , _{2 1} pada interval _n

    _n x x x f

  Integral fungsi

   

    _{n n J} ... dx dx dx x x x f ,..., , _{2 1 2 1} ...

  pada interval B kemudian dilanjutkan pada interval A

    _{A B} , dy y x f dx Integral dari fungsi

    x f pada

    

  , y x f pada interval B A

  , dxdy y x f Integral dari fungsi  

     B ^A

    x f pada interval J

     _J dx x f Integral dari fungsi

    , b a

  

R J



  

DAFTAR GAMBAR

  GAMBAR Halaman

  II.1 Anggota Himpunan A ............................................................................... 10

  II.2 Diagram Panah Fungsi y  f x ............................................................. 15

   

  II.3 Diagram Panah Fungsi g  f .................................................................. 16

  II.4 Himpunan S .............................................................................................. 24

  II.5 Fungsi f ..................................................................................................... 31

  II.6 Jumlah Riemann ....................................................................................... 42

  II.7 Daerah R  x , y : a  x  b , c  y  d ................................................. 43

     

  II.8 Permukaan z  f x , y ............................................................................. 44

   

  II.9 Kurva S Tertutup ...................................................................................... 46

  II.10 Kurva S dikelilingi Persegi Panjang R ................................................... 46

  II.11 Kurva S: z  f x , y ............................................................................... 46

   

  II.12 Kurva Sederhana-y ................................................................................. 47

  II.13 Kurva Sederhana-x ................................................................................. 47

  II.14 Kurva S Sebagai Persegi Panjang .......................................................... 48

  II.15 Kurva S Bukan Sederhana x atau Sederhana y ...................................... 48

  II.16 Gabungan Dua Himpunan Sederhana-y S dan S ............................... 49 _{1 2} II.17 Persegi Panjang Kutub ........................................................................... 50

  z f x , y F r ,

  II.18        .............................................................................. 50

  II.19 Partisi R dalam Persegi Panjang Kutub .................................................. 51

  IV.1 Irisan Oleh Bidang y = konstan ............................................................... 72

  IV.2 Irisan Oleh Bidang x = konstan ............................................................... 73

  IV.3 Irisan Oleh Bidang y = konstan ............................................................... 74 _{2 2}

   x  y

  IV.4 Fungsi ................................................................................... 80

  z  e