PEMBUKTIAN TEOREMA HUKUM LEMAH BILANGAN BESAR DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI KARAKTERISTIK

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 71 – 75

  ISSN : 2303–2910 Jurusan Matematika FMIPA UNAND c

PEMBUKTIAN TEOREMA HUKUM LEMAH

BILANGAN BESAR DENGAN MENGGUNAKAN

FUNGSI KARAKTERISTIK

  

SUCI SARI WAHYUNI, DODI DEVIANTO, HAZMIRA YOZZA

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

sucisariwahyuni 25@yahoo.com, ddevianto@yahoo.com, hyozza@gmail.com

Abstract. Let X n be a sequence of random variables which have limited mean and

n variance and also S n = Σ X i , then the weak law of large number stated that i =1

  S E − [S ] n n

  → 0 in probability, other variation of the weak law of large is; if X n is a n

sequence of random variables that distributed randomly and identically with mean µ in

  S n

limited variance, then → µ in probability. Some papers proved the weak law by using

n

analysis properties of random variable S n . In this paper the law is is proved by using

characteristic function.

  

Kata Kunci : The weak law of large number, convergent in probability, characteristic

function

1. Pendahuluan

  Hukum Bilangan Besar (The Law of Large Number ) adalah salah satu teorema penting pada kajian teori peluang. Bernoulli adalah orang pertama yang menje- laskan hukum bilangan besar. Sementara Poisson juga mengkaji hukum bilangan besar dan menamakannya dengan La loi des Grand Nomber (The law of Large Number ). Selain Bernoulli dan Poisson, matematikawan lainnya yang juga mengem- bangkan The Law of Large Number adalah Chebysev, Markov, Borel, Cantelli dan Kolmogorov. Mereka menghasilkan apa yang kita kenal dengan The Weak Law of Large Number dan The Strong Low of Large Number.

  Hukum Bilangan Besar menggambarkan stabilitas dari peubah-peubah acak dalam jumlah besar. Dalam Hukum Bilangan Besar dinyatakan bahwa jika diberi- kan suatu sampel acak dari suatu sebaran dengan mean dan variannya terbatas, maka rata-rata sampel akan mendekati rata-rata populasi. Hukum Bilangan Besar

  n

  menjelaskan tentang perilaku jumlah parsial S n = Σ X i dari barisan peubah-

  i =1 i

  peubah acak {X }, i = 1, 2, · · · , n. Pada dasarnya, perbedaan antara Hukum Lemah Bilangan Besar dan Hukum Kuat Bilangan Besar tergantung kepada kekonvergenan

  − − S E [S ] S E [S ] n n n n

  . Jika konvergen in probability yaitu

  n n

  S n n ] − E[S lim P

  (| | > ε) = 0

  n→∞

  n

  S − E [S ] n n

  maka hukum ini disebut sebagai Hukum Lemah Bilangan Besar dan jika

  72 Suci Sari Wahyuni dkk.

  konvergen almost surely yaitu S

  n n ]

  − E[S lim (| |) = 0

  n→∞

  n maka hukum ini disebut sebagai Hukum Kuat Bilangan Besar. Variasi lain dari Hukum Lemah Bilangan Besar adalah jika X n adalah barisan peubah acak yang terdistribusi secara bebas dan identik dengan mean µ pada var-

  S n

  ian yang terbatas, maka → µ in probability. Hukum ini telah dibuktikan dalam

  n

  beberapa referensi dengan cara menganalisis perilaku peubah acak S n dan hubun- gannya dengan µ. Selain dengan cara tersebut akan diterapkan pola pembuktiannya dengan menggunakan fungsi karakteristik. Fungsi karakteristik adalah salah satu jenis trasformasi yang sering digunakan pada teori peluang dan statistik. Fungsi karakteristik dari suatu peubah acak X, dinotasikan dengan ϕ

  X (t), didefinisikan

  sebagai

  itX

  ϕ

  

X (t) = E[e ]

itX

  di mana e = cos(tX) + i sin(tX), − ∞ < t < ∞ dan i unit imajiner.Terlihat bahwa fungsi karakteristik identik dengan fungsi pembangkit momen M

  X (t) = tX

  E [e ] dengan menambahkan i pada bagian eksponennya.

  Kajian tentang Hukum Lemah Bilangan Besar serta variasinya sangat menarik untuk dikaji karena keterpakaiannya yang sangat luas dalam membantu pembuktian teorema tertentu, pendugaan parameter populasi serta aplikasinya dalam bidang matematika terapan. Dalam tulisan ini akan dikaji tentang pembuktian Teorema Hukum Lemah Bilangan Besar dan pembuktiannya dengan menggunakan Fungsi Karakteristik.

  2. Pembuktian Teorema Hukum Lemah Bilangan Besar Dengan Menggunakan Fungsi Karakteristik Berikut ini akan dibahas Teorema Hukum Lemah Bilangan Besar kemudian akan dibuktikan dengan menggunakan Fungsi Karakteristik, dimana Definisi Fungsi

  Karakteristik sebagai berikut : Definisi 2.1. [3] Misalkan X adalah suatu peubah acak dengan fungsi kepekatan peluang f (x) dan fungsi sebaran kumulatif F (x). Fungsi karakteristik ϕ

  X (t) dari

  peubah acak X didefinisikan sebagai Z Z

  itX itx itx

  ϕ = E[e ] = e dF (x) = e f (x)dx,

  X (t) itx

  di mana t = cos tx + i sin tx.

  ∈ R ,i = p(−1) dan e Definisi 2.2. [1] Suatu barisan peubah acak X dikatakan konvergen in probability

  n

  ke peubah acak X, jika untuk setiap ε > 0 dan n → ∞ berlaku S n n ]

  − E[S lim P (| | > ε) = 0

  n→∞

  n . Pembuktian Teorema Hukum Lemah Bilangan Besar

  73 Teorema 2.3. n

  [2] Misalkan {X } adalah barisan peubah acak yang terdistribusi secara bebas dan identik dengan mean µ dan varian yang terbatas, maka S

  n → µ in probability.

  n Bukti. Misalkan fungsi karakteristik dari peubah acak X n adalah

  itX n

  ϕ

  

X (t) = E[e ],

n

  dan misalkan pula

  n

  S

  X

  

n = Σ i

i =1 ∗ S n

  di mana S =

  n − µ, sehingga n ∗ Sn

  − itS it ( µ ) n n ∗

  ϕ S (t) = E[e ] = E[e ]

  n X1+X2+···+Xn it − µ [ ] n

  = E[e ]

  µn X1+X2+···+Xn −

it

  [ ] n n

  = E[e ]

  

t

− i µn

  [X 1 +X 2 +···+X n ]

n

  = E[e ]

  t t t t

i

X i X i X i µn

  1 2 n ] n n n n

  e e = E[e ]

  · · · e Dari premis diketahui bahwa X , X , n saling bebas, maka diperoleh

  1 2 · · · , X

∗ t t t t

itS i i i ( )X

  1 (i )X 2 ( )X (−µn) n

n n n n n

  E [e ] = E[e ]E[e ]E[e ]

  ] · · · E[e t t t

  − itµ

  = ϕ

  X ( )ϕ X ( X ( )E[e ]

  1 2 ) · · · ϕ n

  n n n

  n

  Perhatikan bahwa {X } adalah barisan peubah acak yang terdistribusi secara bebas dan identik, maka fungsi karakteristiknya sama, sehingga dapat ditulis t

  − n itµ ∗

  ϕ e ,

  S (t) = [ϕ( )] n

  n t

  − n itµ

  = exp [ln [(ϕ( ) e )]], n

  t n

  [ϕ( )]

  n

  = exp [ln [ ]],

  itµ

  e t

  n itµ

  = exp [ln ϕ( ) ], − ln e n t

  = exp [n ln ϕ( ) − itµ]. n sehingga untuk n → ∞, maka t

  

(i)(0)X

ϕ ( ] = E[e ] = E(1) = 1.

  ) → ϕ(0) = E[e n

  ∗

  Dengan demikian ϕ S (t) = exp[−itµ].

  n

  √

  − itµ

  2

  2 ∗

  S pcos 1 = 1, karena

  Perhatikan bahwa |ϕ (t)| = |e | = (−tµ) + sin (−tµ) =

  n ∗ − ∗ ∗ itS n ∗

  S = 1, sehingga itS = 0 atau S = 0.

  |ϕ (t)| = 1 mengakibatkan E[e n n

  n ∗

  Hal ini berarti bahwa P (S = 0) = 1, sehingga dapat dinyatakan bahwa hal ini

  n ∗

  menunjukkan S

  n → 0 in probability adalah apabila ∗

  P lim ([S

  n − 0] < ε) = 1,

  74 Suci Sari Wahyuni dkk.

  ∗ S n

  karena S =

  n − µ maka n

  S

  n

  lim P ([ − µ] < ε) = 1.

  n→∞

  n

  S n

  Hal ini menunjukkan → µ in probability.

  n

  3. Contoh Penerapan Pembuktian Hukum Lemah Bilangan Besar Dengan Menggunakan Fungsi Karakteristik Pada Sebaran Seragam Misalkan X ∼ UNIF (0, 1) dengan fungsi kepekatan peluangnya f(x) = 1, 0 <

  1

  x <

1. Nilai harapan dari peubah acak X adalah E(X) = , dan fungsi karakteristik

  2

  dari X adalah Z

  1 it

  e

  1

  1

  1

  itx itx itx it it − 1 1 (1) (0)

  E e dx e e e .

  [e ] = = = = | − it it it it

  S n

  1

  in probability Akan dibuktikan bahwa . Perhatikan bahwa

  →

  n

  2

  1 ∗ Sn itS it − ( )

  2 n n ∗

  ϕ

  S (t) = E[e ] = E[e ], n

  1 X1+X2+···+Xn −

it

  [ ]

  2 n

  = E[e ],

  t t t t −

i

  X 1 i

  X 2 i X i n ]

  2 n n n

  = E[e e e ].

  · · · e Dari premis diketahui bahwa X , X , n saling bebas, maka diperoleh

  1 2 · · · , X ∗ t t t t

  ( )X (i )X ( )X n n

  − itS i 1 2 i i

  2 n n n

  E [e ] = E[e ]E[e ]E[e ] ] · · · E[e

  i t t R t t t t

  1 − i

  X i X i X i i e n

  1

  

1

1 (1) 1 (0)

  1 n n n n n

  di mana E[e ] = e dx = t e = t e t e = t | −

  i i i i n n n n

  Dengan demikian, dapat dinyatakan

  

t t t

i i i

n n n

∗ e e e t

  −

itS − 1 − 1 − 1 i

n

  [e ] = ( )( )E[e ]

  t t ) · · · ( t

  2 E

  i i i

  n n n t

  t t t

  − i

  2

  = ϕ

  X ( )ϕ X ( X ( )e

  1 2 ) · · · ϕ n

  n n n Perhatikan bahwa X n adalah barisan peubah acak yang terdistribusi secara bebas dan identik, maka

  t i n

  e t − 1 n − i

  2 ∗

  ϕ e ,

  S (t) = [ ] n t

  i

  n t

  1 n

  − i

  e t

  − n i

  2

  = exp [ln [(( ) e )]],

  t

  i

  n t i −

  1 n

  e t = exp [n ln ( ].

  ) − i

  t

  n i

  n

  Sehingga untuk n → ∞, maka t

  

(i)(0)X

  ϕ ( ] = E[e ] = E(1) = 1.

  ) → ϕ(0) = E[e

  Pembuktian Teorema Hukum Lemah Bilangan Besar

  75 Dengan demikian

  t

  (t) = exp [−i

  n

  ∗ ϕ S ].

  2 Perhatikan bahwa r √ t t

  itµ

  2

  2 ∗

S cos + sin )) = 1 = 1.

  |ϕ (t)| = |e | = (− (−

  n

  2

  2

  ∗ ∗ ∗ itS n ∗

  S ] = 1, sehingga itS = 0 atau S =

  Karena |ϕ (t)| = 1 mengakibatkan E[e n n

  n ∗ ∗

  0. Hal ini berarti bahwa P (S = 0) = 1, hal ini menunjukkan bahwa S

  n n → 0 in ∗

  probability . Berdasarkan Definisi 2.2 maka S

  n → 0 in probability adalah bila ∗

  P lim ([S

  n − 0] < ε) = 1. n→∞ ∗ S

  1 n

  Karena S = , maka

  n − n

  2 S

n

  P lim ([ ] < ε) = 1.

  n→∞

  n

  ∗

  Hal ini berarti S n → 0 in probability.

  4. Kesimpulan Hukum Lemah Bilangan Besar menggambarkan stabilitas dari peubah-peubah acak dalam jumlah besar. Secara matematis, Hukum Lemah Bilangan Besar dapat

  n

  dinyatakan bahwa jika {X } merupakan barisan peubah acak yang terdistribusi se- cara bebas dan identik dengan mean µ dan varian yang terbatas, dan jika dengan

  S n n

  S

  X

  n = Σ n , maka i → µ in probability. Hukum ini telah dibuktikan dalam =1 n

  beberapa referensi dengan cara menganalisis perilaku peubah acak S n dan hubun- gannya dengan µ. Selain dengan cara tersebut telah diterapkan pola pembuktiannya dengan menggunakan fungsi karakteristik. Fungsi karakteristik adalah salah satu je- nis trasformasi yang sering digunakan pada teori peluang dan statistik.

  5. Ucapan Terima Kasih Penulis menyadari sepenuhnya bahwa dalam penyusunan paper ini tidak ter- lepas dari dukungan, dorongan, kerjasama maupun bimbingan dari berbagai pihak.

  Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada bapak Dodi Devianto, ibu Hazmira Yozza, bapak Narwen, ibu Lyra Yulianti dan bapak Yudi Andriasdi yang telah bersedia membaca, menelaah, dan menguji naskah makalah ini.

  Daftar Pustaka [1] Casella, G. dan R. L. Berger. 1990. Statistical Inference. Ed. Ke-1 Wadsworth & Brooks/Cole, Pasific Grove, California.

  [2] Chung, K.L. 2001. A Course In Probability Theory. Third Edition. Academy Press, San Diego. [3] Spiegel, M.R. 1964. Peubah Kompleks. Polytechnic Institute Rensselaer.