Aplikasi BIT (Boundary Integral Tecniqoe) Pada Analisa Profil Aliran Fluida Di Permukaan Bebas Diatas Penghalang Dalam Suatu Kanal - ITS Repository

·-

-

-

-~

•ua ~li:.-u•

.. tnTUT ftKooCM.OOI

~IE

V lU"

I

NO~t•.u

-

I

SKRIPSI
APLJK-\SI BIT (BOUNDARY INTEGRAL TECNJQOE) PADA
ANALISA PROFIL ALIRAN FLUIDA Dl PERMUKAAN
BEBAS DIATAS PENGHALANG DALAM SliATU KANAL

Oleh:

fl.StC~

ANTONIUS. E
1297 109 040

.J[-:)

u-

!Trrt

q -I
~1'-.r

t Al AAa

p • a ·P Wt

t
~

"·111

No.

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTJTUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
SURABAYA

2005

LEMBAR PENGESAHAN
SKRIPSI
APLIKASI BIT (BOUNDARY iNTEGRAL TECNIQOE) PADA
ANALISA PROFIL ALIRAN .F LUIDA DI PERMUKAAN BEBAS
DIATAS PENGHALANG DALAM SUATUKANAL
Dipersiapkan dan diusulkan oleh:

ANTONIUS. E
Nrp. 1297 109 040
Telah dipertahankan di depa.n Tim Penguji
Pada tanggal : 25 Juli 2005

Susunan Tim Penguji
Anggota Tim Penguji

vh:--

1. Drs. Lukman Hanafi, M.Sc.
NIP. 131 782 039

lya. sehingga dapat mcnyelesaikan skripsi ini. denganjudul :

APLIKASI BIT (BOUNDARY INTEGRAL TECNIQUE) PADA
ANALISA PROFIL ALIRAN FLUIDA DI PERMUKAAN BEBAS
DIATAS PENGHALANG DALAM SUATU KANAL
Dengan tersclesaikannya laporan ini, saya menyampaikan ucapan terima kasih sctinggitingginya kepada :
I. Bapak Drs. l.ukman Hanati, M.Sc. selaku ketua Jurusan Matematika. dosen wali dan
selaku dosen pengt(i i.
2. Bapak DR. Basuki Widodo. M.Sc. selaku dosen pembimbing yang telah berkenan
mcluangkan waktu. tenaga, dan pikiran untuk membimbing dan memberikan
refercnsi pus taka dengan penuh kesabaran.
3. lbu Dra. Mardlijah. MT. Selaku doscn penguji dan koordinator tugas akhir yang telah
mcmberikan keleluasaan waktu bagi penulis untuk dapat menyelesaikan skripsi ini.
4. Bapak Drs. Kamiran selaku dosen penguji.

5. Keluargaku tercinta : Ayah. lbu. Kakak . dan adik, yang telah memberikan dukungan
dan doa sehingga dapat tcrselasainya laporan ini.
6. Ternan-ternan seperjuangan Angkatan 97' : Andik, Fitri. Gigih, dan SafJia, yang telah
berjuang dalam susah dan senang tetap menjaga semangat kekompakannya hingga

mencapai kelulusan.
7. Sobat-sobatku : Vasco yang banyak mcmberikan dorongan semangat dan nasehat,
serta tcrima kasih buat sahabat lan1a : !put dan Baloma terima kasih atas bantuannya.

8. Ternan-ternan di kampung halaman: Zoel, Bonjor. Eko, Melky.
9. Pihak-pihak lain yang tclah ikut membantu dalam penulisan laporan ini.

Penulis mcnyadari bahwa pcnyusunan skripsi ini masih jauh dari sempuma. untuk itu
kami mengharapkan saran dan kritik yang membangun demi kescmpurnaan skripsi ini.
Akhir kata semoga laporan skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca.

Surabaya.Juni 2005
(Penulis)

DAFTAR lSI

Halarnan
JUDUL ................................................................................ ............. i
LEMBAR PENGESAHAN ............. ...... .................... .... .............. ...... ...... n
ABSTRAK ................................................... ............... ....................... iii

KATA PENGANTAR ................................................. ... .. .. ....... .. ........... iv
DA FTAR lSI ....................... ................................ ..... ... .. ... ................... vi
DAFTAR NOTASI ................. ...... ........ .... ............ ........... ............ .... ..... viii
DAFTAR GAM BAR ..... ......... ....... .. ....... ............. ... .............. ...... ...... ... .. xi
BAB I PENDAIIULUAN .......... .. .... .. .. .. .. ..... ...... ... ....... .... .. ........ ...... ....... I
1. 1. Latar Belakang .......................................... ........................... , .. . . . I

1.2. Permasalahan .. . .. . . . . .. . .. .. .. . .. . . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. .. . . .. .. . .. . .. 2
1.3. Pcmbatasan Masalah ................................ ... .................................. 2
1.4. Metode Penelitian ..................................... .. ................................. 3
1.5. Tujuan Dan Manfaat ...................................................................... 3
1.6. Sistematika Penulisan .................................................................... 4

BAB II DASAR TEORI .......................... ................................................ 6
2.1. Persamaan AI iran Flu ida di Permukaan Bebas........................................ 6
2.2. Potensial Kecepatan Kompleks......................................................... 8
2.3. AI iran Flu ida Potensial dalam Dimensi Dua ................ ....... ....... ............. 9
2.4. Transtom1asi Pada Bidang Paruh Bagian Atas . .... .. ....... ......... ... ... .... ....... 12
2.5. Masalah Ri~:man-H

l ben

..... .... .. ..... ........ .... .. ... .... ... ..... ..... ..... ......... 13

BAB Ill PEMODELAN MATEMATIKA ........ ................ ........ ...................... 17
3.1. Model Fisis Aliran Flu ida di pcrmukaan bebas pada suatu kanal ............ 17
3.2. Model Matematika dari aliran Fluida dipermukaan bebas dipengaruhi
gravitasi dan tegangan permukaan. . .............................................. 18
3.3. Proscdur \lumcril..

.......................... ...................................... 24

3.4. Prosedur Simulasi pada komputer dari profit aliran fluida di pennukaan
be bas diatas penghalang pada suatu kanal. . ..... ........... ....... , ... .. ... ..... 26
3.4.1 Konvcrsi satuan non dimensi dalam Pias ....................... .. ....... 28
BAB IV PF.MDAHASAN ............................ .............................. .... ...........31
4.1. Hubungan antara tinggi permukaan bebas dan Bilangan Froude Hulu

untuk ali ran nuida pada hilir dimana tinggi penghalang diberikan.... ... ..... 32
4.2. Profi t permukaan be bas dcngan Fr = 4.0 dan We = 0.05, We "' 0.00 .... ..... 34

4.3. Profit pem1ukaan bebas dcngan Fr = 3.0 dan We = 0.05, We = 0.00 .......... 35
4.4. Profil pcrmukaan be bas dengan dan We= 0.00 dengan variasi
Fr ~ 3.0 dan Fr

4.0................................................................ . 36

4.5. Profil pennukaan bebas dengan We= 0.00 dan We= 0.05 dengan
variasi Fr • 3.0 dan Fr = 106........................................................ 37
BAB V KESLMPULAN DAN SARAN ........................................................ 39

5.1. Kesimpulan .......................................... ....... ........................... 39
5.2. Saran ........................................................... ........................ 39
DAFTAR PUSTAKA ................. .. .................. .... .. ........ ....... .................... 40
LAMPJRAN .......................... .. ......................... ........ ........................... 42

DAFTAR NOTASI

Daftar ~otas

i

da lam bu r uf abj ad

a. b. c. d

konstanta dalam integral I

a , .~

titik pada sumbu riel bidang parub bagian atas

a rg(Z)

argumcn bilangan kompleks variabel Z

c

konstanta

I

fungsi riel dalam masalah Riemann-Hilbert

f

pcmyataan dasar saluran

(

pcmyataan untuk dasar kanal

E

titik yang cukup jauh dari pcnghalang

F

titik yang cukup jauh dari penghalang

Fr

bi langan Froudc

h,. h2. h3

tinggi penghalang non dimensi

H

kedalam air hu lu

Il; p

tinggi penghalang

I

integral

1,. b. 13

panjang penghalang non dimensi

M

titik paling ujung dari pcnghalang

N

titik yang cukup jauh dari penghalang

n

nomor urutan titik-titik. integer

Q

dimensi flux dari fluida pada bidang tak terbatas ujung
penghalang , U, II

q

perubahan non dimensi dari tluida pada garis jauh tak hingga.

Q/(U, I!)

s

panjang non dimensi dari panjang dasar saluran dan
permukaan bebas

s

ukuran panjang pancaran dasar kana! dan permukaan bebas

s-

daer'dh terbatas dan tak terbatas bagian atas bidang paruh

i

dimensi tcgangan permukaan

TL

dimensi panjang penghalang

tl

non dimensi panjang penghalang. T JH

t. t'

bagian atas bidang paruh

u

komponcn kecepatan fluida non dimensi dalam arab X
laju fluida pada bagian atas dan bagian bawah permukaan
bebas

u

komponen kecepatan fluida dalam arah X

u

vektor keccpatan fluida
laju fluida
kecepatan fluida ujung hulu

v

komponcn kecepatan fluida dalam arab Y

w

kecepatan kompleks. W : U + iV

X

sumbu horisontal untuk sistem koordinat berdimensi

x-

nilai dari X(t) pada sumbu riel dalam bidang paruh bagian atas

X(t)

pcnyelesaian homogcn dari n

X

koordinat non dimcnsi. XII-I

x,. x·

variabel bcbas

y
y

sumbu vcrtikal untuk sistem koordinat berdimensi

~

variabcl kompleks

koordinat non dimcnsi, YIH

Oaftar Notasi dalam H uruf Yu nani
9le

bagian riel bilangan kompleks

:lm

bagian imajincr bilangan kompleks

p

density fluida

'+'

dimcnsi fungsi aliran



dimcnsi potential kecepatan
potential kompleks,

K

.J.

i '+'

sumbu riel dalan1 bidang paruh bagian atas

..,, ..,

bagian riel dalam bidang parub bagian atas

Tl o

titik pada sumbu riel dalam bidang paruh bagian atas

~.

bagian im~jncr

0

~·

dalam bidang paruh bagian alas

sudut yang dibentuk permukaan bebas dengan SLLmbu x-positif

e

sudut yang dibuat garis dZ dengan sumbu riel positif

0

bagian imajincr dari Riemann-Hilbert

e·

bagian imajiner dari n

J3

sudut yang dibentuk oleh dasar permukaan dengan sumbu X
posit if
sudut )'ang dibentuk oleh garis dZ dengan sumbu riel positif.
1!

+

a

bagian riel dari Riemann-Hilbert
bagian riel dari n
batas dacrah penyelesaian
y

non dimensi tcgangan permukaan

00

ni lai tak hingga
variabel Riemann-Hilbert,

t

+ i0

fungsi dalan1 bidang paruh bagian atas
non dimensi potential kecepatan, /(U, H)
non dimensi potential kecepatan pada titik ujung hulu
inisial potensial kecepatan
bidang kompleks
a

sudut yang dibcntuk permukaan bebas dengan sumbu X
pias yang sama dalam sumbu X
fungsi analitik dalam bidang paruh

subcripts

b

dasar saluran (dasar kana!)

f

permukaan bcbas
posisi ke-i

DAFTAR GAMBAR

Halam an
Gam bar 1.1. Penghalang melengkung bertingkat turun

.. . . . .............................

2

Gam bar 2.1. Bidang-L dengan panjang pita tak terhingga dan Iebar =a .............. 12
Gambar 2.2. Bidang paruh-W bagian atas ... ......... ............ ......................... 12
Gambar 2.3. Bidang paruh-t .. ......... ......................... ............. .......... ..... .. 13
Gambar2.4. Bidangparuh-1 ..... .. ........ ...... ................. ......... .. .... ............ 14
Gambar 2.5. Bidang paruh-t· .............................. .... ..... .. ............. ..... .. .... 15
Gambar 3. I. Bidang fisis untuk ali ran di pcrmuk.aan bebas di atas penghalang
dipengaruhi pcngaruh gravi tasi dan tegangan permukaan .. .. . .. .. .. .. 17
Gambar 3.2. Pcmetaan bidang-Z kc bidang-(t) ................. .. ... ....... .. .. ...... , .. .. 20
Gambar 3.3. Pemctaan bidang-m ke bidang paruh-t. ........... ................ .......... 21
Gambar 3.4. Diagram titik-titik pi as pada dasar saluran

.. .. .. .. . .. .. .. .... .. .. .. .. . .. 27

Gam bar 4.1. Pcnghalang kurva bertingkatturun .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . 32
Gambar 4.2. Profil pcrmukaan bebas dengan bilangan fr-4.0. dengan
variasi bilangan We

~ 0.5

We=O.OO ......................................... 34

Gambar 4.3. Profil pcrmukaan bcbas dengan bilangan fr=3.0, dengan variasi
bilangan WeE0.05, We=O.OO .......................... ........................ 35
Gambar 4.4. Profil pem1ukaan bebas dengan variasi bilangan Fr=3.0 dan Fr-4.0.
dengan hi Iangan Wc-9J.OO ..... .. .................... .......... .. ............... 37
Gam bar 4.5. Profil pem1ukaan bebas dcngan variasi bilangan f r=3.0 dan Fr=l 06 ,
dengan bilangan Wc• O.OO dan We=0.05 ... .... ... ........ ... .. ... .... ...... 38

BABI
PENDAHULUAN

BABI
PE!'.'DAHULUAN
1.1. Latar Belakang

Aliran fluida dalam saluran terbuka (open channel flow) dapat berupa aliran pada
permukaan bebas. Sistem aliran pada permukaan bebas merupakan sistcm yang sangat
penting kebcradaannya di bidang hidrodinamika. Pcnyelesaian masalah aliran pada
permukaan bcbas lebih kompleks dan luas, meliputi klasifikasi aliran yang bcragam.
penggolongan sifat fluida. dan perilaJ,.-u dari aliran fluida dipermukaan bcbas yang
dinyatakan dalam bcntuk persamaan difTerensial parsial dimana akan mengalami
kesu litan dalam mencari analisis umum dari penyelesaian persamaan tersebul. Scbagai
contoh adalah aliran air yang terjadi diatas dasar kanal sebarang[ l). Berbagai penelitian
tc lah banyak di lakukan dan dikembangkan untuk menganalisis permasalahan aliran
pada pcnmtkaan bcbas ini, tcrmasuk didalamnya melode-metode konvensional
misa lnya dcngan menggunakan metodc beda hingga (finite difference method). mclode
clcmen hingga (finite element method). dan metode elemen batas (boundary element
method).

Didasarl,.an penjclasan diatas, Ielah dikembangkan metode baru yaitu Melode
Integral Batas atau Boundary lmegral Technique dan temyata dapat diaplikasikan pada
permasalahan aliran di permukaan bebas tersebut (penelitian Widodo{l4]). Metode
Integral Balas ini dikembangkan untuk menganalisa aliran air dimcnsi-dua di
permukaan bebas dalam suaru kana! diatas penghalang bcrbcnluk sebarang. dimana
sistem alirannya adalah sislem a Iiran flu ida ideal yang dipengarubi oleh gravitasi bumi
dan 1egangan pcrmukaan. Dimana untuk menguji konvergensi dan stabililas
peny·elesaian dari teknik integra l batas dari model matemalika aliran tluida tclah
disusun oleh Moch. Nakif 15J pada lugas akh ir sebelum nya.. sehingga pada penyusunan

tuga:. akhir ini

a~n

diuji model matematika tersebut untuk menggambarkan bentuk

profil dari a Iiran fluida di permukaan be bas.
Oleh karena Metode Integral Batas tergolong suatu metode yang relatif baru, maka
perlu dipelajari dan dil..embangkan penerapannya dalam praktek.

1.2. Permasalahan

Berkaitan dcngan Jatar belakang diatas, maka dalam penelitian ini akan
dikembangkan penerapan dari metodc integral batas dengan permasalahan yang timbul
adalah:

a.

Mcnyu~

model matematika dari aliran fluida di permukaan bebas suatu

fluida diatas suatu pcnghalang dalam suatu kana! yang dipengaruhi oleh
gravitasi bumi dan tegangan permukaan.
b.

Bagaimanakah

peran metode intC!,'Tal batas dalam menentukan atau

menggambarkan profit aliran fluida di permukaan bebas diatas suatu
penghalang dalam suatu kana! yang dipengaruhi oleh gravitasi bumi dan
tegangan pennukaan.

1.3. Pembatasan Masalah

Dalam rugas akhir ini digunal..an batasan-batasan masalah sebagai berikut:
I. Sistema Iiran yang dimaksud adalah sistem aliran fluida dimensi-dua.
2. Aliran fluida bcr>ifattakmampu mampat tak berputar, tunak. dan tak kental.
3. Flu ida yang mengalir adalah air.
4. Ali ran fuida hanya dipengaruhi oleh gravitasi dan tegangan permukaan.
5. Bentuk pengha lang yang akan dibahas pada penelitian ini diasumsikan pada
bentuk pcnghalang sebagai berikut :

2

•

Benruk penghalang melengkung bcrtingkat turun

Gam bar 1.1. Pcnghalang melcngkung beningkat turon
Asumsi:
Kcccpatan ali ran flu ida di hulu dan di hilir adalah unifonn (seragam).

1.4. Metodc Pcnclitian

Metode pcnclilian dari tugas akhir ini adalah sebagai berikut:
I. Studi litcratur tcntang konscp dasar alirdll fluida di pennukaan bebas.

2. Mengemhangkan model matematika dari aliran fluida.
3. Mcrumuskan algoritma BIT untuk mcnyelesaikan model matematika.
t. Mclakuk(ul ~i rnulasi dcngan program komputer .

5. Menganali,

g(11) • untuk a 1

(2.37)
(2.38)

Dalam urutan mcndaparkan penyelesaian masalah nila i batas campuran. seperti
dinyatakan oleh syarat (2.37) dan (2.38), dengan mentransformasikan bidang-t ke
bidang-r' oleh suatu fungsi pecahan. yaim :
t'

=

t - a
t -

- I
a, + I

(2.39)

Gambar 2.5. Bidang-t'
lni mentransforrnasikan bagian atas bidang paruh dari bidang-t ke bidang·t· dan titik a 1
dan b, (c.o) pada sumbu riel dalam bidang-t ke -l(a1) dan + l(b,) pada sumbu riel dalam
bidang-r' , lihat gambar (2.5). Masalah ni lai batas yang bersesuaian dinyatakan olch
syarat (2.29) dan (2.30). Sclanj utnya menj adi masalah nilai batas dengan sya rat (2.29)

dan (2.30). Kemudian menerapkan pcrsamaan (2.31) pada bagian atas bidang paruh
dari bidang- t' mengha.~ilk:

(2.40)
Pada pcnsutitusian pcrsamaan (2.39) kedalam (2.40)) penyelesaian masalah nilai batas
campuran diberikan oleh pcrsamaan (2.37) dan persamaan (2.38) ditransfonnasikan
kedalam pemyataan berikut :

dimana penyelcsaian homogcn pcrsamaan (2.31) untuk c(TJ) = 0 menggunakan rumus:
(2.42)
Dan pada sumbu riel bidang-t nilai X(t) adalah :
(2.43)
(2.44)

Jika bagian imajiner g(T]) pada !l(t) diketahui pada seluruh sumbu riel dan dengan
mengasumsikan bahwa f{TJ) =C. (C = konstanta). Maka persamaan (2.41) dapat ditulis:
(2.45)

Dengan mengambil a 1

O(t) =

--.

I .,
1t

oo. maka persamaan (2.40) dapat ditulis menjadi:

f~ [TJ-1]

( )
g TJ

dTJ + C

persan1aan (2.46) ini adalah rum us Schwartz ( lihat M uskhelishvill i (1953)).

(2.46)

BAB III
PEMODELAN MATEMATIKA

BAB Ill

PERUMUSAN MATEMATIKA

3.1. Model Fisis Aliran Fluid a di permukaan bebas pada suatu kana I.
Pada penelitian ini disclidiki pengaruh gravitaSi dan tegangan permukaan . aliran
fluida dimcnsi..