Analisis rangkaian listrik di kawasan waktu melibatkan operasi diferensial dan integral, karena hubungan arus- tegangan elemen-elemen adalah

  Sudaryatno Sudirham Isi

  1. Fasor

  2. Pernyataan Sinyal Sinus

  3. Impedansi

  Analisis Analisis Analisis Rangkaian Analisis Rangkaian Listrik Rangkaian Rangkaian Listrik Listrik Listrik

  4. Kaidah Rangkaian

  5. Teorema Rangkaian

  di di di di Kawasan Kawasan Kawasan Kawasan Fasor Fasor Fasor Fasor

  6. Metoda Analisis

  7. Sistem Satu Fasa

  (Rangkaian Arus Bolak-Balik Sinusoidal Keadaan Mantap)

  8. Analisis Daya

  9. Penyediaan Daya

  10. Sistem Tiga-fasa Seimbang

  2

1 Di kawasan waktu bentuk gelombang sinus dinyatakan sebagai

  y A cos( t ) = ω − θ

  Sudut fasa Amplitudo Frekuensi sudut

  Analisis rangkaian listrik di kawasan waktu melibatkan Fasor tegangan elemen-elemen adalah Mengapa Fasor? dv di C

  1 L i C v i dt v L C = =

  L = C C ∫ dt C dt

  Dalam matematika ada sebuah fungsi yang Bentuk gelombang sinus sangat luas digunakan turunannya berbentuk sama dengan fungsi itu sendiri, yaitu Energi listrik, dengan daya ribuan kilo watt, disalurkan Fungsi Eksponensial menggunakan bentuk gelombang sinus. Siaran radio juga dipancarkan dengan menggunakan bentuk x x de dAe gelombang sinus. x x e Ae

  = = dx dx

  Pekerjaan analisis rangkaian, dimana peubah rangkaiannya berbentuk gelombang sinus, akan sangat dipermudah jika Jika sinyal sinus dapat dinyatakan dalam bentuk operasi-operasi diferensial dapat dihindarkan. fungsi eksponensial, maka operasi diferensial ₅ dan integral akan terhindarkan ₆ Bilangan Kompleks Hal itu dimungkinkan karena ada hubungan antara fungsi sinus dan fungsi eksponensial yaitu Pengertian Tentang Bilangan Kompleks Identitas Euler

  Tinjau Persamaan: Akar persamaan adalah:

  2

  1 =

  j e x j x 1 =

• jx

  = cos sin Bagian nyata pernyataan

• s s = −

  Bilangan tidak nyata (imajiner) kompleks ini yang digunakan

  3.5 untuk menyatakan sinyal sinus

  3 x

  2.5

  2 Ini adalah fungsi eksponensial kompleks

  1.5

  1

  0.5

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7 8 9 10 Berikut ini kita akan x melihat ulang bilangan x kompleks

  Tak ada nilai untuk negatif x

  Representasi Grafis Bilangan Kompleks Bilangan kompleks didefinisikan sebagai

  (sumbu imajiner) Im

  s a jb =

• dengan a dan b adalah Im

  bilangan nyata

  S

  = a + jb

  S = a + jb jb jb bagian nyata dari s

bagian imajiner dari s Re(s) =

  a Im(s) = b θ

  Re Re

  a a

  (sumbu imajiner) (sumbu nyata)

  Im S

  = |S|cosθ + j|S|sinθ

  s

  = a + jb

  jb

  2 S = a b Bilangan kompleks

• 2

  −

  1

  θ = tan (b/a)

  a Re bagian nyata dari S

  |S|

  cosθ = Re (S) (sumbu nyata)

bagian imaginer dari S

  |S| ₉

  sinθ = Im (S) ₁₀ Operasi-Operasi Aljabar Bilangan Kompleks

  Contoh Im

  Penjumlahan Pengurangan 3 + j4 = 5cos + j5sin 4 θ θ s a jb s a jb

  1

  1 = = + +

  3 s p jq s p jq

  = = + +

  2

• --

  2

  5

  2 s s a p j b q s s a p j b q

• = ( ) ( ) − = ( − ) ( − )

  1

  2

  1

  2

  1 θ

  Perkalian Re

• 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

  ( )( ) ( )( ) ap bq j aq bp s s = a jb p jq = ( − ) ( ) + + + +

  1

  2

• 1
• 2

  Pembagian

• 3
• s a jb p − jq ap bq j bp − aq + +

  1 ( ) ( ) = × =

  2

  2 s p jq p − jq p q + +

  2 Contoh Bentuk Sudut Siku dan Bentuk Polar s j s j diketahui: =

  3

4 Fungsi eksponensial bilangan kompleks didefinisikan sebagai

  1

  2

  2 + + 3 dan =

  ( j ) j τ θ τ θ τ +

  = = (cos θ sin θ )

• e e e e j
• maka: s s = ( 2 j

  3 ) ( 3 j 4 ) = 5 j

  7

  1

  2 τ

  dengan e adalah fungsi eksponensial riil

  s s j j j − = (

  3 4 ) = − 1 −

  1

  1

  2 j

  2 + + 3 ) − (

  θ

  e = θ j θ ( )( ) (

• dan cos sin Ini identitas Euler

  2 3 )(

  3 4 ) s s = j j + +

  1

  2 (

  6 12 ) j (

  8 9 ) 6 j

  17 = − = − + + +

  Dengan identitas Euler ini bilangan

• S = a jb

  komleks yang dituliskan sebagai:

  1

  2

• s j j

  3 3 −

  4 = ×

  2 s 3 j

• 2

  4 3 − j

  4

  S a b j = (cos θ sin θ )

• dapat dituliskan sebagai:
• 2

  8 9 )

  18

  1 = + = j

  6 + + + ( 12 ) j ( −

2 Penulisan bilangan kompleks di atas adalah penulisan dalam bentuk sudut

  25

  25

  3

• 2

  4 siku yang juga dapat dituliskan dalam bentuk polar yaitu:

  2 2 j θ

  S a b e ₁₃ = + ₁₄ Kompleks Konjugat

  Contoh

  Im Im

  0,5 j

  Bentuk Polar S = 10 e |S| = 10 sudut fasa: θ = 0,5 rad

  S S

  = a + jb = p + jq

• * +

  Bentuk Sudut Siku S j

  = 10 (cos , 5 sin , 5 )

  Re Re

  j j = 10 ( , 88 , 48 ) = 8 ,

8 S * = a − jb S = p − jq

  8 + + 4 ,

  4 −

  1

  S = 3 + j4 | |

  2 2 θ = tan = , 93 rad

  3

  4

• * Bilangan kompleks mempunyai konjugat
• Bentuk Sudut Siku

  3

  5 S S S = =

• * S = a + jb S = a - jb

  Konjugat dari adalah j 0,93

  Bentuk Polar S = 5e Suatu bilangan kompleks dan konjugatnya mempunyai hubungan-hubungan berikut:

  4

  −−−−

  1

• * 2

  2 ∠ ∠ ∠ θ ∠

  S tan ,

  93 rad

  Bentuk Sudut Siku S j ==== −−−− ==== ==== S S S S

  = 3 − 4 | | =

  3 4 =

• 2

  S (

  1 2 )

  1

  2

  5 S S = | S | atau |S| = S S = + +

  3

  − j 0,93 Bentuk Polar

  S = 5e

• * S S

   

  S S S S

  1

  1 ( 1 × 2 ) =

  1

  2 ( )( )

    =

• S

  

  2  S

  1

  Fasor

  v = A cos( ω t θ ) Mengingat relasi Euler, fungsi ini bisa dipandang sebagai bagian riil dari suatu bilangan kompleks j ( t )

• Sinyal Sinus di kawasan waktu :

  ω θ

• A e = A {cos( ω t + θ) + j sin( ω

  t + θ)} = V j t j θ

  ω sehingga dapat ditulis dalam bentuk: v = Re(V) = Re ( A e e )

  Pernyataan Sinyal Sinus Jika seluruh sistem (rangkaian) mempunyai

  ω Dalam Bentuk Fasor j ω j ω t

  Re dan e bernilai sama maka e bernilai tetap sehingga tak tidak ditulis lagi perlu selalu dituliskan

  v = A cos( ω t θ ) j θ dapat ditulis dalam bentuk eksponensial kompleks :

• dan sinyal sinus

  V = A e Inilah yang disebut Fasor

  θ hanya amplitudo A dan sudut fasa yang diperhatikan karena ωω ω ω diketahui sama untuk seluruh sistem ₁₈

17 Penulisan sinyal sinus dalam bentuk fasor

  Penulisan dan Penggambaran Fasor Contoh Karena hanya amplitudo dan sudut o o

  V =

  10 ∠ − 45 atau

  v t t

  1 1 ( ) = 10 cos( 500 − 45 ) fasa saja yang diperhatikan maka

  Im

  V

  10 cos( 45 ) j 10 sin( 45 ) 7 , 07 j 7 ,

  07

  = − − = −

• o o

  1 menjadi:

  V j θ jb

  V Ae o

  =

  v t t

  V

  15 30 atau

• o

  |A|

  2 ( ) = 15 cos( 500 30 ) 2 = ∠

  dituliskan o o

  V θ

  =

  15 cos( 30 ) j 15 sin( 30 ) = 12 , 99 j

  7 ,

  5

  menjadi:

  2 V A = ∠ θ

  Pada frekuensi = 500 ω a

  Re

  o i t t

  I = −

  4 ∠ atau

  1 ( ) = − 4 cos 1000

  V A A jA cos sin

  = ∠ θ = θ θ o o menjadi:

• 1

  I j = −

  4 cos( ) − 4 sin( ) = −

  4

  1   b

  2 2 −

  1 o o

  V a jb a b tan   = = ∠

  I =

  3 ∠ − 90 atau

  i t t

  2 2 ( ) = 3 cos( 1000 − 90 )

    a

  I

  3 cos( 90 ) j 3 sin( 90 ) j

  3

  = − − = − menjadi:

• o o

  2 Pada frekuensi = 1000 ω

• θ ∠ = −
• −θ
• =
• A

21 Perkalian

• 4 Im

  30 15 ( ∠

  ∠ = =

  15 ∠ = − ∠

  30

  3

  90

  5

  2 120

  2

  2

  I V S o o o

  ∠ ∠ ∠ ==== ====

  ∠ ∠ ∠ ==== ∠ ∠ ∠ ∠ ×××× ∠

  120 45 )

  90 ) 3 (

  1

  2

  2

  2

  I V S

  45 ==== 10 ( −−−− ∠ ∠ ∠ ∠ −−−− ==== ∠ ∠ ∠ ∠ −−−− ×××× −−−− ∠ ∠ ∠ ∠ ====

  45 40 ) ) 4 (

  1

  1

  1

  I

  −−−−

  I V Z o o o

  1

  1

  V o

  Impedansi

  o

  216,9

  3

  I

  I Diketahui: maka : Re

  3 − ∠ =

  90

  2

  I o

  4 ∠ − =

  1

  15 ∠ =

    

  30

  2

  V o

  45 = 10 − ∠

  1

  I V Z o

  − ∠ = =

  10 − ∠ − = ∠ −

  45

  4

  2

  45 5 .

  −−−− −−−− ∠ ∠ ∠ ∠ −−−− ++++ −−−− ====

  3 ) tan

  ) 3 ( 4 ( ∠ ∠ ∠ ∠ ====   

  A Jika

  2

  Pembagian ( ) ( ) ( ) ( )

  θ ∠ = B A B A B A

  1 θ − θ ∠ = θ ∠

  2

  1

  2

  ) (

  1 θ + θ ∠ = × AB B A

  2

  ) (

  Fasor Negatif dan Fasor Konjugat

  jb a

  2

  − =

  − − = − A jb a

  A adalah jb a

  A A A maka negatif dari A adalah dan konjugat dari

  − θ ∠ =

  180 180 o o

  A * A ( ) ( )

  A A θ − ∠ =

  Jika θ ∠ =

  a jb − a − jb

  −−−− A A

  Im Re

  A θ

  1

  1

  4

  2

  216 9 ,

  3

  2

  2

  1

  I o

  I I

  −−−− −−−− ==== −−−− ++++ ++++ −−−− ==== ++++ ====

  3 j j j

  1

  2

  3

  4

  4

  3

  22 (((( )))) (((( ))))

  A A Jika diketahui : maka : Operasi-Operasi Fasor

  1 θ ∠ =

  B B

  2 θ ∠ =

  B A B A Penjumlahan dan Pengurangan

  θ − θ + θ − θ = − θ + θ + θ + θ = + B A j B A B A j B A

  1 sin sin cos cos sin sin cos cos

  2

  1

  5

5 Contoh

• o o o
• o o o

  R =

  = = j t j Rm

  R R i v

  Kawasan fasor Kawasan waktu Impedansi resistansi resistor di kawasan waktu bernilai sama dengan impedansinya di kawasan fasor

  I V =

  R R R

  V =

  I I R R RI

  ) ( ) ( θ ∠ = R R

  R R Ri e e Ri t t v

  R θ ω

  Resistor

  R − i

  ) t i t i ) cos( ( ) (

  Rm R e e i e i

  = = θ + ω = j t j Rm t j Rm

• v

  Catatan: Ada pengertian impedansi di kawasan s yang akan kita pelajari kemudian θ ω θ + ω

  I V = impedansi fasor tegangan fasor arus

  Z

  fasor adalah perbandingan antara fasor tegangan dan fasor arus elemen tersebut Impedansi di Kawasan Fasor x x x

  26 i

25 Impedansi suatu elemen rangkaian di kawasan

• v

  V I ω = θ ∠ = C C

  θ + ω ω = = t j Cm

  C C C e v j dt dv C t i

  ) ( ) cos( ) (

  θ + ω = θ + ω = t j Cm

  Cm C e v t v t v

  Kawasan fasor Impedansi C C

  C j

  V V C j C j Z

  `

  C C C ω − =

  ω = =

  1

  1 I

  V Kapasitor dt dv

  C i C C

  = Kawasan waktu hubungan diferensial hubungan linier

  ) ( ) ( ) (

  C −

  L

  L L L e e i j dt t di L t v

  L −

  θ ω θ + ω = =

  θ + ω = j t j Lm t j Lm

  Lm L e e i e i t i t i

  ) cos( ) ( ) (

• v

  ) ( ) ( ) (

  θ ∠ = L L

  C

  I I L L L j

  I V ω =

  L j Z L L

  L ω = =

  I V Kawasan fasor Impedansi Induktor dt di

  L v L L

  = Kawasan waktu hubungan diferensial hubungan linier i

  θ ω ω = = j t j m

  Impedansi dan Admitansi Impedansi Secara Umum Impedansi: Z

  = ω ω

• Z R ( ) jX ( )

  V V

  V

  1

1 L R C

  Z j L R Z j L = = ω = C = = = −

  2   (

  1 / ) R j ω C R R C

  I I I j C C

  ω ω ω

    L R C

  Z = j ω + L = ω + j L −

• L R // C

  2

  2   (

  1 / ) R j C ω RC

•  ω 

  1 RC

  1 ( ω ) ( ) + +

  V Z

  I =

  Admitansi: Y = 1 / Z Perhatian : Walaupun impedansi merupakan pernyataan yang

• berbentuk kompleks, akan tetapi impedansi bukanlah fasor.

  1 1 j

  1

1 Y Y j C Impedansi dan fasor merupakan dua pengertian dari dua konsep

  Y L = = = − C = = ω =

  R Z j L L Z R ω ω

  L C yang berbeda.

• – Fasor adalah pernyataan dari sinyal sinus

  I Y

  V = – Impedansi adalah pernyataan elemen.

  Perhatikan: relasi ini adalah relasi linier.

  Di kawasan fasor kita terhindar dari perhitungan diferensial. _{29 30} Hubungan Seri

  I j

  ω L

  Z R j L = ω

• R

  RL seri

• V = R j ω L

  I RL seri ( )

• V −

  L

• V −

  R Kaidah Rangkaian j j/

  − ω C Z R

  I RC seri = − R C

  ω  

  1

  V R

  I

• V R −

  RC seri =   j C

• V C −

   ω  Re Im

• V L −
• V
• ⋅⋅ ⋅⋅ + + = =

  90 o di belakang tegangan

  I = =

  I total

  I

  3 R j

  ω L − j/

  ω C

  I

  1 I

  2 Kaidah Pembagi Arus

  34 Diagram Fasor

  I L

  V L

  Arus

  L = 0,5 H , i L

  Y Y Y

  (t) = 0,4cos(1000t) A

  Arus dan Tegangan pada Induktor Ω = × × = 500

  1000 5 ,

  Z j j L

  V 90 200 4 , 90 500

  ) 4 , 500 (

  o o o o ∠ = ∠ × ∠ = ∠ × = =

  Z j L L L

  I V Arus dijadikan referensi (sudut fasa = 0)

  Di kawasan waktu:

  50 100 150 200

  0,002 0,004 0,006 0,008 100 i L (t) v

  L (t )

  V A detik Misalkan

  I V

  ∑ = total total k k k

  1

  C L j Z LC seri

  2

  Z Z Z Z Z

  I n seri total seri total seri total

  C −

  ω C j ω L

  1 − j/

    ω − ω =

     

  L j LC seri

  ω − ω = C j

    

  I V   

  V total seri total k k

• ⋅⋅ ⋅⋅ + + = =

1 I

  Z Z

  V V × = Kaidah Pembagi Tegangan

  Z Z Z Y Y

  1

  2

  1

  1

  1

  1 n n k k total

  V I k k k

  1

  ∑ ∑ = =

  Y Y = = =

  I I total n k k n k k total

  V V

  Y Z = =

33 V

• 50
>200
• 150
• 100

  Beban Kapasitif Arus dan Tegangan pada Kapasitor Pada sebuah beban :

  6 o

  Misalkan C t

  = 50 pF , i (t) = 0,5cos(10 ) mA v (t) =120cos(314t +10 ) V

  C o i (t) = 5cos(314t + 40 ) A

  1 − j

  Z j C = = = −

  20 k Ω

  6 −

  12 j C

  ω o o

  10 × ( 50 × 10 )

  V I = 120 ∠

  10 V dan = 5 ∠

  40 A 3 o − 3 o

  V Z I (

  20

  10 90 ) ( ,

  5 10 )

  C = C C = × ∠ − × × ∠ o o

  V 120 ∠ 10 o =

  10 ∠ −

90 V

  Z = = = 24 ∠ − 30 Ω B o

  I 5 ∠

  40

  = 24 cos( − 30 ) 24 sin( − 30 ) = 20 , 8 − 12 Ω

• j j

  Im Di kawasan waktu:

  10 Re v (t)

  I C arus

  C

  Im

  V

  10 i (t)

  5 C mendahului arus

  V mA o

  I tegangan 90 mendahului

  V C tegangan

  0,0005 0,001 0,0015 0,002 detik

• 5

  Arus dijadikan referensi (sudut fasa = 0)

  Re

• 10
_{37 38} Beban RLC Seri, kapasitif

  Beban Induktif Pada sebuah beban :

  100

  Ω

  20 µ F

  o

• v

  (t) =120cos(314t + 20 ) V Transformasi rangkaian v s (t) =

  − o

  50mH

  i (t) = 5cos(314t 40 ) A ke kawasan fasor

  −

  250 cos500t V

  o

  V Z = 250 ∠ ; = 100 Ω s R j

  100 Ω − 100 Ω

  V

• o o

  s =

  V I = 120 ∠

  20 V dan = 5 ∠ −

40 A

  Z j Z j = − 100 Ω ; =

  25 Ω o

  C L −

  250 ∠ V j 25 Ω Im

  V

  25 100

  75 Z = − j j = − j Ω

• 100 100

  o tot

  V I

  120 ∠

  20

  o Z = = =

  24 ∠ 60 Ω

  −

  75 B

  2

  1 o = +

  2 −

  ( 100 ) ( 75 ) ∠ tan

  I

  5

  40

  ∠ −

  100

  o o

  V Re

  j =

  24 cos( 60 ) 24 sin( 60 )

• o

  = 125 ∠ −

  36 , 87 Ω Re

  arus

  =

  12 20 , 8 Ω

• j

  Beban RLC seri ini bersifat kapasitif

  I o tertinggal dari

  Z Z V 250 ∠ | | > | | arus mendahului tegangan s o

  C L I = = =

  2 ∠ 36,87 A

  tegangan o

  Z tot 125 ∠ −

  36 ,

  87 Jika kita kembali ke kawasan waktu

  o i

  (t) = 2 cos(500t + 36,87 ) A

• −

  o

  C R Y j Y j

  Ω = Ω = s L

  o ∠ = Ω − =

  01 .

  . 250 01 . 04 .

  42

  | arus tertinggal dari tegangan Beban RLC seri, induktif

  | > | Z C

  Pada beban kapasitif | Z L

  Im

  I V Re

  V

  = 250 ∠

  V Beban RLC Paralel 03 .

  V s

  100 Ω

  j

  25 Ω

  j

  100 Ω −

• −

  V I

  Z

  − ∠ = ∠ ∠ = = tot s

  o o o

  250

  Y

  01 .

  A 36,87

  71 9 .

  Teorema Rangkaian

  I V Re Im

  V I

  − Y j j

  ∠ = + =

  7 5 . 2 ) 03 . ( 01 . 250

  2.5 5 .

  7

  7 tan 5 .

  2 5 .

  7 5 .

  2 6 .

  01 . 04 . 01 .

  2

  1

  I o

  V

  o

  = 250 ∠

  V s

  Ω j 100 Ω

  25

  − j

  100 Ω

  j Y j j tot

  2 87 , 36 125

  2 Z j j j tot

  − ∠ = ∠ − ∠ − ∠ =

  I I V 26,87

  j

  ∠ = ∠ − ∠ =

  2

  100 Ω

  100 o o o o o o o o o o o

  90 100 V 36,87 200 250 87 , 36 125

  3 250 5 200 87 , 36 125

  j

  25 Ω

  C

  V A 36,87

  − jX

  =

  V C

  Re Im

  V s

  = RI

  I V R

  V L = jX L

  V

  ∠ o

  100 Ω −

  2 87 , 36 125 250 o o o

  V s

  o ∠ = Ω =

  1

  o

  ) 75 ( 100 ( 100 75 100 25 100

  75 ) tan

  87 , 36 125 100

  Ω + = + − = −

  V Ω ∠ = ∠ + =

  Z j Z j Z

  Ω − = Ω = s L C R

  25 100

  ∠ = − ∠ ∠ = = tot s

  100

  Fasor Tegangan Tiap Elemen

  V V

  V V

  Fasor tegangan rangkaian mengikuti hukum Kirchhoff L C R s

  Z j tot

  o Ω − ∠ = − =

  87 , 36 125 75 100

  V I

  Z

  = 250

• =

25 V ,13

  1 5 250 87 , 36 125

  90

  ∠ = ∠ − ∠ ∠ =

  L C R

  V V

41 V 250

• −
• = Ω − + =
• = + × = =

  Prinsip Proporsionalitas Prinsip Superpossi

  Y K

  X =

  Prinsip Superposisi selalu berlaku di kawasan waktu dan

  Y = fasor keluaran, berlaku di kawasan fasor bila frekuensi sama

  X = fasor masukan, K = konstanta proporsionalitas yang pada umumnya merupakan bilangan kompleks

  45 ⁴⁶ Contoh Teorema Thévenin

  3H 8 Ω

• _

  20cos4t V i

  o

  3cos4t A

  1 V = Z I ; I = Y V ; Y = T T N N N T N Z T j Ω

  12 j

  12 I

  Ω

  I

  8 o1 o2

  Ω

• 8 Ω

  o

  20

  ∠ _ j −

  6 Ω

  − j

  6 o

  Ω

  A 3 ∠

  A Z R T

• o o

  − o o T

• T

  V

  20 ∠ 20 ∠

  T

  I

  3 3 − o2 = × ∠ = × ∠

  − I = =

  j j j 1 /( − 6 ) + + +

  1 /(

  8 12 )

  8

  6

• o1

  12 − j

  6 8 j

• 8 j

  6 B B

  o o

  14 , 4 ∠ 56 , 3 o o

  20 ∠ o

  3 4 ,

  32 19 ,

  4 A = × ∠ = ∠ o

  = =

  2 ∠ − 36 ,

  9 A

  10 36 ,

  9 o ∠

  10 ∠ 36 ,

  9 Kawasan waktu Kawasan fasor

  I I j j j = =

  1 , + 6 − + + 1 ,

  2 4 ,

  1 1 , 44 = 5 , 7 ,

• I

  24

  o o 1 o2

  I i t t =

  5 , 7 ∠ 2 , 4 ( ) = 5 , 7 cos(

  4 2 , 4 )

• o o

  o o

  o

• − −

  10 ) 100 (

  39 9 ,

  19

  90

  10

  o o j j j

  B A T − − = + − − = ∠ − − ∠ = − =

  V V

  V Ω − = −

  − ×

  99 , 109 9 , 100

  10 100 j

  15

  j j Z T

  j

  100 Ω 10 Ω 100 Ω

  0,1 ∠−

  90

  o

  A

  20

  ∠

  45

  10 3 .

  15 6 , 12 4 ,

  V `

  45

  50 − j

  Contoh Rangkaian Ekivalen Thévenin

  A B

  V T Z T

  A B

  V 3 , 39 9 ,

  19

  45

  20 7 , , 5 995

  20 100

  V 6 , 22 6 ,

  10 100

  V

  90

  10

  90 100 1 ,

  o o o o o

  ∠ = ∠ × − ∠ = ∠ × −

  − = − ∠ = − ∠ × = j j

  B A

  V V ( )

• =
• −

49 Metoda Analisis

• =
• _

  1

  − j

  o2

  tidak dapat langsung dijumlahkan. Kembali ke kawasan waktu, baru kemudian dijumlahkan 20cos4t V

  9 Ω 3cos2t A

  i o

  3H 20 ∠

• + v
• −

  o

  Ω

  6

  o1

  I o1 j

  12

  Ω

  9

  Ω

  3 ∠

  o − j

  dan I

  Karena sumber berbeda frekuensi maka fasor I

  I o2 j

  j

  3

  4

  3

  2

  1

    

    

  I I

  t t i i i t i t i

  I A )

  8 ,

  73 2 cos( 3 ) 9 ,

  36 4 cos( 2 sehingga

  A ) 8 , 73 2 cos(

  A 3 dan ) 9 , 36 4 cos(

  2

  o o o2 o1 o o 2 o o 1 o

  12 Ω

  6 Ω

• _ 9 Ω
• = + =
• = ∠ ×
• − − =
• ∠ − + ∠

  3 )

  36

  10

  3

  6

  8

  6

  8

  1 ) 12 /(

  6 8 /( 1 ) 12 /(

  36

  1

  o o o o o o

  ∠ = ∠ × − ∠ ∠ =

  ∠ × −

  j j j j j

  I

• = + =
• −

  10 9 ,

  A

  Metoda Superposisi

  20

  A 9 ,

  36

  2 9 ,

  36

  10

  20

  6

  8

  6

  3

  12

  8

  20

  o o o o o

  − ∠ = ∠ ∠ =

  j j j

  A 8 ,

  73

  3 9 ,

  9

  V I

  14

  3

  Ω i x

  3/2 H

  1/6 F 1/18 F

  Metoda Keluaran Satu Satuan t i K x x x

  2 cos 5 , 5 ,

  28

  28

  9

  1

  28 1 o

  o A A

  = → ∠ = ∠ = = → = =

  V I

  V I

  A ) Misalkan 1 ( j

  Ω

  V 12 Ω A B C D

  I ( )

  14cos2t

  9

  Ω − j

  3 Ω

  14 ∠

  V 12 Ω A B C D

  9 Ω

  3

  Ω

  I x j

  3 Ω

  I

  1 I

  2 I

  3 I

  4

  x −

  x

• =
• − = + =
• = − =

  V

  2 = = B

  1

  1 1 j

  x

  4

  3 I

  I I ( ) ( )

  V

  3

  1

  4 ( )

  3

  3 − 3 = + − = + =

  j j j j C B

  3 I

  V V

  A

  3

  1

  A

  V I

  28

    

  9

  12

  1

  3

  4

  = −

    

  j j B A

  = =

  V V

  V

  3

  j C

  V V

  1

  3

  j C

  =

  Metoda Rangkaian Ekivalen Thévenin Metoda Reduksi Rangkaian i 6 Ω

  A

  I i ?

  A ^x A B

  − + =

  2H j 4 Ω v Sumber tegangan dan sumber arus

  6 Ω 2 Ω Ω

  2 j

  1H 2 Ω 50 Ω 10sin100t V

• ⁺ 2 Ω ^o

  berfrekuensi sama, = 100. Tetapi

  ω

  −−−− ∠ 18cos2t V −

  18 V 2 Ω i =

  1/8 F ^{1 sumber tegangan dinyatakan dalam sinus,} − j 4 Ω

  200 F µ

  1H 0.1cos100t A

  sumber arus dalam cosinus. Ubah

  B B

  kedalam bentuk standar, yaitu bentuk

  I x A B

  − + cosinus melalui kesamaan A

  V =

  2 o

  9 _{o Ω sinx = cos(x − 90)}

  50 V

  V j = = ×

  18 ∠ =

  V

  10

  90 V 4 Ω T ht

  ∠− 6 Ω 2 Ω

  I ^{1 =}

  2 6 j

  4 2 j

  1 _o + + _o

• ₊

  0.1 A − 18 ∠

  V 2 Ω ∠ j

  50 − Ω j 100 Ω

  2

  6

  4

  16

  8

  12

  8

  7

  4

  (((( )))) ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ j j j j

  sumber tegangan tersambung seri

  2 Z T ==== ==== ==== Ω ++++

  I

  A B

  2

  6

  4

  8

  4

  2

  1

• j j j
y<

  dengan resistor 50 Ω paralel dengan induktor j100 Ω

  50 Ω

  A

  I

  9 (

  2 1 )

• I
² V j

  T I = ₁ I

  = = × _o

  50 − j Ω ⁺

  Z T

  0.1 A j

  2 ∠ j 100 Ω Z j

  2 j 4 ( 2 j 1 ) ( 7 j 4 ) j 2 ( 2 j 1 )

  Ω Simpul B hilang. Arus I yang sekarang T + + + + − − y