Perhitungan batas terendah nilai perbandingan antara suhu debye dan suhu kristal secara numerik untuk menentukan pengaruh suhu terhadap panas - USD Repository

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

PERHITUNGAN BATAS TERENDAH NILAI PERBANDINGAN ANTARA

SUHU DEBYE DAN SUHU KRISTAL SECARA NUMERIK UNTUK

MENENTUKAN PENGARUH SUHU TERHADAP PANAS JENIS KRISTAL

  Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

  Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Fisika

  Oleh: Margareta Inke Mayasari

  NIM : 023214002 PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

  2007

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  ii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  iii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

  " Dan apa saja yang kamu minta dalam doa dengan penuh kepercayaan, kamu akan menerimanya " ( Matius 21:22) PERSEMBAHAN : "Skripsi ini aku persembahkan untuk Ayah dan Ibuku serta kakakku mas Robert yang selalu memberikan dukungan, semangat, doa, dan kasih sayang sepanjang hidupku"

  iv

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

PERHITUNGAN BATAS TERENDAH NILAI PERBANDINGAN ANTARA

SUHU DEBYE DAN SUHU KRISTAL SECARA NUMERIK UNTUK

MENENTUKAN PENGARUH SUHU TERHADAP PANAS JENIS KRISTAL

ABSTRAK

  Telah dilakukan perhitungan secara numerik terhadap batas terendah nilai perbandingan antara suhu Debye dan suhu kristal yang digunakan dalam perhitungan panas jenis Debye satu dimensi, dua dimensi dan tiga dimensi dengan menggunakan paket program Mathematica 5.0. Hasil perhitungan secara numerik menunjukkan

  θ _D bahwa untuk < x nilai integral I bergantung pada suhu T , sedangkan untuk _k

  T

  θ _D ≥ x nilai integral I konstan. Nilai x untuk satu dimensi adalah x ≥ _{k k k} 19 , untuk

  T

  dua dimensi x ≥ _{k k} 22 , dan untuk tiga dimensi adalah x ≥ 25 . v

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

CALCULATION OF THE RATIO VALUE LOWER LIMIT BETWEEN

DEBYE AND CRYSTAL TEMPERATURES NUMERICALLY FOR

DETERMINING THE TEMPERATURE EFFECT ON THE CRYSTAL

SPECIFIC HEAT

ABSTRACT

  The calculations of the ratio value lower limit between Debye temperature and crystal temperature which is used on the calculation of the Debye heat specific for one, two, and three dimension(s) have been performed numerically by using

  

Mathematica 5.0 package program. The numerical results show that the values of the

  θ _D θ _D integral I for < x are depend on the temperature (T), meanwhile for ≥ x the _{k k}

  T T

  values of the I are constants. The values of the x are x ≥ _{k k k k} 19 , x ≥ 22 , and x ≥

  25 corresponding to one, two, and three dimension (s) respectively. vi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Yesus Kristus atas segala kasih dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini berjudul : ”PERHITUNGAN BATAS TERENDAH NILAI

PERBANDINGAN ANTARA SUHU DEBYE DAN SUHU KRISTAL SECARA

  

NUMERIK UNTUK MENENTUKAN PENGARUH SUHU TERHADAP

PANAS JENIS KRISTAL”, yang diajukan sebagai salah satu syarat untuk

  memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Fisika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

  Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis baik berupa waktu, tenaga, bimbingan, dorongan, dan sumbang saran yang penulis butuhkan dalam penyelesaian skripsi ini. Pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

  1. Bapak Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah banyak meluangkan waktu untuk membimbing, mendampingi, memberikan dorongan dan semangat dalam pengerjaan tugas akhir ini.

  2. Ayah dan Ibuku tercinta yang tanpa henti memberikan dukungan, dorongan, doa, dan kasihnya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. vii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  3. Kakakku tercinta mas Robert yang selalu memberikan semangat dan doanya pada waktu penulis mengerjakan skripsi ini.

  4. Erig yang selama ini selalu menemaniku, memberikan dorongan, semangat dan doanya pada waktu pengerjaan tugas akhir ini.

  5. Adik sepupuku Wahyu dan Angga yang senantiasa memberikan dukungannya.

  6. Mbak Asti dan mas Anto yang selama ini telah memberikan dukungannya.

  7. Temen-teman kosku terutama Chika, Jule dan Anis yang selalu memberikan semangat dan menjadi sahabat yang baik bagiku serta menemaniku mengerjakan skripsi.

  8. Temen-teman fisika yang selama bertahun-tahun selalu berjuang bersamaku.

  9. Dr. Edi Santosa, M.S. selaku dosen pendamping akademik yang sudah banyak memberikan pendampingan selama menjadi mahasiswa.

  10. Seluruh Staff Pengajar Jurusan Fisika yang telah memberikan pengajaran dan pendampingan.

  11. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu demi satu. Terimakasih atas segala bantuannya. viii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Penulis menyadari bahwa dalam penulisan ini masih banyak kekurangan, oleh karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang sangat membangun dari berbagai pihak.

  Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi dunia pendidikan dan khususnya pembaca.

  Yogyakarta, Juni 2007 Penulis ix

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  x

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR ISI

  HALAMAN JUDUL……………………….............................................. i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING………………………..... ii HALAMAN PENGESAHAN .………………………………………….. iii HALAMAN MOTO PERSEMBAHAN …………......…………………. iv ABSTRAK ………………………………………………………………. v ABSTRACT …………………………………………………………….. vi KATA PENGANTAR …………………………………………………... vii PERNYATAAN KEASLIAN KARYA…………………………………. x DAFTAR ISI ……………………………………………………………. xi DAFTAR GAMBAR …………………………………………………… xiv BAB I. PENDAHULUAN……………………………………………….

  1 1.1. Latar Belakang ………………………………………………….

  1 1.2. Perumusan Masalah …………………………………………….

  4 1.3. Batasan Masalah ………………………………………………..

  5

  1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian …………………………………

  5 1.4.1. Tujuan Penelitian ………………………………………...

  5 1.4.2. Manfaat Penelitian ……………………………………….

  6 1.5. Sistematika Penulisan …………………………………………...

  6 BAB II. DASAR TEORI ………………………………………………...

  7 xi

  2.1. Panas Jenis Zat Padat ……………………………………………

  26

  18

  20

  23

  24

  24

  24

  24

  26

  16

  26

  27

  28

  29

  33

  33

  34 xii

  17

  13

  2.2. Panas Jenis Menurut Teori Klasik ……………………………… 2.3. Panas Jenis Menurut Teori Einstein …………………………….

  3.2. Sarana Penelitian ………………………………………………..

  2.4. Panas Jenis Menurut Teori Debye……………………………….

  2.4.1. Panas Jenis Zat Padat Dalam Satu Dimensi ……………...

  2.4.2. Panas Jenis Zat Padat Dalam Dua Dimensi ......................

  2.4.3. Panas Jenis Zat Padat Dalam Tiga Dimensi ….………….

  2.5. Integrasi Numerik Dengan Menggunakan Mathemetica 5.0…….

  BAB III. METODOLOGI PENELITIAN ……………………………….

  3.1. Jenis Penelitian ………………………………………………….

  3.3. Langkah-Langkah Penelitian …………………………………… BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ……………………………….

  9

  4.1. Hasil Integrasi Numerik ………………………………………… 4.1.1. Panas Jenis Zat Padat Satu dimensi ……………………...

  4.1.2. Panas Jenis Zat Padat Dua Dimensi ...................................

  4.1.3. Panas Jenis Zat Padat Tiga Dimensi ……………………..

  4.2. Pembahasan ……………………………………………………..

  BAB V. PENUTUP ……………………………………………………...

  5.1. Kesimpulan ……………………………………………………...

  5.2. Saran …………………………………………………………….

  7

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………

  35 LAMPIRAN A LAMPIRAN B LAMPIRAN C xiii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

DAFTAR GAMBAR

  Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 4.1 Gambar 4.2 Gambar 4.3 Gambar 4.4

  Panas jenis Cu pada volume tetap sebagai fungsi T Panas Jenis Cu pada volume tetap dengan

  K _E 240 =

  θ Grafik I sebagai fungsi x untuk kristal satu dimensi Grafik I sebagai fungsi x untuk kristal dua dimensi Grafik I sebagai fungsi x untuk kristal tiga dimensi Gabungan grafik satu dimensi, dua dimensi dan tiga dimensi

  1

  3

  27

  28

  29

  32 xiv

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

  Dalam fisika diketahui ada tiga model atau teori mengenai panas jenis suatu zat padat, yaitu teori Klasik, teori Einstein dan teori Debye. Menurut teori Klasik nilai panas jenis suatu zat padat pada volume tetap c tidak bergantung

  ( ) v

  pada suhu ( T ) . Dengan kata lain, panas jenis suatu zat pada volume tetap menurut teori Klasik adalah

  c = _v

  3 R (1.1) ₃ R = 8 . 31 ×

  10 dengan R tetapan gas umum ( J / kmol K = 1.99 kcal / kmol K). Berdasarkan hasil eksperimen, nilai panas jenis suatu zat pada volume tetap bergantung pada suhu atau secara matematis dapat dituliskan

  c ≡ c T . (1.2) _{v v ( )}

  Sebagai contoh, panas jenis Cu berdasarkan hasil eksperimen (Omar, 1975) diperlihatkan pada Gambar 1.1

  6

5 K

  l,

  4 o

  

Cu: =2 40 K

E

m g

  3 l/ a c

  2 v C

  1 T, K 100 300 200

Gambar 1.1 Panas jenis Cu pada volume tetap sebagai fungsi T

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Dari gambar 1.1 terlihat bahwa nilai c pada suhu tinggi mendekati _v

  3 R (sesuai dengan teori Klasik), tetapi pada suhu rendah nilai c sangat bergantung _v pada T .

  Untuk mengatasi kelemahan teori Klasik tersebut, Einstein merumuskan teori panas jenis pada volume tetap dengan menganggap (mengandaikan) bahwa zat padat tersusun dari atom-atom yang bergetar secara bebas (independen) disekitar titik kesetimbangannya satu dengan yang lainnya. Dengan asumsi tersebut, Einstein memperoleh energi rata-rata sebesar (Omar, 1975) :

  ∞ _{E / kT}

−

_n E e _{n n} ∑

  = E = (1.3)

  ∞ _{E / kT}

−

_n

e _{n =} ∑

  1 ⎞ h dengan E = ⎛ + n h ω ( h tetapan Planck tereduksi, h = dan ω frekuensi _{n ⎜ ⎟ E E}

  2 2 π ⎝ ⎠ getar), sehingga (Sears dan Salinger, 1975) ₂

  θ / T _E ∂ E θ e ⎛ E ⎞ c = = _v

  3 R ⎜ ⎟ . (1.4) ₂ θ / T _E

  ∂ T T ⎝ ⎠ e −

  1 ( ) c

  3 Pada suhu tinggi nilai menurut teori Einstein mendekati nilai R (sesuai teori _v Klasik) dan pada suhu rendah (Omar, 1975) ₂

  θ

  ⎛ E ⎞ − θ / T _E c = _{v ⎜ ⎟}

3 R e (1.5)

  T ⎝ ⎠ dengan θ suhu Einstein. _E

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  kontinum elastis Debye diberikan oleh (Omar, 1975)

  untuk kontinum elastik volume V diberikan oleh

  g

  h adalah energi rata-rata atom kristal. Rapat modus ( ) ω

  h

  ω

  e E ω

  − 1 ^/ = _kT

  adalah rapat modus, dan

  g

  ω

  ( )

  dengan

  = , (1.6)

  ( ) ( ) ω ω ω d g E E ∫

  ω ω

  6

  T, K

  5

  4

  2

  1 100 300 3 200

  

Cu:

E

  =2 40 K C v c a l/ g m o l, K

Gambar 1.2 Panas jenis Cu pada volume tetap dengan

  Kelemahan teori Einstein tersebut diperbaiki oleh Debye, yang mengasumsikan bahwa kisi kristal itu adalah suatu kontinum elastik dengan volume V (Suwitra, 1989). Suatu kontinum elastik akan memiliki distribusi frekuensi yang kontinu pada interval frekuensi ω sampai

  240 = _E

  θ K Jika dibandingkan nilai menurut teori Einstein terhadap hasil eksperimen untuk Cu dengan ^v

  c

240

= _E

  θ K maka terlihat bahwa nilai berdasarkan perhitungannya teori Einstein untuk ^v

  c T 200 <<

  K kurang sesuai dengan hasil eksperimen (Gambar 1.2).

• d . Tenaga

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  3 ² L ω g (1.7)

  ( ) ω =

₂

₃

  2 v π _s

  ω frekuensi kontinum elastik, dan v dengan L panjang rusuk volume V, _s kecepatan gelombang. Sehingga persamaan (1.6) dapat dituliskan menjadi

  

ω

_{D 3}

3 V h ω

  ω

  E = d . (1.8) _{2 3 h ω / kT} ∫

  π

  2 v e − _s

  1

  h h ω k θ ω _{D D}

  Jika didefenisikan x = , x , dan k θ = h ω atau ω ( θ _{D D D D D} = =

  kT kT h

  adalah suhu Debye), maka panas jenis pada volume tetap diberikan oleh ∂ E

  c = _v

  ∂ T _{3 x D 4 x}

  

⎛ ⎞

T x e

  9 . (1.9) = R dx ₂

⎜⎜ ⎟⎟

∫ x

  θ _{D x}

  ⎝ ⎠ = e −

  1 ( )

1.2. Perumusan Masalah

  Dari persamaan (1.9) terlihat bahwa nilai integral _{x D 4 x}

  x e I = dx (1.10) _{2 x} ∫ x = e −

  1

  ( )

₄

  π

  4

  untuk suhu rendah T << θ adalah (suatu konstanta). Secara umum hasil

  ( ) _D

  

15

  integral persamaan (1.10) masih merupakan fungsi θ dan T atau _D

  I ≡ I θ T ( , ) . (1.11) _D

  θ _D Yang menjadi permasalahan adalah berapa batas terendah nilai agar hasil

  T T <<

  integral persamaan (1.10) untuk suhu rendah ( θ ) terpenuhi. _D

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  T ^D

  θ dan . T

  Penelitian ini bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan khususnya pengetahuan terhadap panas jenis pada panjang tetap, luas tetap dan volume tetap dan kaitannya dengan suhu Debye _D

  1.4.2. Manfaat Penelitian

  c

  θ terhadap panas jenis suatu zat pada panjang tetap, luas tetap dan volume tetap ( ) . _v

  T ^D

  2. Mengetahui implikasi batas terendah nilai

  θ agar hasil integral pada persamaan (1.10) untuk suhu rendah terpenuhi.

  1.3. Batasan Masalah

  Masalah yang diteliti dalam penelitian ini dibatasi pada masalah

  Tujuan dari penelitian ini adalah untuk:

  1.4.1. Tujuan Penelitian

  1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian

  θ terhadap panas jenis Debye pada panjang tetap, luas tetap dan volume tetap.

  T ^D

  2. Implikasi batas terendah nilai

  θ agar hasil integral persamaan (1.9) untuk suhu rendah terpenuhi.

  T ^D

  1. Penentuan batas terendah nilai

  1. Menentukan batas terendah nilai

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

1.5. Sistematika Penulisan

  Sistematika penulisan penelitian ini adalah sebagai berikut:

  BAB I. PENDAHULUAN Pada Bab I dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II. DASAR TEORI Dalam Bab II dijabarkan teori panas jenis zat padat menurut teori Klasik, Einstein, dan Debye. BAB III. METODOLOGI PENELITIAN Pada Bab III akan dijelaskan tentang jenis penelitian, sarana penelitian dan langkah-langkah penelitian. BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada Bab IV akan ditampilkan hasil penelitian secara numerik serta pembahasannya

  BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN Pada Bab V disajikan kesimpulan dan saran.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II DASAR TEORI

2.1. Panas Jenis Zat Padat

  Zat padat terbentuk dari atom-atom (berupa ion atau atom netral) atau molekul yang sangat tersusun dengan posisi sangat berdekatan. Energi zat padat dapat dikelompokkan menjadi dua kelompok, yaitu energi termal dan energi lain. Energi lain dapat berasal dari energi kinetik, energi potensial listrik, energi potensial magnetik energi rotasi, energi potensial gravitasi, dll. Perubahan energi termal tiap satu satuan perubahan suhu disebut kapasitas panas C (Suwitra, 1989)

  ∂ E

  C = . (2.1)

  ∂ T Selain konsep kapasitas panas, dikenal juga konsep panas jenis yang didefenisikan sebagai jumlah kalor atau energi yang diperlukan oleh satu mol zat untuk menaikkan suhunya sebesar 1K. Secara matematis, panas jenis dituliskan sebagai

  1 ∂ E

  c =

  (2.2)

  m ∂ T

  dengan c panas jenis ( satuan J / kmol atau kcal / kmol K) dan m adalah besarnya massa satu mol zat. Jika suatu sistem bekerja pada volume tetap, maka panas jenis itu disebut panas jenis pada volume tetap ( c ), secara matematis dituliskan _v 1 ∂ E

  ⎛ ⎞

  c =

  (2.3) _v ⎜ ⎟

  m ∂ T

  ⎝ ⎠ v Menurut hukum I termodinamika, jika sejumlah kalor dQ diberikan kepada suatu sistem, maka kalor/energi tersebut dapat digunakan oleh sistem

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  untuk mengubah energi dalamnya ( ) dU dan untuk melakukan sejumlah kerja . Hukum termodinamika tersebut dapat dituliskan sebagai (Nainggolan,

  ( dW )

  1978)

• dQ = dU dW (2.4)

  V T

  Energi dalam sistem ditentukan oleh volume ( ) dan suhu sistem ( ) sehingga (Sears dan Salinger, 1975)

  U U

  ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞

• dU = dT dV (2.5) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  T

  ∂ ∂

  V

  ⎝ ⎠ v ⎝ ⎠ T Jika persamaan (2.5) disubstitusikan ke persamaan (2.4) maka diperoleh

  ∂ U ∂ U ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

• dQ = dT dV dW ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  ∂ T ∂ _{v T}

  V

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.6) Mengingat dW = p dV , persamaan (2.6) dapat dituliskan kembali dalam bentuk

  U ⎧ U ⎫ ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞

• dQ = dT p dV . (2.7) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎨ ⎬ ∂ T ∂

  V ⎝ ⎠ v ⎝ ⎠ T ⎩ ⎭

  Maka kapasitas panas C pada volume tetap dV = diberikan oleh

  ( ) ( )

  ∂ Q U ⎛ ⎞ ⎛ ∂ ⎞

  C = = . (2.8) _v ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  ∂ T ∂ T ⎝ ⎠ v ⎝ ⎠ v

  Selain konsep kapasitas panas, dikenal juga konsep panas jenis c yang

  ( ) _v

  didefenisikan sebagai jumlah kalor atau energi yang diperlukan oleh satu mol zat untuk menaikkan suhunya sebesar 1K. Secara matematis panas jenis c pada

  ( v )

  volume tetap dituliskan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Q

  1 ∂ 1 ∂ U ⎛ ⎞

  c = = (2.9) _v ⎜ ⎟ m ∂ T m ∂ T

  ⎝ ⎠ v Selanjutnya panas jenis zat padat ditinjau menurut tiga teori, yaitu teori Klasik, teori Einstein, dan teori Debye.

2.2. Panas Jenis Menurut Teori Klasik

  Menurut teori klasik dengan menggunakan teori kinetik gas, jika suatu kotak yang mempunyai volume V diisi N molekul gas dengan masing-masing molekul memiliki massa m dan bergerak dengan kecepatan v (searah sumbu x), _x maka akan terjadi tumbukan antara molekul dengan luasan (A) dinding kotak sehingga perubahan momentum sebelum dan sesudah terjadinya tumbukan adalah 2 m v . _x

• v v dv Besarnya perubahan momentum dalam interval sampai _{x x x} diberikan oleh (Bradbury, 1984)

  Δ p = _{x x x} 2 m A x dn ( v ) v (2.10)

  dn ( v )

  dengan x adalah panjang lintasan, dan adalah jumlah molekul tiap satu _x

  v

  satuan volume sebagai fungsi . Perubahan momentum tersebut terjadi dalam _x interval waktu

  x t

  Δ = . (2.11)

  v _x

  Perubahan gaya yang dihasilkan dalam luasan A akibat terjadinya tumbukan adalah

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Δ p _{x 2}

  dF = =

  2 mA v dn v . (2.12)

_{x x x}

( ) Δ t sehingga

  ∞

₂

F = _{x x x}

2 A m v dn ( v ) . (2.13)

  ₂ ∫

  Nilai diberikan oleh (Bradbury, 1984)

  v _x

• ∞ ∞
_{2 2} v dn ( ) v

_{x x x x}

2 v dn ( ) v ₂ ∫ ∫

  − ∞ v = = . (2.14) ^x ∞

• N /

  V dn v ( ) _x

  ∫ − ∞

  Jika persamaan (2.13) dan (2.14) digabungkan, maka akan diperoleh ₂ F m N v _{x x} P = = (2.15)

  A

  V

  dengan P adalah tekanan. Persamaan (2.15) dapat dituliskan dalam bentuk

  2

  1 ⎛ ^{2 ⎞}

  PV = N m v , (2.16)

  ⎜ ⎟

  3

  2 _{2 2 2 2 2 2} ⎝ ⎠ ₂ sebab = = dan = . Dengan demikian energi kinetik

  v v v v v v v _{x y z x y z}

  molekul gas dapat dituliskan menjadi

  1 ₂

  3

  m v = k T . (2.17)

  2

  2 Pada persamaan (2.17) digunakan relasi P

  V = N k T (Martin, 1986)

  Selain memiliki energi kinetik, molekul-molekul gas tersebut juga memiliki energi potensial. Dari persamaan (2.11) dan (2.12) diperoleh relasi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  v Δ p _{x x} dF = _x x

  atau

  x dF = Δ v Δ p _{x x x} (2.18)

  Besarnya gaya dalam luasan A adalah

  x

  Δ t dF = _{x ( )} 2 m A x dn ( x ) (2.19) Δ t

  Persamaan (2.19) dapat dituliskan menjadi ₂

  x

  Δ t dF = _x 2 m A dn ( ) x . (2.20) _{2 2} ( Δ t ) Meningat nilai x adalah

  ∞ ₂

( )

x dn x ₂ ∫

  − ∞

  (2.21)

  x = ∞ dn ( x )

  ∫ − ∞

  sehingga dari persamaan (2.20) diperoleh

  ∞ ∞ ₂ ⎛ ⎞

  1 2 ( ) Δ t dF Δ t x dn x x

  ⎜⎜ ∫ ⎟⎟ ₂ ∫ m A ⎝ ⎠ x = = . (2.22) N

  V N

  V Dari persamaan (2.15) diperoleh dF _x dP = . (2.23) A

  Jika ruas kiri dan kanan persamaan (2.23) dikalikan x Δ , maka diperoleh

  A Δ x dP = dF Δ x _x A Δ x dP = dF Δ t v _{x x}

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  1

  

x

  V N t N v A m kT _A

^x

  Δ = atau ₂

  2

  1

  2

  x N t

  x

V t

N v A m N kT _A ^x

  V N v A m T k

_A

^x

  Δ = (2.25)

  Jika c

  N t

  V N v A m _{A x}

  = Δ

  , maka persamaan (2.25) menjadi

  Δ = ₂

  atau _{x x}

  dF t v dP

  

V N

t dF t A m x ^x

  V ∫

  Δ =

  (2.24) Jika persamaan (2.24) diintegralkan, maka dihasilkan

  ∫ ∞

  Δ = _{x x} dF t v

  V P

  Jika dimasukkan ke dalam persamaan (2.22)

  Δ ⎟⎟ ⎠ ⎞

  N v A m PV

^x

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

Δ

  =

∫

  

∞

₂

  1 t

  

V N

PV v

mA ^x

  Δ =

/

/

  1 ₂ x V t

  Δ = ₂

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  1

  1 ₂

  k T = c x (2.26)

  2

  2

  1 sehingga besarnya energi potensial adalah adalah k T .

  2 Dengan demikian besarnya panas jenis c (satu dimensi) menurut teori klasik _v ditinjau dari teori kinetik gas adalah sebesar (Omar, 1975)

  c = N k _{v A} c = . R (2.27) _v

  Untuk panas jenis ( c ) tiga dimensi c = _{v v}

  3 R Berdasarkan hasil eksperimen (Gambar 1.1) panas jenis zat padat bergantung pada suhu T khususnya pada suhu rendah. Pada suhu tinggi c _v mendekati 3R. Oleh sebab itu teori panas jenis klasik masih memiliki kelemahan karena tidak dapat menjelaskan kebergantungan c terhadap T. _v

2.3. Panas Jenis Menurut Teori Einstein

  Menurut teori panas jenis Einstein osilasi zat padat mengikuti statistik Bose-Einstein (Suwitra, 1989). Einstein juga mengajukan asumsi bahwa semua fonon (osilator) memiliki frekuensi yang sama. Tiap atom berprilaku sebagai tiga osilator harmonis yang independen. Menurut mekanika kuantum, tenaga osilator harmonik diberikan oleh (Alonso dan Finn, 1968)

  1 ⎞

  

E = n ⎛ + h ω , n ,

1 , 2 , 3 ,... (2.28) _n ⎜ ⎟ =

  2 ⎝ ⎠

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  = ^{2 1} _n ⁿ

  β β

  ∂ )

  ∂

− =

∂ ∂

  − =

  (2.32) Jika persamaan (2.28) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.30) maka diperoleh

  ∑ ∞ =

  ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎝ ⎛ + −

  Z e ωβ h

  E ln

  ∑ ∞ =

  − −

  = ^{2 /} _n ⁿ

  e e ωβ ωβ h h

  ( ) ......

  1

  3

  2 2 /

  − − − − ωβ ωβ ωβ ωβ h h h h e e e e (2.33)

  1

  ( Z Z Z

  dengan ω frekuensi osilator harmonik, π

  1 = β , maka persamaan (2.29) dapat dituliskan

  2

  

h

  = h . Tenaga rata-rata osilator harmonik diberikan oleh (Omar, 1975)

  ∑ ∑ ∞ =

  − ∞ = −

  = _/ ^/ _{n E kT} ^{n E kT n} _n ⁿ

  e E e E

  (2.29) Jika dituliskan

  kT

  ∑ ∑ ∞ =

  (2.31) yang dikenal sebagai fungsi partisi (Mandl, 1988). Dengan demikian, maka tenaga rata-rata pada persamaan (2.30) menjadi

  − ∞ = −

  = _{n E} ^{n E n} _n ⁿ

  e E e E

  

β

β

  (2.30) Untuk memudahkan perhitungan persamaan (2.30) digunakan substitusi

  ∑ ∞ =

  −

  = _n ^{E n}

  Z e β

• =

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  h − ωβ

  Jika h ωβ e <<

  1

  > , maka , sehingga bentuk deret pada persamaan (2.32)

  dapat dituliskan menjadi

  1

  h ωβ ωβ ^{2 h 3 h ωβ} − − −

  1 e e e ... = + + + +

  h ωβ −

  1 − e Dengan demikian fungsi partisi dapat dituliskan menjadi

  h ωβ /

²

− e Z = (2.34)

  − h ωβ

  1 e −

  Dengan substitusi persamaan (2.34) ke dalam persamaan (2.32) diperoleh tenaga rata-rata osilator harmonik satu dimensi sebesar

  ∂ E = − ( ln Z )

  β

  ∂

  ∂

  1 ⎛ h ωβ ⎞

  = − − h − ln 1 − e ⎜ ωβ ⎟

  ( )

  ∂ β

  2 ⎝ ⎠

  ⎛ ⎞

  1

  1 = + h ω

  (2.35)

  h ωβ ⎜⎜ ⎟⎟

  2 e −

  1 ⎝ ⎠

  Jika ditinjau osilator tiga dimensi dan ada sejumlah N osilator, maka tenaga total osilator harmonik sebesar

  1

  1 ⎛ ⎞

  3 N E =

  h ω kT /

  3 N h ω (2.36) + E = ⎜ ⎟

  2

  1

  e −

  ⎝ ⎠ Kalau ada satu mol zat (kristal), maka = (bilangan Avogadro). Dengan

  N N _A c

  demikian panas jenis diberikan oleh _v ∂ E

  ⎛ ⎞

  c = _{v ⎜ ⎟}

  ∂ T ⎝ ⎠

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  2 h ω / kT

  h ω e

  ⎛ ⎞ =

  3 N k _A ⎜ ⎟ ₂

  h ω / kT kT

  ⎝ ⎠

  e −

  1 ₂ ( ) _{/ kT}

  θ _E

  θ e ⎛ E ⎞

  =

  3 R (2.37) ⎜ ⎟ ₂

  θ / kT _E T

  ⎝ ⎠

  e −

  1

  ( )

  h ω

  ⎛ ⎞ dengan = dan = yang dikenal sebagai suhu Einstein.

  R N k θ ⎜ ⎟ _{A E} k

  ⎝ ⎠ Untuk mengetahui daya prediksi panas jenis Einstein tersebut, ditinjau dua keadaan ekstrim yaitu pada suhu rendah dan suhu tinggi. Pada suhu tinggi

  θ θ ^{E θ E E / T} +

  T >> θ atau 1 sehingga e . Jadi panas jenis Einstain pada _E << ≈1 T T

  suhu tinggi dapat dituliskan _{2 3} θ θ θ

  ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 ...

+ + +

• ^{2 E E E} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  T T T

  θ

  ⎛ E ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ c = _v

3 R ⎜ ⎟

  _{2 3 2} T ⎝ ⎠ ⎛ ⎞

  θ θ θ _{E E E}

  ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

• ...

  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ T T T

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  θ _E ⎞ ≈

3 R ⎛ +

  1 ⎜ ⎟ T

  ⎝ ⎠ c ≈ _v

  3 R (2.38) θ / T / T _{E θ θ E E}

  <<

  Pada suhu rendah T θ atau >> _E

  1 , sehingga e >>

  1 . Jika e >> 1 ,

  T θ / T θ / T _{E E}

  maka faktor e − 1 ≈ e . Jadi panas jenis Einstein pada suhu rendah dapat dituliskan ₂ θ

  ⎛ ⎞ − / T _{E θ E} c

  3 R e (2.39) _v = ⎜ ⎟ T

  ⎝ ⎠

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Model panas jenis Einstein hanya cocok untuk suhu tinggi, sedangkan pada suhu rendah kurang sesuai.

2.4. Panas Jenis Menurut Teori Debye

  Debye mengembangkan suatu model dengan mengasumsikan bahwa kisi kristal itu adalah suatu kontinum elastik dengan volume V (Suwitra, 1989). Pada model Debye, suatu kontinum elastik akan memiliki distribusi frekuensi yang

  ω sampai ω ω

• kontinu pada interval frekuensi d , dan tenaga total diberikan oleh

  ω D E = g ω E ω d ω (2.40)

  

( ) ( )

∫

  ω ω adalah frekuensi Debye. Rapat modus dengan g ( ) adalah rapat modus dan _D didefenisikan

  dN g ( ) ω = (2.41) d

  ω dengan N adalah jumlah modus.

2.4.1. Panas jenis zat padat dalam satu dimensi

  Jumlah modus fonon untuk satu dimensi adalah

  L N = (2.42)

  λ

  2 π dengan λ adalah panjang gelombang. Mengingat = , persamaan (2.42)

  λ

  k λ

  dapat dituliskan menjadi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  ω h =

  ∫ h

  h ω

  ω π

  ω ω d e v

  L E ^D _{kT s} ∫

  

−

= _/

  

1

  2 h h

  (2.47) Jika didefenisikan

  kT x

  ,

  E g _kT ^D

  kT

x

^D

_D

  ω h

  =

  , dan _{D D}

  k

  ω θ h = atau

  ^D h ^D k θ

  ω = ( _D θ adalah suhu Debye), maka panas jenis zat padat satu dimensi diberikan oleh ^L

  c T E c _L

  ∂ ∂

  =

  − 1 ^/ =

  λ