Sampling penerimaan sekuensial dalam pengendalian mutu statistis - USD Repository

  

SAMPLING PENERIMAAN SEKUENSIAL

DALAM PENGENDALIAN MUTU STATISTIS

SKRIPSI

  Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

  Program Studi Matematika

  

Disusun Oleh :

Lidya Yulinda Mekar Sartika

NIM : 033114015

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

  

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

SEQUENTIAL ACCEPTANCE SAMPLING

  

IN STATISTICAL QUALITY CONTROL

THESIS

  Presented as Partial Fulfillment of The Requirements to Obtain The Sarjana Sains Degree in Mathematics

  by :

Lidya Yulinda Mekar Sartika

Student Number : 033114015

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

  

SAMPLING PENERIMAAN SEKUENSIAL

DALAM PENGENDALIAN MUTU STATISTIS

  

SAMPLING PENERIMAAN SEKUENSIAL

DALAM PENGENDALIAN MUTU STATISTIS

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

  Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

  Yogyakarta, September 2008 Penulis

  Lidya Yulinda Mekar. S

  

”Orang terkuat bukan mereka yang selalu menang...

  

MELAINKAN

mereka yang tetap tegar ketika mereka jatuh...

  

Entah bagaimana...

dalam perjalanan kehidupan,

kamu belajar tentang dirimu sendiri...

dan menyadari…

bahwa penyesalan tidak seharusnya ada

  

HANYALAH penghargaan abadi

atas pilihan-pilihan kehidupan yang kamu buat...”

bintang malam katakan padanya., aku ingin melukis sinarmu dihatinya... embun pagi sampaikan padanya... biar kudekap erat, waktu dingin membelenggunya....

  Semua apapun yang terbaik kupersembahkan, Hanya untukmu..... Tuhan Jesus , sumber kekuatanku Ayah-Bundaku tercinta , inspirasiku Bintang & InNye , adekku tersayang NdutQuw , kisah lamaku yang kembali Sang maLaikat Almamaterku

  

ABSTRAK

  Perencanaan sampling sekuensial adalah salah satu metode sampling penerimaan yang merupakan perluasan dari sampling tunggal, rangkap dua dan berganda. Pembahasan sampling sekuensial didasarkan pada materi uji sekuensial. Hal ini disebabkan adanya kesamaan konsep indeks mutu yang meliputi AQL (Acceptable Quality Level), LTPD (Lot Tolerance Percent Defective), resiko produsen, dan resiko konsumen. Dalam sampling sekuensial, ada tiga keputusan yang bisa dibuat yaitu menolak kotak, menerima kotak, atau melanjutkan pemeriksaan dengan mengambil sampel lagi. Banyaknya pemeriksaan tergantung proses sampling sebelumnya sehingga nilainya dapat sampai tak terbatas. Sampling sekuensial dihentikan ketika diperoleh keputusan untuk menerima atau menolak kotak.

  Ada beberapa macam pengukuran yang dapat dilakukan untuk mengevaluasi kinerja sampel yang diambil, antara lain dengan kurva KO (Karakteristik Operasi curve), kurva AOQ (Average Outgoing Curve), kurva ATI (Average Total Inspection Curve), dan kurva ASN (Average Sample Number Curve).

  

ABSTRACT

  Sequential sampling plan is a one of acceptance sampling method that is developep from single, double and multiple sampling. Sequential sampling discussion is based on sequential test sample. It is because there are similar quality index concept that be used, that is AQL (Acceptable Quality Level), LTPD (Lot Tolerance Percent Defective), producer risk, and consumer risk. The sequential sampling has three possible decisions about the lot, that rejected, accepted, or continuing inspection by taking some additional samples. The number of inspection depends on the sampling process before, so that the value can be unlimited. Sequential sampling is ended when we have decision whether accept or reject the lot.

  There are some kind of measurements that can be applied to evaluate the sample process, that is Characteristic Operation Curve, Average Outgoing Curve,

  Average Total Inspection Curve, and Average Sample Number Curve.

KATA PENGANTAR

  Puji dan syukur kepada Tuhan Yesus di Surga, karena berkat dan cinta yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

  Dalam penulisan skripsi ini, penulis banyak menemui hambatan dan kesulitan. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

  1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Si, selaku dosen pembimbing skripsi yang telah meluangkan waktu, pikiran, dan sabar dalam membimbing penulis selama penyusunan skripsi ini meskipun penulis sering terlambat dari jadwal bimbingan.

  2. Romo Ir.Greg. Heliarjo S.J, S.S., B.S.T., M.Sc., M.A, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.

  3. Ibu Lusia Krismiyati, S.Si, M.Si, selaku Ketua Program Studi Matematika yang telah banyak membantu dan memberi saran.

  4. Ibu Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing akademik yang selalu sabar dan memberi semangat penulis selama kuliah di USD.

  5. Bapak dan Ibu Dosen Fakultas Sains dan Teknologi yang telah memberikan bekal ilmu yang sangat berguna bagi penulis.

  6. Bapak Tukijo dan Ibu Linda yang telah memberikan pelayanan administrasi selama penulis kuliah.

  7. Perpustakaan USD dan staf yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan kepada penulis.

  8. Kedua orang tuaku tersayang, Bintang, Inem adikku atas cinta dan kesetiaannya mendengarkan keluh kesahku.

  9. Mbah Wongso Kakung dan Putri yang puasa senen kemis hanya untuk keberhasilanku dan Eyang Kakung dan Uti atas nasihat-nasihatnya.

  10. Special thank’s buat Wawan c’Kebo untuk kisah paling indah yang pernah kujalani dan semua inspirasi yang boleh kuterima.

  11. Kisah lamaku yang kembali ke kehidupanku lagi, Ndut’zQuw.

  12. Jo yang imut item manis di Solo dan Fanny di Aceh untuk persahabatan yang masih terjaga sampai sekarang.

  13. Teman-teman angkatan 2003: Dewi atas semangat, doa, dan kebersamaannya Valent yang selalu ceria dan setia menyemangati, Merry yang selalu menemaniku dan membuatku tersenyum, Koko yang dengan sabar mau membagi sedikit ilmunya, Djembat yang lutu bangedh, Anin yang bawel tapi nyenengin, , Eko atas semangat dan curhatnya, Septi yang selalu kompak menjalani dinamika di Matematika ini, dan Kamto sang kambing yang hilang.

  14. Anak-anak Banana Hum : Detong yang nggemesin, Etha yang selalu jadi tempat curhat, mba Purba yang manis dan cerewetz, mba Jeki atas saran yang bijaksana, Thiwul, Betty, Poe2t, Vitong yang pagi-pagi suka tereak2 bangunin semua orang, Ria, Dian, Tika, dan mba Ci2l atas kekompakannya. Hidup Banana Hum!!!!!!!!! 15. Mas Banny atas semangat dan pinjaman buku-bukunya.

  16. Romo Handy yang selalu mendoakan dan membuat tertawa dengan ngapaknya.

  17. Romo Wignyo di Purworejo atas semangat dan kebijaksanaannya.

  18. Teman-teman KKNku : Don2, Mel, om Ubur-ubur, Suki, Silih, Feri, Ambar, dan Kartika untuk persahabatan, kekompakan, dan semangatnya. I miss U, all!!!

  19. Teman-teman di Purwokerto : Irma, Dwijo, Manda, bule Tia, mba Ana, mba Anin, dan Mudika Gereja Katedral Kristus Raja.

  Penulis juga tidak lupa mengucapkan terima kasih kepada pihak yang membantu penulis dalam penulisan skripsi ini yang tidak bisa disebutkan satu per satu disini. Tiada yang sempurna, demikian juga skripsi ini. Masukan dan kritikan yang membangun untuk kesempurnaan skripsi ini menjadi kehormatan bagi penulis.

  Yogyakarta, September 2008 Penulis

  

DAFTAR ISI

  Halaman HALAMAN JUDUL .................................................................................... i HALAMAN JUDUL ( INGGRIS ) .............................................................. ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING............................................ iii HALAMAN PENGESAHAN ....................................................................... iv HALAMAN KEASLIAN KARYA ................................................................ v HALAMAN PERSEMBAHAN ..................................................................... vi ABSTRAK ...................................................................................................... vii ABSTRACT ....................................................................................................viii KATA PENGANTAR .................................................................................... ix DAFTAR ISI ................................................................................................... xii DAFTAR TABEL ........................................................................................... xv DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xvi LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN .............................................. xviii

  BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah ..................................................................... 1 B. Perumusan Masalah ............................................................................ 3 C. Pembatasan Masalah ........................................................................... 3 D. Tujuan Penulisan ................................................................................. 4 E. Metode Penulisan ................................................................................ 4 F. Manfaat Penulisan ............................................................................... 4

  G. Sistematika Penulisan ........................................................................... 4

  BAB II. KONSEP-KONSEP DASAR STATISTIKA DAN SAMPLING PENERIMAAN A. Konsep-konsep Dasar Statistika

  1. Variabel Random dan Distribusi Probabilitas ............................ 6

  2. Distribusi Binomial ...................................................................... 10

  3. Populasi dan Sampel ................................................................... 14

  4. Distribusi Sampling Proporsi ...................................................... 17

  5. Uji Hipotesis ................................................................................ 20

  6. Uji Mengenai Proporsi ................................................................. 23

  B. Sampling Penerimaan ............................................................................ 26

  1. Perbaikan Pemeriksaan ................................................................. 29

  2. Indeks Mutu untuk Sampling Penerimaan .................................... 31

  3. Sampling Tunggal ......................................................................... 34

  4. Sampling Rangkap Dua ................................................................. 37

  5. Sampling Berganda ....................................................................... 42

  BAB III. SAMPLING SEKUENSIAL A. Konsep Sampling Sekuensial ................................................................. 46

  1. Uji Sekuensial ............................................................................... 47

  2. Uji Hipotesis dan Statistik Uji ...................................................... 48

  3. Kriteria Uji .................................................................................... 51

  4. Hubungan antara , , A dan B..................................................... 52 α β

  B. Sampling Sekuensial untuk Penerimaan dan Penolakan ........................ 59

  1. Hubungan antara , , R , dan R ............................................... 60 α β _{p c}

  2. Hubungan antara p , , AQL, dan LTPD..................................... 61

  p ₁

  3. Kriteria Pengambilan Keputusan.................................................... 63

  C. Fungsi Karakteristik Operasi (KO).......................................................... 72

  D. Evaluasi Kinerja Perencanaan Sampling Sekuensial dengan Kurva Karakteristik Operasi (KO) Tertentu........................................................ 77

  E. Evaluasi Kinerja Perencanaan Sampling Sekuensial dengan Kurva Rata- Rata Ukuran Sampel (ASN) Tertentu ..................................................... 83

  F. Rata-Rata Mutu Keluaran (AOQ) ........................................................... 92

  G. Rata-Rata Pemeriksaan Total (ATI) ....................................................... 98

  BAB IV. APLIKASI PERENCANAAN SAMPLING PENERIMAAN

  1. Perencanaan Sampling Tunggal .......................................................... 106

  2. Perencanaan Sampling Rangkap Dua ................................................. 109

  3. Perencanaan Sampling Sekuensial ..................................................... 111

  BAB V. PENUTUP A. Kesimpulan ........................................................................................... 131 B. Saran ..................................................................................................... 132 DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 133 LAMPIRAN ...................................................................................................... 134

  

DAFTAR TABEL

  95 Tabel 3.7.1 .......................................................................................... 102

Tabel 4.3.7 .......................................................................................... 127Tabel 4.3.6 .......................................................................................... 124Tabel 4.3.5 .......................................................................................... 123Tabel 4.3.4 .......................................................................................... 121Tabel 4.3.3 .......................................................................................... 120Tabel 4.3.2 .......................................................................................... 116Tabel 4.3.1 .......................................................................................... 115Tabel 3.7.2 .......................................................................................... 103

  91 Tabel 3.6.1 ..........................................................................................

  Halaman Tabel 2.1.1 ........................................................................................

  88 Tabel 3.5.2 ..........................................................................................

  82 Tabel 3.5.1 ..........................................................................................

  77 Tabel 3.4.1 .........................................................................................

  70 Tabel 3.3.1 .........................................................................................

  67 Tabel 3.2.2 .........................................................................................

  42 Tabel 3.2.1 ........................................................................................

  34 Tabel 2.2.2 ........................................................................................

  22 Tabel 2.2.1 ........................................................................................

Tabel 4.3.8 .......................................................................................... 128

  

DAFTAR GAMBAR

  Halaman

Gambar 2.1.1 ............................................................................................ 16Gambar 2.2.1 ............................................................................................ 30Gambar 2.2.2 ............................................................................................ 39Gambar 2.2.3 ............................................................................................ 45Gambar 3.1.1 ............................................................................................ 59Gambar 3.2.1 ............................................................................................ 68Gambar 3.2.2 ............................................................................................ 70Gambar 3.3.1 ............................................................................................ 75Gambar 3.3.2 ............................................................................................ 77Gambar 3.4.1 ............................................................................................ 79Gambar 3.4.2 ............................................................................................ 83Gambar 3.5.1 ............................................................................................ 84Gambar 3.5.2 ............................................................................................ 92Gambar 3.6.1 ............................................................................................ 96Gambar 3.7.1 ............................................................................................ 103Gambar 4.1.1 ............................................................................................ 108Gambar 4.3.1 ............................................................................................ 113Gambar 4.3.2 ............................................................................................ 116Gambar 4.3.3 ............................................................................................ 121Gambar 4.3.4 ............................................................................................ 123Gambar 4.3.5 ........................................................................................ 128Gambar 4.3.6 ........................................................................................ 130

  

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

  Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma : Nama : Lidya Yulinda Mekar Sartika Nomor Mahasiswa : 033114015

  Demi perkembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma. Karya ilmiah saya berjudul :

  SAMPLING PENERIMAAN SEKUENSIAL DALAM PENGENDALIAN MUTU STATISTIS beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu minta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama mencantumkan nama saya sebagai penulis.

  Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal : 29 September 2008 Yang menyatakan ( Lidya Yulinda Mekar Sartika )

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Seluruh proses industri pengolahan dalam sebuah perusahaan, meskipun

  baik, pasti ditandai oleh adanya variasi random tertentu yang tidak dapat dihilangkan secara sempurna. Pada situasi yang lain, variasi proses juga dipengaruhi beberapa penyebab yang dapat diidentifikasi, seperti kesalahan penentuan mesin, kesalahan operator, bahan mentah yang tidak memenuhi syarat pemakaian, komponen-komponen mesin, dan sebagainya. Penyebab-penyebab variasi yang diidentifikasi ini biasanya mempunyai efek kerugian pada mutu produk. Tahap pemeriksaan, dalam pengertian pemilihan produk yang memenuhi spesifikasi dari yang tidak memenuhi, tidak menjamin bahwa semua produk yang diterima sungguh-sungguh memenuhi spesifikasi. Selain membutuhkan waktu dan biaya yang cukup besar, kelelahan pemeriksa pada operasi pemeriksaan berulang- ulang seringkali akan mengurangi keefektifan pemeriksaan. Untuk mengatasi hal tersebut, salah satu metode yang dilakukan oleh pemeriksa adalah dengan melakukan sampling (penarikan sampel), yaitu suatu metode untuk mengumpulkan data bila hanya elemen-elemen sampel saja yang diteliti (Supranto,1992).

  Sampling penerimaan merupakan suatu bidang pokok dalam pengendalian mutu statistis. Prosedur pemeriksaan yang bertujuan untuk menerima atau menolak suatu kotak disebut dengan sampling penerimaan. Berdasarkan informasi dalam sampel, diambil suatu keputusan mengenai kedudukan kotak, yaitu menerima atau menolak kotak. Kotak yang memenuhi spesifikasi akan diterima dan yang tidak memenuhi spesifikasi akan ditolak. Kotak yang diterima dikategorikan ke dalam produksi dan kotak yang ditolak dikembalikan kepada penjual, atau dikenakan tindakan lain.

  Ada bermacam-macam metode sampling penerimaan, yaitu sampling tunggal, rangkap dua, berganda, dan sekuensial. Jika setiap keputusan selalu diambil berdasarkan bukti satu sampel saja, pola penerimaan ini disebut sampling

  

tunggal sedangkan jika keputusan dapat diambil setelah ditariknya sampel kedua,

  pola penerimaan ini disebut sampling rangkap dua. Dalam sampling berganda, pendekatannya hampir sama dengan sampling rangkap dua. Perbedaannya terletak pada pengambilan sampel yang lebih dari dua kali dengan ukuran setiap sampel sama. Untuk setiap sampel dibuat keputusan, apakah menolak atau menerima kotak atau mengambil tambahan sampel lagi sampai dalam batas tertentu. Ketiga jenis sampling ini mempunyai banyak kelemahan karena membutuhkan waktu, tenaga, dan biaya pemeriksaan yang cukup besar.

  Sampling sekuensial (penarikan sampel beruntun) merupakan perluasan

  konsep sampling rangkap dua dan sampling berganda. Sampling sekuensial merupakan contoh dari sampling berganda, dimulai dari jumlah sampel yang kecil, kemudian dilakukan penambahan. Pada setiap sampel dilakukan penerimaan, penolakan, atau harus menarik sampel lagi sampai pada batas yang tidak ditentukan.

  B. Perumusan Masalah

  Permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

  1. Bagaimana landasan teori sampling sekuensial ?

  2. Bagaimana menentukan batas penerimaan dan penolakan dengan sampling sekuensial ?

  3. Bagaimana mengevaluasi kinerja sampling sekuensial menggunakan kurva KO (Karakteristik Operasi), kurva ASN (Average Sampling

  Number), kurva AOQ (Acceptable Outgoing Quality), dan kurva ATI

  (Average Total Inspection) ?

  4. Bagaimana aplikasi sampling sekuensial dalam pengendalian mutu produk di bidang industri dan perbandingannya dengan menggunakan sampling tunggal dan sampling rangkap dua ?

  C. Pembatasan Masalah

  Dalam skripsi ini hanya akan dibahas mengenai sampling penerimaan untuk data atribut dan sampling sekuensial untuk penerimaan dan penolakan. Akan dibahas juga mengenai pengukuran untuk mengevaluasi kinerja sampling sekuensial menggunakan kurva KO, kurva ASN, kurva AOQ, dan kurva ATI.

  Teorema limit pusat dan sampling penerimaan untuk data variabel tidak dibahas dalam skripsi ini. Aplikasi yang digunakan untuk mendukung penyelesaian sampling sekuensial adalah aplikasi WinQSB versi 2.00.

  D. Tujuan Penulisan

  Tujuan skripsi ini adalah untuk memperdalam pengetahuan tentang sampling sekuensial dan penerapannya dalam proses industri serta memahami konsep- konsep dasar yang terdapat di dalamnya.

  E. Metode Penulisan

  Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal-jurnal, makalah-makalah, yang telah dipublikasikan, sehingga tidak ditemukan hal yang baru.

  F. Manfaat Penulisan

  Penulisan skripsi ini diharapkan dapat berguna untuk menambah wawasan bagi pembaca tentang proses penerimaan atau penolakan dalam sampling sekuensial berdasarkan indeks mutu (AQL, LTPD, IQL, dan AOQL) dan penerapannya dalam proses produksi.

  G. Sistematika Penulisan

  Bab I. Pendahuluan, pada bab ini akan dibahas mengenai latar belakang

  masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan skripsi ini.

  Bab II. Konsep-konsep Dasar Statistik dan Sampling Penerimaan, pada

  bab ini akan dibahas mengenai konsep dasar statistik yang meliputi variabel random dan distribusi probabilitas, distribusi binomial, populasi dan sampel, distribusi sampling, uji hipotesi, uji mengenai proporsi, dan sampling penerimaan untuk data atribut yang meliputi indeks mutu untuk sampling penerimaan, sampling tunggal, sampling rangkap dua, dan sampling berganda.

  Bab III. Sampling Sekuensial untuk Penerimaan dalam Pengendali Mutu Statistis, pada bab ini akan dibahas mengenai konsep sampling sekuensial

  berdasarkan konsep uji sekuensial, kriteria pengambilan keputusan, fungsi karakteristik operasi, evaluasi kinerja perencanaan sampling sekuensial dengan kurva KO, kuva ASN, kurva rata-rata kualitas keluaran (AOQ), dan kurva rata-rata pemeriksaan total (ATI) menggunakan WinQSB versi 2.00.

  Bab IV. Aplikasi Perencanaan Sampling Penerimaan, pada bab ini akan dibahas mengenai aplikasi sampling sekuensial pada perusahaan air minum. Selanjutnya, persoalan sampling sekuensial akan diselesaikan menggunakan aplikasi WinQSB versi 2.00. Bab V. Penutup, berisi kesimpulan dan saran.

BAB II KONSEP-KONSEP DASAR STATISTIKA DAN SAMPLING PENERIMAAN A. Konsep-konsep Dasar Statistika

1. Variabel Random dan Distribusi Probabilitas

  Peluang timbulnya suatu kejadian dalam ruang sampel dideskripsikan dalam model matematika yang diekspresikan dalam bentuk nilai-nilai numeris dari hasil percobaan. Hal tersebut menimbulkan gagasan untuk mendefinisikan sebuah fungsi yang dikenal dengan variabel random, yang memetakan setiap hasil dalam percobaan dengan bilangan real.

  Definisi 2.1.1 Variabel Random :

  Variabel random, dilambangkan misalnya dengan X adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel S yang memetakan setiap elemen a ∈ S ke suatu bilangan real, X ( ) a = x . Catatan : Huruf kapital X digunakan sebagai lambang variabel random, sedangkan

x huruf kecil melambangkan nilai variabel random yang mungkin.

  Definisi 2.1.2 Variabel Random Diskret

  Suatu variabel random disebut variabel random diskrit bila daerah hasilnya merupakan suatu himpunan diskret.

  Contoh 2.1.1 Variabel Random Diskret

  Banyak barang yang cacat dalam sampel n barang atau banyak korban meninggal disuatu daerah per tahun.

  Jika pada sebuah pengamatan probabilitas diberikan seluruh kejadian yang mungkin dari variabel random diskret X, yaitu x , x , x , K , x dan diberikan juga _{1 2 3 n} nilai probabilitas yang berkaitan dengan kejadian tersebut, yaitu

  P X = x , P X = x , P X = x , K , P X = x sehingga telah terbentuk suatu ( ) ( ) ( ) ( ) _{1 2 3 n} distribusi probabilitas diskret dari variabel X, yang dilambangkan dengan p ( ) x .

  Notasi f ( ) x digunakan untuk melambangkan distribusi probabilitas kontinu atau fungsi probabilitas. Terdapat dua hal yang harus dipenuhi f ( ) x maupun

  p x , yaitu : ( )

• Nilai-nilai dari suatu distribusi probabilitas atau fungsi probabilitas adalah bilangan yang berada dalam interval antara 0 dan 1.
• Jumlah seluruh nilai probabilitas untuk kasus diskrit adalah 1, dan integral fungsi probabilitas untuk kasus kontinu sama dengan 1.

  Definisi 2.1.3 Nilai Harapan atau Rata-rata Variabel Random :

  Nilai harapan atau rata-rata variabel random X didefinisikan sebagai

  

x . p ( ) x , bila X diskret

∑

  ∀x E ( ) X =

  ∞

f ( ) x dx , bila X kontinu.

  ∫

  Definisi 2.1.4 Nilai Harapan Fungsi Variabel Random :

  Jika X adalah variabel random dan g ( )

  X adalah fungsi dari variabel

  random X. Nilai harapan g ( )

  X didefinisikan sebagai g ( ) ( ) X . p x , bila X diskret

  ∑ _x ∀

  E g

  X ( ( ) ) =

  ∞ g X . f x dx , bila X kontinu.

  ( ) ( ) ∫

  − ∞

  Pada skripsi ini, kasus-kasus termasuk dalam kategori diskrit sehingga beberapa teorema maupun contoh-contoh yang diberikan adalah dalam kasus diskrit.

  Teorema 2.1.1

  Andaikan c adalah konstan, maka E ( ) c = c

  Bukti :

  Dari definisi nilai harapan fungsi variabel random diskret,

  E ( ) c = c f ( ) x = c f ( ) x ∑ ∑ _{x x}

  ∀ ∀

  Tapi f ( ) x =

  1

  ∑ ∀ x

  Maka E ( ) ( ) c = c 1 = c .

  Teorema 2.1.2

  Misalkan g ( ) X adalah fungsi variabel random X dan c adalah konstan.

  Maka

  E cg ( ) X = cE g ( ) X .

  [ ] [ ] Bukti :

  Dari definisi nilai harapan fungsi variabel random diskret,

  

E cg ( ) x = cg ( ) ( ) x f x = c g ( ) ( ) x f x = cE g ( )

  X [ ] [ ]

  ∑ ∑ _{x x} ∀ ∀

  Teorema 2.1.3

  Misalkan g ( ) ( ) ₁ X , g _{2 k} X , K , g ( ) X adalah k fungsi dari variabel random X.

  Maka

  E g X g

  X K , g

  X E g

  X E g

  X K E g X .

  [ ( ) ( ) ( ) ] = [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] + + + + + + _{1 2 k 1 2 k} Bukti :

  Menurut definisi nilai harapan variabel random diskret,

  E g X g

  X K , g X g x g x K , g x p x

[ ( ) ( ) ( ) ] = [ ( ) ( ) ( ) ] ( )

_{1 2 k 1} + + + + + + _{2 k}

  

∑

_x

∀

• = + + g x p x g x p x K g x p x
₁ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _{2 k}

  ∑ ∑ ∑ _{x x x} ∀ ∀ ∀

  = E g ( )

  X E g ( )

  X K E g ( )

  X [ ] [ ] [ ^{1 2 k ]}

  Definisi 2.1.5 Variansi Variabel Random Diskret :

  Variansi dari variabel random diskrit X yang mempunyai E ( ) ₂ X = μ didefinisikan sebagai nilai harapan dari ( ₂ X − μ ) , yaitu _{2 2}

  σ μ μ

  Var ( ) X = = E ( X − ) = ( x − ) ( ) p x [ ]

  ∑ _x ∀

  Teorema 2.1.4 _{2 2 2 2} Var ( ) X = = E ( X − ) = E X −

  σ μ μ

  [ ] ( ) Bukti : _{2 2 2 2} E

  X E

  X

  2 X σ = ( − μ ) + = − μ μ

  ( ) [ ]

  Menurut Teorema 2.1.3 : σ = E ^{2 2 2}

  2 μ

  X ) E μ

• X − E (

  

( ) ( )

  μ adalah konstan, maka menurut Teorema 2.1.1 dan Teorema 2.1.2 _{2 2 2} σ = E

  X −

  2 μ E ( )

  X μ ( )

• Karena μ E

  X , maka = ( ) ² = E

  X − ^{2 2} +

  2 = E ² X − ^{2 2} σ μ μ μ

  ( ) ( )

2. Distribusi Binomial Suatu distribusi binomial dibentuk oleh suatu percobaan binomial.

  Percobaan ini merupakan pengulangan n kali percobaan Bernoulli sehingga harus memenuhi kondisi :

• Jumlah ulangan n Bernoulli adalah konstanta yang telah ditentukan sebelumnya.
• Setiap ulangan Bernoulli hanya dapat menghasilkan satu dari dua kejadian yang mungkin, yaitu “sukses” atau “gagal”.

  q p

• Probabilitas “sukses” adalah p dan probabilitas “gagal” adalah = 1 − selalu konstan dalam setiap ulangan. Bila Y adalah variabel random Bernoulli, maka 1, sukses

  Y =

  0, gagal

• Setiap ulangan saling bebas secara statistik, yang berarti hasil suatu ulangan tidak berpengaruh pada hasil ulangan lainnya.

  Definisi 2.1.6 Distribusi Binomial

  Jika suatu ulangan Bernoulli mempunyai probabilitas keberhasilan p dan probabilitas kegagalan q = 1 − p , maka distribusi probabilitas bagi variabel random binomial X yaitu banyaknya keberhasilan dalam n ulangan saling bebas _n

  ⎛ ⎞ ⎜

  X = Y ⎟ adalah ∑ _{i 1}

  =

  ⎝ ⎠ _{n x − x n x n x n !}

  − f ( ) x = P ( X = x ) = C p ( _x 1 − p ) = p q x ! n − x !

  ( )

  dengan • variabel random X melambangkan jumlah keberhasilan dalam n ulangan.

• K K

  x =

  1 , 2 , 3 , , n ; n = 1 , 2 , 3 , ; dan ≤ p ≤

  1 ⁿ

• C adalah kombinasi x dari n obyek. _x

  Teorema 2.1.5

  = ⁿ _x ^{x n x}

  . ! 1 !

  . 1 . !

  1 ₁ ¹

  ∑ = −

  −

  − − − −

  = ⁿ _x ^{x n x}

  x x n p p p n n

( ) ( )

( ) ( )

  ∑ = −

  

−

  − − − −

  x x n

p p n

np ₁

¹

  ! 1 ! ! ₁

  ! 1 ! . 1 . !

  1 Misal

  = x 1 − k

  maka untuk

  1 = x , = k

  untuk n x = ,

  = n 1 − k

  dan

  ( ) − 1 + = − k n x n ( ) k n k n

  − − = − − =

  1

  

( ) ( )

( ) ( )

  ∑ 1 .

  Rata-rata dan variansi distribusi binomial adalah

  − −

  = np μ dan npq = ²

  σ

  Bukti : • Rata-rata distribusi binomial.

  Dari definisi 2.1.3 tentang nilai harapan atau rata-rata variabel random diskret dan definisi 2.1.6 tentang distribusi binomial maka diperoleh

  ( ) ( ) ^{x n} _x ^{x n} _x C p p x

  X E − ∀

  − = =

  ∑

  . 1 . . μ

  ( ) ( ) ^{x n} _x ^x p p x x n n x

  − ∀

  =

  =

  ∑ . 1 .

  ! ! ! .

  ( ) ( ) ^{x n n} _x ^x p x x n p n x

  − =

  − −

  =

  ∑ 1 .

  ! ! ! .

  ( ) ( ) ( ) ^{x n n} _x ^x p x x n p n

  − =

  − − −

  1

  n ¹ −

  

( n −

1 ) ! ( ( n − _{x − 1} ^{1 ) ( − x − 1 ) )}

np . p .

1 p = ( − ) ∑ _{x k ( x −}

  1 ) ( ! ( n − 1 ) ( − x − 1 ) ) ! _n = ₁ − _{n 1 x 1 ( ( − ) ( − − ) ) n 1 x 1} − −

  = np C . p . 1 − p _{x − 1} ( )

  ∑ _{x k} = = np .

  1 = np • Variansi distribusi binomial.

  Akan dicari E

  X X 1 dan hasilnya akan digunakan untuk menghitung ( ( − ) ) var ( ) X . _{n n x − n x}

  E ( X ( X −

  1 ) ) = x ( x − 1 ) . C . p . ( _x 1 − p )

  ∑ _{x n} = n ! n x _{x −}

  = x ( x − 1 . . p . ( 1 − p ) ∑ _{x = ) ( ) n} n − x ! x ! n ! n x _{x −}

  = x ( x − 1 . . p . 1 − p ∑

_{x n − x ! x x −}

  1 x − 2 ! _n = ) ( ) ( )( ) ( ) n ! ^{2 x 2 n − x}

  − . p . p . 1 p = ( − )

  ∑ _{x ( n − x ) ( ! x −} 2 ) !

  = _{n 2 ( − )( − ) x} n n 1 n 2 ! n _{2 ( − ) ( − − )} ^{2 x 2} −

  = p . p . ( 1 − p ) ∑ _x

_{2 ( − ) ( − )}

n x ! x

2 ! _{2 n} =

_n

_{2 x 2 ( − ) ( − − ) n 2 x 2} − −

  = p . n ( n − 1 ) C . p . ( _{x 2} 1 − p )

  −

∑

_x

₂

₂

=

₂

  = p . n ( n − 1 ) . ₂ 1 = n ( n − 1 ) . p

  E

  X X

  1 n n 1 . p (2.1.1)

  ( ( − ) ) ( = − )

  Sehingga dari definisi 2.1.5 tentang variansi variabel random diskret diperoleh _{2 2} Var ( )

  X = E

X − E ( )

  X [ ]

  ( )

  X E

  X E

  X E

  X

  = − ( ) ( ) − [ ( ) ] = ( ( + E

  ^{2 2}

• E

  ( ) ₂

  X X −

  1 ) ) ( ) E

  X − E ( )

  X [ ]

  Dari persamaan 2.1.1 maka diperoleh _{2 2} = n ( n − ₂ 1 ) + . p np − ( ) np _{2 2}

  np np np np

  = ( ) − ( ) + − ₂ = np − np

  = np ( 1 − p ) = npq

3. Populasi dan Sampel

  Analisis statistik dilakukan untuk mengambil kesimpulan tentang parameter populasinya berdasarkan informasi dari sampel. Harus diusahakan agar diperoleh sampel yang sedapat mungkin bisa memberikan gambaran dari populasinya. Dalam berbagai percobaan yang dilakukan, sering dijumpai populasi yang berbeda-beda keadaannya sehingga agar dapat diperoleh sampel yang memberikan gambaran populasinya, harus digunakan sampel yang berbeda-beda pula macamnya. Salah satu macam sampel yang dianggap dapat menggambarkan keadaan dari populasi yang tidak terlalu heterogen adalah sampel random.

  Definisi 2.1.7 Sampel Random :

  Sampel yang pengambilannya sedemikian hingga tiap elemen populasinya mempunyai kemungkinan sama untuk terambil sebagai sampel.

  Suatu sampel random berukuran n dari suatu populasi yang mempunyai fungsi probabilitas f ( ) x adalah himpunan n variabel random saling bebas

  X , ₁ X , ₂ X , K , _{3 n} X yang masing-masing berdistribusi probabilitas f ( ) x .

  Suatu nilai yang dihitung dari suatu sampel dinamakan statistik. Karena banyak sampel dapat diambil dari populasi yang sama, maka diharapkan bahwa nilai statistik yang dihitung dari masing-masing sampel itu akan bervariasi sehingga statistik merupakan variabel random yang mempunyai distribusi probabilitas.

  Dalam sampling penerimaan, unit produksi yang terpilih untuk pemeriksaan harus dipilih secara random dan harus mewakili semua produk dalam kotak.

  Teknik pengambilan sampel random yang dianjurkan adalah dengan memberi bilangan pada setiap produk dalam kotak, kemudian n bilangan random ditarik, yang rentang bilangan-bilangan ini dari 1 sampai dengan maksimum unit dalam kotak. Barisan bilangan-bilangan random ini menentukan unit-unit produksi mana di dalam kotak itu yang merupakan sampel. Jika produk mempunyai nomor urut atau kode lain, kode-kode ini dapat juga digunakan untuk menghindarkan proses pemberian bilangan yang dilakukan bagi tiap unit produksi.