Perbandingan interpolasi dalam metode spline - USD Repository

  

PERBANDINGAN INTERPOLASI DALAM METODE SPLINE

Skripsi

  Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

  Program Studi Matematika Oleh :

  Anastasia Vrysca Jayanti NIM : 013114014

  

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

  When Jesus Say That He Love Me I feel that I am lonely It doesn’t prove that I am alone I listen to the words He say That He will always be by my side I mean everything to Him And He will never leave me ‘cause He love me so When He say that He love me It means He give the best for me When He say that He love me He will give everything for me No more fear about the future And the blame for the past He will give everything When He say that He love me He died for me He give His life for me When He say that He love………. Say that He love me I think that I am nothing I think that I can’t do anything But I can do a lot of things with Him

       

  Apa  yang kuberikan untuk Mama  Untuk  Mama tersayang  Tak  kumiliki sesuatu berharga  Untuk  Mama tercinta    Hanya  ini kutuliskan  Tugas  Akhir dari tanganku untuk Mama  Hanya  sebuah tugas akhir sederhana  Tugas  akhirku untuk Mama    Walau  tak dapat lagi kuungkapkan  Rasa  cintaku untuk Mama  Namun  dengarlah hatiku selalu berkata  Sungguh  kusayang padamu Mama    Mama  . . . . . . .                                                                                                                                                                          Yogyakarta, 28 Maret 2007 

                                                                        

  Kupersembahkan untuk : My Sweet Heart Jesus My Beautiful Life My Be Loved Mom

  “Janganlah gelisah hatimu; percayalah kepada Allah, percayalah juga kepada-Ku. ”

• - Yohanes 14 : 1 -

  My Cute Father

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

  Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

  Yogyakarta, 28 Maret 2007 Penulis, Anastasia Vrysca Jayanti

  

ABSTRAK

  Metode Spline adalah salah satu metode Interpolasi yaitu dengan memakai pendekatan fungsi-fungsi Spline sebagai polinom penghubung. Fungsi Spline ter- diri Spline Linear, Spline Kuadrat dan Spline Kubik.

  Pada skripsi ini akan dibuat perangkat lunak untuk membandingkan Spline Linear, Spline Kuadrat dan Spline Kubik. Perbandingan dilakukan dalam hal galat dan waktu komputasi. Proses perhitungan galat dihasilkan dari harga mutlak nilai sebenarnya dikurangi nilai hampiran dibagi nilai sebenarnya dikali seratus persen. Lama tidaknya waktu komputasi ditunjukkan dari banyaknya data yang dicari dalam proses perhitungan.

  Hasil percobaan menunjukkan bahwa beda jauh data mempengaruhi galat. Semakin besar nilai data yang dicari galat yang dihasilkan semakin kecil dan se- makin kecil nilai data yang dicari galat yang dihasilkan semakin besar. Spline Linear menghasilkan galat yang besar dan waktu komputasi yang paling cepat, Spline Kuadrat menghasilkan galat yang besar dan waktu komputasi yang lama dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi yang paling lama.

  

ABSTRACT

  Spline method is one of Interpolation method that with make approxima- tion Spline functions as connected polynom. Spline function consist of Linear Spline, Quadrate Spline and Cubic Spline.

  In this thesis, will make a program to compare Linear Spline, Quadrate Spline ang Cubic Spline, on particular the error and the time computation. Process error computation is shown by absolute value from exact value minus approxima- tion value divide exact value and multiply one hundred percent. While the compu- tation processing duration by determining how many times the time computation from data quantity in computation process.

  The result shows that if searching data value is more bigger, the result fewer of error, if searching data value is more fewer, the result bigger of error.

  Linear Spline has bigger error but faster time computation, Quadrate Spline result bigger error and longer time computation and Cubic Spline result fewer of error and longer of time computation.

KATA PENGANTAR

  Puji syukur kepada Allah Bapa Yesus Kristus atas Roh Kudus dan segala kasih-Nya yang berlimpah, sehingga skripsi yang berjudul Perbandingan Interpo- lasi Dalam Metode Spline, sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sar- jana Sains (S.Si) Program Studi Matematika, dapat terselesaikan dengan baik.

  Penyusunan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan dan dukungan dari ber- bagai pihak, baik yang terlibat secara langsung maupun tidak langsung. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini dengan segala kerendahan hati, penulis ingin menyampaikan rasa terima kasih yang mendalam kepada :

  1. My Be Loved Mom…………..Love u, Miss u, Need u,Want u so much.

  2. Keluarga yang selalu memberi semangat dan segenap doa : Babeh Nano, Mas Chemi, Ade Luchia dan Tante Lusi. Terima kasih atas segala- segalanya………Kakak lulus!!

  3. Bapak Drs. Jong Jek Siang, M.Sc., selaku dosen pembimbing skripsi dan pani- tia penguji yang telah memberi bimbingan, pengarahan, saran dan koreksi dalam penyusunan skripsi penulis.

  4. Bapak Y. G. Hartono, S. Si, M. Sc, selaku Kaprodi Fakultas MIPA Univer- sitas Sanata Dharma, dosen penguji dan dosen pembimbing akademik. Terima kasih atas pencarian judul skripsi, telah memberikan yang terbaik sebagai dosen, berbagi canda seperti teman dan memahami seperti ayah.

  5. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S. Si, M. Sc, selaku dosen penguji dan sebagai dosen pengajar, terima kasih atas kebaikannya dan yang selalu sabar seperti

  6. Dosen-dosen Program Studi Matematika yang memberi dukungan kepada pe- nulis baik selama kuliah maupun dalam penyusunan skripsi ini.

  7. Bapak Z. Tukijo yang telah membantu dalam urusan administrasi dan persia- pan ujian akhir.

  8. Sahabat-sahabat tersayang di Tangerang:

• Elly yang selalu menemani saat-saat yang paling menyakitkan dan yang selalu bisa diandalkan untuk bertukar fikiran.
• Olla yang selalu menemani saat-saat yang paling hancur dan selalu men- jadi teman yang paling manja.
• Linda yang selalu menemani saat-saat langkah kaki terasa sangat berat dan yang selalu bisa diandalkan untuk jalan-jalan.

  Sahabat termanis di Yogyakarta :

• Cece yang selalu mencoba mendekatkan pada Kristus, tempat berbagi suka dan duka. Terima kasih atas persahabatan yang manis dan yang selalu melarang pergi ke luar paingan saat fikiran penulis sedang kacau.

  Kehadiran kalian membuat penulis percaya bahwa Tuhan tidak meninggalkan saat-saat penulis merasa tidak dapat lagi melangkah.

  9. Angkatan 2001 yang teristimewa (urut abjad) : Ajeng, Andre, Ariel, Alam , Agnes, April, Bita, Dani, Deta, Daniel, Erika, Fanya, Indah, Maria, Ray, Rita, Tedi,Yuli, Upik, Veri, Wiwit. Terima kasih untuk semua kisah yang sudah dilewati bersama.

  10. Mas Robeth . . . . . . . . . Thanks ya!!

  11.

• Fanya dan kostnya yang selalu menjadi tempat pelarian dikala stress.
• Eko yang selalu siap membantu, menyupir dan mentraktir, he....he....

  Cayoo Fanya & Eko, Semangat !!! 12.

  Catur Prasdianto tempat bertukar fikiran, thanks for everything, Koko Satijan, Robet Tampa, Moko, Mba Sumi, Bruder Koko, Mba Dwi, Mba Nia.

13. Keluarga kost 99999 : Bora, Diana, Maria, Okta, Grace, Emi, Desi, Cicil, Lia,

  Nana, Juli, Hanny, Vivi. Terima kasih kalian telah menjadi keluarga inti di jogja. Terima kasih untuk Welly, Olive dan lainnya. You All always be My Friends!! Bapak dan ibu kost atas nasihat-nasihatnya dan penjagaannya.

  14. Kediaman DED : Rm. Sari Jatmiko...terima kasih atas setiap doa dan paksaan untuk mengerjakan skripsi, Mba Tika, Mba Vivi, Septi, Eko, Siska, Theo, Mas Adhit.

  Penulis berharap agar Tugas Akhir ini dapat berguna bagi penulis maupun pi- hak lain sebagai wahana pembelajaran interpolasi dengan Metode Spline. Tak ada gading yang tak retak dan tak ada langit yang tak berawan. Demikian juga penelitian dan penulisan Tugas Akhir ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis siap menerima dengan mata, tangan dan hati yang terbuka akan segala macam kritik dan saran demi peningkatan kualitas penelitian di kemudian hari. Yogyakarta, 28 Maret 2007 Penulis,

DAFTAR ISI

  Halaman HALAMAN JUDUL………………………………………………………. i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING…………............................. ii

  HALAMAN PENGESAHAN……………………………………………… iii HALAMAN PERSEMBAHAN…………………………………………… iv HALAMAN KEASLIAN KARYA……………………………………… v ABSTRAK………………………………………………………………… vi ABSTRACT………………………………………………………………… vii KATA PENGANTAR………………………………………………………. viii DAFTAR ISI………………………………………………………….......... xi DAFTAR TABEL…………………………………………………………. xiv DAFTAR GAMBAR……………………………………………….............. xv

  BAB I PENDAHULUAN……………………………………………….1

  1 A. Latar Belakang Masalah………………………………..…………

  1 B. Rumusan Masalah………………………………………………..

  2 C. Tujuan Penulisan……………………………………………………

  2 D. Manfaat Penulisan…………………………………………………

  3 E. Metode Penelitian …………………………………………………

  3 F. Pembatasan Penulisan ………………………………………………

  3 G. Sistematika Penulisan …………………………………………..…

  4

  BAB II LANDASAN TEORI

  6 A.

  6 Interpolasi……………………………………………..………… B. Galat……………………………………………… …………………

  6 C. Metode Spline ……………………………………………………

  7 1. Spline linear…………………………………………..…

  7 2. Spline Kuadrat………………………….…………………

  9 3.

  12 Spline Kubik …………………………………………….

  BAB III PERANCANGAN DAN IMPLEMENTASI………………………

  25 A. Perancangan Umum…………………………………………………

  25 B. Perancangan Antarmuka.................................................................

  26 1. Layar Sampul…………………………………………………

  26 2.

  26 Layar Masukan Spline…………………………………..….… C. Rancangan Proses……………………………………………….…

  27 D. Implementasi……………………………………………..………

  28 1. Spline Linear ………………………………………….……

  28 2. Spline Kuadrat……………………………………………

  30 3.

  33 Spline Kubik………………………………………………

  BAB IV ANALISIS………………………..................................………

  38 A. Hasil Implementasi.....................................................................

  38 1. Layar Sampul......................................................................

  38 2. .Layar Spline........................................................................

  39 B.

  41 Pengujian Program Spline..............................................................

  C.

  41 Percobaan Dan Analisis................................................................

  1.

  42 Galat...................................................................................

  a.

  42 Percobaan 1..........................................................

  b.

  44 Percobaan 2……………..........................................

  c.

  46 Percobaan 3............................................................

  2.

  48 Waktu Komputasi..............................................................

  a.

  48 Percobaan 1….......................................................

  b.

  50 Percobaan 2...........................................................

  BAB V PENUTUTUP…………………………………………............….

  54 A.

  54 Kesimpulan…………………………………………............…….

  B.

  55 Saran………………………………………………….....………. DAFTAR PUSTAKA......................................................................................

  56 LAMPIRAN....................................................................................................

  57

  

DAFTAR TABEL

  12

  50

  48

  46

  46

  44

  44

  42

  42

  24

  9

  Halaman Tabel 2.1........................................................................................................

  8

Tabel 4.9 Rata-rata Waktu Komputasi…………………………………………Tabel 4.7 Hasil Waktu Komputasi Percobaan 1……………………………… Tabel 4.8 Hasil Waktu Komputasi Percobaan 2……………………………….Tabel 4.6 Hasil Galat Percobaan 3…………………………………………Tabel 4.4 Hasil Galat Percobaan 2…………………………………………… Tabel 4.5 Data Percobaan 3………………………………………………..Tabel 4.3 Data Percobaan 2…………………………………………………..Tabel 4.1 Data Percobaan 1………………………………………………… Tabel 4.2 Hasil Galat Percobaan 1…………………………………………….Tabel 2.4 Hasil Perhitungan Spline Kubik……………………………………..Tabel 2.3 Hasil Perhitungan Spline Kuadrat…………………………………..Tabel 2.2 Hasil Perhitungan Spline Linear....................................................

  51

  

DAFTAR GAMBAR

  38

  51

  50

  48

  47

  45

  43

  41

  39

  35

  Halaman Gambar 3.1 Rancangan Layar Sampul………………………………………….

  31

  29

  27

  26

  Grafik 4.1 Galat Percobaan 1…………………………………………………. Grafik 4.2 Galat Percobaan 2……………………………………………………. Grafik 4.3 Galat Percobaan 3………………………………………………. Grafik 4.3 Waktu Komputasi Percobaan 1………………………………… Grafik 4.4 Waktu Komputasi Percobaan 2………………………………… Grafik 4.5 Rata-rata Waktu Komputasi……………………………………… Grafik 4.6 Rata-rata Waktu Komputasi dalam Persen………………………..

Gambar 4.2 Hasil Implementasi Spline………………………………………… Gambar 4.3 Hasil Perhitungan Spline………………………………………..Gambar 3.5 Flowchart Spline Kubik………………………………………… Gambar 4.1 Hasil Implementasi Layar Sampul………………………………..Gambar 3.4 Flowchart Spline Kuadrat.............................................................Gambar 3.2 Rancangan Layar Spline………………………………………… Gambar 3.3 Flowchart Spline Linear................................................................

  52

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Seringkali harus mencari nilai antara titik-titik data yang telah

  diketahui dan itu menjadi masalah yang cukup rumit. Metode numerik merupakan cabang atau bidang ilmu matematika yang masalah penaksiran nilai antara titik- titik data yang telah diketahui diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi dalam pencocokan kurva mampu memecahkan berbagai persoalan mengenai penaksiran nilai antara titik-titik data yang telah diketahui. Taksiran nilai antara titik-titik data yang telah tepat dinamakan Interpolasi.

  Interpolasi Spline merupakan interpolasi sepotong-sepotong. Ini berarti bahwa suatu fungsi f(x) tertentu pada selang a ≤ x ≤ b, jika ingin menghampiri f(x) pada selang ini dengan sebuah fungsi lain g(x). Fungsi g(x) yang diperoleh ini dinamakan Spline. Nama Spline sendiri diambil dari batang tipis yang telah digunakan sejak lama oleh para insinyur untuk mengepaskan kurva me- lalui titik tertentu.

  Banyak metode-metode yang dapat dipakai untuk interpolasi yaitu Metode Newton, Metode Lagrange, Metode eksponensial dan Metode Spline.

  Dalam penulisan ini hanya akan dibahas interpolasi dengan Metode Spline yaitu Spline Linear yang menurunkan polinom orde pertama, Spline Kuadrat yang menurunkan polinom orde kedua dan Spline Kubik yang menurunkan polinom orde ketiga. Prediksi yang digunakan yaitu nilai x natural logaritma Dari Fungsi-fungsi Spline yang ada maka akan diketahui Spline mana yang dapat mencapai hasil yang optimal, yaitu errornya kecil dan waktu perhitungan yang singkat.

B. Rumusan Masalah

  Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini dapat ditu- lis dengan beberapa pertanyaan berikut :

  1 Bagaimana mencari nilai antara titik-titik data yang telah diketahui dengan Spline Linear, Spline Kuadrat, dan Spline Kubik?

  2 Bagaimana menganalisis Fungsi-fungsi Spline sehingga menghasilkan Fungsi Spline yang baik untuk mencari nilai antara titik-titik data yang telah diketa- hui?

  3 Fungsi Spline mana yang lebih baik di antara Spline Linear, Spline Kuarat dan Spline Kubik dalam hal akurasi dan waktu untuk memprediksi nilai x natural logaritma dengan menggunakan bahasa pemprograman Delphi 7.0?

C. Tujuan Penulisan

  Penulisan ini bertujuan untuk membandingkan Spline Linear, Spline Kuadrat dan Spline Kubik dalam mencari nilai antara titik-titik data yang telah diketahui.

D. Manfaat Penulisan

   Manfaat yang diharapkan dalam skripsi ini adalah penulis dapat me-

  nentukan Fungsi Spline mana yang paling baik untuk memprediksi nilai x natural logaritma sehingga errornya kecil dan waktu perhitungan yang singkat.

E. Metode Penelitian

  Metode Penelitian : 1.

  Masukan data natural logaritma.

  2. Terapkan persamaan Fungsi Spline Linear untuk memprediksi nilai x yang tidak terdapat dalam tabel dan catat kesalahannya.

  3. Terapkan persamaan Fungsi Spline Kuadrat untuk memprediksi nilai x yang tidak terdapat dalam tabel dan catat kesalahannya.

  4. Terapkan persamaan Fungsi Spline Kubik untuk memprediksi nilai x yang tidak terdapat dalam tabel dan catat kesalahannya.

  5. Bandingkan kesalahan yang terjadi pada masing-masing Fungsi Spline.

F. Pembatasan Penulisan

  Dalam skripsi ini dilakukan beberapa batasan sebagai berikut :

  1. Interpolasi dengan Metode Spline yaitu Spline Linear, Spline Kuadrat , Spline Kubik .

  2. Faktor untuk membandingkan yaitu galat dan running time.

  3. Data yang dipakai adalah tabel natural logaritma.

G. Sistematika Penulisan

  

Sistem penulisan laporan skripsi ini terdiri dari 6 bab dengan urutan

  sebagai berikut :

  BAB I PENDAHULUAN Menjelaskan uraian mengenai hal-hal yang menjadi dasar dalam pembahasan skripsi ini. Uraian tersebut mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penelitian dan sistematika penulisan.

  BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini, penulis membahas dasar-dasar teori yang mendukung penyusunan skripsi ini secara terperinci, sehingga mudah dimengerti. BAB III PERANCANGAN DAN IMPLEMENTASI Menjelaskan perencanaan dalam rancangan program untuk implementasi. Serta melakukan implementasi dari rancangan program yang telah dibuat.

  BAB IV ANALISIS Melakukan percobaan dan menganalisa hasil percobaan.

  BAB V PENUTUTUP Pada bab ini terdapat kesimpulan dan saran dari hasil analisa serta pembahasan masalah berdasarkan pada hasil yang didapat secara keseluruhan.

BAB II LANDASAN TEORI A. Interpolasi Terdapat n + 1 data pasangan bilangan ( x , f ) ( , x , f ) , . . ., ( x , f )

  _{1 1 n n} dengan x , x , . . . ,x nilainya berbeda, jika ingin memperoleh sebuah _{1 n} polinom yang bernilai f di x , dengan kata lain

  P ( ) x j j _n

P ( x ) = f , P ( x ) = f , . . . , P ( x ) = f

_{n n 1 1 n n n}

  dan berderajat n atau kurang. Polinom P n sering dinamakan polinom penginterpolasi. Nilai x j sering dinamakan simpul. Besaran f j mungkin saja merupakan nilai fungsi matematis f(x) tertentu sehingga f(x j ) = f j dan dengan demikian P ( ) x merupakan suatu hampiran bagi f(x) dengan sifat bahwa P n _n bernilai sama dengan f di semua simpul. Polinom ini digunakan untuk

  P ( ) x _n

  memperoleh nilai bagi semua x yang merupakan nilai hampiran bagi f(x). Jika x yang ingin dicari terletak di antara simpul-simpul tersebut maka dinamakan Interpolasi.

B. Galat

  Perhitungan numerik tidak terlepas dari kesalahan atau galat. Terdapat dua bentuk galat yang utama di dalam metode numerik yaitu galat pembulatan yang dapat terjadi akibat keterbatasan mesin hitung dan galat pemotongan yang dapat terjadi karena keterbatasan proses komputasi. Kedua galat tersebut mempengaruhi

  Definisi 2.1 :

  Andaikan p ~ adalah nilai hampiran dari p maka Galat Mutlak didefinisikan

  ~ p p

  − ~

  sebagai Em p p dan Galat Relatif Persen Er 100 %, p .

  

= − = ∗ ≠

p

C. Metode Spline

  Metode Spline adalah salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk pencarian interpolasi. Interpolasi Spline merupakan polinom sepotong- sepotong. Suatu fungsi f(x) yang sudah diketahui pada selang a ≤ x ≤ b di hampiri dengan sebuah fungsi lain g(x) dengan cara menyekat selang a ≤ x ≤ b menjadi beberapa anak selang . . . . Fungsi g(x) yang didapat

  a = x < x < < x = b ₁

_{2 n}

dinamakan spline. Akan dibahas Spline Linear, Spline Kuadrat dan Spline Kubik.

  Besar kesalahan Metode Spline dapat diketahui dengan cara mereduksi nilai eksak dari tabel natural logaritma dengan pendekatan yang dihasilkan dari Metode Spline.

1. Spline Linear

  Spline Linear merupakan polinom sepotong-sepotong yang paling sederhana. Spline linear digunakan untuk pencarian interpolasi dengan cara menghubungkan titik-titik data yang berdekatan dengan sebuah garis lurus. Hasil dari Spline ini dapat disebut Spline orde pertama. Spline Linear untuk

• =
• =
• 1
¹ ₁ ^{1 1 1 1 1 1 3 2}

²

^{2 3 2 3 2 2 2 1}

¹

^{1 2 1 2 1} 1<
• =

• =

  x x x x x x x x f x f x f x f x x x x x x x x f x f x f x f x x x x x x x x f x f x f x f x x x x x x x x f x f x f x f

  ≤ ≤ − − −

  ≤ ≤ − − −

  ≤ ≤ − − −

  ≤ ≤ − − −

  − − − − − −

  ) ( ) ( . .

  ) ( ) ( ) (

  .

  (2.1) ) ( ) ( ) (

  ) ( ) ( . .

  .

  ) ( ) ( ) (

  ) ( ) ( ) (

  1.5 0.0953 0.1823 0.2624 0.3365 0.4055 ^{n n n n n n n n n i i i i i i i i i}

  1.3

  1.4

  Gunakan Tabel 2.1 untuk mencari nilai Interpolasi saat x = [1.11 1.22 1.33 1.44

  sekelompok titik data terurut )) ( , ( _{i i}

  x f x , n i ., . . , 2 , 1 = dinyatakan sebagai

  berikut :

  Contoh 2.1

  Diberikan sebuah tabel yang berisi 5 himpunan data logaritma natural

  

Tabel 2.1

  i x i f (x i )

  1.2

  1

  2

  3

  4

  5

  1.1

  ) ( ) ( ) ( ) (

• =

• =

  3 . 1 ( 3 .

  1 4 .

  1 ) 2624 . 3365 . ( ) 2624 . ( ₃

  ≤ ≤ − − −

  x x x f 1.4 1.3 )

  3 . 1 ( 3 .

  1 4 .

  ≤ ≤ − − −

  1 ) 2624 . 3365 . ( ) 2624 . ( ₄

  x x x f 1.5 1.4 )

  4 . 1 ( 4 .

  1 5 .

  1 ) 3365 . 4055 . ( ) 3365 . ( ₅

  ≤ ≤ − − −

  x x x f

Tabel 2.2 Hasil Perhitungan Spline Linear

  x x x f 1.4 1.3 )

  1 ) 1823 . 2624 . ( ) 1823 . ( ₂

  ≤ ≤ − − −

• =
• =
• =

  1.44

  Penyelesaian : Dari persamaan di atas didapat

  Spline Kuadrat menyediakan sebuah persamaan kuadrat yang men- ghubungkan sedikitnya tiga pasangan data yang berdekatan di dalam him-

  

x f (x)

  1.11

  1.22

  1.33

  1.49 0.104

  1 3 .

  0.1983 0.2846 0.3641 0.3986

  1.2 1.1 ) 1 . 1 ( 1 .

  1 2 .

  1 ) 0953 . 1823 . ( ) 0953 . ( ₁

  ≤ ≤ − − −

  x x x f 1.3 1.2 )

  2 . 1 ( 2 .

2. Spline Kuadrat

  punan data ( x , f ( x )), i = _{i i} 1 , 2 , . . . , n . Bentuk umum dari persamaan kuadrat diantara titik ( x , f ( ) x ) dan ( x , f ( ) x ) adalah _{i i i 1 i 1 2} + +

  f ( x ) = a x b x c i = _{i i i i}

  1 , 2 , . . . , n − 1 (2.2)

  oleh karena itu, setiap dua titik-titik data yang berdekatan mempunyai sebuah persamaan interpolasi yang diberikan oleh (2.2) dengan 3 konstanta

  a , b , dan c . _{i i i}

  Untuk n titik data terdapat n-1 selang, maka ada 3(n-1) konstanta yang harus- dicari dan yang memenuhi 3(n-1) persamaan atau kondisi sebagai berikut :

  1. Spline harus melalui titik-titik data. Nilai-nilai fungsi harus sama pada simpul-simpul dalam untuk i = 1 sampai n dimana 1 , 2 , . . . , 1 . Kondisi

  i = n −

  ini dapat dinyatakan sebagai berikut : ₂

  f ( x ) = a x bx c = f ( ) x i = _{i i i i i i i 2}

  1 , 2 , 3 ,..., n − 1 (2.3)

  f ( x ) = a x b x c = f ( ) x i = _{i i 1 i i 1 i i}

_{1 i i 1} 1 , 2 , 3 ,..., n − 1

  2. Spline harus kontinu pada bagian dalam titik-titik data. Kondisi ini dapat dinyatakan menggunakan derivatif pertama dari spline kuadrat.

  2 a x b = _{i i i i} 2 a x b i = _{1 i 1 i} + + ₁ 1 , 2 , 3 ,..., n − 1 (2.5)

• 3.

  Kondisi terakhir yang dapat dibentuk bebas sebagai turunan kedua dari spline diantara dua titik data pertama menjadi nol. Sejak turunan pertama untuk spline pertama adalah 2 a , kondisi ini dapat dinyatakan _i

  . (2.6)

  a = _i

• Persamaan (2.4) menghasilkan : . c b . a .
>

  = + + = + +

  96

  1 2624

  3

  1

  69

  1 1823

  2

  1

  44

  1

  4 ^{4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1}

  = + + = + +

  Persamaan (2.5) menghasilkan : . b a b a .

  4

  . b a b a . . b a b a . _{4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1}

  8

  2

  8

  2

  6

  2

  6

  2

  4

  2

  4

  1

  2 3365

  2

  1 1823

  Contoh 2.2

  Gunakan Tabel 2.1 untuk mencari nilai Interpolasi saat x = [1.11 1.22 1.33 1.44 1.49] menggunakan Spline Kuadrat.

  Penyelesaian : Data tabel terdapat 5 titik data. Dengan menggunakan persamaan (2.3) sampai dengan persamaan (2.6) dihasilkan 3(5-1) = 12 kondisi yang dibutuhkan untuk mendapatkan 3(5-1) = 12 konstanta yang dibutuhkan. Persamaan (2.3) menghasilkan : . = c b . a .

  . = c b . a . . = c b . a . . = c b . a .

  3365

  4

  1

  96

  1 2624

  3

  1

  69

  2

  25

  1

  44

  1 0953

  1

  1

  21

  1

  4 ^{4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1}

  . c b . a . . c b . a . . c b . a .

  4055

  5

  1

• = +
>= +
• = +
Dengan menggunakan pensubtitusian didapatkan 8895

  1

  x f (x)

  2 ₄ ^{2 3 2 2 1}

  ≤ ≤ − + − = ≤ ≤ − + =

  ≤ ≤ − + − = ≤ ≤ − =

  x x x x f x x x x f x x x x f x x x f

  Dari persamaan di atas didapat

  Spline kubik adalah menurunkan polinom orde ketiga untuk setiap selang di antara simpul,seperti dalam :

  1.11

  1 1 . . 1 8617

  1.22

  1.33

  1.44

  1.49 0.104

  0.1994 0.2844 0.3655 0.3991

Tabel 2.3 Hasil Perhitungan Spline Kuadrat

  ) 87 . (

  2 ) 69 . ( 2 .

  43

  4 ^{4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1} . c . b . a . c . b . a . c . b . a . c . b a

  2

  6 5371 498

  09 8553 1 526

  2

  69 8617

  87

  − = = − = − = = =

  . 1 526

  − = = − = − = = =

  Maka persamaan Spline Kuadrat yang dihasilkan adalah 5 .

  1 4 . . 1 8895

  1 43 .

  2 ) 6 . ( 4 .

  1 3 . . 1 5371 498 . ) 09 . ( 3 .

  1 2 . . 1 8553

3. Spline Kubik

  Jadi untuk n + 1 titik data (i = 0, 1, 2, . . . , n), terdapart n interval maka diperlukan 4n konstanta yang harus dicari yang persamaan-persamaannya di- cari dengan mengikuti definisi 2.2.

  Definisi 2.2

  Diberikan fungsi f pada , dan suatu himpunan angka yang disebut

  [ ] a b

  simpul a = x &lt; x &lt; . . . &lt; x = b . Suatu interpolasi spline kubik S, _{1 n} untuk f (x ) adalah suatu fungsi yang memenuhi kondisi :

  a . S ( ) x adalah polinom kubik, S ( ) x menyatakan polynomial pada segmen _k x , x untuk k = 0, 1, . . . , n-1 ;

  [ ] ^{k k 1}

• b . S ( ) x = f ( ) x k = 0, 1, . . . , n-1 ; _{k k} c . k = 0, 1, . . . , n-2 ;

  S ( ) x = S ( ) x _{k 1 k 1 k k 1 ' ' k} + + + _{1 k} d . S ( ) x = S ( ) x k = 0, 1, . . . , n-2 ; + _{1 k " " k 1 k} + + k ¹ e . S ( ) x = S ( ) x k = 0, 1, . . . , n-2 ; + _{1 k}

• k
¹ f . Memenuhi salah satu kondisi _{'' ''} (i) S x S x ( Batas Natural ) _{' ' ' '} ( ) = ( ) = _n

  (ii) S ( ) x = f ( ) x dan S ( ) x = f ( ) x ( Batas Apitan ) _{n n}

  Bentuk Interpolasi Spline Kubik untuk fungsi f , dengan mengikuti kondisi- kondisi dalam Definisi 2.1 _{2 3}

  a . S x = + + + a b ( x − x ) c ( x − x ) d ( x − x ) k = 0, 1, . . . , n-1 ; _{k k k k k k k k} ( )

  (2.7)

• _{K k k k}
• d c b a + + = _k

• = _{k k k k}
_{1 1 1 1}
>= _k

  ) ( ) ( ) ( ) ( _{1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1}

  − + − + − + = _{k k k k k k k k k k k k}

  S x x d x x c x x b a x

  d c b a ₁

  a ( )

  ) ( _{1 1 1}

  S x x S

  = _{k k k k}

  maka _{3 1 2 1 1 1} ) ( ) ( ) ( _{k k k k k k k k k k k}

  x x d x x c x x b a a

  − + − + − + =

  jika _{k k}

  − x x

  di ganti _k

  

S x x d x x c x x b a x

  dan _{3 1 1 2 1 1 1 1 1 1} ) ( ) ( ) ( ) (

  − + − + − + = _{k k k k k k k k}

  a =

  b . ) ( ) ( _{k k} S x f x =

  ( ) ^{3 2}

  ) ( ) ( ) ( _{k k k k k k k k k k k k}

  S x x d x x c x x b a x

  − + − + − + =

  ( ) _{k k} = x f a ∴ (2.8) c .

  − + − + − + =

  ( )

  ) ( _{1 1 1}

  = _{k k k k}

  S x x S

  maka _{3 1 2 1 1 1} ) ( ) ( ) ( ) ( _{k k k k k k k k k k k k}

  

S x x d x x c x x b a x

  h maka

• 1
• = _k ^k _k ^k
• d c b + = _k
• 3 *

• + + + + + + + +