ANALISIS SENSITIVITAS DAN DUALITAS

ANALISIS SENSITIVITAS DAN DUALITAS

  Created by : Ayu Wahyuningrat Fathila Kusnandar Diono

  Moch. Apip Yamin Shandy Sukma G.

  FKOM-UNIKU 2010

ANALISIS SENSITIVITAS

  

Analisis sensitivitas adalah studi tentang bagaimana

perubahan penyelesaian optimal dan nilai

penyelesaian optimal dari programasi linear sebagai

akibat dari perubahan koefsien suatu variabel keputusan.

ANALISIS SENSITIVITAS

  ANALISIS SENSITIVITAS SECARA GRAFIS ANALISIS SENSITIVITAS DENGAN TABEL SIMPLEKS

  

F U N G S I A N A L I S I S S E N S I T I V I TA S

Analisis sensitivitas digunakan untuk melakukan interpretasi penyelesaian yang telah dicapai sehingga menjadi lebih mudah

dipahami. Alasan utama pentingnya dilakukan analisis ini adalah

dinamisasi dunia nyata. Artinya, kasus-kasus dalam dunia nyata

yang dipecahkan dalam programasi linear selalu mengalami perubahan. Misalnya, adanya perubahan harga bahan mentah yang digunakan oleh perusahaan, kenaikan upah, penggantian mesin dan sebagainya akan mengubah koefsien fungsi tujuan.

  

ANALISIS SENSITIVITAS

SECARA GRAFIS

Metode grafk dapat digunakan untuk menunjukan analisis sensitivitas pada koefsien fungsi tujuan,

koefsien variabel kendala dan nilai sisi kanan fungsi

kendala.

  

KO E F I S I E N F U N G S I T U J UA N

D A L A M M E T O D E G R A F I S

Mula-mula akan kita lihat berapa range optimalitas bagi

kasusu UD.Shuma tanpa harus mengubah jumlah produksi

25,7 unit sepatu wanita dan 21,5 unit sepatu anak. Dari

gambar 5.1 yang memperlihatkan penyelesaina dengan metode grafk dari kasus UD.Shuma, kita lihat bahwa

  

peyelesaian optimal terjadi pada titik ekstrem 4, yaitu pada

titik potong antara kendala pengukuran dan pemotongan pola dengan kendala pengeleman dan pengeringan.

  

. . . L A N J U TA N

Perubahan koefsien X 1 dan X 2 pada fungsi-fungsi tujuan akan menyebabkan perubahan slope fungsi tujuan. Dari gambar kita bisa mengetahui bahwa perubahan yang demikian menyebabkan garis fungsi tujuan berputar disekitar titik

ekstrem 4 tersebut. Namun selama garis fungsi tujuan masih

berada didalam daerah yang diarsis (daerah layak), titik

ekstrem 4 akan tetap optimal, yaitu bila slope garis kendala I

≤ slope garis fungsi tujuan ≤ slope garis kendala II.

  

G A M B A R 5 . 1 .

P E N Y E L E S A I A N D E N G A N M E T O D E G R A F I K

K A S U S P E R U S A H A A N U D . S H U M A P E N J E L A S A N G A M B A R 5 . 1

  Dari persamaan garis kendala I 10X +2X =300 kita bisa mengetahu

  1

  2 slope dan intersep garis tersebut dengan menuliskan persamaan tersebut jadi X

  2 =150 -5X 1 dimana 150 menunjukan besarnya

intersape dan -5 menunjukan slope. Sedang persamaan garis kendala

  II 3X +2X =120 dapat dituliskan menjadi X =60-3/2X . Intersape

  1

  2

  2

  1

garis kendala sebesar 60 dan koefsien sebesar -3/2. Dengan demikian

kita bisa mengetahuia bahwa supaya titik ekstreme 4 tetap merupakan penyelesaian optimal harus memenuhi

• 5 ≤ slope garis fungsi tujuan ≤ -3/2

  

Kita bisa menentukan range optimalitas keuntungan per unit

sepatu anak (c 2 ) dengan mengubah persamaan garis kendala I dan II serta persamaan tujuan sebagai X =f(X ) .

  1

  2 Garis kendala 1 (pengukuran dan pemotongan pola):

  10X +2X =300 atau X =30-2/10X

  1

  2

  1

  2 Garis kendala II (pengeleman dan pengeringan):

  3X 1 +2X 2 =120 atau X 1 =40-2/3X

2 Persamaan umum garis fungsi tujuan:

  Z=c

  2

  1 X 1 +c

  2 X 2 atau X 1 =Z/c 1 -c 2 /c

1 X

  Sehinga titik ekstrem 4 akan tetap optimal bila :

• 2/10 ≥ -c 2 /c

  1 ≥ -2/3

• 2/10 ≥ -c 2 /c

  1 dan –c 2 /c 1 ≥ -2/3 Atau 2/10 ≤ c 2 /c 1 dan c 2 /c 1 ≤2/3 Untuk c = 4000, maka

  1 2/10 ≤ c /4000 dan c /4000 ≤ 2/3

  2

  2 8000/10 ≤c 2 dan c 2 ≤ 8000/3 800 ≤ c

  2 dan c 2 ≤ 2666,67 Atau 800 ≤ c 2 ≤ 2666,67

Dengan range optimalitas tersebut, perkiraan keuntungan sepatu anak

sebesar Rp 1000,00 merupakan perkiraan yang baik karena berada diantara range tersebut.

  

S I S I KA N A N F U N G S I

K E N D A L A

Gambar 5.2.

  

Daerah Layak Kasus Perusahaan UD Shuma Dengan

Kendala Pengleman dan Pengeringan yang Baru

  

Perubahan nilai fungsi tujuan yang dihasilkan dari

kenaikan satu unit nilai sisi kanan fungsi kendala

disebut harga bayangan (shadow price). Semakin

banyak tambahan waktu yang bisa dilakukan menyebabkan nilai sisi kanan fungsi kendala semakin meningkat. Oleh karena itu nilai harga

bayangan hanya dapat digunakan pada perubahan

yang kecil dari nilai sisi kanan fungsi kendala.

  A N A L I S I S S E N S I T I V I TA S D E N G A N TA B E L S I M P L E K S

Informasi yang terdapat pada table simpleks akhir

dapat kita digunakan untuk menghitung range

koefsien fungsi tujuan, harga bayangan,dan range

nilai sisi kanan fungsi kendala.

  

KO E F I S I E N F U N G S I K E N D A L A

  Koefsien fungsi tujuan terletak dalam suatu range tertentu, maka penyelesaian optimal tidak berubah. Range dimana nilai fungsi tujuan terletak disebut range optimalitas koefsien fungsi tujuan. Tabel simpleks ini menunjukan bahwa penyelesaian sudah optimal karena semua nilai pada baris C – Z lebih kecil sama dengan nol. Adanya perubahan _{j j} pada salah satu koefsien fungsi tujuan akan menyebabkan nilai C j – Z j untuk variable non-dasar menjadi positif, sehingga penyelesaian menjadi tidak optimal lagi. Bila hal iini terjadi, maka dibutuhkan tambahan iterasi untuk menemukan penyelesaian optimal nilai C untuk semua variable non-dasar _j yang memenuhi C – Z ≤ 0. _{j j}

  Kombin 4000 1000 Kuantita C ₁ asi s

  X ₁ X S S S _{2 1 2 3} Produk 4000 1 1/7 -1/7 180/7

  X ₁ 1000 1 -3/14 10/14 150/7

  X ₂ 38/70 -8/7 1 407

  S ₃   Z 4000 1000 2500/7 1000/7 124300 _j

• 2500/7 -1000/7 C – Z _{j j}

  

Untuk melihat proses perhitungan range optimalisasi

ini kita misalkan nilai koefsien X (keuntungan per

  1 unit sepatu wanita) sebesar c (bukan 4000),

  1

sehingga kita dapatkan table simpleks akhir sebagai

berikut :

  Kombin 100 Kuantitas C c _{j 1} asi

  S S S _{1 2 3} X ₁ Produk

  X ₂ 1 1/7 -1/7 180/7

  X c _{1 1} 1 -3/14 10/14 150/7

  1000

  X ₂ 38/70 -8/7 1 407

  S ₃

• 1/7 1/7 c -3000/14 180/7 c +10000/7
_{1 1}

    100 Z c _{j 1}

  c +10000/14

• 1/7
¹

   

• c +3000/14 1/7 c

  C – Z _{j j} ^{1 1}

  10000/14

    Dari table kita mendapatkan :

• 1/7 c +3000/14 ≤ 0

  1 (-2 c +3000)/14 ≤ 0

  1 2 c ≥ 3000

  1 c ≥ 1500

  1 dan 1/7 c - 10000/14 ≤ 0

  1 (2 c - 10000)/14 ≤ 0

  1 2 c ≥ 10000

  1 c ≥ 5000

  1  

Range optimalitas yang kita peroleh adalah 1500 ≤

c ≤ 5000. Hasil ini sama dengan yang kita peroleh

  1

  Kombin 200 100 Kuantitas C _j asi S S S _{1 2 3} Produk

  X ₁ X ₂ 2000 1 1/7 -1/7 180/7

  X ₁ 1000 1 -3/14 10/14 150/7

  X ₂ 38/70 -8/7 1 407

  S ₃

  1000/14 6000/14

    Z 200 100 _j 729000

• 1000/14 -6000/14

    C – Z _{j j} Berdasarkan range optimalitas c ini, manajer

  1

  dapat menggunakannya untuk memeperoleh informasi apakah penyelesaian masih optimal atau tidak. Misal, karena naiknya harga bahan mentah, menyebabkan keuntungan per unit sepatu wanita turun menjadi Rp 2000 (masih di dalam range optimalitas). Hasil iterasi terakhir untuk perubahan ini, seperti yang terlihat pada table di bawah, masih optimal (semua nilai baris C – Z ≤ 0). Sedang

  j j

  keuntungan total yang diperoleh menjadi Rp

  Misalkan sekarang keuntungan sepatu wanita ini turun lagi menjadi Rp 1000 (di luar range optimalitas). Hasil iterasi tidak lagi optimal karena nilai kolom S

  1

  pada baris C – Z positif. Berarti masih

  j j

  diperlukan iterasi lagi hingga dicapai penyelesaian optimal yang baru. Dengan kata lain, penyelesaian sebesar 25,7 unit sepatu wanita dan 21,5 unit sepatu anak tidak lagi merupakan produksi yang optimal pada keadaan di mana

  Kombin C 100 100 Kuantitas _j asi S S S _{1 2 3} Produk

  X ₁ X ₂ 1000 1 1/7 -1/7 180/7

  X ₁ 1000 1 -3/14 10/14 150/7

  X ₂ 38/70 -8/7 1 407

  S ₃

• 1000/14 8000/14

    100 100 47200

  Z _j

  1000/14 -6000/14

    C – Z _{j j} Range optimalitas keuntungan per unit sepatu anak (c ) dapat kita tentukan dengan

  2

  cara yang sama seperti yang kita lakukan terhadap c , yaitu dengan cara mengubah

  1

  koefsien X dan c pada table simpleks

  2

  2

  akhir. Sebagai akibatnya :

• 4000/7 + 3/14 c ≤ 0

  2

  (3 c - 8000)/14 ≤ 0

  2

  c ≤ 8000/3

  2

  c ≤ 2666,67

  2

  dan 4000/7 - 10/14 c ≤ 0

  2

  (8000 - 10 c )/14 ≤ 0

  2 Artinya selama keuntungan per unit sepatu anak berada didalam range tersebut, produksi sebesar 25,7 unit sepatu wanita dan 21,5 unit sepatu anak akan merupakan penyelesaian optimal.

  Kombin

  40 Kuantitas C c _{j 2} asi

  00 S S S S ^{1 2} X ₁ Produk

  X _{2 3} 4000 1 1/7 -1/7 180/7

  X ₁ 1 -3/14 10/14 150/7 c ₂ X ₂

  38/70 -8/7 1 407 S ₃

• 4000/7 + 720000/7

  4000/7 - 3/14

    400 Z c _{j 2}

• 150/7 c
₂ 10/14 c ₂

c

₂ C – Z j j<
• 4000/7 +   4000/7 - 10/14

  

R UA S KA N A N F U N G S I K E N D A L A

Nilai sisi kanan fungsi kendala pada programasi linear biasanya di interpretasikan sebagai kapasitas yang tersedia (dapat digunakan). Analisis sensitiftas sisi kanan fungsi kendala

dapat member informasi kepada manajer tentang

seberapa besar perubahan kapasitas tersebut bernilai bagi perusahaan
• 3/14 38/70
• 1/7 10/14
• 8/7

  124300  

  3

  dan S

  2

  , S

  1

  untuk variable slack S

  j

  Tabel simpleks diatas menunjukan nilai Z

  

2500/7

  Z _j C – Z 400 100

  407  

  1 180/7 150/7

  1 1/7

  1

  X ₁ X ₂ S ₃ 4000 1000

  X ₂ S ₁ S ₂ S ₃ Kuantitas

  X ₁ 100

  Kombina si Produk C _j 200

  masing- masing sebesar 2500/7, 1000/7 dan 0. Jadi harrga bayyangan untuk waktu pengukuyran dan pemotongan pola adalah Rp. 2500/7, untuk waktu pengeleman dan pengeringan Rp. 1000/7 dan untuk pengeslepan sebesar Rp. 0.

• -2500/7

  1000/7
• 1000/7

  

DUALITAS Dual mempunyai interpretasi penting yang dapat membantu manajer mencari jawab atas pertanyaan yang

menyangkut alternatif-alternatif kegiatan dan nilai relative masing-masing kegiatan. Dengan menggunakan penyelesaian dual dimungkinkan untuk memformulasikan

suatu kasus dalam konteks yang berbeda dan mendapatkan

hasil yang sama. Dalam metode simpleks, dual disebut juga sebagai penyelesaian persamaan menurut kolom. F O R M U L A S I KA S U S D U A L D A PAT D I T U R U N KA N D A R I KA S U S P R I M A L S E B A G A I B E R I K U T :

  Dual merupakan kasus minimisasi dan karenanya mempunyai kendala ≥.

  Bila primal mempunyai n variable keputusan, maka dual akan mempunyai n kendala. Kendala pertama dual berkaitan dengan variable keputusan (X ) dalam

  1 primal, sedang kendala kedua dalam dual berkaitan dengan variable X . Dalam primal dan seterusnya.

  2 Nilai-nilai sisi kanan fungsi kendala primal menjadi nilai-nilai koefsien fungsi tujuan dual. Koefsien fungsi tujuan primal menjadi nilai ruas kanan fungsi kendala dalam dual.

  Koefsien-koefsien fungsi kendala ke-i variable primal menjadi koefsien-koefsien dalam kendala ke-i dari dual.

  Berdasarkan persyaratan umum tentang dual di atas, kita bisa menurunkan formulasi dual untuk kasus perusahaan UD. Shuma. Primal : memaksimumkan 4000X + 1000 X

  1

  2 Kendala 10 X + 2X ≤ 300

  1

  2

  3 X + 2X ≤ 120

  1

  2

  2 X + 2X ≤ 100

  1

  2 X , X ≥ 0

  1

  2

• Dual : meminimumkan Y = 300u + 120u

  1

  2

  100u

3 Kendala 10u + 3u + 2u ≥ 4000

  1

  2

  3

  2u + 2u + 2u ≥ 1000

  1

  2

  3 Sekarang kita mencoba menyelesaikan kasus dual ini dengan metode simpleks. Mula-mula kita ubah dulu menjadi kasus maksimisasi dengan cara mengalihkan fungsi tujuan dengan -1, kemudian memasukkan variable surplus dan variable artifcial untuk mengubah formulasi menjadi bentuk yang dapat dituliskan ke dalam table. Memaksimumkan –Y = -300u - 120u - 100u

  1

  2

  3

• 0S + 0S – Ma – Ma

  1

  2

  1

2 Kendala 10u + 3u + 2u - S + a = 4000

  1

  2

  3

  1

  1

  2u + 2u + 2u - S + a = 1000

  1

  2

  3

  2

  2

  u , u , u , S , S , a , a ≥ 0

  1

  2

  3

  1

  2

  1

  2 Tabel simpleks yang diturunkan dari formulasi tersebut adalah :

  Kombin -300 -120 -1000 -M -M Kuantit C _j asi as u u u S S a a _{1 2 3 1 2 1 2} Produk a -M ₁

  10

  3 2 -1 1 4000

• M

  2

  2 2 -1 1 1000 a ₃

• 12M -5M -4M

    M M -M -M -5000M

  Z _j

• M -M C – Z _{j j}

  300+12 120+5 100+4M M M Hasil iterasi pertama : _j - Kombi C -120 -1000 -M -M Kuantitas 300 -

  u u S S a a _{2 3 1 2 1 2} nasi u ₁ Produ k

• M -7 -8 -1

  5 1 -5 -1000 a ₁

• 300

  1

  1 1 -1/2 1/2 500 a ₃

• 300 -300+7M -300+8M M 150+5M -M - 150+5

    Z _j

• 420-7M -400+8M -M -150+5M M 150000M+1000 _{j j}

    M

• 150+5 M  

  C – Z Hasil iterasi kedua :

  Kombi C -300 -120 -1000 -M -M Kuantitas _j

• - u u u S S a a
_{1 2 3 1 2 1 2} nasi Produ
• 120 1 8/7 1/7 -5/7 -1/7 5/7 142,86

  u ₁

• 300 1 -1/7 -1/7 3/14 1/7 -3/14 357,14

  u ₃

• 300 -120 -660/7 180/7 150/7 -180/7 -150/7- 124300

    Z _j

• 40/7 -180/7 -150/7 180/7- M M 150/7-

  C – Z _{j j}

  M Penyelesaian di atas sudah mencapai optimal karena semua nilai pada baris C – Z ≤ 0.

  j j

  Nilai fungsi tujuan yang kita peroleh bertanda negatif,maka penyelesaian dual fungsi tujuan haruslah –(-124300) atau 124300. Hasil ini sama dengan yang kita peroleh dari penyelesaian optimal primal.Hal ini berlaku untuk semua kasus dual, yaitu

  bila primal mempunyai penyelesaian optimal, maka dual juga mempunyai penyelesaian optimal dan sebaliknya.Nilai fungsi tujuan optimal

  Kalau kita perhatikan nilai penyelesaian optimal kasus dual adalah u = 357,14, u , =

  1

  2

  142,86, u = 0. Ternyata bahwa nilai-nilai

  3 tersebut sama dengan harga bayangan.

  Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa nilai harga bayangan dan nilai

  dual adalah satu dan sama. Berarti nilai

  optimal variabel dual menyatakan juga nilai tambahan per unit waktu (sumber daya) atau mengidentifkasi kontribusi ekonomi sumber daya dalam kasus primal.