MATEMATIKA DISKRIT II ( 2 SKS)
MATEMATIKA DISKRIT
Graf
1 2006
II ( 2 SKS)
Rabu, 18.50 – 20.20
Ruang Hard Disk
PERTEMUAN X, XI
GRAF
Dosen
Lie Jasa
2 2006
GRAF Oerip S Santoso
Matematika Diskrit
Pendahuluan
• Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-
objek diskrit dan hubungan antara objek-objek
tersebut• Representasi dari graf adalah dgn menyatakan
objek sebagai noktah, bulatan atau titik, sedangkan hubungan antar objek dinyatakan dgn garis.- Contoh : Sebuah peta jaringan jalan raya yg menghubungkan sejumlah kota pd sebuah propinsi. Sesungguhnya peta tsb adalah sebuah
graf, yg dalam hal ini kota dinyatakan sebagai
noktah, sedangkan jalan raya dinyatakan sbg
garis.
3 2006
Graf
Contoh
• Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan peta
jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota di Provinsi Jawa Tengah
Rembang Kudus Brebes Demak
Tegal Pemalang Kendal Semarang Pekalongan Slawi
Blora Purwodadi Temanggung Salatiga
Wonosobo Purbalingga Purwokerto Sragen
Banjarnegara Boyolali Solo K r o y a Sukoharjo Kebumen Cilacap Magelang
Klaten Purworejo Wonogiri
4 2006 Sejarah Graf
- Masalah jembatan Königsberg (tahun 1736). Di kota Königsberg (sebelah timur negara bagian Prussia, Jerman), yg sekarang bernama kota Kaliningrad, terdapat sungai Pregal yg mengalir mengintari pulau Kneiphof lalu bercabang
menjadi dua buah anak sungai. Ada 7
buah jembatan yg menghubungkan daratan yg dibelah oleh sungai tsb.
5 2006
Graf
Masalah Jembatan Königsberg C A D B
- Graf yang merepresentasikan jembatan Königsberg:
- – Simpul (vertex) à menyatakan daratan
- – Sisi (edge) à menyatakan jembatan
• Bisakah melalui setiap jembatan tepat sekali
dan kembali lagi ke tempat semula?
6 2006
- Graf G = (V, E), yang dalam hal ini:
- – V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (vertices) = { v
– E = himpunan sisi (edges) yang menghubungkan
sepasang simpul = {e• Definisi diatas mengatakan bahwa V tidak boleh
kosong, sedangkan E boleh kosong.- Jadi sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi satu buah pun, tetapi simpulnya harus ada.
G1 adalah graf dengan V = { 1, 2, 3, 4 } E = { (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4) }
2 , e
1 , e
(3, 4) } = { e
G2 adalah graf dengan V = { 1, 2, 3, 4 } E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4),
2 : graf ganda
G
1 : graf sederhana
4 , e
e
7
e
6
e
5
3 , e
5 , e
4
4 , e
(c).
(b).
8 } (a).
7,, e
6 , e
5 , e
3 , e
6 , e
2 , e
1 , e
= { e
G3 adalah graf dengan V = { 1, 2, 3, 4 } E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4), (3, 3) }
3 : graf semu
G
7 }
e
e
Graf
8 2006
1
4
3
2
1
Contoh Graf
}
3
2 , ... , e n
1
, e}
2 , ... , v n
1 , v
Definisi Graf
7 2006
2
4 e
3
4
e
2
e
1
e
3
2
1 e
1
7
6 e
5 e
4 e
3 e
2 e
8 G
Contoh
• Pada G , sisi e = (1, 3) dan sisi e = (1,
2
3
4 3) dinamakan sisi-ganda (multiple edges atau paralel edges) karena kedua sisi ini menghubungi dua buah simpul yang sama, yaitu simpul 1 dan simpul 3.
- Pada G , sisi e = (3, 3) dinamakan
3
8 gelang atau kalang (loop) karena ia
berawal dan berakhir pada simpul yang
sama.9 2006
Graf
Jenis-Jenis Graf Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi • ganda pada suatu graf, maka graf digolongkan menjadi dua jenis: 1. Graf sederhana (simple graph).
Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi- ganda dinamakan graf sederhana. G pada contoh
1 graf sederhana 2. Graf tak-sederhana (unsimple-graph).
Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana (unsimple graph). G
2 dan G pada contoh adalah graf tak-sederhana
3
10 2006
Jenis-Jenis Graf (cont.)
Berdasarkan jumlah simpul pada suatu •graf, maka secara umum graf dapat
digolongkan menjadi dua jenis:1. Graf berhingga (limited graph) Graf berhingga adalah graf yang jumlah simpulnya, n, berhingga.
2. Graf tak-berhingga (unlimited graph)
Graf yang jumlah simpulnya, n, tidak
berhingga banyaknya disebut graf tak-
berhingga.11 2006
Graf
Jenis-jenis Graf (cont.)
- Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis:
1. Graf tak-berarah (undirected graph) Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah. Tiga buah graf pada contoh a,b,dan c adalah graf tak-berarah.
2. Graf berarah (directed graph atau digraph)
Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut
sebagai graf berarah.1 Contoh Graf berarah :
1 G :graf berarah
4
2
3
2
3 G : graf ganda
5
4
berarah
4
12 2006
Graf
13 2006
Tabel Jenis-jenis Graf
14 2006
Contoh Terapan Graf
Graf
15 2006
Contoh Terapan Graf (cont.)
16 2006
Contoh Terapan Graf (cont.)
Graf
17 2006
Contoh Terapan Graf (cont.)
18 2006
Terminologi Graf
Graf
19 2006
Terminologi Graf (cont.)
20 2006
Terminologi Graf (cont.)
Terminologi Graf (cont.)
21 2006
Graf
Lemma Jabat Tangan
• Jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah genap,
yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut.
d v E Dengan kata lain, jika G = (V, E), maka
( )
2 =
∑ v
V ∈
• Tinjau graf G : d(1) + d(2) + d(3) + d(4) = 2 + 3 + 3 + 2 = 10
1 = 2 × jumlah sisi = 2 ×
5
- Tinjau graf G : d(1) + d(2) + d(3) = 3 + 3 + 4 = 10
2
= 2 jumlah sisi = 2
5 × ×
- Tinjau graf G : d(1) + d(2) + d(3) + d(4) + d(5)
3 = 2 + 2 + 3 + 1 + 0 = 8 = 2 jumlah sisi = 2
4 × ×
22 2006 a. tidak dapat, karena jumlah derajat semua simpulnya ganjil (2 + 3 + 1 + 1 + 2 = 9).
b. dapat, karena jumlah derajat semua simpulnya genap (2 + 3 + 3 + 4 + 4 = 16).
Graf
23 2006
Contoh • Diketahui graf dengan lima buah simpul.
Dapatkah kita menggambar graf tersebut jika derajat masing-masing simpul adalah:
(a) 2, 3, 1, 1, 2 (b) 2, 3, 3, 4, 4
Penyelesaian:
6. Lintasan (Path)
• Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v
ke simpul tujuan v
24 2006
), e
1 memiliki panjang 3.
: lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan dengan barisan sisi (1,2), (2,4), (4,3).
1
, v n ) adalah sisi-sisi dari graf G.
= (v n-1
), ... , e n
2
, v
1
= (v
2
1
n di dalam graf G ialah barisan
berselang-seling simpul-simpul dan sisi-sisi
yang berbentuk v , e= (v , v
1
, v n sedemikian sehingga e
, e n
2
, v
2
, e
1
, v
1
,... , v n–1
- Tinjau graf G
- Panjang lintasan adalah jumlah sisi dalam
lintasan tersebut. Lintasan 1, 2, 4, 3 pada G
7. Siklus (Cycle) atau Sirkuit (Circuit)
• Lintasan yang berawal dan berakhir pada
simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus.- Tinjau graf G : 1, 2, 3, 1 adalah sebuah
1 sirkuit.
• Panjang sirkuit adalah jumlah sisi dalam
sirkuit tersebut. Sirkuit 1, 2, 3, 1 pada G
1 memiliki panjang 3.
25 2006
Graf
8. Terhubung (Connected)
- Dua buah simpul v dan simpul v disebut terhubung jika
1
2 terdapat lintasan dari v1 ke v .
2
- G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk
setiap pasang simpul v dan v dalam himpunan V terdapat
i j lintasan dari v ke v . i j
- Jika tidak, maka G disebut graf tak-terhubung (disconnected graph).
2
5 Contoh graf tak-terhubung:
1
4
6
3
8
7
26 2006
Graf terhubung kuat dam lemah
Dua simpul, u dan v, pada graf • berarah G disebut terhubung kuat
1 (strongly connected) jika terdapat
1 lintasan berarah dari u ke v dan juga lintasan berarah dari v ke u.
2
- Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi terhubung pada graf tidak
2
3 berarahnya, maka u dan v dikatakan terhubung lemah
3
4 (weakly coonected). graf berarah graf berarah
- Graf berarah G disebut graf terhubung kuat terhubung lemah
terhubung kuat (strongly connected graph) apabila untuk
setiap pasang simpul sembarang u dan v di G, terhubung kuat. Kalau tidak, G disebut graf terhubung lemah.
27 2006
Graf
9. Upagraf (Subgraph) dan Komplemen Upagraf
- Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graf. G = (V , E ) adalah
1
1
1 upagraf (subgraph) dari G jika V V dan E E.
⊆ ⊆
1
1
- Komplemen dari upagraf G terhadap graf G adalah graf G
1
2 = (V , E ) sedemikian sehingga E = E - E dan V adalah
2
2
2
1
2 himpunan simpul yang anggota-anggota E bersisian
2 dengannya.
2
2
1
1
1
3
3
3
6
6
2
4
5
5
5 (a) Graf G
1 (b) Sebuah upagraf (c) komplemen dari upagraf (b)
28 2006
10. Upagraf Rentang (Spanning Subgraph)
- Upagraf G
4
2
3
a) graf G, (b) upagraf rentang dari G, (c) bukan upagraf rentang dari G
30 2006
Terdapat banyak cut-set pada sebuah graf terhubung.
1
2
3
5
5
6
5
1
2
4
3
6 (a)
(b)
1
4
=V (yaitu G
3
1
= (V
1
, E
1
) dari G = (V, E) dikatakan upagraf rentang jika V
1
1
Graf
mengandung semua simpul dari G).
1
2
3
4
5
1
2
29 2006
11. Cut-Set
- Cut-set dari graf terhubung G adalah himpunan sisi yang bila
dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung. Jadi, cut-set
selalu menghasilkan dua buah komponen. - Pada graf di bawah, {(1,2), (1,5), (3,5), (3,4)} adalah cut-set.
• Himpunan {(1,2), (2,5)} juga adalah cut-set, {(1,3), (1,5), (1,2)}
adalah cut-set, {(2,6)} juga cut-set,- tetapi {(1,2), (2,5), (4,5)} bukan cut-set sebab himpunan bagiannya, {(1,2), (2,5)} adalah cut-set.
12. Graf Berbobot (Weighted Graph)
• Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya
diberi sebuah harga (bobot).
Graf
31 2006
a b c d e
10
12
8
15
9
11
14
32 2006
Beberapa Graf Sederhana Khusus
Graf
33 2006
34 2006
Graf Bipartite
Graf
35 2006
Representasi Graf Contoh :
36 2006
Contoh adjacency matrix
(d)Graf
37 2006
Derajat tiap simpul i
2. Matriks Bersisian (incidency matrix)
38 2006
3. Senarai Ketetanggaan (adjacency list)
Graf
39 2006
40 2006
Graf Isomorfik (Isomorphic Graph)
Graf
41 2006
Contoh
42 2006
Contoh contoh
43 2006
Graf
Graf Planar (Planar Graph)
- Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi tidak saling memotong disebut sebagai graf planar,
jika tidak, ia disebut graf tak-planar.
44 2006
• Graf planar yang digambarkan dengan
sisi-sisi yang tidak saling berpotongan
disebut graf bidang (plane graph).
Graf
45 2006
Graf Bidang (Plane Graph)
46 2006
Persoalan utilitas (utility problem)