TEAM TEACHING MATEMATIKA DISKRIT
MATEMATIKA DISKRIT
MATEMATIKA DISKRIT
3 SKS
Buku Teks :
Discrete Mathematics and Its Applications, Kenneth H Rossen, McGraw-Hill
Penilaian :
Tugas
Kuis
UTS
UAS
LOGIKA DAN
EKUIVALENSI LOGIKA
Bab 1 Sub-bab 1.1 – 1.2 Tujuan Instruksional khusus
Memahami tentang logika proposional
Memahami tentang penggunaan operator
logika pada proposisi Memahami tentang ekuivalensi pada logika proposional
Logika
Logika adalah dasar dari penjabaran matematika (mathematical reasoning)
Logika mempelajari penjabaran (reasoning) secara benar
Fokus pada relasi antar pernyataan (statement) / kalimat (sentence).
Contoh: Dino adalah mahasiswa UB.
Semua mahasiswa UB pandai. Dino orang pandai.
Perhatikan bahwa logika tidak harus memperhatikan
Proposisi
Proposisi merupakan sebuah pernyataan atau kalimat yang punya nilai kebenaran (benar = 1 / salah = 0).
Proposisi disimbolkan dengan huruf p, q, dsb.
Biasanya berbentuk kalimat deklaratif Contoh bukan proposisi:
Berapa harga tiket ke Malaysia?
Silakan duduk.
MACAM PROPOSISI
Kalimat deklaratif yang tidak memuat penghubung disebut
proposisi (primitif ) ex:
2 adalah Bilangan bulat
Kalimat deklaratif yg memuat penghubung ”atau” “dan” ”jika maka” disebut proposisi
majemuk (compound) ex:
Taufik Hidayat pandai main bulu
Konektif
Jika p dan q adalah proposisi, dapat dibentuk proposisi (majemuk) baru (compound
proposition) dengan menggunakan konektif
Macam-macam konektif:
NOT (negasi) Simbol
- atau ‾
AND (konjungsi) Simbol ^
Inclusive OR (disjungsi) Simbol v
Exclusive OR Simbol
Implikasi Simbol
Implikasi ganda Simbol
Tabel Kebenaran Negasi p p
1
1 Contoh:
p = Jono seorang mahasiswa
- p = Jono bukan seorang mahasiswa
Tabel Kebenaran Konjungsi p q p
Contoh : q
p = Harimau adalah binatang buas
1 q = Malang adalah ibukota
1 Jawa Timur
1
1
1 p ^ q = Harimau adalah binatang buas dan Malang adalah ibukota Jawa Timur
p ^ q salah.
Perhatikan bahwa tidak perlu Tabel Kebenaran Disjungsi ( Inclusive OR
) p q p v q
1
1
1
1
1
1
1 Contoh:
p = Jono seorang mahasiswa
q = Mira seorang sarjana hukum
p v q = Jono seorang mahasiswa atau Mira
Tabel Kebenaran Exclusive Disjunction
“Either p or q” (but not both), dengan simbol p q
p q bernilai benar hanya jika p benar dan q salah, atau p salah dan q benar
p = "John is programmer, q = "Mary is a lawyer" p q p q
1
1
1
1
1
1
(p q)^( r)
(
p (q^r)
(p q)^r
Beberapa contoh bentukan compound statements, seperti:
Kalimat majemuk (
compound statements)
Proposition ) dengan menggunakan konektor atau perangkai.
Apabila ada dua buah proposisi misalkan proposisi A dan proposisi B maka dapat dibentuk proposisi baru ( Compound
statements)
p, q, r merupakan kalimat / pernyataan sederhana (simple
- p)( q)
Tingkat Presedensi
Urutan penyelesaian logika jika menemui proposisi majemuk Tabel Kebenaran (p r) q p q r (p
r) q
1
1
1
1
1
1
1
1
1
HITUNG p q p q p q (p q) v ( p q)
1
1
1
1 Lengkapilah tabel dibawah ini serta berikan kesimpulan akhirnya
Implikasi
Disebut juga proposisi kondisional (conditional proposition) dan berbentuk
“ jika p maka q”
Notasi simboliknya : p q Contoh: p = Jono seorang mahasiswa q = Mira seorang sarjana hukum p q = Jika Jono seorang mahasiswa maka
Tabel Kebenaran Implikasi p q p
q
1
1
1
1
1
1
1 Hypotesa dan konklusi
Dalam implikasi p q
p disebut antecedent, hypothesis, premise
q disebut konsekuensi atau konklusi (consequent, conclusion)Perlu dan Cukup Kondisi “perlu” dinyatakan oleh konklusi. Kondisi “cukup” dinyatakan oleh hipotesa.
Perlu = necessary; Cukup = sufficient
Contoh:
Jika Jono seorang mahasiswa maka Mira seorang sarjana hukum
Kondisi perlu: Mira seorang sarjana hukum
Kondisi cukup: Jono seorang mahasiswa
Tabel kebenaran Implikasi Ganda (Biimplikasi)
Implikasi Ganda (double implication) dibaca “p jika dan hanya jika q”
Notasi simboliknya p q p q p q (p q) ^ (q p)
1
1
1
1
1
1
KESIMPULAN BIIMPLIKASI
p q ekivalen dengan (p q)^(q p) p q p q (p q) ^ (q p)
1
1
1
1
1
1
1
1
Ekivalensi Logikal
Dua proposisi yang tabel kebenarannya identik disebut ekivalen (logically equivalent).
Contoh:
- p q ekivalen (logically equivalent to) p q
p q p q p q
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 Konversi dan Inversi
Konversi dari p q adalah q p
Inversi dari p q adalah p q
Apakah Konversi dan Inversi diatas equivalent??? BUKTIKAN!!!!
Kontrapositif kontrapositif dari proposisi p q adalah
- q p
Buat Tabel Kebenarannya dan apakah p
q dan q p ekivalen???
JAWAB KONTRAPOSITIF
p q dan q p ekivalen
p q p q q p
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 Ekivalensi Logika Ekivalensi
Nama p T p Identity laws p
F p p Domination laws T T p F F p
Idempotent laws p p p p p
(p) p Double negation laws
p
Commutative laws q q p p q q p Ekivalensi Logika Ekivalensi Nama p (q r) (p q) (p Distributive laws r) p (q r) (p q) (p r) Ø
(p De Morgan’s laws q) ( p) ( q)
Ø (p q) ( p) ( q) p
Absorption laws (p q) p p (p q) p p p T Negation laws Ekivalensi Logika Ekivalensi
Ekivalensi p p q p q q (p q) (q p) p
q q p p q p q p
q p q p q (p q) (p p
q (p q) q)
- (p q) p q
- (p q) p q (p q) (p r) p (q r) (p r) (q r) (p q)
r (p r) (q r) (p q)
Tautology
Proposisi yang selalu bernilai benar (true) dalam keadaan apapun
Contoh: p p v q
p q p p v q
1
1
1
1
1
1
1
1 Kontradiksi
Proposisi yang selalu bernilai salah (false) dalam keadaan apapun
Contoh : p ^ p
- p p ^ ( p)
1
Latihan-1
1.Dari bbrp kalimat dibawah ini mana yang termasuk proposisi ? Tentukan nilai kebenaran dari proposisi tsb.
7 merupakan sebuah bilangan prima. Jangan lakukan.
Jika 10 habis dibagi dengan 4, maka juga habis dibagi dengan 2.
x + y = y + x untuk setiap pasangan dari bilangan real x dan y
Jam berapa sekarang?
Latihan
2. Tentukan apakah ( p (p q)) q
adalah tautologi?3. Tunjukkan bahwa manakah yang ekivalen dari ketiga logika berikut? a. p q b. (p q) (p q) c. (p q) ^ (q p)