A. Interpolasi Linier - PERSAMAAN

PERSAMAAN INTERPOLASI

  Dalam mengestimasi suatu data-data yang ada, diperlukan suatu metode untuk penyelesaiannya yaitu interpolasi. Metode interpolasi yang paling banyak digunakan adalah interpolasi polinomial, dengan bentuk:

  2 n

  F(x) = a + a x + a x + ….. + a x

  1 2 n Pada polinomial berderajat satu, maka diperoleh bentuk interpolasi linier.

  a. orde 1 yang menghubungkan 2 titik

  b. orde 1 yang menghubungkan 3 titik

c. Orde 3 menghubungkan 4 titik

A. Interpolasi Linier

• Bentuk yang paling sederhana adalah dengan menghubungkan dua titik data dengan garis lurus interpolasi linier
• Diketahui nilai suatu fungsi di titik x dan x yaitu fungsi f(x ) dan f(x ), dengan metode

  1

  1

  interpolasi linier akan dicari fungsi dititik x, f(x)

  f(x) E f(x1)

  C f(x2) f(x0)

  A B D

  X X0

  X X1

• Dari segitiga sebangun ABC dan ADE terdapat hubungan:

  BC DE f ( x )−f (x ) f (x )− f ( x )

  1

  1 = −

  AB = AD x−x x 1 x f ( x )− f ( x )

  1 f ( x)=f ( x )+ ( x−x )

  1 x − x

  1

• Persamaan yang didapat adalah persamaan interpolasi linier (interpolasi polinomial orde satu)

  Contoh: Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi linier berdasarkan data ln 1 = 0 dan ln 6 = 1,7917595 Penyelesaian: Interpolasi linier dari: x = 1 f(x ) = 0 x

  1 = 6 f(x 1 ) = 1,7917595

  x = 2 f (x) = ?

  1 1,7917595−0 f 1(2)=0+ 2−1)=0,3583519

  ( 6−1

  Nilai eksak dari ln 2 = 0,69314718

  0,69314718−0,3583519 e x 100%=48,3%

  =| | t

  0 ,69314718

  Besar kesalahan:

B. Interpolasi Kuadrat

• Kesalahan yang terjadi pada contoh di atas, karena kurva dari fungsi didekati dengan garis lurus.
• Untuk mengurangi kesalahan tersebut, perkiraan dilakukan dengan menggunakan garis lengkung.
• Polinomial orde dua menghubungkan tiga titik data, persamaan dapat ditulis dalam bentuk: f (x) = b + b (x-x ) + b (x-x ) (x-x ) ……….………………………...……. (1)

  2

  1

  2

  1

• Persamaan di atas identik dengan persamaan:

  2

  f

  2 (x) = a + a 1 x + a 2 x

  dengan: a = b - b

  1 x + b 2 x x

  1

  a = b - b x - b x x

  1

  1

  2

  2

  1

  a = b

  2

  2

• Prosedur untuk menentukan koefisien-koefisien di atas:

   Koefisien b , masukkan nilai x = x pada persamaan (1) didapat b = f(x ) ……………………………………………………… (2)  Koefisien b , masukkan nilai x = x pada persamaan (1)

  1

  1 f ( x )− f ( x )

  1 b =

  1 − x x

  1

  didapat …..........…………………………………… (3)  Koefisien b , substitusi persamaan (2) dan (3) dan x = x pada persamaan (1)

  2

  2 f ( x )− f (x ) f ( x )− f ( x )

  2

  1

  1 − x − x x − x

  2

  1

  1 b =

  2 x − x

2 Didapat

  Contoh: Dicari nilai ln 2 atau f(2) dengan metode interpolasi kuadrat berdasarkan data: x = 1 f(x ) = 0 x

  1 = 4 f(x 1 ) = 1,3862944

  x = 6 f(x ) = 1,79177595

  2

2 Penyelesaian:

  · Koefisien b = f(x ) = 0 )− ) f ( x f ( x

  1 1,3862944−0 b = = = 0,46209813

  1 − x x 4−1

  1 · Koefisien · Koefisien b

  2 f ( x )− f (x ) f ( x )− f ( x )

  2

  1

  1 1,7917595−1,3862944 1,3862944−0 −

  − x − x x − x

  2

  1 1 6−1 4−1 b = = =− 0,051873

  2 x − x 6−1

2 Nilai-nilai tersebut disubstitusikan ke persamaan (1),

  diperoleh: f (x) = 0 + 0,4629813(x-1) – 0,051873(x-1)(x-4),

  2

  sehingga untuk x = 2 → f (2) = 0,56584436

2 Nilai eksak dari ln 2 = 0,69314718

  0,69314718−0,56584436 e =| | x 100%=18,4% t

  0,69314718

  Besar kesalahan:

C. Bentuk Umum Interpolasi Polinomial Newton

• Bentuk umum polinomial orde n adalah

  F n (x) = b + b

  1 (x-x ) + …….. + b n (x-x ) (x-x 1 ) …………… (x-x n-1 )

• Untuk polinomial orde n diperlukan data n+1
• Dengan menggunakan titik-titik data tersebut, persamaan berikut digunakan untuk mengevaluasi koefisien b , b , ….., b

  1 n b = f ( x )

  )− )

  f ( x f ( x

  1

  = =

  b f x , x 1 [ 1 ] x − x

  1

  −

  f x ,x f x , x

  2

  1

  1 [ ] [ ] b = f x , x ,x =

  2

  2

  1 [ ]

  −

  x x

  2

  −

  

f x , x ,.......,x f x ,x ,......., x

n n−1 1 n−1 n−2

  

[ ] [ ]

  = =

  b f x ,x ,.......,x x n [ n n−1 1 , ] x − x n

• Definisi fungsi berkurung ([………..]) adalah pembagian beda hingga
• Persamaan di atas adalah berurutan, artinya pembagian beda hingga lebih tinggi terdiri dari pembagian beda hingga yang lebih rendah, seperti terlihat pada tabel berikut: i x i f(x i ) Pertama Kedua ketiga x f(x ) f[x ,x ] f[x ,x ,x ] f[x ,x ,x ,x ]

  

1

  2

  1

  3

  2

  1

  1 x

  1 f(x 1 ) f[x

2 ,x

1 ] f[x 3 ,x 2 ,x 1 ]

  2 x

  2 f(x 2 ) f[x

3 ,x

2 ]

  3 x f(x )

  3

3 Contoh

  Dicari nilai ln 2 atau f(2) dengan metode interpolasi polinomial order tiga berdasarkan data x = 1 f(x ) = 0 x

  1 = 4 f(x 1 ) = 1,3862944

  x

  2 = 6 f(x 2 ) = 1,7917595

  x = 5 f(x ) = 1,6094379

  3

3 Penyelesaian

   Persamaan polinomial order tiga diperoleh dengan memasukkan nilai n = 3 ke dalam persamaan umum polinomial, sehingga:

  f ( x)=b b ( x−x )+ b + ( x−x )( x−x )+ b ( x−x )( x−x ))( x−x )

  3

  1

  2

  1

  

3

  1

  2

   Pembagian beda hingga pertama dihitung dengan persamaan:

  f (x )− f ( x )

  1

  1,3862944−0 = =

  ,x 0,46209813 f [ x 1 ]=

  −

  x x 4−1

  1 f ( x − f ( x )

  1 2)

  1,7917595−1,3862944 = =

  ,x 0,2027326 f [ x 2 1 ]=

  −

  x x 6−4

  2

  1

  )− )

  f (x f ( x

  3 2 1,6094379−1,7917595 ,x = = 0,1823216 f [ x

  3

  2

  ]=

  x − x 5−6

  3

  2

  ,x

  ,x ] = b

  ; b

  2

=− 0,051873116

  ; b

  1 = 0,46209813

  ; b

  1 =

  b

  dan f(x ) = b dan f(x ) = b

  3

  1

   Maka persamaan polinomial order tiga diperoleh dengan memasukkan nilai n = 3 ke dalam persamaan umum polinomial

  2

  2

  ,x

  3

  f[x

  2

  ,x ] = b

  1

  ,x

  3 =− 0,0078655415 x = 1 f(x ) = 0 x ^{1 = 4 f(x 1 ) = 1,3862944} x ² = 6 f(x

²

) = 1,7917595 x ^{3 = 5 f(x 3 ) = 1,6094379}

  f

  , f[x

  x−x

  1

  x−x

  )(

  x−x

  (

  3

  b

  )+

  1

  )(

  3

  x−x

  (

  2

  b

  )+

  x−x

  (

  1

  x)=b

  (

  2

  1

  x−x

  = 0,2027326−0,46209813 6−1 =− 0,051873116 f [ x

  1 = 0 ,1823216−0,2027326

  3 − x

  1 ] x

  2 , x

  2 ]−f [x

  3 , x

  1 ]= f [x

  2 ,x

  3 ,x

  2 − x

   Pembagian beda hingga ketiga dihitung dengan persamaan:

  ] x

  1 , x

  1 ]−f [x

  2 , x

  ]= f [x

  1 , x

  2 ,x

  f [ x

   Pembagian beda hingga kedua dihitung dengan persamaan:

  )

  5−4 =− 0,020410950

  f [ x

  ,x ] = b

  1 ,x

  1

  H asil dari f[x

  = 0,0078655415

  0,02041095−(−0,05187312 5−1

  = −

  1

  − x

  3

  

]

x

  2 , x

  3 ,x

  [ x

  − f

  1 ]

  2 , x

  3 ,x

  f [ x

  =

  ]

  1 , x

  2 ,x

  ))(

• b

  =|

0,69314718−0,62876869

0,69314718

| x 100%=9,3%

   f

^{3 (x) = 0 + 0,46209813 (x-1) - 0,051873116 (x-1) (x-4) + 0,0078655415 (x-1) (x-4) (x-6)}

   Dengan mensubstitusikan nilai x = 2, maka f

  3 (2) = 0,62876869

  Nilai eksak dari ln 2 = 0,69314718 Besar kesalahan:

  e t

D. Interpolasi Polinomial Lagrange

• Hampir sama dengan polinomial Newton tetapi tidak menggunakan bentuk pembagian beda hingga  Interpolasi polinomial Lagrange dapat diturunkan dari persamaan Newton.
• Bentuk polinomial Lagrange orde satu:

  F

  1 (x) = f(x ) + (x-x ) f[x 1 ,x ] …………………………………………….. (D1)

  f [ x

  1 ,x

  ] = f ( x

  1 )− f ( x ) x

• f ( x ) x − x

  1 − x =

f (x

  1 ) x

  1

− x

  1

  ......………………..(D2) Substitusi persamaan (D2) ke persamaan (D1),

  Dengan

  x−x x−x ( )+ )+ ) f x)=f ( x f ( x f (x

  1

  1 − − x x x x

  1

  1 Dengan mengelompokkan suku-suku di ruas kanan x−x x−x

  1 f ( x)= f (x )+ f (x )

  1

  1 x − x x − x

  1

  1 Persamaan dikenal dengan interpolasi polinomial Lagrange order satu

• Dengan prosedur di atas, untuk interpolasi order dua akan didapat

  x−x x−x x−x x−x x−x x−x

  1

  2

  2

  1 ( )+ )+ ) f x)= f ( x f ( x f ( x

  2

  1

  2 − − − − − − x x x x x x x x x x x x

  1

  2

  1

  

1

  2

  2

  2

  1

• Secara umum bentuk interpolasi polinomial Lagrange orde n adalah

  j≠1 ¿ ¿¿¿ ¿¿ n

  dimana simbol п merupakan simbol perkalian (hasil kali dari)

• Dengan persamaan tersebut, dapat dihitung interpolasi lagrange orde yang lebih tinggi, misalnya untuk interpolasi lagrange orde 3, persamaan tersebut adalah :

  3 f x)= L x)f ( x

  3 ( i ( i ) ∑ i=1 f x)=L x)f ( x L x)f (x L x)f ( x L x )f ( x

  3 ( ( )+ 1 ( 1 )+ 2 (

2 )+

3 ( 3 ) x−x x−x x−x

  1

  2

  3 L ( x)= x − x x − x x − x

  1

  2

  3 x−x x−x x−x

  2

  3 L ( x)=

  1 x − x x − x x − x

  1

  1

  2

  1

  3 x−x x−x x−x

  1

  3 L ( x)=

  2 x − x x − x x − x

  2

  2

  1

  2

  3 x−x x−x x−x

  1

  2 L ( x)=

  3 x − x x − x x − x

  3

  3

  1

  3

  2 Sehingga bentuk interpolasi polinomial lagrange orde 3 adalah ; x−x x−x x−x x−x x−x x−x

  1

  2

  3

  2

  3 f ( x)= f ( x )+ f ( x )

  3

  1 x − x x − x x − x x − x x − x x − x

  1

  2

  3

  1

  1

  2

  1

  3 x− x x−x x−x x−x x−x x−x

  1

  3

  1

  2

• f ( x )+ f ( x

  )

  2

  3 x − x x − x x − x x − x x − x x − x

  2

  2

  1

  2

  3

  3

  

3

  1

  3

  2 Dicari nilai ln 2 atau f(2) dengan menggunakan interpolasi lagrange order satu dan dua berdasar data x = 1 f(x ) = 0 x = 4 f(x ) = 1,3862944

  1

  1

  x

  2 = 6 f(x

2 ) = 1,7917595

  Penyelesaian  Penyelesaian order satu, untuk x = 2

  x−x x−x 1 2−4 2−1 f x)= f (x f (x

  ( )+ )=

  1

  1 x x x x 1−4 (0)+ 4−1 (1,3862944)

  − −

  1

  1 f x)=0, 4620981

  (

  1

   Penyelesaian order dua, untuk x = 2

  x−x x−x x−x x−x x−x x−x

  1

  2

  2

  1 f x)= f ( x f ( x f ( x

  ( )+ )+ )

  2

  1

  2 x x x x x x x x x x x x

  − − − − − −

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  2

  1 2−4 2−6 2−1 2−6 2−1 2−4 f x)=

  (

  2

1−4 1−6 (0)+ 4−1 4−6 (1,3862944)+ 6−1 6−4 (1,7917595)

f ( x)=0,56584437

2 D. Interpolasi Spline

  Seperti telah dibahas dalam dua metode terdahulu, bahwa untuk n+1 data akan terdapat polinom interpolasi orde ke-n yang dapat dihasilkan untuk menginterpolasi nilai suatu fungsi di dalam selang titik data. Namun terkadang hal ini tidak memberikan kecocokan yang bagus (gambar). Pendekatan lainnya adalah dengan menerapkan polinom interpolasi yang lebih rendah pada sebagian titik data. Polinom demikian dikenal sebagai polinom interpolasi

  Spline. Jika diantara dua titik data dibangun suatu polinom orde 3, maka kurva ini disebut spline kubik (cubic spline).

• Spline Linier Hubungan paling sederhana yang dapat dibangun diantara dua titik data adalah hubungan linier. Spline orde satu untuk sekelompok titik data merupakan himpunan;

  f (x )=f ( x )+ m ( x−x ) x ≤ x≤x

  1 f (x )=f ( x m x−x x x≤x

  )+ ( ) ≤

  1

  1

  1

  1

  2 ......... f (x )=f ( x )+ m ( x−x ) x ≤ x≤x n−1 n−1 n−1 n−1 n m adalah kemiringan garis lurus yang menghubungkan titik-titik tersebut. i

  )− )

  f (x f (x i+1 i m = i

  −

  x x i+1 i

  5

• 2
^{4 3 2 1 -1 1 -2 2 -1 -3 3 5 -2 4 3 2 1 -1 1 -2 2 -1 -3 3} 5<
• 2
^{4 3 2 1 -1 1 -2 2 -1 -3 3 5 -2 4 3 2 1 -1 1 -2 2 -1 -3 3} Perbandingan Polinom Interpolasi Newton / Lagrange vs Splin
• Spline Kuadrat Dalam spline kuadrat, antara dua titik data akan dibangun suatu polinom orde kedua. Polinom tiap selang dapat dinyatakan secara umum sebagai:

  2 ( f x)=a x b x+c

• i i i i

  a1.x+b1.x f(x)

• c1 a2.x+b2.x f(x1 +c2 f(x3 ) a3.x+b3.x ) f(x0
• c3 ) f(x2 ) Selang Selang Selang

  1

  2

  3 x x0 x1 x2 x3 i=0 i=1 i=2 i=3

  Gambar diatas menjelaskan proses penyusunan spline kuadrat, untuk n+1 (i=1,2,3,...) titik data maka akan terdapat n buah selang, dan akibatnya akan terdapat 3n buah konstanta, sehingga diperlukan 3n buah persamaan, yaitu:

  1. Nilai-nilai fungsi harus sama pada titik-titik dalam

  a . x b . x c f (x 2 ) = + + i−1 i−1 i−1 i−1 i−1 i−1 a . x b .x c = f ( x ) + + i 2 i i−1 i i−1 i−1

  Untuk i = 2 hingga n, persamaan diatas memberikan n-1 kondisi, sehingga total ada 2n-2 kondisi.

  2. Fungsi-fungsi pertama dan terakhir harus melalui titik ujung

  a . x b . x c = f ( x ) + +

  1

  2

  1

  1 a . x b .x c = f ( x + + )

  2 n n n n n n

  Persamaan diatas memberi 2 kondisi sehingga total ada 2n kondisi,

  3. Turunan pertama pada titik-titik dalam harus sama

  2a . x b = 2a . x b + + i−1 i−1 i−1 i i−1 i

  Untuk i = 2 hingga n, persamaan diatas memberikan n-1 kondisi, sehingga total ada 3n-1 kondisi.

  4. Asumsikan turunan kedua adalah nol pada titik pertama, sehingga a =0

  1 Dengan demikian maka lengkaplah 3n buah kondisi yang diperlukan untuk menghitung 3n buah konstanta.

• Spline Kubik Jika di antara dua titik dibangun suatu polinom orde tiga, maka hal ini disebut sebagai

  spline kubik. Polinom orde ketiga itu dalam bentuk:

  3

  2 f ( x)=a . x b .x c . x+d + + i i i i i

  Jika terdapat n+1 data (i = 0, 1, 2, 3, ......, n) maka akan terdapat n buah selang dan terdapat 4n buah konstanta. Untuk itu diperlukan 4n buah kondisi, yang diperoleh dari:

  1. Nilai fungsi harus sama pada simpul dalam (2n-2 kondisi).

  2. Fungsi pertama dan terakhir melalui titik ujung (2 kondisi).

  3. Turunan pertama pada simpul dalam harus sama (n-1 kondisi).

  4. Turunan kedua pada simpul dalam harus sama (n-1 kondisi).

  5. Turunan kedua pada titik ujung harus = nol (2 kondisi). Persamaan spline kubik tiap selang titik data dapat diturunkan sebagai:

  '' '' '' f x f x f ( x f x x x

  ( ) ( ) ) ( )( − )

  i−1 3 i−1 3 i−1 i−1 i i−1 f x)= .( x x ) .( x x ) x x )+

• ( − − − ( −

  i i i i x − x

  6 6(x x 6(x x i i−1

  − ) − ) [ ]

  i i−1 i i−1 '' f ( x ) f ( x )( x − x ) i i i i−1

• − ( x − x )

  i i −

  1 x x

  6 −

  i i−1 [ ]

  Pers amaan diatas mengandung turunan kedua di ujung tiap selang titik data yang tak diketahui, namun nilainya dapat dihitung dari persamaan:

  '' '' ''

  ( x − x ) . f ( x )+ 2( x − x ) . f ( x )+( x − x ) . f ( x )

  i i i−1 i+1 i−1 i i+1 i i+1 ₋

  1

  6

  6

  ¿ . f ( x )− f ( x ) . f ( x )− f (x ) i+1 i i−1 i

• ( x − x ) ( x − x )

  [ ] [ ]

  i+1 i i i−1

  Contoh: Gunakan spline orde satu, dua dan tiga untuk menginterpolasi nilai fungsi pada x = 5 jika diketahui data-data:

  x 3,0 4,5 7,0 9,0 f(x) 2,5 1,0 2,5 0,5 Spline orde satu:

  1−2,5 f ( x)=2,5+

  1 ( 3,0≤x≤4,5)

  4,5−3 .(x−3)=−x+5,5 2,5−1,0 f ( x)=1,0+

  2 ( 4,5≤x≤7,0)

  7−4,5 .(x−4,5)=0,6.x−1,7 0,5−2,5 f ( x)=2,5+ .(x−7)=−x+9,5

  3 ( 7,0≤x≤9,0)

  9−7

  5)=0,6.(5)−1,7=1,3 (

  2

  sehingga f

  Spline orde dua:

  1. Nilai-nilai fungsi harus sama pada titik-titik dalam

  a . x b . x c f (x 2 ) = + + i−1 i−1 i−1 i−1 i−1 i−1 a . x b .x c = f ( x + ) + i 2 i i−1 i i−1 i−1

  Untuk i = 2 hingga n, persamaan diatas memberikan n-1 kondisi, sehingga total ada 2n-2 kondisi. Dari persamaan diatas diperoleh a dan b.

  20,25.a 4,5.b c = 1,0 + +

  1

  1

  1 20,25.a 4,5.b c 1,0 + + =

  2

  2

  2 49.a 7.b c = 2,5 + +

  2

  2

  2

  3

  3

• = 49.a 7.b c 2,5

  3

  2. Fungsi-fungsi pertama dan terakhir harus melalui titik ujung

  a . x b . x c + = f ( x + )

  1

  2

  1

  1 a . x b .x c = f ( x ) + +

  2 n n n n n n

  Persamaan diatas memberi 2 kondisi sehingga total ada 2n kondisi, Dari persamaan diatas diperoleh a.

  9.a 3.b c = 2,5 + +

  1

  1

  1 81.a 9.b c = 0,5 + +

  3

  3

  3

  3. Turunan pertama pada titik-titik dalam harus sama

  2a . x b = 2a . x b + + i−1 i−1 i−1 i i−1 i

  Untuk i = 2 hingga n, persamaan diatas memberikan n-1 kondisi, sehingga total ada 3n-1 kondisi. Dari persamaan diatas memberikan:

  9.a b = 9.a b + +

  1

  1

  2

  2 14.a b = 14.a b + +

  2

  2

  3

  3

  4. Asumsikan turunan kedua adalah nol pada titik pertama, sehingga a =0

  1 Ditentukan bahwa a =0. Persamaan-persamaan di atas kemudian disusun dalam

  1 bentuk matriks. b

  1 4,5 1,0

  1,0 c

  1 0 20,25 4,5 1,0 1,0 a

  2 0 49,00 7,0 1,0 2,5 b

  0 49,00 7,00 1,0 2 2,5 c

  3,0 1,0 2 2,5 a

  0 81,00 9 ,00 1,0 3 0,5 b

  1,0 0 −9,0 −1,0 0

  3 c

  0 14 ,00 1,0 0 −14,00 −1,00 0

  3 { }

  { } [

  ]

  = Dengan metode-metode yang telah dibahas dalam penyelesaian Sistem Persamaan Linier (SPL), maka diperoleh:

  a = b =− 1 c = 5,5

  1

  1

  1 a = 0,64 b =− 6,76 c = 18,46

  2

  2

  2 a =− 1,6 b = 24 ,6 c =− 91,3

  3

  3

3 Sehingga spline orde dua yang terbentuk adalah:

  f ( x)=−x+5,5

  1

  ( 3,0≤ x≤4,5)

  2 f + ( x)=0,64. x 6,76. x−18,46

  2

  ( 4,5≤ x≤7,0)

  2 f ( x)=−1,6. x 24 ,6. x−91,3 +

  3 ( 7,0≤ x≤9,0)

  2 f ( 5)=0,64.(5) 6,76.(5)+18,46=0,66 +

2 Dan nilai fungsi

  Spline Kubik '' '' '' f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x )( x − x )

i−1 i−1 i−1 i−1 i i−1

  3

  3

f x)= .( x x ) .( x x ) x x )+

  ( + − + − − ( −

  i i i i x − x

  6 6(x x 6(x x i i−1

  − ) − ) [ ]

  i i−1 i i−1 '' f ( x ) f ( x )( x − x ) i i i i−1

  − x x ) + ( −

  i i −

  1 x x

  6 −

  i i−1 [ ]

  Dari persamaan diatas dicari turunan kedua pada simpul-simpul dalam.  Untuk simpul dalam pertama:

  x = 3 f (x 2,5 )= x = 4,5 f (x )=

  1

  1

  1 f (x 2,5 x = 7 )=

  2

  2 Substitusikanlah nilai-nilai ini ke persamaan berikut ini: '' '' ''

  ( x − x ) . f ( x )+ 2( x − x ) . f ( x )+( x − x ) . f ( x )

  i i i−1 i+1 i−1 i i+1 i i+1 ₋

  1

  6

  6

• ¿ . f ( x )− f ( x ) . f ( x )− f (x )

  i+1 i i−1 i [ ] [ ]

  ( x − x ) ( x − x )

  i+1 i i i−1

  Diperoleh: (

  4,5−3).f ''(3)+2(7−3).f ''( 4,5)+(7−4,5).f '(7)

  6

  6 =

  .(2,5−1)+ .(2,5−1) ( (

  7−4,5) 4,5−3) Dengan mengingat bahwa f ''(3)=0 , maka diperoleh:

  8.f ''(4,5)+2,5. f ''(7)=9,6 (i)

   Untuk simpul dalam kedua:

  x = 4,5 f (x

  1 1 )=

  1 x = 7 f (x )= 2,5

  2

  2 f (x 0,5 x = 9 )=

  3

  3 Substitusikanlah nilai-nilai ini ke persamaan berikut ini: '' '' ''

  ( x − x ) . f ( x )+ 2( x − x ) . f ( x )+( x − x ) . f ( x )

  i i i−1 i+1 i−1 i i+1 i i+1 ₋

  1

  6

  6

  ¿ . f ( x )− f ( x ) . f ( x )− f (x ) i+1 i i−1 i

• ( − ) ( − )

  [ ] [ ]

  x x x x i+1 i i i−1 Diperoleh: (

  7−4,5).f ''(4,5)+2(9−4,5).f ''(7)+(9−7).f ' (9)

  6

  6 =

  .(0,5−2,5)+ .(1−2,5) ( (

  9−7) 7−4,5) Dengan f ''(9 )=0

  2,5.f ''(4,5)+9. f ''(7)=−9,6 (ii)

  Dari (i) dan (ii) diperoleh:

  f ''( 4,5)=1,67909 dan f ''(7)=−1,53308

  Nilai-nilai yang diperoleh kemudian disubstitusikan ke persamaan berikut untuk mendapatkan Spline Kubik bagi tiap selang:

  '' '' '' f x f x f ( x f x x x

  ( ) ( ) ) ( )( − )

  

i−1 i−1 i−1 i−1 i i−1

  3

  3

f x)= .( x x ) .( x x ) x x )+

• ( − − ( − + −

  i i i i x − x

  6 6(x x 6(x x i i−1

  − ) − ) [ ]

  i i−1 i i−1 '' f ( x f x x x

  ) ( )( − )

  i i i i−1 x x

• − ( − )

  i i −

  1 x − x

  6

  i i−1 [ ]

  3 ( f x)=0,186566(x−3) 1,666667(4,5−x)+0 ,246894(x−3)

• 1

  ( 3,0≤x≤4,5)

  3

  3 f ( x)=0,111939(7−x) − 0,102205(x−4,5) − 0.299621(7−x)+1,638783(x−4,5)

  2

  ( 4,5≤x≤7,0)

  ( f x)=−0,127757(9−x )3+1,761027(9−x)+0,25(x−7)

  3

  ( 7,0≤x≤9,0) Dengan demikian untuk nilai fungsi x = 5 (pada selang kedua):

  3 ( f 5)=0,111939(7−5) 0,102205(5−4,5)−0,299621(7−5)+1,638783(5−4,5)

• 2

  f ( 5)=1,102886

  2

  5 ⁵ f(x) ₄

f(x)

_{4 2 3 2 3} Kubik Spline _{1 1 2} Spline linier Spline kuadrat _{4 5 1 1 2 4 5} x x