01 Pengertian Pertidaksamaan
SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER
DAN KUADRAT
A. Pengertian Pertidaksamaan
Notasi pertidaksamaan meliputi :
“” notasi lebih dari
“ ” notasi kurang dari atau sama dengan
“ ”notasi lebih dari atau sama dengan
Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan satu variabel berupa interval atau selang
yang dapat digambarkan dalam suatu garis bilangan
Sedangkan pertidaksamaan linier satu variabel yaitu pertidaksamaan yang memuat
satu variabel dengan pangkat tertinggi satu.
Terdapat empat istilah dalam interval, yaitu interval terbuka, interval tertutup, interval
berhingga dan interval tak hingga.
Untuk lebih jelasnya ikutilah gambar berikut ini untuk variabel x :
o
a
b
Gambar di atas adalah interval terbuka di a dan tertutup di b ditulis a < x ≤ b
a
Gambar di atas adalah Interval tak hingga ditulis x a
a
b
Gambar di atas adalah interval berhingga ditulis a x b
Bentuk lain dari notasi pertidaksamaan adalah tanda tidak sama dengan (ditulis ≠ )
Namun dalam pembahasan bab ini, notasi tersebut tidak diuraikan secara mendalam
Sebuah notasi pertidaksamaan dapat berubah karena adanya operasi tertentu.
Perubahan tersebut dapat dijelaskan dalam sifat-sifat pertidaksamaan berikut ini :
Sistem Pertidaksamaan Linier dan Kuadrat
1
Sifat-sifat pertidaksamaan :
(1) Tanda/notasi suatu pertidaksamaan tidak berubah jika penambahan atau
pengurangan suatu bilangan (variabel) yang sama dilakukan pada kedua ruas
pertidaksamaan
Contoh : 3 < 6
3+4 < 6+4
(kedua ruas ditambahkan 4)
7 < 10
(2) Tanda/notasi suatu pertidaksamaan tidak berubah jika perkalian atau pembagian
suatu bilangan (variabel) positip yang sama dilakukan pada kedua ruas
pertidaksamaan
Contoh : 3 < 6
3x 2 < 6x2
(kedua ruas dikalikan 2)
6 < 12
(3) Tanda/notasi suatu pertidaksamaan akan berubah jika perkalian atau pembagian
suatu bilangan (variabel) negatip yang sama dilakukan pada kedua ruas
pertidaksamaan
Contoh : 3 < 6
3 x (–5) < 6 x (–5)
(kedua ruas dikalikan –5)
–15 > –30
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut:
01. Tentukanlah interval penyelesaian pertidaksamaan berikut ini :
(a) 3x – 6 < 12
(b) 5x + 3 3x – 7
Jawab
(a) 3x – 6 < 12
3x < 12 + 6
3x < 18
x3
x ≤ –4
Sistem Pertidaksamaan Linier dan Kuadrat
2
03. Tentukanlah interval penyelesaian pertidaksamaan berikut ini :
(a) –8 < 3x + 4 < 22
(b) –3 9 – 4x 29
Jawab
(a) –8 < 3x + 4 < 22
–8 – 4 < 3x + 4 – 4 < 22 – 4
–12 < 3x < 18
–4 < x < 6
(b) –3 9 – 4x 29
–3 – 9 9 – 4x – 9 29 – 9
–12 < –4x < 20
3 > x > –5
–5 < x < 3
Bentuk Umum pertidaksamaan kuadrat : ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c 0
ax2 + bx + c ≥ 0
Penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut berupa interval berhingga atau interval
tak hingga dengan aturan sebagai berikut :
Jika p dan q adalah akar-akar dari persamaan ax2 + bx + c = 0, maka p dan q
merupakan batas-batas interval penyelesaian pertidaksamaan kuadrat tersebut.
Jika D = b2 – 4ac merupakan diskriminannya, maka penyelesaian pertidaksamaan
kuadrat dapat dijelaskan sebagai berikut :
Untuk diskriminan positif (D > 0), maka akan terdapat dua titik batas interval, yakni p
dan q sehingga penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dapat dibantu dengan sketsa
grafik fungsi kuadrat berikut
D>0
a >0
+
–
p
+
q
x
D>0
a 0 penyelesaiannya x < p atau x > q
ax2 + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya x ≤ p atau x ≥ q
ax2 + bx + c < 0 penyelesaiannya x < p atau x > q
ax2 + bx + c ≤ 0 penyelesaiannya x ≤ p atau x ≥ q
ax2 + bx + c > 0 penyelesaiannya p < x < q
ax2 + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya p ≤ x ≤ q
3
Untuk diskriminan nol (D = 0), maka akan terdapat satu titik batas interval, misalkan
p (p = q) sehingga penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dapat dibantu dengan
sketsa grafik fungsi kuadrat berikut
ax2 + bx + c < 0 penyelesaiannya p < x < p
D=0
atau tidak ada nilai x yang memenuhi
a >0
ax2 + bx + c ≤ 0 penyelesaiannya p ≤ x ≤ p
atau x = p
ax2 + bx + c > 0 penyelesaiannya x < p atau x > p
+
+
atau x memenuhi semua bilangan real kecuali p
x
p
ax2 + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya x ≤ p atau x ≥ p
atau x memenuhi semua bilangan real
D=0
a p
atau x memenuhi semua bilangan real kecuali p
ax2 + bx + c ≤ 0 penyelesaiannya x ≤ p atau x ≥ p
atau x memenuhi semua bilangan real
ax2 + bx + c > 0 penyelesaiannya p < x < p
atau tidak ada nilai x yang memenuhi
ax2 + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya p ≤ x ≤ p
atau x = p
Untuk diskriminan negatif (D < 0), maka tidak terdapat titik batas interval, sehingga
penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dapat dibantu dengan sketsa grafik fungsi
kuadrat berikut
ax2 + bx + c < 0 penyelesaiannya tidak ada nilai x
D0
ax2 + bx + c ≤ 0 penyelesaiannya tidak ada nilai x
yang memenuhi
ax2 + bx + c > 0 penyelesaiannya memenuhi
semua bilangan real x
+
ax2 + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya memenuhi
x
semua bilangan real x
D 0
(d) 10x – x2 24
Jawab
(a) x2 – x – 12 < 0
(x + 3)(x – 4) < 0
+
+
–
–3
4
x1 = –3 dan x2 = 4
–3 < x < 4
(b) x2 – 9 ≥ 0
(x + 3)(x – 3) ≥ 0
+
+
–
x1 = –3 dan x2 = 3
–3
3
x ≤ –3 atau x ≥ 3
(c) –3x2 + 9x + 30 > 0
x2 – 3x – 10 < 0
(x + 2)(x – 5) < 0
x1 = –2 dan x2 = 5
–2 < x < 5
+
(d) x2 – x – 12 < 0
(x + 3)(x – 4) < 0
x1 = –3 dan x2 = 4
–3 < x < 4
+
–2
–3
–
x
+
x
4
02. Tentukanlah interval penyelesaian pertidaksamaan berikut ini :
(a) x2 – 2x + 8 > 0
(b) 15x – x2 – 18 ≥ x2 + 3x
Jawab
(a) x2 – 2x + 8 > 0
D = (–2)2 – 4(1)(8)
D = –28 < 0
Tidak ada batas interval
Jadi
+
x memenuhi semua bilangan real
Sistem Pertidaksamaan Linier dan Kuadrat
x
+
5
–
x
x
5
(b) 15x – x2 – 18 ≥ x2 + 3x
15x – x2 – 18 – x2 – 3x ≥ 0
–2x2 – 12x – 18 ≥ 0
x2 + 6x + 9 ≤ 0
(x + 3)(x + 3) ≤ 0
+
x = –3
–3 ≤ x ≤ –3
Atau nilai yang memenuhi hanya untuk x = –3
–3
+
x
+
x
+
x
03. Tentukanlah interval penyelesaian pertidaksamaan berikut ini :
(a) x2 – 8x + 16 > 0
(b) x2 + 10x + 25 < 0
Jawab
(a) x2 – 8x + 16 > 0
(x – 4)(x – 4) > 0
x=4
x < 4 atau x > 4
+
4
Atau nilai x memenuhi untuk semua bilangan real kecuali 4
(b) x2 + 10x + 25 < 0
(x + 5)(x + 5) > 0
x = –5
–5 < x < –5
Atau tidak ada nilai x yang
memenuhi
+
–5
4. Sebuah perusahaan sepatu memproduksi dan menjual berbagai model sepatu. Untuk
satu model sepatu tertentu diperkirakan dijual seharga a rupiah. Jika dalam satu
minggu dikeluarkan biaya sebesar M rupiah dan pendapatan yang diterima P rupiah
serta dirumuskan M = 2.000.000 – 40.000a dan P = 20.000a – 400a2 maka
berapakah batas harga sepatu persatuan harus dijual agar perusahaan memperoleh
keuntungan ?
Jawab
Agar mendapat keuntungan maka :
P > M
20000a – 400a2 > 2000000 – 40000a
20000a – 400a2 – 2000000 + 40000a > 0
+
–400a2 + 60000a – 2000000 > 0
2
50
a – 150a + 5000 < 0
(a – 100)(a – 50) < 0
Batas interval a1 = 100
dan a2 = 50
Jadi interval harga sepatu adalah : 50 < a < 100
Sistem Pertidaksamaan Linier dan Kuadrat
–
+
100
x
6
5. Kiper Kevin menendang bola yang sudah ditangkapnya. Tinggi bola h, dalam meter, t
detik setelah ditendang membentuk persamaan h = –3t2 + 18t . Kapan bola mencapai
ketinggian lebih dari 24 m?
Jawab
h > 24
–3t2 + 18t > 24
–3t2 + 18t – 24 > 0
3t2 – 18t + 24 < 0
t2 – 6t + 8 < 0
(t – 4)(t – 2) < 0
t1 = 4 dan t2 = 8 maka 4 < t < 8
Jadi bola mencapai ketinggian lebih dari 24 m pada selang waktu antara 4 detik dan 8
detik
Sistem Pertidaksamaan Linier dan Kuadrat
7
DAN KUADRAT
A. Pengertian Pertidaksamaan
Notasi pertidaksamaan meliputi :
“” notasi lebih dari
“ ” notasi kurang dari atau sama dengan
“ ”notasi lebih dari atau sama dengan
Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan satu variabel berupa interval atau selang
yang dapat digambarkan dalam suatu garis bilangan
Sedangkan pertidaksamaan linier satu variabel yaitu pertidaksamaan yang memuat
satu variabel dengan pangkat tertinggi satu.
Terdapat empat istilah dalam interval, yaitu interval terbuka, interval tertutup, interval
berhingga dan interval tak hingga.
Untuk lebih jelasnya ikutilah gambar berikut ini untuk variabel x :
o
a
b
Gambar di atas adalah interval terbuka di a dan tertutup di b ditulis a < x ≤ b
a
Gambar di atas adalah Interval tak hingga ditulis x a
a
b
Gambar di atas adalah interval berhingga ditulis a x b
Bentuk lain dari notasi pertidaksamaan adalah tanda tidak sama dengan (ditulis ≠ )
Namun dalam pembahasan bab ini, notasi tersebut tidak diuraikan secara mendalam
Sebuah notasi pertidaksamaan dapat berubah karena adanya operasi tertentu.
Perubahan tersebut dapat dijelaskan dalam sifat-sifat pertidaksamaan berikut ini :
Sistem Pertidaksamaan Linier dan Kuadrat
1
Sifat-sifat pertidaksamaan :
(1) Tanda/notasi suatu pertidaksamaan tidak berubah jika penambahan atau
pengurangan suatu bilangan (variabel) yang sama dilakukan pada kedua ruas
pertidaksamaan
Contoh : 3 < 6
3+4 < 6+4
(kedua ruas ditambahkan 4)
7 < 10
(2) Tanda/notasi suatu pertidaksamaan tidak berubah jika perkalian atau pembagian
suatu bilangan (variabel) positip yang sama dilakukan pada kedua ruas
pertidaksamaan
Contoh : 3 < 6
3x 2 < 6x2
(kedua ruas dikalikan 2)
6 < 12
(3) Tanda/notasi suatu pertidaksamaan akan berubah jika perkalian atau pembagian
suatu bilangan (variabel) negatip yang sama dilakukan pada kedua ruas
pertidaksamaan
Contoh : 3 < 6
3 x (–5) < 6 x (–5)
(kedua ruas dikalikan –5)
–15 > –30
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut:
01. Tentukanlah interval penyelesaian pertidaksamaan berikut ini :
(a) 3x – 6 < 12
(b) 5x + 3 3x – 7
Jawab
(a) 3x – 6 < 12
3x < 12 + 6
3x < 18
x3
x ≤ –4
Sistem Pertidaksamaan Linier dan Kuadrat
2
03. Tentukanlah interval penyelesaian pertidaksamaan berikut ini :
(a) –8 < 3x + 4 < 22
(b) –3 9 – 4x 29
Jawab
(a) –8 < 3x + 4 < 22
–8 – 4 < 3x + 4 – 4 < 22 – 4
–12 < 3x < 18
–4 < x < 6
(b) –3 9 – 4x 29
–3 – 9 9 – 4x – 9 29 – 9
–12 < –4x < 20
3 > x > –5
–5 < x < 3
Bentuk Umum pertidaksamaan kuadrat : ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c 0
ax2 + bx + c ≥ 0
Penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut berupa interval berhingga atau interval
tak hingga dengan aturan sebagai berikut :
Jika p dan q adalah akar-akar dari persamaan ax2 + bx + c = 0, maka p dan q
merupakan batas-batas interval penyelesaian pertidaksamaan kuadrat tersebut.
Jika D = b2 – 4ac merupakan diskriminannya, maka penyelesaian pertidaksamaan
kuadrat dapat dijelaskan sebagai berikut :
Untuk diskriminan positif (D > 0), maka akan terdapat dua titik batas interval, yakni p
dan q sehingga penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dapat dibantu dengan sketsa
grafik fungsi kuadrat berikut
D>0
a >0
+
–
p
+
q
x
D>0
a 0 penyelesaiannya x < p atau x > q
ax2 + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya x ≤ p atau x ≥ q
ax2 + bx + c < 0 penyelesaiannya x < p atau x > q
ax2 + bx + c ≤ 0 penyelesaiannya x ≤ p atau x ≥ q
ax2 + bx + c > 0 penyelesaiannya p < x < q
ax2 + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya p ≤ x ≤ q
3
Untuk diskriminan nol (D = 0), maka akan terdapat satu titik batas interval, misalkan
p (p = q) sehingga penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dapat dibantu dengan
sketsa grafik fungsi kuadrat berikut
ax2 + bx + c < 0 penyelesaiannya p < x < p
D=0
atau tidak ada nilai x yang memenuhi
a >0
ax2 + bx + c ≤ 0 penyelesaiannya p ≤ x ≤ p
atau x = p
ax2 + bx + c > 0 penyelesaiannya x < p atau x > p
+
+
atau x memenuhi semua bilangan real kecuali p
x
p
ax2 + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya x ≤ p atau x ≥ p
atau x memenuhi semua bilangan real
D=0
a p
atau x memenuhi semua bilangan real kecuali p
ax2 + bx + c ≤ 0 penyelesaiannya x ≤ p atau x ≥ p
atau x memenuhi semua bilangan real
ax2 + bx + c > 0 penyelesaiannya p < x < p
atau tidak ada nilai x yang memenuhi
ax2 + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya p ≤ x ≤ p
atau x = p
Untuk diskriminan negatif (D < 0), maka tidak terdapat titik batas interval, sehingga
penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dapat dibantu dengan sketsa grafik fungsi
kuadrat berikut
ax2 + bx + c < 0 penyelesaiannya tidak ada nilai x
D0
ax2 + bx + c ≤ 0 penyelesaiannya tidak ada nilai x
yang memenuhi
ax2 + bx + c > 0 penyelesaiannya memenuhi
semua bilangan real x
+
ax2 + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya memenuhi
x
semua bilangan real x
D 0
(d) 10x – x2 24
Jawab
(a) x2 – x – 12 < 0
(x + 3)(x – 4) < 0
+
+
–
–3
4
x1 = –3 dan x2 = 4
–3 < x < 4
(b) x2 – 9 ≥ 0
(x + 3)(x – 3) ≥ 0
+
+
–
x1 = –3 dan x2 = 3
–3
3
x ≤ –3 atau x ≥ 3
(c) –3x2 + 9x + 30 > 0
x2 – 3x – 10 < 0
(x + 2)(x – 5) < 0
x1 = –2 dan x2 = 5
–2 < x < 5
+
(d) x2 – x – 12 < 0
(x + 3)(x – 4) < 0
x1 = –3 dan x2 = 4
–3 < x < 4
+
–2
–3
–
x
+
x
4
02. Tentukanlah interval penyelesaian pertidaksamaan berikut ini :
(a) x2 – 2x + 8 > 0
(b) 15x – x2 – 18 ≥ x2 + 3x
Jawab
(a) x2 – 2x + 8 > 0
D = (–2)2 – 4(1)(8)
D = –28 < 0
Tidak ada batas interval
Jadi
+
x memenuhi semua bilangan real
Sistem Pertidaksamaan Linier dan Kuadrat
x
+
5
–
x
x
5
(b) 15x – x2 – 18 ≥ x2 + 3x
15x – x2 – 18 – x2 – 3x ≥ 0
–2x2 – 12x – 18 ≥ 0
x2 + 6x + 9 ≤ 0
(x + 3)(x + 3) ≤ 0
+
x = –3
–3 ≤ x ≤ –3
Atau nilai yang memenuhi hanya untuk x = –3
–3
+
x
+
x
+
x
03. Tentukanlah interval penyelesaian pertidaksamaan berikut ini :
(a) x2 – 8x + 16 > 0
(b) x2 + 10x + 25 < 0
Jawab
(a) x2 – 8x + 16 > 0
(x – 4)(x – 4) > 0
x=4
x < 4 atau x > 4
+
4
Atau nilai x memenuhi untuk semua bilangan real kecuali 4
(b) x2 + 10x + 25 < 0
(x + 5)(x + 5) > 0
x = –5
–5 < x < –5
Atau tidak ada nilai x yang
memenuhi
+
–5
4. Sebuah perusahaan sepatu memproduksi dan menjual berbagai model sepatu. Untuk
satu model sepatu tertentu diperkirakan dijual seharga a rupiah. Jika dalam satu
minggu dikeluarkan biaya sebesar M rupiah dan pendapatan yang diterima P rupiah
serta dirumuskan M = 2.000.000 – 40.000a dan P = 20.000a – 400a2 maka
berapakah batas harga sepatu persatuan harus dijual agar perusahaan memperoleh
keuntungan ?
Jawab
Agar mendapat keuntungan maka :
P > M
20000a – 400a2 > 2000000 – 40000a
20000a – 400a2 – 2000000 + 40000a > 0
+
–400a2 + 60000a – 2000000 > 0
2
50
a – 150a + 5000 < 0
(a – 100)(a – 50) < 0
Batas interval a1 = 100
dan a2 = 50
Jadi interval harga sepatu adalah : 50 < a < 100
Sistem Pertidaksamaan Linier dan Kuadrat
–
+
100
x
6
5. Kiper Kevin menendang bola yang sudah ditangkapnya. Tinggi bola h, dalam meter, t
detik setelah ditendang membentuk persamaan h = –3t2 + 18t . Kapan bola mencapai
ketinggian lebih dari 24 m?
Jawab
h > 24
–3t2 + 18t > 24
–3t2 + 18t – 24 > 0
3t2 – 18t + 24 < 0
t2 – 6t + 8 < 0
(t – 4)(t – 2) < 0
t1 = 4 dan t2 = 8 maka 4 < t < 8
Jadi bola mencapai ketinggian lebih dari 24 m pada selang waktu antara 4 detik dan 8
detik
Sistem Pertidaksamaan Linier dan Kuadrat
7